قدرت، قوانین، مثال ها. درجه و خواص آن

وقت آن است که کمی ریاضی انجام دهیم. آیا هنوز به یاد دارید که اگر دو در دو ضرب شود چقدر می شود؟

اگر کسی فراموش کرده باشد، چهار نفر خواهد بود. به نظر می رسد که همه جدول ضرب را به خاطر دارند و می دانند، با این حال، من تعداد زیادی درخواست به Yandex مانند "جدول ضرب" یا حتی "دانلود جدول ضرب" (!) کشف کردم. برای این دسته از کاربران و همچنین برای افراد پیشرفته تر که از قبل به مربع ها و قدرت ها علاقه مند هستند، همه این جداول را پست می کنم. شما حتی می توانید برای سلامتی خود دانلود کنید! بنابراین:

جدول ضرب

(اعداد صحیح از 1 تا 20)

?	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

جدول مربع ها

(اعداد صحیح از 1 تا 100)

1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 6 2 = 36 7 2 = 49 8 2 = 64 9 2 = 81 10 2 = 100	11 2 = 121 12 2 = 144 13 2 = 169 14 2 = 196 15 2 = 225 16 2 = 256 17 2 = 289 18 2 = 324 19 2 = 361 20 2 = 400	21 2 = 441 22 2 = 484 23 2 = 529 24 2 = 576 25 2 = 625 26 2 = 676 27 2 = 729 28 2 = 784 29 2 = 841 30 2 = 900	31 2 = 961 32 2 = 1024 33 2 = 1089 34 2 = 1156 35 2 = 1225 36 2 = 1296 37 2 = 1369 38 2 = 1444 39 2 = 1521 40 2 = 1600	41 2 = 1681 42 2 = 1764 43 2 = 1849 44 2 = 1936 45 2 = 2025 46 2 = 2116 47 2 = 2209 48 2 = 2304 49 2 = 2401 50 2 = 2500
51 2 = 2601 52 2 = 2704 53 2 = 2809 54 2 = 2916 55 2 = 3025 56 2 = 3136 57 2 = 3249 58 2 = 3364 59 2 = 3481 60 2 = 3600	61 2 = 3721 62 2 = 3844 63 2 = 3969 64 2 = 4096 65 2 = 4225 66 2 = 4356 67 2 = 4489 68 2 = 4624 69 2 = 4761 70 2 = 4900	71 2 = 5041 72 2 = 5184 73 2 = 5329 74 2 = 5476 75 2 = 5625 76 2 = 5776 77 2 = 5929 78 2 = 6084 79 2 = 6241 80 2 = 6400	81 2 = 6561 82 2 = 6724 83 2 = 6889 84 2 = 7056 85 2 = 7225 86 2 = 7396 87 2 = 7569 88 2 = 7744 89 2 = 7921 90 2 = 8100	91 2 = 8281 92 2 = 8464 93 2 = 8649 94 2 = 8836 95 2 = 9025 96 2 = 9216 97 2 = 9409 98 2 = 9604 99 2 = 9801 100 2 = 10000

جدول درجات

(اعداد صحیح از 1 تا 10)

1 به قدرت:

2 به قدرت:

3 به قدرت:

4 به قدرت:

5 به قدرت:

6 به قدرت:

7 به قدرت:

7 10 = 282475249

8 به قدرت:

8 10 = 1073741824

9 به قدرت:

9 10 = 3486784401

10 به قدرت:

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

عدد و مدرک را وارد کنید، سپس = را فشار دهید.

جدول درجات

مثال: 2 3 = 8

	درجه:
عدد	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	4	8	16	32	64	128	256	512	1 024
3	9	27	81	243	729	2 187	6 561	19 683	59 049
4	16	64	256	1 024	4 096	16 384	65 536	262 144	1 048 576
5	25	125	625	3 125	15 625	78 125	390 625	1 953 125	9 765 625
6	36	216	1 296	7 776	46 656	279 936	1 679 616	10 077 696	60 466 176
7	49	343	2 401	16 807	117 649	823 543	5 764 801	40 353 607	282 475 249
8	64	512	4 096	32 768	262 144	2 097 152	16 777 216	134 217 728	1 073 741 824
9	81	729	6 561	59 049	531 441	4 782 969	43 046 721	387 420 489	3 486 784 401
10	100	1 000	10 000	100 000	1 000 000	10 000 000	100 000 000	1 000 000 000	10 000 000 000
11	121	1 331	14 641	161 051	1 771 561	19 487 171	214 358 881	2 357 947 691	25 937 424 601
12	144	1 728	20 736	248 832	2 985 984	35 831 808	429 981 696	5 159 780 352	61 917 364 224
13	169	2 197	28 561	371 293	4 826 809	62 748 517	815 730 721	10 604 499 373	137 858 491 849
14	196	2 744	38 416	537 824	7 529 536	105 413 504	1 475 789 056	20 661 046 784	289 254 654 976
15	225	3 375	50 625	759 375	11 390 625	170 859 375	2 562 890 625	38 443 359 375	576 650 390 625
16	256	4 096	65 536	1 048 576	16 777 216	268 435 456	4 294 967 296	68 719 476 736	1 099 511 627 776
17	289	4 913	83 521	1 419 857	24 137 569	410 338 673	6 975 757 441	118 587 876 497	2 015 993 900 449
18	324	5 832	104 976	1 889 568	34 012 224	612 220 032	11 019 960 576	198 359 290 368	3 570 467 226 624
19	361	6 859	130 321	2 476 099	47 045 881	893 871 739	16 983 563 041	322 687 697 779	6 131 066 257 801
20	400	8 000	160 000	3 200 000	64 000 000	1 280 000 000	25 600 000 000	512 000 000 000	10 240 000 000 000
21	441	9 261	194 481	4 084 101	85 766 121	1 801 088 541	37 822 859 361	794 280 046 581	16 679 880 978 201
22	484	10 648	234 256	5 153 632	113 379 904	2 494 357 888	54 875 873 536	1 207 269 217 792	26 559 922 791 424
23	529	12 167	279 841	6 436 343	148 035 889	3 404 825 447	78 310 985 281	1 801 152 661 463	41 426 511 213 649
24	576	13 824	331 776	7 962 624	191 102 976	4 586 471 424	110 075 314 176	2 641 807 540 224	63 403 380 965 376
25	625	15 625	390 625	9 765 625	244 140 625	6 103 515 625	152 587 890 625	3 814 697 265 625	95 367 431 640 625

خواص درجه - 2 قسمت

جدول درجات اصلی جبر به شکل فشرده (تصویر، مناسب برای چاپ)، در بالای عدد، در کنار درجه.

در ادامه گفتگو در مورد توان یک عدد، منطقی است که بفهمیم چگونه مقدار توان را پیدا کنیم. این فرآیند نامیده می شود توانمندی. در این مقاله نحوه انجام توان را مطالعه خواهیم کرد، در حالی که ما به تمام توان های ممکن - طبیعی، صحیح، منطقی و غیر منطقی اشاره خواهیم کرد. و طبق سنت، ما به طور مفصل راه حل هایی را برای مثال هایی از افزایش اعداد به قدرت های مختلف در نظر خواهیم گرفت.

پیمایش صفحه.

"قدرت" به چه معناست؟

بیایید با توضیح آنچه که توان نامیده می شود شروع کنیم. در اینجا تعریف مربوطه آمده است.

تعریف.

توانمندی- این یافتن مقدار توان یک عدد است.

بنابراین، یافتن مقدار توان یک عدد a با توان r و افزایش عدد a به توان r یکسان است. به عنوان مثال، اگر کار "محاسبه مقدار توان (0.5) 5" باشد، می توان آن را به صورت زیر فرموله کرد: "عدد 0.5 را به توان 5 برسانید."

اکنون می توانید مستقیماً به قوانینی بروید که بر اساس آنها قدرت انجام می شود.

بالا بردن عدد به توان طبیعی

در عمل، برابری بر اساس معمولاً به شکل . یعنی وقتی عدد a را به توان کسری m/n می‌رسانیم، ابتدا ریشه n عدد a گرفته می‌شود و پس از آن نتیجه به توان عدد صحیح m می‌رسد.

بیایید به راه حل هایی برای مثال های افزایش به توان کسری نگاه کنیم.

مثال.

مقدار مدرک را محاسبه کنید.

راه حل.

ما دو راه حل را نشان خواهیم داد.

راه اول با تعریف درجه با توان کسری. مقدار درجه را در زیر علامت ریشه محاسبه می کنیم و سپس ریشه مکعب را استخراج می کنیم: .

راه دوم با تعریف درجه ای با توان کسری و بر اساس ویژگی های ریشه، برابری های زیر صادق است: . حالا ریشه را استخراج می کنیم ، در نهایت، آن را به یک عدد صحیح افزایش می دهیم .

بدیهی است که نتایج بدست آمده از افزایش به توان کسری منطبق است.

پاسخ:

توجه داشته باشید که یک توان کسری را می توان به صورت کسری اعشاری یا یک عدد مختلط نوشت، در این موارد باید با کسری معمولی مربوطه جایگزین شود و سپس به توان افزایش یابد.

مثال.

محاسبه (44.89) 2.5.

راه حل.

بیایید توان را به شکل کسری معمولی بنویسیم (در صورت لزوم به مقاله مراجعه کنید): . اکنون افزایش را به توان کسری انجام می دهیم:

پاسخ:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

همچنین باید گفت که افزایش اعداد به توان های منطقی یک فرآیند نسبتاً کار فشرده است (مخصوصاً وقتی که صورت و مخرج ضریب کسری دارای اعداد به اندازه کافی بزرگ باشد) که معمولاً با استفاده از فناوری رایانه انجام می شود.

برای جمع‌بندی این نکته، اجازه دهید به افزایش عدد صفر به توان کسری بپردازیم. ما به توان کسری صفر شکل این معنی را دادیم: وقتی داریم ، و در صفر تا توان m/n تعریف نشده است. بنابراین، صفر به توان مثبت کسری صفر است، برای مثال، . و صفر در توان منفی کسری معنی ندارد، مثلاً عبارات 0 -4.3 معنی ندارد.

بالا بردن به یک قدرت غیر منطقی

گاهی اوقات لازم است که مقدار توان یک عدد با توان غیر منطقی را دریابیم. در این مورد، برای اهداف عملی معمولاً به دست آوردن مقدار درجه دقیق به یک علامت خاص کافی است. بیایید بلافاصله توجه داشته باشیم که در عمل این مقدار با استفاده از رایانه های الکترونیکی محاسبه می شود، زیرا افزایش آن به یک قدرت غیر منطقی به صورت دستی به تعداد زیادی محاسبات دست و پا گیر نیاز دارد. اما ما همچنان به طور کلی ماهیت اقدامات را شرح خواهیم داد.

برای به دست آوردن مقدار تقریبی توان یک عدد a با توان غیر منطقی، مقداری تقریب اعشاری از توان گرفته شده و مقدار توان محاسبه می شود. این مقدار مقدار تقریبی توان عدد a با توان غیر منطقی است. هرچه تقریب اعشاری یک عدد در ابتدا دقیق تر باشد، در پایان مقدار درجه دقیق تر به دست می آید.

به عنوان مثال، مقدار تقریبی توان 2 1.174367 را محاسبه می کنیم... . بیایید تقریب اعشاری زیر را از توان غیر منطقی در نظر بگیریم: . اکنون 2 را به توان گویا 1.17 می بریم (ماهیت این فرآیند را در پاراگراف قبل توضیح دادیم)، 2 1.17 ≈2.250116 را دریافت می کنیم. بدین ترتیب، 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . برای مثال، اگر تقریب اعشاری دقیق تری از توان غیر منطقی در نظر بگیریم، مقدار دقیق تری از توان اصلی به دست می آوریم: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

کتابشناسی - فهرست کتب.

Vilenkin N.Ya.، ژوخوف V.I.، Chesnokov A.S.، Shvartsburd S.I. کتاب ریاضی پنجم دبستان. موسسات آموزشی
Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هفتم. موسسات آموزشی
Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه هشتم. موسسات آموزشی
Makarychev Yu.N.، Mindyuk N.G.، Neshkov K.I.، Suvorova S.B. جبر: کتاب درسی پایه نهم. موسسات آموزشی
کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی پایه دهم تا یازدهم موسسات آموزش عمومی.
گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

چرا مدرک لازم است؟

کجا به آنها نیاز خواهید داشت؟

چرا باید برای مطالعه آنها وقت بگذارید؟

برای دانستن همه چیز در مورد درجه، این مقاله را بخوانید.

و البته، دانش درجات شما را به گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی نزدیکتر می کند.

و برای پذیرش در دانشگاه رویاهای خود!

بیا بریم... (بریم!)

سطح اول

توان یک عملیات ریاضی مانند جمع، تفریق، ضرب یا تقسیم است.

اکنون همه چیز را با استفاده از مثال های بسیار ساده به زبان انسان توضیح خواهم داد. مراقب باش. مثال ها ابتدایی هستند، اما چیزهای مهم را توضیح می دهند.

بیایید با اضافه شروع کنیم.

اینجا چیزی برای توضیح نیست. شما از قبل همه چیز را می دانید: ما هشت نفر هستیم. هر کسی دو بطری کولا دارد. کولا چقدر است؟ درست است - 16 بطری.

حالا ضرب.

مثال مشابه با کولا را می توان متفاوت نوشت: . ریاضیدانان افرادی حیله گر و تنبل هستند. آنها ابتدا متوجه برخی الگوها می شوند و سپس راهی برای "شمارش" سریعتر آنها پیدا می کنند. در مورد ما، آنها متوجه شدند که هر یک از هشت نفر به همان تعداد بطری کولا دارند و تکنیکی به نام ضرب را ارائه کردند. موافقم، آسانتر و سریعتر از آن در نظر گرفته می شود.

بنابراین، برای شمارش سریع تر، آسان تر و بدون خطا، فقط باید به خاطر بسپارید جدول ضرب. البته، شما می توانید همه چیز را آهسته تر، سخت تر و با اشتباه انجام دهید! ولی…

اینجا جدول ضرب است. تکرار.

و یکی دیگر زیباتر:

ریاضیدانان تنبل چه ترفندهای هوشمندانه دیگری برای شمارش ارائه کرده اند؟ درست - افزایش یک عدد به توان.

افزایش یک عدد به توان

اگر لازم است یک عدد را در خودش پنج برابر ضرب کنید، ریاضیدانان می گویند که باید آن عدد را به توان پنجم برسانید. مثلا، . ریاضیدانان به یاد دارند که دو به توان پنجم ... و آنها چنین مشکلاتی را در سر خود حل می کنند - سریع تر، آسان تر و بدون اشتباه.

تنها کاری که باید انجام دهید این است آنچه را که در جدول قدرت اعداد با رنگ مشخص شده است به خاطر بسپارید. باور کنید این کار زندگی شما را بسیار آسان تر می کند.

راستی چرا بهش میگن درجه دو؟ مربعاعداد، و سوم - مکعب? چه مفهومی داره؟ سوال خیلی خوبیه حالا هم مربع و هم مکعب خواهید داشت.

مثال زندگی واقعی شماره 1

بیایید با مربع یا توان دوم عدد شروع کنیم.

یک استخر مربعی به ابعاد یک متر در یک متر را تصور کنید. استخر در خانه شما است. هوا گرم است و من واقعاً می خواهم شنا کنم. اما... استخر ته ندارد! باید کف استخر را با کاشی بپوشانید. چند تا کاشی نیاز دارید؟ برای تعیین این موضوع، باید قسمت پایین استخر را بدانید.

به سادگی می توانید با اشاره انگشت خود محاسبه کنید که کف استخر از مکعب های متر به متر تشکیل شده است. اگر کاشی یک متر در یک متر دارید، به قطعات نیاز دارید. آسان است... اما چنین کاشی هایی را کجا دیده اید؟ کاشی به احتمال زیاد سانتی متر در سانتی متر خواهد بود و سپس با "شمارش با انگشت خود" شکنجه خواهید شد. سپس شما باید ضرب کنید. بنابراین، در یک طرف کف استخر کاشی ها (تکه ها) و در طرف دیگر نیز کاشی ها قرار می دهیم. ضرب در و شما کاشی ().

آیا توجه کرده اید که برای تعیین مساحت کف استخر همان عدد را در خودش ضرب کردیم؟ چه مفهومی داره؟ از آنجایی که عدد مشابهی را ضرب می کنیم، می توانیم از تکنیک "توان سازی" استفاده کنیم. (البته وقتی فقط دو عدد دارید، باز هم باید آنها را ضرب کنید یا به توان برسانید. اما اگر تعداد آنها زیاد باشد، افزایش آنها به توان بسیار آسانتر است و همچنین خطاهای کمتری در محاسبات وجود دارد. برای آزمون یکپارچه دولتی، این بسیار مهم است).
بنابراین، سی به توان دوم () خواهد بود. یا می توان گفت که سی مربع خواهد بود. به عبارت دیگر، توان دوم یک عدد را همیشه می توان به صورت مربع نشان داد. و برعکس، اگر مربعی را دیدید، همیشه توان دوم فلان عدد است. مربع تصویری از توان دوم یک عدد است.

مثال زندگی واقعی شماره 2

در اینجا یک کار برای شما وجود دارد: با استفاده از مربع عدد چند مربع روی صفحه شطرنج وجود دارد ... در یک طرف سلول ها و در طرف دیگر نیز. برای محاسبه تعداد آنها باید هشت را در هشت ضرب کنید یا ... اگر متوجه شدید که یک صفحه شطرنج یک مربع با یک ضلع است، می توانید هشت را مربع کنید. سلول ها را دریافت خواهید کرد. () بنابراین؟

مثال زندگی واقعی شماره 3

حالا مکعب یا توان سوم یک عدد. همون استخر اما اکنون باید دریابید که چقدر آب باید در این استخر ریخته شود. شما باید حجم را محاسبه کنید. (حجم ها و مایعات، اتفاقاً با متر مکعب اندازه گیری می شوند. غیرمنتظره، درست است؟) یک استخر بکشید: اندازه کف آن یک متر و عمق آن یک متر است و سعی کنید تعداد مکعب هایی را که یک متر در متر اندازه گیری می کنند، بشمارید. در استخر شما قرار بگیرد

فقط انگشت خود را نشان دهید و بشمارید! یک، دو، سه، چهار...بیست و دو، بیست و سه...چند گرفتی؟ گم نشده؟ آیا شمردن با انگشت سخت است؟ به طوری که! از ریاضیدانان مثال بزنید. آنها تنبل هستند، بنابراین متوجه شدند که برای محاسبه حجم استخر، باید طول، عرض و ارتفاع آن را در یکدیگر ضرب کنید. در مورد ما حجم استخر برابر با مکعب خواهد بود... راحت تر، درسته؟

حالا تصور کنید که ریاضیدانان چقدر تنبل و حیله گر هستند اگر این را هم ساده کنند. همه چیز را به یک اقدام تقلیل دادیم. آنها متوجه شدند که طول و عرض و ارتفاع برابر است و همان عدد در خودش ضرب می شود ... این یعنی چه؟ این بدان معنی است که شما می توانید از مزایای مدرک استفاده کنید. بنابراین، آنچه را که یک بار با انگشت خود می شمردید، آنها در یک عمل انجام می دهند: سه مکعب برابر است. اینگونه نوشته شده است: .

تنها چیزی که باقی می ماند این است جدول درجات را به خاطر بسپار. مگر اینکه شما به اندازه ریاضیدانان تنبل و حیله گر باشید. اگر دوست دارید سخت کار کنید و اشتباه کنید، می توانید به شمارش با انگشت خود ادامه دهید.

خوب، برای اینکه در نهایت شما را متقاعد کنم که مدرک تحصیلی توسط افراد حیله گر و ترک اختراع شده است تا مشکلات زندگی خود را حل کنند و نه برای ایجاد مشکل، در اینجا چند نمونه دیگر از زندگی آورده شده است.

مثال زندگی واقعی شماره 4

شما یک میلیون روبل دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیونی که بسازید، یک میلیون دیگر به دست می آورید. یعنی هر میلیون شما در ابتدای هر سال دو برابر می شود. چند سال دیگر چقدر پول خواهید داشت؟ اگر الان نشسته‌اید و «با انگشتتان می‌شمارید»، پس آدم بسیار سخت‌کوشی و... احمقی هستید. اما به احتمال زیاد در عرض چند ثانیه جواب می دهید، زیرا شما باهوش هستید! پس در سال اول - دو ضرب در دو ... در سال دوم - چه شد، در دو دیگر، در سال سوم ... بس کنید! متوجه شدید که این عدد در خودش ضرب می شود. پس دو تا توان پنجم یک میلیون است! حالا تصور کنید که یک مسابقه دارید و کسی که سریع‌ترین تعداد را می‌تواند بشمارد این میلیون‌ها را به دست می‌آورد... ارزش این را دارد که قدرت اعداد را به خاطر بسپارید، فکر نمی‌کنید؟

مثال زندگی واقعی شماره 5

شما یک میلیون دارید. در ابتدای هر سال، به ازای هر میلیونی که به دست می آورید، دو نفر دیگر درآمد کسب می کنید. عالی نیست؟ هر میلیون سه برابر می شود. در یک سال چقدر پول خواهید داشت؟ بیا بشماریم. سال اول - ضرب در، سپس نتیجه در دیگری... این در حال حاضر خسته کننده است، زیرا شما قبلاً همه چیز را فهمیده اید: سه در خودش ضرب می شود. پس به توان چهارم برابر با یک میلیون است. فقط باید به یاد داشته باشید که توان سه به چهارم یا است.

اکنون می دانید که با افزایش یک عدد به یک قدرت، زندگی خود را بسیار آسان تر خواهید کرد. بیایید نگاهی بیشتر به کارهایی که می توانید با مدرک انجام دهید و آنچه باید در مورد آنها بدانید بیاندازیم.

اصطلاحات و مفاهیم ... تا دچار سردرگمی نشوید

بنابراین، ابتدا اجازه دهید مفاهیم را تعریف کنیم. شما چی فکر میکنید، نما چیست? این بسیار ساده است - این عددی است که "در بالای" قدرت عدد است. علمی نیست، اما واضح و به راحتی قابل یادآوری است...

خوب، در همان زمان، چه چنین پایه مدرک? حتی ساده تر - این عددی است که در زیر، در پایه قرار دارد.

در اینجا یک نقاشی برای اندازه گیری خوب است.

خب به طور کلی برای تعمیم و به خاطر سپردن بهتر ... یک درجه با پایه ” ” و توان ” ” به درجه خوانده می شود و به صورت زیر نوشته می شود:

توان یک عدد با توان طبیعی

احتمالاً قبلاً حدس زده اید: زیرا توان یک عدد طبیعی است. بله، اما آن چیست عدد طبیعی? ابتدایی! اعداد طبیعی آن دسته از اعدادی هستند که هنگام فهرست کردن اشیا در شمارش استفاده می‌شوند: یک، دو، سه... وقتی اشیاء را می‌شماریم، نمی‌گوییم: منهای پنج، منهای شش، منهای هفت. همچنین نمی گوییم: «یک سوم» یا «نقطه صفر پنج». اینها اعداد طبیعی نیستند. به نظر شما اینها چه اعدادی هستند؟

اعدادی مانند «منهای پنج»، «منهای شش»، «منهای هفت» اشاره دارند تمام اعداد.به طور کلی، اعداد صحیح شامل همه اعداد طبیعی، اعداد مخالف اعداد طبیعی (یعنی با علامت منفی گرفته شده) و عدد هستند. درک صفر آسان است - زمانی است که هیچ چیز وجود ندارد. اعداد منفی ("منهای") به چه معناست؟ اما آنها در درجه اول برای نشان دادن بدهی ها اختراع شده اند: اگر موجودی تلفن خود را به روبل داشته باشید، به این معنی است که به روبل اپراتور بدهکار هستید.

همه کسرها اعداد گویا هستند. به نظر شما چگونه به وجود آمدند؟ بسیار ساده. چندین هزار سال پیش، اجداد ما کشف کردند که فاقد اعداد طبیعی برای اندازه گیری طول، وزن، مساحت و غیره هستند. و به این نتیجه رسیدند اعداد گویا... جالبه، نه؟

اعداد غیر منطقی نیز وجود دارد. این اعداد چیست؟ به طور خلاصه، این یک کسر اعشاری نامتناهی است. به عنوان مثال، اگر محیط یک دایره را بر قطر آن تقسیم کنید، یک عدد غیر منطقی به دست می آید.

خلاصه:

اجازه دهید مفهوم درجه ای را تعریف کنیم که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).

هر عدد به توان اول با خودش برابر است:
مربع کردن یک عدد یعنی ضرب آن در خودش:
مکعب کردن یک عدد به این معنی است که آن را در خودش سه برابر کنیم:

تعریف.افزایش یک عدد به توان طبیعی به معنای ضرب کردن عدد در خودش است:
.

خواص درجات

این خواص از کجا آمده است؟ الان بهت نشون میدم

بیایید ببینیم: چیست؟ و ?

الف مقدماتی:

در کل چند ضریب وجود دارد؟

خیلی ساده است: ما ضریب هایی را به فاکتورها اضافه کردیم و نتیجه چند برابر است.

اما طبق تعریف، این توان یک عدد با توان است، یعنی: که باید ثابت شود.

مثال: بیان را ساده کنید.

راه حل:

مثال:بیان را ساده کنید.

راه حل:توجه به این نکته ضروری است که در قاعده ما لزوماباید همین دلایل وجود داشته باشد!
بنابراین، ما قدرت ها را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:

فقط برای محصول قدرت ها!

تحت هیچ شرایطی نمی توانید آن را بنویسید.

2. همین توان یک عدد

درست مانند ویژگی قبلی، اجازه دهید به تعریف درجه بپردازیم:

معلوم می شود که عبارت در خودش ضرب می شود، یعنی طبق تعریف، این توان دهم عدد است:

در اصل، این را می توان "درآوردن نشانگر از پرانتز" نامید. اما شما هرگز نمی توانید این کار را در کل انجام دهید:

بیایید فرمول های ضرب اختصاری را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟

اما بالاخره این درست نیست.

قدرت با پایه منفی

تا اینجا ما فقط بحث کرده ایم که توان چه چیزی باید باشد.

اما مبنای چه چیزی باید باشد؟

در اختیارات شاخص طبیعیاساس ممکن است هر عددی. در واقع، ما می توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم، اعم از مثبت، منفی یا زوج.

بیایید فکر کنیم که کدام علائم ("" یا "") دارای درجاتی از اعداد مثبت و منفی خواهند بود؟

مثلا عدد مثبت است یا منفی؟ آ؟ ? با اولی همه چیز مشخص است: مهم نیست که چند عدد مثبت را در یکدیگر ضرب کنیم، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما موارد منفی کمی جالب تر هستند. این قانون ساده را از کلاس ششم به یاد می آوریم: "منهای برای منهای یک مثبت می دهد." یعنی یا. اما اگر در آن ضرب کنیم کار می کند.

خودتان مشخص کنید که عبارات زیر چه علامتی خواهند داشت:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

توانستی مدیریت کنی؟

در اینجا پاسخ ها آمده است: در چهار مثال اول، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ ما به سادگی به مبنا و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.

در مثال 5) همه چیز به همان اندازه که به نظر می رسد ترسناک نیست: از این گذشته ، مهم نیست که پایه با چه چیزی برابر است - درجه یکنواخت است ، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود.

خوب، به جز زمانی که پایه صفر باشد. پایه برابر نیست، درست است؟ بدیهی است که نه، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر چندان ساده نیست!

6 مثال برای تمرین

تجزیه و تحلیل راه حل 6 مثال

کلما اعداد طبیعی، متضاد آنها (یعنی گرفته شده با علامت " ") و عدد را می نامیم.

عدد صحیح مثبت، و هیچ تفاوتی با طبیعی ندارد، پس همه چیز دقیقاً مانند بخش قبل به نظر می رسد.

حالا بیایید به موارد جدید نگاه کنیم. بیایید با یک اندیکاتور برابر شروع کنیم.

هر عددی به توان صفر برابر با یک است:

مثل همیشه از خود بپرسیم: چرا اینطور است؟

بیایید مدرکی را با پایه در نظر بگیریم. برای مثال در نظر بگیرید و در آن ضرب کنید:

بنابراین، ما عدد را در ضرب کردیم، و همان چیزی را به دست آوردیم که بود - . در چه عددی باید ضرب کرد تا چیزی تغییر نکند؟ درست است، در به معنای.

ما می توانیم همین کار را با یک عدد دلخواه انجام دهیم:

بیایید این قانون را تکرار کنیم:

هر عددی به توان صفر برابر با یک است.

اما برای بسیاری از قوانین استثنا وجود دارد. و اینجا نیز آنجاست - این یک عدد (به عنوان پایه) است.

از یک طرف، باید با هر درجه ای برابر باشد - مهم نیست که چقدر صفر را در خودش ضرب کنید، باز هم صفر خواهید شد، این واضح است. اما از طرف دیگر مانند هر عددی به توان صفر باید برابر باشد. پس چقدر از اینها درست است؟ ریاضیدانان تصمیم گرفتند که درگیر نشوند و از رساندن صفر به توان صفر خودداری کردند. یعنی اکنون نه تنها نمی توانیم بر صفر تقسیم کنیم، بلکه آن را به توان صفر نیز برسانیم.

بیایید ادامه دهیم. اعداد صحیح علاوه بر اعداد و اعداد طبیعی شامل اعداد منفی نیز می شوند. برای اینکه بفهمیم یک توان منفی چیست، بیایید مانند دفعه قبل عمل کنیم: یک عدد معمولی را در همان عدد به توان منفی ضرب کنیم:

از اینجا به راحتی می توان آنچه را که به دنبال آن هستید بیان کرد:

حال اجازه دهید قانون حاصل را به یک درجه دلخواه گسترش دهیم:

بنابراین، بیایید یک قانون تنظیم کنیم:

عددی با توان منفی، متقابل همان عدد با توان مثبت است. اما در عین حال پایه نمی تواند null باشد:(چون شما نمی توانید تقسیم بر).

بیایید خلاصه کنیم:

وظایف برای راه حل مستقل:

خوب، طبق معمول، نمونه هایی برای راه حل های مستقل:

تجزیه و تحلیل مسائل برای حل مستقل:

می دانم، می دانم، اعداد ترسناک هستند، اما در آزمون یکپارچه دولتی باید برای هر چیزی آماده باشید! اگر نتوانستید این مثال ها را حل کنید یا راه حل های آنها را تجزیه و تحلیل کنید و یاد می گیرید که در امتحان به راحتی با آنها کنار بیایید!

اجازه دهید به گسترش دامنه اعداد "مناسب" به عنوان یک توان ادامه دهیم.

حالا بیایید در نظر بگیریم اعداد گویا.به چه اعدادی گویا می گویند؟

پاسخ: هر چیزی که می تواند به عنوان یک کسری نشان داده شود، جایی که و اعداد صحیح هستند، و.

تا بفهمی چیه "درجه کسری"، کسری را در نظر بگیرید:

بیایید هر دو طرف معادله را به توان برسانیم:

حالا بیایید قانون مربوط به آن را به یاد بیاوریم "درجه به درجه":

برای بدست آوردن چه عددی باید به توان افزایش داد؟

این فرمول تعریف ریشه درجه هفتم است.

یادآوری می‌کنم: ریشه توان دهم یک عدد () عددی است که وقتی به توان بالا می‌رود، برابر است.

یعنی ریشه th توان عمل معکوس افزایش به توان است: .

معلوم می شود که. بدیهی است که این مورد خاص قابل گسترش است: .

حالا عدد را اضافه می کنیم: چیست؟ با استفاده از قانون قدرت به قدرت می توان پاسخ را آسان به دست آورد:

اما آیا پایه می تواند هر عددی باشد؟ از این گذشته ، ریشه را نمی توان از همه اعداد استخراج کرد.

هیچ یک!

بیایید این قانون را به خاطر بسپاریم: هر عددی که به توان زوج افزایش یابد یک عدد مثبت است. یعنی از اعداد منفی نمی توان حتی ریشه را استخراج کرد!

این بدان معنی است که چنین اعدادی را نمی توان به توان کسری با مخرج زوج رساند، یعنی عبارت معنی ندارد.

در مورد بیان چطور؟

اما اینجا یک مشکل پیش می آید.

عدد را می توان به شکل کسرهای کاهش پذیر دیگر، به عنوان مثال، یا.

و معلوم می شود که وجود دارد، اما وجود ندارد، اما اینها فقط دو رکورد متفاوت از یک عدد هستند.

یا مثال دیگری: یک بار، سپس می توانید آن را یادداشت کنید. اما اگر اندیکاتور را طور دیگری بنویسیم، دوباره به مشکل می خوریم: (یعنی نتیجه کاملاً متفاوتی گرفتیم!).

برای جلوگیری از چنین پارادوکس هایی، در نظر می گیریم فقط نما پایه مثبت با توان کسری.

بنابراین اگر:

- عدد طبیعی؛
- عدد صحیح؛

مثال ها:

نماهای گویا برای تبدیل عبارات با ریشه بسیار مفید هستند، به عنوان مثال:

5 مثال برای تمرین

تجزیه و تحلیل 5 مثال برای آموزش

خب، حالا سخت ترین قسمت فرا می رسد. حالا ما آن را کشف خواهیم کرد درجه با توان غیر منطقی.

تمام قواعد و خصوصیات درجات در اینجا دقیقاً مشابه درجه ای با توان گویا است، به استثنای

از این گذشته، طبق تعریف، اعداد غیر منطقی اعدادی هستند که نمی‌توان آنها را به صورت کسری نشان داد، جایی که اعداد صحیح هستند (یعنی اعداد غیر منطقی همه اعداد حقیقی هستند به جز اعداد گویا).

هنگام مطالعه درجات با شارحهای طبیعی، اعداد صحیح و گویا، هر بار یک "تصویر"، "قیاس" یا توصیف خاصی را با عبارات آشناتر ایجاد می کنیم.

برای مثال، درجه ای با توان طبیعی، عددی است که در خودش چند برابر شود.

...عدد به توان صفر- این همان طور که بود، عددی است که یک بار در خودش ضرب شده است، یعنی آنها هنوز شروع به ضرب نکرده اند، به این معنی که خود عدد هنوز ظاهر نشده است - بنابراین نتیجه فقط یک "عدد خالی" معین است. ، یعنی یک عدد؛

...درجه عدد صحیح منفی- انگار "فرآیند معکوس" اتفاق افتاده است، یعنی عدد در خودش ضرب نشده، بلکه تقسیم شده است.

به هر حال، در علم اغلب از درجه ای با توان مختلط استفاده می شود، یعنی توان حتی یک عدد واقعی نیست.

اما در مدرسه ما به چنین مشکلاتی فکر نمی کنیم؛ شما این فرصت را خواهید داشت که این مفاهیم جدید را در موسسه درک کنید.

جایی که ما مطمئن هستیم که خواهی رفت! (اگر حل چنین مثال هایی را یاد بگیرید :))

مثلا:

خودتان تصمیم بگیرید:

تجزیه و تحلیل راه حل ها:

1. بیایید با قانون معمول برای بالا بردن یک قدرت به یک قدرت شروع کنیم:

سطح پیشرفته

تعیین مدرک تحصیلی

درجه عبارتی از شکل: , که در آن:

— پایه درجه؛
- توان

درجه با شاخص طبیعی (n = 1، 2، 3،...)

افزایش یک عدد به توان طبیعی n یعنی ضرب عدد در خودش:

درجه با توان عدد صحیح (0, ±1, ±2,...)

اگر توان است عدد صحیح مثبتعدد:

ساخت و ساز به درجه صفر:

عبارت نامشخص است، زیرا از یک سو به هر درجه ای این است و از سوی دیگر هر عددی به درجه هفتم این است.

اگر توان است عدد صحیح منفیعدد:

(چون شما نمی توانید تقسیم بر).

یک بار دیگر در مورد صفر: عبارت در مورد تعریف نشده است. اگر پس از آن.

مثال ها:

قدرت با توان منطقی

- عدد طبیعی؛
- عدد صحیح؛

مثال ها:

خواص درجات

برای آسان‌تر کردن حل مشکلات، بیایید سعی کنیم بفهمیم: این ویژگی‌ها از کجا آمده‌اند؟ بیایید آنها را ثابت کنیم.

بیایید ببینیم: چیست و؟

الف مقدماتی:

بنابراین، در سمت راست این عبارت، محصول زیر را دریافت می کنیم:

اما طبق تعریف، توان یک عدد با توان است، یعنی:

Q.E.D.

مثال : بیان را ساده کنید.

راه حل : .

مثال : بیان را ساده کنید.

راه حل : توجه به این نکته ضروری است که در قاعده ما لزوماباید همین دلایل وجود داشته باشد بنابراین، ما قدرت ها را با پایه ترکیب می کنیم، اما یک عامل جداگانه باقی می ماند:

نکته مهم دیگر: این قانون - فقط برای محصول قدرت!

تحت هیچ شرایطی نمی توانید آن را بنویسید.

درست مانند ویژگی قبلی، اجازه دهید به تعریف درجه بپردازیم:

بیایید این کار را به صورت زیر دسته بندی کنیم:

معلوم می شود که عبارت در خودش ضرب می شود، یعنی طبق تعریف، این توان دهم عدد است:

در اصل، این را می توان "درآوردن نشانگر از پرانتز" نامید. اما شما هرگز نمی توانید این کار را در کل انجام دهید: !

بیایید فرمول های ضرب اختصاری را به یاد بیاوریم: چند بار می خواستیم بنویسیم؟ اما بالاخره این درست نیست.

قدرت با پایه منفی.

تا اینجا ما فقط بحث کرده ایم که چگونه باید باشد فهرست مطالبدرجه. اما مبنای چه چیزی باید باشد؟ در اختیارات طبیعی نشانگر اساس ممکن است هر عددی .

در واقع، ما می توانیم هر عددی را در یکدیگر ضرب کنیم، اعم از مثبت، منفی یا زوج. بیایید فکر کنیم که کدام علائم ("" یا "") دارای درجاتی از اعداد مثبت و منفی خواهند بود؟

مثلا عدد مثبت است یا منفی؟ آ؟ ?

با اولی همه چیز مشخص است: مهم نیست که چند عدد مثبت را در یکدیگر ضرب کنیم، نتیجه مثبت خواهد بود.

اما موارد منفی کمی جالب تر هستند. این قانون ساده را از کلاس ششم به یاد می آوریم: "منهای برای منهای یک مثبت می دهد." یعنی یا. اما اگر در (() ضرب کنیم به - .

و به همین ترتیب ad infinitum: با هر ضرب بعدی علامت تغییر می کند. قوانین ساده زیر را می توان فرموله کرد:

زوجدرجه، - شماره مثبت.
عدد منفی به فرددرجه، - شماره منفی.
عدد مثبت به هر درجه ای عدد مثبت است.
صفر به هر توانی برابر با صفر است.

خودتان مشخص کنید که عبارات زیر چه علامتی خواهند داشت:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

توانستی مدیریت کنی؟ در اینجا پاسخ ها آمده است:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

در چهار مثال اول، امیدوارم همه چیز روشن باشد؟ ما به سادگی به مبنا و توان نگاه می کنیم و قانون مناسب را اعمال می کنیم.

در مثال 5) همه چیز به همان اندازه که به نظر می رسد ترسناک نیست: از این گذشته ، مهم نیست که پایه با چه چیزی برابر است - درجه یکنواخت است ، به این معنی که نتیجه همیشه مثبت خواهد بود. خوب، به جز زمانی که پایه صفر باشد. پایه برابر نیست، درست است؟ بدیهی است که نه، زیرا (زیرا).

مثال 6) دیگر چندان ساده نیست. در اینجا باید دریابید که کدام کمتر است: یا؟ اگر آن را به خاطر بسپاریم، مشخص می شود که یعنی پایه کمتر از صفر است. یعنی قانون 2 را اعمال می کنیم: نتیجه منفی خواهد بود.

و دوباره از تعریف درجه استفاده می کنیم:

همه چیز طبق معمول است - ما تعریف درجه ها را می نویسیم و آنها را با یکدیگر تقسیم می کنیم، آنها را به جفت تقسیم می کنیم و به دست می آوریم:

قبل از اینکه به قانون آخر نگاه کنیم، اجازه دهید چند مثال را حل کنیم.

عبارات را محاسبه کنید:

راه حل ها :

بیایید به مثال برگردیم:

و دوباره فرمول:

خب حالا آخرین قانون:

چگونه آن را ثابت خواهیم کرد؟ البته، طبق معمول: بیایید مفهوم مدرک را گسترش دهیم و آن را ساده کنیم:

خب حالا بیایید پرانتزها را باز کنیم. در کل چند حرف وجود دارد؟ بار توسط ضرب - این شما را به یاد چه چیزی می اندازد؟ این چیزی بیش از تعریف یک عملیات نیست ضرب: اونجا فقط ضریب وجود داشت. یعنی این، طبق تعریف، توان یک عدد با توان است:

مثال:

درجه با توان غیرمنطقی

علاوه بر اطلاعات در مورد درجه برای سطح متوسط، درجه را با یک توان غیر منطقی تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. تمام قواعد و ویژگی های درجه ها در اینجا دقیقاً مشابه درجه ای با توان گویا است، به استثنای - در نهایت، طبق تعریف، اعداد غیر منطقی اعدادی هستند که نمی توانند به صورت کسری نمایش داده شوند، جایی که اعداد صحیح هستند (یعنی ، اعداد غیر منطقی همه اعداد حقیقی هستند به جز اعداد گویا).

هنگام مطالعه درجات با شارحهای طبیعی، اعداد صحیح و گویا، هر بار یک "تصویر"، "قیاس" یا توصیف خاصی را با عبارات آشناتر ایجاد می کنیم. برای مثال، درجه ای با توان طبیعی، عددی است که در خودش چند برابر شود. یک عدد به توان صفر، همانطور که بود، عددی است که یک بار در خودش ضرب می شود، یعنی هنوز شروع به ضرب نکرده اند، به این معنی که خود عدد هنوز ظاهر نشده است - بنابراین نتیجه فقط مشخص است. «عدد خالی»، یعنی یک عدد؛ یک درجه با توان منفی عدد صحیح - انگار "فرآیند معکوس" اتفاق افتاده است، یعنی عدد در خودش ضرب نشده، بلکه تقسیم شده است.

تصور درجه ای با توان غیرمنطقی بسیار دشوار است (همانطور که تصور یک فضای 4 بعدی دشوار است). این یک شیء صرفاً ریاضی است که ریاضیدانان برای گسترش مفهوم درجه به کل فضای اعداد ایجاد کردند.

به هر حال، در علم اغلب از درجه ای با توان مختلط استفاده می شود، یعنی توان حتی یک عدد واقعی نیست. اما در مدرسه ما به چنین مشکلاتی فکر نمی کنیم؛ شما این فرصت را خواهید داشت که این مفاهیم جدید را در موسسه درک کنید.

پس اگر یک توان غیر منطقی ببینیم چه کنیم؟ ما تمام تلاش خود را می کنیم تا از شر آن خلاص شویم! :)

مثلا:

خودتان تصمیم بگیرید:

پاسخ ها:

خلاصه بخش و فرمول های اساسی

درجهیک عبارت از فرم نامیده می شود: ، جایی که:

درجه با توان عدد صحیح

درجه ای که توان آن یک عدد طبیعی است (یعنی عدد صحیح و مثبت).

قدرت با توان منطقی

درجه که توان آن اعداد منفی و کسری است.

درجه با توان غیرمنطقی

درجه ای که توان آن یک کسر اعشاری یا ریشه نامتناهی است.

خواص درجات

ویژگی های درجه.

عدد منفی به زوجدرجه، - شماره مثبت.
عدد منفی به فرددرجه، - شماره منفی.
عدد مثبت به هر درجه ای عدد مثبت است.
صفر برابر هر توانی است.
هر عددی به توان صفر برابر است.

حالا شما کلمه را دارید ...

مقاله را چگونه دوست دارید؟ در زیر در نظرات بنویسید که آیا آن را دوست داشتید یا نه.

در مورد تجربه خود در استفاده از ویژگی های درجه به ما بگویید.

شاید شما سوالاتی داشته باشید. یا پیشنهادات

در نظرات بنویسید.

و در امتحانات موفق باشید!

خب موضوع تموم شد اگر این خطوط را می خوانید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، در این 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...

برای چی؟

برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه، برای ورود به دانشگاه با بودجه و مهمتر از همه، مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...

افرادی که تحصیلات خوبی دریافت کرده اند بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

اما این موضوع اصلی نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری پیش روی آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟

با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.

در طول امتحان از شما تئوری خواسته نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.

و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.

مانند ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.

مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل ها، تجزیه و تحلیل دقیقو تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید -
باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - خرید کتاب درسی - 899 RUR

بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.

دسترسی به تمام کارهای پنهان برای کل عمر سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.

"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!

جدول توان ها شامل مقادیر اعداد طبیعی مثبت از 1 تا 10 است.

مدخل 3 5 "سه تا توان پنجم" را خوانده است. در این نماد، عدد 3 را پایه توان، عدد 5 را توان و به عبارت 3 5 توان نامیده می شود.

برای دانلود جدول درجات بر روی تصویر بند انگشتی کلیک کنید.

ماشین حساب مدرک

ما از شما دعوت می‌کنیم که ماشین‌حساب قدرت ما را امتحان کنید، که به شما کمک می‌کند تا هر عددی را به صورت آنلاین به یک قدرت برسانید.

استفاده از ماشین حساب بسیار ساده است - عددی را که می خواهید به توان افزایش دهید، سپس عدد - قدرت را وارد کنید و روی دکمه "محاسبه" کلیک کنید.

قابل توجه است که ماشین حساب آنلاین درجه ما می تواند قدرت های مثبت و منفی را افزایش دهد. و برای استخراج ریشه یک ماشین حساب دیگر در سایت وجود دارد.

چگونه یک عدد را به توان برسانیم.

بیایید با یک مثال به روند افزایش قدرت نگاه کنیم. فرض کنید باید عدد 5 را به توان 3 برسانیم. در زبان ریاضیات، 5 پایه و 3 توان (یا به سادگی توان) است. و این را می توان به طور خلاصه به صورت زیر نوشت:

توانمندی

و برای یافتن مقدار، باید عدد 5 را در خودش 3 برابر ضرب کنیم، یعنی.

5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

بر این اساس، اگر بخواهیم مقدار عدد 7 را تا توان 5 پیدا کنیم، باید عدد 7 را در خودش 5 برابر کنیم، یعنی 7 x 7 x 7 x 7 x 7. مورد دیگر زمانی است که باید عدد را افزایش دهید. به یک قدرت منفی

چگونه به یک قدرت منفی برسیم

هنگام افزایش قدرت منفی، باید از یک قانون ساده استفاده کنید:

چگونه به قدرت منفی برسیم

همه چیز بسیار ساده است - وقتی به توان منفی ارتقاء می‌دهیم، باید یکی را بر پایه به توان بدون علامت منفی تقسیم کنیم - یعنی به توان مثبت. بنابراین برای پیدا کردن ارزش

جدول توان اعداد طبیعی از 1 تا 25 در جبر

هنگام حل تمرین های مختلف ریاضی، اغلب باید یک عدد را به توان برسانید، عمدتاً از 1 به 10. و برای اینکه سریعاً این مقادیر را پیدا کنید، جدولی از قدرت ها در جبر ایجاد کرده ایم که در این صفحه منتشر خواهم کرد.

ابتدا به اعداد 1 تا 6 نگاه می کنیم. نتایج در اینجا خیلی بزرگ نیستند، می توانید همه آنها را در یک ماشین حساب معمولی بررسی کنید.

1 و 2 به توان 1 تا 10

جدول درجات

میز برق ابزاری ضروری برای زمانی است که باید یک عدد طبیعی را در عرض 10 به توانی بیشتر از دو برسانید. کافی است جدول را باز کنید و عدد مقابل پایه مورد نظر درجه و در ستون با درجه مورد نیاز را پیدا کنید - پاسخ مثال خواهد بود. علاوه بر جدول مناسب، در پایین صفحه نمونه هایی از افزایش اعداد طبیعی تا توان 10 وجود دارد. با انتخاب ستون مورد نیاز با توان های تعداد مورد نظر، می توانید به راحتی و به سادگی راه حل را پیدا کنید، زیرا تمام توان ها به ترتیب صعودی مرتب شده اند.

نکته مهم! جداول افزایش به توان صفر را نشان نمی دهند، زیرا هر عددی که به توان صفر افزایش یابد برابر با یک است: a 0 =1

جداول ضرب، مربع ها و توان ها

وقت آن است که کمی ریاضی انجام دهیم. آیا هنوز به یاد دارید که اگر دو در دو ضرب شود چقدر می شود؟

10 تا درجه 2 + 11 تا درجه 2 + 12 تا درجه 2 + 13 تا درجه 2 + 14 تا درجه دوم/365

سوالات دیگر از دسته

کمکم کن تصمیم بگیرم لطفا)

همچنین بخوانید

راه حل ها: 3x(به توان دوم)-48= 3(X به توان دوم)(x به توان دوم)-16)=(X-4)(X+4)

5) سه نقطه پنج. 6) نه امتیاز دویست و هفت هزارم. 2) عدد را به صورت کسری معمولی بنویسید: 1) 0.3. 2) 0.516. 3) 0.88. 4) 0.01. 5) 0.402. 5) 0.038. 6) 0.609. 7) 0.91.8) 0.5.9) 0.171.10) 0.815.11) 0.27.12) 0.081.13) 0.803

2 به منهای 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10 توان چند است؟

توان 2 به منهای 1 چند است؟

توان 2 به منهای 2 چند است؟

توان 2 به منهای 3 چند است؟

2 به منهای توان 4 چند است؟

2 به توان منهای 5 چقدر است؟

2 به منهای توان 6 چند است؟

2 به منهای توان 7 چند است؟

2 به توان منهای 8 چند است؟

2 به توان منهای 9 چند است؟

2 به توان منهای 10 چند است؟

توان منفی n^(-a) را می توان به شکل زیر 1/n^a بیان کرد.

2 به توان -1 = 1/2، اگر به صورت کسری اعشاری نشان داده شود، 0.5 است.

2 به توان - 2 = 1/4 یا 0.25.

2 به توان -3= 1/8 یا 0.125.

2 به توان -4 = 1/16 یا 0.0625.

2 به توان -5 = 1/32 یا 0.03125.

2 به توان - 6 = 1/64 یا 0.015625.

2 به توان - 7 = 1/128 یا 0.

2 به توان -8 = 1/256 یا 0.

2 به توان -9 = 1/512 یا 0.

2 به توان - 10 = 1/1024 یا 0.

محاسبات مشابه برای اعداد دیگر را می توان در اینجا یافت: 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9

توان منفی یک عدد در نگاه اول موضوعی دشوار در جبر است.

در واقع، همه چیز بسیار ساده است - ما محاسبات ریاضی را با عدد "2" با استفاده از فرمول جبری انجام می دهیم (به بالا مراجعه کنید)، جایی که به جای "a" عدد "2" را جایگزین می کنیم، و به جای "n" جایگزین می کنیم. قدرت عدد ماشین حساب به کاهش قابل توجه زمان در محاسبات کمک می کند.

متاسفانه ویرایشگر متن سایت اجازه استفاده از نمادهای ریاضی برای کسرها و توان های منفی را نمی دهد. بیایید خود را به اطلاعات حروف عددی بزرگ محدود کنیم.

اینها مراحل عددی ساده ای هستند که ما به آنها پایان دادیم.

توان منفی یک عدد به این معنی است که این عدد به تعداد دفعاتی که در توان نوشته شده در خودش ضرب می شود و سپس یک بر عدد حاصل تقسیم می شود. برای دو:

(-1) درجه 1/2=0.5 است.
(-2) درجه 1/(2 2)=0.25 است.
(-3) درجه 1/(2 2 2)=0.125 است.
(-4) درجه 1/(2 2 2 2) = 0.0625 است.
(-5) درجه 1/(2 2 2 2 2) = 0.03125 است.
(-6) درجه 1/(2 2 2 2 2 2) = 0.015625 است.
(-7) درجه 1/(2 2 2 2 2 2 2) = 0.078125 است.
(-8) درجه 1/(2 2 2 2 2 2 2 2) = 0،;
(-9) درجه 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2) = 0،;
(-10) توان 1/(2 2 2 2 2 2 2 2 2) = 0 است.

در اصل، ما به سادگی هر مقدار قبلی را بر 2 تقسیم می کنیم.

shkolnyie-zadachi.pp.ua

1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99

2) 99²: 81=(9*11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121

درجه دوم به این معنی است که رقم به دست آمده در طول محاسبات در خودش ضرب می شود.

زبان روسی: 15 عبارت با موضوع بهار

اوایل بهار، اواخر بهار، شاخ و برگ بهار، آفتاب بهاری، روز بهار، بهار آمده، پرندگان بهار، بهار سرد، علف بهاری، نسیم بهاری، باران بهاری، لباس بهاری، چکمه‌های بهاری، بهار قرمز است، سفر بهاری.

سوال: 5*4 به توان دوم -(33 به توان دوم: 11) به توان دوم: 81 پاسخ را با عمل بگویید.

5*4 به توان دوم -(33 به توان دوم: 11) به توان دوم: 81 پاسخ را با عمل بگویید

پاسخ ها:

5*4²-(33²: 11)²: 81= -41 1) 33²: 11=(3*11)²: 11=3² * 11²: 11=9*11=99 2) 99²: 81=(9* 11)²: 9²=9² * 11²: 9²=11²=121 3) 5*4²=5*16=80 4)= -41

5*4 (2) = 400 1) 5*4= 20 2) 20*20=:11(2)= 9 1) 33:11= 3 2) 3*3= 9 توان دوم یعنی عددی که معلوم شد که در طی محاسبات در خود ضرب می شود.

توان 10 به -2 چقدر است.

10 به توان -2 برابر است با 1/10 به توان 2، 10 را مربع می کنید و 1/100 می گیرید که برابر با 0.01 است.

10^-2 = 1/10 * 1/10 = 1/(10*10) = 1/100 = 0.01

=) تیره می گویید؟ ..هه (از «خورشید سپید صحرا»)

10 در -2 یعنی 1 تقسیم بر 10 در 2. یعنی 0.01

0.01 تحصیلات خود را تمام کردید!

10 تا توان 2 یعنی 100

10 تا توان 1 10

اگر درجه یک کاهش یابد، نتیجه در این مورد 10 برابر کاهش می یابد، بنابراین 10 به توان 0 خواهد شد 1 (10/10)

10 به توان -1 1/10 است

10 به توان -2 1/100 یا 0.01 است

من نفهمیدم چه درجه 2 یا -2. اگر 2 قبل از پاسخ 100 باشد، اگر -2 باشد 0.01

100، عجیب است که چگونه فکر می کنید 0.01 می شود.

این 0.01 است - من مسئول صحت هستم!! ! و این که برای شما 100 نوشته اند اگر 10 به توان 2 بود، پس حتی لازم نیست در آن شک کنید.

همه اینها ده به منهای توان دوم است

آیا همه چیز در عصر اینقدر سخت است؟

?	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

?	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

?	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400