مشتق تابع مختلط x x. مشتقات پیچیده

مثال هایی از محاسبه مشتقات با استفاده از فرمول مشتق یک تابع مختلط ارائه شده است.

همچنین ببینید: اثبات فرمول مشتق یک تابع مختلط

فرمول های پایه

در اینجا مثال هایی از محاسبه مشتقات توابع زیر ارائه می دهیم:
; ; ; ; .

اگر یک تابع را بتوان به صورت یک تابع پیچیده به شکل زیر نشان داد:
,
سپس مشتق آن با فرمول تعیین می شود:
.
در مثال های زیر این فرمول را به صورت زیر می نویسیم:
.
جایی که .
در اینجا، زیرنویس‌ها یا زیر علامت مشتق، متغیرهایی را نشان می‌دهند که توسط آنها تمایز انجام می‌شود.

معمولاً در جداول مشتقات مشتقات توابع از متغیر x آورده شده است. با این حال، x یک پارامتر رسمی است. متغیر x را می توان با هر متغیر دیگری جایگزین کرد. بنابراین، هنگام تمایز یک تابع از یک متغیر، در جدول مشتقات، به سادگی متغیر x را به متغیر u تغییر می دهیم.

مثال های ساده

مثال 1

مشتق تابع مختلط را بیابید
.

بیایید تابع داده شده را به شکل معادل بنویسیم:
.
در جدول مشتقات می بینیم:
;
.

با توجه به فرمول مشتق یک تابع مختلط، داریم:
.
اینجا .

مثال 2

مشتق را پیدا کنید
.

ثابت 5 را از علامت مشتق خارج می کنیم و از جدول مشتقات پیدا می کنیم:
.

.
اینجا .

مثال 3

مشتق را پیدا کنید
.

ثابت را خارج می کنیم -1 برای علامت مشتق و از جدول مشتقات می یابیم:
;
از جدول مشتقات در می یابیم:
.

ما فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم:
.
اینجا .

نمونه های پیچیده تر

در مثال های پیچیده تر، قانون تمایز یک تابع مختلط را چندین بار اعمال می کنیم. در این صورت مشتق را از انتها محاسبه می کنیم. یعنی تابع را به اجزای آن تقسیم می کنیم و مشتقات ساده ترین قطعات را با استفاده از آن پیدا می کنیم جدول مشتقات. ما نیز استفاده می کنیم قوانین برای افتراق مبالغ، محصولات و کسری ها. سپس جایگزین هایی می کنیم و فرمول مشتق یک تابع مختلط را اعمال می کنیم.

مثال 4

مشتق را پیدا کنید
.

بیایید ساده ترین قسمت فرمول را انتخاب کرده و مشتق آن را پیدا کنیم. .

.
در اینجا ما از علامت گذاری استفاده کرده ایم
.

ما مشتق قسمت بعدی تابع اصلی را با استفاده از نتایج به دست آمده پیدا می کنیم. ما قانون را برای افتراق مجموع اعمال می کنیم:
.

یک بار دیگر قانون تمایز توابع پیچیده را اعمال می کنیم.

.
اینجا .

مثال 5

مشتق تابع را بیابید
.

بیایید ساده ترین قسمت فرمول را انتخاب کنیم و مشتق آن را از جدول مشتقات پیدا کنیم. .

ما قانون تمایز توابع پیچیده را اعمال می کنیم.
.
اینجا
.

اجازه دهید با استفاده از نتایج به دست آمده قسمت بعدی را متمایز کنیم.
.
اینجا
.

بیایید قسمت بعدی را متمایز کنیم.

.
اینجا
.

حالا مشتق تابع مورد نظر را پیدا می کنیم.

.
اینجا
.

توابع از نوع پیچیده همیشه با تعریف یک تابع پیچیده مطابقت ندارند. اگر تابعی به شکل y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 وجود داشته باشد، بر خلاف y = sin 2 x نمی توان آن را پیچیده در نظر گرفت.

این مقاله مفهوم یک تابع پیچیده و شناسایی آن را نشان می دهد. بیایید با فرمول هایی برای یافتن مشتق با مثال هایی از راه حل ها در نتیجه گیری کار کنیم. استفاده از جدول مشتق و قوانین تمایز به طور قابل توجهی زمان برای یافتن مشتق را کاهش می دهد.

تعاریف اساسی

تابع مختلط تابعی است که آرگومان آن تابع نیز باشد.

به این صورت نشان داده می شود: f (g (x)). داریم که تابع g (x) آرگومان f در نظر گرفته می شود (g (x)).

تعریف 2

اگر یک تابع f وجود داشته باشد و یک تابع کتانژانت باشد، آنگاه g(x) = ln x تابع لگاریتم طبیعی است. دریافتیم که تابع مختلط f (g (x)) به صورت arctg(lnx) نوشته خواهد شد. یا یک تابع f، که تابعی است که به توان 4 افزایش یافته است، که در آن g (x) = x 2 + 2 x - 3 یک تابع منطقی کامل در نظر گرفته می شود، به دست می آوریم که f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

بدیهی است که g(x) می تواند پیچیده باشد. از مثال y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 واضح است که مقدار g دارای ریشه مکعب کسری است. این عبارت را می توان با y = f (f 1 (f 2 (x)) نشان داد. از آنجا که f یک تابع سینوسی است، و f 1 تابعی است که در زیر جذر قرار دارد، f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 یک تابع گویا کسری است.

تعریف 3

درجه تودرتو با هر عدد طبیعی تعیین می شود و به صورت y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) نوشته می شود.

تعریف 4

مفهوم ترکیب تابع به تعداد توابع تو در تو با توجه به شرایط مسئله اشاره دارد. برای حل، از فرمول برای یافتن مشتق تابع مختلط از فرم استفاده کنید

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

مثال ها

مشتق تابع مختلط به شکل y = (2 x + 1) 2 را بیابید.

راه حل

شرط نشان می دهد که f یک تابع مربع است و g(x) = 2 x + 1 یک تابع خطی در نظر گرفته می شود.

بیایید فرمول مشتق را برای یک تابع مختلط اعمال کنیم و بنویسیم:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g" (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

لازم است مشتق را با شکل اصلی ساده شده تابع پیدا کنید. ما گرفتیم:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

از اینجا ما آن را داریم

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

نتایج یکسان بود.

هنگام حل مسائل از این نوع، مهم است که بدانیم تابع شکل f و g (x) در کجا قرار خواهد گرفت.

مثال 2

شما باید مشتقات توابع مختلط به شکل y = sin 2 x و y = sin x 2 را پیدا کنید.

راه حل

نماد تابع اول می گوید که f تابع مربع و g(x) تابع سینوس است. سپس ما آن را دریافت می کنیم

y " = ( گناه 2 x) " = 2 گناه 2 - 1 x (سین x) " = 2 گناه x cos x

ورودی دوم نشان می دهد که f یک تابع سینوسی است و g(x) = x 2 یک تابع توان را نشان می دهد. نتیجه می شود که حاصل ضرب یک تابع مختلط را به صورت می نویسیم

y " = (سین x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

فرمول مشتق y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) به صورت y " = f " نوشته می شود (f 1 (f 2 (f 3 (. (f n (x))) · f 1" (f n (f 3 (. . . (f n (x))) · f 2" (f n (. . .) )))) · . . . fn "(x)

مثال 3

مشتق تابع y = sin را بیابید (ln 3 a r c t g (2 x)).

راه حل

این مثال دشواری نوشتن و تعیین محل توابع را نشان می دهد. سپس y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) نشان می دهد که در آن f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) تابع سینوس است، تابع افزایش تا 3 درجه، تابع با لگاریتم و پایه e، تابع قطبی و خطی.

از فرمول تعریف تابع مختلط داریم که

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

ما آنچه را که باید پیدا کنیم به دست می آوریم

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) به عنوان مشتق سینوس مطابق جدول مشتقات، سپس f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 3 (f 4 (x)))) به عنوان مشتق تابع توان، سپس f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) به عنوان یک مشتق لگاریتمی، سپس f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) به عنوان مشتق تانژانت، سپس f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. هنگام یافتن مشتق f 4 (x) = 2 x، 2 را از علامت مشتق با استفاده از فرمول مشتق تابع توان با توانی برابر با 1 حذف کنید، سپس f 4 "(x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

ما نتایج میانی را ترکیب می کنیم و به آن می رسیم

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

تجزیه و تحلیل چنین عملکردهایی یادآور عروسک های تودرتو است. قوانین تمایز را نمی توان همیشه به طور صریح با استفاده از جدول مشتق اعمال کرد. اغلب شما نیاز به استفاده از فرمولی برای یافتن مشتقات توابع پیچیده دارید.

تفاوت هایی بین ظاهر پیچیده و عملکردهای پیچیده وجود دارد. با داشتن توانایی واضح در تشخیص این، یافتن مشتقات بسیار آسان خواهد بود.

مثال 4

ذکر چنین مثالی ضروری است. اگر تابعی به شکل y = t g 2 x + 3 t g x + 1 وجود داشته باشد، می توان آن را به عنوان یک تابع مختلط از شکل g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 در نظر گرفت. . بدیهی است که استفاده از فرمول برای مشتق پیچیده ضروری است:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) "+ 1" = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 tg x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f" (g (x)) g" (x) = (2 tg x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

تابعی به شکل y = t g x 2 + 3 t g x + 1 پیچیده در نظر گرفته نمی شود، زیرا دارای مجموع tg x 2، 3 tg x و 1 است. با این حال، t g x 2 یک تابع مختلط در نظر گرفته می شود، سپس یک تابع توانی به شکل g (x) = x 2 و f به دست می آوریم که یک تابع مماس است. برای انجام این کار، بر اساس مقدار متمایز کنید. ما آن را دریافت می کنیم

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

بیایید به یافتن مشتق یک تابع مختلط (t g x 2) ادامه دهیم:

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (tg x 2) " = f " (g (x)) g" (x) = 2 x cos 2 (x2)

دریافت می کنیم که y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

توابع از نوع پیچیده را می توان در توابع پیچیده گنجاند و توابع پیچیده خود می توانند اجزای توابع از نوع پیچیده باشند.

مثال 5

به عنوان مثال، یک تابع مختلط به شکل y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) را در نظر بگیرید.

این تابع را می توان به صورت y = f (g (x)) نشان داد، که در آن مقدار f تابعی از لگاریتم پایه 3 است و g (x) مجموع دو تابع شکل h (x) = در نظر گرفته می شود. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 و k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . بدیهی است که y = f (h (x) + k (x)).

تابع h(x) را در نظر بگیرید. این نسبت l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 به m (x) = e x 2 + 3 3 است

داریم که l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) مجموع دو تابع n (x) = x 2 + 7 و p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) ، که در آن p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) یک تابع مختلط با ضریب عددی 3 است و p 1 یک تابع مکعب است. p 2 توسط یک تابع کسینوس، p 3 (x) = 2 x + 1 توسط یک تابع خطی.

دریافتیم که m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) مجموع دو تابع q (x) = e x 2 و r (x) = 3 3 است، که در آن q (x) = q 1 (q 2 (x)) یک تابع مختلط است، q 1 یک تابع با نمایی است، q 2 (x) = x 2 یک تابع توان است.

این نشان می دهد که h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

هنگامی که به یک عبارت به شکل k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) حرکت می کنیم، واضح است که تابع به شکل یک s مختلط ارائه می شود ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) با یک عدد صحیح گویا t (x) = x 2 + 1، که در آن s 1 یک تابع مربع است و s 2 (x) = ln x لگاریتمی با پایه e.

نتیجه این است که عبارت به شکل k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) خواهد بود.

سپس ما آن را دریافت می کنیم

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

بر اساس ساختار تابع، مشخص شد که چگونه و از چه فرمول هایی برای ساده کردن عبارت هنگام متمایز کردن آن باید استفاده شود. برای آشنایی با چنین مسائلی و مفهوم حل آنها باید به تمایز یک تابع یعنی یافتن مشتق آن رجوع کرد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید

اگر g(ایکس) و f(تو) - توابع متمایز از آرگومان های آنها، به ترتیب، در نقاط ایکسو تو= g(ایکس), سپس تابع مختلط نیز در نقطه قابل تمایز است ایکسو با فرمول پیدا می شود

یک اشتباه معمولی در حل مسائل مشتق، انتقال مکانیکی قوانین تمایز توابع ساده به توابع پیچیده است. بیایید یاد بگیریم از این اشتباه اجتناب کنیم.

مثال 2.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل اشتباه:لگاریتم طبیعی هر جمله داخل پرانتز را محاسبه کرده و به دنبال مجموع مشتقات بگردید:

راه حل صحیح:دوباره تعیین می کنیم که «سیب» کجا و «گوشت چرخ کرده» کجاست. در اینجا لگاریتم طبیعی عبارت داخل پرانتز یک «سیب» است، یعنی تابعی روی آرگومان میانی. توو عبارت داخل پرانتز «گوشت چرخ کرده» است، یعنی یک استدلال میانی توتوسط متغیر مستقل ایکس.

سپس (با استفاده از فرمول 14 از جدول مشتقات)

در بسیاری از مسائل زندگی واقعی، بیان با لگاریتم می تواند تا حدودی پیچیده تر باشد، به همین دلیل است که یک درس وجود دارد.

مثال 3.مشتق یک تابع را پیدا کنید

راه حل اشتباه:

راه حل صحیحیک بار دیگر ما تعیین می کنیم که "سیب" کجا و کجا "گوشت چرخ کرده" است. در اینجا کسینوس عبارت داخل پرانتز (فرمول 7 در جدول مشتقات) یک "سیب" است، در حالت 1 تهیه شده است که فقط روی آن تأثیر می گذارد و عبارت داخل پرانتز (مشتق درجه شماره 3 است. در جدول مشتقات) "گوشت چرخ کرده" است، در حالت 2 تهیه می شود که فقط روی آن تأثیر می گذارد. و مثل همیشه دو مشتق را با علامت محصول به هم وصل می کنیم. نتیجه:

مشتق یک تابع لگاریتمی مختلط یک کار مکرر در تست ها است، بنابراین اکیداً توصیه می کنیم در درس «مشتق تابع لگاریتمی» شرکت کنید.

اولین نمونه ها در مورد توابع پیچیده بودند که در آن آرگومان میانی روی متغیر مستقل یک تابع ساده بود. اما در کارهای عملی اغلب لازم است مشتق یک تابع مختلط را پیدا کنیم، جایی که آرگومان میانی یا خود یک تابع پیچیده است یا حاوی چنین تابعی است. در چنین مواقعی چه باید کرد؟ مشتقات این توابع را با استفاده از جداول و قوانین تمایز پیدا کنید. هنگامی که مشتق آرگومان میانی یافت می شود، به سادگی در جای مناسب در فرمول جایگزین می شود. در زیر دو نمونه از نحوه انجام این کار آورده شده است.

علاوه بر این، دانستن موارد زیر مفید است. اگر یک تابع پیچیده را بتوان به صورت زنجیره ای از سه تابع نشان داد

سپس مشتق آن را باید به عنوان حاصل ضرب مشتقات هر یک از این توابع یافت:

بسیاری از تکالیف شما ممکن است از شما بخواهد که راهنماهای خود را در پنجره های جدید باز کنید. اقدامات با قدرت و ریشهو عملیات با کسری .

مثال 4.مشتق یک تابع را پیدا کنید

ما قاعده تمایز یک تابع مختلط را اعمال می کنیم و فراموش نمی کنیم که در حاصل ضرب مشتقات یک استدلال میانی با توجه به متغیر مستقل وجود دارد. ایکستغییر نمی کند:

فاکتور دوم محصول را آماده می کنیم و قانون تمایز حاصل را اعمال می کنیم:

اصطلاح دوم ریشه است، بنابراین

بنابراین، متوجه شدیم که آرگومان میانی، که یک جمع است، شامل یک تابع مختلط به عنوان یکی از اصطلاحات است: افزایش به توان یک تابع پیچیده است، و آنچه که به توان افزایش می‌یابد یک استدلال میانی با توجه به مستقل است. متغیر ایکس.

بنابراین، دوباره قانون را برای متمایز کردن یک تابع پیچیده اعمال می کنیم:

درجه عامل اول را به یک ریشه تبدیل می کنیم و هنگام افتراق عامل دوم فراموش نکنید که مشتق ثابت برابر با صفر است:

اکنون می‌توانیم مشتق آرگومان میانی مورد نیاز برای محاسبه مشتق یک تابع مختلط مورد نیاز در بیان مسئله را پیدا کنیم. y:

مثال 5.مشتق یک تابع را پیدا کنید

ابتدا از قانون برای افتراق مجموع استفاده می کنیم:

ما مجموع مشتقات دو تابع پیچیده را به دست آوردیم. بیایید اولین مورد را پیدا کنیم:

در اینجا، افزایش سینوس به توان یک تابع پیچیده است و خود سینوس یک استدلال میانی برای متغیر مستقل است. ایکس. بنابراین، در طول مسیر از قانون تمایز یک تابع پیچیده استفاده خواهیم کرد خارج کردن فاکتور از پرانتز :

اکنون عبارت دوم مشتقات تابع را پیدا می کنیم y:

در اینجا بالا بردن کسینوس به توان یک تابع پیچیده است f، و کسینوس خود یک آرگومان میانی در متغیر مستقل است ایکس. اجازه دهید دوباره از قانون برای متمایز کردن یک تابع پیچیده استفاده کنیم:

نتیجه مشتق مورد نیاز است:

جدول مشتقات برخی از توابع پیچیده

برای توابع پیچیده، بر اساس قانون تمایز یک تابع مختلط، فرمول مشتق یک تابع ساده شکل متفاوتی به خود می گیرد.

1. مشتق تابع توان پیچیده، که در آن تو ایکس
2. مشتق از ریشه عبارت
3. مشتق تابع نمایی
4. مورد خاص تابع نمایی
5. مشتق تابع لگاریتمی با پایه مثبت دلخواه آ
6. مشتق تابع لگاریتمی پیچیده، که در آن تو- تابع متمایز شدن آرگومان ایکس
7. مشتق سینوس
8. مشتق کسینوس
9. مشتق مماس
10. مشتق کوتانژانت
11. مشتق آرکسین
12. مشتق آرکوزین
13. مشتق از arctangent
14. مشتق کوتانژانت قوس

خیلی راحت به خاطر سپردن

خوب، اجازه دهید خیلی دور نرویم، بیایید بلافاصله تابع معکوس را در نظر بگیریم. کدام تابع معکوس تابع نمایی است؟ لگاریتم:

در مورد ما، پایه عدد است:

چنین لگاریتمی (یعنی لگاریتمی با پایه) "طبیعی" نامیده می شود و ما از نماد خاصی برای آن استفاده می کنیم: به جای آن می نویسیم.

با چه چیزی برابر است؟ البته، .

مشتق لگاریتم طبیعی نیز بسیار ساده است:

مثال ها:

1. مشتق تابع را بیابید.
2. مشتق تابع چیست؟

پاسخ ها: لگاریتم نمایی و طبیعی از دیدگاه مشتق، توابع ساده منحصر به فردی هستند. توابع نمایی و لگاریتمی با هر پایه دیگری مشتق متفاوتی خواهند داشت که بعد از مرور قوانین تمایز آن را تحلیل خواهیم کرد.

قوانین تمایز

قوانین چی؟ بازم یه ترم جدید دیگه؟!...

تفکیکفرآیند یافتن مشتق است.

همین. این فرآیند را در یک کلمه چه چیز دیگری می‌توان نامید؟ نه مشتق... ریاضیدانان دیفرانسیل را همان افزایش یک تابع در می نامند. این اصطلاح از دیفرانسیل لاتین - تفاوت می آید. اینجا.

هنگام استخراج همه این قوانین، از دو تابع به عنوان مثال و. ما همچنین به فرمول هایی برای افزایش آنها نیاز خواهیم داشت:

در کل 5 قانون وجود دارد.

ثابت از علامت مشتق خارج می شود.

اگر - یک عدد ثابت (ثابت)، پس.

بدیهی است که این قانون برای تفاوت نیز کار می کند: .

بیایید ثابت کنیم. بگذارید باشد یا ساده تر.

مثال ها.

مشتقات توابع را پیدا کنید:

1. در یک نقطه؛
2. در یک نقطه؛
3. در یک نقطه؛
4. در نقطه

راه حل ها:

1. (مشتق در همه نقاط یکسان است، زیرا یک تابع خطی است، یادتان هست؟)

مشتق محصول

همه چیز در اینجا مشابه است: بیایید یک تابع جدید معرفی کنیم و افزایش آن را پیدا کنیم:

مشتق:

مثال ها:

1. مشتقات توابع را پیدا کنید و
2. مشتق تابع را در یک نقطه پیدا کنید.

راه حل ها:

مشتق تابع نمایی

اکنون دانش شما کافی است تا بیاموزید چگونه مشتق هر تابع نمایی را بیابید، و نه فقط نماها (آیا هنوز فراموش کرده اید که چیست؟).

بنابراین، تعدادی از آن ها کجاست.

ما قبلاً مشتق تابع را می دانیم، بنابراین بیایید سعی کنیم تابع خود را به یک پایه جدید کاهش دهیم:

برای این کار از یک قانون ساده استفاده می کنیم: . سپس:

خوب، کار کرد. حالا سعی کنید مشتق را پیدا کنید و فراموش نکنید که این تابع پیچیده است.

اتفاق افتاد؟

در اینجا، خود را بررسی کنید:

فرمول بسیار شبیه به مشتق یک توان است: همانطور که بود، ثابت می ماند، فقط یک عامل ظاهر شد که فقط یک عدد است، اما یک متغیر نیست.

مثال ها:
مشتقات توابع را پیدا کنید:

پاسخ ها:

این فقط یک عدد است که بدون ماشین حساب نمی توان آن را محاسبه کرد، یعنی نمی توان آن را به شکل ساده تر یادداشت کرد. لذا در جواب به این شکل می گذاریم.

توجه داشته باشید که در اینجا ضریب دو تابع است، بنابراین قانون تمایز مربوطه را اعمال می کنیم:

در این مثال حاصل ضرب دو تابع:

مشتق تابع لگاریتمی

در اینجا مشابه است: شما قبلاً مشتق لگاریتم طبیعی را می دانید:

بنابراین، برای پیدا کردن یک لگاریتم دلخواه با پایه متفاوت، به عنوان مثال:

باید این لگاریتم را به پایه کاهش دهیم. چگونه پایه لگاریتم را تغییر می دهید؟ امیدوارم این فرمول را به خاطر داشته باشید:

فقط اکنون به جای آن می نویسیم:

مخرج به سادگی یک ثابت است (عددی ثابت، بدون متغیر). مشتق بسیار ساده به دست می آید:

مشتقات توابع نمایی و لگاریتمی تقریباً هرگز در آزمون یکپارچه دولتی یافت نمی شوند، اما دانستن آنها اضافی نخواهد بود.

مشتق تابع مختلط

"تابع پیچیده" چیست؟ نه، این یک لگاریتم نیست و نه یک تانژانت. درک این توابع ممکن است دشوار باشد (البته اگر لگاریتم را دشوار می‌دانید، مبحث "لگاریتم" را بخوانید و خوب خواهید شد)، اما از نظر ریاضی، کلمه "پیچیده" به معنای "دشوار" نیست.

یک تسمه نقاله کوچک را تصور کنید: دو نفر نشسته اند و با برخی از اشیا کارهایی را انجام می دهند. به عنوان مثال، اولی یک تخته شکلات را در یک بسته بندی می پیچد و دومی آن را با یک روبان می بندد. نتیجه یک شی ترکیبی است: یک شکلات که با روبان بسته شده و بسته شده است. برای خوردن یک شکلات تخته ای، باید مراحل معکوس را به ترتیب معکوس انجام دهید.

بیایید یک خط لوله ریاضی مشابه ایجاد کنیم: ابتدا کسینوس یک عدد را پیدا می کنیم و سپس عدد حاصل را مربع می کنیم. بنابراین، یک عدد (شکلاتی) به ما داده می شود، من کسینوس آن را پیدا می کنم (لفاف بندی)، و سپس شما آنچه را که به دست آوردم مربع می کنید (آن را با یک روبان ببندید). چی شد؟ تابع. این مثالی از یک تابع پیچیده است: زمانی که برای یافتن مقدار آن، اولین عمل را مستقیماً با متغیر انجام می دهیم، و سپس یک عمل دوم را با آنچه که از اولی حاصل می شود، انجام می دهیم.

به عبارت دیگر، تابع پیچیده تابعی است که آرگومان آن تابع دیگری است: .

برای مثال ما، .

ما به راحتی می‌توانیم همان مراحل را به ترتیب معکوس انجام دهیم: ابتدا آن را مربع می‌کنید و من به دنبال کسینوس عدد حاصل می‌گردم: . به راحتی می توان حدس زد که نتیجه تقریباً همیشه متفاوت خواهد بود. یک ویژگی مهم توابع پیچیده: وقتی ترتیب اعمال تغییر می کند، تابع تغییر می کند.

مثال دوم: (همان چیز). .

اقدامی که آخرین بار انجام می دهیم نامیده می شود عملکرد "خارجی".، و عمل انجام شد - بر این اساس عملکرد "داخلی".(این اسامی غیر رسمی هستند، من از آنها فقط برای توضیح مطالب به زبان ساده استفاده می کنم).

سعی کنید خودتان تعیین کنید کدام تابع خارجی و کدام داخلی است:

پاسخ ها:جداسازی توابع داخلی و خارجی بسیار شبیه به تغییر متغیرها است: به عنوان مثال، در یک تابع

1. ابتدا چه اقدامی را انجام خواهیم داد؟ ابتدا بیایید سینوس را محاسبه کنیم و فقط آن را مکعب کنیم. این بدان معنی است که یک عملکرد داخلی است، اما یک عملکرد خارجی.
   و کارکرد اصلی ترکیب آنهاست: .
2. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
3. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
4. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .
5. درونی؛ داخلی: ؛ خارجی: .
   معاینه: .

متغیرها را تغییر می دهیم و تابع می گیریم.

خوب، حالا شکلات‌مان را استخراج می‌کنیم و به دنبال مشتق آن می‌گردیم. روال همیشه برعکس است: ابتدا مشتق تابع بیرونی را جستجو می کنیم، سپس نتیجه را در مشتق تابع درونی ضرب می کنیم. در رابطه با نمونه اصلی، به این صورت است:

مثالی دیگر:

بنابراین، اجازه دهید در نهایت قانون رسمی را فرموله کنیم:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

ساده به نظر می رسد، درست است؟

بیایید با مثال ها بررسی کنیم:

راه حل ها:

1) داخلی:

خارجی: ;

2) داخلی:

(فقط سعی نکنید تا الان آن را قطع کنید! چیزی از زیر کسینوس بیرون نمی آید، یادتان هست؟)

3) داخلی:

خارجی: ;

بلافاصله مشخص می شود که این یک عملکرد پیچیده سه سطحی است: از این گذشته ، این به خودی خود یک عملکرد پیچیده است و ما ریشه را نیز از آن استخراج می کنیم ، یعنی عمل سوم را انجام می دهیم (شکلات را در یک بسته بندی قرار می دهیم. و با یک روبان در کیف). اما دلیلی برای ترس وجود ندارد: ما همچنان این عملکرد را به همان ترتیب معمول "باز کردن" خواهیم کرد: از پایان.

یعنی ابتدا ریشه و بعد کسینوس و فقط بعد عبارت داخل پرانتز را متمایز می کنیم. و سپس همه را ضرب می کنیم.

در چنین مواردی، شماره گذاری اقدامات راحت است. یعنی آنچه را که می دانیم تصور کنیم. به چه ترتیبی اقداماتی را برای محاسبه مقدار این عبارت انجام خواهیم داد؟ بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

هرچه این عمل دیرتر انجام شود، عملکرد مربوطه "خارجی" تر خواهد بود. توالی اقدامات مانند قبل است:

در اینجا لانه سازی به طور کلی 4 سطح است. بیایید مسیر عمل را مشخص کنیم.

1. بیان رادیکال. .

2. ریشه. .

3. سینوس. .

4. مربع. .

5. کنار هم گذاشتن همه:

مشتق. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

مشتق از یک تابع- نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان برای افزایش بی نهایت کوچک آرگومان:

مشتقات پایه:

قوانین تمایز:

ثابت از علامت مشتق خارج می شود:

مشتق جمع:

مشتقات محصول:

مشتق ضریب:

مشتق تابع مختلط:

الگوریتم یافتن مشتق تابع مختلط:

1. ما تابع "داخلی" را تعریف کرده و مشتق آن را پیدا می کنیم.
2. ما تابع "خارجی" را تعریف می کنیم و مشتق آن را پیدا می کنیم.
3. نتایج نقطه اول و دوم را ضرب می کنیم.

در کتاب‌های درسی «قدیمی» به آن قانون «زنجیره» نیز گفته می‌شود. بنابراین اگر y = f (u)، و u = φ (x)، به این معنا که

y = f (φ (x))

پیچیده - تابع مرکب (ترکیب توابع) سپس

جایی که ، پس از محاسبه در نظر گرفته می شود u = φ (x).

توجه داشته باشید که در اینجا ترکیبات "متفاوت" را از توابع یکسان گرفتیم و نتیجه تمایز طبیعتاً به ترتیب "اختلاط" بستگی دارد.

قانون زنجیره به طور طبیعی به ترکیبات سه یا چند عملکرد گسترش می یابد. در این حالت، سه یا چند "پیوند" در "زنجیره" وجود خواهد داشت که مشتق را تشکیل می دهد. در اینجا یک قیاس با ضرب است: "ما" جدول مشتقات. "آنجا" - جدول ضرب؛ "با ما" قانون زنجیره ای و "آنجا" قانون ضرب "ستون" است. هنگام محاسبه چنین مشتقات "پیچیده" ، البته هیچ آرگومان کمکی (u¸v و غیره) معرفی نمی شود ، اما با توجه به تعداد و دنباله توابع درگیر در ترکیب ، پیوندهای مربوطه "طبقه" می شوند. به ترتیب مشخص شده

. در اینجا، با "x" برای به دست آوردن مقدار "y"، پنج عملیات انجام می شود، یعنی ترکیبی از پنج تابع وجود دارد: "خارجی" (آخرین آنها) - نمایی - e  . سپس به ترتیب معکوس، قدرت. (♦) 2 ; گناه مثلثاتی(); آرام بخش () 3 و در نهایت لگاریتمی ln.(). از همین رو

با مثال‌های زیر «با یک سنگ چند پرنده را می‌کشیم»: تمایز توابع پیچیده را تمرین می‌کنیم و به جدول مشتقات توابع ابتدایی اضافه می‌کنیم. بنابراین:

4. برای یک تابع توان - y = x α - بازنویسی آن با استفاده از "هویت لگاریتمی پایه" معروف - b=e ln b - به شکل x α = x α ln x به دست می آوریم.

5. برای یک تابع نمایی دلخواه، با استفاده از تکنیک مشابهی که خواهیم داشت

6. برای یک تابع لگاریتمی دلخواه، با استفاده از فرمول شناخته شده برای انتقال به یک پایه جدید، ما به طور مداوم به دست می آوریم

.

7. برای افتراق مماس (کتانژانت) از قانون افتراق ضرایب استفاده می کنیم:

برای بدست آوردن مشتقات توابع مثلثاتی معکوس، از رابطه ای استفاده می کنیم که توسط مشتقات دو تابع معکوس متقابل برآورده می شود، یعنی توابع φ (x) و f (x) مربوط به روابط:

این نسبت است

از این فرمول برای توابع معکوس متقابل است

و
,

در نهایت، اجازه دهید این و برخی از مشتقات دیگر را که به راحتی در جدول زیر به دست می‌آیند، خلاصه کنیم.