در علم شروع کنید. صفحه مختصات صفحه مختصات نحوه تعیین مختصات

اگر دو محور عددی متقابل عمود بر یک صفحه بسازیم: گاو نرو OY، سپس آنها نامیده می شوند محورهای مختصات. محور افقی گاو نرتماس گرفت محور x(محور ایکس)، محور عمودی OY - محور y(محور y).

نقطه O، ایستاده در تقاطع محورها، نامیده می شود اصل و نسب. این نقطه صفر برای هر دو محور است. اعداد مثبت در محور آبسیسا با نقاطی به سمت راست و در محور ترتیبی - از نقطه صفر به بالا نشان داده می شوند. اعداد منفی با نقطه هایی به سمت چپ و پایین از مبدا نشان داده می شوند (نقاط O). صفحه ای که محورهای مختصات روی آن قرار دارند نامیده می شود هواپیمای مختصات.

محورهای مختصات صفحه را به چهار قسمت تقسیم می کنند که نامیده می شوند چهارمیا ربع ها. مرسوم است که این ربع ها را با اعداد رومی به ترتیب شماره گذاری روی نقشه شماره گذاری می کنند.

مختصات نقطه در هواپیما

اگر یک نقطه دلخواه در صفحه مختصات بگیریم آو از آن به محورهای مختصات عمود بکشید، سپس پایه های عمود بر دو عدد قرار می گیرند. عددی که عمود بر آن اشاره می کند نامیده می شود نقطه آبسیسا آ. عددی که عمود افقی به آن اشاره می کند - ترتیب نقطه آ.

روی رسم آبسیسه نقطه آ 3 و ترتیب آن 5 است.

ابسیسا و مختصات یک نقطه معین در صفحه نامیده می شوند.

مختصات نقطه در داخل پرانتز در سمت راست تعیین نقطه نوشته می شود. ابتدا ابسیسا نوشته می شود و بعد از آن دستور نوشته می شود. پس ثبت کن آ(3؛ 5) به این معنی است که ابسیسا نقطه آبرابر با سه است و ترتیب آن پنج است.

مختصات یک نقطه اعدادی هستند که موقعیت آن را در صفحه تعیین می کنند.

اگر نقطه روی محور x قرار گیرد، آنگاه مختص آن صفر است (مثلاً نقطه ببا مختصات -2 و 0). اگر نقطه روی محور y قرار داشته باشد، آبسیس آن صفر است (مثلاً نقطه سیبا مختصات 0 و -4).

مبدأ - نقطه O- دارای هر دو ابسیسا و ترتیب برابر با صفر است: O (0; 0).

این سیستم مختصات نامیده می شود مستطیل شکلیا دکارتی.

موضوع این درس تصویری: هواپیمای مختصات.

اهداف و اهداف درس:

آشنا با سیستم مختصات مستطیلی در هواپیما
- یاد بگیرید آزادانه در هواپیما مختصات حرکت کنید
- نقاط را با توجه به مختصات داده شده آن بسازید
- مختصات یک نقطه مشخص شده در صفحه مختصات را تعیین کنید
- مختصات را با گوش به خوبی درک کنید
- اجرای دقیق و دقیق ساخت و سازهای هندسی
- توسعه توانایی های خلاق
- افزایش علاقه به موضوع

عبارت " مختصات"برگرفته از کلمه لاتین -" دستور داد"

برای نشان دادن موقعیت یک نقطه در یک صفحه، دو خط عمود بر X و Y گرفته می شود.

محور X - اوکیسا
محور Y محور y
نقطه O - مبدا

صفحه ای که سیستم مختصات روی آن داده می شود نامیده می شود هواپیمای مختصات.

هر نقطه M در صفحه مختصات مربوط به یک جفت اعداد است: ابسیسا و مختصات آن. برعکس، هر جفت اعداد مربوط به یک نقطه از صفحه است که این اعداد مختصات آن هستند.

نمونه های در نظر گرفته شده:

• با ساختن یک نقطه با مختصات آن
• پیدا کردن مختصات یک نقطه واقع در صفحه مختصات

برخی اطلاعات تکمیلی:

ایده تعیین موقعیت یک نقطه در هواپیما در دوران باستان - عمدتاً در بین ستاره شناسان - سرچشمه گرفته است. در قرن دوم. کلودیوس بطلمیوس، ستاره شناس یونان باستان، از طول و عرض جغرافیایی به عنوان مختصات استفاده می کرد. شرح استفاده از مختصات در کتاب «هندسه» در سال 1637 آمده است.

شرح استفاده از مختصات در کتاب "هندسه" در سال 1637 توسط ریاضیدان فرانسوی رنه دکارت ارائه شد، بنابراین سیستم مختصات مستطیلی اغلب دکارتی نامیده می شود.

کلمات " اوکیسا», « ترتیب», « مختصات» اولین بار در اواخر قرن هفدهم شروع به استفاده کرد.

برای درک بهتر صفحه مختصات، بیایید تصور کنیم که به ما داده شده است: یک کره جغرافیایی، یک صفحه شطرنج، یک بلیط تئاتر.

برای تعیین موقعیت یک نقطه در سطح زمین، باید طول و عرض جغرافیایی را بدانید.
برای تعیین موقعیت یک مهره روی صفحه شطرنج، باید دو مختصات را بدانید، به عنوان مثال: e3.
صندلی ها در سالن با دو مختصات تعیین می شوند: ردیف و صندلی.

کار اضافی

پس از مطالعه درس تصویری، برای تجمیع مطالب، به شما پیشنهاد می کنم یک خودکار و یک تکه کاغذ در یک جعبه بردارید، یک صفحه مختصات بکشید و طبق مختصات داده شده اشکال بسازید:

قارچ
1) (6; 0), (6; 2), (5; 1,5), (4; 3), (2; 1), (0; 2,5), (- 1,5; 1,5), (- 2; 5), (- 3; 0,5), (- 4; 2), (- 4; 0).
2) (2; 1), (2,2; 2), (2,3; 4), (2,5; 6), (2,3; 8), (2; 10), (6; 10), (4,8; 12), (3; 13,3), (1; 14),
(0; 14), (- 2; 13,3), (- 3,8; 12), (- 5; 10), (2; 10).
3) (- 1; 10), (- 1,3; 8), (- 1,5; 6), (- 1,2; 4), (- 0,8;2).
موش کوچک 1) (3; - 4), (3; - 1), (2; 3), (2; 5), (3; 6), (3; 8), (2; 9), (1; 9), (- 1; 7), (- 1; 6),
(- 4; 4), (- 2; 3), (- 1; 3), (- 1; 1), (- 2; 1), (-2; - 1), (- 1; 0), (- 1; - 4), (- 2; - 4),
(- 2; - 6), (- 3; - 6), (- 3; - 7), (- 1; - 7), (- 1; - 5), (1; - 5), (1; - 6), (3; - 6), (3; - 7),
(4; - 7), (4; - 5), (2; - 5), (3; - 4).
2) دم: (3؛ - 3)، (5؛ - 3)، (5؛ 3).
3) چشم: (- 1؛ 5).
قو
1) (2; 7), (0; 5), (- 2; 7), (0; 8), (2; 7), (- 4; - 3), (4; 0), (11; - 2), (9; - 2), (11; - 3),
(9; - 3), (5; - 7), (- 4; - 3).
2) منقار: (- 4؛ 8)، (- 2؛ 7)، (- 4؛ 6).
3) بال: (1؛ - 3)، (4؛ - 2)، (7؛ - 3)، (4؛ - 5)، (1؛ - 3).
4) چشم: (0؛ 7).
شتر
1) (- 9; 6), (- 5; 9), (- 5; 10), (- 4; 10), (- 4; 4), (- 3; 4), (0; 7), (2; 4), (4; 7), (7; 4),
(9; 3), (9; 1), (8; - 1), (8; 1), (7; 1), (7; - 7), (6; - 7), (6; - 2), (4; - 1), (- 5; - 1), (- 5; - 7),
(- 6; - 7), (- 6; 5), (- 7;5), (- 8; 4), (- 9; 4), (- 9; 6).
2) چشم: (- 6؛ 7).
فیل
1) (2; - 3), (2; - 2), (4; - 2), (4; - 1), (3; 1), (2; 1), (1; 2), (0; 0), (- 3; 2), (- 4; 5),
(0; 8), (2; 7), (6; 7), (8; 8), (10; 6), (10; 2), (7; 0), (6; 2), (6; - 2), (5; - 3), (2; - 3).
2) (4; - 3), (4; - 5), (3; - 9), (0; - 8), (1; - 5), (1; - 4), (0; - 4), (0; - 9), (- 3; - 9),
(- 3; - 3), (- 7; - 3), (- 7; - 7), (- 8; - 7), (- 8; - 8), (- 11; - 8), (- 10; - 4), (- 11; - 1),
(- 14; - 3), (- 12; - 1), (- 11;2), (- 8;4), (- 4;5).
3) چشم: (2؛ 4)، (6؛ 4).
اسب
1) (14; - 3), (6,5; 0), (4; 7), (2; 9), (3; 11), (3; 13), (0; 10), (- 2; 10), (- 8; 5,5),
(- 8; 3), (- 7; 2), (- 5; 3), (- 5; 4,5), (0; 4), (- 2; 0), (- 2; - 3), (- 5; - 1), (- 7; - 2),
(- 5; - 10), (- 2; - 11), (- 2; - 8,5), (- 4; - 8), (- 4; - 4), (0; - 7,5), (3; - 5).
2) چشم: (- 2؛ 7).

نقاط "ثبت شده" هستند - "ساکنان"، هر نقطه "شماره خانه" خود را دارد - مختصات آن. اگر نقطه در هواپیما گرفته شود، برای "ثبت نام" آن لازم است نه تنها "شماره خانه"، بلکه "شماره آپارتمان" را نیز ذکر کنید. به یاد بیاورید که چگونه این کار انجام می شود.

اجازه دهید دو خط مختصات عمود بر هم رسم کنیم و نقطه تقاطع آنها یعنی نقطه O را نقطه شروع در هر دو خط در نظر بگیریم. سطحبرای هماهنگی نقطه O را مبدا مختصات، خطوط مختصات (محور x و محور y) را محور مختصات و زوایای قائمه تشکیل شده توسط محورهای مختصات را زاویه مختصات می نامند. گوشه های مستطیلی مختصات مطابق شکل 20 شماره گذاری شده اند.

و اکنون به شکل 21 می پردازیم که یک سیستم مختصات مستطیلی را نشان می دهد و نقطه M را مشخص کرده است. بیایید یک خط مستقیم از آن به موازات محور y رسم کنیم. خط در نقطه ای محور x را قطع می کند، این نقطه دارای مختصاتی است - روی محور x. برای نقطه نشان داده شده در شکل 21، این مختصات 1.5- است، به آن آبسیسا نقطه M می گویند. سپس یک خط مستقیم از نقطه M موازی با محور x رسم می کنیم. خط در نقطه ای محور y را قطع می کند، این نقطه دارای مختصاتی است - روی محور y.

برای نقطه M که در شکل 21 نشان داده شده است، این مختصات 2 است، به آن مختصات نقطه M می گویند. ابسیسا در وهله اول نوشته شده است، ترتیب - در مرحله دوم. آنها در صورت لزوم از شکل دیگری از نماد استفاده می کنند: x = -1.5; y = 2.

تبصره 1 . در عمل، برای یافتن مختصات نقطه M، معمولاً به جای خطوط مستقیم موازی با محورهای مختصات و عبور از نقطه M، پاره هایی از این خطوط از نقطه M تا محورهای مختصات ساخته می شود (شکل 22).

تبصره 2. در بخش قبل، نمادهای مختلفی را برای فواصل عددی معرفی کردیم. به طور خاص، همانطور که توافق کردیم، علامت (3، 5) به این معنی است که در خط مختصات، فاصله ای با انتهای نقاط 3 و 5 در نظر گرفته می شود. به عنوان مثال، (3؛ 5) یک نقطه در است هواپیمای مختصاتبا ابسیسا 3 و مختصات 5. چگونه می توان از نماد نمادین تعیین کرد که چه چیزی در خطر است: در مورد فاصله یا مختصات نقطه؟ بیشتر اوقات این از متن مشخص است. اگر مشخص نباشد چه؟ به یک جزئیات توجه کنید: ما در تعیین فاصله از کاما و در تعیین مختصات از نقطه ویرگول استفاده کردیم. البته این خیلی مهم نیست، اما همچنان تفاوت است. ما آن را اعمال خواهیم کرد.

با توجه به اصطلاحات و نمادهای معرفی شده، خط مختصات افقی را ابسیسا یا محور x و خط مختصات عمودی را محور y یا محور y می نامند. عناوین x، y معمولاً هنگام تعیین یک سیستم مختصات مستطیلی در صفحه استفاده می شوند (شکل 20 را ببینید) و اغلب این را می گویند: سیستم مختصات xOy داده شده است. با این حال، عناوین دیگری نیز وجود دارد: به عنوان مثال، در شکل 23، سیستم مختصات tos آورده شده است.
الگوریتم یافتن مختصات نقطه M، داده شده در سیستم مختصات مستطیلی хОу

این دقیقاً چگونه عمل کردیم و مختصات نقطه M را در شکل 21 پیدا کردیم. اگر نقطه M 1 (x; y) متعلق به اولین زاویه مختصات باشد، x\u003e 0, y\u003e 0; اگر نقطه M 2 (x; y) متعلق به زاویه مختصات دوم باشد، آنگاه x< 0, у >0; اگر نقطه M 3 (x; y) متعلق به زاویه مختصات سوم باشد، آنگاه x< О, у < 0; если точка М 4 (х; у) принадлежит четвертому координатному углу, то х >OU< 0 (рис. 24).

اما اگر نقطه ای که باید مختصات آن پیدا شود روی یکی از محورهای مختصات قرار گیرد چه اتفاقی می افتد؟ بگذارید نقطه A روی محور x و نقطه B روی محور y قرار بگیرد (شکل 25). منطقی نیست که از طریق نقطه A یک خط مستقیم به موازات محور y بکشیم و نقطه تقاطع این خط را با محور x پیدا کنیم، زیرا چنین نقطه تقاطعی از قبل وجود دارد - این نقطه A است، مختصات آن ( abscissa) 3 است. به همین ترتیب، شما نیازی به کشیدن نقطه و خط موازی با محور x ندارید - این خط خود محور x است که محور y را در نقطه O با مختصات قطع می کند ( ترتیب) 0. در نتیجه، برای نقطه A، A (3؛ 0) را دریافت می کنیم. به طور مشابه، برای نقطه B ما B(0؛ - 1.5) را دریافت می کنیم. و برای نقطه O ما O(0; 0) داریم.

به طور کلی، هر نقطه در محور x دارای مختصات (x; 0) و هر نقطه در محور y دارای مختصات (0; y) است.

بنابراین، ما در مورد چگونگی پیدا کردن مختصات یک نقطه در صفحه مختصات بحث کردیم. اما چگونه می توان مسئله معکوس را حل کرد، یعنی چگونه با دادن مختصات، نقطه مربوطه را ساخت؟ برای توسعه یک الگوریتم، دو استدلال کمکی، اما در عین حال مهم را انجام خواهیم داد.

بحث اول اجازه دهید من در سیستم مختصات xOy، موازی با محور y و قطع محور x در نقطه ای با مختصات (ابسیسا) 4 رسم شوم.

(شکل 26). هر نقطه ای که روی این خط قرار دارد دارای ابسیسا 4 است. بنابراین، برای نقاط M 1، M 2، M 3 M 1 (4; 3)، M 2 (4; 6)، M 3 (4; - 2) داریم. به عبارت دیگر ، آبسیسا هر نقطه M از خط مستقیم شرط x \u003d 4 را برآورده می کند. آنها می گویند که x \u003d 4 - معادلهخط l یا آن خط I معادله x = 4 را برآورده می کند.

شکل 27 خطوطی را نشان می دهد که معادلات x = - 4 (خط I 1)، x = - 1 را نشان می دهد.
(خط مستقیم I 2) x = 3.5 (خط مستقیم I 3). و کدام خط معادله x = 0 را برآورده می کند؟ حدس زدید؟ محور y

بحث دوم اجازه دهید یک خط مستقیم I در سیستم مختصات xOy، موازی با محور x و قطع کننده محور y در نقطه ای با مختصات (مرتبط) 3 رسم شود (شکل 28). هر نقطه ای که روی این خط قرار گرفته باشد دارای ترتیب 3 است. بنابراین، برای نقاط M 1، M 2، M 3 داریم: M 1 (0; 3)، M 2 (4; 3)، M 3 (-2; 3). ) . به عبارت دیگر ، مختصات هر نقطه M از خط I شرط y \u003d 3 را برآورده می کند. آنها می گویند که y \u003d 3 معادله خط I است یا آن خط I معادله y \u003d 3 را برآورده می کند.

شکل 29 خطوطی را نشان می دهد که معادلات y \u003d - 4 (خط l 1) ، y \u003d - 1 (خط I 2) ، y \u003d 3.5 (خط I 3) را برآورده می کند - کدام خط معادله y \u003d 01 را برآورده می کند. حدس بزن؟ محور x

توجه داشته باشید که ریاضیدانان در تلاش برای کوتاهی گفتار، می گویند "یک خط مستقیم x = 4"، نه "یک خط مستقیم که معادله x = 4 را برآورده می کند". به همین ترتیب، آنها می گویند "خط y = 3"، نه "خط رضایت بخش y = 3". ما دقیقا همین کار را خواهیم کرد. اجازه دهید اکنون به شکل 21 برگردیم. لطفاً توجه داشته باشید که نقطه M (- 1.5; 2)، که در آنجا نشان داده شده است، نقطه تقاطع خط x = 1.5 - و خط y \u003d 2 است. اکنون ظاهراً ، الگوریتم ساخت نقطه با توجه به مختصات داده شده آن مشخص خواهد بود.

الگوریتم ساخت نقطه M (a; b) در یک سیستم مختصات مستطیلی хОу

مثال در سیستم مختصات xOy، نقاطی را بسازید: A (1؛ 3)، B (-2؛ 1)، C (4؛ 0)، D (0؛ - 3).

راه حل. نقطه A نقطه تقاطع خطوط x = 1 و y = 3 است (شکل 30 را ببینید).

نقطه B نقطه تقاطع خطوط x = - 2 و y = 1 است (شکل 30). نقطه C به محور x و نقطه D به محور y تعلق دارد (شکل 30 را ببینید).

در پایان بخش، خاطرنشان می کنیم که برای اولین بار یک سیستم مختصات مستطیلی در هواپیما به طور فعال برای جایگزینی جبری استفاده می شود. مدل هافیلسوف هندسی فرانسوی رنه دکارت (1596-1650). لذا گاهی می گویند «نظام مختصات دکارتی»، «مختصات دکارتی».

لیست کامل مباحث بر اساس کلاس، برنامه تقویم مطابق برنامه درسی مدرسه در ریاضیات آنلاین، فیلمدانلود در ریاضیات پایه هفتم

A. V. Pogorelov، هندسه برای کلاس های 7-11، کتاب درسی برای موسسات آموزشی

§ 1 سیستم مختصات: تعریف و روش ساخت

در این درس با مفاهیم «سیستم مختصات»، «صفحه مختصات»، «محورهای مختصات» آشنا می شویم، نحوه ساختن نقاط بر روی هواپیما بر اساس مختصات را یاد می گیریم.

خط مختصات x را با نقطه مبدا O، جهت مثبت و پاره واحد در نظر بگیرید.

از طریق نقطه مبدا O خط مختصات x یک خط مختصات y دیگر را عمود بر x رسم می کنیم، جهت مثبت را به سمت بالا تنظیم می کنیم، قطعه واحد یکسان است. بنابراین، ما یک سیستم مختصات ساخته ایم.

بیایید یک تعریف ارائه دهیم:

دو خط مختصات عمود بر یکدیگر که در نقطه ای که مبدأ هر یک از آنهاست قطع می شوند، یک سیستم مختصات را تشکیل می دهند.

§ 2 محور مختصات و صفحه مختصات

خطوطی که سیستم مختصات را تشکیل می دهند، محورهای مختصات نامیده می شوند که هر کدام نام خاص خود را دارند: خط مختصات x محور آبسیسا است، خط مختصات y محور مختصات است.

صفحه ای که سیستم مختصات بر روی آن انتخاب می شود، صفحه مختصات نامیده می شود.

سیستم مختصات توصیف شده مستطیلی نامیده می شود. اغلب به افتخار رنه دکارت، فیلسوف و ریاضیدان فرانسوی، سیستم مختصات دکارتی نامیده می شود.

هر نقطه از صفحه مختصات دارای دو مختصات است که با انداختن عمود بر محور مختصات از نقطه مشخص می شود. مختصات یک نقطه روی صفحه یک جفت اعداد است که عدد اول ابسیسا و عدد دوم مختصات است. ابسیسا عمود بر محور x را نشان می دهد و مختصات عمود بر محور y را نشان می دهد.

نقطه A را روی صفحه مختصات علامت گذاری می کنیم، از آن به محورهای سیستم مختصات عمود می کشیم.

در امتداد عمود بر محور ابسیسا (محور x)، آبسیسا نقطه A را تعیین می کنیم، آن برابر 4 است، مختصات نقطه A - در امتداد عمود بر محور مجزا (محور y) 3 است. مختصات ما نقطه 4 و 3 هستند. A (4; 3). بنابراین، مختصات را می توان برای هر نقطه در صفحه مختصات یافت.

§ 3 ساختن یک نقطه در یک هواپیما

و نحوه ساختن یک نقطه روی هواپیما با مختصات داده شده، i.e. موقعیت آن را از مختصات یک نقطه در صفحه تعیین کنید؟ در این صورت مراحل را به ترتیب معکوس انجام می دهیم. در محورهای مختصات، نقاط مربوط به مختصات داده شده را پیدا می کنیم، که از طریق آنها خطوط مستقیم عمود بر محورهای x و y ترسیم می کنیم. نقطه تلاقی عمودها نقطه مورد نظر خواهد بود، یعنی. نقطه با مختصات داده شده

بیایید کار را کامل کنیم: یک نقطه M (2; -3) در صفحه مختصات بسازیم.

برای این کار روی محور x نقطه ای با مختصات 2 پیدا می کنیم، از این نقطه یک خط مستقیم عمود بر محور x رسم می کنیم. در محور y نقطه ای با مختصات -3 پیدا می کنیم، از طریق آن خطی عمود بر محور y رسم می کنیم. نقطه تلاقی خطوط عمود بر نقطه M خواهد بود.

حال به چند مورد خاص نگاه می کنیم.

نقاط A (0؛ 2)، B (0؛ -3)، C (0؛ 4) را در صفحه مختصات علامت گذاری می کنیم.

ابسیساهای این نقاط برابر با 0 است. شکل نشان می دهد که تمام نقاط در محور y قرار دارند.

بنابراین نقاطی که ابسیساهای آنها برابر با صفر است روی محور y قرار دارند.

بیایید مختصات این نقاط را با هم عوض کنیم.

A (2; 0)، B (-3; 0) C (4; 0) را دریافت کنید. در این حالت، همه مختصات 0 هستند و نقاط روی محور x قرار دارند.

این بدان معنی است که نقاطی که مختصات آنها برابر با صفر است روی محور آبسیسا قرار دارند.

بیایید دو مورد دیگر را در نظر بگیریم.

در صفحه مختصات، نقاط M (3؛ 2)، N (3؛ -1)، P (3؛ -4) را علامت بزنید.

به راحتی می توان فهمید که تمام ابسیساهای نقاط یکسان هستند. اگر این نقاط به هم متصل باشند، یک خط مستقیم موازی با محور ارتین و عمود بر محور آبسیسا به دست می‌آید.

نتیجه خود را نشان می دهد: نقاطی که دارای ابسیسا یکسان هستند روی یک خط مستقیم قرار می گیرند که موازی با محور مختصات و عمود بر محور آبسیسا است.

اگر مختصات نقاط M، N، P را در مکان ها تغییر دهیم، M (2; 3)، N (-1; 3)، P (-4; 3) به دست می آید. ترتیب امتیازات یکسان می شود. در این صورت، اگر این نقاط را به هم وصل کنید، یک خط مستقیم موازی با محور آبسیسا و عمود بر محور ارتین به دست می آید.

بنابراین، نقاطی که دارای اردین یکسان هستند، روی یک خط مستقیم موازی با محور آبسیسا و عمود بر محور ارتین قرار دارند.

در این درس با مفاهیم «سیستم مختصات»، «صفحه مختصات»، «محورهای مختصات - محور آبسیسا و محور y» آشنا شدید. ما یاد گرفتیم که چگونه مختصات یک نقطه را در یک صفحه مختصات پیدا کنیم و یاد گرفتیم که چگونه نقاط یک صفحه را با مختصات آن بسازیم.

فهرست ادبیات مورد استفاده:

1. ریاضی. کلاس ششم: طرح درس برای کتاب درسی توسط I.I. زوباروا، A.G. موردکوویچ // نویسنده-تدوین کننده L.A. توپیلین. - Mnemosyne، 2009.
2. ریاضی. کلاس ششم: کتاب درسی برای دانش آموزان مؤسسات آموزشی. I.I. Zubareva، A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina، 2013.
3. ریاضی. کلاس ششم: کتاب درسی موسسات آموزشی / G.V. دوروفیف، I.F. شاریگین، س.ب. سووروف و دیگران / ویرایش شده توسط G.V. دوروفیوا، I.F. شاریگین; آکادمی علوم روسیه، آکادمی آموزش روسیه. - م.: "روشنگری"، 2010
4. کتاب ریاضیات - http://lyudmilanik.com.ua
5. کتابچه راهنمای دانش آموزان در دبیرستان http://shkolo.ru

درک صفحه مختصات

هر شی (به عنوان مثال، یک خانه، یک مکان در سالن، یک نقطه روی نقشه) دارای آدرس (مختصات) خود است که دارای یک علامت عددی یا الفبایی است.

ریاضیدانان مدلی ساخته اند که به شما امکان می دهد موقعیت یک جسم را تعیین کنید و نامیده می شود هواپیمای مختصات.

برای ساختن یک صفحه مختصات، باید خطوط عمود بر 2$ ترسیم کنید که در انتهای آن با فلش های جهت "راست" و "بالا" نشان داده شده است. تقسیمات روی خطوط اعمال می شود و نقطه تلاقی خطوط علامت صفر برای هر دو مقیاس است.

تعریف 1

خط افقی نامیده می شود محور xو با x نشان داده می شود و خط عمودی نامیده می شود محور yو با y مشخص شده است.

دو محور عمود بر x و y با تقسیم هستند مستطیل شکل، یا دکارتی, دستگاه مختصاتتوسط رنه دکارت فیلسوف و ریاضیدان فرانسوی پیشنهاد شده است.

هواپیمای مختصات

مختصات نقطه

یک نقطه در صفحه مختصات با دو مختصات تعریف می شود.

برای تعیین مختصات نقطه $A$ در صفحه مختصات، باید خطوط مستقیم را از طریق آن ترسیم کنید، که موازی با محورهای مختصات خواهند بود (در شکل آنها با یک خط نقطه مشخص شده اند). تقاطع خط با محور x مختصات $x$ $A$ را به دست می دهد و تقاطع با محور y مختصات y $A$ را به دست می دهد. هنگام نوشتن مختصات یک نقطه ابتدا مختصات $x$ و سپس مختصات $y$ نوشته می شود.

نقطه $A$ در شکل دارای مختصات $(3; 2)$ و نقطه $B (–1; 4)$ است.

برای رسم یک نقطه در صفحه مختصات، به ترتیب معکوس عمل کنید.

ساختن نقطه با مختصات داده شده

مثال 1

نقاط $A(2;5)$ و $B(3; -1).$ را در صفحه مختصات بسازید

راه حل.

نقطه ساختمان $A$:

• عدد $2$ را روی محور $x$ قرار داده و یک خط عمود بر آن رسم کنید.
• روی محور y عدد $5$ را رسم می کنیم و یک خط مستقیم عمود بر محور $y$ رسم می کنیم. در محل تقاطع خطوط عمود بر هم، نقطه $A$ را با مختصات $(2; 5)$ بدست می آوریم.

نقطه ساختمان $B$:

• عدد $3$ را روی محور $x$ رسم کنید و یک خط مستقیم عمود بر محور x رسم کنید.
• عدد $(–1)$ را روی محور $y$ رسم کنید و یک خط مستقیم عمود بر محور $y$ رسم کنید. در محل تلاقی خطوط عمود، نقطه $B$ را با مختصات $(3; –1)$ بدست می آوریم.

مثال 2

نقاطی را در صفحه مختصات با مختصات داده شده $C (3; 0)$ و $D(0; 2)$ بسازید.

راه حل.

ساخت نقطه $C$:

• عدد $3$ را روی محور $x$ قرار دهید.
• مختصات $y$ برابر با صفر است، بنابراین نقطه $C$ روی محور $x$ قرار خواهد گرفت.

ساخت نقطه $D$:

• عدد $2$ را روی محور $y$ قرار دهید.
• مختصات $x$ برابر با صفر است، به این معنی که نقطه $D$ روی محور $y$ قرار خواهد گرفت.

تبصره 1

بنابراین در مختصات $x=0$ نقطه روی محور $y$ و در مختصات $y=0$ نقطه روی محور $x$ قرار خواهد گرفت.

مثال 3

مختصات نقاط A، B، C، D.$ را تعیین کنید

راه حل.

اجازه دهید مختصات نقطه $A$ را تعیین کنیم. برای انجام این کار، خطوط مستقیمی را از طریق این نقطه $2$ ترسیم می کنیم که موازی با محورهای مختصات خواهد بود. تقاطع یک خط مستقیم با محور آبسیسا مختصات $x$ و تقاطع خط مستقیم با محور y مختصات $y$ را می دهد. بنابراین، ما نقطه $A (1; 3).$ را دریافت می کنیم

اجازه دهید مختصات نقطه $B$ را تعیین کنیم. برای انجام این کار، خطوط مستقیمی را از طریق این نقطه $2$ ترسیم می کنیم که موازی با محورهای مختصات خواهد بود. تقاطع یک خط مستقیم با محور آبسیسا مختصات $x$ و تقاطع خط مستقیم با محور y مختصات $y$ را می دهد. دریافت می کنیم که نقطه $B (–2; 4).$

اجازه دهید مختصات نقطه $C$ را تعیین کنیم. زیرا روی محور $y$ قرار دارد، سپس مختصات $x$ این نقطه برابر با صفر است. مختصات y $–2$ است. بنابراین، نقطه $C (0; -2)$ است.

اجازه دهید مختصات نقطه $D$ را تعیین کنیم. زیرا روی محور $x$ قرار دارد، سپس مختصات $y$ برابر با صفر است. مختصات $x$ این نقطه $-5$ است. بنابراین، نقطه $D (5; 0).$

مثال 4

نقاط $E(-3; -2)، F(5; 0)، G(3; 4)، H(0; -4)، O(0; 0).$ را بسازید.

راه حل.

ساخت نقطه $E$:

• عدد $(–3)$ را روی محور $x$ قرار داده و یک خط عمود بر آن رسم کنید.
• عدد $(–2)$ را روی محور $y$ قرار دهید و یک خط عمود بر محور $y$ رسم کنید.
• در تقاطع خطوط عمود بر نقطه $E (–3; –2).$ می‌گیریم

نقطه ساختمان $F$:

• مختصات $y=0$، بنابراین نقطه روی محور $x$ قرار دارد.
• عدد $5$ را روی محور $x$ رسم کنید و نقطه $F(5; 0).$ را بدست آورید

ساخت نقطه $G$:

• عدد $3$ را روی محور $x$ قرار دهید و یک خط عمود بر محور $x$ رسم کنید.
• عدد $4$ را روی محور $y$ قرار دهید و یک خط عمود بر محور $y$ رسم کنید.
• در تقاطع خطوط عمود بر نقطه $G(3; 4).$ بدست می آید

ساخت نقطه $H$:

• مختصات $x=0$، بنابراین نقطه روی محور $y$ قرار دارد.
• عدد $(–4)$ را روی محور $y$ رسم کنید و نقطه $H(0; –4).$ را بدست آورید.

ساخت نقطه $O$:

• هر دو مختصات نقطه برابر با صفر هستند، به این معنی که نقطه هم روی محور $y$ و هم روی محور $x$ قرار دارد، بنابراین نقطه تلاقی هر دو محور (مبدا مختصات) است.