سرعت حرکت هنگام حرکت در دایره. حرکت یک جسم در دایره با سرعت مطلق ثابت

در این درس به حرکت منحنی، یعنی حرکت یکنواخت یک جسم در دایره خواهیم پرداخت. ما یاد خواهیم گرفت که سرعت خطی چیست، شتاب مرکزگرا هنگامی که یک جسم در یک دایره حرکت می کند. همچنین کمیت هایی را معرفی خواهیم کرد که حرکت دورانی را مشخص می کنند (دوره چرخش، فرکانس چرخش، سرعت زاویه ای) و این کمیت ها را با یکدیگر مرتبط می کنیم.

منظور ما از حرکت دایره ای یکنواخت این است که بدن در هر دوره زمانی مساوی از یک زاویه می چرخد ​​(شکل 6 را ببینید).

برنج. 6. حرکت یکنواخت در یک دایره

یعنی ماژول سرعت لحظه ای تغییر نمی کند:

این سرعت نامیده می شود خطی.

اگر چه اندازه سرعت تغییر نمی کند، جهت سرعت به طور مداوم تغییر می کند. بیایید بردارهای سرعت را در نقاط در نظر بگیریم آو ب(شکل 7 را ببینید). آنها در جهت های مختلف هدایت می شوند، بنابراین آنها برابر نیستند. اگر از سرعت در نقطه کم کنیم بسرعت در نقطه آ، بردار را می گیریم.

برنج. 7. بردارهای سرعت

نسبت تغییر سرعت () به زمانی که در طی آن این تغییر رخ داده است () شتاب است.

بنابراین، هر حرکت منحنی شتاب می گیرد.

اگر مثلث سرعت به دست آمده در شکل 7 را در نظر بگیریم، با آرایش بسیار نزدیک نقاط آو بنسبت به یکدیگر، زاویه (α) بین بردارهای سرعت نزدیک به صفر خواهد بود:

همچنین مشخص است که این مثلث متساوی الساقین است، بنابراین ماژول های سرعت برابر هستند (حرکت یکنواخت):

بنابراین، هر دو زاویه در قاعده این مثلث به طور نامحدود نزدیک به:

این بدان معنی است که شتابی که در امتداد بردار هدایت می شود، در واقع عمود بر مماس است. مشخص است که یک خط در یک دایره عمود بر مماس یک شعاع است، بنابراین شتاب در امتداد شعاع به سمت مرکز دایره هدایت می شود. این شتاب مرکز محور نامیده می شود.

شکل 8 مثلث سرعت و یک مثلث متساوی الساقین را نشان می دهد (دو ضلع شعاع دایره هستند). این مثلث ها شبیه هم هستند زیرا دارای زوایای مساوی هستند که توسط خطوط متقابل عمود بر هم تشکیل شده اند (شعاع و بردار عمود بر مماس هستند).

برنج. 8. تصویری برای استخراج فرمول شتاب مرکزگرا

بخش خط ABحرکت (). ما حرکت یکنواخت را در یک دایره در نظر می گیریم، بنابراین:

اجازه دهید عبارت حاصل را جایگزین کنیم ABبه فرمول تشابه مثلث:

مفاهیم "سرعت خطی"، "شتاب"، "مختصات" برای توصیف حرکت در طول یک مسیر منحنی کافی نیستند. بنابراین، لازم است کمیت های مشخص کننده حرکت چرخشی معرفی شوند.

1. دوره چرخش (تی ) زمان یک انقلاب کامل نامیده می شود. در واحدهای SI در ثانیه اندازه گیری می شود.

نمونه هایی از دوره ها: زمین در 24 ساعت () و به دور خورشید - در 1 سال () به دور محور خود می چرخد.

فرمول محاسبه دوره:

زمان کل چرخش کجاست - تعداد انقلاب ها

2. فرکانس چرخش (n ) - تعداد دورهایی که یک بدن در واحد زمان انجام می دهد. در واحدهای SI در ثانیه های متقابل اندازه گیری می شود.

فرمول یافتن فرکانس:

زمان کل چرخش کجاست - تعداد انقلاب ها

فرکانس و دوره کمیت هایی با نسبت معکوس هستند:

3. سرعت زاویهای () نسبت تغییر زاویه چرخش جسم را به زمانی که در طی آن این چرخش رخ داده است، می گویند. در واحدهای SI بر حسب رادیان تقسیم بر ثانیه اندازه گیری می شود.

فرمول یافتن سرعت زاویه ای:

تغییر زاویه کجاست - زمانی که در طی آن چرخش از طریق زاویه رخ داده است.

یک مورد خاص مهم از حرکت ذرات در طول یک مسیر مشخص، حرکت در یک دایره است. موقعیت یک ذره روی یک دایره (شکل 46) را می توان با نشان دادن فاصله از نقطه شروع A، بلکه با نشان دادن زاویه ای که توسط شعاع رسم شده از مرکز O دایره به ذره با شعاع رسم شده به آن مشخص می شود، مشخص کرد. نقطه شروع A.

همراه با سرعت حرکت در طول مسیر که به صورت تعریف شده است

معرفی سرعت زاویه ای، که مشخص کننده سرعت تغییر زاویه است، راحت است

سرعت حرکت در طول مسیر را سرعت خطی نیز می گویند. اجازه دهید بین سرعت های خطی و زاویه ای ارتباط برقرار کنیم. طول قوس I که زاویه را فرو می‌کند برابر است با جایی که شعاع دایره است و زاویه بر حسب رادیان اندازه‌گیری می‌شود. بنابراین، سرعت زاویه ای co به سرعت خطی توسط رابطه مرتبط است

برنج. 46. ​​Angle موقعیت یک نقطه را روی یک دایره مشخص می کند

شتاب هنگام حرکت در یک دایره، و همچنین در حین حرکت منحنی دلخواه، در حالت کلی دارای دو جزء است: مماس، جهت مماس بر دایره و مشخص کننده سرعت تغییر در مقدار سرعت، و نرمال، به سمت مرکز دایره و مشخص کردن سرعت تغییر در جهت سرعت.

مقدار مولفه نرمال شتاب که در این مورد (حرکت دایره ای) شتاب مرکزی نامیده می شود، با فرمول کلی (3) § 8 به دست می آید که در آن اکنون می توان سرعت خطی را بر حسب سرعت زاویه ای با استفاده از فرمول (3) بیان کرد. ):

در اینجا شعاع دایره البته برای همه نقاط مسیر یکسان است.

با حرکت یکنواخت در یک دایره، هنگامی که مقدار ثابت است، سرعت زاویه ای co، همانطور که از (3) مشاهده می شود، نیز ثابت است. در این مورد، گاهی اوقات فرکانس چرخه ای نامیده می شود.

دوره و فرکانس.برای مشخص کردن حرکت دایره ای یکنواخت، همراه با c، راحت است از دوره چرخش T استفاده شود، که به عنوان زمانی که در طی آن یک دور کامل انجام می شود، و فرکانس - متقابل دوره T، که برابر با تعداد دور در واحد زمان:

از تعریف (2) سرعت زاویه ای، رابطه بین کمیت ها را دنبال می کند

این رابطه به ما امکان می دهد فرمول (4) را برای شتاب مرکز به شکل زیر بنویسیم:

توجه داشته باشید که سرعت زاویه ای co بر حسب رادیان بر ثانیه و فرکانس با دور بر ثانیه اندازه گیری می شود. ابعاد و یکسان است زیرا این مقادیر فقط با یک عامل عددی متفاوت هستند

وظیفه

در کنار جاده کمربندی. ریل های راه آهن اسباب بازی یک حلقه شعاع تشکیل می دهند (شکل 47). ماشین در امتداد آنها حرکت می کند، توسط میله ای که با سرعت زاویه ای ثابت به دور نقطه ای که در داخل حلقه قرار دارد تقریباً در همان ریل می چرخد، حرکت می کند. سرعت تریلر در حین حرکت چگونه تغییر می کند؟

برنج. 47. برای یافتن سرعت زاویه ای هنگام رانندگی در امتداد جاده کمربندی

راه حل. زاویه تشکیل شده توسط میله ای با جهت معین در طول زمان طبق قانون خطی تغییر می کند: . به عنوان جهتی که زاویه از آن اندازه گیری می شود، اندازه گیری قطر دایره ای که از نقطه عبور می کند راحت است (شکل 47). نقطه O مرکز دایره است. بدیهی است که زاویه مرکزی که موقعیت تریلر را روی دایره تعیین می کند، دو برابر زاویه محاطی شده بر روی همان قوس است: بنابراین، سرعت زاویه ای تریلر هنگام حرکت در امتداد ریل، دو برابر سرعت زاویه ای است که میله با آن حرکت می کند. می چرخد:

بنابراین، سرعت زاویه ای از تریلر ثابت شد. این بدان معنی است که تریلر به طور یکنواخت در طول ریل حرکت می کند. سرعت خطی آن ثابت و برابر است

شتاب تریلر با چنین حرکت دایره ای یکنواخت همیشه به سمت مرکز O است و ماژول آن با عبارت (4) نشان داده می شود:

به فرمول (4) نگاه کنید. چگونه باید فهمید: آیا شتاب همچنان متناسب است یا معکوس؟

توضیح دهید چرا در حین حرکت ناهموار به دور یک دایره، سرعت زاویه ای co معنی خود را حفظ می کند، اما معنای خود را از دست می دهد؟

سرعت زاویه ای به عنوان یک بردار.در برخی موارد، راحت است که سرعت زاویه ای را بردار در نظر بگیریم که قدر آن برابر و جهت ثابت آن عمود بر صفحه ای است که دایره در آن قرار دارد. با استفاده از چنین بردار، می توانید فرمولی شبیه (3) بنویسید که بردار سرعت یک ذره را که در یک دایره حرکت می کند، بیان می کند.

برنج. 48. بردار سرعت زاویه ای

بیایید مبدا را در مرکز O دایره قرار دهیم. سپس، هنگامی که ذره حرکت می کند، بردار شعاع آن فقط با سرعت زاویه ای co می چرخد ​​و مدول آن همیشه برابر با شعاع دایره خواهد بود (شکل 48). مشاهده می شود که بردار سرعتی که به صورت مماس بر دایره هدایت می شود را می توان به عنوان حاصلضرب بردار سرعت زاویه ای c و بردار شعاع ذره نشان داد:

اثر هنری وکتور.طبق تعریف، حاصل ضرب متقاطع دو بردار بردار عمود بر صفحه ای است که بردارهای ضرب شده در آن قرار دارند. جهت حاصلضرب بردار طبق قانون زیر انتخاب می شود. عامل اول از نظر ذهنی به سمت دومی می چرخد، انگار دسته آچار است. محصول برداری در همان جهتی هدایت می شود که یک پیچ با رزوه سمت راست حرکت می کند.

اگر فاکتورهای یک محصول برداری با هم عوض شوند، جهت آن به عکس تغییر خواهد کرد: به این معنی که حاصلضرب بردار غیرقابل تعویض است.

از شکل 48 مشاهده می شود که فرمول (8) در صورتی که بردار co دقیقاً همانطور که در این شکل نشان داده شده است جهت گیری صحیح را برای بردار نشان دهد. بنابراین، می توانیم قاعده زیر را فرموله کنیم: جهت بردار سرعت زاویه ای با جهت حرکت یک پیچ با رزوه سمت راست، که سر آن در همان جهتی می چرخد ​​که ذره در اطراف دایره حرکت می کند، منطبق است.

طبق تعریف، مدول یک ضرب بردار برابر است با حاصل ضرب مدول بردارهای ضرب شده و سینوس زاویه a بین آنها:

در فرمول (8) بردارهای ضرب شده c و عمود بر یکدیگر هستند، بنابراین همانطور که باید مطابق با فرمول (3) باشد.

در مورد ضرب ضربدری دو بردار موازی چه می توانید بگویید؟

جهت بردار سرعت زاویه ای عقربه ساعت چیست؟ این بردارها برای عقربه های دقیقه و ساعت چه تفاوتی دارند؟

حرکت یکنواخت در اطراف یک دایره- این ساده ترین مثال است. به عنوان مثال، انتهای عقربه ساعت به صورت دایره ای در اطراف یک صفحه حرکت می کند. سرعت حرکت جسم در دایره نامیده می شود سرعت خطی.

با حرکت یکنواخت یک جسم در یک دایره، مدول سرعت جسم در طول زمان تغییر نمی کند، یعنی v = const، و فقط جهت بردار سرعت تغییر می کند، در این حالت تغییری ایجاد نمی شود 0) و تغییر بردار سرعت در جهت با کمیتی به نام مشخص می شود شتاب گریز از مرکز() یک n یا یک CS. در هر نقطه، بردار شتاب مرکزگرا به سمت مرکز دایره در امتداد شعاع هدایت می شود.

مدول شتاب گریز از مرکز برابر است با

a CS = v 2 / R

در جایی که v سرعت خطی است، R شعاع دایره است

برنج. 1.22. حرکت بدن در دایره.

هنگام توصیف حرکت یک جسم در یک دایره، از زاویه چرخش شعاع- زاویه φ که در طول زمان t شعاع کشیده شده از مرکز دایره به نقطه ای که جسم متحرک در آن لحظه در آن قرار دارد می چرخد. زاویه چرخش بر حسب رادیان اندازه گیری می شود. برابر با زاویه بین دو شعاع یک دایره است که طول قوس بین آنها برابر با شعاع دایره است (شکل 1.23). یعنی اگر l=R باشد، پس

1 رادیان = l/R

زیرا دورمساوی با

l = 2πR

360 o = 2πR / R = 2π راد.

از این رو

1 راد = 57.2958 o = 57 o 18'

سرعت زاویهایحرکت یکنواخت یک جسم در یک دایره مقدار ω است، برابر با نسبت زاویه چرخش شعاع φ به دوره زمانی که در طی آن این چرخش انجام می شود:

ω = φ / t

واحد اندازه گیری سرعت زاویه ای رادیان بر ثانیه [rad/s] است. ماژول سرعت خطی با نسبت طول مسیر طی شده l به فاصله زمانی t تعیین می شود:

v=l/t

سرعت خطیبا حرکت یکنواخت در اطراف یک دایره، در امتداد مماس در یک نقطه معین از دایره هدایت می شود. هنگامی که یک نقطه حرکت می کند، طول l قوس دایره ای که نقطه عبور می کند به زاویه چرخش φ با عبارت مربوط می شود.

l = Rφ

که در آن R شعاع دایره است.

سپس در مورد حرکت یکنواخت نقطه، سرعت های خطی و زاویه ای با رابطه:

v = l / t = Rφ / t = Rω یا v = Rω

برنج. 1.23. رادیان.

دوره گردش- این دوره زمانی T است که در طی آن جسم (نقطه) یک دور به دور دایره می چرخد. فرکانس- این متقابل دوره انقلاب است - تعداد دور در واحد زمان (در هر ثانیه). فرکانس گردش با حرف n نشان داده می شود.

n=1/T

در یک دوره، زاویه چرخش φ یک نقطه برابر با 2π راد است، بنابراین 2π = ωT، از این رو

T = 2π/ω

یعنی سرعت زاویه ای برابر است با

ω = 2π / T = 2πn

شتاب مرکزگرارا می توان بر حسب دوره T و فرکانس گردش n بیان کرد:

a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2

از آنجایی که سرعت خطی به طور یکنواخت تغییر جهت می دهد، حرکت دایره ای را نمی توان یکنواخت نامید، به طور یکنواخت شتاب می گیرد.

سرعت زاویهای

بیایید یک نقطه از دایره را انتخاب کنیم 1 . بیایید یک شعاع بسازیم. در یک واحد زمان، نقطه به نقطه دیگر منتقل می شود 2 . در این مورد، شعاع زاویه را توصیف می کند. سرعت زاویه ای از نظر عددی برابر با زاویه چرخش شعاع در واحد زمان است.

دوره و فرکانس

دوره چرخش تی- این زمانی است که بدن یک چرخش می کند.

فرکانس چرخش تعداد دور در ثانیه است.

فرکانس و دوره با رابطه به هم مرتبط هستند

رابطه با سرعت زاویه ای

سرعت خطی

هر نقطه روی دایره با سرعت مشخصی حرکت می کند. به این سرعت خطی می گویند. جهت بردار سرعت خطی همیشه با مماس بر دایره منطبق است.به عنوان مثال، جرقه های زیر یک ماشین سنگ زنی حرکت می کند و جهت سرعت آنی را تکرار می کند.

نقطه ای از دایره را در نظر بگیرید که یک چرخش می کند، زمان صرف شده دوره است تیمسیری که یک نقطه طی می کند، محیط است.

شتاب مرکزگرا

هنگام حرکت در یک دایره، بردار شتاب همیشه عمود بر بردار سرعت است و به سمت مرکز دایره هدایت می شود.

با استفاده از فرمول های قبلی می توانیم روابط زیر را استخراج کنیم

نقاطی که روی یک خط مستقیم قرار دارند که از مرکز دایره بیرون می‌آیند (مثلاً، می‌توانند نقاطی باشند که روی پره‌های یک چرخ قرار دارند) سرعت، دوره و فرکانس زاویه‌ای یکسانی خواهند داشت. یعنی چرخش یکسانی دارند اما با سرعت های خطی متفاوت. هر چه یک نقطه از مرکز دورتر باشد، سریعتر حرکت می کند.

قانون جمع سرعت برای حرکت چرخشی نیز معتبر است. اگر حرکت جسم یا چارچوب مرجع یکنواخت نباشد، قانون در مورد سرعت های لحظه ای اعمال می شود. به عنوان مثال، سرعت شخصی که در امتداد لبه چرخ فلک دوار راه می‌رود برابر است با مجموع بردار سرعت خطی چرخش لبه چرخ فلک و سرعت فرد.

زمین در دو حرکت چرخشی اصلی شرکت می کند: روزانه (حول محور خود) و مداری (به دور خورشید). دوره چرخش زمین به دور خورشید 1 سال یا 365 روز است. زمین حول محور خود از غرب به شرق می چرخد ​​که مدت این چرخش 1 روز یا 24 ساعت است. عرض جغرافیایی زاویه بین صفحه استوا و جهت از مرکز زمین تا نقطه ای از سطح آن است.

طبق قانون دوم نیوتن، علت هر شتاب، نیرو است. اگر جسم متحرک شتاب مرکزگرا را تجربه کند، آنگاه ماهیت نیروهایی که باعث این شتاب می شوند ممکن است متفاوت باشد. به عنوان مثال، اگر جسمی به صورت دایره ای روی طنابی که به آن بسته شده است حرکت کند، آنگاه نیروی عمل کننده نیروی کشسان است.

اگر جسمی که روی دیسک قرار دارد با دیسک حول محور خود بچرخد، چنین نیرویی نیروی اصطکاک است. اگر نیرو عمل خود را متوقف کند، بدن در یک خط مستقیم به حرکت خود ادامه می دهد

حرکت یک نقطه روی یک دایره از A به B را در نظر بگیرید. سرعت خطی برابر است با

حالا بیایید به یک سیستم ثابت متصل به زمین برویم. شتاب کل نقطه A هم از نظر بزرگی و هم جهت یکسان باقی می ماند، زیرا هنگام حرکت از یک سیستم مرجع اینرسی به سیستم مرجع اینرسی دیگر، شتاب تغییر نمی کند. از دیدگاه یک ناظر ثابت، مسیر نقطه A دیگر یک دایره نیست، بلکه یک منحنی پیچیده تر (سیکلوئید) است که در طول آن نقطه به طور ناهموار حرکت می کند.

حرکت دایره ای ساده ترین حالت حرکت منحنی یک جسم است. هنگامی که یک جسم در اطراف یک نقطه خاص حرکت می کند، همراه با بردار جابجایی، وارد کردن جابجایی زاویه ای Δ φ (زاویه چرخش نسبت به مرکز دایره) که بر حسب رادیان اندازه گیری می شود، راحت است.

با دانستن جابجایی زاویه ای، می توانید طول قوس دایره ای (مسیری) را که بدن طی کرده است محاسبه کنید.

∆ l = R ∆ φ

اگر زاویه چرخش کوچک باشد، ∆ l ≈ ∆ s.

اجازه دهید آنچه گفته شد را توضیح دهیم:

سرعت زاویهای

با حرکت منحنی، مفهوم سرعت زاویه ای ω معرفی می شود، یعنی نرخ تغییر در زاویه چرخش.

تعریف. سرعت زاویهای

سرعت زاویه ای در یک نقطه معین از مسیر، حد نسبت جابجایی زاویه ای Δ φ به فاصله زمانی Δ t است که طی آن اتفاق افتاده است. ∆ t → 0 .

ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .

واحد اندازه گیری سرعت زاویه ای رادیان بر ثانیه (r a d s) است.

بین سرعت زاویه ای و خطی یک جسم هنگام حرکت در دایره رابطه وجود دارد. فرمول یافتن سرعت زاویه ای:

با حرکت یکنواخت در یک دایره، سرعت های v و ω بدون تغییر باقی می مانند. فقط جهت بردار سرعت خطی تغییر می کند.

در این حالت، حرکت یکنواخت در یک دایره با شتاب مرکزگرا یا عادی که در امتداد شعاع دایره به مرکز آن هدایت می شود، بر بدن تأثیر می گذارد.

a n = ∆ v → ∆ t، ∆ t → 0

مدول شتاب گریز از مرکز را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

a n = v 2 R = ω 2 R

اجازه دهید این روابط را ثابت کنیم.

بیایید در نظر بگیریم که چگونه بردار v → در مدت زمان کوتاهی ∆ t تغییر می کند. ∆ v → = v B → - v A → .

در نقاط A و B، بردار سرعت به صورت مماس بر دایره هدایت می شود، در حالی که مدول های سرعت در هر دو نقطه یکسان هستند.

با تعریف شتاب:

a → = ∆ v → ∆ t، ∆ t → 0

بیایید به تصویر نگاه کنیم:

مثلث های OAB و BCD مشابه هستند. از این نتیجه می شود که O A A B = B C C D .

اگر مقدار زاویه ∆ φ کوچک باشد، فاصله A B = ∆ s ≈ v · ∆ t. با در نظر گرفتن اینکه O A = R و C D = ∆ v برای مثلث های مشابه در نظر گرفته شده در بالا، به دست می آوریم:

R v ∆ t = v ∆ v یا ∆ v ∆ t = v 2 R

وقتی ∆ φ → 0، جهت بردار ∆ v → = v B → - v A → جهت به مرکز دایره نزدیک می شود. با فرض اینکه ∆ t → 0 به دست می آوریم:

a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .

با حرکت یکنواخت در اطراف یک دایره، مدول شتاب ثابت می ماند و جهت بردار با گذشت زمان تغییر می کند و جهت گیری را تا مرکز دایره حفظ می کند. به همین دلیل است که این شتاب را مرکز دایره می نامند: بردار در هر لحظه از زمان به سمت مرکز دایره هدایت می شود.

نوشتن شتاب مرکز به شکل برداری به این صورت است:

a n → = - ω 2 R → .

در اینجا R → بردار شعاع یک نقطه روی یک دایره است که مبدا آن در مرکز آن است.

به طور کلی، شتاب هنگام حرکت در یک دایره شامل دو جزء است - عادی و مماسی.

اجازه دهید موردی را در نظر بگیریم که یک جسم به طور ناموزون در اطراف یک دایره حرکت می کند. اجازه دهید مفهوم شتاب مماسی (مماسی) را معرفی کنیم. جهت آن با جهت سرعت خطی جسم منطبق است و در هر نقطه از دایره مماس بر آن است.

a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0

در اینجا ∆ v τ = v 2 - v 1 - تغییر در ماژول سرعت در بازه ∆ t

جهت شتاب کل با مجموع برداری شتاب های عادی و مماسی تعیین می شود.

حرکت دایره ای در یک صفحه را می توان با استفاده از دو مختصات توصیف کرد: x و y. در هر لحظه از زمان، سرعت بدن را می توان به اجزای v x و v y تجزیه کرد.

اگر حرکت یکنواخت باشد، کمیت های v x و v y و همچنین مختصات مربوطه در زمان بر اساس قانون هارمونیک با دوره T = 2 π R v = 2 π ω تغییر می کنند.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید