رویدادهای قابل اعتماد و غیرممکن را در میان رویدادهای ai بیابید. موضوع درس: "رویدادهای قابل اعتماد، غیرممکن و تصادفی"

فقط در یک مترجم آنلاین نیست.

دروازه طلایی نماد شهر کیف، یکی از قدیمی ترین نمونه های معماری است که تا به امروز باقی مانده است. دروازه طلایی کیف زیر نظر شاهزاده معروف کی یف یاروسلاو حکیم در سال 1164 ساخته شد. در ابتدا آنها را جنوبی می نامیدند و بخشی از سیستم استحکامات دفاعی شهر بودند که عملاً هیچ تفاوتی با سایر دروازه های نگهبانی شهر نداشتند. این دروازه جنوبی بود که هیلاریون اولین متروپولیتن روسیه در «خطبه قانون و فیض» خود آن را «بزرگ» نامید. پس از ساخت کلیسای باشکوه ایاصوفیه، دروازه "بزرگ" به ورودی زمینی اصلی کیف از سمت جنوب غربی تبدیل شد. یاروسلاو حکیم با درک اهمیت آنها، دستور ساخت کلیسای کوچک بشارت بر روی دروازه ها را داد تا به دین مسیحی مسلط در شهر و روسیه ادای احترام کند. از آن زمان به بعد، تمام منابع وقایع نگاری روسیه شروع به نامیدن دروازه جنوبی کیف را دروازه طلایی کردند. عرض دروازه 7.5 متر، ارتفاع گذرگاه 12 متر و طول آن حدود 25 متر بود.

le sport ce n"est pas seulement des cours de gym. C"est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport développé ton corps et aussi ton cerveau. Quand tu prends l"escalier et non pas l"ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frere tu fais du sport. Quand tu cours، parce que tu es en retard a l"ecole, tu fais du sport.

یک رویداد نتیجه یک آزمایش است. رویداد چیست؟ یک توپ به طور تصادفی از کوزه گرفته می شود. بیرون آوردن یک توپ از کوزه یک آزمایش است. ظهور یک توپ با رنگ خاص یک رویداد است. در تئوری احتمال، رویداد چیزی است که پس از یک مقطع زمانی معین، تنها یکی از دو مورد را می توان درباره آن گفت. بله، این اتفاق افتاد. نه، این اتفاق نیفتاد. نتیجه احتمالی یک آزمایش را یک رویداد ابتدایی و مجموعه ای از این نتایج را به سادگی یک رویداد می نامند.

رویدادهای غیرقابل پیش بینی تصادفی نامیده می شوند. رویدادی تصادفی نامیده می‌شود که در شرایط یکسان ممکن است رخ دهد یا نباشد. هنگام انداختن تاس، نتیجه شش خواهد بود. من یک بلیط قرعه کشی دارم. پس از انتشار نتایج قرعه کشی، رویداد مورد علاقه من - برنده شدن هزار روبل - یا اتفاق می افتد یا نمی افتد. مثال.

دو رویدادی که در شرایط معین می توانند به طور همزمان رخ دهند، مفصل و آنهایی که نمی توانند همزمان رخ دهند، ناسازگار نامیده می شوند. یک سکه پرتاب می شود. ظاهر "نشان" ظاهر کتیبه را حذف می کند. رویدادهای "یک نشان ظاهر شد" و "یک کتیبه ظاهر شد" ناسازگار هستند. مثال.

رویدادی که همیشه رخ می دهد قابل اعتماد نامیده می شود. رویدادی که نمی تواند اتفاق بیفتد ناممکن نامیده می شود. به عنوان مثال، فرض کنید یک توپ از یک کوزه که فقط حاوی توپ های سیاه است کشیده شده است. سپس ظهور توپ سیاه یک رویداد قابل اعتماد است. ظهور یک توپ سفید یک اتفاق غیرممکن است. مثال ها. سال آینده برفی نخواهد آمد. هنگام انداختن تاس، نتیجه هفت خواهد شد. اینها اتفاقات غیرممکنی هستند. سال آینده برف خواهد آمد. وقتی تاس می اندازید، عددی کمتر از هفت به دست می آید. طلوع روزانه. اینها رویدادهای قابل اعتمادی هستند.

حل مسئله برای هر یک از رویدادهای توصیف شده، تعیین کنید که چیست: غیرممکن، قابل اعتماد یا تصادفی. 1. از 25 دانش آموز کلاس، دو نفر در 30 ژانویه تولد خود را جشن می گیرند. ب) 30 فوریه. 2. کتاب درسی ادبیات به صورت تصادفی باز می شود و کلمه دوم در صفحه سمت چپ پیدا می شود. این کلمه: الف) با حرف "ک" شروع می شود. ب) با حرف «Ъ» شروع شود.

3. امروز در سوچی فشارسنج فشار اتمسفر نرمال را نشان می دهد. در این مورد: الف) آب در قابلمه جوشانده شده در دمای 80 درجه سانتیگراد. ب) هنگامی که دما به -5 درجه سانتیگراد کاهش یافت، آب در گودال یخ زد. 4. دو تاس پرتاب می شود: الف) تاس اول 3 امتیاز و تاس دوم - 5 امتیاز را نشان می دهد. ب) مجموع نقاط پرتاب شده روی دو تاس 1 است. ج) مجموع امتیازهای پرتاب شده روی دو تاس 13 است. د) هر دو تاس 3 امتیاز گرفتند. ه) مجموع امتیازهای دو تاس کمتر از 15 باشد. حل مسئله

5. کتاب را در هر صفحه ای باز کردید و اولین اسمی که به آن برخورد کردید را خواندید. معلوم شد که: الف) املای کلمه انتخاب شده حاوی یک مصوت است. ب) املای کلمه انتخاب شده حاوی حرف "O" است. ج) هیچ حروف صدادار در املای کلمه انتخاب شده وجود ندارد. د) در املای کلمه انتخاب شده یک علامت نرم وجود دارد. حل مسئله

کلاس پنجم. مقدمه ای بر احتمال (4 ساعت)

(توسعه 4 درس در مورد این موضوع)

اهداف یادگیری : - تعریف یک رویداد تصادفی، قابل اعتماد و غیرممکن را معرفی کنید.

اولین ایده ها را در مورد حل مسائل ترکیبی ارائه دهید: استفاده از درخت گزینه ها و استفاده از قانون ضرب.

هدف آموزشی: توسعه جهان بینی دانش آموزان

هدف رشدی : توسعه تخیل فضایی، بهبود مهارت کار با خط کش.

رویدادهای قابل اعتماد، غیرممکن و تصادفی (2 ساعت)

مشکلات ترکیبی (2 ساعت)

رویدادهای قابل اعتماد، غیرممکن و تصادفی.

درس اول

تجهیزات درسی: تاس، سکه، تخته نرد.

زندگی ما عمدتاً متشکل از تصادفات است. علمی به عنوان "نظریه احتمال" وجود دارد. با استفاده از زبان آن می توانید بسیاری از پدیده ها و موقعیت ها را توصیف کنید.

حتی رهبر بدوی فهمیده بود که ده ها شکارچی "احتمال" بیشتری برای ضربه زدن به گاومیش کوهان دار با نیزه دارند تا یک نیزه. به همین دلیل در آن زمان به صورت دسته جمعی شکار می کردند.

فرماندهان باستانی مانند اسکندر کبیر یا دیمیتری دونسکوی که برای نبرد آماده می شدند، نه تنها به شجاعت و هنر رزمندگان، بلکه بر شانس نیز تکیه داشتند.

بسیاری از مردم ریاضیات را برای حقایق ابدی دوست دارند: دو بار دو همیشه چهار است، مجموع اعداد زوج زوج است، مساحت یک مستطیل برابر است با حاصلضرب اضلاع مجاور آن، و غیره. در هر مسئله ای که شما حل کنید، همه همان پاسخ را دریافت می کند - فقط باید در تصمیم گیری اشتباه نکنید.

زندگی واقعی چندان ساده و سرراست نیست. نتیجه بسیاری از رویدادها را نمی توان از قبل پیش بینی کرد. برای مثال نمی‌توان با اطمینان گفت که سکه‌ای که پرتاب می‌شود روی کدام طرف می‌بارد، اولین برف سال آینده کی می‌بارد، یا چند نفر در شهر می‌خواهند ظرف یک ساعت آینده تماس تلفنی برقرار کنند. چنین رویدادهای غیرقابل پیش بینی نامیده می شود تصادفی .

با این حال، شانس نیز قوانین خاص خود را دارد که وقتی پدیده های تصادفی بارها تکرار می شوند، خود را نشان می دهند. اگر یک سکه را 1000 بار پرتاب کنید، تقریباً نیمی از دفعات به سمت بالا می آید، که در مورد دو یا حتی ده پرتاب صدق نمی کند. "تقریبا" به معنای نصف نیست. به طور کلی ممکن است اینطور باشد یا نباشد. قانون هیچ چیز را به طور قطعی بیان نمی کند، اما درجه خاصی از اطمینان از وقوع یک رویداد تصادفی را فراهم می کند. چنین الگوهایی توسط شاخه خاصی از ریاضیات مطالعه می شود - نظریه احتمال . با کمک آن می توانید با اطمینان بیشتری (اما هنوز مطمئن نیستید) تاریخ اولین بارش برف و تعداد تماس های تلفنی را پیش بینی کنید.

نظریه احتمال با زندگی روزمره ما پیوند ناگسستنی دارد. این به ما فرصتی شگفت‌انگیز می‌دهد تا قوانین احتمالی زیادی را به صورت تجربی ایجاد کنیم و آزمایش‌های تصادفی را بارها تکرار کنیم. مواد لازم برای این آزمایش‌ها اغلب یک سکه معمولی، یک تاس، مجموعه‌ای از دومینو، تخته نرد، رولت یا حتی یک دسته کارت است. هر یک از این موارد به نوعی به بازی ها مربوط می شود. واقعیت این است که مورد در اینجا به رایج ترین شکل ظاهر می شود. و اولین وظایف احتمالی مربوط به ارزیابی شانس برنده شدن بازیکنان بود.

تئوری احتمالات مدرن از قمار فاصله گرفته است، اما ابزارهای آن همچنان ساده ترین و قابل اعتمادترین منبع شانس هستند. پس از تمرین با رولت و تاس، محاسبه احتمال رخدادهای تصادفی در موقعیت های زندگی واقعی را یاد خواهید گرفت که به شما امکان می دهد شانس موفقیت خود را ارزیابی کنید، فرضیه ها را آزمایش کنید و تصمیمات بهینه را نه تنها در بازی ها و قرعه کشی ها اتخاذ کنید.

هنگام حل مسائل احتمالی، بسیار مراقب باشید، سعی کنید هر قدمی را که برمی دارید توجیه کنید، زیرا هیچ حوزه دیگری از ریاضیات دارای این همه پارادوکس نیست. مانند نظریه احتمال. و شاید توضیح اصلی این موضوع ارتباط آن با دنیای واقعی است که در آن زندگی می کنیم.

بسیاری از بازی‌ها از قالبی استفاده می‌کنند که تعداد نقطه‌های متفاوتی از 1 تا 6 در هر طرف مشخص شده است. بازیکن تاس را پرتاب می‌کند، به چند نقطه ظاهر می‌شود (در سمتی که در بالا قرار دارد) و تعداد حرکت‌های مربوطه را انجام می‌دهد. : 1،2،3،4،5 یا 6. پرتاب قالب را می توان یک تجربه، یک آزمایش، یک آزمون و نتیجه به دست آمده را یک رویداد تلقی کرد. مردم معمولاً علاقه زیادی به حدس زدن وقوع این یا آن رویداد و پیش بینی نتیجه آن دارند. وقتی تاس می اندازند چه پیش بینی هایی می توانند داشته باشند؟ پیش بینی اول: یکی از اعداد 1،2،3،4،5 یا 6 ظاهر می شود، به نظر شما رویداد پیش بینی شده رخ خواهد داد یا خیر؟ البته حتما میاد. رویدادی که مطمئناً در یک تجربه خاص رخ می دهد نامیده می شود یک رویداد قابل اعتماد

پیش بینی دوم : عدد 7 ظاهر می شود به نظر شما رویداد پیش بینی شده رخ خواهد داد یا خیر؟ البته این اتفاق نخواهد افتاد، به سادگی غیرممکن است. رویدادی که نمی تواند در یک تجربه معین رخ دهد نامیده می شود اتفاق غیر ممکن

پیش بینی سوم : عدد 1 ظاهر می شود به نظر شما رویداد پیش بینی شده اتفاق افتاده است یا خیر؟ ما نمی توانیم با اطمینان کامل به این سوال پاسخ دهیم، زیرا ممکن است رویداد پیش بینی شده رخ دهد یا نباشد. رویدادی که ممکن است در یک تجربه خاص رخ دهد یا نباشد، نامیده می شود یک رویداد تصادفی

ورزش : رویدادهای مورد بحث در وظایف زیر را شرح دهید. مانند قطعی، غیرممکن یا تصادفی.

بیایید یک سکه بیندازیم. نشانی ظاهر شد. (تصادفی)

شکارچی به سمت گرگ شلیک کرد و او را زد. (تصادفی)

پسر مدرسه ای هر روز عصر به پیاده روی می رود. روز دوشنبه هنگام پیاده روی با سه آشنا روبرو شد. (تصادفی)

بیایید آزمایش زیر را به صورت ذهنی انجام دهیم: یک لیوان آب را وارونه کنید. اگر این آزمایش نه در فضا، بلکه در خانه یا در کلاس درس انجام شود، آنگاه آب بیرون می ریزد. (قابل اعتماد)

سه گلوله به سمت هدف شلیک شد.» پنج ضربه بود" (غیر ممکن)

سنگ را به بالا پرتاب کنید. سنگ در هوا معلق مانده است. (غیر ممکن)

حروف کلمه "آنتاگونیسم" را به طور تصادفی مرتب می کنیم. نتیجه کلمه "آناکرویسم" است. (غیر ممکن)

№959. پتیا به یک عدد طبیعی فکر کرد. این رویداد به شرح زیر است:

الف) عدد زوج در نظر گرفته شده است. (تصادفی) ب) یک عدد فرد در نظر گرفته شده است. (تصادفی)

ج) عددی تصور می شود که نه زوج است و نه فرد. (غیر ممکن)

د) عددی تصور شود که زوج یا فرد باشد. (قابل اعتماد)

№ 961. پتیا و تولیا تولدهای خود را با هم مقایسه می کنند. این رویداد به شرح زیر است:

الف) تولد آنها منطبق نیست. (تصادفی) ب) تولد آنها یکسان است. (تصادفی)

د) هر دو روز تولد آنها در تعطیلات است - سال نو (1 ژانویه) و روز استقلال روسیه (12 ژوئن). (تصادفی)

№ 962. هنگام بازی تخته نرد از دو تاس استفاده می شود. تعداد حرکاتی که یک شرکت‌کننده در بازی انجام می‌دهد با جمع کردن اعداد در دو طرف مکعب که بیرون می‌افتند تعیین می‌شود، و اگر یک "دو" چرخانده شود (1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6) ، سپس تعداد حرکات دو برابر می شود. شما تاس می اندازید و متوجه می شوید که چند حرکت باید انجام دهید. این رویداد به شرح زیر است:

الف) باید یک حرکت انجام دهید. ب) باید 7 حرکت انجام دهید.

ج) باید 24 حرکت انجام دهید. د) باید 13 حرکت انجام دهید.

الف) - غیر ممکن است (اگر ترکیب 1 + 0 ریخته شود، اما عدد 0 روی تاس وجود نداشته باشد، 1 حرکت می تواند انجام شود).

ب) - تصادفی (اگر 1 + 6 یا 2 + 5 رول شود).

ج) - تصادفی (اگر ترکیب 6 + 6 ظاهر شود).

د) - غیرممکن است (هیچ ترکیبی از اعداد 1 تا 6 وجود ندارد که مجموع آنها 13 است؛ این عدد را نمی توان حتی زمانی که یک "دو" رول می شود به دست آورد، زیرا فرد است).

خودت را چک کن (دیکته ریاضی)

1) مشخص کنید کدام یک از رویدادهای زیر غیرممکن است، کدام یک قابل اعتماد و کدام تصادفی است:

بازی فوتبال "اسپارتاک" - "دینامو" با تساوی به پایان می رسد. (تصادفی)

با شرکت در قرعه کشی برد-برد (قابل اعتماد) برنده خواهید شد

نیمه شب برف می بارد و 24 ساعت بعد خورشید می تابد. (غیر ممکن)

فردا امتحان ریاضی هست (تصادفی)

شما به عنوان رئیس جمهور ایالات متحده انتخاب خواهید شد. (غیر ممکن)

شما به عنوان رئیس جمهور روسیه انتخاب خواهید شد. (تصادفی)

2) تلویزیونی را در فروشگاهی خریداری کرده اید که سازنده دو سال گارانتی برای آن ارائه می دهد. کدام یک از رویدادهای زیر غیرممکن است، کدام تصادفی است، کدام قابل اعتماد است:

تلویزیون تا یک سال خراب نمی شود. (تصادفی)

تلویزیون تا دو سال خراب نمی شود. (تصادفی)

برای تعمیر تلویزیون تا دو سال نیازی به پرداخت هزینه نخواهید داشت. (قابل اعتماد)

تلویزیون در سال سوم خراب می شود. (تصادفی)

3) اتوبوسی با 15 مسافر باید 10 توقف داشته باشد. کدام یک از رویدادهای زیر غیرممکن است، کدام تصادفی است، کدام قابل اعتماد است:

همه مسافران در ایستگاه های مختلف از اتوبوس پیاده می شوند. (غیر ممکن)

همه مسافران در همان ایستگاه پیاده می شوند. (تصادفی)

در هر ایستگاه حداقل یک نفر پیاده می شود. (تصادفی)

توقفی وجود خواهد داشت که در آن کسی پیاده نمی شود. (تصادفی)

تعداد زوجی از مسافران در تمام ایستگاه ها پیاده می شوند. (غیر ممکن)

تعداد فردي مسافر در تمام ايستگاه ها پياده مي شوند. (غیر ممکن)

مشق شب : ص 53 شماره 960، 963، 965 (خودتان با دو رویداد قابل اعتماد، تصادفی و غیرممکن بیایید).

درس دوم.

بررسی تکالیف (شفاهی)

الف) رویدادهای حتمی، تصادفی و غیرممکن را توضیح دهید.

ب) مشخص کنید کدام یک از رویدادهای زیر قابل اعتماد و غیرممکن است و کدام تصادفی است:

تعطیلات تابستانی نخواهد بود. (غیر ممکن)

ساندویچ به سمت پایین کره می افتد. (تصادفی)

سال تحصیلی روزی به پایان می رسد. (قابل اعتماد)

فردا سر کلاس از من می پرسند. (تصادفی)

امروز با یک گربه سیاه آشنا خواهم شد. (تصادفی)

№ 960. شما این کتاب درسی را در هر صفحه ای باز کردید و اولین اسمی را که آمد انتخاب کردید. این رویداد به شرح زیر است:

الف) در املای کلمه انتخاب شده یک مصوت وجود دارد. ((قابل اعتماد)

ب) املای کلمه انتخاب شده حاوی حرف "o" باشد. (تصادفی)

ج) در املای کلمه انتخاب شده هیچ حروف صدادار وجود ندارد. (غیر ممکن)

د) در املای کلمه انتخاب شده یک علامت نرم وجود دارد. (تصادفی)

№ 963. دوباره داری تخته نرد بازی می کنی. رویداد زیر را شرح دهید:

الف) بازیکن نباید بیش از دو حرکت انجام دهد. (غیرممکن است - با ترکیب کوچکترین اعداد 1 + 1 بازیکن 4 حرکت انجام می دهد؛ ترکیب 1 + 2 3 حرکت می دهد؛ همه ترکیب های دیگر بیش از 3 حرکت می دهند)

ب) بازیکن باید بیش از دو حرکت انجام دهد. (قابل اعتماد - هر ترکیبی 3 یا بیشتر حرکت می دهد)

ج) بازیکن نباید بیش از 24 حرکت انجام دهد. (قابل اعتماد - ترکیب بزرگترین اعداد 6 + 6 24 حرکت می دهد و بقیه کمتر از 24 حرکت می دهند)

د) بازیکن باید حرکات دو رقمی انجام دهد. (تصادفی – به عنوان مثال، ترکیب 2 + 3 تعداد حرکت های تک رقمی را به دست می دهد: 5، و چرخاندن دو عدد چهار عدد دو رقمی از حرکت ها را به دست می دهد)

2. حل مسئله.

№ 964. 10 توپ در یک کیسه وجود دارد: 3 توپ آبی، 3 سفید و 4 قرمز. رویداد زیر را شرح دهید:

الف) 4 توپ از کیسه گرفته شد و همه آنها آبی هستند. (غیر ممکن)

ب) 4 توپ از کیسه گرفته شد و همه آنها قرمز هستند. (تصادفی)

ج) 4 توپ از کیسه خارج شد و همه آنها رنگهای مختلفی داشتند. (غیر ممکن)

د) 4 توپ از کیسه خارج شد که در بین آنها توپ سیاه وجود نداشت. (قابل اعتماد)

وظیفه 1. جعبه شامل 10 خودکار قرمز، 1 سبز و 2 خودکار آبی است. دو شی به طور تصادفی از جعبه کشیده می شود. کدام یک از رویدادهای زیر غیرممکن است، کدام تصادفی، کدام قطعی است:

الف) دو خودکار قرمز (تصادفی) خارج می شود

ب) دو دسته سبز بیرون آورده شده است. (غیر ممکن)

ج) دو قلم آبی بیرون آورده شود. (تصادفی)

د) دسته های دو رنگ مختلف بیرون آورده می شوند. (تصادفی)

ه) دو دسته برداشته شود. (قابل اعتماد)

و) دو مداد بیرون آورده شود. (غیر ممکن)

وظیفه 2. وینی پو، پیگلت و همه - همه - همه برای جشن تولدش سر میز گرد می نشینند. رویداد "وینی پیف و خوکچه کنار هم نشسته اند" در چه تعداد از همه - همه - قابل اعتماد است و در چه تعداد تصادفی است؟

(اگر فقط 1 از همه - همه - همه آنها وجود داشته باشد، پس رویداد قابل اعتماد است، اگر بیش از 1 وجود داشته باشد، تصادفی است).

وظیفه 3. از بین 100 بلیت بخت آزمایی خیریه، 20 بلیت برنده هستند. برای غیرممکن کردن رویداد "هیچ چیزی برنده نخواهید شد" چند بلیط باید بخرید؟

وظیفه 4. در کلاس 10 پسر و 20 دختر وجود دارد. کدام یک از رویدادهای زیر برای این کلاس غیرممکن است، که تصادفی هستند، کدامیک قابل اعتماد هستند

دو نفر در کلاس هستند که در ماه های مختلف به دنیا آمده اند. (تصادفی)

دو نفر در کلاس هستند که در یک ماه به دنیا آمده اند. (قابل اعتماد)

دو پسر در کلاس هستند که در یک ماه به دنیا آمده اند. (تصادفی)

دو دختر در کلاس هستند که در یک ماه به دنیا آمده اند. (قابل اعتماد)

همه پسرها در ماه های مختلف به دنیا آمدند. (قابل اعتماد)

همه دخترها در ماه های مختلف به دنیا آمدند. (تصادفی)

یک پسر و یک دختر در یک ماه متولد شده اند. (تصادفی)

یک پسر و یک دختر در ماه های مختلف متولد شده اند. (تصادفی)

وظیفه 5. 3 توپ قرمز، 3 زرد، 3 توپ سبز در جعبه وجود دارد. به طور تصادفی 4 توپ را بیرون می آوریم. این رویداد را در نظر بگیرید "در میان توپ های کشیده شده، توپ هایی با رنگ های M وجود خواهد داشت." برای هر M از 1 تا 4، نوع رویداد غیرممکن، قابل اعتماد یا تصادفی را تعیین کنید و جدول را پر کنید:

کار مستقل.

منگزینه

الف) شماره تولد دوست شما کمتر از 32 باشد.

ج) فردا یک آزمون در ریاضیات برگزار می شود.

د) سال آینده اولین برف در مسکو در روز یکشنبه خواهد بارید.

تاس انداختن رویداد را شرح دهید:

الف) مکعب با افتادن روی لبه خود می ایستد.

ب) یکی از اعداد ظاهر می شود: 1، 2، 3، 4، 5، 6.

ج) عدد 6 ظاهر می شود.

د) عددی که مضرب 7 باشد رول می شود.

یک جعبه شامل 3 توپ قرمز، 3 زرد و 3 توپ سبز است. رویداد را شرح دهید:

الف) تمام توپ های کشیده شده به یک رنگ هستند.

ب) تمام توپ های کشیده شده از رنگ های مختلف هستند.

ج) در بین توپ های کشیده شده توپ هایی با رنگ های مختلف وجود دارد.

ج) در بین توپ های کشیده شده یک توپ قرمز، زرد و سبز وجود دارد.

IIگزینه

رویداد مورد نظر را قابل اعتماد، غیرممکن یا تصادفی توصیف کنید:

الف) ساندویچی که از روی میز می افتد با صورت روی زمین می افتد.

ب) در نیمه شب برف در مسکو می بارد و پس از 24 ساعت خورشید می درخشد.

ج) با شرکت در قرعه کشی برد-برد برنده خواهید شد.

د) سال آینده در اردیبهشت اولین رعد بهار شنیده می شود.

تمام اعداد دو رقمی روی کارت ها نوشته شده است. یک کارت به صورت تصادفی انتخاب می شود. رویداد را شرح دهید:

الف) روی کارت یک عدد صفر وجود داشت.

ب) روی کارت عددی وجود داشت که مضرب 5 بود.

ج) روی کارت عددی وجود داشت که مضربی از 100 بود.

د) روی کارت یک عدد بزرگتر از 9 و کمتر از 100 وجود داشت.

جعبه شامل 10 خودکار قرمز، 1 سبز و 2 خودکار آبی است. دو شی به طور تصادفی از جعبه کشیده می شود. رویداد را شرح دهید:

الف) دو قلم آبی بیرون آورده می شود.

ب) دو قلم قرمز بیرون آورده شود.

ج) دو دسته سبز بیرون آورده شده است.

د) دستگیره های سبز و مشکی بیرون آورده شوند.

مشق شب: 1). با دو رویداد قابل اعتماد، تصادفی و غیرممکن بیایید.

2). وظیفه . 3 توپ قرمز، 3 زرد، 3 توپ سبز در جعبه وجود دارد. به طور تصادفی N توپ می کشیم. این رویداد را در نظر بگیرید "در بین توپ های کشیده شده توپ هایی با سه رنگ وجود دارد." برای هر N از 1 تا 9، نوع رویداد غیرممکن، قابل اعتماد یا تصادفی را مشخص کنید و جدول را پر کنید:

مشکلات ترکیبی

درس اول

بررسی تکالیف (شفاهی)

الف) مشکلاتی را که دانش آموزان مطرح کردند بررسی می کنیم.

ب) یک کار اضافی.

من در حال خواندن گزیده ای از کتاب وی لوشین "سه روز در کارلیکانیا" هستم.

"در ابتدا، با صدای یک والس صاف، اعداد گروهی را تشکیل دادند: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. سپس اسکیت بازان جوان شروع به تغییر مکان کردند و گروه های جدید بیشتری را تشکیل دادند: 2 + 3 + 4 + 1 = 10

3 + 1 + 2 + 4 = 10

4 + 1 + 3 + 2 = 10

1 + 4 + 2 + 3 = 10 و غیره

این تا زمانی ادامه یافت که اسکیت بازها به موقعیت اولیه خود بازگشتند.

چند بار جایشان را عوض کردند؟

امروز در کلاس یاد خواهیم گرفت که چگونه چنین مشکلاتی را حل کنیم. آنها نامیده می شوند ترکیبی

3. مطالعه مطالب جدید.

وظیفه 1. از اعداد 1، 2، 3 چند عدد دو رقمی می توان ساخت؟

راه حل: 11, 12, 13

31، 32، 33. 9 عدد در کل.

هنگام حل این مشکل، همه گزینه های ممکن را جستجو کردیم یا همانطور که معمولاً در این موارد می گویند. تمام ترکیبات ممکن بنابراین، چنین مشکلاتی نامیده می شود ترکیبی شما باید اغلب گزینه های ممکن (یا غیرممکن) را در زندگی محاسبه کنید، بنابراین مفید است که با مسائل ترکیبی آشنا شوید.

№ 967. چندین کشور تصمیم گرفته اند از نمادهایی برای پرچم ملی خود به شکل سه نوار افقی با عرض یکسان در رنگ های مختلف - سفید، آبی، قرمز استفاده کنند. چند کشور می توانند از چنین نمادهایی استفاده کنند، مشروط بر اینکه هر کشور پرچم خود را داشته باشد؟

راه حل. بیایید فرض کنیم که اولین نوار سفید است. سپس نوار دوم می تواند آبی یا قرمز باشد و نوار سوم به ترتیب قرمز یا آبی باشد. ما دو گزینه داریم: سفید، آبی، قرمز یا سفید، قرمز، آبی.

بگذارید اکنون اولین نوار آبی باشد، سپس دوباره دو گزینه داریم: سفید، قرمز، آبی یا آبی، قرمز، سفید.

بگذارید اولین نوار قرمز باشد، سپس دو گزینه دیگر وجود دارد: قرمز، سفید، آبی یا قرمز، آبی، سفید.

در مجموع 6 گزینه ممکن وجود داشت. این پرچم برای 6 کشور قابل استفاده است.

بنابراین، هنگام حل این مشکل، ما به دنبال راهی برای برشمردن گزینه های احتمالی بودیم. در بسیاری از موارد، ساختن یک تصویر - نمودار شمارش گزینه ها مفید است. این اولاً واضح است و ثانیاً به ما امکان می دهد همه چیز را در نظر بگیریم و چیزی را از دست ندهیم.

این نمودار درخت گزینه های ممکن نیز نامیده می شود.

صفحه اول

نوار دوم

خط سوم

ترکیب حاصل

№ 968. از اعداد 1، 2، 4، 6، 8 چند عدد دو رقمی می توان ساخت؟

راه حل. برای اعداد دو رقمی مورد نظر ما، مکان اول می تواند هر یک از ارقام داده شده باشد، به جز 0. اگر عدد 2 را در وهله اول قرار دهیم، هر یک از ارقام داده شده می تواند در رتبه دوم باشد. پنج عدد دو رقمی دریافت خواهید کرد: 2.،22، 24، 26، 28. به همین ترتیب، پنج عدد دو رقمی با اولین رقم 4، پنج عدد دو رقمی با رقم اول 6 و پنج عدد دو رقمی وجود خواهد داشت. اعداد رقمی با رقم اول 8.

پاسخ: در مجموع 20 عدد خواهد بود.

بیایید درختی از گزینه های ممکن برای حل این مشکل بسازیم.

دو رقمی

رقم اول

رقم دوم

شماره های دریافت شده

20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,

40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.

با ایجاد درختی از گزینه های ممکن، مسائل زیر را حل کنید.

№ 971. رهبری یک کشور خاص تصمیم گرفت که پرچم ملی خود را به این شکل درآورد: در یک زمینه مستطیلی تک رنگ، دایره ای با رنگ متفاوت در یکی از گوشه ها قرار داده شده است. تصمیم گرفته شد که رنگ ها را از سه رنگ ممکن انتخاب کنیم: قرمز، زرد، سبز. چند نوع از این پرچم؟

وجود دارد؟ شکل برخی از گزینه های ممکن را نشان می دهد.

پاسخ: 24 گزینه.

№ 973. الف) از اعداد 1،3، 5، چند عدد سه رقمی می توان ساخت؟ (27 شماره)

ب) از اعداد 1،3، 5 چند عدد سه رقمی می توان ساخت، مشروط بر اینکه اعداد تکرار نشوند؟ (6 عدد)

№ 979. پنج ورزشکاران مدرن در پنج رشته ورزشی در طول دو روز شرکت می کنند: پرش با نمایش، شمشیربازی، شنا، تیراندازی و دویدن.

الف) برای ترتیب تکمیل انواع مسابقه چند گزینه وجود دارد؟ (120 گزینه)

ب) در صورتی که مشخص شود آخرین رویداد باید در حال اجرا باشد، چند گزینه برای ترتیب رویدادهای مسابقه وجود دارد؟ (24 گزینه)

ج) اگر مشخص شود که آخرین رویداد باید دویدن باشد و اولین مسابقه باید پرش نمایشی باشد، چند گزینه برای ترتیب رویدادهای مسابقه وجود دارد؟ (6 گزینه)

№ 981. دو کوزه شامل پنج توپ در پنج رنگ مختلف است: سفید، آبی، قرمز، زرد، سبز. از هر کوزه در یک زمان یک توپ کشیده می شود.

الف) چند ترکیب مختلف از توپ های کشیده شده وجود دارد (ترکیب هایی مانند "سفید - قرمز" و "قرمز - سفید" یکسان در نظر گرفته می شوند)؟

(15 ترکیب)

ب) چند ترکیب وجود دارد که توپ های کشیده شده همرنگ باشند؟

(5 ترکیب)

ج) چند ترکیب وجود دارد که در آن توپ های کشیده شده رنگ های مختلف دارند؟

(15 - 5 = 10 ترکیب)

مشق شب: ص 54، شماره 969، 972، خودتان یک مسئله ترکیبی را مطرح کنید.

№ 969. چندین کشور تصمیم گرفته اند از نمادهایی برای پرچم ملی خود در قالب سه نوار عمودی با عرض یکسان در رنگ های مختلف استفاده کنند: سبز، سیاه، زرد. چند کشور می توانند از چنین نمادهایی استفاده کنند، مشروط بر اینکه هر کشور پرچم خود را داشته باشد؟

№ 972. الف) از اعداد 1، 3، 5، 7، 9 چند عدد دو رقمی می توان ساخت؟

ب) از اعداد 1، 3، 5، 7، 9 چند عدد دو رقمی می توان ساخت، مشروط بر اینکه اعداد تکرار نشوند؟

درس دوم

بررسی تکالیف الف) شماره 969 و شماره 972 a) و شماره 972b) - درختی از گزینه های ممکن را روی تخته بسازید.

ب) کارهای انجام شده را به صورت شفاهی بررسی می کنیم.

حل مسئله.

بنابراین، قبل از این، نحوه حل مسائل ترکیبی را با استفاده از درخت گزینه ها یاد گرفتیم. آیا این راه خوبی است؟ احتمالا بله، اما بسیار دست و پا گیر است. سعی کنیم مشکل تکلیف شماره 972 را متفاوت حل کنیم. چه کسی می تواند حدس بزند که چگونه می توان این کار را انجام داد؟

پاسخ: برای هر پنج رنگ تی شرت، 4 رنگ شلوار وجود دارد. مجموع: 4 * 5 = 20 گزینه.

№ 980. کوزه ها حاوی پنج توپ در پنج رنگ مختلف هستند: سفید، آبی، قرمز، زرد، سبز. از هر کوزه در یک زمان یک توپ کشیده می شود. رویداد زیر را به صورت قطعی، تصادفی یا غیرممکن توصیف کنید:

الف) توپ هایی با رنگ های مختلف بیرون آورده شده است. (تصادفی)

ب) توپ های هم رنگ را بیرون آورید. (تصادفی)

ج) توپ های سیاه و سفید کشیده می شوند. (غیر ممکن)

د) دو توپ کشیده می شود که هر دو به یکی از رنگ های زیر رنگ می شوند: سفید، آبی، قرمز، زرد، سبز. (قابل اعتماد)

№ 982. گروهی از گردشگران قصد دارند در مسیر Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo پیاده روی کنند. از آنتونوو تا بوریسوو می توانید روی رودخانه قایق سواری کنید یا پیاده روی کنید. از Borisovo تا Vlasovo می توانید پیاده روی کنید یا دوچرخه سواری کنید. از Vlasovo تا Gribovo می توانید در امتداد رودخانه شنا کنید، دوچرخه سواری کنید یا پیاده روی کنید. گردشگران می توانند از بین چند گزینه کوهنوردی انتخاب کنند؟ گردشگران چند گزینه پیاده روی می توانند انتخاب کنند، مشروط بر اینکه حداقل در یک قسمت از مسیر از دوچرخه استفاده کنند؟

(12 گزینه مسیر، 8 مورد از آنها با دوچرخه)

کار مستقل.

1 گزینه

الف) از ارقام 0، 1، 3، 5، 7 چند عدد سه رقمی می توان ساخت؟

ب) از ارقام: 0، 1، 3، 5، 7 چند عدد سه رقمی می توان ساخت، مشروط بر اینکه اعداد تکرار نشوند؟

آتوس، پورتوس و آرامیس فقط یک شمشیر، یک خنجر و یک تپانچه دارند.

الف) تفنگداران را از چند طریق می توان مسلح کرد؟

ب) اگر آرامیس باید شمشیر به دست بگیرد، چند گزینه سلاح وجود دارد؟

ج) اگر آرامیس باید شمشیر و پورتوس باید تپانچه را در دست بگیرد، چند گزینه سلاح وجود دارد؟

در جایی خداوند یک تکه پنیر و همچنین پنیر فتا، سوسیس، نان سفید و سیاه را برای ریون فرستاد. با نشستن روی درخت صنوبر، کلاغ تقریباً آماده صرف صبحانه بود، اما شروع به فکر کردن کرد: به چند روش می توان از این محصولات ساندویچ درست کرد؟

گزینه 2

الف) از ارقام 0، 2، 4، 6، 8 چند عدد سه رقمی می توان ساخت؟

ب) از ارقام: 0، 2، 4، 6، 8 چند عدد سه رقمی می توان ساخت، مشروط بر اینکه ارقام تکرار نشوند؟

کنت مونت کریستو تصمیم گرفت به پرنسس هاید گوشواره، یک گردنبند و یک دستبند بدهد. هر قطعه جواهر باید دارای یکی از انواع سنگ های قیمتی زیر باشد: الماس، یاقوت یا گارنت.

الف) چند گزینه برای ترکیب جواهرات سنگ های قیمتی وجود دارد؟

ب) اگر گوشواره باید الماس باشد چند گزینه جواهرات وجود دارد؟

ج) اگر گوشواره الماس و دستبند گارنت باشد چند گزینه جواهر وجود دارد؟

برای صبحانه می توانید نان، ساندویچ یا نان زنجبیلی را با قهوه یا کفیر انتخاب کنید. چند گزینه صبحانه می توانید ایجاد کنید؟

مشق شب : شماره 974 975. (با گردآوری درخت گزینه ها و استفاده از قانون ضرب)

№ 974 . الف) از اعداد 0، 2، 4 چند عدد سه رقمی می توان ساخت؟

ب) از اعداد 0، 2، 4 چند عدد سه رقمی می توان ساخت، مشروط بر اینکه اعداد تکرار نشوند؟

№ 975 . الف) از اعداد 1،3، 5،7 چند عدد سه رقمی می توان ساخت؟

ب) از اعداد 1،3، 5،7 تحت شرط چند عدد سه رقمی می توان ساخت. چه اعدادی را نباید تکرار کرد؟

اعداد مسئله برگرفته از کتاب درسی

"ریاضیات-5"، I.I. زوباروا، A.G. موردکوویچ، 2004.

1.1. برخی اطلاعات از ترکیبات

1.1.1. جایگذاری ها

بیایید ساده ترین مفاهیم مرتبط با انتخاب و چیدمان مجموعه خاصی از اشیاء را در نظر بگیریم.
شمارش تعداد راه هایی که این اقدامات را می توان انجام داد، اغلب هنگام حل مسائل احتمالی انجام می شود.
تعریف. اسکان از nعناصر توسط ک (ک ≤n) هر زیر مجموعه مرتب شده ای است کعناصر یک مجموعه متشکل از nعناصر مختلف
مثال.دنباله اعداد زیر قرار دادن 2 عنصر از 3 عنصر مجموعه (1;2;3) است: 12، 13، 23، 21، 31، 32.
توجه داشته باشید که قرارگیری ها از نظر ترتیب عناصر موجود در آنها و ترکیب آنها متفاوت است. مکان های 12 و 21 دارای اعداد یکسان هستند، اما ترتیب آنها متفاوت است. بنابراین، این مکان‌ها متفاوت در نظر گرفته می‌شوند.
تعداد مکان های مختلف از nعناصر توسط کبا فرمول تعیین و محاسبه می شود:
,
جایی که n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(می خواند " n- فاکتوریل").
تعداد اعداد دو رقمی که می توان از ارقام 1، 2، 3 ساخت، مشروط بر اینکه هیچ رقمی برابر با: .

1.1.2. بازآرایی ها

تعریف. جایگشت از nعناصر را چنین قرارگیری می نامند nعناصری که فقط در محل قرارگیری عناصر متفاوت هستند.
تعداد جایگشت از nعناصر P nبا فرمول محاسبه می شود: P n=n!
مثال. 5 نفر از چند طریق می توانند صف بکشند؟ تعداد راه ها برابر است با تعداد جایگشت های 5 عنصر، یعنی.
پ 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
تعریف. اگر در میان nعناصر کیکسان، سپس بازآرایی اینها nعناصر یک جایگشت با تکرار نامیده می شود.
مثال.بگذارید 2 کتاب از 6 کتاب یکسان باشد. هر چیدمان همه کتاب ها در یک قفسه، بازآرایی با تکرار است.
تعداد جایگشت های مختلف با تکرار (از nعناصر از جمله کیکسان) با استفاده از فرمول محاسبه می شود: .
در مثال ما، تعداد روش هایی که می توان کتاب ها را در قفسه چید: .

1.1.3. ترکیبات

تعریف. ترکیبی از nعناصر توسط کچنین مکان هایی نامیده می شود nعناصر توسط ک، که حداقل در یک عنصر با یکدیگر متفاوت هستند.
تعداد ترکیب های مختلف از nعناصر توسط کبا فرمول تعیین و محاسبه می شود: .
طبق تعریف، 0! = 1.
ویژگی های زیر برای ترکیب ها اعمال می شود:
1.
2.
3.
4.
مثال. 5 گل با رنگ های مختلف وجود دارد. 3 گل برای دسته گل انتخاب شده است. تعداد دسته گل های مختلف 3 گل از 5 گل برابر است با: .

1.2. رویدادهای تصادفی

1.2.1. مناسبت ها

شناخت واقعیت در علوم طبیعی در نتیجه آزمایش ها (آزمایش، مشاهدات، تجربه) اتفاق می افتد.
تست یا تجربه اجرای مجموعه خاصی از شرایط است که می تواند به طور دلخواه تعداد زیادی بار بازتولید شود.
تصادفی رویدادی است که ممکن است در نتیجه آزمایش (تجربه) رخ دهد یا نباشد.
بنابراین، رویداد به عنوان نتیجه آزمون در نظر گرفته می شود.
مثال.پرتاب سکه یک آزمایش است. ظهور عقاب در حین پرتاب یک رویداد است.
وقایعی که مشاهده می کنیم از نظر میزان احتمال وقوع و ماهیت ارتباط متقابل آنها متفاوت است.
رویداد نامیده می شود قابل اعتماد ، در صورتی که در نتیجه این آزمایش به وقوع می پیوندد.
مثال.دانش آموزی که در امتحان نمره مثبت یا منفی دریافت می کند، اگر امتحان طبق قوانین معمول پیش برود، یک رویداد قابل اعتماد است.
رویداد نامیده می شود غیر ممکن ، اگر در نتیجه این آزمایش نتواند رخ دهد.
مثال.برداشتن یک توپ سفید از کوزه ای که فقط حاوی توپ های رنگی (غیر سفید) است یک اتفاق غیرممکن است. توجه داشته باشید که تحت شرایط آزمایشی دیگر ظاهر یک توپ سفید مستثنی نیست. بنابراین، این رویداد تنها در شرایط تجربه ما غیرممکن است.
در ادامه، رویدادهای تصادفی را با حروف بزرگ لاتین A، B، C نشان خواهیم داد... یک رویداد قابل اعتماد را با حرف Ω و یک رویداد غیرممکن را با Ø نشان خواهیم داد.
دو یا چند رویداد نامیده می شود به همان اندازه ممکن است اگر دلیلی برای این باور وجود داشته باشد که هیچ یک از این رویدادها بیشتر یا کمتر از بقیه ممکن نیست، در یک آزمون داده شده وجود داشته باشد.
مثال.با یک پرتاب یک دای، ظهور امتیازهای 1، 2، 3، 4، 5 و 6 همگی به یک اندازه ممکن است. البته فرض بر این است که تاس ها از مواد همگن ساخته شده و شکل درستی دارند.
این دو رویداد نامیده می شوند ناسازگار در یک آزمون معین، اگر وقوع یکی از آنها، وقوع دیگری را منتفی کند، و مفصل در غیر این صورت.
مثال.جعبه شامل قطعات استاندارد و غیر استاندارد می باشد. بیایید یک جزئیات را برای شانس در نظر بگیریم. ظاهر یک قطعه استاندارد ظاهر یک قطعه غیر استاندارد را از بین می برد. این رویدادها ناسازگار هستند.
چندین رویداد شکل می گیرد گروه کامل رویدادها در یک آزمایش مشخص، در صورتی که حداقل یکی از آنها در نتیجه این آزمایش مطمئن باشد.
مثال.رویدادهای مثال یک گروه کامل از رویدادهای به همان اندازه ممکن و زوج ناسازگار را تشکیل می دهند.
دو رویداد ناسازگار که یک گروه کامل از رویدادها را در یک آزمایش معین تشکیل می دهند نامیده می شوند رویدادهای متضاد.
اگر یکی از آنها توسط آ، سپس دیگری معمولاً با (بخوانید «نه آ»).
مثال.ضربه و از دست دادن با یک شلیک به هدف، رویدادهای متضادی هستند.

1.2.2. تعریف کلاسیک احتمال

احتمال وقوع - اندازه گیری عددی احتمال وقوع آن.
رویداد آتماس گرفت مطلوب رویداد که دراگر هرگاه اتفاقی رخ دهد آ، رویداد می آید که در.
مناسبت ها آ 1 , آ 2 , ..., آnفرم نمودار موردی ، اگر آنها:
1) به همان اندازه ممکن است؛
2) جفت ناسازگار.
3) یک گروه کامل تشکیل دهید.
در طرح موارد (و فقط در این طرح) تعریف کلاسیک احتمال صورت می گیرد پ(آ) مناسبت ها آ. در اینجا، یک مورد، هر یک از رویدادهای متعلق به یک گروه کامل منتخب از رویدادهای به همان اندازه ممکن و زوج ناسازگار است.
اگر nتعداد تمام موارد در طرح است، و متر- تعداد موارد مساعد برای رویداد آ، آن احتمال وقوع یک رویداد آبا برابری تعیین می شود:

ویژگی های زیر از تعریف احتمال به دست می آید:
1. احتمال یک رویداد قابل اعتماد برابر با یک است.
در واقع، اگر رویدادی حتمی باشد، هر موردی در طرح قضایا به نفع واقعه است. در این مورد متر = nو بنابراین

2. احتمال وقوع یک رویداد غیرممکن صفر است.
در واقع، اگر رویدادی غیرممکن باشد، هیچ موردی در الگوی موارد به نفع رویداد نیست. از همین رو متر=0 و بنابراین

احتمال یک رویداد تصادفی عددی مثبت بین صفر و یک است.
در واقع، تنها کسری از تعداد کل موارد در الگوی موارد مورد علاقه یک رویداد تصادفی است. بنابراین 0<متر<nیعنی 0<متر/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
بنابراین، احتمال هر رویدادی نابرابری ها را برآورده می کند
0 ≤ پ(آ) ≤ 1.
در حال حاضر، خواص احتمال در قالب بدیهیات فرموله شده توسط A.N تعریف شده است. کولموگروف
یکی از مزایای اصلی تعریف کلاسیک احتمال، توانایی محاسبه مستقیم احتمال یک رویداد است، یعنی. بدون توسل به آزمایش هایی که با استدلال منطقی جایگزین می شوند.

مشکلات محاسبه مستقیم احتمالات

مشکل 1.1. احتمال وجود تعداد زوج (رویداد A) هنگام پرتاب قالب چقدر است؟
راه حل. وقایع را در نظر بگیرید آمن- ترک تحصیل کرد منعینک، من= 1، 2، …،6. بدیهی است که این وقایع الگویی از موارد را تشکیل می دهند. سپس تعداد تمام موارد n= 6. موارد به نفع بردن تعداد زوج امتیاز است آ 2 , آ 4 , آ 6، یعنی متر= 3. سپس .
مشکل 1.2. در یک کوزه 5 توپ سفید و 10 توپ سیاه وجود دارد. توپ ها کاملاً مخلوط می شوند و سپس 1 توپ به طور تصادفی خارج می شود. احتمال اینکه توپ کشیده شده سفید شود چقدر است؟
راه حل. در مجموع 15 مورد وجود دارد که یک الگوی موردی را تشکیل می دهند. علاوه بر این، رویداد مورد انتظار آ- بنابراین ظاهر یک توپ سفید مورد علاقه 5 نفر از آنها است .
مشکل 1.3. یک کودک با شش حرف الفبا بازی می کند: A، A، E، K، R، T. احتمال اینکه بتواند به طور تصادفی کلمه CARRIAGE (رویداد A) را بسازد را بیابید.
راه حل. راه حل با این واقعیت پیچیده است که در بین حروف، حروف یکسان وجود دارد - دو حرف "A". بنابراین، تعداد تمام موارد ممکن در یک آزمون داده شده برابر است با تعداد جایگشت با تکرار 6 حرف:
.
این موارد به همان اندازه ممکن هستند، به صورت جفتی ناسازگار هستند و یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند. نموداری از موارد را تشکیل دهید. فقط یک شانس به نفع رویداد است آ. از همین رو
.
مشکل 1.4. تانیا و وانیا توافق کردند که سال نو را در یک شرکت 10 نفره جشن بگیرند. هر دو خیلی دوست داشتند کنار هم بنشینند. اگر مرسوم باشد که به قید قرعه جاهایی را بین دوستانشان تقسیم کنند، احتمال برآورده شدن آرزویشان چقدر است؟
راه حل. اجازه دهید با نشان دادن آرویداد "تحقق خواسته های تانیا و وانیا". 10 نفر می توانند سر یک میز 10 نفره بنشینند! راه های مختلف. چند تا از اینها n= 10! راه های به همان اندازه ممکن برای تانیا و وانیا مطلوب است؟ تانیا و وانیا که در کنار هم نشسته اند، می توانند 20 موقعیت مختلف بگیرند. در همان زمان، هشت نفر از دوستانشان می توانند سر یک میز 8 نفره بنشینند! به روش های مختلف، بنابراین متر= 20∙8!. از این رو،
.
مشکل 1.5. گروهی متشکل از 5 زن و 20 مرد سه نماینده را انتخاب می کنند. با فرض اینکه هر فرد حاضر می تواند با احتمال مساوی انتخاب شود، احتمال انتخاب دو زن و یک مرد را پیدا کنید.
راه حل. تعداد کل نتایج آزمون به همان اندازه ممکن برابر است با تعداد روش هایی که در آن سه نماینده می توانند از بین 25 نفر انتخاب شوند، یعنی. . اجازه دهید اکنون تعداد موارد مطلوب را بشماریم، یعنی. تعداد مواردی که در آن رویداد مورد علاقه رخ می دهد. یک نماینده مرد را می توان به بیست روش انتخاب کرد. در عین حال دو نماینده باقی مانده باید زن باشند و شما می توانید از بین پنج نفر دو زن را انتخاب کنید. از این رو، . از همین رو
.
مشکل 1.6.چهار توپ به طور تصادفی بر روی چهار سوراخ پراکنده می شوند، هر توپ با احتمال مساوی و مستقل از بقیه در یک سوراخ می افتد (هیچ مانعی برای افتادن چندین توپ در یک سوراخ وجود ندارد). این احتمال را پیدا کنید که در یکی از سوراخ ها سه توپ وجود داشته باشد، یکی در دیگری، و هیچ توپی در دو سوراخ دیگر وجود نداشته باشد.
راه حل. تعداد کل موارد n=4 4. تعداد روش هایی که از طریق آنها می توان یک سوراخ را انتخاب کرد که در آن سه توپ وجود دارد، . تعداد روش هایی که از طریق آنها می توانید سوراخی را انتخاب کنید که در آن یک توپ وجود داشته باشد، . تعداد روش هایی که می توان سه توپ از چهار توپ را برای قرار دادن در اولین سوراخ انتخاب کرد. تعداد کل موارد مساعد احتمال وقوع:
مشکل 1.7. 10 توپ یکسان در جعبه وجود دارد که با اعداد 1، 2، ...، 10 مشخص شده اند. شش توپ برای شانس کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین توپ های استخراج شده وجود داشته باشد: الف) توپ شماره 1. ب) توپ های شماره 1 و شماره 2.
راه حل. الف) تعداد کل نتایج ابتدایی ممکن آزمون برابر است با تعداد روش هایی که می توان از ده توپ شش توپ استخراج کرد، یعنی.
بیایید تعداد نتایجی را پیدا کنیم که به نفع رویداد مورد علاقه ما است: در بین شش توپ انتخاب شده، توپ شماره 1 وجود دارد و بنابراین، پنج توپ باقی مانده دارای اعداد متفاوت هستند. تعداد چنین نتایجی آشکارا برابر است با تعداد روش هایی که از طریق آنها می توان پنج توپ را از نه توپ باقیمانده انتخاب کرد، یعنی.
احتمال مورد نیاز برابر است با نسبت تعداد نتایج مطلوب برای رویداد مورد نظر به تعداد کل نتایج اولیه ممکن:
ب) تعداد نتایج مطلوب برای رویداد مورد علاقه ما (در بین توپ های انتخاب شده، توپ های شماره 1 و شماره 2 وجود دارد، بنابراین، چهار توپ دارای تعداد متفاوتی هستند) برابر است با تعداد روش هایی که از طریق آنها چهار توپ می توانند از هشت باقی مانده استخراج شود، یعنی. احتمال مورد نیاز

1.2.3. احتمال آماری

تعریف آماری احتمال زمانی استفاده می شود که نتایج یک آزمایش به یک اندازه امکان پذیر نباشد.
فرکانس نسبی رویداد آبا برابری تعیین می شود:
,
جایی که متر- تعداد آزمایشاتی که در آن رویداد رخ داده است آرسیده است n- تعداد کل آزمایشات انجام شده
جی. برنولی ثابت کرد که با افزایش نامحدود در تعداد آزمایش‌ها، فراوانی نسبی وقوع یک رویداد تقریباً به‌طور دلخواه کمی با یک عدد ثابت متفاوت است. معلوم شد که این عدد ثابت احتمال وقوع رویداد است. بنابراین، طبیعی است که بر خلاف احتمال معرفی شده قبلی، فراوانی نسبی وقوع یک رویداد با تعداد آزمایشات به اندازه کافی را یک احتمال آماری بنامیم.
مثال 1.8. چگونه به طور تقریبی تعداد ماهی های دریاچه را تعیین کنیم؟
بگذار در دریاچه ایکسماهی ما یک تور می اندازیم و، فرض کنید، در آن پیدا می کنیم nماهی هر کدام را علامت گذاری می کنیم و دوباره رها می کنیم. چند روز بعد در همان آب و هوا و در همان مکان، همان تور را انداختیم. اجازه دهید فرض کنیم که m ماهی را در آن پیدا می کنیم که از جمله آنهاست کبرچسب گذاری شده است. اجازه دهید رویداد آ- "ماهی صید شده مشخص شده است." سپس با تعریف فرکانس نسبی .
اما اگر در دریاچه ایکسماهی و ما آن را در آن رها کردیم nبرچسب زده شد، سپس .
زیرا آر * (آ) » آر(آ) آن .

1.2.4. عملیات روی رویدادها قضیه جمع احتمال

میزان، یا اتحاد چند رویداد، رویدادی است متشکل از وقوع حداقل یکی از این رویدادها (در همان آزمایش).
مجموع آ 1 + آ 2 + … + آnبه صورت زیر مشخص می شود:
یا .
مثال. دو تاس پرتاب می شود. اجازه دهید رویداد آشامل ریختن 4 امتیاز روی 1 تاس و رویداد است که در- وقتی 5 امتیاز روی تاس دیگر ریخته می شود. مناسبت ها آو که درمفصل بنابراین رویداد آ +که درشامل باز کردن 4 نقطه در قالب اول یا 5 نقطه در قالب دوم یا 4 نقطه در قالب اول و 5 نقطه در قالب دوم به طور همزمان است.
مثال.رویداد آ- برد برای 1 وام، رویداد که در- برد در وام دوم. سپس رویداد A+B- برنده شدن حداقل یک وام (احتمالاً دو وام همزمان).
کاریا تلاقی چند رویداد رویدادی است متشکل از وقوع مشترک همه این رویدادها (در یک آزمایش).
کار کنید که درمناسبت ها آ 1 , آ 2 , …, آnبه صورت زیر مشخص می شود:
.
مثال.مناسبت ها آو که درشامل گذراندن موفقیت آمیز دور اول و دوم به ترتیب پس از پذیرش در موسسه است. سپس رویداد آ×Bشامل انجام موفقیت آمیز هر دو دور است.
مفاهیم مجموع و حاصلضرب رویدادها تفسیر هندسی واضحی دارند. اجازه دهید رویداد آنقطه ای برای ورود به منطقه وجود دارد آ، و رویداد که در- نقطه ورود به منطقه که در. سپس رویداد A+Bیک نقطه ورود به اتحاد این مناطق (شکل 2.1) و رویداد وجود دارد آکه درنقطه ای وجود دارد که به تقاطع این مناطق برخورد می کند (شکل 2.2).

برنج. 2.1 شکل. 2.2
قضیه. اگر حوادث یک آی(من = 1, 2, …, n) به صورت زوجی ناسازگار هستند، پس احتمال مجموع رویدادها برابر است با مجموع احتمالات این رویدادها:
.
اجازه دهید آو Ā - رویدادهای متضاد، به عنوان مثال. A + Ā= Ω، که در آن Ω یک رویداد قابل اعتماد است. از قضیه جمع نتیجه می شود که
Р(Ω) = آر(آ) + آر(Ā ) = 1، بنابراین
آر(Ā ) = 1 – آر(آ).
اگر حوادث آ 1 و آ 2 سازگار هستند، پس احتمال مجموع دو رویداد همزمان برابر است با:
آر(آ 1 + آ 2) = آر(آ 1) + آر(آ 2) - P( آ 1× آ 2).
قضایای جمع احتمال به ما این امکان را می دهد که از محاسبه مستقیم احتمالات به تعیین احتمالات وقوع رویدادهای پیچیده حرکت کنیم.
مشکل 1.8. تیرانداز یک گلوله به سمت هدف شلیک می کند. احتمال کسب 10 امتیاز (رویداد آ) 9 امتیاز (رویداد که در) و 8 امتیاز (رویداد با) به ترتیب برابر با 0.11 هستند. 0.23; 0.17. این احتمال را بیابید که با یک ضربه تیرانداز کمتر از 8 امتیاز کسب کند (رویداد D).
راه حل. بیایید به رویداد مخالف برویم - با یک شلیک، تیرانداز حداقل 8 امتیاز کسب خواهد کرد. یک رویداد در صورت وقوع رخ می دهد آیا که در، یا با، یعنی . از زمان وقایع الف، ب, بابه صورت جفتی ناسازگار هستند، پس با قضیه جمع،
، جایی که .
مشکل 1.9. از تیم تیپ که متشکل از 6 مرد و 4 زن است، دو نفر برای همایش صنفی انتخاب می شوند. احتمال اینکه از بین افراد انتخاب شده حداقل یک زن (رویداد آ).
راه حل. اگر اتفاقی رخ دهد آ، یکی از رویدادهای ناسازگار زیر قطعا رخ خواهد داد: که در- "یک مرد و یک زن انتخاب می شوند"؛ با- "دو زن انتخاب شدند." بنابراین می توانیم بنویسیم: A=B+C. بیایید احتمال رویدادها را پیدا کنیم که درو با. دو نفر از هر 10 نفر را می توان به روش های مختلف انتخاب کرد. دو زن از 4 زن را می توان به روش های مختلف انتخاب کرد. زن و مرد را می توان به روش های 6×4 انتخاب کرد. سپس . از زمان وقایع که درو بابنابراین، با قضیه جمع ناسازگار هستند،
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
مشکل 1.10. 15 کتاب درسی به طور تصادفی در قفسه کتابخانه چیده شده است که پنج تای آنها صحافی شده است. کتابدار به طور تصادفی سه کتاب درسی می گیرد. احتمال صحافی شدن حداقل یکی از کتابهای درسی گرفته شده را بیابید (رویداد آ).
راه حل. راه اول شرط - حداقل یکی از سه کتاب درسی صحافی گرفته شده - در صورت وقوع هر یک از سه رویداد ناسازگار زیر برآورده می شود: که در- یک کتاب درسی صحافی شده با– دو کتاب درسی صحافی، D– سه کتاب درسی صحافی شده
رویداد مورد علاقه ما آرا می توان به صورت مجموع رویدادها نشان داد: A=B+C+D. با توجه به قضیه جمع،
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
بیایید احتمال رویدادها را پیدا کنیم قبل از میلاد مسیحو D(به طرح های ترکیبی مراجعه کنید):

با نمایش این احتمالات در برابری (2.1)، در نهایت به دست می آوریم
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
راه دوم رویداد آ(حداقل یکی از سه کتاب درسی گرفته شده صحافی شده است) و Ā (هیچ یک از کتاب های درسی گرفته شده صحافی نشده است) - بنابراین، برعکس P(A) + P(Ā) = 1 (مجموع احتمالات دو رویداد متضاد برابر با 1 است). از اینجا P(A) = 1 – P(Ā).احتمال وقوع رویداد Ā (هیچ یک از کتاب های درسی گرفته شده صحافی نشده است)
احتمال مورد نیاز
P(A) = 1 - P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. احتمال مشروط قضیه ضرب احتمال

احتمال مشروط P(B/آ) احتمال رویداد B است که با این فرض محاسبه می شود که رویداد A قبلاً رخ داده است.
قضیه. احتمال وقوع مشترک دو رویداد برابر است با حاصل ضرب احتمالات یکی از آنها و احتمال شرطی دیگری که با این فرض محاسبه می شود که اولین رویداد قبلاً رخ داده است:
P(A∙B) = P (A)∙P( که در/آ). (2.2)
دو رویداد مستقل نامیده می شوند که وقوع هر یک از آنها احتمال وقوع دیگری را تغییر ندهد، یعنی.
P(A) = P(A/B) یا P(B) = P(B/آ). (2.3)
اگر حوادث آو که درمستقل هستند، سپس از فرمول های (2.2) و (2.3) نتیجه می شود
P(A∙B) = P (A)∙P(B). (2.4)
گزاره مخالف نیز صادق است، یعنی. اگر برابری (2.4) برای دو رویداد برقرار باشد، آنگاه این رویدادها مستقل هستند. در واقع، از فرمول های (2.4) و (2.2) نتیجه می شود
P(A∙B) = P (A)∙P(B) = P(A) × P(B/آ)، جایی که P(A) = P(B/آ).
فرمول (2.2) را می توان به تعداد محدودی از رویدادها تعمیم داد آ 1 , آ 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙آ 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /آ 1)∙P(A 3 /آ 1 آ 2)∙…∙ماهی تابه/آ 1 آ 2 …A n -1).
مسئله 1.11. از یک گلدان حاوی 5 توپ سفید و 10 توپ سیاه، دو توپ پشت سر هم کشیده می شود. احتمال سفید بودن هر دو توپ را بیابید (رویداد آ).
راه حل. بیایید وقایع را در نظر بگیریم: که در- اولین توپ کشیده شده سفید است. با– دومین توپ کشیده شده سفید است. سپس الف = قبل از میلاد.
آزمایش را می توان به دو صورت انجام داد:
1) با برگشت: گوی برداشته شده پس از تثبیت رنگ به داخل کوزه برگردانده می شود. در این مورد حوادث که درو بامستقل:
P(A) = P(B)∙R(S) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) بدون برگشت: توپ برداشته شده کنار گذاشته می شود. در این مورد حوادث که درو باوابسته:
P(A) = P(B)∙R(S/که در).
برای یک رویداد که درشرایط یکسان است و برای باوضعیت تغییر کرده است. اتفاق افتاد که در، بنابراین 14 توپ در کوزه باقی مانده است که 4 توپ سفید نیز می باشد.
بنابراین، .
مشکل 1.12. از بین 50 لامپ، 3 لامپ غیر استاندارد هستند. این احتمال را پیدا کنید که دو لامپ که همزمان گرفته شده اند غیر استاندارد هستند.
راه حل. بیایید وقایع را در نظر بگیریم: آ- اولین لامپ غیر استاندارد است، که در- لامپ دوم غیر استاندارد است، با- هر دو لامپ غیر استاندارد هستند. واضح است که C = A∙که در. رویداد آ 3 مورد از 50 مورد ممکن مطلوب است، یعنی. P(A) = 3/50. اگر رویداد آقبلاً وارد شده است، سپس رویداد که دردو مورد از 49 مورد ممکن مطلوب است، یعنی. P(B/آ) = 2/49. از این رو،
.
مسئله 1.13. دو ورزشکار مستقل از یکدیگر به سمت یک هدف شلیک می کنند. احتمال برخورد ورزشکار اول به هدف 0.7 و دومی 0.8 است. احتمال اصابت به هدف چقدر است؟
راه حل. اگر تیرانداز اول یا دومی یا هر دو به آن اصابت کند، هدف مورد اصابت قرار می گیرد، یعنی. یک اتفاق رخ خواهد داد A+B، رویداد کجاست آشامل اولین ضربه زدن ورزشکار به هدف و رویداد است که در- دومین. سپس
P(A+که در)=P(A)+P(B)–P(A∙که در)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
مسئله 1.14.اتاق مطالعه دارای شش کتاب درسی نظریه احتمال است که سه تای آن صحافی شده است. کتابدار به طور تصادفی دو کتاب درسی گرفت. احتمال صحافی دو کتاب درسی را پیدا کنید.
راه حل. اجازه دهید نامگذاری رویدادها را معرفی کنیم : آ– اولین کتاب درسی گرفته شده صحافی شده است، که در– کتاب درسی دوم صحافی شده است. احتمال صحافی کتاب درسی اول است
P(A) = 3/6 = 1/2.
احتمال صحافی بودن کتاب درسی دوم مشروط بر اینکه اولین کتاب درسی گرفته شده صحافی شده باشد، یعنی. احتمال شرطی یک رویداد که در، به این صورت است: P(B/آ) = 2/5.
احتمال صحافی هر دو کتاب درسی، با توجه به قضیه ضرب احتمالات، برابر است با
P(AB) = P(A) ∙ P(B/آ)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0.2.
مسئله 1.15. 7 مرد و 3 زن در کارگاه مشغول به کار هستند. سه نفر با استفاده از شماره پرسنل خود به صورت تصادفی انتخاب شدند. احتمال اینکه همه افراد انتخاب شده مرد باشند را بیابید.
راه حل. اجازه دهید نام رویدادها را معرفی کنیم: آ- ابتدا مرد انتخاب می شود، که در- نفر دوم یک مرد است، با -سومین نفر برگزیده یک مرد بود. احتمال اینکه یک مرد ابتدا انتخاب شود این است P(A) = 7/10.
احتمال انتخاب مرد دوم، مشروط بر اینکه قبلاً مردی انتخاب شده باشد، یعنی. احتمال شرطی یک رویداد که دربعد : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
احتمال اینکه یک مرد سوم انتخاب شود، با توجه به اینکه دو مرد قبلا انتخاب شده اند، یعنی. احتمال شرطی یک رویداد بااین است: P(C/AB) = 5/8.
احتمال مورد نظر این است که هر سه نفر انتخاب شده مرد باشند P(ABC) = P(A) P(B/آ) P(C/AB) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.

1.2.6. فرمول احتمال کل و فرمول بیز

اجازه دهید ب 1 , ب 2 ,…, Bn- رویدادهای ناسازگار دوتایی (فرضیه ها) و آ- رویدادی که تنها با یکی از آنها می تواند اتفاق بیفتد.
به ما نیز اطلاع دهید P(B i) و P(A/B i) (من = 1, 2, …, n).
در این شرایط فرمول ها معتبر هستند:
(2.5)
(2.6)
فرمول (2.5) نامیده می شود فرمول احتمال کل . احتمال یک رویداد را محاسبه می کند آ(احتمال کل).
فرمول (2.6) نامیده می شود فرمول بیز . این امکان را به شما می دهد تا احتمالات فرضیه ها را در صورت وقوع دوباره محاسبه کنید آاتفاق افتاد
هنگام گردآوری مثال ها، راحت است فرض کنیم که فرضیه ها یک گروه کامل را تشکیل می دهند.
مسئله 1.16. این سبد حاوی سیب هایی از چهار درخت از یک نوع است. از اول - 15٪ از همه سیب ها، از دوم - 35٪، از سوم - 20٪، از چهارم - 30٪. سیب های رسیده به ترتیب 99٪، 97٪، 98٪، 95٪ هستند.
الف) احتمال اینکه سیبی که به طور تصادفی گرفته شده باشد چقدر است (رویداد آ).
ب) با توجه به اینکه سیبی که به طور تصادفی گرفته شده رسیده است، احتمال اینکه از درخت اول باشد را محاسبه کنید.
راه حل. الف) 4 فرضیه داریم:
B 1 - سیبی که به طور تصادفی از درخت اول گرفته شده است.
B 2 - سیبی که به طور تصادفی از درخت دوم گرفته شده است.
B 3 - سیبی که به طور تصادفی از درخت سوم گرفته شده است.
B 4 - سیبی که به طور تصادفی از درخت چهارم گرفته شده است.
احتمالات آنها با توجه به شرایط: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
احتمالات شرطی یک رویداد آ:
P(A/ب 1) = 0,99; P(A/ب 2) = 0,97; P(A/ب 3) = 0,98; P(A/ب 4) = 0,95.
احتمال اینکه سیبی که به طور تصادفی گرفته می شود رسیده باشد با استفاده از فرمول احتمال کل پیدا می شود:
P(A)=P(B 1)∙P(A/ب 1)+P(B 2)∙P(A/ب 2)+P(B 3)∙P(A/ب 3)+P(B 4)∙P(A/ب 4)=0,969.
ب) فرمول بیز برای مورد ما به صورت زیر است:
.
مسئله 1.17.یک توپ سفید داخل یک کوزه حاوی دو توپ می ریزند و پس از آن یک توپ به طور تصادفی کشیده می شود. در صورتی که تمام فرضیات ممکن در مورد ترکیب اولیه توپ ها (بر اساس رنگ) به یک اندازه امکان پذیر باشد، احتمال سفید شدن توپ استخراج شده را پیدا کنید.
راه حل. اجازه دهید با نشان دادن آرویداد - یک توپ سفید کشیده می شود. مفروضات (فرضیه) زیر در مورد ترکیب اولیه توپ ها ممکن است: ب 1- هیچ توپ سفیدی وجود ندارد، در 2- یک توپ سفید در ساعت 3- دو توپ سفید
از آنجایی که در مجموع سه فرضیه وجود دارد و مجموع احتمالات فرضیه ها 1 است (چون آنها یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل می دهند)، پس احتمال هر یک از فرضیه ها 1/3 است، یعنی.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
با توجه به اینکه در ابتدا هیچ توپ سفیدی در کوزه وجود نداشت، احتمال مشروط این که یک توپ سفید کشیده شود، P(A/ب 1) = 1/3. با توجه به اینکه در ابتدا یک توپ سفید در کوزه وجود داشت، احتمال مشروط این که یک توپ سفید کشیده شود، P(A/ب 2) = 2/3. با توجه به اینکه در ابتدا دو توپ سفید در کوزه وجود داشت، احتمال مشروط کشیدن یک توپ سفید وجود دارد. P(A/ب 3)=3/ 3=1.
با استفاده از فرمول احتمال کل، احتمال لازم برای رسم یک توپ سفید را پیدا می کنیم:
آر(آ)=P(B 1)∙P(A/ب 1)+P(B 2)∙P(A/ب 2)+P(B 3)∙P(A/ب 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
مسئله 1.18. دو دستگاه قطعات یکسانی را تولید می کنند که روی یک نوار نقاله مشترک قرار می گیرند. بهره وری ماشین اول دو برابر ماشین دوم است. دستگاه اول به طور متوسط ​​60٪ قطعات با کیفیت عالی را تولید می کند و دومی - 84٪. قطعه ای که به طور تصادفی از خط مونتاژ گرفته شد با کیفیت عالی بود. احتمال تولید این قطعه توسط اولین ماشین را پیدا کنید.
راه حل. اجازه دهید با نشان دادن آرویداد - جزئیات با کیفیت عالی. دو فرض می توان داشت: ب 1– قطعه توسط دستگاه اول تولید شده است و (از آنجایی که دستگاه اول دو برابر دستگاه دوم تولید می کند) P(A/ب 1) = 2/3; ب 2 – قطعه توسط دستگاه دوم تولید شده است و P(B 2) = 1/3.
احتمال مشروط بودن قطعه با کیفیت عالی در صورت تولید اولین ماشین، P(A/ب 1)=0,6.
احتمال مشروط بودن قطعه با کیفیت عالی در صورت تولید دستگاه دوم است P(A/ب 1)=0,84.
احتمال اینکه قطعه ای که به صورت تصادفی گرفته شده است با کیفیت عالی مطابق فرمول احتمال کل برابر است با
P(A)=P(B 1) ∙P(A/ب 1)+P(B 2) ∙P(A/ب 2)=2/3·0.6+1/3·0.84 = 0.68.
احتمال لازم برای تولید قطعه عالی انتخاب شده توسط دستگاه اول طبق فرمول بیز برابر است با

مسئله 1.19. سه دسته از قطعات وجود دارد که هر کدام شامل 20 قسمت است. تعداد قطعات استاندارد در دسته اول، دوم و سوم به ترتیب 20، 15، 10 قطعه است. قطعه ای که استاندارد بود به طور تصادفی از دسته انتخابی حذف شد. قطعات به دسته برگردانده می شوند و یک قطعه به طور تصادفی از همان دسته خارج می شود که استاندارد نیز می شود. احتمال حذف قطعات از دسته سوم را پیدا کنید.
راه حل. اجازه دهید با نشان دادن آرویداد - در هر یک از دو آزمایش (با بازگشت)، یک بخش استاندارد بازیابی شد. سه فرض (فرضیه) را می توان مطرح کرد: ب 1 - قطعات از دسته اول حذف می شوند که در 2 - قطعات از دسته دوم حذف می شوند، که در 3- قطعات از دسته سوم جدا می شوند.
قطعات به صورت تصادفی از یک دسته معین استخراج شده اند، بنابراین احتمالات فرضیه ها یکسان است: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
بیایید احتمال شرطی را پیدا کنیم P(A/ب 1) یعنی این احتمال وجود دارد که دو قطعه استاندارد به طور متوالی از دسته اول حذف شوند. این رویداد قابل اعتماد است، زیرا در دسته اول همه قطعات استاندارد هستند، بنابراین P(A/ب 1) = 1.
بیایید احتمال شرطی را پیدا کنیم P(A/ب 2) یعنی احتمال اینکه دو قسمت استاندارد به طور متوالی از دسته دوم حذف شوند (و برگردانده شوند): P(A/ب 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
بیایید احتمال شرطی را پیدا کنیم P(A/ب 3) یعنی احتمال اینکه دو قسمت استاندارد به طور متوالی از دسته سوم حذف شوند (و برگردانده شوند): P(A/ب 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
احتمال مورد نظر که هر دو قطعه استاندارد استخراج شده از دسته سوم، طبق فرمول بیز، برابر است با

1.2.7. تست های مکرر

در صورت انجام چندین آزمایش و احتمال وقوع آدر هر آزمون به نتایج سایر آزمون ها بستگی ندارد، سپس چنین آزمون هایی نامیده می شود مستقل با توجه به رویداد A.در محاکمه های مستقل مختلف این رویداد آممکن است یا احتمالات متفاوت یا احتمال یکسانی داشته باشد. ما بیشتر تنها چنین تست های مستقلی را در نظر خواهیم گرفت که در آن رویداد آهمین احتمال را دارد
بذار تولید بشه پمحاکمه های مستقل، که در هر یک از این رویداد آممکن است ظاهر شود یا نباشد. اجازه دهید قبول کنیم که احتمال یک رویداد را فرض کنیم آدر هر آزمایشی یکسان است، یعنی برابر است آر.بنابراین، احتمال وقوع رویداد وجود ندارد آدر هر آزمایش نیز ثابت و برابر است با 1- آر.این طرح احتمالی نامیده می شود طرح برنولی. بیایید وظیفه خود را محاسبه کنیم که احتمال اینکه چه زمانی باشد پرویداد آزمون برنولی آبه حقیقت خواهد پیوست کیک بار ( ک- تعداد موفقیت ها) و بنابراین محقق نخواهد شد پ-یک بار. لازم به ذکر است که این رویداد الزامی نیست آدقیقا تکرار شد کبارها در یک توالی خاص احتمال مورد نظر را نشان می دهیم R p (k). به عنوان مثال، نماد آر 5(3) به معنای احتمال این است که در پنج آزمایش، رویداد دقیقاً 3 بار ظاهر شود و بنابراین 2 بار رخ ندهد.
مشکل مطرح شده را می توان با استفاده از به اصطلاح حل کرد فرمول های برنولیکه به نظر می رسد:
.
مسئله 1.20.احتمال اینکه مصرف برق در طول یک روز از هنجار تعیین شده تجاوز نکند برابر است آر= 0.75. این احتمال را پیدا کنید که در 6 روز آینده، مصرف برق به مدت 4 روز از حد نرمال فراتر نرود.
راه حل.احتمال مصرف نرمال انرژی در هر 6 روز ثابت و برابر است آر= 0.75. در نتیجه، احتمال مصرف بیش از حد انرژی در هر روز نیز ثابت و برابر است q= 1–آر=1–0,75=0,25.
احتمال لازم طبق فرمول برنولی برابر است با
.
مسئله 1.21. دو شطرنج باز مساوی شطرنج بازی می کنند. چه چیزی محتمل تر است: بردن دو بازی از چهار یا سه بازی از شش بازی (تساوی در نظر گرفته نمی شود)؟
راه حل. شطرنج بازان برابر در حال بازی هستند، بنابراین احتمال برنده شدن وجود دارد آر= 1/2، بنابراین، احتمال باخت qنیز برابر با 1/2 است. زیرا در همه بازی ها احتمال برنده شدن ثابت است و فرقی نمی کند که بازی ها در چه ترتیبی برنده شوند، پس فرمول برنولی قابل اجرا است.
بیایید احتمال برنده شدن دو بازی از چهار بازی را پیدا کنیم:

بیایید احتمال برنده شدن سه بازی از شش بازی را پیدا کنیم:

زیرا پ 4 (2) > پ 6 (3)، پس احتمال برد دو بازی از چهار بازی بیشتر از سه از شش بازی است.
با این حال، می توان مشاهده کرد که با استفاده از فرمول برنولی برای مقادیر بزرگ nبسیار دشوار است، زیرا فرمول به عملیات بر روی اعداد زیاد نیاز دارد و بنابراین خطاها در طول فرآیند محاسبه جمع می شوند. در نتیجه، نتیجه نهایی ممکن است به طور قابل توجهی با نتیجه واقعی متفاوت باشد.
برای حل این مشکل، چندین قضیه حدی وجود دارد که برای تعداد زیادی آزمون استفاده می شود.
1. قضیه پواسون
هنگام انجام تعداد زیادی آزمایش با استفاده از طرح برنولی (با n=> ∞) و با تعداد کمی از نتایج مطلوب ک(فرض بر این است که احتمال موفقیت است پکوچک)، فرمول برنولی به فرمول پواسون نزدیک می شود
.
مثال 1.22.احتمال نقص زمانی که یک شرکت یک واحد محصول تولید می کند برابر است با پ=0.001. احتمال اینکه هنگام تولید 5000 واحد محصول کمتر از 4 عدد از آنها معیوب باشد چقدر است (رویداد آ راه حل. زیرا nبزرگ است، از قضیه محلی لاپلاس استفاده می کنیم:

بیایید محاسبه کنیم ایکس:
تابع - زوج، بنابراین φ(-1.67) = φ(1.67).
با استفاده از جدول ضمیمه A.1، φ(1.67) = 0.0989 را پیدا می کنیم.
احتمال مورد نیاز پ 2400 (1400) = 0,0989.
3. قضیه انتگرال لاپلاس
اگر احتمال آروقوع یک رویداد آدر هر آزمایش بر اساس طرح برنولی ثابت و متفاوت از صفر و یک است، سپس با تعداد زیادی آزمایش n، احتمال R p (k 1 ، ک 2) وقوع واقعه آدر این تست ها از ک 1 به ک 2 برابر تقریبا مساوی
R p(ک 1 ، ک 2) = Φ ( ایکس"") – Φ ( ایکس")، جایی که
- تابع لاپلاس،

انتگرال معین در تابع لاپلاس را نمی توان بر روی کلاس توابع تحلیلی محاسبه کرد، بنابراین از جدول برای محاسبه آن استفاده می شود. بند 2 در پیوست آورده شده است.
مثال 1.24.احتمال وقوع یک رویداد در هر صد آزمایش مستقل ثابت و برابر است پ= 0.8. احتمال ظاهر شدن رویداد را بیابید: الف) حداقل 75 بار و نه بیشتر از 90 بار. ب) حداقل 75 بار؛ ج) بیش از 74 بار نباشد.
راه حل. بیایید از قضیه انتگرال لاپلاس استفاده کنیم:
R p(ک 1 ، ک 2) = Φ ( ایکس"") – Φ( ایکس"، جایی که Ф( ایکس) – تابع لاپلاس،

الف) با توجه به شرایط، n = 100, پ = 0,8, q = 0,2, ک 1 = 75, ک 2 = 90. بیایید محاسبه کنیم ایکس""و ایکس" :


با توجه به اینکه تابع لاپلاس فرد است، یعنی. F(- ایکس) = – Ф( ایکس)، ما گرفتیم
پ 100 (75;90) = Ф (2.5) – Ф(–1.25) = Ф(2.5) + Ф(1.25).
طبق جدول P.2. ما برنامه های کاربردی را پیدا خواهیم کرد:
F(2،5) = 0.4938; F(1.25) = 0.3944.
احتمال مورد نیاز
پ 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
ب) شرط ظاهر شدن یک رویداد حداقل 75 بار به این معنی است که تعداد وقوع رویداد می تواند 75 یا 76 یا ... یا 100 باشد. بنابراین در مورد مورد بررسی باید آن را پذیرفت. ک 1 = 75، ک 2 = 100. سپس

.
طبق جدول P.2. برنامه ما پیدا می کنیم Ф(1.25) = 0.3944; Ф(5) = 0.5.
احتمال مورد نیاز
پ 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
ج) رویداد - " آحداقل 75 بار ظاهر شد" و " آبیش از 74 بار ظاهر نشده اند" مخالف هستند، بنابراین مجموع احتمالات این رویدادها برابر با 1 است. بنابراین، احتمال مورد نظر وجود دارد.
پ 100 (0;74) = 1 – پ 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

نظریه احتمال، مانند هر شاخه ای از ریاضیات، با طیف خاصی از مفاهیم عمل می کند. بیشتر مفاهیم تئوری احتمالات یک تعریف ارائه می شود، اما برخی از آنها به عنوان اولیه، تعریف نشده، مانند یک نقطه، یک خط مستقیم، یک صفحه در هندسه در نظر گرفته می شوند. مفهوم اولیه نظریه احتمال یک رویداد است. رویداد چیزی است که پس از یک مقطع زمانی معین، تنها یکی از دو چیز را می توان درباره آن گفت:

• · بله، این اتفاق افتاد.
• · نه، این اتفاق نیفتاد.

مثلا من یک بلیط قرعه کشی دارم. پس از انتشار نتایج قرعه کشی، رویداد مورد علاقه من - برنده شدن هزار روبل - یا اتفاق می افتد یا نمی افتد. هر رویدادی در نتیجه یک آزمایش (یا تجربه) رخ می دهد. آزمون (یا تجربه) به شرایطی اشاره دارد که در نتیجه یک رویداد رخ می دهد. به عنوان مثال، پرتاب یک سکه یک آزمایش است و ظاهر شدن یک نشان روی آن یک رویداد است. یک رویداد معمولاً با حروف بزرگ لاتین نشان داده می شود: A,B,C,…. رویدادهای دنیای مادی را می توان به سه دسته تقسیم کرد - قابل اعتماد، غیرممکن و تصادفی.

یک رویداد معین رویدادی است که از قبل مشخص شده است که رخ می دهد. با حرف W نشان داده می شود. بنابراین، قابل اطمینان است که هنگام پرتاب یک تاس معمولی بیش از شش نقطه ظاهر نمی شود، هنگامی که از یک کوزه حاوی فقط توپ های سفید خارج می شود، ظاهر یک توپ سفید ظاهر می شود و غیره.

یک رویداد غیرممکن، رویدادی است که از قبل مشخص شده باشد که اتفاق نخواهد افتاد. با حرف E مشخص می شود. نمونه هایی از رویدادهای غیرممکن عبارتند از کشیدن بیش از چهار آس از یک عرشه کارت معمولی، کشیدن یک توپ قرمز از یک کوزه حاوی فقط توپ های سفید و سیاه و غیره.

یک رویداد تصادفی رویدادی است که ممکن است در نتیجه یک آزمایش رخ دهد یا نباشد. وقایع الف و ب در صورتی ناسازگار نامیده می شوند که وقوع یکی از آنها امکان وقوع دیگری را منتفی کند. بنابراین، ظهور هر تعداد امتیاز ممکن هنگام پرتاب یک قالب (رویداد A) با ظاهر یک عدد دیگر (رویداد B) ناسازگار است. چرخاندن تعداد زوج با چرخاندن یک عدد فرد ناسازگار است. برعکس، چرخاندن یک عدد زوج (رویداد A) و تعدادی نقطه که مضرب سه است (رویداد B) ناسازگار نخواهد بود، زیرا چرخاندن شش نقطه به معنای وقوع هر دو رویداد A و رویداد B است. وقوع یکی از آنها منتفی از وقوع دیگری نیست. شما می توانید عملیات را روی رویدادها انجام دهید. اتحاد دو رویداد C=AUB یک رویداد C است که اگر و فقط اگر حداقل یکی از این رویدادهای A و B رخ دهد اتفاق می افتد.تقاطع دو رویداد D=A?? B رویدادی است که اگر و فقط اگر رویداد A و B هر دو رخ دهند رخ می دهد.