حل یک سیستم همگن از معادلات جبری خطی مثال. سیستم تصمیم گیری بنیادی (مثال خاص)

سیستم های معادلات همگن خطی- دارای شکل ∑a k i x i = 0 است. که در آن m > n یا m یک سیستم همگن از معادلات خطی همیشه سازگار است، زیرا rangA = rangB. بدیهی است که راه حلی متشکل از صفر دارد که به آن می گویند ناچیز.

هدف از خدمات. ماشین حساب آنلاین برای یافتن یک راه حل غیر ضروری و اساسی برای SLAE طراحی شده است. راه حل به دست آمده در یک فایل Word ذخیره می شود (به مثال راه حل مراجعه کنید).

دستورالعمل ها. بعد ماتریس را انتخاب کنید:

خواص سیستم های معادلات همگن خطی

برای اینکه سیستم داشته باشد راه حل های غیر پیش پا افتاده، لازم و کافی است که رتبه ماتریس آن کمتر از تعداد مجهولات باشد.

قضیه. یک سیستم در حالت m=n یک راه حل غیر ضروری دارد اگر و فقط اگر تعیین کننده این سیستم برابر با صفر باشد.

قضیه. هر ترکیب خطی از راه حل های یک سیستم نیز راه حلی برای آن سیستم است.
تعریف. مجموعه راه حل های یک سیستم معادلات همگن خطی نامیده می شود سیستم اساسی راه حل ها، اگر این مجموعه از راه حل های مستقل خطی تشکیل شده باشد و هر راه حلی برای سیستم ترکیبی خطی از این راه حل ها باشد.

قضیه. اگر رتبه r ماتریس سیستم کمتر از تعداد n مجهولات باشد، یک سیستم اساسی از راه حل ها متشکل از راه حل های (n-r) وجود دارد.

الگوریتم حل سیستم معادلات همگن خطی

پیدا کردن رتبه ماتریس.
ما مینور اصلی را انتخاب می کنیم. مجهولات وابسته (اساسی) و مجهول آزاد را تشخیص می دهیم.
ما آن معادلات سیستم را خط می زنیم که ضرایب آنها در ضرایب پایه جزئی قرار نمی گیرند، زیرا آنها پیامدهای دیگر هستند (طبق قضیه بر اساس جزئی).
عبارت های معادلات حاوی مجهولات آزاد را به سمت راست منتقل می کنیم. در نتیجه، سیستمی از معادلات r با مجهولات r، معادل معادله داده شده، به دست می آوریم که تعیین کننده آن غیر صفر است.
سیستم حاصل را با حذف مجهولات حل می کنیم. ما روابطی را پیدا می کنیم که متغیرهای وابسته را از طریق متغیرهای آزاد بیان می کند.
اگر رتبه ماتریس با تعداد متغیرها برابر نباشد، راه حل اساسی سیستم را پیدا می کنیم.
در مورد rang = n یک راه حل ساده داریم.

مثال. اساس سیستم بردارها (a 1, a 2,...,a m) را بیابید و بردارها را بر اساس پایه رتبه بندی و بیان کنید. اگر 1 =(0,0,1,-1) و 2 =(1,1,2,0) و 3 =(1,1,1,1) و 4 =(3,2,1 ,4) و 5 =(2,1,0,3).
بیایید ماتریس اصلی سیستم را بنویسیم:

خط سوم را در (3-) ضرب کنید. بیایید خط 4 را به 3 اضافه کنیم:

0	0	1	-1
0	0	-1	1
0	-1	-2	1
3	2	1	4
2	1	0	3

خط چهارم را در (2-) ضرب کنید. بیایید خط 5 را در (3) ضرب کنیم. بیایید خط 5 را به خط 4 اضافه کنیم:
بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:
بیایید رتبه ماتریس را پیدا کنیم.
سیستم با ضرایب این ماتریس معادل سیستم اصلی است و به شکل زیر است:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
با استفاده از روش حذف مجهولات، یک راه حل غیر ضروری پیدا می کنیم:
ما روابطی را به دست آوردیم که متغیرهای وابسته x 1 , x 2 , x 3 را از طریق متغیرهای آزاد x 4 بیان می کند، یعنی یک راه حل کلی پیدا کردیم:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4

یک سیستم همگن همیشه سازگار است و یک راه حل بی اهمیت دارد
. برای اینکه یک راه حل غیر ضروری وجود داشته باشد، لازم است که رتبه ماتریس کمتر از تعداد مجهولات بود:

سیستم بنیادی راه حل ها سیستم همگن
سیستمی از راه حل ها را به شکل بردارهای ستونی می نامید
، که با مبنای شرعی مطابقت دارند، یعنی. مبنایی که در آن ثابت های دلخواه
به طور متناوب برابر با یک، در حالی که بقیه صفر تنظیم می شوند.

سپس راه حل کلی سیستم همگن به شکل زیر است:

جایی که
- ثابت های دلخواه به عبارت دیگر، راه حل کلی ترکیبی خطی از سیستم اساسی راه حل ها است.

بنابراین، در صورتی که مجهولات آزاد به نوبه خود مقدار یک داده شوند و بقیه مجهولات برابر با صفر قرار گیرند، می توان راه حل های اساسی را از راه حل کلی به دست آورد.

مثال. بیایید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم

بیایید قبول کنیم، سپس یک راه حل به شکل زیر دریافت می کنیم:

بیایید اکنون یک سیستم اساسی از راه حل ها بسازیم:

راه حل کلی به صورت زیر نوشته می شود:

راه حل های یک سیستم معادلات خطی همگن دارای ویژگی های زیر هستند:

به عبارت دیگر، هر ترکیب خطی از راه حل ها برای یک سیستم همگن دوباره یک راه حل است.

حل سیستم معادلات خطی با استفاده از روش گاوس

حل سیستم معادلات خطی ریاضیدانان را برای چندین قرن علاقه مند کرده است. اولین نتایج در قرن 18 به دست آمد. در سال 1750، G. Kramer (1704-1752) آثار خود را در مورد عوامل تعیین کننده ماتریس های مربع منتشر کرد و الگوریتمی برای یافتن ماتریس معکوس پیشنهاد کرد. در سال 1809، گاوس روش حل جدیدی را به نام روش حذف معرفی کرد.

روش گاوس، یا روش حذف متوالی مجهولات، شامل این واقعیت است که با استفاده از تبدیل های ابتدایی، یک سیستم معادلات به یک سیستم معادل یک شکل پله ای (یا مثلثی) کاهش می یابد. چنین سیستم هایی امکان یافتن متوالی همه مجهولات را در یک نظم خاص فراهم می کنند.

فرض کنید در سیستم (1)
(که همیشه امکان پذیر است).

(1)

ضرب معادله اول یک به یک به اصطلاح اعداد مناسب

و با جمع کردن حاصل ضرب با معادلات متناظر سیستم، سیستم معادلی بدست می آوریم که در تمام معادلات به جز معادلات اول مجهولی وجود نخواهد داشت. ایکس 1

(2)

اجازه دهید معادله دوم سیستم (2) را با این فرض در اعداد مناسب ضرب کنیم

و با اضافه کردن آن با موارد پایین، متغیر را حذف می کنیم از تمام معادلات، با شروع از سوم.

ادامه این روند، پس از
مرحله ای که می گیریم:

(3)

اگر حداقل یکی از اعداد
برابر با صفر نیست، پس برابری متناقض است و سیستم (1) ناسازگار است. برعکس، برای هر سیستم شماره مشترک
برابر با صفر هستند. عدد چیزی بیش از رتبه ماتریس سیستم (1) نیست.

انتقال از سیستم (1) به (3) نامیده می شود مستقیم به جلو روش گاوس و یافتن مجهولات از (3) - به صورت معکوس .

اظهار نظر : انجام تبدیل ها نه با خود معادلات، بلکه با ماتریس توسعه یافته سیستم (1) راحت تر است.

مثال. بیایید راه حلی برای سیستم پیدا کنیم

بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را بنویسیم:

بیایید اولین مورد را به خطوط 2،3،4، ضرب در (-2)، (-3)، (-2) اضافه کنیم:

بیایید ردیف های 2 و 3 را با هم عوض کنیم، سپس در ماتریس حاصل، ردیف 2 را به ردیف 4 اضافه کنیم، ضرب در :

به خط 4 اضافه کنید خط 3 ضرب در
:

بدیهی است که
بنابراین، سیستم سازگار است. از سیستم معادلات حاصل

با جایگزینی معکوس راه حل را پیدا می کنیم:

,
,
,
.

مثال 2.یافتن راه حل برای سیستم:

بدیهی است که سیستم ناسازگار است، زیرا
، آ
.

مزایای روش گاوس :

کار کمتری نسبت به روش کرامر.

بدون ابهام سازگاری سیستم را ایجاد می کند و به شما امکان می دهد راه حلی پیدا کنید.

تعیین رتبه هر ماتریس را ممکن می کند.

معادله خطی نامیده می شود همگن، اگر جمله آزاد آن برابر با صفر و در غیر این صورت ناهمگن باشد. سیستمی که از معادلات همگن تشکیل شده باشد همگن نامیده می شود و شکل کلی دارد:

بدیهی است که هر سیستم همگن سازگار است و یک راه حل صفر (بی اهمیت) دارد. بنابراین، هنگامی که برای سیستم های همگن معادلات خطی اعمال می شود، اغلب باید به دنبال پاسخی برای سؤال وجود راه حل های غیر صفر بود. پاسخ به این سوال را می توان به صورت قضیه زیر فرموله کرد.

قضیه . یک سیستم همگن معادلات خطی جواب غیر صفر دارد اگر و فقط اگر رتبه آن کمتر از تعداد مجهولات باشد. .

اثبات: فرض کنید سیستمی که رتبه آن برابر است راه حل غیر صفر دارد. بدیهی است که تجاوز نمی کند. در صورتی که سیستم راه حل منحصر به فردی داشته باشد. از آنجایی که یک سیستم معادلات خطی همگن همیشه یک جواب صفر دارد، پس جواب صفر این جواب منحصر به فرد خواهد بود. بنابراین، راه حل های غیر صفر فقط برای .

نتیجه 1 : یک سیستم معادلات همگن که در آن تعداد معادلات کمتر از مجهولات است، همیشه جواب غیر صفر دارد.

اثبات: اگر یک سیستم معادلات داشته باشد، رتبه سیستم از تعداد معادلات تجاوز نمی کند، یعنی. . بنابراین، شرط برآورده می شود و بنابراین، سیستم یک راه حل غیر صفر دارد.

نتیجه 2 : یک سیستم همگن از معادلات با مجهولات، اگر و فقط در صورتی که تعیین کننده آن صفر باشد، جواب غیر صفر دارد.

اثبات: فرض کنید سیستمی از معادلات همگن خطی که ماتریس آن با دترمینان دارای جواب غیر صفر است. سپس، طبق قضیه اثبات شده، و این بدان معنی است که ماتریس مفرد است، یعنی. .

قضیه کرونکر-کاپلی: یک SLU سازگار است اگر و تنها در صورتی که رتبه ماتریس سیستم با رتبه ماتریس توسعه یافته این سیستم برابر باشد. یک سیستم ur زمانی سازگار نامیده می شود که حداقل یک راه حل داشته باشد.

سیستم همگن معادلات جبری خطی.

سیستمی از m معادلات خطی با n متغیر، سیستم معادلات همگن خطی نامیده می‌شود که همه عبارت‌های آزاد برابر با 0 باشند. سیستم معادلات همگن خطی همیشه سازگار است، زیرا همیشه حداقل یک راه حل صفر دارد. یک سیستم معادلات همگن خطی یک جواب غیر صفر دارد اگر و فقط اگر رتبه ماتریس ضرایب آن برای متغیرها کمتر از تعداد متغیرها باشد، یعنی. برای رتبه A (n. هر ترکیب خطی

راه حل های سیستم لین همگن. ur-ii نیز راه حلی برای این سیستم است.

سیستمی از راه‌حل‌های مستقل خطی e1, e2,...,еk بنیادی نامیده می‌شود که هر جواب سیستم ترکیبی خطی از جواب‌ها باشد. قضیه: اگر رتبه r ماتریس ضرایب برای متغیرهای یک سیستم معادلات همگن خطی کمتر از تعداد متغیرهای n باشد، آنگاه هر سیستم اساسی از راه حل های سیستم از راه حل های n-r تشکیل شده است. بنابراین، راه حل کلی سیستم خطی. یک روزه ur-th به شکل: c1e1+c2e2+...+skek، که در آن e1، e2،...، ek هر سیستم اساسی از راه حل ها است، c1، c2،...،ck اعداد دلخواه و k=n-r هستند. جواب کلی سیستم m معادلات خطی با n متغیر برابر با مجموع است

حل کلی سیستم مربوط به آن همگن است. معادلات خطی و یک راه حل خاص دلخواه این سیستم.

7. فضاهای خطی. فضاهای فرعی اساس، بعد. پوسته خطی فضای خطی نامیده می شود n بعدی، اگر دارای سیستمی از بردارهای مستقل خطی باشد و هر سیستمی با تعداد بیشتری از بردارها به صورت خطی وابسته باشد. شماره تماس گرفته می شود بعد (تعداد ابعاد)فضای خطی و با نشان داده می شود. به عبارت دیگر، بعد یک فضا، حداکثر تعداد بردارهای مستقل خطی این فضا است. اگر چنین عددی وجود داشته باشد، فضا را بعد محدود می نامند. اگر برای هر عدد طبیعی n، سیستمی در فضا متشکل از بردارهای مستقل خطی وجود داشته باشد، چنین فضایی را بی‌بعدی می‌نامند (نوشته شده: ). در ادامه، مگر اینکه خلاف آن ذکر شود، فضاهای محدود بعدی در نظر گرفته می شوند.

اساس یک فضای خطی n بعدی مجموعه منظمی از بردارهای مستقل خطی است ( بردارهای پایه).

قضیه 8.1 در مورد بسط یک بردار بر حسب مبنا. اگر مبنای یک فضای خطی n بعدی باشد، هر بردار را می توان به صورت ترکیب خطی از بردارهای پایه نشان داد:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
و علاوه بر این، به تنها راه، i.e. ضرایب به طور منحصر به فرد تعیین می شود.به عبارت دیگر، هر بردار فضا را می توان به یک مبنا و علاوه بر این، به روشی منحصر به فرد گسترش داد.

در واقع، بعد فضا است. سیستم بردارها به صورت خطی مستقل است (این یک پایه است). پس از افزودن هر بردار به پایه، یک سیستم وابسته خطی به دست می آوریم (زیرا این سیستم از بردارهایی با فضای n بعدی تشکیل شده است). با استفاده از خاصیت 7 بردار وابسته خطی و مستقل خطی، نتیجه قضیه را به دست می آوریم.

6.3. سیستم های همگن معادلات خطی

اجازه دهید در سیستم (6.1).

یک سیستم همگن همیشه سازگار است. راه حل () نامیده میشود صفر، یا ناچیز.

یک سیستم همگن (6.1) راه حل غیر صفر دارد اگر و فقط اگر رتبه آن ( ) کمتر از تعداد مجهولات است. به طور خاص، یک سیستم همگن که در آن تعداد معادلات برابر با تعداد مجهولات است، جواب غیرصفر دارد اگر و فقط اگر تعیین کننده آن صفر باشد.

چون این بار همه چیز، به جای فرمول (6.6) موارد زیر را بدست می آوریم:

(6.7)

فرمول (6.7) حاوی هر محلولی از سیستم همگن (6.1) است.

1. مجموعه تمام راه حل های سیستم همگن معادلات خطی (6.1) یک فضای خطی را تشکیل می دهد.

2. فضای خطیآرتمام راه حل های سیستم همگن معادلات خطی (6.1) باnمجهولات و رتبه ماتریس اصلی برابر استr، ابعاد داردn-r.

هر مجموعه ای از (n-r) راه حل های مستقل خطی سیستم همگن (6.1) پایه ای را در فضا تشکیل می دهدآرهمه تصمیمات نامیده می شود اساسیمجموعه ای از راه حل های سیستم همگن معادلات (6.1). تاکید ویژه ای بر روی "طبیعی"مجموعه اساسی راه حل های سیستم همگن (6.1):

(6.8)

با تعریف مبنا، هر راه حل ایکسسیستم همگن (6.1) را می توان به شکل نشان داد

(6.9)

جایی که - ثابت های دلخواه

از آنجایی که فرمول (6.9) حاوی هر محلولی برای سیستم همگن (6.1) است، می دهد تصمیم مشترکاین سیستم

مثال.

مثال 1. یک راه حل کلی و چند سیستم اساسی راه حل برای سیستم پیدا کنید

راه حلبا استفاده از ماشین حساب پیدا کنید الگوریتم حل همانند سیستم های معادلات ناهمگن خطی است.
فقط با سطرها کار می کنیم، رتبه ماتریس را پیدا می کنیم، پایه جزئی. مجهولات وابسته و آزاد را اعلام می کنیم و راه حل کلی پیدا می کنیم.

خطوط اول و دوم متناسب هستند، بیایید یکی از آنها را خط بزنیم:

.
متغیرهای وابسته – x 2، x 3، x 5، رایگان – x 1، x 4. از معادله اول 10 x 5 = 0، x 5 = 0 را پیدا می کنیم، سپس

; .
راه حل کلی این است:

ما یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا می کنیم که از راه حل های (n-r) تشکیل شده است. در مورد ما، n=5، r=3، بنابراین، سیستم اساسی راه حل ها از دو راه حل تشکیل شده است و این راه حل ها باید به صورت خطی مستقل باشند. برای مستقل بودن خطی سطرها لازم و کافی است که رتبه ماتریس متشکل از عناصر سطرها برابر با تعداد سطرها یعنی 2 باشد. کافی است مجهولات آزاد x 1 و داده شود. x 4 مقدار از ردیف های تعیین کننده مرتبه دوم، غیر صفر، و x 2، x 3، x 5 را محاسبه کنید. ساده ترین تعیین کننده غیر صفر است.
بنابراین اولین راه حل این است:

، دومین -

.
این دو تصمیم یک سیستم تصمیم گیری اساسی را تشکیل می دهند. توجه داشته باشید که سیستم بنیادی منحصر به فرد نیست (شما می توانید به تعداد دلخواه تعیین کننده غیر صفر ایجاد کنید).

مثال 2. راه حل کلی و سیستم اساسی راه حل های سیستم را بیابید
راه حل.

,
نتیجه این است که رتبه ماتریس 3 و برابر با تعداد مجهولات است. این بدان معنی است که سیستم مجهولات رایگان ندارد و بنابراین راه حل منحصر به فردی دارد - یک راه حل بی اهمیت.

ورزش . کاوش و حل یک سیستم معادلات خطی.
مثال 4

ورزش . راه حل های کلی و خاص هر سیستم را بیابید.
راه حل.بیایید ماتریس اصلی سیستم را بنویسیم:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

بیایید ماتریس را به شکل مثلثی کاهش دهیم. ما فقط با سطرها کار خواهیم کرد، زیرا ضرب یک ردیف ماتریس در عددی غیر از صفر و اضافه کردن آن به سطر دیگری برای سیستم به معنای ضرب معادله در همان عدد و اضافه کردن آن با معادله دیگری است که جواب سوال را تغییر نمی دهد. سیستم.
خط دوم را در (5-) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

بیایید خط 2 را در (6) ضرب کنیم. خط سوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید خط 3 را به خط 2 اضافه کنیم:
بیایید رتبه ماتریس را پیدا کنیم.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

مینور انتخابی بالاترین مرتبه (از مینورهای ممکن) را دارد و غیر صفر است (برابر حاصلضرب عناصر در مورب معکوس است)، بنابراین، ranng(A) = 2 است.
این مینور پایه است. شامل ضرایبی برای مجهولات x 1 , x 2 , به این معنی که مجهولات x 1 , x 2 وابسته (اساسی) هستند و x 3 , x 4 , x 5 آزاد هستند.
بیایید ماتریس را تبدیل کنیم و فقط پایه را در سمت چپ مینور می‌گذاریم.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

سیستم با ضرایب این ماتریس معادل سیستم اصلی است و به شکل زیر است:
22x2 = 14x4 - x 3 - 24x5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
با استفاده از روش حذف مجهولات می یابیم راه حل غیر پیش پا افتاده:
ما روابطی را به دست آوردیم که متغیرهای وابسته x 1 , x 2 را از طریق متغیرهای آزاد x 3 , x 4 , x 5 بیان می کند، یعنی یافتیم تصمیم مشترک:
x 2 = 0.64x 4 - 0.0455x 3 - 1.09x 5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
ما یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا می کنیم که از راه حل های (n-r) تشکیل شده است.
در مورد ما، n=5، r=2، بنابراین، سیستم اساسی راه حل ها از 3 راه حل تشکیل شده است و این راه حل ها باید به صورت خطی مستقل باشند.
برای اینکه سطرها به صورت خطی مستقل باشند، لازم و کافی است که رتبه ماتریس متشکل از عناصر ردیف برابر با تعداد سطرها یعنی 3 باشد.
کافی است مجهول های رایگان x 3 , x 4 , x 5 را از خطوط تعیین کننده مرتبه 3 غیر صفر داده و x 1 , x 2 را محاسبه کنید.
ساده ترین تعیین کننده غیر صفر، ماتریس هویت است.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

وظیفه . مجموعه ای اساسی از راه حل های یک سیستم همگن معادلات خطی را بیابید.