تعریف توپ ریاضیات

توپ جسمی است متشکل از تمام نقاط فضا که در فاصله ای نه بیشتر از یک نقطه معین از یک نقطه معین قرار دارند. این نقطه را مرکز توپ و به این فاصله شعاع توپ می گویند. به مرز یک توپ، سطح یا کره کروی می گویند. نقاط کره همه نقاطی از توپ هستند که در فاصله ای برابر با شعاع از مرکز خارج می شوند. هر قطعه ای که مرکز یک توپ را به نقطه ای از سطح کروی متصل کند شعاع نیز نامیده می شود. قطعه ای که از مرکز توپ می گذرد و دو نقطه روی سطح کروی را به هم متصل می کند، قطر نامیده می شود. انتهای هر قطری را نقاط متضاد توپ می نامند.

یک توپ بدنه ای از چرخش است، درست مانند یک مخروط و یک استوانه. یک توپ با چرخش یک نیم دایره حول قطر آن به عنوان یک محور به دست می آید.

سطح توپ را می توان با استفاده از فرمول های زیر پیدا کرد:

جایی که r شعاع توپ است، d قطر توپ است.

حجم توپ با فرمول بدست می آید:

V = 4 / 3 πr 3،

جایی که r شعاع توپ است.

قضیه. هر بخش از یک توپ در یک صفحه یک دایره است. مرکز این دایره، پایه عمودی است که از مرکز توپ روی صفحه برش کشیده شده است.

بر اساس این قضیه، اگر توپی با مرکز O و شعاع R با صفحه α قطع شود، سطح مقطع به دایره ای به شعاع r با مرکز K تبدیل می شود. شعاع مقطع توپ توسط صفحه می تواند باشد. توسط فرمول پیدا شده است

از فرمول مشخص می شود که هواپیماهایی با فاصله مساوی از مرکز، توپ را در دایره های مساوی قطع می کنند. شعاع بخش بزرگتر است، هر چه صفحه برش به مرکز توپ نزدیکتر باشد، یعنی فاصله اوکی کمتر است. بزرگترین شعاع دارای یک مقطع است که توسط صفحه ای از مرکز توپ می گذرد. شعاع این دایره برابر با شعاع توپ است.

صفحه ای که از مرکز توپ عبور می کند، صفحه مرکزی نامیده می شود. برش توپ را با صفحه قطری دایره بزرگ و به مقطع کره را دایره بزرگ و به مقطع کره را دایره بزرگ می گویند.

قضیه. هر صفحه قطری یک توپ صفحه تقارن آن است. مرکز توپ مرکز تقارن آن است.

صفحه ای که از نقطه A از سطح کروی عبور می کند و عمود بر شعاع رسم شده به نقطه A است، صفحه مماس نامیده می شود. نقطه A را نقطه مماس می نامند.

قضیه. صفحه مماس تنها یک نقطه مشترک با توپ دارد - نقطه تماس.

خط مستقیمی که از نقطه A از سطح کروی عمود بر شعاع کشیده شده به این نقطه می گذرد مماس نامیده می شود.

قضیه. تعداد نامتناهی مماس از هر نقطه روی سطح کروی عبور می کند و همه آنها در صفحه مماس توپ قرار دارند.

قطعه کروی قسمتی از توپ است که توسط یک صفحه از آن جدا شده است. دایره ABC پایه بخش کروی است. بخش عمود بر MN که از مرکز N دایره ABC تا محل تقاطع با سطح کروی کشیده شده است، ارتفاع قطعه کروی است. نقطه M رأس قطعه کروی است.

مساحت سطح یک قطعه کروی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد:

حجم یک قطعه کروی را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

V = πh 2 (R - 1/3h)،

جایی که R شعاع دایره بزرگ است، h ارتفاع قطعه کروی است.

یک بخش کروی از یک بخش کروی و یک مخروط به صورت زیر بدست می آید. اگر یک بخش کروی کوچکتر از یک نیمکره باشد، بخش کروی با یک مخروط تکمیل می شود که راس آن در مرکز توپ قرار دارد و قاعده قاعده قطعه است. اگر قطعه بزرگتر از یک نیمکره باشد، مخروط مشخص شده از آن حذف می شود.

یک بخش کروی بخشی از یک توپ است که توسط یک سطح منحنی از یک بخش کروی (در شکل ما، AMCB است) و یک سطح مخروطی (در شکل ما، این OABC است)، که قاعده آن پایه قطعه (ABC)، و راس مرکز توپ O است.

حجم بخش کروی با فرمول بدست می آید:

V = 2/3 πR 2 H.

یک لایه کروی بخشی از یک توپ است که بین دو صفحه موازی (صفحه های ABC و DEF در شکل) محصور شده است که سطح کروی را قطع می کنند. سطح منحنی لایه کروی را کمربند کروی (منطقه) می گویند. دایره های ABC و DEF پایه های کمربند کروی هستند. فاصله NK بین پایه های کمربند کروی ارتفاع آن است.

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

توپ و کره اول از همه اشکال هندسی هستند و اگر توپ جسم هندسی باشد کره سطح توپ است. این ارقام هزاران سال پیش از میلاد مورد توجه بودند.

پس از آن، هنگامی که کشف شد که زمین یک توپ و آسمان یک کره آسمانی است، یک جهت جذاب جدید در هندسه ایجاد شد - هندسه روی یک کره یا هندسه کروی. برای اینکه در مورد اندازه و حجم یک توپ صحبت کنید، ابتدا باید آن را تعریف کنید.

توپ

توپی به شعاع R با مرکز در نقطه O در هندسه جسمی است که توسط تمام نقاط فضا که دارای خاصیت مشترک هستند ایجاد می شود. این نقاط در فاصله ای قرار دارند که از شعاع توپ تجاوز نمی کند، یعنی کل فضای کمتر از شعاع توپ را در تمام جهات از مرکز آن پر می کنند. اگر فقط نقاطی را در نظر بگیریم که از مرکز توپ به یک اندازه فاصله دارند، سطح آن یا پوسته توپ را در نظر می گیریم.

چگونه می توانم توپ را بدست بیاورم؟ می‌توانیم یک دایره از کاغذ برش دهیم و شروع به چرخاندن آن به دور قطر خود کنیم. یعنی قطر دایره محور چرخش خواهد بود. شکل تشکیل شده یک توپ خواهد بود. بنابراین به توپ جسم چرخشی نیز می گویند. زیرا می توان آن را با چرخش یک شکل صاف - یک دایره تشکیل داد.

بیایید چند هواپیما برداریم و توپ خود را با آن قطع کنیم. همانطور که یک پرتقال را با چاقو برش دادیم. قطعه ای که از توپ جدا می کنیم قطعه کروی نامیده می شود.

در یونان باستان، آنها می دانستند که چگونه نه تنها با یک توپ و کره به عنوان اشکال هندسی کار کنند، مثلاً از آنها در ساخت و ساز استفاده کنند، بلکه می دانستند که چگونه مساحت یک توپ و حجم یک توپ را محاسبه کنند.

کره نام دیگری برای سطح توپ است. یک کره یک جسم نیست - سطح یک بدنه انقلابی است. با این حال، از آنجایی که هم زمین و هم بسیاری از اجسام شکل کروی دارند، به عنوان مثال یک قطره آب، مطالعه روابط هندسی درون کره گسترده شده است.

مثلاً اگر دو نقطه از یک کره را با یک خط مستقیم به یکدیگر وصل کنیم، به این خط مستقیم وتر می گویند و اگر این وتر از مرکز کره که منطبق با مرکز توپ است عبور کند. سپس وتر قطر کره نامیده می شود.

اگر یک خط مستقیم بکشیم که فقط در یک نقطه کره را لمس کند، این خط مماس نامیده می شود. به علاوه این مماس بر کره در این نقطه عمود بر شعاع کره کشیده شده به نقطه تماس خواهد بود.

اگر وتر را در یک جهت یا در جهت دیگر از کره به یک خط مستقیم بکشیم، این وتر را سکانت می نامند. یا می توانیم آن را به گونه ای دیگر بگوییم - سکنت به کره حاوی وتر آن است.

حجم توپ

فرمول محاسبه حجم یک توپ به صورت زیر است:

که در آن R شعاع توپ است.

اگر می خواهید حجم یک قطعه کروی را پیدا کنید، از فرمول استفاده کنید:

V seg = πh 2 (R-h/3)، h ارتفاع قطعه کروی است.

سطح یک توپ یا کره

برای محاسبه مساحت یک کره یا سطح یک توپ (آنها یکسان هستند):

که در آن R شعاع کره است.

ارشمیدس به توپ و کره بسیار علاقه داشت، او حتی از او خواست که نقاشی روی مقبره خود بگذارد که در آن یک توپ در یک استوانه حک شده بود. ارشمیدس معتقد بود که حجم یک توپ و سطح آن برابر با دو سوم حجم و سطح استوانه ای است که توپ در آن حک شده است.

توپ (کره)

سطح کروی. توپ (کره). بخش های توپ: حلقه ها

قضیه ارشمیدس. قسمت های توپ: بخش کروی،

لایه کروی، کمربند کروی، بخش کروی.

سطح کروی - این مکان نقاط(آن ها زیادتعداد تمام نقاط)در فضا، با فاصله مساوی از یک نقطه O ، که مرکز سطح کروی نامیده می شود (شکل 90). شعاع AOi قطر AB به همان روشی که در یک دایره تعیین می شوند.

توپ (کره) - این جسمی که توسط یک سطح کروی محدود شده است.می توان با چرخاندن نیم دایره توپ را بدست آورید (یا دایره ) در اطراف قطر. تمام بخش های صفحه توپ هستند حلقه ها (شکل 90 ). بزرگترین دایره در قسمتی قرار دارد که از مرکز توپ می گذرد و نامیده می شود دایره بزرگ. شعاع آن برابر با شعاع توپ است. هر دو دایره بزرگ در امتداد قطر توپ ( AB، Fig.91 ).این قطر نیز قطر دایره های بزرگ متقاطع است. از طریق دو نقطه از یک سطح کروی که در انتهای همان قطر قرار دارند(الف و ب، شکل 91 )، می توانید دایره های بزرگ بی شماری بکشید. به عنوان مثال، تعداد بی نهایت نصف النهار را می توان از میان قطب های زمین ترسیم کرد.

حجم کره یک و نیم برابر کمتر از حجم استوانه ای است که دور آن احاطه شده است. (شکل 92 ), آ سطح توپ یک و نیم برابر کمتر از سطح کل همان استوانه است ( قضیه ارشمیدس):

اینجا اس توپ و V توپ - به ترتیب سطح و حجم توپ؛

اس سیلندر و V سیلندر - کل سطح و حجم استوانه محدود شده.

بخش هایی از توپ بخشی از یک توپ (کره) )، با چند هواپیما از آن جدا شده است ( ABC، شکل 93)، تماس گرفت توپ(کروی ) بخش. دایره ABC تماس گرفت اساسبخش توپ بخش خط MN عمود کشیده شده از مرکزدایره N ABC تا زمانی که با یک سطح کروی تلاقی کند، نامیده می شود ارتفاعبخش توپ نقطهم تماس گرفت بالابخش توپ

بخشی از یک کره محصور بین دو صفحه موازی ABC و DEF یک سطح کروی را قطع می کنند (شکل 93)، تماس گرفت لایه کروی; سطح منحنی یک لایه کروی نامیده می شود کمربند توپ(منطقه). حلقه ها ABC و DEF – زمینهکمربند توپ فاصله N.K. بین پایه های کمربند کروی - آن ارتفاع. بخشی از توپ که توسط سطح منحنی یک بخش کروی محدود شده است ( AMCB، شکل 93) و سطح مخروطی OABC که پایه آن پایه قطعه است ( ABC ) و راس مرکز توپ است O ، تماس گرفت بخش کروی.

وقتی از مردم می پرسند که تفاوت بین یک کره و یک توپ چیست، بسیاری به سادگی شانه های خود را بالا می اندازند و فکر می کنند که در واقع آنها یک چیز هستند (قیاس با دایره و دایره). در واقع، آیا همه ما هندسه را از برنامه درسی مدرسه به خوبی می دانیم و می توانیم بلافاصله به این سؤال پاسخ دهیم؟ یک کره دارای تفاوت هایی با توپ است که نه تنها دانش آموزان مدرسه برای کسب نمره خوب برای دانش نشان داده شده خود، بلکه بسیاری از افراد دیگر نیز باید بدانند، به عنوان مثال، که کار آنها مستقیماً با نقاشی ها مرتبط است.

تعریف

توپ- مجموعه تمام نقاط در فضا. همه این نقاط از مرکز جسم هندسی در فاصله ای قرار دارند که بیش از یک فاصله معین نیست. خود این فاصله شعاع نامیده می شود. یک توپ، به عنوان یک جسم هندسی، به صورت زیر تشکیل می شود: یک نیم دایره نزدیک به قطر خود می چرخد. در مورد کره، این سطح توپ است (به عنوان مثال، یک توپ بسته شامل آن می شود، یک توپ باز نیست). محاسبه مساحت یا حجم یک توپ شامل فرمول های هندسی کاملی است که با وجود سادگی ظاهری خود شکل هندسی بسیار پیچیده هستند.

کرههمانطور که در بالا ذکر شد، سطح توپ، پوسته آن است. همه نقاط در فضا از مرکز کره فاصله دارند. در مورد شعاع جسم هندسی، هر قطعه ای نامیده می شود که یک نقطه آن مستقیماً مرکز کره است و نقطه دیگر می تواند در هر نقطه از سطح قرار گیرد. می توان گفت که یک کره پوسته یک توپ بدون محتوای است (مثال های دقیق تر در زیر آورده خواهد شد). درست مانند یک توپ، یک کره بدنه ای از انقلاب است. به هر حال، بسیاری نیز تعجب می کنند که تفاوت بین یک دایره و یک دایره از یک کره و یک توپ چیست. همه چیز در اینجا ساده است: در مورد اول اینها چهره های یک هواپیما هستند، در مورد دوم - در فضا.

مقایسه

قبلاً گفته شد که یک کره سطح یک توپ است که قبلاً امکان صحبت در مورد یک نشانه مهم از تفاوت را فراهم می کند. تفاوت این دو جسم هندسی در برخی جنبه های دیگر مشاهده می شود:

• تمام نقاط توپ در فاصله یکسانی از مرکز قرار دارند، در حالی که بدن توسط سطح (کره ای که درون آن خالی است) محدود می شود. به عبارت دیگر، کره توخالی است. معمولاً برای سهولت درک، مثال ساده ای با بادکنک و توپ بیلیارد آورده می شود. هر دوی این اجسام توپ نامیده می شوند، اما در حالت اول با یک کره و در حالت دوم با یک توپ تمام عیار با محتویات خاص خود در داخل روبرو هستیم.
• یک کره مساحت خاص خود را دارد، اما حجم ندارد. یک کره برعکس است: حجم آن قابل محاسبه است، در حالی که مساحت ندارد. ممکن است برخی بگویند که این نشانه اصلی تفاوت است، اما فقط در صورتی ظاهر می شود که انجام برخی محاسبات (فرمول های پیچیده هندسی) ضروری باشد. بنابراین، تفاوت اصلی این است که کره توخالی است و توپ جسمی است که محتویات آن در داخل است.
• تفاوت دیگر در شعاع نهفته است. به عنوان مثال، شعاع یک کره تنها فاصله نقاط تا مرکز نیست. شعاع می تواند هر قطعه ای باشد که نقطه ای از یک کره را به مرکز آن متصل می کند. همه این بخش ها با یکدیگر برابر هستند. در مورد توپ، نقاطی که در داخل آن قرار دارند با شعاع کمتر از مرکز حذف می شوند (دقیقاً به دلیل کره ای که آن را محدود می کند).

وب سایت نتیجه گیری

1. یک کره توخالی است، در حالی که یک توپ جسمی است که درون آن پر شده است. به عنوان مثال، یک بالون هوای گرم یک کره است، یک توپ بیلیارد یک توپ تمام عیار است.
2. یک کره مساحت دارد و حجم ندارد، اما یک کره برعکس عمل می کند.
3. سومین تفاوت اندازه گیری شعاع دو جسم هندسی است.

تعریف.

یک کره را می توان به عنوان یک شکل سه بعدی توصیف کرد که با چرخش یک دایره به دور قطر آن به میزان 180 درجه یا یک نیم دایره به دور قطر آن به میزان 360 درجه تشکیل می شود.

تعریف.

یک توپ را می توان به عنوان یک شکل سه بعدی توصیف کرد که با چرخش یک دایره به دور قطر آن به میزان 180 درجه یا یک نیم دایره به دور قطر آن به میزان 360 درجه تشکیل می شود.

تعریف. شعاع کره (توپ)(R) فاصله از مرکز کره (توپ) است. Oبه هر نقطه از کره (سطح توپ).

تعریف. قطر کره (توپ).(د) قطعه ای است که دو نقطه از یک کره (سطح یک توپ) را به هم متصل می کند و از مرکز آن می گذرد.

فرمول. حجم کره:

فرمول. سطح یک کرهاز طریق شعاع یا قطر:

S = 4π R 2 = π D 2

معادله کره

1. معادله یک کره با شعاع R و مرکز در مبدا دستگاه مختصات دکارتی:

x 2 + y 2 + z 2 = R 2

2. معادله یک کره با شعاع R و مرکز در نقطه ای با مختصات (x 0, y 0, z 0) در دستگاه مختصات دکارتی:

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 + (z - z 0) 2 = R 2

تعریف. نقاط کاملا متضادهر دو نقطه روی سطح یک توپ (کره) هستند که با قطری به هم متصل هستند.

ویژگی های اساسی یک کره و یک توپ

1. تمام نقاط کره از مرکز به یک اندازه فاصله دارند.

2. هر بخش از یک کره توسط یک صفحه یک دایره است.

3. هر قسمتی از یک توپ در کنار صفحه یک دایره است.

4. کره بیشترین حجم را در بین تمام اشکال فضایی با مساحت یکسان دارد.

5. از طریق هر دو نقطه کاملاً متضاد می توانید دایره های بزرگ زیادی را برای یک کره یا دایره هایی برای یک توپ ترسیم کنید.

6. از طریق هر دو نقطه، به جز نقاط متضاد، می توانید فقط یک دایره بزرگ برای یک کره یا یک دایره بزرگ برای یک توپ رسم کنید.

7. هر دو دایره بزرگ از یک توپ در امتداد یک خط مستقیم که از مرکز توپ می گذرد قطع می شوند و دایره ها در دو نقطه کاملاً مخالف یکدیگر را قطع می کنند.

8. اگر فاصله مرکز هر دو توپ کمتر از مجموع شعاع آنها و بزرگتر از مدول اختلاف شعاع آنها باشد، چنین توپهایی تقاطع، و یک دایره در صفحه تقاطع تشکیل می شود.

سکنت، وتر، صفحه برش یک کره و خواص آنها

تعریف. تقاطع کرهیک خط مستقیم است که کره را در دو نقطه قطع می کند. نقاط تقاطع نامیده می شوند نقاط سوراخ کنندهسطوح یا نقاط ورود و خروج روی سطح.

تعریف. وتر یک کره (توپ)- این قطعه ای است که دو نقطه را روی یک کره (سطح یک توپ) به هم متصل می کند.

تعریف. هواپیما برشصفحه ای است که کره را قطع می کند.

تعریف. صفحه قطری- این صفحه مقطعی است که از مرکز یک کره یا توپ می گذرد، بخش بر این اساس شکل می گیرد دایره بزرگو دایره بزرگ. دایره بزرگ و دایره بزرگ دارای مرکزی هستند که با مرکز کره (توپ) منطبق است.

هر وتری که از مرکز یک کره (توپ) عبور کند یک قطر است.

آکورد بخشی از یک خط قطع است.

فاصله d از مرکز کره تا مقطع همیشه کمتر از شعاع کره است:

د< R

فاصله m بین صفحه برش و مرکز کره همیشه کمتر از شعاع R است:

متر< R

محل قسمت صفحه برش روی کره همیشه خواهد بود دایره کوچک، و بر روی توپ بخش خواهد بود دایره کوچک. دایره کوچک و دایره کوچک مراکز خاص خود را دارند که با مرکز کره (توپ) منطبق نیستند. شعاع r چنین دایره ای را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

r = √R 2 - متر 2,

در جایی که R شعاع کره (توپ) است، m فاصله مرکز توپ تا صفحه برش است.

تعریف. نیمکره (نیمکره)- این نیمی از یک کره (توپ) است که هنگام برش توسط یک صفحه قطری تشکیل می شود.

مماس، صفحه مماس بر یک کره و خواص آنها

تعریف. مماس بر یک کرهیک خط مستقیم است که فقط در یک نقطه کره را لمس می کند.

تعریف. صفحه مماس بر یک کرهصفحه ای است که فقط در یک نقطه کره را لمس می کند.

خط مماس (صفحه) همیشه عمود بر شعاع کره کشیده شده به نقطه تماس است.

فاصله مرکز کره تا خط مماس (صفحه) برابر با شعاع کره است.

تعریف. بخش توپ- این قسمتی از توپ است که توسط یک هواپیمای برش از توپ جدا می شود. اساس بخشبه دایره ای می گویند که در محل بخش تشکیل شده است. ارتفاع قطعه h طول عمود رسم شده از وسط قاعده پاره به سطح پاره است.

فرمول. سطح بیرونی یک بخش کرهبا ارتفاع h از شعاع کره R:

S = 2πRh