تعاریف ماژول مدول یک عدد در ریاضیات چقدر است

دستورالعمل ها

اگر یک ماژول به عنوان یک تابع پیوسته نمایش داده شود، آنگاه مقدار آرگومان آن می تواند مثبت یا منفی باشد: |x| = x، x ≥ 0; |x| = - x، x

مدول صفر است و مدول هر عدد مثبت است. اگر آرگومان منفی باشد، پس از باز کردن پرانتز علامت آن از منفی به مثبت تغییر می کند. بر این اساس، نتیجه گیری می شود که مدول های اضداد برابر هستند: |-x| = |x| = x.

مدول یک عدد مختلط با فرمول: |a| = √b ² + c ²، و |a + b| ≤ |a| + |b|. اگر آرگومان دارای یک عدد مثبت به عنوان ضریب باشد، می توان آن را از علامت براکت خارج کرد، به عنوان مثال: |4*b| = 4*|b|.

اگر آرگومان به صورت یک عدد مختلط ارائه شود، برای راحتی محاسبات، ترتیب عبارت‌های عبارت محصور در براکت‌های مستطیلی مجاز است: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 زیرا (2-3) کمتر از صفر است.

آرگومان افزایش یافته به توان به طور همزمان تحت علامت یک ریشه از همان مرتبه است - با استفاده از: √a² = |a| = ± a.

اگر کاری دارید که در آن شرط گسترش براکت های ماژول مشخص نشده است، دیگر نیازی به خلاص شدن از شر آنها نیست - این نتیجه نهایی خواهد بود. و اگر نیاز به باز کردن آنها دارید، باید علامت ± را نشان دهید. برای مثال، باید مقدار عبارت √(2 * (4-b))² را پیدا کنید. راه حل او به این صورت است: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. از آنجایی که علامت عبارت 4-b ناشناخته است، باید در پرانتز گذاشته شود. اگر یک شرط اضافی اضافه کنید، برای مثال، |4-b| >

مدول صفر برابر با صفر و مدول هر عدد مثبتی برابر با خودش است. اگر آرگومان منفی باشد، پس از باز کردن پرانتز علامت آن از منفی به مثبت تغییر می کند. بر این اساس، نتیجه می‌گیریم که ماژول‌های اعداد مخالف برابر هستند: |-x| = |x| = x.

مدول یک عدد مختلط با فرمول: |a| = √b ² + c ²، و |a + b| ≤ |a| + |b|. اگر آرگومان دارای یک عدد صحیح مثبت به عنوان یک عامل باشد، می توان آن را از علامت براکت خارج کرد، به عنوان مثال: |4*b| = 4*|b|.

مدول نمی تواند منفی باشد، بنابراین هر عدد منفی به مثبت تبدیل می شود: |-x| = x، |-2| = 2، |-1/7| = 1/7، |-2.5| = 2.5.

اگر آرگومان به صورت یک عدد مختلط ارائه شود، برای راحتی محاسبات، اجازه داده می شود ترتیب عبارت های محصور شده در پرانتزهای مستطیلی را تغییر دهید: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1 زیرا (2-3) کمتر از صفر است.

اگر کاری دارید که در آن شرط گسترش براکت های ماژول مشخص نشده است، دیگر نیازی به خلاص شدن از شر آنها نیست - این نتیجه نهایی خواهد بود. و اگر نیاز به باز کردن آنها دارید، باید علامت ± را نشان دهید. برای مثال، باید مقدار عبارت √(2 * (4-b))² را پیدا کنید. راه حل او به این صورت است: √(2 * (4-b))² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. از آنجایی که علامت عبارت 4-b ناشناخته است، باید در پرانتز گذاشته شود. اگر یک شرط اضافی اضافه کنید، برای مثال، |4-b| > 0، سپس نتیجه 2 * |4-b| خواهد بود = 2 * (4 - b). عنصر مجهول را نیز می توان روی یک عدد مشخص تنظیم کرد که باید در نظر گرفته شود زیرا بر علامت بیان تأثیر خواهد گذاشت.

مدول اعدادخود این عدد اگر غیر منفی باشد یا همان عدد با علامت مقابل اگر منفی باشد نامیده می شود.

به عنوان مثال مدول عدد 5 5 و مدول عدد -5 نیز 5 است.

یعنی مدول یک عدد به عنوان قدر مطلق، قدر مطلق این عدد بدون در نظر گرفتن علامت آن درک می شود.

به صورت زیر مشخص می شود: |5|، | ایکس|, |آ| و غیره.

قانون:

توضیح:

|5| = 5
به این صورت است: مدول عدد 5 برابر با 5 است.

|–5| = –(–5) = 5
به این صورت خوانده می شود: مدول عدد -5 برابر با 5 است.

|0| = 0
به این صورت می‌خواند: مدول صفر صفر است.

ویژگی های ماژول:

معنای هندسی ماژول.

مدول یک عدد فاصله صفر تا آن عدد است.

برای مثال، بیایید دوباره عدد 5 را در نظر بگیریم فاصله 0 تا 5 برابر است با 0 تا -5 (شکل 1). و هنگامی که برای ما مهم است که فقط طول قطعه را بدانیم، آنگاه علامت نه تنها معنی، بلکه معنی نیز دارد. با این حال، این کاملاً درست نیست: ما فاصله را فقط با اعداد مثبت - یا اعداد غیر منفی اندازه می‌گیریم. بگذارید قیمت تقسیم مقیاس ما 1 سانتی متر باشد سپس طول قطعه از صفر تا 5 5 سانتی متر و از صفر تا -5 نیز 5 سانتی متر است.

در عمل، فاصله اغلب نه تنها از صفر اندازه گیری می شود - نقطه مرجع می تواند هر عددی باشد (شکل 2). اما این اصل را تغییر نمی دهد. علامت گذاری فرم |a – b| فاصله بین نقاط را بیان می کند آو بروی خط اعداد

مثال 1. حل معادله | ایکس – 1| = 3.

راه حل .

معنای معادله این است که فاصله بین نقاط ایکسو 1 برابر است با 3 (شکل 2). بنابراین، از نقطه 1، ما سه بخش به سمت چپ و سه تقسیم به سمت راست می شماریم - و به وضوح هر دو مقدار را می بینیم. ایکس:
ایکس 1 = –2, ایکس 2 = 4.

ما می توانیم آن را محاسبه کنیم.

│ایکس – 1 = 3
│ایکس – 1 = –3

│ایکس = 3 + 1
│ایکس = –3 + 1

│ایکس = 4
│ ایکس = –2.

پاسخ : ایکس 1 = –2; ایکس 2 = 4.

مثال 2. ماژول بیان را پیدا کنید:

راه حل .

ابتدا بیایید بفهمیم که آیا عبارت مثبت است یا منفی. برای این کار عبارت را طوری تبدیل می کنیم که از اعداد همگن تشکیل شده باشد. بیایید به دنبال ریشه 5 نباشیم - بسیار دشوار است. بیایید این کار را ساده تر انجام دهیم: بیایید 3 و 10 را به ریشه برسانیم سپس بزرگی اعدادی را که تفاوت را تشکیل می دهند، مقایسه کنیم.

3 = √9. بنابراین 3√5 = √9 √5 = √45

10 = √100.

می بینیم که عدد اول کمتر از عدد دوم است. این به این معنی است که عبارت منفی است، یعنی پاسخ آن کمتر از صفر است:

3√5 – 10 < 0.

اما طبق قاعده مدول یک عدد منفی همان عدد با علامت مخالف است. ما یک بیان منفی داریم. بنابراین لازم است علامت آن را به علامت مخالف تغییر دهید. متضاد 3√5 – 10 است –(3√5 – 10). بیایید پرانتزهای آن را باز کنیم و جواب بگیریم:

–(3√5 – 10) = –3√5 + 10 = 10 – 3√5.

پاسخ .

ماژول یکی از آن چیزهایی است که به نظر می رسد همه درباره آن شنیده اند، اما در واقعیت هیچ کس واقعاً نمی فهمد. بنابراین، امروز یک درس بزرگ اختصاص داده شده به حل معادلات با ماژول ها خواهد بود.

فوراً می گویم: درس دشوار نخواهد بود. و به طور کلی، ماژول ها موضوع نسبتاً ساده ای هستند. "بله، البته، این پیچیده نیست! ذهنم را به هم می زند!» - بسیاری از دانش آموزان خواهند گفت، اما همه این شکست های مغزی به این دلیل اتفاق می افتد که اکثر مردم دانش در سر خود ندارند، بلکه نوعی مزخرف هستند. و هدف از این درس تبدیل مزخرفات به دانش است.

کمی تئوری

پس بزن بریم. بیایید با مهمترین چیز شروع کنیم: ماژول چیست؟ اجازه دهید یادآوری کنم که مدول یک عدد به سادگی همان عدد است، اما بدون علامت منفی گرفته می شود. یعنی مثلا $\left| -5 \right|=5$. یا $\ چپ| -129.5 \right|=129.5$.

به همین سادگی است؟ بله ساده پس قدر مطلق یک عدد مثبت چیست؟ اینجا حتی ساده تر است: مدول یک عدد مثبت برابر با خود این عدد است: $\left| 5 \right|=5$; $\ چپ| 129.5 \right|=129.5$ و غیره

یک چیز عجیب به نظر می رسد: اعداد مختلف می توانند ماژول یکسانی داشته باشند. به عنوان مثال: $\left| -5 \راست|=\چپ| 5 \right|=5$; $\ چپ| -129.5 \راست|=\چپ| 129.5\right|=129.5$. به راحتی می توان فهمید که این اعداد چه نوع اعدادی هستند که ماژول های آنها یکسان است: این اعداد مخالف هستند. بنابراین، ما برای خود توجه می کنیم که ماژول های اعداد مخالف برابر هستند:

\[\چپ| -a \راست|=\چپ| a\راست|\]

یک واقعیت مهم دیگر: مدول هرگز منفی نیست. هر عددی را که می گیریم - چه مثبت و چه منفی - مدول آن همیشه مثبت (یا در موارد شدید، صفر) می شود. به همین دلیل است که مدول اغلب قدر مطلق یک عدد نامیده می شود.

علاوه بر این، اگر تعریف مدول را برای یک عدد مثبت و منفی ترکیب کنیم، یک تعریف کلی از مدول برای همه اعداد به دست می‌آید. یعنی: مدول یک عدد اگر عدد مثبت (یا صفر) باشد با خود عدد برابر است و اگر عدد منفی باشد برابر با عدد مقابل است. می توانید این را به صورت فرمول بنویسید:

مدول صفر نیز وجود دارد، اما همیشه برابر با صفر است. علاوه بر این، صفر تنها عددی است که مخالف ندارد.

بنابراین، اگر تابع $y=\left| را در نظر بگیریم x \right|$ و سعی کنید نمودار آن را رسم کنید، چیزی شبیه به این خواهید داشت:

نمودار مدول و مثال حل معادله

از این تصویر بلافاصله مشخص است که $\left| -m \راست|=\چپ| m \right|$، و نمودار مدول هرگز زیر محور x قرار نمی گیرد. اما این همه ماجرا نیست: خط قرمز خط مستقیم $y=a$ را نشان می‌دهد، که برای مثبت $a$، دو ریشه را همزمان به ما می‌دهد: $((x)_(1))$ و $((x) _(2)) دلار، اما بعداً در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

علاوه بر تعریف صرفاً جبری، یک تعریف هندسی نیز وجود دارد. فرض کنید دو نقطه روی خط اعداد وجود دارد: $((x)_(1))$ و $((x)_(2))$. در این حالت عبارت $\left| ((x)_(1))-((x)_(2)) \right|$ به سادگی فاصله بین نقاط مشخص شده است. یا اگر ترجیح می دهید، طول قطعه ای که این نقاط را به هم متصل می کند:

این تعریف همچنین بیانگر این است که مدول همیشه غیر منفی است. اما تعاریف و تئوری کافی - بیایید به معادلات واقعی برویم.

فرمول پایه

خوب، ما تعریف را مرتب کردیم. اما این کار را آسانتر نکرد. چگونه معادلات حاوی همین ماژول را حل کنیم؟

آرام، فقط آرام. بیایید با ساده ترین چیزها شروع کنیم. چیزی شبیه به این را در نظر بگیرید:

\[\چپ| x\راست|=3\]

بنابراین مدول $x$ 3 است. $x$ با چه چیزی می تواند برابر باشد؟ خوب، با قضاوت بر اساس تعریف، ما با $x=3$ کاملا راضی هستیم. واقعا:

\[\چپ| 3\راست|=3\]

آیا اعداد دیگری وجود دارد؟ به نظر می رسد کلاه به این موضوع اشاره می کند که وجود دارد. برای مثال، $x=-3$ نیز $\left| است -3 \right|=3$، یعنی. برابری مورد نیاز برآورده می شود.

پس شاید اگر جستجو کنیم و فکر کنیم اعداد بیشتری پیدا کنیم؟ اما اجازه دهید با آن روبرو شویم: هیچ عدد دیگری وجود ندارد. معادله $\left| x \right|=3$ فقط دو ریشه دارد: $x=3$ و $x=-3$.

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اجازه دهید تابع $f\left(x \right)$ به جای متغیر $x$ زیر علامت مدول آویزان شود و یک عدد دلخواه $a$ را به جای سه گانه سمت راست قرار دهید. معادله را بدست می آوریم:

\[\چپ| f\left(x \راست) \راست|=a\]

پس چگونه می توانیم این را حل کنیم؟ اجازه دهید یادآوری کنم: $f\left(x \right)$ یک تابع دلخواه است، $a$ هر عددی است. آن ها اصلاً هر چیزی! مثلا:

\[\چپ| 2x+1 \راست|=5\]

\[\چپ| 10x-5 \راست|=-65\]

بیایید به معادله دوم توجه کنیم. بلافاصله می توانید در مورد او بگویید: او ریشه ندارد. چرا؟ همه چیز درست است: زیرا مستلزم آن است که مدول برابر با یک عدد منفی باشد، که هرگز اتفاق نمی افتد، زیرا از قبل می دانیم که مدول همیشه یک عدد مثبت یا در موارد شدید، صفر است.

اما با معادله اول همه چیز سرگرم کننده تر است. دو گزینه وجود دارد: یا یک عبارت مثبت در زیر علامت مدول وجود دارد و سپس $\left| 2x+1 \right|=2x+1$ یا این عبارت هنوز منفی است و سپس $\left| 2x+1 \راست|=-\چپ(2x+1 \راست)=-2x-1$. در حالت اول، معادله ما به صورت زیر بازنویسی می شود:

\[\چپ| 2x+1 \راست|=5\راست فلش 2x+1=5\]

و ناگهان معلوم شد که عبارت زیر مدولار $2x+1$ واقعا مثبت است - برابر با عدد 5 است. ما می توانیم با خیال راحت این معادله را حل کنیم - ریشه حاصل بخشی از پاسخ خواهد بود:

کسانی که به خصوص بی اعتماد هستند می توانند سعی کنند ریشه پیدا شده را جایگزین معادله اصلی کنند و مطمئن شوند که واقعاً یک عدد مثبت زیر مدول وجود دارد.

حال بیایید به مورد یک عبارت زیر مدولار منفی نگاه کنیم:

\[\left\( \begin(align)& \left| 2x+1 \right|=5 \\& 2x+1 \lt 0 \\\end (align) \right.\Rightarrow -2x-1=5 \پیکان راست 2x+1=-5\]

اوه! باز هم، همه چیز واضح است: ما فرض کردیم که $2x+1 \lt 0$، و در نتیجه به آن $2x+1=-5$ رسیدیم - در واقع، این عبارت کمتر از صفر است. ما معادله به دست آمده را حل می کنیم، در حالی که از قبل مطمئن هستیم که ریشه پیدا شده برای ما مناسب است:

در مجموع دوباره دو پاسخ دریافت کردیم: $x=2$ و $x=3$. بله، مقدار محاسبات کمی بزرگتر از معادله بسیار ساده $\left| x \right|=3$، اما هیچ چیز اساساً تغییر نکرده است. بنابراین شاید نوعی الگوریتم جهانی وجود داشته باشد؟

بله، چنین الگوریتمی وجود دارد. و اکنون آن را تحلیل خواهیم کرد.

خلاص شدن از علامت مدول

اجازه دهید معادله $\left| به ما داده شود f\left(x \right) \right|=a$، و $a\ge 0$ (در غیر این صورت، همانطور که قبلاً می دانیم، هیچ ریشه ای وجود ندارد). سپس می توانید با استفاده از قانون زیر از شر علامت مدول خلاص شوید:

\[\چپ| f\left(x \right) \right|=a\Rightarrow f\left(x \right)=\pm a\]

بنابراین، معادله ما با یک مدول به دو بخش تقسیم می شود، اما بدون مدول. این همه فناوری است! بیایید سعی کنیم چند معادله را حل کنیم. بیایید با این شروع کنیم

\[\چپ| 5x+4 \راست|=10\پیکان راست 5x+4=\pm 10\]

بیایید به طور جداگانه زمانی که یک ده به علاوه در سمت راست وجود دارد، و جداگانه زمانی که یک منفی وجود دارد، در نظر بگیریم. ما داریم:

\[\begin(align)& 5x+4=10\Rightarrow 5x=6\Rightarrow x=\frac(6)(5)=1,2; \\& 5x+4=-10\Rightarrow 5x=-14\Rightarrow x=-\frac(14)(5)=-2.8. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! ما دو ریشه داریم: $x=1.2$ و $x=-2.8$. کل راه حل به معنای واقعی کلمه دو خط طول کشید.

خوب، بدون شک، بیایید به موضوع کمی جدی تر نگاه کنیم:

\[\چپ| 7-5x\راست|=13\]

دوباره ماژول را با مثبت و منفی باز می کنیم:

\[\begin(align)& 7-5x=13\Rightarrow -5x=6\Rightarrow x=-\frac(6)(5)=-1,2; \\& 7-5x=-13\Rightarrow -5x=-20\Rightarrow x=4. \\\پایان (تراز کردن)\]

دوباره چند خط - و پاسخ آماده است! همانطور که گفتم، هیچ چیز پیچیده ای در مورد ماژول ها وجود ندارد. فقط باید چند قانون را به خاطر بسپارید. بنابراین، ما ادامه می دهیم و با کارهای واقعاً پیچیده تر شروع می کنیم.

مورد یک متغیر سمت راست

حال این معادله را در نظر بگیرید:

\[\چپ| 3x-2 \راست|=2x\]

این معادله با تمام معادلات قبلی تفاوت اساسی دارد. چگونه؟ و این واقعیت که در سمت راست علامت مساوی عبارت $2x$ وجود دارد - و نمی توانیم از قبل بدانیم که مثبت یا منفی است.

در این صورت چه باید کرد؟ اول، ما باید یک بار برای همیشه درک کنیم اگر سمت راست معادله منفی شود، معادله ریشه نخواهد داشت- ما قبلاً می دانیم که ماژول نمی تواند برابر با یک عدد منفی باشد.

و ثانیاً، اگر قسمت سمت راست هنوز مثبت است (یا برابر با صفر)، پس می توانید دقیقاً به همان روش قبلی عمل کنید: به سادگی ماژول را جداگانه با علامت مثبت و جداگانه با علامت منفی باز کنید.

بنابراین، یک قانون برای توابع دلخواه $f\left(x \right)$ و $g\left(x \right)$ فرموله می‌کنیم:

\[\چپ| f\left(x \right) \right|=g\left(x \راست)\Rightarrow \left\( \begin(align)& f\left(x \right)=\pm g\left(x \راست ), \\& g\left(x \راست)\ge 0. \\\end (تراز کردن) \راست.\]

در رابطه با معادله ما بدست می آوریم:

\[\چپ| 3x-2 \راست|=2x\راست فلش \چپ\( \begin(align)& 3x-2=\pm 2x, \\& 2x\ge 0. \\\end (تراز کردن) \راست.\]

خوب، ما به نوعی با نیاز $2x\ge 0$ مقابله خواهیم کرد. در نهایت، می توانیم ریشه هایی را که از معادله اول به دست می آوریم احمقانه جایگزین کنیم و بررسی کنیم که آیا نابرابری برقرار است یا خیر.

پس بیایید خود معادله را حل کنیم:

\[\begin(align)& 3x-2=2\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac(4)(3); \\& 3x-2=-2\Rightarrow 3x=0\Rightarrow x=0. \\\پایان (تراز کردن)\]

خوب، کدام یک از این دو ریشه نیاز $2x\ge 0$ را برآورده می کند؟ بله هر دو! بنابراین، پاسخ دو عدد خواهد بود: $x=(4)/(3)\;$ و $x=0$. راه حل همینه :)

من گمان می کنم که برخی از دانش آموزان در حال حاضر شروع به خسته شدن کرده اند؟ خوب، اجازه دهید به یک معادله پیچیده تر نگاه کنیم:

\[\چپ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \راست|=x-((x)^(3))\]

اگرچه بد به نظر می رسد، اما در واقع هنوز همان معادله شکل "مدول برابر است با تابع" است:

\[\چپ| f\left(x \right) \right|=g\left(x \راست)\]

و دقیقاً به همین ترتیب حل می شود:

\[\چپ| ((x)^(3))-3((x)^(2))+x \راست|=x-((x)^(3))\پیکان راست \چپ\( \begin(تراز)& ( (x)^(3))-3((x)^(2))+x=\pm \چپ(x-((x)^(3)) \راست)، \\& x-((x )^(3)\ge 0. \\\end (تراز کردن) \راست.\]

ما بعداً با نابرابری برخورد خواهیم کرد - این به نوعی خیلی بد است (در واقع ساده است اما ما آن را حل نمی کنیم). در حال حاضر، بهتر است به معادلات حاصل بپردازیم. بیایید مورد اول را در نظر بگیریم - این زمانی است که ماژول با علامت مثبت گسترش می یابد:

\[((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3))\]

خوب، این که شما باید همه چیز را از سمت چپ جمع آوری کنید، موارد مشابه را بیاورید و ببینید چه اتفاقی می افتد، بی فکر نیست. و این چیزی است که اتفاق می افتد:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=x-((x)^(3)); \\& 2((x)^(3))-3((x)^(2))=0; \\\پایان (تراز کردن)\]

فاکتور مشترک $((x)^(2))$ را از پرانتز خارج می کنیم و یک معادله بسیار ساده بدست می آوریم:

\[((x)^(2))\چپ(2x-3 \راست)=0\پیکان راست \چپ[ \begin(تراز)& ((x)^(2))=0 \\& 2x-3 =0 \\\پایان(تراز) \راست.\]

\[((x)_(1))=0;\چهار ((x)_(2))=\frac(3)(2)=1.5.\]

در اینجا ما از یک ویژگی مهم محصول استفاده کردیم که به خاطر آن چند جمله ای اصلی را فاکتور گرفتیم: حاصل ضرب برابر با صفر است زمانی که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد.

حال بیایید دقیقاً به همین ترتیب با معادله دوم برخورد کنیم که با گسترش ماژول با علامت منفی به دست می آید:

\[\begin(align)& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-\left(x-((x)^(3)) \right); \\& ((x)^(3))-3((x)^(2))+x=-x+((x)^(3)); \\& -3((x)^(2))+2x=0; \\& x\left(-3x+2 \right)=0. \\\پایان (تراز کردن)\]

باز هم همان: حاصل ضرب برابر با صفر است که حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد. ما داریم:

\[\چپ[ \شروع(تراز)& x=0 \\& -3x+2=0 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

خوب، ما سه ریشه داریم: $x=0$، $x=1.5$ و $x=(2)/(3)\;$. خوب، کدام یک از این مجموعه وارد پاسخ نهایی می شود؟ برای انجام این کار، به یاد داشته باشید که یک محدودیت اضافی به شکل نابرابری داریم:

چگونه این نیاز را در نظر بگیریم؟ بیایید فقط ریشه های یافت شده را جایگزین کنیم و بررسی کنیم که آیا نابرابری برای این $x$ وجود دارد یا خیر. ما داریم:

\[\begin(align)& x=0\Rightarrow x-((x)^(3))=0-0=0\ge 0; \\& x=1.5\فلش راست x-((x)^(3))=1.5-((1.5)^(3)) \lt 0; \\& x=\frac(2)(3)\پیکان راست x-((x)^(3))=\frac(2)(3)-\frac(8)(27)=\frac(10) (27)\ge 0; \\\پایان (تراز کردن)\]

بنابراین، ریشه $x=1.5$ برای ما مناسب نیست. و در پاسخ فقط دو ریشه وجود خواهد داشت:

\[((x)_(1))=0;\چهار ((x)_(2))=\frac(2)(3).\]

همانطور که می بینید، حتی در این مورد نیز هیچ چیز پیچیده ای وجود نداشت - معادلات با ماژول ها همیشه با استفاده از یک الگوریتم حل می شوند. شما فقط باید درک خوبی از چند جمله ای ها و نابرابری ها داشته باشید. بنابراین، ما به کارهای پیچیده تر می رویم - در حال حاضر نه یک، بلکه دو ماژول وجود خواهد داشت.

معادلات با دو ماژول

تا به حال، ما فقط ساده ترین معادلات را مطالعه کرده ایم - یک ماژول و چیز دیگری وجود دارد. ما این «چیز دیگر» را به قسمت دیگری از نابرابری، دور از ماژول فرستادیم تا در نهایت همه چیز به معادله ای به شکل $\left| کاهش یابد. f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$ یا حتی ساده تر $\left| f\left(x \right) \right|=a$.

اما مهدکودک به پایان رسیده است - وقت آن است که چیز جدی تری را در نظر بگیرید. بیایید با معادلاتی مانند این شروع کنیم:

\[\چپ| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \راست) \راست|\]

این معادله ای از شکل "مدول برابر با مدول" است. نکته اساسی عدم وجود شرایط و عوامل دیگر است: فقط یک ماژول در سمت چپ، یک ماژول بیشتر در سمت راست - و نه چیز بیشتر.

اکنون کسی فکر خواهد کرد که حل چنین معادلاتی دشوارتر از آنچه تاکنون مطالعه کرده ایم است. اما نه: حل این معادلات حتی ساده تر است. این فرمول است:

\[\چپ| f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|\Rightarrow f\left(x \right)=\pm g\left(x \راست)\]

همه! ما به سادگی عبارات زیر مدولار را با قرار دادن علامت مثبت یا منفی در مقابل یکی از آنها برابر می کنیم. و سپس دو معادله حاصل را حل می کنیم - و ریشه ها آماده هستند! بدون محدودیت اضافی، بدون نابرابری و غیره. همه چیز بسیار ساده است.

بیایید سعی کنیم این مشکل را حل کنیم:

\[\چپ| 2x+3 \راست|=\چپ| 2x-7 \راست|\]

واتسون ابتدایی! گسترش ماژول ها:

\[\چپ| 2x+3 \راست|=\چپ| 2x-7 \راست|\پیکان راست 2x+3=\pm \چپ(2x-7 \راست)\]

بیایید هر مورد را جداگانه در نظر بگیریم:

\[\begin(align)& 2x+3=2x-7\Rightarrow 3=-7\Rightarrow \emptyset ; \\& 2x+3=-\چپ(2x-7 \راست)\Rightarrow 2x+3=-2x+7. \\\پایان (تراز کردن)\]

معادله اول ریشه ندارد. زیرا چه زمانی $3=-7$ است؟ در چه مقادیری از $x$؟ "لعنتی $x$ چیست؟ سنگسار شدی؟ شما می گویید که اصلاً $x$ وجود ندارد. و حق با شما خواهد بود. برابری به دست آورده ایم که به متغیر $x$ بستگی ندارد و در عین حال خود تساوی نادرست است. به همین دلیل است که هیچ ریشه ای وجود ندارد.

با معادله دوم، همه چیز کمی جالب تر، اما همچنین بسیار بسیار ساده است:

همانطور که می بینید، همه چیز به معنای واقعی کلمه در چند خط حل شد - ما از یک معادله خطی انتظار دیگری نداشتیم.

در نتیجه، پاسخ نهایی این است: $x=1$.

خوب چطور؟ دشوار؟ البته که نه. بیایید چیز دیگری را امتحان کنیم:

\[\چپ| x-1 \راست|=\چپ| ((x)^(2))-3x+2 \راست|\]

باز هم معادله ای به شکل $\left| داریم f\left(x \right) \right|=\left| g\left(x \right) \right|$. بنابراین، ما بلافاصله آن را بازنویسی می کنیم و علامت مدول را آشکار می کنیم:

\[((x)^(2))-3x+2=\pm \چپ(x-1 \راست)\]

شاید کسی اکنون بپرسد: «هی، چه مزخرفی؟ چرا "بعلاوه منهای" در عبارت سمت راست ظاهر می شود و در سمت چپ ظاهر نمی شود؟" آرام باش، الان همه چیز را توضیح می دهم. در واقع، ما باید معادله خود را به شکل زیر بازنویسی می کردیم:

سپس باید پرانتزها را باز کنید، همه عبارت ها را به یک طرف علامت مساوی منتقل کنید (زیرا معادله، بدیهی است که در هر دو حالت مربع خواهد بود) و سپس ریشه ها را پیدا کنید. اما باید اعتراف کنید: وقتی «بعلاوه منهای» قبل از سه عبارت ظاهر می‌شود (مخصوصاً وقتی یکی از این اصطلاحات یک عبارت درجه دوم است)، به نوعی پیچیده‌تر از وضعیتی به نظر می‌رسد که «بعلاوه منهای» فقط قبل از دو عبارت ظاهر می‌شود.

اما هیچ چیز ما را از بازنویسی معادله اصلی به صورت زیر باز نمی دارد:

\[\چپ| x-1 \راست|=\چپ| ((x)^(2))-3x+2 \راست|\راست فلش \چپ| ((x)^(2))-3x+2 \راست|=\چپ| x-1 \راست|\]

چی شد؟ چیز خاصی نیست: آنها فقط سمت چپ و راست را عوض کردند. یک چیز کوچک که در نهایت زندگی ما را کمی آسان تر می کند.

به طور کلی، این معادله را با در نظر گرفتن گزینه های مثبت و منفی حل می کنیم:

\[\begin(align)& ((x)^(2))-3x+2=x-1\Rightarrow ((x)^(2))-4x+3=0; \\& ((x)^(2))-3x+2=-\چپ(x-1 \راست)\پیکان راست ((x)^(2))-2x+1=0. \\\پایان (تراز کردن)\]

معادله اول دارای ریشه $x=3$ و $x=1$ است. دومی به طور کلی یک مربع دقیق است:

\[((x)^(2))-2x+1=((\چپ(x-1 \راست))^(2))\]

بنابراین، فقط یک ریشه دارد: $x=1$. اما ما قبلاً این ریشه را بدست آورده ایم. بنابراین، تنها دو عدد وارد پاسخ نهایی می شوند:

\[((x)_(1))=3;\چهار ((x)_(2))=1.\]

مأموریت انجام شد! می توانید یک پای از قفسه بردارید و بخورید. 2 تا هست مال شما وسطش :)

یادداشت مهم. وجود ریشه های یکسان برای انواع مختلف بسط ماژول به این معنی است که چند جمله ای های اصلی فاکتورسازی شده اند و در بین این عوامل قطعاً یک عامل مشترک وجود خواهد داشت. واقعا:

\[\شروع(تراز)& \چپ| x-1 \راست|=\چپ| ((x)^(2))-3x+2 \right|; \\& \چپ| x-1 \راست|=\چپ| \left(x-1 \right)\left(x-2 \right) \right|. \\\پایان (تراز کردن)\]

یکی از ویژگی های ماژول: $\left| a\cdot b \راست|=\چپ| یک \راست|\cdot \چپ| b \right|$ (یعنی مدول حاصل برابر با حاصل ضرب مدول است)، بنابراین معادله اصلی را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[\چپ| x-1 \راست|=\چپ| x-1 \راست|\cdot \چپ| x-2 \راست|\]

همانطور که می بینید، ما واقعا یک عامل مشترک داریم. حال، اگر همه ماژول ها را از یک طرف جمع آوری کنید، می توانید این فاکتور را از براکت خارج کنید:

\[\شروع(تراز)& \چپ| x-1 \راست|=\چپ| x-1 \راست|\cdot \چپ| x-2 \right|; \\& \چپ| x-1 \راست|-\چپ| x-1 \راست|\cdot \چپ| x-2 \right|=0; \\& \چپ| x-1 \right|\cdot \left(1-\left| x-2 \right| \right)=0. \\\پایان (تراز کردن)\]

خوب، حالا به یاد داشته باشید که وقتی حداقل یکی از عوامل برابر با صفر باشد، حاصل ضرب برابر با صفر است:

\[\left[ \begin(align)& \left| x-1 \راست|=0، \\& \چپ| x-2 \right|=1. \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

بنابراین، معادله اصلی با دو ماژول به دو ساده ترین معادله ای که در همان ابتدای درس در مورد آن صحبت کردیم، کاهش یافته است. چنین معادلاتی را می توان به معنای واقعی کلمه در چند خط حل کرد.

این اظهار نظر ممکن است در عمل پیچیده و غیر ضروری به نظر برسد. با این حال، در واقعیت، ممکن است با مشکلات بسیار پیچیده‌تری نسبت به مشکلاتی که امروز به آنها نگاه می‌کنیم، مواجه شوید. در آنها، ماژول ها را می توان با چند جمله ای ها، ریشه های حسابی، لگاریتم ها و غیره ترکیب کرد. و در چنین شرایطی، توانایی پایین آوردن درجه کلی معادله با خارج کردن چیزی از براکت می تواند بسیار بسیار مفید باشد.

اکنون می خواهم به معادله دیگری نگاه کنم که در نگاه اول ممکن است دیوانه کننده به نظر برسد. بسیاری از دانش آموزان در آن گیر می کنند، حتی آنهایی که فکر می کنند درک خوبی از ماژول ها دارند.

با این حال، حل این معادله حتی ساده تر از آنچه قبلاً به آن نگاه کردیم، است. و اگر دلیل آن را بفهمید، ترفند دیگری برای حل سریع معادلات با مدول به دست خواهید آورد.

پس معادله این است:

\[\چپ| x-((x)^(3)) \راست|+\چپ| ((x)^(2))+x-2 \راست|=0\]

نه، این یک اشتباه تایپی نیست: این یک امتیاز مثبت بین ماژول ها است. و ما باید دریابیم که مجموع دو ماژول در چه دلاری برابر با صفر است :)

به هر حال مشکل چیست؟ اما مشکل اینجاست که هر ماژول یک عدد مثبت یا در موارد شدید صفر است. اگر دو عدد مثبت را اضافه کنید چه اتفاقی می افتد؟ واضح است که دوباره یک عدد مثبت:

\[\begin(align)& 5+7=12 \gt 0; \\& 0.004+0.0001=0.0041 \gt 0; \\& 5+0=5 \gt 0. \\\پایان (تراز کردن)\]

خط آخر ممکن است به شما ایده بدهد: تنها زمانی که مجموع ماژول ها صفر می شود این است که هر ماژول صفر باشد:

\[\چپ| x-((x)^(3)) \راست|+\چپ| ((x)^(2))+x-2 \راست|=0\راست فلش \چپ\( \شروع(تراز)& \چپ| x-((x)^(3)) \راست|=0, \\& \چپ|.

و چه زمانی ماژول برابر با صفر است؟ فقط در یک مورد - زمانی که عبارت ساب مدولار برابر با صفر باشد:

\[((x)^(2))+x-2=0\پیکان راست \چپ(x+2 \راست)\چپ(x-1 \راست)=0\پیکان راست \چپ[ \begin(تراز)& x=-2 \\& x=1 \\\پایان (تراز کردن) \راست.\]

بنابراین، ما سه نقطه داریم که در آن ماژول اول به صفر بازنشانی می شود: 0، 1 و -1. و همچنین دو نقطه که در آن ماژول دوم به صفر بازنشانی می شود: −2 و 1. با این حال، ما نیاز داریم که هر دو ماژول به طور همزمان به صفر برسند، بنابراین از بین اعداد یافت شده باید آنهایی را انتخاب کنیم که در آن گنجانده شده است. هر دو مجموعه بدیهی است که تنها یک عدد وجود دارد: $x=1$ - این پاسخ نهایی خواهد بود.

روش برش

خوب، ما قبلاً یک سری مشکلات را پوشش داده ایم و تکنیک های زیادی را یاد گرفته ایم. فکر می کنی همین است؟ اما نه! اکنون به تکنیک نهایی - و در عین حال مهمترین - نگاه خواهیم کرد. ما در مورد تقسیم معادلات با مدول صحبت خواهیم کرد. ما حتی در مورد چه چیزی صحبت خواهیم کرد؟ بیایید کمی به عقب برگردیم و به یک معادله ساده نگاه کنیم. به عنوان مثال این:

\[\چپ| 3x-5 \راست|=5-3x\]

در اصل، ما قبلاً می دانیم که چگونه چنین معادله ای را حل کنیم، زیرا یک ساختار استاندارد از شکل $\left| f\left(x \right) \right|=g\left(x \right)$. اما بیایید سعی کنیم از زاویه کمی متفاوت به این معادله نگاه کنیم. به طور دقیق تر، عبارت زیر علامت مدول را در نظر بگیرید. یادآوری می کنم که مدول هر عددی می تواند برابر با خود عدد باشد یا می تواند مخالف این عدد باشد:

\[\چپ| a \right|=\left\( \begin(align)& a,\quad a\ge 0, \\& -a,\quad a \lt 0. \\\end (align) \right.\]

در واقع، این ابهام کل مشکل است: از آنجایی که عدد زیر مدول تغییر می کند (بستگی به متغیر دارد)، مثبت یا منفی بودن آن برای ما مشخص نیست.

اما اگر در ابتدا بخواهید این عدد مثبت باشد چه؟ به عنوان مثال، ما نیاز داریم که $3x-5 \gt 0$ - در این مورد ما تضمین می کنیم که یک عدد مثبت زیر علامت مدول بدست آوریم، و می توانیم کاملاً از شر این مدول خلاص شویم:

بنابراین، معادله ما به یک معادله خطی تبدیل می شود که به راحتی قابل حل است:

درست است، همه این افکار فقط تحت شرایط $3x-5 \gt 0$ معنی دارند - ما خودمان این نیاز را به منظور آشکار کردن بدون ابهام ماژول معرفی کردیم. بنابراین، بیایید $x=\frac(5)(3)$ پیدا شده را جایگزین این شرط کنیم و بررسی کنیم:

به نظر می رسد که برای مقدار مشخص شده $x$ نیاز ما برآورده نمی شود، زیرا این عبارت برابر با صفر است و ما نیاز داریم که به شدت بزرگتر از صفر باشد. غمگین. :(

اما اشکالی ندارد! پس از همه، گزینه دیگری $3x-5 \lt 0$ وجود دارد. علاوه بر این: مورد $3x-5=0$ نیز وجود دارد - این نیز باید در نظر گرفته شود، در غیر این صورت راه حل ناقص خواهد بود. بنابراین، مورد $3x-5 \lt 0$ را در نظر بگیرید:

بدیهی است که ماژول با علامت منفی باز می شود. اما پس از آن وضعیت عجیبی پیش می‌آید: هم در سمت چپ و هم در سمت راست در معادله اصلی، همان عبارت ظاهر می‌شود:

من تعجب می کنم که در چه $x$ عبارت $5-3x$ برابر با عبارت $5-3x$ خواهد بود؟ حتی کاپیتان اوبیوسنس نیز از چنین معادلاتی آب دهان خود را خفه می کند، اما می دانیم: این معادله یک هویت است، یعنی. برای هر مقدار از متغیر درست است!

این بدان معناست که هر $x$ مناسب ما خواهد بود. با این حال، ما یک محدودیت داریم:

به عبارت دیگر، پاسخ یک عدد واحد نیست، بلکه یک بازه کامل خواهد بود:

در نهایت، یک مورد دیگر برای بررسی باقی مانده است: $3x-5=0$. همه چیز در اینجا ساده است: در زیر مدول صفر خواهد بود و مدول صفر نیز برابر با صفر است (این به طور مستقیم از تعریف به دست می آید):

اما سپس معادله اصلی $\left| 3x-5 \right|=5-3x$ به صورت زیر بازنویسی می شود:

ما قبلاً این ریشه را در بالا زمانی که مورد $3x-5 \gt 0$ را در نظر گرفتیم به دست آوردیم. علاوه بر این، این ریشه یک راه حل برای معادله $3x-5=0$ است - این محدودیتی است که ما خودمان برای تنظیم مجدد ماژول معرفی کردیم.

بنابراین، علاوه بر بازه، به عددی که در انتهای این بازه قرار دارد نیز رضایت خواهیم داد:

مجموع پاسخ نهایی: $x\in \left(-\infty ;\frac(5)(3) \right]$ دیدن چنین مزخرفی در پاسخ به یک معادله نسبتاً ساده (اصلاً خطی) با مدول بسیار معمول نیست. واقعاً خوب، به آن عادت کنید: دشواری ماژول این است که پاسخ ها در چنین معادلاتی می توانند کاملاً غیرقابل پیش بینی باشند.

چیز دیگری بسیار مهمتر است: ما به تازگی یک الگوریتم جهانی برای حل یک معادله با مدول را تجزیه و تحلیل کرده ایم! و این الگوریتم شامل مراحل زیر است:

1. هر مدول در معادله را با صفر برابر کنید. چندین معادله بدست می آوریم.
2. تمام این معادلات را حل کنید و ریشه ها را روی خط اعداد علامت بزنید. در نتیجه، خط مستقیم به چندین بازه تقسیم می شود که در هر یک از آنها همه ماژول ها به طور منحصر به فرد آشکار می شوند.
3. معادله اصلی را برای هر بازه حل کنید و پاسخ های خود را ترکیب کنید.

همین! فقط یک سوال باقی می ماند: با ریشه های به دست آمده در مرحله 1 چه باید کرد؟ فرض کنید دو ریشه داریم: $x=1$ و $x=5$. آنها خط اعداد را به 3 قسمت تقسیم می کنند:

پس فواصل آن چقدر است؟ واضح است که سه مورد از آنها وجود دارد:

1. سمت چپ: $x \lt 1$ - خود واحد در بازه گنجانده نشده است.
2. مرکزی: $1\le x \lt 5$ - در اینجا یکی در بازه گنجانده شده است، اما پنج شامل نمی شود.
3. درست ترین: $x\ge 5$ - پنج فقط در اینجا گنجانده شده است!

من فکر می کنم شما قبلاً الگو را درک کرده اید. هر بازه شامل انتهای چپ است و سمت راست را شامل نمی شود.

در نگاه اول، چنین ورودی ممکن است ناخوشایند، غیر منطقی و به طور کلی به نوعی دیوانه کننده به نظر برسد. اما باور کنید: پس از کمی تمرین، متوجه خواهید شد که این روش قابل اعتمادترین است و در باز کردن بدون ابهام ماژول ها دخالت نمی کند. بهتر است از چنین طرحی استفاده کنید تا اینکه هر بار فکر کنید: انتهای چپ / راست را به فاصله فعلی بدهید یا آن را به بعدی "پرتاب کنید".

این درس را به پایان می رساند. مشکلات را برای حل خود بارگیری کنید، تمرین کنید، با پاسخ ها مقایسه کنید - و شما را در درس بعدی که به نابرابری ها با مدول اختصاص داده می شود، می بینیم.

ابتدا علامت عبارت را در زیر علامت ماژول تعریف می کنیم و سپس ماژول را گسترش می دهیم:

• اگر مقدار عبارت بزرگتر از صفر باشد، به سادگی آن را از زیر علامت مدول حذف می کنیم،
• اگر عبارت کمتر از صفر باشد، آن را از زیر علامت مدول حذف می کنیم و علامت را تغییر می دهیم، همانطور که قبلا در مثال ها انجام دادیم.

خوب، سعی کنیم؟ بیایید ارزیابی کنیم:

(فراموش کردم، تکرار کن.)

اگر هست چه علامتی دارد؟ خوب البته، !

و بنابراین، علامت ماژول را با تغییر علامت عبارت گسترش می دهیم:

فهمیدم؟ سپس خودتان آن را امتحان کنید:

پاسخ ها:

ماژول چه ویژگی های دیگری دارد؟

اگر نیاز به ضرب اعداد داخل علامت مدول داشته باشیم به راحتی می توانیم مدول های این اعداد را ضرب کنیم!!!

از نظر ریاضی، مدول حاصل ضرب اعداد برابر است با حاصل ضرب مدول این اعداد.

مثلا:

اگر بخواهیم دو عدد (عبارت) را در زیر علامت مدول تقسیم کنیم چه؟

بله مثل ضرب! بیایید آن را به دو عدد مجزا (عبارت) زیر علامت مدول تقسیم کنیم:

به شرطی که (از آنجایی که نمی توانید بر صفر تقسیم کنید).

لازم است یک ویژگی دیگر ماژول را به خاطر بسپارید:

مدول مجموع اعداد همیشه کمتر یا مساوی با مجموع مدول های این اعداد است:

چرا اینطور است؟ همه چیز خیلی ساده است!

همانطور که به یاد داریم، مدول همیشه مثبت است. اما در زیر علامت مدول هر عددی می تواند وجود داشته باشد: هم مثبت و هم منفی. بیایید فرض کنیم که اعداد و هر دو مثبت هستند. سپس عبارت سمت چپ برابر با عبارت سمت راست خواهد بود.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

اگر در زیر علامت مدول یک عدد منفی و دیگری مثبت باشد، عبارت سمت چپ همیشه کمتر از سمت راست خواهد بود:

همه چیز با این ویژگی واضح به نظر می رسد، اجازه دهید به چند ویژگی مفید دیگر ماژول نگاه کنیم.

اگر این عبارت را داشته باشیم چه می شود:

با این عبارت چه کنیم؟ مقدار x برای ما ناشناخته است، اما ما از قبل می دانیم که به چه معناست.

عدد بزرگتر از صفر است، به این معنی که شما می توانید به سادگی بنویسید:

بنابراین به ویژگی دیگری می رسیم که به طور کلی می توان آن را به صورت زیر نشان داد:

این عبارت برابر چیست:

بنابراین، باید علامت را زیر مدول تعریف کنیم. آیا در اینجا باید علامت تعریف کرد؟

البته نه، اگر به یاد داشته باشید که هر عدد مربعی همیشه بزرگتر از صفر است! اگه یادتون نمیاد تاپیک رو ببینید پس چه اتفاقی می افتد؟ این چیزی است که:

عالیه، درسته؟ کاملا راحت و اکنون یک مثال خاص برای تقویت:

خوب، چرا شک؟ بیایید جسورانه عمل کنیم!

آیا همه چیز را فهمیده اید؟ سپس ادامه دهید و با مثال ها تمرین کنید!

1. مقدار عبارت if را بیابید.

2. مدول کدام اعداد یکسان است؟

3- معنی عبارات را بیابید:

اگر هنوز همه چیز روشن نیست و مشکلاتی در راه حل ها وجود دارد، بیایید آن را بفهمیم:

راه حل 1:

بنابراین، بیایید مقادیر و عبارت را جایگزین کنیم

راه حل 2:

همانطور که به یاد داریم، اعداد مقابل از نظر مدول برابر هستند. این بدان معنی است که مقدار مدول برابر با دو عدد است: و.

راه حل 3:

آ)
ب)
V)
ز)

همه چیز را گرفتی؟ سپس وقت آن است که به چیز پیچیده تر بروید!

بیایید سعی کنیم بیان را ساده کنیم

راه حل:

بنابراین، ما به یاد داریم که مقدار مدول نمی تواند کمتر از صفر باشد. اگر علامت مدول دارای عدد مثبت باشد، سپس می توانیم به سادگی علامت را کنار بگذاریم: مدول عدد برابر با این عدد خواهد بود.

اما اگر زیر علامت مدول عدد منفی باشد، سپس مقدار مدول برابر با عدد مقابل است (یعنی عددی که با علامت "-" گرفته می شود).

برای پیدا کردن مدول هر عبارت، ابتدا باید بفهمید که آیا مقدار مثبت یا منفی دارد.

به نظر می رسد که مقدار اولین عبارت زیر ماژول است.

بنابراین، عبارت زیر علامت مدول منفی است. عبارت دوم زیر علامت مدول همیشه مثبت است، زیرا ما دو عدد مثبت را اضافه می کنیم.

بنابراین، مقدار عبارت اول در زیر علامت مدول منفی است، دومی مثبت است:

به این معنی که هنگام گسترش علامت مدول عبارت اول، باید این عبارت را با علامت "-" بگیریم. مثل این:

در مورد دوم، ما به سادگی علامت مدول را کنار می گذاریم:

بیایید این عبارت را به طور کامل ساده کنیم:

ماژول عدد و خصوصیات آن (تعریف و اثبات دقیق)

تعریف:

مدول (مقدار مطلق) یک عدد، خود عدد است، اگر، و عدد، اگر:

مثلا:

مثال:

بیان را ساده کنید.

راه حل:

ویژگی های اصلی ماژول

برای همه:

مثال:

اثبات ملک شماره 5.

اثبات:

بیایید فرض کنیم که چنین چیزی وجود دارد

اجازه دهید دو طرف چپ و راست نابرابری را مربع کنیم (این کار را می توان انجام داد، زیرا هر دو طرف نابرابری همیشه غیر منفی هستند):

و این با تعریف ماژول در تضاد است.

در نتیجه، چنین افرادی وجود ندارند، به این معنی که نابرابری برای همه برقرار است

مثال هایی برای راه حل های مستقل:

1) اثبات ملک شماره 6.

2) عبارت را ساده کنید.

پاسخ ها:

1) از خاصیت شماره 3 استفاده می کنیم: , and since, then

برای ساده سازی، باید ماژول ها را گسترش دهید. و برای گسترش ماژول ها باید بفهمید که عبارات زیر ماژول مثبت هستند یا منفی؟

آ. بیایید اعداد و و را با هم مقایسه کنیم:

ب حالا بیایید مقایسه کنیم:

ما مقادیر ماژول ها را جمع می کنیم:

قدر مطلق یک عدد. به طور خلاصه در مورد اصل مطلب.

مدول (مقدار مطلق) یک عدد، خود عدد است، اگر، و عدد، اگر:

ویژگی های ماژول:

1. مدول یک عدد یک عدد غیر منفی است: ;
2. ماژول های اعداد مخالف برابر هستند: ;
3. مدول حاصل ضرب دو (یا بیشتر) عدد برابر است با حاصل ضرب مدول آنها: ;
4. مدول ضریب دو عدد برابر است با ضریب مدول آنها: ;
5. مدول مجموع اعداد همیشه کمتر یا مساوی با مجموع مدول های این اعداد است: ;
6. یک ضریب ثابت مثبت را می توان از علامت مدول خارج کرد: at;

ماژول عدد یک مفهوم جدید در ریاضیات است. بیایید نگاهی دقیق‌تر به این کنیم که ماژول عدد چیست و چگونه با آن کار کنیم؟

بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

از خانه خارج شدیم تا به فروشگاه برویم. ما 300 متر راه رفتیم، از نظر ریاضی این عبارت را می توان به صورت +300 نوشت، معنای عدد 300 از علامت "+" تغییر نخواهد کرد. فاصله یا مدول یک عدد در ریاضیات یکسان است و می توان آن را اینگونه نوشت: |300|=300. علامت مدول یک عدد با دو خط عمودی نشان داده می شود.

و سپس 200 متر در جهت مخالف راه رفتیم. از نظر ریاضی می توانیم مسیر بازگشت را به صورت -200 بنویسیم. اما نمی گوییم «منهای دویست متر رفتیم»، اگرچه برگشتیم، زیرا فاصله به عنوان کمیت مثبت است. برای این منظور مفهوم ماژول در ریاضیات مطرح شد. می توانید فاصله یا مدول عدد -200 را به این صورت بنویسید: |-200|=200.

ویژگی های ماژول

تعریف:
مدول یک عدد یا قدر مطلق یک عددفاصله از نقطه شروع تا نقطه مقصد است.

مدول یک عدد صحیح که برابر با صفر نیست همیشه یک عدد مثبت است.

ماژول به صورت زیر نوشته شده است:

1. مدول یک عدد مثبت برابر با خود عدد است.
| a|=آ

2. مدول یک عدد منفی برابر با عدد مقابل است.
|- a|=آ

3. ماژول صفر برابر با صفر است.
|0|=0

4. ماژول های اعداد مخالف برابر هستند.
| a|=|-a|=آ

سوالات مرتبط:
مدول یک عدد چقدر است؟
پاسخ: مدول فاصله نقطه شروع تا مقصد است.

اگر علامت + را جلوی یک عدد صحیح قرار دهید، چه اتفاقی می‌افتد؟
پاسخ: عدد تغییری در معنای خود ایجاد نمی کند، مثلاً 4=+4.

اگر علامت «-» را جلوی یک عدد صحیح قرار دهید، چه اتفاقی می‌افتد؟
پاسخ: عدد به عنوان مثال به 4 و -4 تغییر می کند.

کدام اعداد مدول یکسانی دارند؟
پاسخ: اعداد مثبت و صفر مدول یکسانی خواهند داشت. مثلا 15=|15|.

کدام اعداد مدول عدد مقابل دارند؟
پاسخ: برای اعداد منفی مدول برابر با عدد مقابل خواهد بود. به عنوان مثال، |-6|=6.

مثال شماره 1:
مدول اعداد را بیابید: الف) 0 ب) 5 ج) -7؟

راه حل:
الف) |0|=0
ب) |5|=5
ج)|-7|=7

مثال شماره 2:
آیا دو عدد متفاوت وجود دارد که مدول آنها برابر است؟

راه حل:
|10|=10
|-10|=10

مدول های اعداد مقابل برابر هستند.

مثال شماره 3:
کدام دو عدد مقابل هم مدول 9 دارند؟

راه حل:
|9|=9
|-9|=9

پاسخ: 9 و -9.

مثال شماره 4:
مراحل زیر را دنبال کنید: الف) |+5|+|-3| ب) |-3|+|-8| ج)|+4|-|+1|

راه حل:
الف) |+5|+|-3|=5+3=8
ب) |-3|+|-8|=3+8=11
ج)|+4|-|+1|=4-1=3

مثال شماره 5:
پیدا کنید: الف) مدول عدد 2 ب) مدول عدد 6 ج) مدول عدد 8 د) مدول عدد 1 ه) مدول عدد 0.
راه حل:

الف) مدول عدد 2 به صورت |2| نشان داده می شود یا |+2| این همان است.
|2|=2

ب) مدول عدد 6 به صورت |6| نشان داده می شود یا |+6| این همان است.
|6|=6

ج) مدول عدد 8 به صورت |8| نشان داده می شود یا |+8| این همان است.
|8|=8

د) مدول عدد 1 به صورت |1| نشان داده می شود یا |+1| این همان است.
|1|=1

ه) مدول عدد 0 به صورت |0|، |+0| نشان داده می شود یا |-0| این همان است.
|0|=0