قضیه ریشه های گویا چند جمله ای. اعداد گویا، تعریف، مثال

و غیره. ماهیت آموزشی عمومی دارد و برای مطالعه کل دوره ریاضیات عالی از اهمیت بالایی برخوردار است. امروز ما معادلات "مدرسه ای" را تکرار خواهیم کرد، اما نه فقط معادلات "مدرسه ای" - بلکه آنهایی که در همه جا در مسائل مختلف ویشمت یافت می شوند. طبق معمول، داستان به صورت کاربردی بیان می شود، یعنی. من بر روی تعاریف و طبقه بندی تمرکز نمی کنم، اما تجربه شخصی خود را از حل آن با شما در میان می گذارم. اطلاعات در درجه اول برای مبتدیان در نظر گرفته شده است، اما خوانندگان پیشرفته تر نیز نکات جالب بسیاری را برای خود پیدا خواهند کرد. و البته مطالب جدیدی وجود خواهد داشت که فراتر از دبیرستان است.

پس معادله…. خیلی ها این کلمه را با لرز به یاد می آورند. معادلات "پیچیده" با ریشه چه ارزشی دارند... آنها را فراموش کنید! زیرا در این صورت با بی ضررترین "نمایندگان" این گونه روبرو خواهید شد. یا معادلات مثلثاتی خسته کننده با ده ها روش حل. راستش من خودم خیلی دوستشون نداشتم... وحشت نکنید! - سپس بیشتر "قاصدک ها" با یک راه حل واضح در 1-2 مرحله در انتظار شما هستند. اگرچه "باباآدم" مطمئناً می چسبد، اما در اینجا باید عینی باشید.

به اندازه کافی عجیب، در ریاضیات عالی، برخورد با معادلات بسیار ابتدایی مانند خطیمعادلات

حل این معادله به چه معناست؟ این به معنای یافتن چنین مقداری از "x" (ریشه) است که آن را به یک برابری واقعی تبدیل می کند. بیایید "سه" را با تغییر علامت به سمت راست پرتاب کنیم:

و "دو" را به سمت راست رها کنید (یا همان چیز - هر دو طرف را در ضرب کنید) :

برای بررسی، بیایید تروفی برنده شده را با معادله اصلی جایگزین کنیم:

برابری صحیح به دست می آید، به این معنی که مقدار یافت شده در واقع ریشه این معادله است. یا همانطور که می گویند این معادله را برآورده می کند.

لطفاً توجه داشته باشید که ریشه را می توان به صورت کسری اعشاری نیز نوشت:
و سعی کنید به این سبک بد پایبند نباشید! من دلیل را بیش از یک بار تکرار کردم، به ویژه در همان درس اول جبر بالاتر.

به هر حال، معادله را می توان "به زبان عربی" نیز حل کرد:

و جالبتر اینکه این ضبط کاملا قانونی است! اما اگر معلم نیستید، پس بهتر است این کار را نکنید، زیرا اصالت در اینجا مجازات می شود =)

و اکنون کمی در مورد

روش حل گرافیکی

معادله شکل دارد و ریشه آن است مختصات "X". نقاط تقاطع نمودار تابع خطیبا نمودار یک تابع خطی (محور x):

به نظر می رسد که مثال آنقدر ابتدایی است که در اینجا چیز دیگری برای تجزیه و تحلیل وجود ندارد، اما می توان یک تفاوت غیرمنتظره دیگر را از آن "فشرده" کرد: بیایید همان معادله را در شکل ارائه کنیم و نمودارهای توابع را بسازیم:

که در آن، لطفا این دو مفهوم را با هم اشتباه نگیرید: یک معادله یک معادله است و تابع- این یک تابع است! کارکرد فقط کمکریشه های معادله را پیدا کنید که ممکن است دو، سه، چهار یا حتی بی نهایت زیاد باشد. نزدیکترین مثال در این معنا همان معروف است معادله درجه دوم، الگوریتم راه حلی که برای آن پاراگراف جداگانه ای دریافت کرد فرمول های مدرسه "گرم".. و این تصادفی نیست! اگر می توانید یک معادله درجه دوم را حل کنید و بدانید قضیه فیثاغورسپس شاید بتوان گفت: "نیمی از ریاضیات بالاتر از قبل در جیب شماست" =) البته اغراق آمیز، اما نه چندان دور از واقعیت!

بنابراین، بیایید تنبل نباشیم و معادله درجه دوم را با استفاده از آن حل کنیم الگوریتم استاندارد:

، یعنی معادله دو متفاوت دارد معتبرریشه:

به راحتی می توان تأیید کرد که هر دو مقدار یافت شده در واقع این معادله را برآورده می کنند:

اگر به طور ناگهانی الگوریتم حل را فراموش کردید و هیچ وسیله یا دست کمکی در دسترس نیست، چه باید کرد؟ این وضعیت ممکن است، برای مثال، در طول یک آزمون یا امتحان ایجاد شود. ما از روش گرافیکی استفاده می کنیم! و دو راه وجود دارد: شما می توانید نقطه به نقطه بسازیدسهمی ، به این ترتیب متوجه می شود که کجا محور را قطع می کند (اگر اصلاً عبور کند). اما بهتر است کاری حیله گرتر انجام دهید: معادله را به شکل تصور کنید، نمودارهایی از توابع ساده تر بکشید - و مختصات "X".نقاط تقاطع آنها به وضوح قابل مشاهده است!


اگر معلوم شد که خط مستقیم سهمی را لمس می کند، آنگاه معادله دارای دو ریشه منطبق (چندین) است. اگر معلوم شد که خط مستقیم سهمی را قطع نمی کند، پس هیچ ریشه واقعی وجود ندارد.

برای این کار البته باید بتوانید بسازید نمودارهای توابع ابتدایی، اما از طرف دیگر حتی یک دانش آموز هم می تواند این مهارت ها را انجام دهد.

و دوباره - یک معادله یک معادله است، و توابع، توابعی هستند که فقط کمک کردمعادله را حل کن!

و در اینجا، اتفاقا، مناسب است یک چیز دیگر را به خاطر بسپاریم: اگر تمام ضرایب یک معادله در یک عدد غیر صفر ضرب شوند، ریشه آن تغییر نمی کند..

بنابراین، برای مثال، معادله همین ریشه ها را دارد به عنوان یک "اثبات" ساده، ثابت را از پرانتز خارج می کنم:
و بدون درد آن را حذف خواهم کرد (هر دو قسمت را بر «منهای دو» تقسیم می کنم):

ولی!اگر تابع را در نظر بگیریم، در اینجا نمی توانیم از ثابت خلاص شویم! فقط خارج کردن ضریب از داخل پرانتز مجاز است: .

بسیاری از مردم روش حل گرافیکی را دست کم می گیرند و آن را چیزی "بی وقار" می دانند و برخی حتی این امکان را کاملاً فراموش می کنند. و این اساساً اشتباه است، زیرا ترسیم نمودارها گاهی اوقات فقط وضعیت را نجات می دهد!

مثال دیگر: فرض کنید ریشه های ساده ترین معادله مثلثاتی را به خاطر نمی آورید: . فرمول کلی در کتاب های درسی مدرسه، در تمام کتاب های مرجع ریاضی ابتدایی وجود دارد، اما در دسترس شما نیست. با این حال، حل معادله حیاتی است (معروف به "دو"). یک خروجی وجود دارد! - ساخت نمودار توابع:


پس از آن ما با آرامش مختصات "X" نقاط تقاطع آنها را می نویسیم:

ریشه های بی نهایت زیادی وجود دارد و در جبر نماد فشرده آنها پذیرفته می شود:
، جایی که ( – مجموعه ای از اعداد صحیح) .

و بدون "رفتن" چند کلمه در مورد روش گرافیکی برای حل نابرابری ها با یک متغیر. اصل همین است. بنابراین، برای مثال، راه حل نابرابری هر "x" است، زیرا سینوسی تقریباً به طور کامل زیر خط مستقیم قرار دارد. راه حل نابرابری مجموعه فواصلی است که در آن قطعات سینوسی دقیقاً بالای خط مستقیم قرار دارند. (محور x):

یا به طور خلاصه:

اما در اینجا راه حل های بسیاری برای نابرابری وجود دارد: خالی، زیرا هیچ نقطه ای از سینوسی بالای خط مستقیم قرار ندارد.

چیزی هست که نفهمید؟ دروس در مورد مجموعه هاو نمودارهای تابع!

بیایید خود را گرم کنیم:

تمرین 1

معادلات مثلثاتی زیر را به صورت گرافیکی حل کنید:

پاسخ در پایان درس

همانطور که می بینید برای مطالعه علوم دقیق اصلاً نیازی به جمع کردن فرمول ها و کتاب های مرجع نیست! علاوه بر این، این یک رویکرد اساساً ناقص است.

همانطور که قبلاً در همان ابتدای درس به شما اطمینان دادم، معادلات مثلثاتی پیچیده در یک دوره استاندارد ریاضیات عالی به ندرت باید حل شوند. همه پیچیدگی ها معمولاً با معادلاتی مانند ختم می شود که راه حل آن دو گروه ریشه است که از ساده ترین معادلات و . در مورد حل دومی زیاد نگران نباشید - در یک کتاب جستجو کنید یا آن را در اینترنت پیدا کنید =)

روش حل گرافیکی نیز می تواند در موارد کمتر بی اهمیت کمک کند. برای مثال، معادله ی زیر را در نظر بگیرید:

چشم انداز حل آن به نظر می رسد ... اصلاً شبیه چیزی نیست، اما فقط باید معادله را به شکل تصور کنید، بسازید نمودارهای تابعو همه چیز فوق العاده ساده خواهد بود. یک نقاشی در وسط مقاله در مورد وجود دارد توابع بی نهایت کوچک (در تب بعدی باز می شود).

با استفاده از همان روش گرافیکی، می توانید متوجه شوید که معادله قبلاً دو ریشه دارد و یکی از آنها برابر با صفر است و دیگری ظاهراً غیر منطقیو متعلق به بخش است. این ریشه را می توان تقریباً محاسبه کرد، برای مثال، روش مماس. به هر حال، در برخی از مشکلات، این اتفاق می افتد که شما نیازی به یافتن ریشه ها ندارید، بلکه متوجه می شوید آیا آنها اصلا وجود دارند؟. و در اینجا نیز یک نقاشی می تواند کمک کند - اگر نمودارها قطع نشوند، ریشه ای وجود ندارد.

ریشه های گویا چند جمله ای ها با ضرایب صحیح.
طرح هورنر

و اکنون از شما دعوت می کنم که نگاه خود را به قرون وسطی معطوف کنید و فضای بی نظیر جبر کلاسیک را احساس کنید. برای درک بهتر مطالب توصیه می کنم حداقل کمی مطالعه کنید اعداد مختلط.

آنها بهترین هستند. چند جمله ای ها.

موضوع مورد علاقه ما رایج ترین چند جمله ای های فرم با خواهد بود کلضرایب یک عدد طبیعی نامیده می شود درجه چند جمله ای، عدد – ضریب بالاترین درجه (یا فقط بالاترین ضریب)، و ضریب آن است عضو رایگان.

من به طور خلاصه این چند جمله ای را با .

ریشه های یک چند جمله ایریشه های معادله را صدا بزنید

من عاشق منطق آهن هستم =)

برای مثال، به ابتدای مقاله بروید:

هیچ مشکلی برای یافتن ریشه های چندجمله ای های درجه 1 و 2 وجود ندارد، اما هرچه افزایش می دهید این کار دشوارتر و دشوارتر می شود. اگرچه از طرفی همه چیز جالب تر است! و این دقیقاً همان چیزی است که قسمت دوم درس به آن اختصاص خواهد یافت.

اول، به معنای واقعی کلمه، نیمی از صفحه تئوری:

1) با توجه به نتیجه قضیه اساسی جبر، چند جمله ای درجه دقیقاً دارد مجتمعریشه ها برخی از ریشه ها (یا حتی همه) ممکن است خاص باشند معتبر. علاوه بر این، در بین ریشه های واقعی ممکن است ریشه های یکسان (چندین) وجود داشته باشد (حداقل دو تا حداکثر).

اگر تعدادی از اعداد مختلط ریشه یک چند جمله ای باشد، پس مزدوجتعداد آن نیز لزوماً ریشه این چند جمله ای است (ریشه های مرکب مزدوج شکل دارند).

ساده ترین مثال یک معادله درجه دوم است که برای اولین بار در 8 با آن مواجه شدیم (پسندیدن)کلاس، و در نهایت در موضوع "تمام" کردیم اعداد مختلط. اجازه دهید یادآوری کنم: یک معادله درجه دوم یا دارای دو ریشه واقعی متفاوت است یا ریشه های متعدد یا ریشه های پیچیده مزدوج.

2) از قضیه بزوتنتیجه این است که اگر یک عدد ریشه یک معادله باشد، می توان چند جمله ای مربوطه را فاکتور گرفت:
، جایی که یک چند جمله ای درجه است.

و دوباره، مثال قدیمی ما: از آنجا که ریشه معادله است، پس . پس از آن دستیابی به گسترش معروف "مدرسه" دشوار نیست.

نتیجه قضیه بزوت ارزش عملی زیادی دارد: اگر ریشه یک معادله درجه 3 را بدانیم، می توانیم آن را به شکل نمایش دهیم. و از معادله درجه دوم به راحتی می توان ریشه های باقی مانده را پیدا کرد. اگر ریشه یک معادله درجه 4 را بدانیم، می توان سمت چپ را به یک محصول و غیره گسترش داد.

و در اینجا دو سوال وجود دارد:

سوال یک. چگونه این ریشه را پیدا کنیم؟ اول از همه، بیایید ماهیت آن را تعریف کنیم: در بسیاری از مسائل ریاضیات عالی باید پیدا کرد گویا، به خصوص کلریشه های چند جمله ای ها، و در این راستا، در ادامه به طور عمده به آنها علاقه مند خواهیم شد. ... آنقدر خوب هستند، آنقدر کرکی، که فقط می خواهید آنها را پیدا کنید! =)

اولین چیزی که به ذهن می رسد روش انتخاب است. به عنوان مثال، معادله را در نظر بگیرید. نکته اینجا در عبارت آزاد است - اگر برابر با صفر بود، همه چیز خوب بود - "x" را از پرانتز خارج می کنیم و خود ریشه ها به سطح می افتند:

اما عبارت آزاد ما برابر با "سه" است و بنابراین ما شروع به جایگزینی اعداد مختلف در معادله ای می کنیم که ادعا می کنند "ریشه" هستند. اول از همه، جایگزینی مقادیر منفرد خود را نشان می دهد. بیایید جایگزین کنیم:

اخذ شده غلطبرابری، بنابراین، واحد «مناسب نبود». خوب، بیایید جایگزین کنیم:

اخذ شده درست است، واقعیبرابری! یعنی مقدار ریشه این معادله است.

برای یافتن ریشه های چند جمله ای درجه 3، یک روش تحلیلی وجود دارد (به اصطلاح فرمول های کاردانو)، اما اکنون ما به یک کار کمی متفاوت علاقه مند هستیم.

از آنجایی که - ریشه چند جمله ای ما است، چند جمله ای را می توان به شکل نشان داد و به وجود می آید سوال دوم: چگونه یک "برادر کوچکتر" پیدا کنیم؟

ساده ترین ملاحظات جبری نشان می دهد که برای انجام این کار باید تقسیم بر . چگونه یک چند جمله ای را بر چند جمله ای تقسیم کنیم؟ همان روش مدرسه ای که اعداد معمولی را تقسیم می کند - "ستون"! در اولین مثال های درس به تفصیل درباره این روش بحث کردم. محدودیت های پیچیده، و اکنون به روش دیگری می پردازیم که نام دارد طرح هورنر.

ابتدا "بالاترین" چند جمله ای را می نویسیم با همه از جمله ضرایب صفر:
، پس از آن این ضرایب را (به ترتیب دقیق) در ردیف بالای جدول وارد می کنیم:

ریشه را در سمت چپ می نویسیم:

من بلافاصله رزرو می کنم که اگر شماره "قرمز" باشد، طرح هورنر نیز کار می کند نهریشه چند جمله ای است. با این حال، بیایید در کارها عجله نکنیم.

ضریب پیشرو را از بالا حذف می کنیم:

فرآیند پر کردن سلول های پایین تا حدودی یادآور گلدوزی است، جایی که "منهای یک" نوعی "سوزن" است که در مراحل بعدی نفوذ می کند. عدد "carried down" را در (-1) ضرب می کنیم و عدد سلول بالایی را به محصول اضافه می کنیم:

مقدار پیدا شده را در "سوزن قرمز" ضرب می کنیم و ضریب معادله زیر را به محصول اضافه می کنیم:

و در نهایت، مقدار حاصل دوباره با "سوزن" و ضریب بالایی "پردازش" می شود:

صفر در آخرین خانه به ما می گوید که چند جمله ای به تقسیم می شود بدون هیچ ردی (همانطور که باید باشد)، در حالی که ضرایب بسط مستقیماً از خط پایین جدول حذف می شوند:

بنابراین، ما از معادله به معادله معادل حرکت کردیم و همه چیز با دو ریشه باقیمانده روشن است. (در این صورت ما ریشه های پیچیده مزدوج می گیریم).

به هر حال، معادله را می توان به صورت گرافیکی نیز حل کرد: نمودار "رعد و برق" و ببینید که نمودار از محور x عبور می کند () در نقطه . یا همان ترفند "حیله گر" - ما معادله را به شکل بازنویسی می کنیم، نمودارهای ابتدایی را ترسیم می کنیم و مختصات "X" نقطه تقاطع آنها را تشخیص می دهیم.

به هر حال، نمودار هر تابع-چند جمله ای درجه 3 حداقل یک بار محور را قطع می کند، یعنی معادله مربوطه حداقلیکی معتبرریشه این واقعیت برای هر تابع چند جمله ای با درجه فرد صادق است.

و در اینجا من نیز می خواهم در این مورد صحبت کنم نکته مهمکه به اصطلاحات مربوط می شود: چند جمله ایو تابع چندجمله ای – این یک چیز نیست! اما در عمل اغلب در مورد "نمودار چند جمله ای" صحبت می کنند که البته سهل انگاری است.

با این حال، اجازه دهید به طرح هورنر برگردیم. همانطور که اخیراً اشاره کردم، این طرح برای اعداد دیگر کار می کند، اما اگر عدد نهریشه معادله است، سپس یک جمع غیر صفر (باقیمانده) در فرمول ما ظاهر می شود:

بیایید مقدار "ناموفق" را طبق طرح هورنر "اجرا کنیم". در این مورد، استفاده از همان جدول راحت است - یک "سوزن" جدید در سمت چپ بنویسید، ضریب پیشرو را از بالا حرکت دهید. (فلش سبز سمت چپ)، و ما می رویم:

برای بررسی، بیایید پرانتزها را باز کنیم و اصطلاحات مشابه را ارائه کنیم:
، خوب.

به راحتی می توان فهمید که باقیمانده ("شش") دقیقاً مقدار چند جمله ای در . و در واقع - چگونه است:
و حتی زیباتر - مانند این:

از محاسبات بالا به راحتی می توان فهمید که طرح هورنر نه تنها امکان فاکتور چند جمله ای را فراهم می کند، بلکه می تواند یک انتخاب "متمدن" از ریشه را نیز انجام دهد. من به شما پیشنهاد می کنم الگوریتم محاسبه را خودتان با یک کار کوچک تلفیق کنید:

وظیفه 2

با استفاده از طرح هورنر، ریشه صحیح معادله را بیابید و چند جمله ای مربوطه را فاکتور بگیرید.

به عبارت دیگر، در اینجا باید به ترتیب اعداد 1، -1، 2، -2، ... را بررسی کنید تا زمانی که یک باقیمانده صفر در آخرین ستون "کشیده شود". این بدان معنی است که "سوزن" این خط ریشه چند جمله ای است

مرتب کردن محاسبات در یک جدول راحت است. راه حل تفصیلی و پاسخ در پایان درس.

روش انتخاب ریشه برای موارد نسبتاً ساده خوب است، اما اگر ضرایب و/یا درجه چندجمله‌ای بزرگ باشد، ممکن است این فرآیند زمان زیادی ببرد. یا شاید مقادیری از همان لیست 1، -1، 2، -2 وجود دارد و فایده ای برای در نظر گرفتن ندارد؟ و علاوه بر این، ریشه ها ممکن است کسری باشند، که منجر به یک ضربه زدن کاملا غیر علمی می شود.

خوشبختانه، دو قضیه قدرتمند وجود دارد که می تواند به طور قابل توجهی جستجو برای مقادیر "نامزد" برای ریشه های عقلانی را کاهش دهد:

قضیه 1در نظر بگیریم غیر قابل کاهشکسری که در آن . اگر عدد ریشه معادله باشد، عبارت آزاد بر تقسیم و ضریب پیشرو بر آن تقسیم می شود.

به خصوص، اگر ضریب پیشرو باشد، این ریشه گویا یک عدد صحیح است:

و ما شروع به بهره برداری از قضیه فقط با این جزئیات خوشمزه می کنیم:

به معادله برگردیم. از آنجایی که ضریب پیشرو آن است، پس ریشه های عقلی فرضی می توانند منحصراً عدد صحیح باشند و عبارت آزاد لزوماً باید بدون باقیمانده به این ریشه ها تقسیم شود. و "سه" را فقط می توان به 1، -1، 3 و -3 تقسیم کرد. یعنی ما فقط 4 "نامزد اصلی" داریم. و با توجه به قضیه 1، دیگر اعداد گویا نمی توانند ریشه های این معادله در اصل باشند.

در معادله کمی "مقابله" بیشتر وجود دارد: عبارت آزاد به 1، -1، 2، - 2، 4 و -4 تقسیم می شود.

لطفاً توجه داشته باشید که اعداد 1، -1 "عادی" لیست ریشه های احتمالی هستند (پیامد آشکار قضیه)و بهترین انتخاب برای تست اولویت.

بیایید به مثال های معنادارتر برویم:

مشکل 3

راه حل: از آنجایی که ضریب پیشرو است، پس ریشه های عقلی فرضی فقط می توانند عدد صحیح باشند و لزوما باید مقسوم علیه جمله آزاد باشند. "منهای چهل" به جفت اعداد زیر تقسیم می شود:
- در مجموع 16 "کاندیدا".

و در اینجا بلافاصله یک فکر وسوسه انگیز ظاهر می شود: آیا می توان تمام ریشه های منفی یا مثبت را از بین برد؟ در برخی موارد ممکن است! من دو نشانه را بیان می کنم:

1) اگر همهاگر ضرایب چند جمله ای غیر منفی یا همه غیر مثبت باشد، نمی تواند ریشه مثبت داشته باشد. متأسفانه، این مورد ما نیست (اکنون، اگر معادله ای به ما داده شود - بله، هنگام جایگزینی هر مقدار چند جمله ای، مقدار چند جمله ای کاملاً مثبت است، به این معنی که همه اعداد مثبت (و غیر منطقی هم)نمی تواند ریشه های معادله باشد.

2) اگر ضرایب برای توان های فرد غیر منفی و برای همه توان های زوج باشد. (از جمله عضو رایگان)منفی هستند، پس چند جمله ای نمی تواند ریشه منفی داشته باشد. یا "آینه": ضرایب برای توان های فرد غیر مثبت و برای همه توان های زوج مثبت است.

این مورد ماست! با نگاهی دقیق تر، می بینید که هنگام جایگزین کردن هر "X" منفی در معادله، سمت چپ به شدت منفی خواهد بود، به این معنی که ریشه های منفی ناپدید می شوند.

بنابراین، 8 عدد برای تحقیق باقی مانده است:

ما آنها را به طور متوالی طبق طرح هورنر "شارژ" می کنیم. امیدوارم قبلاً به محاسبات ذهنی تسلط داشته باشید:

هنگام آزمایش "دو" شانس در انتظار ما بود. بنابراین، ریشه معادله مورد بررسی است، و

باقی مانده است که معادله را مطالعه کنیم . انجام این کار از طریق تفکیک کننده آسان است، اما من با استفاده از همان طرح، یک آزمایش شاخص انجام خواهم داد. ابتدا توجه داشته باشید که عبارت آزاد برابر با 20 است که به این معنی است قضیه 1اعداد 8 و 40 از لیست ریشه های احتمالی خارج می شوند و مقادیر را برای تحقیق باقی می گذارند (یکی طبق طرح هورنر حذف شد).

ضرایب سه جمله ای را در ردیف بالای جدول جدید می نویسیم و ما با همان "دو" شروع به بررسی می کنیم. چرا؟ و چون ریشه ها می توانند مضرب باشند، لطفاً: - این معادله دارای 10 ریشه یکسان است. اما بیایید حواسمان پرت نشود:

و در اینجا البته کمی دروغ گفتم، چون می دانستم ریشه ها عقلانی است. از این گذشته، اگر آنها غیرمنطقی یا پیچیده بودند، با بررسی ناموفق تمام اعداد باقی مانده مواجه می شدم. بنابراین، در عمل، توسط ممیز هدایت شوید.

پاسخ: ریشه های عقلی: 2، 4، 5

در مشکلی که ما تجزیه و تحلیل کردیم، ما خوش شانس بودیم، زیرا: الف) مقادیر منفی بلافاصله سقوط کردند، و ب) ما خیلی سریع ریشه را پیدا کردیم (و از نظر تئوری می توانیم کل لیست را بررسی کنیم).

اما در واقعیت وضعیت بسیار بدتر است. شما را به تماشای یک بازی هیجان انگیز به نام آخرین قهرمان دعوت می کنم:

مشکل 4

ریشه های منطقی معادله را بیابید

راه حل: توسط قضیه 1شمارندگان ریشه های عقلی فرضی باید شرط را برآورده کنند (می خوانیم «دوازده بر ال تقسیم می شود»)و مخرج ها با شرط مطابقت دارند. بر این اساس، ما دو لیست دریافت می کنیم:

"list el":
و "لیست ام": (خوشبختانه اعداد اینجا طبیعی هستند).

حالا بیایید لیستی از تمام ریشه های ممکن تهیه کنیم. ابتدا لیست el را بر تقسیم می کنیم. کاملاً مشخص است که همان اعداد به دست خواهد آمد. برای راحتی، آنها را در جدول قرار می دهیم:

بسیاری از کسری ها کاهش یافته اند و در نتیجه مقادیری به دست آمده اند که قبلاً در "لیست قهرمان" هستند. ما فقط "تازه کارها" را اضافه می کنیم:

به طور مشابه، ما همان "فهرست" را بر اساس تقسیم می کنیم:

و در نهایت در

بنابراین، تیم شرکت کنندگان در بازی ما تکمیل می شود:


متأسفانه، چند جمله‌ای در این مسئله، معیار «مثبت» یا «منفی» را برآورده نمی‌کند و بنابراین نمی‌توانیم ردیف بالا یا پایین را کنار بگذاریم. شما باید با تمام اعداد کار کنید.

چه احساسی دارید؟ بیا، سرت را بلند کن - قضیه دیگری وجود دارد که به طور مجازی می توان آن را "قضیه قاتل" نامید... ... "نامزدها"، البته =)

اما ابتدا باید نمودار هورنر را برای حداقل یک مورد پیمایش کنید تمامشماره. به طور سنتی، بیایید یکی را بگیریم. در خط بالا ضرایب چند جمله ای را می نویسیم و همه چیز طبق معمول است:

از آنجایی که چهار به وضوح صفر نیست، مقدار ریشه چند جمله ای مورد نظر نیست. اما او به ما کمک زیادی خواهد کرد.

قضیه 2اگر برای برخی به طور کلیمقدار چند جمله ای غیر صفر است: و سپس ریشه های گویا آن (اگر آنها هستند)شرط را ارضا کند

در مورد ما و بنابراین همه ریشه های ممکن باید شرایط را برآورده کنند (بیایید آن را شرط شماره 1 بنامیم). این چهار نفر «قاتل» بسیاری از «نامزدها» خواهند بود. به عنوان نمونه، من به چند چک نگاه می کنم:

بیایید "نامزد" را بررسی کنیم. برای انجام این کار، اجازه دهید به طور مصنوعی آن را به شکل کسری نشان دهیم، که از آن به وضوح مشاهده می شود که . بیایید تفاوت آزمون را محاسبه کنیم: . چهار بر «منهای دو» تقسیم می‌شود: به این معنی که ریشه ممکن آزمون را پس داده است.

بیایید مقدار را بررسی کنیم. تفاوت تست اینجاست: . البته، و بنابراین "موضوع" دوم نیز در لیست باقی می ماند.

این چند جمله ای دارای ضرایب صحیح است. اگر یک عدد صحیح ریشه این چند جمله ای باشد، پس مقسوم علیه عدد 16 است. ± 2; ± 4; ± 8; ± 16. با تأیید مستقیم، ما متقاعد شدیم که عدد 2 ریشه این چند جمله ای است، یعنی x 3 – 5x 2 – 2x + 16 = (x – 2)Q (x)، که در آن Q (x) چند جمله ای است درجه دوم در نتیجه، چند جمله ای به عواملی تجزیه می شود که یکی از آنها (x – 2) است. برای یافتن نوع چند جمله ای Q (x) از طرح هورنر استفاده می کنیم. مزیت اصلی این روش فشرده بودن علامت گذاری و توانایی تقسیم سریع یک چند جمله ای به یک دو جمله ای است. در واقع، طرح هورنر شکل دیگری از ثبت روش گروه بندی است، اگرچه برخلاف دومی، کاملاً غیر تصویری است. پاسخ (فاکتورسازی) در اینجا به خودی خود به دست می آید و روند به دست آوردن آن را نمی بینیم. ما درگیر اثبات دقیق طرح هورنر نخواهیم شد، بلکه فقط نحوه کارکرد آن را نشان خواهیم داد.

شماره سلول بالای آن به سلول دوم خط پایین منتقل می شود، یعنی 1. سپس آنها این کار را انجام می دهند. ریشه معادله (شماره 2) در آخرین عدد نوشته شده (1) ضرب می شود و نتیجه با عددی که در ردیف بالایی بالای خانه آزاد بعدی است جمع می شود، در مثال ما داریم:

عدد گنگ- این عدد واقعی، که منطقی نیست، یعنی نمی توان آن را به صورت کسری نشان داد، جایی که اعداد صحیح هستند، . یک عدد غیر منطقی را می توان به صورت یک کسر اعشاری غیر تناوبی نامتناهی نشان داد.

مجموعه اعداد غیر منطقی معمولاً با حروف بزرگ لاتین و بدون سایه نشان داده می شود. بدین ترتیب: یعنی اعداد غیر منطقی زیادی وجود دارد تفاوت بین مجموعه اعداد حقیقی و گویا

در مورد وجود اعداد غیر منطقی، دقیق تر قطعات غیرقابل قیاس با یک قطعه واحد طول قبلاً برای ریاضیدانان باستان شناخته شده بود: آنها به عنوان مثال، قیاس ناپذیری مورب و ضلع مربع را می دانستند که معادل غیرمنطقی بودن عدد است.

خواص

• هر عدد حقیقی را می توان به صورت کسر اعشاری نامتناهی نوشت، در حالی که اعداد غیرمنطقی و فقط آنها به صورت کسرهای اعشاری نامتناهی غیر تناوبی نوشته می شوند.
• اعداد غیر منطقی برش های ددکیند را در مجموعه اعداد گویا تعریف می کنند که در طبقه پایین بزرگترین عدد و در طبقه بالا کوچکترین عدد ندارند.
• هر عدد ماورایی واقعی غیرمنطقی است.
• هر عدد غیر منطقی یا جبری است یا ماورایی.
• مجموعه اعداد غیر منطقی در همه جای خط اعداد متراکم است: بین هر دو عدد یک عدد غیر منطقی وجود دارد.
• ترتیب مجموعه اعداد غیرمنطقی با ترتیب مجموعه اعداد متعالی واقعی هم شکل است.
• مجموعه اعداد غیرمنطقی غیرقابل شمارش است و مجموعه ای از دسته دوم است.

مثال ها

غیر منطقی هستند:

مصادیق اثبات بی منطقی

ریشه 2

اجازه دهید برعکس را فرض کنیم: گویا است، یعنی به شکل کسری تقلیل ناپذیر نشان داده می شود، جایی که یک عدد صحیح و یک عدد طبیعی است. بیایید برابری فرضی را مجذوب کنیم:

نتیجه می شود که زوج زوج است و . بگذارید جایی باشد که کل است. سپس

بنابراین حتی به معنای زوج و . ما متوجه شدیم که و هستند، که با تقلیل ناپذیری کسر تناقض دارد. این بدان معناست که فرض اولیه نادرست بوده و عددی غیر منطقی است.

لگاریتم باینری عدد 3

اجازه دهید برعکس را فرض کنیم: عقلانی است، یعنی به صورت کسری نشان داده می شود، جایی که و اعداد صحیح هستند. از آنجا که، و می تواند مثبت انتخاب شود. سپس

اما زوج و فرد. ما دچار تناقض می شویم.

ه

داستان

مفهوم اعداد غیر منطقی به طور ضمنی توسط ریاضیدانان هندی در قرن هفتم قبل از میلاد پذیرفته شد، زمانی که ماناوا (حدود 750 قبل از میلاد - حدود 690 قبل از میلاد) متوجه شد که ریشه های مربع برخی از اعداد طبیعی مانند 2 و 61 را نمی توان به طور صریح بیان کرد. .

اولین اثبات وجود اعداد غیر منطقی معمولاً به هیپاسوس متاپونتوس (حدود 500 سال قبل از میلاد) نسبت داده می شود، فیثاغورثی که با مطالعه طول اضلاع پنتاگرام به این دلیل دست یافت. در زمان فیثاغورثی ها، اعتقاد بر این بود که یک واحد طول وجود دارد، به اندازه کافی کوچک و غیرقابل تقسیم، که به تعداد صحیح بار وارد هر بخش می شود. با این حال، هیپاسوس استدلال کرد که هیچ واحد واحدی از طول وجود ندارد، زیرا فرض وجود آن منجر به تناقض می شود. او نشان داد که اگر هیپوتنوس مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین دارای عدد صحیحی از قطعات واحد باشد، این عدد باید هم زوج و هم فرد باشد. اثبات به این شکل بود:

• نسبت طول هیپوتنوس به طول ساق یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین را می توان به صورت بیان کرد. آ:ب، جایی که آو ببه عنوان کوچکترین ممکن انتخاب شده است.
• طبق قضیه فیثاغورث: آ² = 2 ب².
• زیرا آ- زوج، آباید زوج باشد (زیرا مربع یک عدد فرد فرد خواهد بود).
• از آنجا که آ:بغیر قابل کاهش بباید عجیب و غریب باشد
• زیرا آحتی، نشان می دهیم آ = 2y.
• سپس آ² = 4 y² = 2 ب².
• ب² = 2 y²، بنابراین ب- حتی پس بزوج.
• با این حال، ثابت شده است که بفرد. تناقض.

ریاضیدانان یونانی این نسبت را از مقادیر غیرقابل قیاس نامیدند الگوس(ناگفتنی)، اما طبق افسانه ها احترام لازم را برای هیپاسوس قائل نشدند. افسانه ای وجود دارد که هیپاسوس در سفر دریایی این کشف را انجام داد و دیگر فیثاغورثی ها او را به دریا انداختند «به دلیل ایجاد عنصری از جهان که این دکترین را رد می کند که همه موجودات در جهان را می توان به اعداد صحیح و نسبت آنها تقلیل داد.» کشف هیپاسوس یک مشکل جدی برای ریاضیات فیثاغورثی ایجاد کرد و این فرض اساسی را که اعداد و اجسام هندسی یکی و غیرقابل تفکیک هستند از بین برد.

همانطور که قبلاً اشاره کردیم، یکی از مهم ترین مشکلات در نظریه چندجمله ای ها، مسئله یافتن ریشه آنها است. برای حل این مشکل می توانید از روش انتخاب استفاده کنید. یک عدد به صورت تصادفی بگیرید و بررسی کنید که آیا ریشه یک چند جمله ای معین است یا خیر.

در این مورد، می توانید به سرعت به ریشه "برخورد" کنید، یا ممکن است هرگز آن را پیدا نکنید. از این گذشته ، بررسی همه اعداد غیرممکن است ، زیرا تعداد آنها بی نهایت است.

اگر می‌توانستیم منطقه جستجو را محدود کنیم، مثلاً بدانیم که ریشه‌هایی که به دنبال آن هستیم، مثلاً در بین سی عدد مشخص شده است، موضوع دیگری است. و برای سی عدد می توانید چک کنید. در ارتباط با تمام آنچه در بالا گفته شد، این جمله مهم و جالب به نظر می رسد.

اگر کسر تقلیل ناپذیر l/m (l,m اعداد صحیح هستند) ریشه یک چند جمله‌ای f (x) با ضرایب صحیح باشد، ضریب اصلی این چند جمله‌ای بر m و جمله آزاد بر 1 تقسیم می‌شود.

در واقع، اگر f (x) =anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0، an?0، جایی که an، an-1،...،a1، a0 اعداد صحیح هستند، آنگاه f (l/ m) =0، یعنی аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+... +a1l/m+a0=0.

بیایید هر دو طرف این برابری را در mn ضرب کنیم. ما anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0 را دریافت می کنیم.

این دلالت می کنه که:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

می بینیم که عدد صحیح anln بر m بخش پذیر است. اما l/m یک کسر غیر قابل تقلیل است، یعنی. اعداد l و m هم اول هستند و سپس همانطور که از تئوری بخش پذیری اعداد صحیح مشخص است، اعداد ln و m نیز اولی هستند. بنابراین، anln بر m بخش‌پذیر است و m نیز به ln، یعنی an بر m بخش‌پذیر است.

موضوع اثبات شده به ما اجازه می دهد تا به طور قابل توجهی منطقه جستجوی ریشه های گویا یک چند جمله ای را با ضرایب صحیح محدود کنیم. بیایید این را با یک مثال خاص نشان دهیم. بیایید ریشه های گویا چند جمله ای f (x) =6x4+13x2-24x2-8x+8 را پیدا کنیم. طبق قضیه، ریشه های گویا این چند جمله ای از کسرهای تقلیل ناپذیر شکل l/m هستند که l مقسوم علیه جمله آزاد a0=8 و m مقسوم علیه ضریب پیشرو a4=6 است. علاوه بر این، اگر کسری l/m منفی باشد، علامت "-" به شمارنده اختصاص داده می شود. به عنوان مثال، - (1/3) = (-1) /3. بنابراین می توان گفت l مقسوم علیه عدد 8 و m مقسوم علیه عدد 6 است.

از آنجایی که مقسوم علیه های عدد 8 ± 1، 2 ±، 4 ±، 8 ± و مقسوم علیه های مثبت عدد 6 1، 2، 3، 6 هستند، پس ریشه های گویا چند جمله ای مورد نظر جزو اعداد هستند. ± 1، 1/2 ±، 1/3 ±، 1/6 ±، 2±، 2/3 ±، 4 ±، 4/3 ±، 8 ±، 8/3 ±. به یاد بیاوریم که ما فقط کسرهای تقلیل ناپذیر را نوشتیم.

بنابراین، ما بیست عدد داریم - "نامزد" برای ریشه. تنها چیزی که باقی می ماند این است که هر یک از آنها را بررسی کنید و آنهایی را که واقعاً روت هستند انتخاب کنید. اما باز هم باید بررسی های زیادی انجام دهید. اما قضیه زیر این کار را ساده می کند.

اگر کسر تقلیل ناپذیر l/m ریشه یک چند جمله ای f (x) با ضرایب صحیح باشد، آنگاه f (k) برای هر عدد صحیح k بر l-km بخش پذیر است، مشروط بر اینکه l-km?0 باشد.

برای اثبات این قضیه، f (x) را با باقیمانده بر x-k تقسیم کنید. f می گیریم (ایکس) = (x-k) س (ایکس) +f (ک).از آنجایی که f (x) یک چند جمله ای با ضرایب صحیح است، پس چند جمله ای s (x) و f (k) یک عدد صحیح است. فرض کنید s (x) =bn-1+bn-2+…+b1x+b0. سپس f (x) - f (k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+ …+b1x+b0). اجازه دهید x=l/m را در این برابری قرار دهیم. با در نظر گرفتن اینکه f (l/m) = 0 به دست می آید

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

بیایید هر دو طرف آخرین تساوی را در mn ضرب کنیم:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

نتیجه می شود که عدد صحیح mnf (k) بر l-km بخش پذیر است. اما از آنجایی که l و m هم نخست هستند، پس mn و l-km نیز همزمان هستند، یعنی f (k) بر l-km بخش پذیر است. قضیه ثابت شده است.

اکنون به مثال خود بازگردیم و با استفاده از قضیه اثبات شده، دایره جستجوی ریشه های عقلی را بیشتر محدود خواهیم کرد. اجازه دهید این قضیه را برای k=1 و k=-1 اعمال کنیم، یعنی. اگر کسر تقلیل ناپذیر l/m ریشه چند جمله‌ای f (x)، f (1) / (l-m) و f (-1) / (l+m) باشد. ما به راحتی متوجه می شویم که در مورد ما f (1) = -5، و f (-1) = -15. توجه داشته باشید که در همان زمان ما 1± را از در نظر گرفتن حذف کردیم.

بنابراین، ریشه های گویا چند جمله ای ما را باید در بین اعداد 1/2 ±، 1/3 ±، 1/6 ±، 2 ±، 2/3 ±، 4 ±، 4/3 ±، 8 ±، 8 ± جستجو کرد. /3.

l/m=1/2 را در نظر بگیرید. سپس l-m=-1 و f (1) =-5 بر این عدد تقسیم می شود. علاوه بر این، l+m=3 و f (1) =-15 نیز بر 3 بخش پذیر است.

حالا بگذارید lm=- (1/2) = (-1) /2. در این حالت، l-m=-3 و f (1) =-5 بر - 3 بخش پذیر نیست. این بدان معناست که کسر - 1/2 نمی تواند ریشه این چند جمله ای باشد و آن را از بررسی بیشتر حذف می کنیم. بیایید هر یک از کسرهای نوشته شده در بالا را بررسی کنیم و دریابیم که ریشه های مورد نیاز در بین اعداد 1/2، 2/3 ±، 2، - 4 هستند.

بنابراین، با استفاده از یک تکنیک نسبتا ساده، ما به طور قابل توجهی منطقه جستجو برای ریشه های گویا چند جمله ای مورد بررسی را محدود کرده ایم. خوب، برای بررسی اعداد باقی مانده، از طرح هورنر استفاده می کنیم:

جدول 10

ما دریافتیم که باقیمانده هنگام تقسیم g (x) بر x-2/3 برابر است با - 80/9، یعنی 2/3 ریشه چند جمله‌ای g (x) نیست و بنابراین f (x) نیز نیست.

در مرحله بعد، به راحتی در می یابیم که - 2/3 ریشه چند جمله ای g (x) و g (x) = (3x+2) (x2+2x-4) است. سپس f (x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). تأیید بیشتر را می توان برای چند جمله ای x2+2x-4 انجام داد که البته ساده تر از g (x) یا حتی بیشتر از f (x) است. در نتیجه، متوجه می شویم که اعداد 2 و - 4 ریشه نیستند.

بنابراین، چند جمله ای f (x) =6x4+13x3-24x2-8x+8 دارای دو ریشه گویا است: 1/2 و - 2/3.

به یاد بیاورید که روشی که در بالا توضیح داده شد، یافتن ریشه های گویا یک چند جمله ای با ضرایب صحیح را ممکن می سازد. در همین حال، یک چند جمله ای می تواند ریشه های غیر منطقی نیز داشته باشد. بنابراین، برای مثال، چند جمله ای در نظر گرفته شده در مثال دو ریشه دیگر دارد: - 1±v5 (اینها ریشه های چند جمله ای x2+2x-4 هستند). و به طور کلی، یک چند جمله ای ممکن است اصلاً ریشه عقلانی نداشته باشد.

حالا بیایید نکاتی را بیان کنیم.

هنگام آزمایش "نامزدها" برای ریشه های چند جمله ای f (x) با استفاده از دومی از قضایای اثبات شده در بالا، دومی معمولاً برای موارد k=±1 استفاده می شود. به عبارت دیگر، اگر l/m یک ریشه «کاندیدا» است، بررسی کنید که آیا f (1) و f (-1) به ترتیب بر l-m و l+m بخش پذیر هستند یا خیر. اما ممکن است مثلاً f (1) = 0، یعنی 1 یک ریشه باشد و سپس f (1) بر هر عددی بخش پذیر باشد و چک ما بی معنی شود. در این مورد، شما باید f (x) را بر x-1 تقسیم کنید، یعنی. f(x) = (x-1)s(x) را بدست آورید و چند جمله ای s(x) را آزمایش کنید. در عین حال، نباید فراموش کنیم که قبلاً یک ریشه از چند جمله ای f (x) - x1=1 را پیدا کرده ایم. اگر هنگام بررسی «کاندیداها» برای ریشه‌های باقی‌مانده پس از استفاده از قضیه دوم در مورد ریشه‌های گویا، با استفاده از طرح هورنر متوجه شویم که برای مثال، l/m یک ریشه است، باید تعدد آن را پیدا کرد. اگر مساوی مثلاً k باشد، آنگاه f (x) = (x-l/m) ks (x) و آزمایش بیشتر برای s (x) انجام می شود که محاسبات را کاهش می دهد.

بنابراین، ما آموخته ایم که ریشه های گویا یک چند جمله ای با ضرایب صحیح را پیدا کنیم. معلوم می شود که با انجام این کار ما یاد گرفته ایم که ریشه های غیر منطقی یک چند جمله ای با ضرایب گویا را پیدا کنیم. در واقع، اگر مثلاً یک چند جمله‌ای f (x) =x4+2/3x3+5/6x2+3/8x+2 داشته باشیم، ضرایب را به یک مخرج مشترک بیاوریم و آن را خارج از پرانتز قرار دهیم. f (x) =1/24 (24x4+16x3-20x2+9x+48) را دریافت کنید. واضح است که ریشه های چند جمله ای f (x) با ریشه های چند جمله ای داخل پرانتز منطبق است و ضرایب آن اعداد صحیح هستند. برای مثال ثابت کنیم که sin100 یک عدد غیر منطقی است. بیایید از فرمول شناخته شده sin3?=3sin?-4sin3? استفاده کنیم. بنابراین sin300=3sin100-4sin3100. با توجه به اینکه sin300=0.5 و انجام تبدیل های ساده، 8sin3100-6sin100+1=0 به دست می آید. بنابراین sin100 ریشه چند جمله ای f (x) =8x3-6x+1 است. اگر به دنبال ریشه های عقلانی این چند جمله ای باشیم، متقاعد خواهیم شد که هیچ کدام وجود ندارد. این بدان معنی است که ریشه sin100 یک عدد گویا نیست، یعنی. sin100 یک عدد غیر منطقی است.

یک چند جمله ای در متغیر x عبارتی از شکل است: anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0 که n یک عدد طبیعی است. аn، an-1، . . . , a 1, a 0 - هر عددی را ضرایب این چند جمله ای می نامند. عبارات anxn، an-1 xn-1، . . . 1 x، a 0 اصطلاحات چند جمله ای نامیده می شوند و 0 عبارت آزاد است. an ضریب xn، an-1 ضریب xn-1 و غیره است. چند جمله ای که تمام ضرایب آن برابر با صفر باشد، صفر نامیده می شود. به عنوان مثال، چند جمله ای 0 x2+0 x+0 صفر است. از علامت گذاری یک چند جمله ای مشخص می شود که از چندین عضو تشکیل شده است. این جایی است که اصطلاح ‹‹چند جمله‌ای›› (اصطلاحات بسیاری) از اینجا آمده است. گاهی اوقات به چند جمله ای چند جمله ای می گویند. این اصطلاح از کلمات یونانی πόλι - بسیاری و νομχ - عضو گرفته شده است.

چند جمله ای در یک متغیر x نشان داده می شود: . f (x)، g (x)، h (x)، و غیره برای مثال، اگر اولین چند جمله‌ای فوق با f (x) نشان داده شود، می‌توانیم بنویسیم: f (x) =x 4+2 x 3 + (- 3) x 2+3/7 x+√ 2. 1. چند جمله ای h(x) را اگر f(x)، g را تقسیم کند، بزرگترین مقسوم علیه مشترک چندجمله ای های f(x) و g(x) نامیده می شود. (x) و هر یک از تقسیم کننده های مشترک آنها. 2. یک چند جمله‌ای f(x) با ضرایبی از میدان P درجه n، در صورتی که چند جمله‌ای h(x)، g(x) О P[x] درجه کمتر از n وجود داشته باشد، در میدان P قابل تقلیل است. که f(x) = h(x)g(x).

اگر چند جمله ای f (x) =anxn+an-1 xn-1+ وجود داشته باشد. . . +a 1 x+a 0 و an≠ 0، سپس عدد n را درجه چند جمله ای f (x) می نامند (یا می گویند: f (x) - درجه n ام) و هنر می نویسند. f(x)=n. در این حالت an ضریب پیشرو نامیده می شود و anxn عبارت اول این چند جمله ای است. برای مثال، اگر f (x) =5 x 4 -2 x+3، آنگاه هنر. f (x) = 4، ضریب پیشرو - 5، عبارت پیشرو - 5 x4. درجه یک چند جمله ای بزرگترین عدد غیر صفر ضرایب آن است. چند جمله ای های درجه صفر اعدادی غیر از صفر هستند. ، چند جمله ای صفر درجه ندارد. چند جمله ای f (x) =a، که در آن a عددی غیر صفر و دارای درجه 0 است. درجه هر چند جمله ای دیگر برابر است با بزرگترین توان متغیر x که ضریب آن برابر با صفر است.

تساوی چند جمله ای ها دو چند جمله ای f (x) و g (x) مساوی در نظر گرفته می شوند اگر ضرایب آنها برای توان های یکسان متغیر x و عبارات آزاد برابر باشند (ضرایب متناظر آنها برابر است). f (x) =g (x). به عنوان مثال، چند جمله‌ای f (x) =x 3+2 x 2 -3 x+1 و g(x) =2 x 23 x+1 برابر نیستند، اولین آنها دارای ضریب x3 برابر با 1 است. و دومی صفر دارد ( طبق قراردادهای پذیرفته شده می توانیم بنویسیم: g (x) =0 x 3+2 x 2 -3 x+1. در این حالت: f (x) ≠g (x). چند جمله ای ها برابر نیستند: h (x) =2 x 2 -3 x+5، s (x) =2 x 2+3 x+5، زیرا ضرایب آنها برای x متفاوت است.

اما چند جمله‌ای f 1 (x) =2 x 5+3 x 3+bx+3 و g 1 (x) =2 x 5+ax 3 -2 x+3 برابر هستند اگر و فقط اگر a = 3، a b = -2. چند جمله ای f (x) =anxn+an-1 xn-1+ داده شود. . . +a 1 x+a 0 و تعدادی عدد c. عدد f (c) =ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 مقدار چند جمله ای f (x) در x=c نامیده می شود. بنابراین، برای یافتن f (c)، باید c را به جای x در چند جمله ای جایگزین کنید و محاسبات لازم را انجام دهید. به عنوان مثال، اگر f (x) =2 x 3+3 x 2 -x+5، آنگاه f (-2) =2 (-2) 3+ (-2) 2 - (-2) +5=3. یک چند جمله ای می تواند مقادیر متفاوتی برای مقادیر مختلف متغیر x بگیرد. عدد c را ریشه چند جمله ای f (x) می گویند اگر f (c) =0.

اجازه دهید به تفاوت بین دو جمله توجه کنیم: "چند جمله ای f (x) برابر با صفر است (یا همان چیزی است که چند جمله ای f (x) صفر است)" و "مقدار چند جمله ای f (x) ) در x = c برابر با صفر است. به عنوان مثال، چند جمله ای f (x) =x 2 -1 برابر با صفر نیست، ضرایب غیر صفر دارد و مقدار آن در x=1 صفر است. f (x) ≠ 0 و f (1) = 0. بین مفاهیم برابری چندجمله ای ها و مقدار چندجمله ای رابطه تنگاتنگی وجود دارد. اگر دو چند جمله ای مساوی f (x) و g (x) داده شوند، ضرایب متناظر آنها برابر است، که به معنای f (c) = g (c) برای هر عدد c است.

عملیات روی چند جمله ای ها با استفاده از قوانین معمول برای باز کردن پرانتز و آوردن عبارت های مشابه، چند جمله ای ها را می توان جمع، تفریق و ضرب کرد. نتیجه دوباره یک چند جمله ای است. این عملیات دارای ویژگی های شناخته شده ای هستند: f (x) +g (x) =g (x) +f (x)، f (x) + (g (x) +h (x)) = (f (x) +g (x)) +h (x), f (x) g (x) =g (x) f (x), f (x) (g (x) h (x)) = (f (x) g ( x)) h (x)، f (x) (g (x) +h (x)) =f (x) g (x) +f (x) h (x).

بگذارید دو چند جمله ای f(x) =anxn+an-1 xn-1+ داده شود. . . +a 1 x+a 0، an≠ 0 و g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. واضح است که هنر. f(x)=n و هنر. g(x)=m. اگر این دو چند جمله ای را ضرب کنیم، چند جمله ای به شکل f(x) g(x)=anbmxm+n+ به دست می آید. . . +a 0 b 0. از آنجایی که an≠ 0 و bn≠ 0 است، پس anbm≠ 0، که به معنی st. (f(x)g(x))=m+n. بیانیه مهمی از این موضوع به دست می آید.

درجه حاصلضرب دو چندجمله ای غیر صفر برابر است با مجموع درجات عوامل، هنر. (f (x) g (x)) =st. f (x) +st. g(x). جمله پیشرو (ضریب) حاصل ضرب دو چندجمله‌ای غیر صفر برابر با حاصل ضرب عبارت‌های پیشرو (ضرایب) عوامل است. جمله آزاد حاصل ضرب دو چندجمله ای برابر است با حاصلضرب حاصلضرب ضرایب. توان های چند جمله ای های f (x)، g (x) و f (x) ±g (x) با رابطه زیر مرتبط هستند: هنر. (f (x) ±g (x)) ≤ max (st. f (x)، st. g (x)).

برهم نهی چند جمله ای f (x) و g (x) نامیده می شود. یک چند جمله ای با f (g (x))، که اگر در چند جمله ای f (x) به جای x چند جمله ای g (x) را جایگزین کنیم، به دست می آید. برای مثال، اگر f(x)=x 2+2 x-1 و g(x) =2 x+3، آنگاه f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14، g(f(x))=g(x2+2 x-1)=2(x2+2 x-1) + 3 = 2 x 2 + 4 x + 1. مشاهده می شود که f (g (x)) ≠g (f (x))، به عنوان مثال، برهم نهی چند جمله ای های f (x)، g (x) و برهم نهی چند جمله ای های g (x)، f ( x) متفاوت هستند. بنابراین، عملیات برهم نهی دارای خاصیت جابجایی نیست.

, الگوریتم تقسیم با باقیمانده برای هر f(x)، g(x)، q(x) (ضریب) و r(x) (باقیمانده) وجود دارد به طوری که f(x)=g(x)q(x)+ r(x) و درجه r(x)

مقسوم علیه های چند جمله ای مقسوم علیه چند جمله ای f(x) چند جمله ای g(x) است، به طوری که f(x)=g(x)q(x). بزرگترین مقسوم علیه مشترک دو چند جمله ای بزرگترین مقسوم علیه مشترک چندجمله ای های f(x) و g(x) مقسوم علیه مشترک آنها d(x) است که بر هر یک از مقسوم علیه های مشترک دیگر آنها قابل تقسیم است.

الگوریتم اقلیدسی (الگوریتم تقسیم ترتیبی) برای یافتن بزرگترین مقسوم علیه چندجمله ای های f(x) و g(x) سپس بزرگترین مقسوم علیه f(x) و g(x) است.

کسر را کاهش دهید راه حل: gcd این چند جمله ای ها را با استفاده از الگوریتم اقلیدسی بیابید 1) x3 + 6 x2 + 11 x + 6 x3 + 7 x2 + 14 x + 8 1 – x2 – 3 x – 2 2) x3 + 7 x2 + 14 x + 8 x3 + 3 x2 + 2 x – x2 – 3 x – 2 –x– 4 4 x2 + 12 x + 8 0 بنابراین، چند جمله ای (– x2 – 3 x – 2) gcd صورتگر است و مخرج کسر معین نتیجه تقسیم مخرج بر این چند جمله ای مشخص است.

بیایید نتیجه تقسیم صورت را پیدا کنیم. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 – x2 – 3 x – 2 x3 + 3 x2 + 2 x –x– 3 3 x2 + 9 x + 6 0 بنابراین، پاسخ دهید:

طرح هورنر تقسیم یک چند جمله‌ای f(x) با باقیمانده بر یک چند جمله‌ای غیرصفر g(x) به معنای نمایش f(x) به شکل f(x)=g(x) s(x)+r(x)، جایی که s (x) و r(x) چند جمله ای هستند و یا r(x)=0 یا st. r(x)

چندجمله ای های سمت چپ و راست این رابطه مساوی هستند، یعنی ضرایب متناظر آنها برابر است. اجازه دهید ابتدا آنها را با باز کردن پرانتزها و آوردن عبارت های مشابه در سمت راست این برابری معادل سازی کنیم. دریافت می کنیم: a= bn-1، a-1 = bn-2 - cbn-1، a-2 = bn-3 - cbn-2، a 2 = b 1 - cb 2، a 1 = b 0 - cb 1 , a 0 = r - cb 0. به یاد بیاورید که ما باید ضرایب ناقص را پیدا کنیم، یعنی ضرایب آن و باقیمانده. اجازه دهید آنها را از برابرهای به دست آمده بیان کنیم: bn-1 = an، b n-2 = cbn-1 + an-1، b n-3 = cbn-2 + a n-2، b 1 = cb 2 + a 2 , b 0 = cb 1 +a 1, r = cb 0 + a 0. فرمول هایی را پیدا کرده ایم که می توان از آنها برای محاسبه ضرایب ضریب جزئی s (x) و باقیمانده r استفاده کرد. در این صورت محاسبات در قالب جدول زیر ارائه شده است. به آن طرح هورنر می گویند.

جدول 1. ضرایب f (x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 ضرایب s (x) باقی مانده در ردیف اول این جدول، تمام ضرایب چند جمله ای f (x) را در یک ردیف بنویسید و خانه اول را آزاد بگذارید. در خط دوم در خانه اول عدد c را بنویسید. خانه های باقیمانده این خط با محاسبه یک به یک ضرایب ضرایب ناقص s (x) و باقیمانده r پر می شوند. در خانه دوم ضریب bn-1 را بنویسید که همانطور که مشخص کردیم برابر با an است.

ضرایب در هر خانه بعدی طبق قانون زیر محاسبه می شود: عدد c در عدد سلول قبلی ضرب می شود و عدد بالای سلولی که پر می شود به نتیجه اضافه می شود. مثلاً برای به خاطر سپردن سلول پنجم، یعنی برای یافتن ضریب موجود در آن، باید c را در عدد خانه چهارم ضرب کنید و عدد بالای سلول پنجم را به نتیجه اضافه کنید. برای مثال، با استفاده از طرح هورنر، چند جمله‌ای f (x) =3 x 4 -5 x 2+3 x-1 را بر x-2 با باقیمانده تقسیم می‌کنیم. هنگام پر کردن خط اول این نمودار، نباید ضرایب صفر چند جمله ای را فراموش کنیم. بنابراین، ضرایب f (x) اعداد 3، 0، - 5، 3، - 1 هستند. همچنین باید به یاد داشته باشید که درجه یک ضریب ناقص یک کمتر از درجه چند جمله‌ای f (x) است.

بنابراین، تقسیم را طبق طرح هورنر انجام می دهیم: جدول 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 ضریب جزئی s (x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 را به دست می آوریم. و باقیمانده r=33. توجه داشته باشید که در همان زمان مقدار چند جمله ای f (2) = 33 را محاسبه کردیم. اجازه دهید همین چند جمله ای f (x) را با یک باقیمانده بر x+2 تقسیم کنیم. در این مورد c=-2. می‌گیریم: جدول 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 در نتیجه، f (x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-) داریم. 11) +21.

ریشه های چند جمله ای ها فرض کنید c1, c2,…, cm ریشه های مختلف چند جمله ای f (x) باشند. سپس f (x) بر x-c1 تقسیم می شود، یعنی f (x) = (x-c 1) s 1 (x). بیایید x=c2 را در این برابری قرار دهیم. f (c 2) = (c 2 -c 1) s 1 (c 2) و بنابراین f (c 2) = 0 و سپس (c2 -c1) s 1 (c 2) = 0 بدست می آوریم. اما с2≠с1، یعنی с2 -с1≠ 0، که به معنای s 1 (c 2) = 0 است. بنابراین، c2 ریشه چند جمله ای s 1 (x) است. نتیجه می شود که s 1 (x) بر x-c2 بخش پذیر است، یعنی s 1 (x) = (x-c 2) s 2 (x). اجازه دهید عبارت حاصل را برای s 1 (x) با برابری f (x) = (x-c 1) s 1 (x) جایگزین کنیم. f (x) = (x-c 1) (x-c 2) s 2 (x) داریم. با قرار دادن x=c3 در آخرین تساوی، با در نظر گرفتن این واقعیت که f (c 3) = 0، c3≠c1، c3≠c2، به این نتیجه می رسیم که c3 ریشه چند جمله ای s 2 (x) است. این یعنی s 2 (x) = (x-c 3) s 3 (x) و سپس f (x) = (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) و غیره. ادامه این استدلال برای ریشه های باقیمانده c4، c5، ...، cm، در نهایت f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) به دست می آوریم، یعنی عبارت فرمول شده در زیر ثابت می شود.

اگر с1، с2، ...، сm ریشه‌های مختلف چند جمله‌ای f (x) هستند، آنگاه f (x) را می‌توان به صورت f(x)=(x-c 1) (x-c 2)… (x-cm) sm(x) نشان داد. ). نتیجه مهمی از این موضوع حاصل می شود. اگر c1، c2، ...، cm ریشه های مختلف چند جمله ای f(x) باشند، f(x) به چند جمله ای (x-c1) (x-c2) ... (x-cm) تقسیم می شود. تعداد ریشه های مختلف یک چند جمله ای غیر صفر f (x) از درجه آن بیشتر نیست. در واقع، اگر f(x) هیچ ریشه ای نداشته باشد، واضح است که قضیه صادق است، زیرا هنر. f(x) ≥ 0. حال اجازه دهید f(x) دارای m ریشه های с1، с2، …، сm باشد و همه آنها متفاوت هستند. سپس، با آنچه اخیراً ثابت شد، f (x) به (x-c1) (x -c2) ... (x-cm) تقسیم می شود. در این مورد، هنر. f(x)≥st. ((x-c1) (x-c2)…(x-cm))= st. (x-c1)+st. (x-s2)+…+st. (x-cm)=m، یعنی هنر. f(x)≥m و m تعداد ریشه های چند جمله ای مورد نظر است. اما چند جمله ای صفر بی نهایت ریشه دارد، زیرا مقدار آن برای هر x برابر با 0 است. به ویژه، به همین دلیل درجه خاصی برای آن تجویز نمی شود. گزاره زیر از قضیه ای که اخیراً ثابت شده است نتیجه می گیرد.

اگر چند جمله‌ای f(x) چند جمله‌ای با درجه بزرگتر از n نباشد و بیش از n ریشه داشته باشد، آنگاه f(x) چند جمله‌ای صفر است. در واقع، از شرایط این عبارت نتیجه می شود که یا f (x) یک چند جمله ای صفر است یا هنر. f (x) ≤n. اگر فرض کنیم که چند جمله ای f (x) صفر نیست، هنر. f (x) ≤n و سپس f (x) حداکثر n ریشه دارد. به یک تناقض می رسیم. این بدان معناست که f(x) یک چند جمله ای غیر صفر است. فرض کنید f (x) و g (x) چند جمله‌ای غیر صفر درجه حداکثر n باشند. اگر این چند جمله ای ها مقادیر یکسانی را برای n+1 مقدار متغیر x بگیرند، آنگاه f (x) =g (x).

برای اثبات این موضوع، چند جمله ای h (x) =f (x) - g (x) را در نظر بگیرید. واضح است که یا h (x) =0 یا st. h (x) ≤n، یعنی h (x) چند جمله ای با درجه بزرگتر از n نیست. حال اجازه دهید عدد c طوری باشد که f (c) = g (c). سپس h (c) = f (c) - g (c) = 0، یعنی c ریشه چند جمله ای h (x) است. بنابراین، چند جمله‌ای h (x) دارای n+1 ریشه است، و زمانی که، همانطور که ثابت شد، h (x) = 0، یعنی f (x) =g (x) است. اگر f (x) و g (x) مقادیر یکسانی را برای همه مقادیر متغیر x بگیرند، آنگاه این چند جمله‌ای برابر هستند.

ریشه های چند جمله ای اگر عدد c ریشه چند جمله ای f (x) باشد، این چند جمله ای بر x-c بخش پذیر است. ممکن است اتفاق بیفتد که f (x) نیز بر مقداری توان چند جمله‌ای x-c، یعنی بر (x-c) k، k>1 بخش‌پذیر باشد. در این حالت به c یک ریشه چندگانه می گویند. اجازه دهید تعریف را واضح تر بیان کنیم. اگر چند جمله‌ای بر (x - c) k بخش‌پذیر باشد، k>1 (k یک عدد طبیعی است)، اما غیرقابل بخش‌پذیر باشد، به عدد c، ریشه چندجمله‌ای k (ک تا ریشه) می‌گویند. توسط (x - c) k+ 1. اگر k=1 باشد، c یک ریشه ساده و اگر k>1 باشد، آن را ریشه چند جمله ای f (x) می گویند.

اگر چند جمله ای f(x) به صورت f(x)=(x-c)mg(x) نشان داده شود، m یک عدد طبیعی است، آنگاه بر (x-c) m+1 بخش پذیر است اگر و تنها اگر g(x) بخش پذیر باشد. روی x-s. در واقع، اگر g(x) بر x-c بخش پذیر باشد، یعنی g(x)=(x-c)s(x)، آنگاه f(x)=(x-c) m+1 s(x)، و این به معنای f(x است. ) بر (x-c) m+1 بخش پذیر است. برعکس، اگر f(x) بر (x-c) m+1 بخش پذیر باشد، آنگاه f(x)=(x-c) m+1 s(x). سپس (x-c)mg(x)=(x-c)m+1 s (x) و پس از کاهش (x-c)m g(x)=(x-c)s(x) بدست می آید. نتیجه می شود که g(x) بر x-c بخش پذیر است.

برای مثال بیایید دریابیم که آیا عدد 2 ریشه چند جمله ای f (x) =x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24 است یا خیر، و اگر چنین است، تعدد آن را پیدا کنیم. برای پاسخ به سوال اول، اجازه دهید با استفاده از مدار هورنر بررسی کنیم که آیا f (x) بر x-2 بخش پذیر است یا خیر. ما داریم: جدول 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 همانطور که می بینید، باقیمانده هنگام تقسیم f(x) بر x-2 برابر با 0 است، یعنی تقسیم بر x-2. یعنی 2 ریشه این چند جمله ای است. علاوه بر این، دریافتیم که f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12). حالا بیایید بفهمیم که آیا f(x) روی (x-2) 2 است یا خیر. این بستگی دارد، همانطور که اکنون ثابت کردیم، به بخش پذیری چند جمله ای g (x) =x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x بستگی دارد. -12 در x-2.

بیایید دوباره از طرح هورنر استفاده کنیم: جدول 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 دریافتیم که g(x) بر x-2 بخش پذیر است و g(x)=(x-2)( x 3 -x 2 -5 x+6). سپس f(x)=(x-2)2(x 3 -x 2 -5 x+6). بنابراین f(x) بر (x-2)2 بخش پذیر است، حال باید بفهمیم که آیا f(x) بر (x-2)3 بخش پذیر است یا خیر. برای انجام این کار، بیایید بررسی کنیم که آیا h (x) =x 3 -x 2 -5 x+6 بر x-2 بخش پذیر است یا خیر: جدول 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 در می یابیم که h(x ) بر x-2 بخش پذیر است، یعنی f(x) تقسیم بر (x-2) 3 و f(x)=(x-2)3(x 2+x-3) است.

بعد، ما به طور مشابه بررسی می کنیم که آیا f(x) بر (x-2)4 بخش پذیر است یا خیر، یعنی اینکه آیا s(x)=x 2+x-3 بر x-2 بخش پذیر است یا خیر: جدول 7. 2 1 1 1 3 -3 3 دریافتیم که باقیمانده هنگام تقسیم s(x) بر x-2 برابر با 3 است، یعنی s(x) بر x-2 بخش پذیر نیست. این بدان معناست که f(x) بر (x-2)4 بخش پذیر نیست، بنابراین، f(x) بر (x-2)3 بخش پذیر است اما بر (x-2)4 بخش پذیر نیست. بنابراین، عدد 2 ریشه ای از تعدد 3 از چند جمله ای f(x) است.

به طور معمول، بررسی ریشه برای تعدد در یک جدول انجام می شود. برای این مثال، این جدول به این صورت است: جدول 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 به عبارت دیگر، با توجه به تقسیم طرح هورنر از چند جمله ای f (x) بر x-2، در خط دوم ضرایب چند جمله ای g (x) را بدست می آوریم. سپس این خط دوم را اولین خط سیستم جدید هورنر در نظر می گیریم و g (x) را بر x-2 و ... تقسیم می کنیم.محاسبات را تا جایی ادامه می دهیم که باقیمانده ای متفاوت از صفر بدست آوریم. در این حالت تعدد ریشه برابر است با تعداد صفر باقی مانده به دست آمده. خط حاوی آخرین باقیمانده غیر صفر نیز حاوی ضرایب ضریب در هنگام تقسیم f (x) بر (x-2) 3 است.

اکنون با استفاده از طرح پیشنهادی برای بررسی تعدد ریشه، مشکل زیر را حل خواهیم کرد. برای کدام a و b چند جمله ای f(x) =x 4+2 x 3+ax 2+ (a+b)x+2 عدد - 2 را به عنوان ریشه مضرب 2 دارد؟ از آنجایی که تعدد ریشه - 2 باید برابر با 2 باشد، پس هنگام تقسیم بر x+2 طبق طرح پیشنهادی، باید دو برابر 0 باقیمانده و بار سوم - باقیمانده متفاوت از صفر به دست آوریم. داریم: جدول 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 a a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

بنابراین، عدد - 2 ریشه ای از تعدد 2 از چند جمله ای اصلی اگر و فقط اگر است

ریشه های گویا یک چند جمله ای اگر کسر تقلیل ناپذیر l/m (l, m اعداد صحیح هستند) ریشه یک چند جمله ای f (x) با ضرایب صحیح باشد، ضریب پیشرو این چند جمله ای بر m تقسیم می شود و جمله آزاد برابر است با تقسیم بر 1. در واقع، اگر f (x)=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0، an≠ 0، که در آن an، an-1، . . . ، a 1، a 0 اعداد صحیح هستند، سپس f(l/m) =0، یعنی аn (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. بیایید هر دو طرف این برابری را در mn ضرب کنیم. ما anln+an-1 ln-1 m+ را دریافت می کنیم. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. این به معنی anln=m (-an-1 ln-1 -…- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1) است.

می بینیم که عدد صحیح anln بر m بخش پذیر است. اما l/m کسر غیرقابل تقلیل است، یعنی اعداد l و m هم اول هستند و سپس، همانطور که از نظریه تقسیم پذیری اعداد صحیح مشخص است، اعداد ln و m هم اول هستند. بنابراین، anln بر m بخش‌پذیر است و m نیز به ln، یعنی an بر m بخش‌پذیر است. بیایید ریشه های گویا چند جمله ای f (x) =6 x 4+13 x 2 -24 x 2 -8 x+8 را پیدا کنیم. طبق قضیه، ریشه های گویا این چند جمله ای از کسرهای تقلیل ناپذیر شکل l/m هستند که l مقسوم علیه جمله آزاد a 8=0 و m مقسوم علیه ضریب پیشرو a 4=6 است. . علاوه بر این، اگر کسری l/m منفی باشد، علامت "-" به شمارنده اختصاص داده می شود. به عنوان مثال، - (1/3) = (-1) /3. بنابراین می توان گفت l مقسوم علیه عدد 8 و m مقسوم علیه عدد 6 است.

از آنجایی که مقسوم علیه های عدد 8 ± 1، 2 ±، 4 ±، 8 ± و مقسوم علیه های مثبت عدد 6 1، 2، 3، 6 هستند، پس ریشه های گویا چند جمله ای مورد نظر جزو اعداد هستند. ± 1، 1/2 ±، 1/3 ±، 1/6 ±، 2/3 ±، 4 ±، 4/3 ±، 8/3 ±. به یاد بیاوریم که ما فقط کسرهای تقلیل ناپذیر را نوشتیم. بنابراین، ما بیست عدد داریم - "نامزد" برای ریشه. تنها چیزی که باقی می ماند این است که هر یک از آنها را بررسی کنید و آنهایی را که واقعاً روت هستند انتخاب کنید. قضیه زیر این کار را ساده می کند. اگر کسر تقلیل ناپذیر l/m ریشه یک چند جمله ای f (x) با ضرایب صحیح باشد، آنگاه f (k) برای هر عدد صحیح k بر l-km بخش پذیر است، مشروط بر اینکه l-km≠ 0 باشد.

برای اثبات این قضیه، f(x) را با باقیمانده بر x-k تقسیم کنید. f(x)=(x-k)s(x)+f(k) بدست می آوریم. از آنجایی که f(x) یک چند جمله ای با ضرایب صحیح است، پس چند جمله ای s(x) و f(k) یک عدد صحیح است. فرض کنید s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. سپس f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b 1 x+b 0). در این تساوی 1 x=l/m قرار می دهیم. با توجه به اینکه f(l/m)=0، f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n- را بدست می آوریم 2+…+b 1(l/m)+b 0). بیایید هر دو طرف آخرین تساوی را در mn ضرب کنیم: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . نتیجه می شود که عدد صحیح mnf (k) بر l-km بخش پذیر است. اما از آنجایی که l و m هم نخست هستند، پس mn و l-km نیز همزمان هستند، یعنی f(k) بر l-km بخش پذیر است. قضیه ثابت شده است.

اجازه دهید به مثال خود بازگردیم و با استفاده از قضیه اثبات شده، دایره جستجوی ریشه های عقلی را بیشتر محدود خواهیم کرد. اجازه دهید این قضیه را برای k=1 و k=-1 اعمال کنیم، یعنی اگر کسر تقلیل ناپذیر l/m ریشه چند جمله ای f(x) باشد، آنگاه f(1)/(l-m) و f(-1) /(l +m). ما به راحتی متوجه می شویم که در مورد ما f(1)=-5 و f(-1)= -15. توجه داشته باشید که در عین حال 1± را از بررسی حذف کردیم.بنابراین ریشه های گویا چند جمله ای خود را باید در بین اعداد 1/2 ±، 1/3 ±، 1/6 ±، 2 ±، 2/3 ± جستجو کرد. 4/3 ±، 8/3 ±. l/m=1/2 را در نظر بگیرید. سپس l-m=-1 و f (1) =-5 بر این عدد تقسیم می شود. علاوه بر این، l+m=3 و f (1) =-15 نیز بر 3 بخش پذیر است.

حالا بگذارید lm=-(1/2)=(-1)/2. در این حالت l-m=-3 و f (1) =-5 بر - 3 بخش پذیر نیست. این بدان معناست که کسر -1/2 نمی تواند ریشه این چند جمله ای باشد و آن را از بررسی بیشتر حذف می کنیم. بیایید هر یک از کسرهای نوشته شده در بالا را بررسی کنیم و دریابیم که ریشه های مورد نیاز در میان اعداد 1/2، 2/3 ±، 2، - 4 هستند. بنابراین، با استفاده از یک تکنیک نسبتا ساده، منطقه جستجوی منطقی را به طور قابل توجهی محدود کرده ایم. ریشه های چند جمله ای مورد نظر خوب، برای بررسی اعداد باقیمانده، از طرح هورنر استفاده خواهیم کرد: جدول 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

می بینیم که 1/2 ریشه چند جمله ای f(x) و f(x)= (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1) است. (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). واضح است که همه ریشه های دیگر چند جمله ای f (x) با ریشه های چند جمله ای g (x) = 3 x 3 + 8 x 2 -8 x-8 منطبق است، به این معنی که تأیید بیشتر "نامزدها" برای ریشه ها را می توان برای این چند جمله ای انجام داد. ما دریافتیم: جدول 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 ما دریافتیم که باقیمانده هنگام تقسیم g(x) بر x-2/3 برابر است با - 80/9، یعنی 2/3 ریشه چند جمله‌ای g(x) نیست و بنابراین f(x) هم نیست. بعد متوجه می شویم که - 2/3 ریشه چند جمله ای g(x) و g (x) = (3 x+2) (x 2+2 x-4) است.

سپس f(x) = (2 x-1) (3 x+2) (x2+2 x-4). تأیید بیشتر را می توان برای چند جمله ای x 2+2 x-4 انجام داد که البته ساده تر از g (x) یا حتی بیشتر از f (x) است. در نتیجه، متوجه می شویم که اعداد 2 و - 4 ریشه نیستند. بنابراین، چند جمله ای f (x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 دارای دو ریشه گویا است: 1/2 و - 2/3. این روش یافتن ریشه های گویا یک چند جمله ای با ضرایب صحیح را ممکن می سازد. در همین حال، یک چند جمله ای می تواند ریشه های غیر منطقی نیز داشته باشد. بنابراین، برای مثال، چند جمله ای در نظر گرفته شده در مثال دو ریشه دیگر دارد: - 1±√ 5 (اینها ریشه های چند جمله ای x2+2 x-4 هستند). ممکن است یک چند جمله ای اصلاً ریشه عقلانی نداشته باشد.

هنگام آزمایش ریشه های "نامزد" چند جمله ای f(x) با استفاده از دومی از قضایای اثبات شده در بالا، دومی معمولاً برای موارد k = ± 1 استفاده می شود. به عبارت دیگر، اگر l/m یک ریشه "نامزد" باشد، پس بررسی کنید که آیا f(1) و f (-1) به ترتیب l-m و l+m هستند. اما ممکن است مثلاً f(1) =0، یعنی 1 یک ریشه باشد و سپس f(1) بر هر عددی بخش پذیر باشد و چک ما بی معنی شود. در این مورد، باید f(x) را بر x-1 تقسیم کنید، یعنی f(x)=(x-1)s(x) را بدست آورید و چند جمله ای s(x) را آزمایش کنید. در عین حال، نباید فراموش کنیم که قبلاً یک ریشه از چند جمله ای f(x)-x 1=1 را پیدا کرده ایم. اگر «کاندیداها» را برای ریشه‌های باقی‌مانده پس از استفاده از قضیه دوم روی ریشه‌های گویا، با استفاده از طرح هورنر بررسی کنیم، متوجه می‌شویم که برای مثال، l/m یک ریشه است، پس باید تعدد آن را پیدا کرد. اگر مساوی مثلاً k باشد، آنگاه f(x)=(x-l/m) ks (x)، و آزمایشات بیشتری را می توان روی s(x) انجام داد، که محاسبات را کاهش می دهد.

راه حل. با جایگزینی متغیر y=2 x، به چند جمله ای با ضریب برابر یک در بالاترین درجه می رویم. برای انجام این کار، ابتدا عبارت را در 4 ضرب کنید. اگر تابع به دست آمده دارای ریشه های عدد صحیح باشد، آنها جزو مقسوم علیه های عبارت آزاد هستند. بیایید آنها را یادداشت کنیم: 1 ±، 2 ±، 3 ±، 4 ±، 5 ±، 6 ±، 10 ±، 12 ±، 15 ±، 20 ±، 30 ±، 60 ±

اجازه دهید به ترتیب مقادیر تابع g(y) را در این نقاط محاسبه کنیم تا به صفر برسیم. یعنی y=-5 یک ریشه است و بنابراین ریشه تابع اصلی است. اجازه دهید چند جمله ای را با استفاده از یک ستون (گوشه) بر یک دو جمله ای تقسیم کنیم.

ادامه بررسی مقسوم‌گیرنده‌های باقی‌مانده توصیه نمی‌شود، زیرا فاکتورسازی سه‌جمله‌ای درجه دوم آسان‌تر است.

استفاده از فرمول‌های ضرب اختصاری و دوجمله‌ای نیوتن برای فاکتورسازی چند جمله‌ای گاهی اوقات ظاهر یک چند جمله‌ای راهی برای فاکتورگیری آن را نشان می‌دهد. به عنوان مثال، پس از تبدیل های ساده، ضرایب در یک خط از مثلث پاسکال برای ضرایب دو جمله ای نیوتن ردیف می شوند. مثال. چند جمله ای را فاکتور بگیرید.

راه حل. بیایید عبارت را به شکل تبدیل کنیم: دنباله ضرایب مجموع در پرانتز به وضوح نشان می دهد که این است بنابراین، اکنون فرمول اختلاف مربع ها را اعمال می کنیم: عبارت در براکت دوم ریشه واقعی ندارد و برای چند جمله ای از براکت اول یک بار دیگر فرمول تفاوت مربع ها را اعمال می کنیم

فرمول های Vieta که ضرایب یک چند جمله ای را از طریق ریشه های آن بیان می کند. این فرمول ها برای بررسی صحت یافتن ریشه های یک چند جمله ای و همچنین برای ترکیب یک چند جمله ای بر اساس ریشه های داده شده آن راحت هستند. فرمول بندی اگر ریشه های یک چند جمله ای باشد، ضرایب به شکل چند جمله ای های متقارن ریشه ها بیان می شوند.

به عبارت دیگر ak برابر است با مجموع همه حاصلضرب های ممکن ریشه k. اگر ضریب پیشرو یک چند جمله ای باشد، برای اعمال فرمول ویتا لازم است ابتدا همه ضرایب را بر 0 تقسیم کنیم. در این حالت، فرمول های ویتا نسبت همه ضرایب به ضرایب پیشرو را بیان می کنند. از آخرین فرمول ویتا چنین برمی‌آید که اگر ریشه‌های یک چندجمله‌ای عدد صحیح باشند، آن‌ها مقسوم‌کننده‌های عبارت آزاد آن هستند که آن نیز عدد صحیح است. اثبات با در نظر گرفتن برابری به دست آمده از بسط چند جمله ای توسط ریشه انجام می شود، با در نظر گرفتن اینکه a 0 = 1 با تساوی ضرایب در توان های یکسان x، فرمول Vieta را به دست می آوریم.

معادله x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 را حل کنید. اجازه دهید y = x 3 را نشان دهیم، سپس معادله اصلی به شکل y 2 – 5 y + 4 = 0 است، که با حل آن، Y 1 = 1 را به دست می آوریم. Y 2 = 4. بنابراین، معادله اصلی معادل مجموعه ای از معادلات است: x 3 = 1 یا x 3 = 4، یعنی X 1 = 1 یا X 2 = پاسخ: 1;

تعریف قضیه بزوت 1. اگر f(c)=0 عنصری را ریشه یک چند جمله ای می نامند. قضیه بزوت. باقیمانده تقسیم چند جمله ای Pn(x) بر دو جمله ای (x-a) برابر است با مقدار این چند جمله ای در x = a. اثبات به موجب الگوریتم تقسیم، f(x)=(xc)q(x)+r(x)، که در آن یا r(x)=0، یا، و بنابراین. بنابراین f(x)=(x-c)q(x)+r، بنابراین f(c)=(c-c)q(c)+r=r، و بنابراین f(x)=(xc)q(x) +f (ج).

نتیجه 1: باقیمانده تقسیم چند جمله ای Pn (x) بر دو جمله ای ax+b برابر است با مقدار این چند جمله ای در x = -b/a، یعنی R=Pn (-b/a). نتیجه 2: اگر عدد a ریشه چند جمله ای P (x) باشد، این چند جمله ای بدون باقیمانده بر (x-a) بخش پذیر است. نتیجه 3: اگر چند جمله ای P(x) دارای ریشه های جفتی متمایز a 1، a 2، ...، an باشد، آنگاه بدون باقیمانده بر حاصلضرب (x-a 1) ... (x-an) تقسیم می شود. نتیجه 4: یک چند جمله ای درجه n حداکثر n ریشه متفاوت دارد. نتیجه 5: برای هر چند جمله ای P(x) و عدد a، تفاوت (P(x)-P(a)) بدون باقیمانده بر دو جمله ای (x-a) بخش پذیر است. نتیجه 6: عدد a یک ریشه از یک چند جمله ای P(x) درجه است که حداقل ابتدا و فقط اگر P(x) بدون باقیمانده بر (x-a) بخش پذیر باشد.

تجزیه یک کسر گویا به کسرهای ساده اجازه دهید نشان دهیم که هر کسر گویا مناسب را می توان به مجموع کسرهای ساده تجزیه کرد. بگذارید کسر گویا (1) مناسب داده شود.

قضیه 1. فرض کنید x=a ریشه مخرج اختصار k باشد، یعنی جایی که f(a)≠ 0 باشد، آنگاه این کسر مناسب را می توان به صورت مجموع دو کسر مناسب دیگر به صورت زیر نشان داد: (2)، که در آن A ثابت مساوی با صفر نیست و F 1(x) چند جمله ای است که درجه آن کمتر از درجه مخرج است.