مساحت مثلث - فرمول ها و نمونه هایی از حل مسئله. قضیه مساحت مثلث، قضیه سینوس و کسینوس مساحت مثلث به کسینوس و دو ضلع

با دانستن پایه و ارتفاع می توان آن را پیدا کرد. تمام سادگی طرح در این واقعیت نهفته است که ارتفاع پایه a را به دو قسمت a 1 و a 2 تقسیم می کند و خود مثلث را به دو مثلث قائم الزاویه تقسیم می کند، مساحتی که به دست می آید و. سپس مساحت کل مثلث حاصل مجموع دو ناحیه مشخص شده خواهد بود و اگر نیمی از ارتفاع را از براکت خارج کنیم، در مجموع پایه را برمی گردانیم:

یک روش دشوارتر برای محاسبات، فرمول هرون است که برای آن باید هر سه طرف را بدانید. برای این فرمول ابتدا باید نیم محیط مثلث را محاسبه کنید: فرمول هرون به خودی خود دلالت بر جذر نیم محیط دارد که به نوبه خود در اختلاف آن در هر طرف ضرب می شود.

روش زیر، همچنین مربوط به هر مثلث، به شما امکان می دهد مساحت مثلث را از طریق دو ضلع و زاویه بین آنها پیدا کنید. اثبات این امر از فرمول ارتفاع حاصل می شود - ما ارتفاع را به هر یک از ضلع های شناخته شده رسم می کنیم و از طریق سینوس زاویه α به دست می آوریم که h=a⋅sinα . برای محاسبه مساحت، نصف ارتفاع را در ضلع دوم ضرب کنید.

راه دیگر این است که مساحت یک مثلث با 2 زاویه و ضلع بین آنها را پیدا کنید. اثبات این فرمول بسیار ساده است و از نمودار به وضوح قابل مشاهده است.

ارتفاع را از بالای گوشه سوم به سمت شناخته شده پایین می آوریم و قسمت های حاصل را به ترتیب x می نامیم. از مثلث های قائم الزاویه می توان دریافت که قسمت اول x برابر با حاصلضرب است

به عبارت ساده، اینها سبزیجاتی هستند که طبق دستور العمل خاصی در آب پخته می شوند. من دو جزء اولیه (سالاد سبزیجات و آب) و نتیجه نهایی - گل گاوزبان را در نظر خواهم گرفت. از نظر هندسی، این را می توان به عنوان یک مستطیل نشان داد که در آن یک طرف نشان دهنده کاهو و طرف دیگر نشان دهنده آب است. مجموع این دو ضلع نشانگر گل گاوزبان خواهد بود. مورب و مساحت چنین مستطیل "بورشت" مفاهیمی کاملاً ریاضی است و هرگز در دستور العمل های گل گاوزبان استفاده نمی شود.

در کتاب های ریاضی چیزی در مورد توابع زاویه خطی پیدا نمی کنید. اما بدون آنها ریاضیات وجود ندارد. قوانین ریاضیات، مانند قوانین طبیعت، چه بدانیم که وجود دارند یا نه، کار می کنند.

توابع زاویه ای خطی قوانین جمع هستند.ببینید چگونه جبر به هندسه و هندسه به مثلثات تبدیل می شود.

آیا می توان بدون توابع زاویه ای خطی انجام داد؟ شما می توانید، زیرا ریاضیدانان هنوز بدون آنها مدیریت می کنند. ترفند ریاضیدانان در این واقعیت نهفته است که آنها همیشه فقط در مورد مسائلی به ما می گویند که خودشان می توانند حل کنند و هرگز در مورد مسائلی که نمی توانند حل کنند به ما نمی گویند. دیدن. اگر حاصل جمع و یک جمله را بدانیم، برای یافتن جمله دیگر از تفریق استفاده می کنیم. همه. ما مشکلات دیگر را نمی دانیم و قادر به حل آنها نیستیم. اگر فقط نتیجه جمع را بدانیم و هر دو اصطلاح را ندانیم چه کنیم؟ در این حالت، نتیجه جمع باید با استفاده از توابع زاویه ای خطی به دو ترم تجزیه شود. علاوه بر این، ما خودمان انتخاب می‌کنیم که یک جمله چه چیزی باشد، و توابع زاویه‌ای خطی نشان می‌دهند که عبارت دوم باید چه باشد تا نتیجه جمع دقیقاً همان چیزی باشد که ما نیاز داریم. می تواند تعداد نامتناهی از این جفت اصطلاح وجود داشته باشد. در زندگی روزمره، بدون تجزیه مجموع، خیلی خوب عمل می کنیم؛ تفریق برای ما کافی است. اما در مطالعات علمی قوانین طبیعت، بسط مجموع به اصطلاح می تواند بسیار مفید باشد.

یکی دیگر از قوانین جمع که ریاضیدانان دوست ندارند در مورد آن صحبت کنند (ترفند دیگر آنها) مستلزم این است که اصطلاحات واحد اندازه گیری یکسانی داشته باشند. برای کاهو، آب و گل گاوزبان، اینها ممکن است واحدهای وزن، حجم، هزینه یا واحد اندازه گیری باشند.

شکل دو سطح تفاوت را برای ریاضی نشان می دهد. سطح اول تفاوت در زمینه اعداد است که نشان داده شده است آ, ب, ج. این کاری است که ریاضیدانان انجام می دهند. سطح دوم تفاوت در مساحت واحدهای اندازه گیری است که در پرانتز نشان داده شده و با حرف نشان داده شده است. U. این کاری است که فیزیکدانان انجام می دهند. ما می توانیم سطح سوم - تفاوت در محدوده اشیاء توصیف شده را درک کنیم. اجسام مختلف می توانند تعداد واحدهای اندازه گیری یکسانی داشته باشند. چقدر این مهم است، می‌توانیم در مثال مثلثات بورشت ببینیم. اگر برای واحدهای اندازه‌گیری اشیاء مختلف، زیرنویس‌هایی را به نماد یکسان اضافه کنیم، می‌توانیم دقیقاً بگوییم که چه کمیت ریاضی یک شی خاص را توصیف می‌کند و چگونه در طول زمان یا در ارتباط با اعمال ما تغییر می‌کند. حرف دبلیوآب را با حرف علامت می زنم اسسالاد را با حرف مشخص می کنم ب- بورش در اینجا توابع زاویه خطی برای گل گاوزبان چگونه به نظر می رسند.

اگر مقداری از آب و مقداری از سالاد را برداریم با هم تبدیل به یک وعده گل گاوزبان می شوند. در اینجا به شما پیشنهاد می کنم کمی از گل گاوزبان فاصله بگیرید و دوران کودکی دور خود را به یاد بیاورید. یادتان هست چگونه به ما یاد دادند که خرگوش و اردک را کنار هم قرار دهیم؟ لازم بود که تعداد حیوانات را پیدا کنیم. آن وقت به ما یاد دادند که چه کار کنیم؟ به ما یاد دادند که واحدها را از اعداد جدا کنیم و اعداد را جمع کنیم. بله، هر عددی را می توان به هر عدد دیگری اضافه کرد. این یک مسیر مستقیم به اوتیسم ریاضیات مدرن است - ما نمی‌فهمیم چه چیزی، مشخص نیست چرا، و ما بسیار ضعیف می‌دانیم که چگونه این با واقعیت ارتباط دارد، زیرا به دلیل سه سطح تفاوت، ریاضیدانان فقط روی یک کار می‌کنند. یادگیری نحوه حرکت از یک واحد اندازه گیری به واحد دیگر صحیح تر خواهد بود.

و خرگوش ها و اردک ها و حیوانات کوچک را می توان تکه تکه شمرد. یک واحد اندازه گیری مشترک برای اجسام مختلف به ما امکان می دهد آنها را با هم جمع کنیم. این یک نسخه کودکانه از مشکل است. بیایید به یک مشکل مشابه برای بزرگسالان نگاه کنیم. وقتی خرگوش و پول اضافه می کنید چه چیزی بدست می آورید؟ در اینجا دو راه حل ممکن وجود دارد.

گزینه اول. ما ارزش بازار خرگوش ها را تعیین می کنیم و آن را به پول نقد موجود اضافه می کنیم. ما ارزش کل ثروت خود را از نظر پول بدست آوردیم.

گزینه دوم. می توانید تعداد خرگوش ها را به تعداد اسکناس هایی که داریم اضافه کنید. مقدار اموال منقول را تکه تکه به دست می آوریم.

همانطور که می بینید، قانون جمع یکسان به شما اجازه می دهد تا نتایج متفاوتی بدست آورید. همه چیز بستگی به این دارد که دقیقاً چه چیزی می خواهیم بدانیم.

اما به گل گاوزبان خودمان برگردیم. اکنون می توانیم ببینیم که برای مقادیر مختلف زاویه توابع زاویه خطی چه اتفاقی خواهد افتاد.

زاویه صفر است. سالاد داریم اما آب نداریم. ما نمی توانیم گل گاوزبان بپزیم. مقدار گل گاوزبان نیز صفر است. این اصلا به این معنی نیست که صفر گاوزبان برابر با صفر آب است. برش صفر نیز می تواند در سالاد صفر باشد (زاویه راست).

برای من شخصا، این دلیل اصلی ریاضی این واقعیت است که . صفر هنگام اضافه شدن عدد را تغییر نمی دهد. این به این دلیل است که اگر فقط یک جمله وجود داشته باشد و جمله دوم وجود نداشته باشد، خود جمع غیرممکن است. شما می توانید هر طور که دوست دارید با این موضوع ارتباط برقرار کنید، اما به یاد داشته باشید - تمام عملیات ریاضی با صفر توسط خود ریاضیدانان اختراع شده است، بنابراین منطق خود را دور بریزید و تعاریف ابداع شده توسط ریاضیدانان را احمقانه جمع کنید: "تقسیم بر صفر غیرممکن است"، "هر عددی ضربدر صفر شود." برابر با صفر" ، "پشت نقطه صفر" و مزخرفات دیگر است. کافی است یک بار به یاد بیاورید که صفر یک عدد نیست و شما هرگز این سوال را نخواهید داشت که آیا صفر یک عدد طبیعی است یا خیر، زیرا چنین سوالی به طور کلی معنای خود را از دست می دهد: چگونه می توان عددی را که عدد نیست در نظر گرفت. . مثل این است که بپرسیم یک رنگ نامرئی را به چه رنگی نسبت دهیم. افزودن صفر به یک عدد مانند نقاشی با رنگی است که وجود ندارد. آنها برس خشک را تکان دادند و به همه گفتند "ما نقاشی کرده ایم". اما کمی منحرف می شوم.

زاویه بزرگتر از صفر اما کمتر از چهل و پنج درجه است. ما کاهو زیاد داریم اما آب کم. در نتیجه یک گل گاوزبان غلیظ بدست می آوریم.

زاویه چهل و پنج درجه است. ما به مقدار مساوی آب و کاهو داریم. این گل گاوزبان عالی است (شاید آشپزها مرا ببخشند، این فقط ریاضی است).

زاویه بزرگتر از چهل و پنج درجه اما کمتر از نود درجه است. آب زیاد داریم و کاهو کم. گل گاوزبان مایع بگیرید.

زاویه راست. آب داریم فقط خاطراتی از کاهو باقی مانده است، زیرا ما به اندازه گیری زاویه از خطی که زمانی کاهو را مشخص می کرد ادامه می دهیم. ما نمی توانیم گل گاوزبان بپزیم. مقدار گل گاوزبان صفر است. در این صورت دست نگه دارید و تا زمانی که آب در دسترس است بنوشید)))

اینجا. چیزی شبیه به این. من می توانم داستان های دیگری را در اینجا بگویم که در اینجا مناسب تر است.

این دو دوست سهم خود را در تجارت مشترک داشتند. پس از قتل یکی از آنها همه چیز به سراغ دیگری رفت.

ظهور ریاضیات در سیاره ما.

همه این داستان ها به زبان ریاضیات با استفاده از توابع زاویه ای خطی گفته می شود. زمانی دیگر جایگاه واقعی این توابع را در ساختار ریاضیات به شما نشان خواهم داد. در ضمن به مثلثات گل گاوزبان برگردیم و پیش بینی ها را در نظر بگیریم.

شنبه 26 اکتبر 2019

ویدیوی جالبی در موردش دیدم ردیف گراندی یک منهای یک به علاوه یک منهای یک - Numberphile. ریاضیدانان دروغ می گویند. آنها آزمون برابری را در استدلال خود انجام ندادند.

این با استدلال من در مورد .

بیایید نگاهی دقیق‌تر به نشانه‌هایی داشته باشیم که نشان می‌دهد ریاضی‌دانان به ما تقلب می‌کنند. در همان ابتدای استدلال، ریاضیدانان می گویند که مجموع دنباله به زوج بودن یا نبودن تعداد عناصر آن بستگی دارد. این یک واقعیت عینی است. بعد چه اتفاقی می افتد؟

سپس، ریاضیدانان دنباله را از وحدت کم می کنند. این به چه چیزی منجر می شود؟ این منجر به تغییر در تعداد عناصر در دنباله می شود - یک عدد زوج به یک عدد فرد، یک عدد فرد به یک عدد زوج تغییر می کند. پس از همه، ما یک عنصر برابر با یک به دنباله اضافه کرده ایم. با وجود تمام شباهت های خارجی، دنباله قبل از تبدیل با دنباله بعد از تبدیل برابر نیست. حتی اگر در مورد یک دنباله نامتناهی صحبت می کنیم، باید به خاطر داشته باشیم که یک دنباله نامتناهی با تعداد فرد فرد با یک دنباله نامتناهی با تعدادی عنصر زوج برابر نیست.

با قرار دادن علامت مساوی بین دو دنباله متفاوت از نظر تعداد عناصر، ریاضیدانان ادعا می کنند که مجموع دنباله به تعداد عناصر دنباله بستگی ندارد، که با یک واقعیت عینی تثبیت شده در تضاد است. استدلال بیشتر در مورد مجموع یک دنباله نامتناهی نادرست است، زیرا بر اساس یک برابری کاذب است.

اگر می بینید که ریاضیدانان در مسیر اثبات ها پرانتز قرار می دهند، عناصر یک عبارت ریاضی را دوباره مرتب می کنند، چیزی اضافه یا حذف می کنند، بسیار مراقب باشید، به احتمال زیاد آنها سعی در فریب شما دارند. ریاضیدانان مانند جادوگران کارت، توجه شما را با دستکاری های مختلف بیان منحرف می کنند تا در نهایت به شما نتیجه ای نادرست بدهند. اگر نمی توانید حقه کارت را بدون دانستن راز تقلب تکرار کنید، در ریاضیات همه چیز بسیار ساده تر است: شما حتی به چیزی در مورد تقلب مشکوک نیستید، اما تکرار تمام دستکاری ها با یک عبارت ریاضی به شما امکان می دهد دیگران را متقاعد کنید. درستی نتیجه، درست مثل زمانی که شما را متقاعد کرده اید.

سوال مخاطب: و بی نهایت (به عنوان تعداد عناصر دنباله S) زوج است یا فرد؟ چگونه می توانید برابری چیزی را تغییر دهید که برابری ندارد؟

بی نهایت برای ریاضیدانان مانند پادشاهی بهشت ​​برای کشیشان است - هیچ کس تا به حال آنجا نبوده است، اما همه دقیقاً می دانند که همه چیز در آنجا چگونه کار می کند))) موافقم، پس از مرگ شما کاملاً بی تفاوت خواهید بود، چه تعداد روز زندگی کرده باشید چه فرد. ، اما ... با اضافه کردن فقط یک روز به ابتدای زندگی شما، یک شخص کاملاً متفاوت خواهیم داشت: نام خانوادگی، نام و نام خانوادگی او دقیقاً یکسان است، فقط تاریخ تولد کاملاً متفاوت است - او یک متولد شده است. روز قبل از تو

و حالا به اصل مطلب))) فرض کنید یک دنباله متناهی که برابری دارد وقتی به سمت بی نهایت می رود این برابری را از دست می دهد. سپس هر قطعه متناهی از یک دنباله نامتناهی نیز باید برابری را از دست بدهد. ما این را رعایت نمی کنیم. این واقعیت که نمی‌توانیم با اطمینان بگوییم که تعداد عناصر در یک دنباله نامتناهی زوج یا فرد است، اصلاً به این معنی نیست که برابری ناپدید شده است. برابری، اگر وجود داشته باشد، نمی تواند بدون هیچ ردی در بی نهایت ناپدید شود، مانند آستین یک کارت تیزتر. قیاس بسیار خوبی برای این مورد وجود دارد.

آیا تا به حال از فاخته ای که در ساعت نشسته است پرسیده اید که عقربه ساعت در کدام جهت می چرخد؟ برای او، فلش در جهت مخالف چیزی که ما آن را "جهت عقربه های ساعت" می نامیم می چرخد. ممکن است متناقض به نظر برسد، اما جهت چرخش تنها به این بستگی دارد که ما چرخش را از کدام سمت مشاهده کنیم. و بنابراین، ما یک چرخ داریم که می چرخد. ما نمی توانیم بگوییم که چرخش در کدام جهت رخ می دهد، زیرا می توانیم آن را هم از یک طرف صفحه چرخش و هم از طرف دیگر مشاهده کنیم. ما فقط می توانیم به این واقعیت شهادت دهیم که چرخش وجود دارد. قیاس کامل با برابری یک دنباله نامتناهی اس.

حالا بیایید چرخ دوار دومی را اضافه کنیم که صفحه چرخش آن موازی با صفحه چرخش اولین چرخ دوار است. ما هنوز نمی‌توانیم دقیقاً بگوییم این چرخ‌ها در کدام جهت می‌چرخند، اما می‌توانیم با اطمینان کامل بگوییم که آیا هر دو چرخ در یک جهت می‌چرخند یا در جهت مخالف. مقایسه دو دنباله بی نهایت اسو 1-S، من با کمک ریاضیات نشان دادم که این دنباله ها برابری متفاوتی دارند و قرار دادن علامت مساوی بین آنها اشتباه است. من شخصاً به ریاضیات اعتقاد دارم ، به ریاضیدانان اعتماد ندارم))) به هر حال ، برای درک کامل هندسه تبدیل دنباله های بینهایت ، لازم است این مفهوم را معرفی کنیم. "هم زمان". این باید ترسیم شود.

چهارشنبه 7 آگوست 2019

در پایان گفتگو در مورد ، باید مجموعه ای بی نهایت را در نظر بگیریم. با توجه به این که مفهوم "بی نهایت" بر ریاضیدانان تأثیر می گذارد، مانند یک بوآ بر روی خرگوش. وحشت لرزان بی نهایت ریاضیدانان را از عقل سلیم محروم می کند. به عنوان مثال:

منبع اصلی قرار دارد. آلفا یک عدد واقعی را نشان می دهد. علامت مساوی در عبارات بالا نشان می دهد که اگر یک عدد یا بینهایت را به بی نهایت اضافه کنید، چیزی تغییر نمی کند، نتیجه همان بی نهایت خواهد بود. اگر مجموعه نامتناهی از اعداد طبیعی را به عنوان مثال در نظر بگیریم، نمونه های در نظر گرفته شده را می توان به صورت زیر نشان داد:

برای اثبات بصری ادعای خود، ریاضیدانان روش های مختلفی را ارائه کرده اند. من شخصاً به همه این روش ها به عنوان رقص شمن ها با تنبور نگاه می کنم. در اصل همه آنها به این نتیجه می رسند که یا برخی از اتاق ها اشغال نشده و مهمانان جدیدی در آنها مستقر می شوند یا اینکه برخی از بازدیدکنندگان را به داخل راهرو پرتاب می کنند تا برای مهمانان جا باز کنند (بسیار انسانی). من دیدگاه خود را در مورد چنین تصمیماتی در قالب داستانی خارق العاده در مورد بلوند ارائه کردم. استدلال من بر چه اساسی است؟ جابجایی تعداد نامتناهی بازدیدکننده زمان بی نهایت می برد. بعد از اینکه اولین اتاق مهمان را خالی کردیم، یکی از بازدیدکنندگان همیشه تا پایان زمان در امتداد راهرو از اتاق خود به اتاق بعدی راه می رود. البته می توان عامل زمان را به طور احمقانه نادیده گرفت، اما این قبلاً از دسته "قانون برای احمق ها نوشته نشده است" خواهد بود. همه چیز به کاری که ما انجام می دهیم بستگی دارد: تطبیق واقعیت با نظریه های ریاضی یا بالعکس.

"هتل بی نهایت" چیست؟ مسافرخانه اینفینیتی مسافرخانه ای است که همیشه هر تعداد جای خالی دارد، مهم نیست چند اتاق اشغال شده باشد. اگر تمام اتاق های راهروی بی پایان «برای بازدیدکنندگان» اشغال شده باشد، راهروی بی پایان دیگری با اتاق هایی برای «مهمان» وجود دارد. تعداد نامحدودی از این راهروها وجود خواهد داشت. در عین حال، "هتل بینهایت" دارای تعداد بی نهایت طبقه در تعداد نامتناهی ساختمان در تعداد بی نهایت سیاره در تعداد بی نهایت جهان است که توسط تعداد بی نهایت خدا ایجاد شده است. از سوی دیگر، ریاضیدانان قادر به دور شدن از مشکلات پیش پا افتاده روزمره نیستند: خدا-الله-بودا همیشه یکی است، هتل یکی است، راهرو تنها یکی است. بنابراین ریاضیدانان در تلاشند تا شماره سریال اتاق‌های هتل را به اشتباه بیاندازند و ما را متقاعد کنند که می‌توان «بی‌هوش‌ها را هل داد».

من منطق استدلال خود را با استفاده از مثال مجموعه نامتناهی از اعداد طبیعی به شما نشان خواهم داد. ابتدا باید به یک سوال بسیار ساده پاسخ دهید: چند مجموعه اعداد طبیعی وجود دارد - یک یا چند؟ هیچ پاسخ درستی برای این سوال وجود ندارد، زیرا ما خود اعداد را اختراع کرده ایم، در طبیعت هیچ عددی وجود ندارد. بله، طبیعت می داند که چگونه بشمرد، اما برای این کار از ابزارهای ریاضی دیگری استفاده می کند که برای ما آشنا نیستند. همانطور که طبیعت فکر می کند، یک بار دیگر به شما خواهم گفت. از آنجایی که ما اعداد را اختراع کردیم، خودمان تصمیم خواهیم گرفت که چند مجموعه از اعداد طبیعی وجود داشته باشد. هر دو گزینه را همانطور که شایسته یک دانشمند واقعی است در نظر بگیرید.

گزینه یک "بگذارید به ما داده شود" یک مجموعه واحد از اعداد طبیعی، که به آرامی در یک قفسه قرار دارد. این مجموعه را از قفسه می گیریم. همین، هیچ عدد طبیعی دیگری در قفسه باقی نمانده و جایی برای بردن آنها نیست. ما نمی توانیم یکی را به این مجموعه اضافه کنیم، زیرا قبلاً آن را داریم. اگه واقعا بخوای چی؟ مشکلی نیست می‌توانیم یک واحد از مجموعه‌ای که قبلاً گرفته‌ایم برداریم و به قفسه برگردانیم. پس از آن، می توانیم یک واحد را از قفسه برداریم و آن را به آنچه مانده ایم اضافه کنیم. در نتیجه، دوباره مجموعه ای بی نهایت از اعداد طبیعی را دریافت می کنیم. شما می توانید تمام دستکاری های ما را اینگونه بنویسید:

من عملیات را در نماد جبری و در تئوری مجموعه ها یادداشت کرده ام و عناصر مجموعه را با جزئیات فهرست کرده ام. زیرنویس نشان می دهد که ما یک و تنها مجموعه اعداد طبیعی داریم. معلوم می شود که مجموعه اعداد طبیعی تنها در صورتی بدون تغییر می ماند که یک عدد از آن کم شود و همان عدد به آن اضافه شود.

گزینه دو ما مجموعه های بی نهایت متفاوتی از اعداد طبیعی را در قفسه داریم. تأکید می کنم - متفاوت هستند، با وجود این واقعیت که آنها عملاً قابل تشخیص نیستند. یکی از این مجموعه ها را می گیریم. سپس از مجموعه اعداد طبیعی دیگری یکی را می گیریم و به مجموعه ای که قبلا گرفته ایم اضافه می کنیم. حتی می توانیم دو مجموعه اعداد طبیعی را اضافه کنیم. در اینجا چیزی است که ما دریافت می کنیم:

زیرنویس های "یک" و "دو" نشان می دهد که این عناصر به مجموعه های مختلفی تعلق داشته اند. بله، اگر یکی را به یک مجموعه بی نهایت اضافه کنید، نتیجه نیز یک مجموعه بی نهایت خواهد بود، اما با مجموعه اصلی یکسان نخواهد بود. اگر مجموعه نامتناهی دیگری به یک مجموعه نامتناهی اضافه شود، نتیجه یک مجموعه نامتناهی جدید است که از عناصر دو مجموعه اول تشکیل شده است.

از مجموعه اعداد طبیعی برای شمارش استفاده می شود مانند خط کش برای اندازه گیری. حال تصور کنید که یک سانتی متر به خط کش اضافه کرده اید. این قبلاً یک خط متفاوت خواهد بود، نه با خط اصلی.

شما می توانید استدلال من را بپذیرید یا نپذیرید - این کار خودتان است. اما اگر زمانی با مشکلات ریاضی مواجه شدید، در نظر بگیرید که آیا در مسیر استدلال نادرست هستید که توسط چندین نسل از ریاضیدانان زیر پا گذاشته شده است. بالاخره کلاس های ریاضی اول از همه یک کلیشه پایدار از تفکر را در ما شکل می دهند و فقط در این صورت توانایی های ذهنی را به ما اضافه می کنند (یا برعکس، ما را از تفکر آزاد محروم می کنند).

pozg.ru

یکشنبه 4 آگوست 2019

در حال نوشتن پس‌نوشته‌ای برای مقاله‌ای در مورد این متن فوق‌العاده در ویکی‌پدیا بودم:

می خوانیم: «... مبنای نظری غنی ریاضیات بابلی ویژگی کل نگر نداشت و به مجموعه ای از فنون ناهمگون و خالی از یک سیستم مشترک و پایگاه شواهد تقلیل یافت.

وای! چقدر باهوشیم و چقدر می توانیم کاستی های دیگران را ببینیم. آیا برای ما ضعیف است که به ریاضیات مدرن در همین چارچوب نگاه کنیم؟ با تعبیر کمی متن بالا، شخصاً موارد زیر را دریافت کردم:

مبانی نظری غنی ریاضیات مدرن ویژگی کل نگر ندارد و به مجموعه‌ای از بخش‌های ناهمگون کاهش می‌یابد که فاقد یک سیستم مشترک و پایگاه شواهد است.

من برای تأیید سخنانم زیاد نمی روم - زبان و قراردادهایی دارد که با زبان و قراردادهای بسیاری از شاخه های دیگر ریاضیات متفاوت است. اسامی یکسان در شاخه های مختلف ریاضی می تواند معانی مختلفی داشته باشد. من می خواهم یک چرخه کامل از انتشارات را به آشکارترین اشتباهات ریاضیات مدرن اختصاص دهم. به زودی میبینمت.

شنبه 3 آگوست 2019

چگونه یک مجموعه را به زیر مجموعه ها تقسیم کنیم؟ برای این کار باید واحد اندازه گیری جدیدی را وارد کنید که در برخی از عناصر مجموعه انتخاب شده وجود دارد. یک مثال را در نظر بگیرید.

باشد که ما بسیاری داشته باشیم آمتشکل از چهار نفر این مجموعه بر اساس "مردم" تشکیل شده است. بیایید عناصر این مجموعه را از طریق حرف مشخص کنیم آ، زیرنویس با یک عدد نشان دهنده شماره ترتیبی هر فرد در این مجموعه خواهد بود. بیایید یک واحد اندازه گیری جدید "ویژگی جنسی" را معرفی کنیم و آن را با حرف نشان دهیم ب. از آنجایی که ویژگی های جنسی در همه افراد ذاتی است، هر عنصر مجموعه را ضرب می کنیم آدر مورد جنسیت ب. توجه کنید که مجموعه "مردم" ما اکنون به مجموعه "افراد با جنسیت" تبدیل شده است. پس از آن می توان ویژگی های جنسی را به مردان تقسیم کرد bmو زنانه bwویژگی های جنسیتی حالا می‌توانیم یک فیلتر ریاضی اعمال کنیم: یکی از این ویژگی‌های جنسی را انتخاب می‌کنیم، فرقی نمی‌کند کدام یک مرد باشد یا زن. اگر در شخصی وجود داشته باشد آن را در یک ضرب می کنیم، اگر چنین علامتی وجود نداشته باشد آن را در صفر ضرب می کنیم. و سپس ریاضیات معمول مدرسه را اعمال می کنیم. ببین چی شد

پس از ضرب، کاهش و بازآرایی، دو زیرمجموعه به دست آوردیم: زیر مجموعه مذکر bmو زیر مجموعه ای از زنان bw. تقریباً به همان روشی که ریاضیدانان وقتی نظریه مجموعه ها را در عمل به کار می برند، استدلال می کنند. اما آنها به ما اجازه ورود به جزئیات را نمی دهند، اما نتیجه نهایی را به ما می دهند - "بسیاری از مردم از زیرمجموعه ای از مردان و زیر مجموعه ای از زنان تشکیل شده اند." به طور طبیعی، ممکن است برای شما این سوال پیش بیاید که چگونه ریاضیات را به درستی در تبدیل های فوق به کار برده است؟ به جرات می توانم به شما اطمینان دهم که در واقع تبدیل ها به درستی انجام شده است، کافی است توجیه ریاضی حساب، جبر بولی و سایر بخش های ریاضی را بدانید. آن چیست؟ یک بار دیگر در مورد آن به شما خواهم گفت.

در مورد ابرمجموعه ها، می توان با انتخاب واحد اندازه گیری که در عناصر این دو مجموعه وجود دارد، دو مجموعه را در یک سوپرست ترکیب کرد.

همانطور که می بینید، واحدهای اندازه گیری و ریاضی رایج، تئوری مجموعه ها را به گذشته تبدیل می کند. نشانه این که همه چیز با تئوری مجموعه ها خوب نیست این است که ریاضیدانان زبان و نماد خود را برای نظریه مجموعه ها ارائه کرده اند. ریاضیدانان همان کاری را کردند که زمانی شمن ها انجام می دادند. فقط شمن ها می دانند که چگونه "دانش" خود را "درست" به کار ببرند. این «دانش» را به ما می آموزند.

در پایان، من می خواهم به شما نشان دهم که ریاضیدانان چگونه دستکاری می کنند
فرض کنید آشیل ده برابر سریعتر از لاک پشت می دود و هزار قدم از آن عقب تر است. در مدت زمانی که آشیل این مسافت را می دود، لاک پشت صد قدم در همان جهت می خزد. وقتی آشیل صد قدم بدود، لاک پشت ده قدم دیگر می خزد و به همین ترتیب. این روند به طور نامحدود ادامه خواهد داشت، آشیل هرگز به لاک پشت نمی رسد.

این استدلال به یک شوک منطقی برای تمام نسل های بعدی تبدیل شد. ارسطو، دیوژن، کانت، هگل، گیلبرت... همگی، به نوعی، آپوریاهای زنون را در نظر گرفتند. شوک آنقدر قوی بود که " ... بحث در زمان حاضر ادامه دارد، جامعه علمی هنوز نتوانسته است به یک نظر مشترک در مورد ماهیت پارادوکس ها برسد ... تحلیل ریاضی، نظریه مجموعه ها، رویکردهای فیزیکی و فلسفی جدید در بررسی موضوع دخیل بودند. ; هیچ یک از آنها به یک راه حل پذیرفته شده جهانی برای مشکل تبدیل نشد ...«[ویکی‌پدیا»، «آپوریاهای زنو»]. همه می‌دانند که دارند گول می‌خورند، اما هیچ‌کس نمی‌فهمد فریب چیست.

از دیدگاه ریاضیات، زنو در آپوریای خود به وضوح انتقال از مقدار به را نشان داد. این انتقال به معنای اعمال به جای ثابت است. تا آنجا که من درک می کنم، دستگاه ریاضی برای اعمال واحدهای اندازه گیری متغیر یا هنوز توسعه نیافته است، یا در آپوریای زنو اعمال نشده است. اعمال منطق همیشگی ما را به دام می کشاند. ما با اینرسی تفکر، واحدهای ثابت زمان را برای متقابل اعمال می کنیم. از نقطه نظر فیزیکی، به نظر می رسد در لحظه ای که آشیل به لاک پشت می رسد، زمان کاهش می یابد و به توقف کامل می رسد. اگر زمان متوقف شود، آشیل دیگر نمی تواند از لاک پشت سبقت بگیرد.

اگر منطقی را که به آن عادت کرده ایم بچرخانیم، همه چیز سر جای خودش قرار می گیرد. آشیل با سرعت ثابت می دود. هر بخش بعدی از مسیر خود ده برابر کوتاهتر از قسمت قبلی است. بر این اساس، زمان صرف شده برای غلبه بر آن ده برابر کمتر از زمان قبلی است. اگر مفهوم «بی نهایت» را در این موقعیت به کار ببریم، درست است که بگوییم «آشیل بی نهایت به سرعت از لاک پشت پیشی خواهد گرفت».

چگونه از این تله منطقی جلوگیری کنیم؟ در واحدهای زمان ثابت بمانید و به مقادیر متقابل تغییر ندهید. در زبان زنو، به این صورت است:

در زمانی که آشیل هزار قدم می دود، لاک پشت صد قدم به همان سمت می خزد. در فاصله زمانی بعدی، برابر با اول، آشیل هزار قدم دیگر خواهد دوید و لاک پشت صد قدم می خزد. حالا آشیل هشتصد قدم از لاک پشت جلوتر است.

این رویکرد به اندازه کافی واقعیت را بدون هیچ پارادوکس منطقی توصیف می کند. اما این یک راه حل کامل برای مشکل نیست. بیانیه انیشتین در مورد غیرقابل حل بودن سرعت نور بسیار شبیه به آپوریای زنو "آشیل و لاک پشت" است. ما هنوز باید این مشکل را مطالعه، بازنگری و حل کنیم. و راه حل را نه در تعداد بی نهایت زیاد، بلکه در واحدهای اندازه گیری باید جستجو کرد.

یکی دیگر از آپوریاهای جالب زنو از یک تیر پرنده می گوید:

یک تیر پرنده بی حرکت است، زیرا در هر لحظه از زمان در حال استراحت است و از آنجایی که در هر لحظه از زمان در حال استراحت است، همیشه در حال استراحت است.

در این آپوریا، پارادوکس منطقی بسیار ساده غلبه می کند - کافی است روشن شود که در هر لحظه از زمان فلش پرنده در نقاط مختلف فضا قرار می گیرد، که در واقع حرکت است. در اینجا نکته دیگری قابل ذکر است. از یک عکس از یک ماشین در جاده، نمی توان حقیقت حرکت یا فاصله آن را تعیین کرد. برای تعیین واقعیت حرکت خودرو، دو عکس گرفته شده از یک نقطه در نقاط مختلف زمان مورد نیاز است، اما نمی توان از آنها برای تعیین فاصله استفاده کرد. برای تعیین فاصله تا ماشین، به دو عکس گرفته شده از نقاط مختلف فضا به طور همزمان نیاز دارید، اما نمی توانید واقعیت حرکت را از آنها تعیین کنید (به طور طبیعی، شما هنوز هم به داده های اضافی برای محاسبات نیاز دارید، مثلثات به شما کمک می کند). چیزی که می خواهم به طور خاص به آن اشاره کنم این است که دو نقطه در زمان و دو نقطه در فضا دو چیز متفاوت هستند که نباید اشتباه گرفته شوند زیرا فرصت های متفاوتی را برای کاوش فراهم می کنند.
من روند را با یک مثال نشان خواهم داد. ما "جامد قرمز در یک جوش" را انتخاب می کنیم - این "کل" ما است. در عین حال می بینیم که این چیزها با کمان هستند و بدون کمان هستند. پس از آن قسمتی از «کل» را انتخاب می کنیم و مجموعه «با کمان» را تشکیل می دهیم. این گونه است که شمن ها با گره زدن نظریه مجموعه خود به واقعیت، خود را تغذیه می کنند.

حالا بیایید یک ترفند کوچک انجام دهیم. بیایید "جامد در یک جوش با کمان" را بگیریم و این "کل" را با رنگ متحد کنیم و عناصر قرمز را انتخاب کنیم. ما مقدار زیادی "قرمز" گرفتیم. حالا یک سوال پیچیده: آیا ست های دریافتی "با کمان" و "قرمز" یک ست هستند یا دو ست متفاوت؟ فقط شمن ها جواب را می دانند. به عبارت دقیق تر، آنها خودشان چیزی نمی دانند، اما همانطور که می گویند، همین طور باشد.

این مثال ساده نشان می دهد که نظریه مجموعه ها در مورد واقعیت کاملاً بی فایده است. راز چیست؟ مجموعه ای از "جوال قرمز جامد با کمان" را تشکیل دادیم. شکل گیری بر اساس چهار واحد اندازه گیری مختلف صورت گرفت: رنگ (قرمز)، استحکام (جامد)، زبری (در یک دست انداز)، تزئینات (با کمان). تنها مجموعه ای از واحدهای اندازه گیری، توصیف مناسب اشیاء واقعی را در زبان ریاضی ممکن می سازد.. در اینجا به نظر می رسد.

حرف "a" با شاخص های مختلف نشان دهنده واحدهای اندازه گیری متفاوت است. در پرانتز، واحدهای اندازه گیری برجسته شده است، که بر اساس آن "کل" در مرحله مقدماتی اختصاص داده می شود. واحد اندازه گیری که بر اساس آن مجموعه تشکیل می شود، از براکت ها خارج می شود. آخرین خط نتیجه نهایی را نشان می دهد - یک عنصر از مجموعه. همانطور که می بینید، اگر از واحدها برای تشکیل مجموعه استفاده کنیم، نتیجه به ترتیب اعمال ما بستگی ندارد. و این ریاضیات است و نه رقص شمن ها با تنبور. شمن ها می توانند "به طور شهودی" به همان نتیجه برسند و آن را با "بدیهی بودن" استدلال کنند، زیرا واحدهای اندازه گیری در زرادخانه "علمی" آنها گنجانده نشده است.

با کمک واحدهای اندازه گیری، شکستن یک یا ترکیب چند مجموعه در یک سوپرست بسیار آسان است. بیایید نگاهی دقیق تر به جبر این فرآیند بیندازیم.

قضیه مساحت مثلث

قضیه 1

مساحت یک مثلث نصف حاصلضرب دو ضلع برابر سینوس زاویه بین آن ضلع است.

اثبات

اجازه دهید یک مثلث دلخواه $ABC$ به ما داده شود. بیایید طول اضلاع این مثلث را به صورت $BC=a$، $AC=b$ نشان دهیم. بیایید یک سیستم مختصات دکارتی معرفی کنیم، به طوری که نقطه $C=(0,0)$، نقطه $B$ روی نیم محور سمت راست $Ox$، و نقطه $A$ در ربع مختصات اول قرار گیرد. ارتفاع $h$ را از نقطه $A$ رسم کنید (شکل 1).

شکل 1. تصویر قضیه 1

بنابراین، ارتفاع $h$ برابر با مختص نقطه $A$ است

قضیه سینوس

قضیه 2

اضلاع یک مثلث با سینوس های زوایای مقابل متناسب است.

اثبات

اجازه دهید یک مثلث دلخواه $ABC$ به ما داده شود. اجازه دهید طول اضلاع این مثلث را به صورت $BC=a$، $AC=b، $$AC=c$ نشان دهیم (شکل 2).

شکل 2.

این را ثابت کنیم

با قضیه 1، داریم

با معادل کردن آنها به صورت جفت، به این نتیجه می رسیم

قضیه کسینوس

قضیه 3

مربع یک ضلع مثلث برابر است با مجموع مربع های دو ضلع دیگر مثلث بدون اینکه حاصل ضرب آن ضلع ها ضربدر کسینوس زاویه بین آن ضلع ها باشد.

اثبات

اجازه دهید یک مثلث دلخواه $ABC$ به ما داده شود. طول اضلاع آن را به صورت $BC=a$، $AC=b، $$AB=c$ نشان دهید. اجازه دهید یک سیستم مختصات دکارتی را معرفی کنیم تا نقطه $A=(0,0)$، نقطه $B$ روی نیم محور مثبت $Ox$ و نقطه $C$ در ربع مختصات اول قرار گیرد (شکل 1). 3).

شکل 3

این را ثابت کنیم

در این سیستم مختصات، ما آن را دریافت می کنیم

طول ضلع $BC$ را با استفاده از فرمول فاصله بین نقاط پیدا کنید

مثالی از یک مسئله با استفاده از این قضایا

مثال 1

ثابت کنید که قطر دایره محدود شده یک مثلث دلخواه برابر است با نسبت هر ضلع مثلث به سینوس زاویه مقابل این ضلع.

راه حل.

اجازه دهید یک مثلث دلخواه $ABC$ به ما داده شود. $R$ - شعاع دایره محدود شده. قطر $BD$ را رسم کنید (شکل 4).

مساحت یک مثلث برابر است با نصف حاصلضرب اضلاع آن و سینوس زاویه بین آنها.

اثبات:

یک مثلث دلخواه ABC را در نظر بگیرید. بگذارید ضلع BC = a در آن، ضلع CA = b و S مساحت این مثلث باشد. اثبات آن ضروری است S = (1/2)*a*b*sin(C).

برای شروع، یک سیستم مختصات مستطیلی را معرفی می کنیم و مبدا را در نقطه C قرار می دهیم. بیایید سیستم مختصات خود را طوری قرار دهیم که نقطه B در جهت مثبت محور Cx قرار گیرد و نقطه A دارای یک مختصات مثبت باشد.

اگر همه چیز به درستی انجام شود، باید شکل زیر را دریافت کنید.

مساحت یک مثلث معین را می توان با استفاده از فرمول زیر محاسبه کرد: S = (1/2)*a*h، که h ارتفاع مثلث است. در مورد ما، ارتفاع مثلث h برابر است با ترتیب نقطه A، یعنی h \u003d b * sin (C).

با توجه به نتایج به دست آمده، فرمول مساحت یک مثلث را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

حل مسئله

وظیفه 1. مساحت مثلث ABC را پیدا کنید اگر الف) AB = 6*√8 سانتی متر، AC = 4 سانتی متر، زاویه A = 60 درجه ب) BC = 3 سانتی متر، AB = 18*√2 سانتی متر، زاویه B= 45 درجه c ) AC = 14 سانتی متر، CB = 7 سانتی متر، زاویه C = 48 درجه.

با توجه به قضیه بالا، مساحت S مثلث ABC برابر است با:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

بیایید محاسبات را انجام دهیم:

الف) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

ب) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

ج) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

ما مقدار سینوس زاویه را در ماشین حساب محاسبه می کنیم یا از مقادیر جدول مقادیر زوایای مثلثاتی استفاده می کنیم. پاسخ:

الف) 12*√6 سانتی متر^2.

ج) تقریباً 36.41 cm^2.

مسئله 2. مساحت مثلث ABC 60 cm^2 است. ضلع AB را اگر AC = 15 سانتی متر، زاویه A = 30 درجه باشد، پیدا کنید.

فرض کنید S مساحت مثلث ABC باشد. با قضیه مساحت مثلث داریم:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

مقادیری که داریم را در آن جایگزین کنید:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

از اینجا طول ضلع AB را بیان می کنیم: AB = (60*4)/15 = 16.

اگر طول دو ضلع مثلث و زاویه بین آنها به مشکل داده شود، می توانید فرمول مساحت مثلث را از طریق سینوس اعمال کنید.

مثالی از محاسبه مساحت مثلث با استفاده از سینوس. اضلاع a = 3، b = 4 و زاویه γ = 30 درجه داده شده است. سینوس زاویه 30 درجه 0.5 است

مساحت مثلث 3 متر مربع خواهد بود. سانتی متر.

مساحت برابر با نصف مربع ضلع ضرب در کسر خواهد بود. در صورت آن حاصل ضرب سینوس زوایای مجاور و در مخرج سینوس زاویه مقابل است. اکنون مساحت را با استفاده از فرمول های زیر محاسبه می کنیم:

به عنوان مثال، یک مثلث با ضلع a=3 و زوایای γ=60°، β=60 درجه داده می شود. زاویه سوم را محاسبه کنید:
جایگزینی داده ها در فرمول
ما دریافتیم که مساحت مثلث 3.87 متر مربع است. سانتی متر.

II. مساحت مثلث بر حسب کسینوس

برای پیدا کردن مساحت یک مثلث، باید طول همه ضلع ها را بدانید. با قضیه کسینوس می توانید اضلاع مجهول پیدا کنید و تنها پس از آن از .
طبق قانون کسینوس ها، مجذور ضلع مجهول مثلث برابر است با مجموع مجذورات اضلاع باقی مانده منهای دو برابر حاصلضرب این ضلع ها در کسینوس زاویه بین آنها.

از این قضیه فرمول هایی برای یافتن طول ضلع مجهول به دست می آوریم:

با دانستن نحوه پیدا کردن ضلع گمشده، داشتن دو ضلع و زاویه بین آنها، می توانید به راحتی مساحت را محاسبه کنید. فرمول مساحت مثلث بر حسب کسینوس به شما کمک می کند تا به سرعت و به راحتی راه حلی برای مشکلات مختلف پیدا کنید.

مثالی از محاسبه فرمول مساحت مثلث از طریق کسینوس
مثلثی با اضلاع شناخته شده a = 3، b = 4 و زاویه γ = 45 درجه داده می شود. بیایید ابتدا قسمت گم شده را پیدا کنیم. با. توسط کسینوس 45 درجه = 0.7. برای انجام این کار، داده ها را در معادله ای که از قضیه کسینوس به دست می آید جایگزین می کنیم.
حالا با استفاده از فرمول، پیدا می کنیم