مشتق ریشه x را پیدا کنید. مشتق را بیابید: الگوریتم و مثال هایی از راه حل ها

دستورالعمل ها

قبل از یافتن مشتق ریشه، به سایر توابع موجود در مثال در حال حل توجه کنید. اگر مسئله دارای عبارات رادیکال زیادی است، از قانون زیر برای یافتن مشتق جذر استفاده کنید:

(√x)" = 1 / 2√x.

و برای پیدا کردن مشتق ریشه مکعب از فرمول استفاده کنید:

(³√x)" = 1/3(³√x)²،

که در آن ³√x نشان دهنده ریشه مکعب x است.

اگر برای تمایز، متغیری در کسری وجود دارد، ریشه را با توان مناسب به تابع توان تبدیل کنید. برای ریشه مربع توان ½ و برای ریشه مکعب ⅓ خواهد بود:

√x = x^½،
³√х = x ^ ⅓،

که در آن ^ نشان دهنده توان است.

برای یافتن مشتق تابع توان به طور کلی و x^1، x^⅓ به طور خاص، از قانون زیر استفاده کنید:

(x^n)" = n * x^(n-1).

برای مشتق ریشه، این رابطه به این معناست:

(x^½)" = ½ x ^ (-½) و
(x^⅓)" = ⅓ x ^ (-⅔).

با تفکیک همه چیز، به بقیه مثال ها با دقت نگاه کنید. اگر یک عبارت بسیار دست و پا گیر در پاسخ خود دارید، احتمالاً می توانید آن را ساده کنید. ساختار اکثر نمونه های مدرسه به گونه ای است که نتیجه نهایی یک عدد کوچک یا یک عبارت فشرده است.

در بسیاری از مسائل مشتق، ریشه ها (مربع و مکعب) همراه با توابع دیگر یافت می شوند. برای پیدا کردن مشتق ریشه در این مورد، از قوانین زیر استفاده کنید:
مشتق یک ثابت (عدد ثابت، C) برابر با صفر است: C" = 0.
عامل ثابت از علامت مشتق خارج می شود: (k*f)" = k * (f)" (f یک تابع دلخواه است).
مشتق مجموع چندین تابع برابر است با مجموع مشتقات: (f + g)" = (f)" + (g)";
مشتق حاصل ضرب دو تابع برابر است با... نه، حاصل ضرب مشتقات نیست، بلکه عبارت زیر است: (fg)" = (f)"g + f (g)";
مشتق ضریب نیز با بهره مشتقات برابر نیست، اما طبق قانون زیر یافت می شود: (f/g)" = ((f)"g – f(g)") / g².

توجه داشته باشید

در این صفحه می توانید مشتق یک تابع را به صورت آنلاین محاسبه کنید و یک راه حل دقیق برای مسئله به دست آورید. حل مشتقات یک تابع با استفاده از قوانین تمایز که دانش آموزان در دوره تجزیه و تحلیل ریاضی در موسسه مطالعه می کنند ساخته شده است. برای یافتن مشتق یک تابع، باید تابع را برای تمایز در قسمت "Function" طبق قوانین ورود داده وارد کنید.

مشاوره مفید

مشتق تابع حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان است وقتی که افزایش آرگومان به سمت صفر میل می کند: درک معنای ریاضی این تعریف چندان آسان نیست، زیرا در یک مکتب درس جبر مفهوم حد تابع یا اصلا مطالعه نشده است یا بسیار سطحی مطالعه می شود. اما برای یادگیری نحوه یافتن مشتقات توابع مختلف، این لازم نیست.

منابع:

• ریشه مشتق از x

1. حالت کلی فرمول مشتق ریشه یک درجه دلخواه- کسری که در صورت آن یک وجود دارد و در مخرج عددی برابر با توان ریشه ای که مشتق برای آن محاسبه شده است ضرب در ریشه همان توان است که بیان رادیکال آن متغیری است در قدرت ریشه ای که مشتق برای آن محاسبه شده است، یک کاهش می یابد
2. مشتق ریشه مربع- یک مورد خاص از فرمول قبلی است. مشتق جذر xکسری است که صورت آن یک و مخرج آن دو برابر جذر x است
3. مشتق از ریشه مکعب، همچنین یک مورد خاص از فرمول عمومی. مشتق ریشه مکعب یک تقسیم بر سه ریشه مکعب x مربع است.

در زیر تبدیل هایی وجود دارد که توضیح می دهد چرا فرمول های یافتن مشتقات ریشه های مربع و مکعب دقیقاً مشابه شکل نشان داده شده است.

البته لازم نیست این فرمول ها را به هیچ وجه به خاطر بسپارید، اگر در نظر بگیرید که استخراج ریشه یک توان مشتق مانند بالا بردن کسری است که مخرج آن برابر با همان توان است. سپس یافتن مشتق ریشه به استفاده از فرمول برای یافتن مشتق توان کسری مربوطه کاهش می یابد..

مشتق یک متغیر زیر جذر

توضیح:
(√x)" = (x 1/2)"

ریشه دوم دقیقاً همان عملیاتی است که به توان 1/2 افزایش می دهد.این بدان معنی است که برای یافتن مشتق یک ریشه، می توانید فرمول قانون پیدا کردن مشتق یک متغیر را به یک توان دلخواه اعمال کنید:

(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

مشتق ریشه مکعب (مشتق ریشه سوم)

بیایید ریشه مکعب را به عنوان توان 1/3 تصور کنیم و مشتق را با استفاده از قوانین کلی تمایز پیدا کنیم. فرمول مختصر را می توان در تصویر بالا مشاهده کرد و در زیر توضیحی در مورد چرایی این امر ارائه شده است.

توان -2/3 با کم کردن یک از 1/3 به دست می آید

اشتقاق فرمول مشتق تابع توان (x به توان a). مشتقات از ریشه x در نظر گرفته می شوند. فرمول مشتق تابع توان مرتبه بالاتر. نمونه هایی از محاسبه مشتقات.

همچنین ببینید: تابع قدرت و ریشه ها، فرمول ها و نمودار
نمودارهای تابع قدرت

فرمول های پایه

مشتق x به توان a برابر است ضربدر x به توان منهای یک:
(1) .

مشتق n ام ریشه x به توان m ام است:
(2) .

استخراج فرمول مشتق تابع توان

مورد x > 0

تابع توان متغیر x را با توان a در نظر بگیرید:
(3) .
در اینجا a یک عدد واقعی دلخواه است. بیایید ابتدا مورد را در نظر بگیریم.

برای یافتن مشتق تابع (3)، از ویژگی های تابع توان استفاده می کنیم و آن را به شکل زیر تبدیل می کنیم:
.

اکنون مشتق را با استفاده از:
;
.
اینجا .

فرمول (1) ثابت شده است.

اشتقاق فرمول مشتق یک ریشه درجه n از x به درجه m

حالا تابعی را در نظر بگیرید که ریشه شکل زیر است:
(4) .

برای یافتن مشتق، ریشه را به تابع توان تبدیل می کنیم:
.
در مقایسه با فرمول (3) می بینیم که
.
سپس
.

با استفاده از فرمول (1) مشتق را پیدا می کنیم:
(1) ;
;
(2) .

در عمل نیازی به حفظ فرمول (2) نیست. خیلی راحت‌تر است که ابتدا ریشه‌ها را به توابع قدرت تبدیل کنید و سپس مشتقات آنها را با استفاده از فرمول (1) پیدا کنید (به مثال‌ها در انتهای صفحه مراجعه کنید).

مورد x = 0

اگر، تابع توان برای مقدار متغیر x = تعریف می شود 0 . بیایید مشتق تابع (3) را در x = پیدا کنیم 0 . برای این کار از تعریف مشتق استفاده می کنیم:
.

بیایید x = را جایگزین کنیم 0 :
.
در این مورد منظور ما از مشتق حد سمت راست است که برای آن .

بنابراین یافتیم:
.
از اینجا مشخص است که برای , .
در , .
در , .
این نتیجه نیز از فرمول (1) به دست می آید:
(1) .
بنابراین، فرمول (1) برای x = نیز معتبر است 0 .

مورد x< 0

دوباره تابع (3) را در نظر بگیرید:
(3) .
برای مقادیر معینی از ثابت a، برای مقادیر منفی متغیر x نیز تعریف شده است. یعنی یک عدد گویا باشد. سپس می توان آن را به عنوان یک کسر تقلیل ناپذیر نشان داد:
,
که در آن m و n اعداد صحیحی هستند که مقسوم علیه مشترک ندارند.

اگر n فرد باشد، تابع توان نیز برای مقادیر منفی متغیر x تعریف می شود. به عنوان مثال، زمانی که n = 3 و m = 1 ما ریشه مکعب x را داریم:
.
همچنین برای مقادیر منفی متغیر x تعریف شده است.

اجازه دهید مشتق تابع توان (3) را برای و برای مقادیر گویا ثابت a که برای آن تعریف شده است، پیدا کنیم. برای انجام این کار، x را به شکل زیر نشان می دهیم:
.
سپس ،
.
ما مشتق را با قرار دادن ثابت خارج از علامت مشتق و اعمال قانون تمایز یک تابع مختلط پیدا می کنیم:

.
اینجا . ولی
.
از آن به بعد
.
سپس
.
یعنی فرمول (1) برای موارد زیر نیز معتبر است:
(1) .

مشتقات مرتبه بالاتر

حال بیایید مشتقات مرتبه بالاتر تابع توان را پیدا کنیم
(3) .
ما قبلا مشتق مرتبه اول را پیدا کرده ایم:
.

با گرفتن ثابت a خارج از علامت مشتق، مشتق مرتبه دوم را پیدا می کنیم:
.
به طور مشابه، مشتقات مرتبه سوم و چهارم را می یابیم:
;

.

از اینجا معلوم است که مشتق از مرتبه n دلخواهدارای فرم زیر است:
.

توجه کنید که اگر a یک عدد طبیعی باشد، پس مشتق nام ثابت است:
.
سپس تمام مشتقات بعدی برابر با صفر هستند:
,
در .

نمونه هایی از محاسبه مشتقات

مثال

مشتق تابع را پیدا کنید:
.

بیایید ریشه ها را به توان تبدیل کنیم:
;
.
سپس تابع اصلی به شکل زیر در می آید:
.

یافتن مشتقات قدرت:
;
.
مشتق ثابت صفر است:
.

عملیات یافتن مشتق را تمایز می گویند.

در نتیجه حل مشکلات یافتن مشتقات ساده ترین (و نه خیلی ساده) توابع با تعریف مشتق به عنوان حد نسبت افزایش به افزایش استدلال، جدولی از مشتقات و قوانین دقیقاً تعریف شده تمایز ظاهر شد. . اولین کسانی که در زمینه یافتن مشتقات کار کردند، اسحاق نیوتن (1643-1727) و گوتفرید ویلهلم لایب نیتس (1646-1716) بودند.

بنابراین، در زمان ما، برای یافتن مشتق هر تابع، نیازی به محاسبه حد فوق الذکر از نسبت افزایش تابع به افزایش آرگومان نیست، بلکه فقط باید از جدول استفاده کنید. مشتقات و قواعد تمایز. الگوریتم زیر برای یافتن مشتق مناسب است.

برای یافتن مشتق، به یک عبارت زیر علامت اول نیاز دارید توابع ساده را به اجزاء تقسیم کنیدو تعیین کنید که چه اقداماتی (محصول، جمع، ضریب)این توابع مرتبط هستند. در مرحله بعد، مشتقات توابع ابتدایی را در جدول مشتقات، و فرمول های مشتقات حاصل، مجموع و ضریب را در قوانین تمایز پیدا می کنیم. جدول مشتق و قوانین تمایز پس از دو مثال اول آورده شده است.

مثال 1.مشتق تابع را بیابید

راه حل. از قواعد تمایز در می یابیم که مشتق مجموع توابع، مجموع مشتقات توابع است، یعنی.

از جدول مشتقات متوجه می شویم که مشتق "x" برابر با یک و مشتق سینوس برابر با کسینوس است. ما این مقادیر را با مجموع مشتقات جایگزین می کنیم و مشتق مورد نیاز شرط مسئله را پیدا می کنیم:

مثال 2.مشتق تابع را بیابید

راه حل. ما به عنوان مشتقی از مجموع متمایز می کنیم که جمله دوم دارای یک عامل ثابت است، می توان آن را از علامت مشتق خارج کرد:

اگر هنوز سؤالاتی در مورد اینکه چیزی از کجا آمده است، وجود دارد، معمولاً پس از آشنایی با جدول مشتقات و ساده ترین قوانین تمایز، آنها را برطرف می کنند. ما در حال حاضر به سراغ آنها می رویم.

جدول مشتقات توابع ساده

1. مشتق ثابت (عدد). هر عدد (1، 2، 5، 200...) که در عبارت تابع باشد. همیشه برابر با صفر است. یادآوری این نکته بسیار مهم است، زیرا اغلب اوقات لازم است
2. مشتق متغیر مستقل. اغلب "X". همیشه برابر با یک. این نیز مهم است که برای مدت طولانی به خاطر بسپارید
3. مشتق درجه. هنگام حل مشکلات، باید ریشه های غیر مربع را به توان تبدیل کنید.
4. مشتق یک متغیر به توان -1
5. مشتق از جذر
6. مشتق سینوس
7. مشتق کسینوس
8. مشتق مماس
9. مشتق کوتانژانت
10. مشتق آرکسین
11. مشتق آرکوزین
12. مشتق از arctangent
13. مشتق کوتانژانت قوس
14. مشتق لگاریتم طبیعی
15. مشتق تابع لگاریتمی
16. مشتق توان
17. مشتق تابع نمایی

قوانین تمایز

1. مشتق جمع یا تفاوت
2. مشتق محصول
2a. مشتق یک عبارت ضرب شده در یک عامل ثابت
3. مشتق از ضریب
4. مشتق تابع مختلط

قانون 1.اگر توابع

در نقطه ای قابل تمایز هستند، سپس توابع در همان نقطه قابل تمایز هستند

و

آن ها مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع.

نتیجه. اگر دو تابع متمایز با یک جمله ثابت متفاوت باشند، مشتقات آنها برابر است، یعنی

قانون 2.اگر توابع

در یک نقطه قابل تمایز هستند، سپس محصول آنها در همان نقطه قابل تمایز است

و

آن ها مشتق حاصل ضرب دو تابع برابر است با مجموع حاصلضرب هر یک از این توابع و مشتق دیگری.

نتیجه 1. عامل ثابت را می توان از علامت مشتق خارج کرد:

نتیجه 2. مشتق حاصلضرب چندین تابع متمایز برابر است با مجموع حاصل از مشتق هر عامل و بقیه.

به عنوان مثال، برای سه ضریب:

قانون 3.اگر توابع

قابل تمایز در یک نقطه و , سپس در این مرحله ضریب آنها نیز قابل تمایز استu/v و

آن ها مشتق ضریب دو تابع برابر کسری است که صورت آن تفاضل حاصلضرب مخرج و مشتق کسر و ممیز و مشتق مخرج و مخرج آن مجذور است. شمارنده سابق

جایی که در صفحات دیگر چیزها را جستجو کنیم

هنگام یافتن مشتق یک محصول و یک ضریب در مسائل واقعی، همیشه لازم است چندین قانون تمایز را به طور همزمان اعمال کنیم، بنابراین مثال های بیشتری در مورد این مشتقات در مقاله وجود دارد."مشتق حاصلضرب و ضریب توابع".

اظهار نظر.نباید ثابت (یعنی عدد) را به عنوان یک جمله در جمع و به عنوان یک عامل ثابت اشتباه بگیرید! در مورد جمله مشتق آن برابر با صفر و در مورد عامل ثابت از علامت مشتقات خارج می شود. این یک اشتباه معمولی است که در مرحله اولیه مطالعه مشتقات رخ می دهد، اما از آنجایی که دانش آموز عادی چندین مثال یک و دو قسمتی را حل می کند، دیگر این اشتباه را انجام نمی دهد.

و اگر، هنگام متمایز کردن یک محصول یا ضریب، یک اصطلاح دارید تو"v، که در آن تو- یک عدد، به عنوان مثال، 2 یا 5، یعنی یک ثابت، سپس مشتق این عدد برابر با صفر خواهد بود و بنابراین، کل عبارت برابر با صفر خواهد بود (این مورد در مثال 10 مورد بحث قرار گرفته است).

یکی دیگر از اشتباهات رایج حل مکانیکی مشتق یک تابع پیچیده به عنوان مشتق یک تابع ساده است. از همین رو مشتق یک تابع پیچیدهمقاله جداگانه ای اختصاص داده شده است. اما ابتدا یاد خواهیم گرفت که مشتقات توابع ساده را پیدا کنیم.

در طول مسیر، شما نمی توانید بدون تبدیل عبارات انجام دهید. برای انجام این کار، ممکن است لازم باشد دفترچه راهنما را در پنجره های جدید باز کنید. اقدامات با قدرت و ریشهو عملیات با کسری .

اگر به دنبال راه حلی برای مشتقات کسری با توان و ریشه هستید، یعنی زمانی که تابع به نظر می رسد ، سپس درس «مشتق از مجموع کسری با توان و ریشه» را دنبال کنید.

اگر کاری دارید مانند ، سپس درس "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" را خواهید گرفت.

مثال های گام به گام - چگونه مشتق را پیدا کنیم

مثال 3.مشتق تابع را بیابید

راه حل. بخش‌های عبارت تابع را تعریف می‌کنیم: کل عبارت یک محصول را نشان می‌دهد و فاکتورهای آن مجموع هستند که در دومی یکی از عبارت‌ها شامل یک عامل ثابت است. ما قانون تمایز محصول را اعمال می کنیم: مشتق حاصل ضرب دو تابع برابر است با مجموع حاصلضرب هر یک از این توابع توسط مشتق دیگری:

بعد، قاعده تمایز مجموع را اعمال می کنیم: مشتق مجموع جبری توابع برابر است با مجموع جبری مشتقات این توابع. در مورد ما، در هر جمع جمله دوم یک علامت منفی دارد. در هر جمع هم متغیر مستقلی را می بینیم که مشتق آن برابر با یک است و هم یک عدد ثابت (عددی) که مشتق آن برابر با صفر است. بنابراین، "X" به یک تبدیل می شود و منهای 5 به صفر تبدیل می شود. در عبارت دوم، "x" در 2 ضرب می شود، بنابراین ما دو را در همان واحد مشتق "x" ضرب می کنیم. مقادیر مشتق زیر را بدست می آوریم:

مشتقات یافت شده را با مجموع محصولات جایگزین می کنیم و مشتق کل تابع مورد نیاز شرط مسئله را به دست می آوریم:

و می‌توانید راه‌حل مسئله مشتق را بررسی کنید.

مثال 4.مشتق تابع را بیابید

راه حل. ما باید مشتق ضریب را پیدا کنیم. ما فرمول را برای افتراق ضریب اعمال می کنیم: مشتق ضریب دو تابع برابر با کسری است که صورت آن تفاوت بین حاصلضرب های مخرج و مشتق کسر و ممیز و مشتق آن است. مخرج، و مخرج مجذور کسر سابق است. ما گرفتیم:

ما قبلاً مشتق فاکتورهای صورت‌گر را در مثال 2 پیدا کرده‌ایم. همچنین فراموش نکنیم که حاصلضرب که دومین عامل در صورت‌گر در مثال فعلی است، با علامت منفی گرفته می‌شود:

اگر به دنبال راه‌حل‌هایی برای مشکلاتی هستید که در آنها باید مشتق یک تابع را پیدا کنید، جایی که انبوهی از ریشه‌ها و قدرت‌ها وجود دارد، مانند، برای مثال، ، سپس به کلاس خوش آمدید "مشتق از مجموع کسری با توان و ریشه" .

اگر نیاز دارید درباره مشتقات سینوس ها، کسینوس ها، مماس ها و سایر توابع مثلثاتی بیشتر بدانید، یعنی زمانی که تابع به نظر می رسد ، سپس یک درس برای شما "مشتقات توابع مثلثاتی ساده" .

مثال 5.مشتق تابع را بیابید

راه حل. در این تابع محصولی را می بینیم که یکی از عوامل آن جذر متغیر مستقل است که مشتق آن را در جدول مشتقات با آن آشنا کردیم. با استفاده از قانون تمایز حاصلضرب و مقدار جدولی مشتق جذر، به دست می آوریم:

می توانید راه حل مسئله مشتق را در اینجا بررسی کنید ماشین حساب مشتقات آنلاین .

مثال 6.مشتق تابع را بیابید

راه حل. در این تابع ضریبی را می بینیم که سود تقسیمی آن جذر متغیر مستقل است. با استفاده از قاعده تمایز ضرایب که در مثال 4 تکرار و اعمال کردیم و مقدار جدولی مشتق جذر، به دست می آوریم:

برای خلاص شدن از کسری در صورت، صورت و مخرج را در ضرب کنید.

توابع از نوع پیچیده همیشه با تعریف یک تابع پیچیده مطابقت ندارند. اگر تابعی به شکل y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 وجود داشته باشد، بر خلاف y = sin 2 x نمی توان آن را پیچیده در نظر گرفت.

این مقاله مفهوم یک تابع پیچیده و شناسایی آن را نشان می دهد. بیایید با فرمول هایی برای یافتن مشتق با مثال هایی از راه حل ها در نتیجه گیری کار کنیم. استفاده از جدول مشتق و قوانین تمایز به طور قابل توجهی زمان برای یافتن مشتق را کاهش می دهد.

تعاریف اساسی

تابع مختلط تابعی است که آرگومان آن تابع نیز باشد.

به این صورت نشان داده می شود: f (g (x)). داریم که تابع g (x) آرگومان f در نظر گرفته می شود (g (x)).

تعریف 2

اگر یک تابع f وجود داشته باشد و یک تابع کتانژانت باشد، آنگاه g(x) = ln x تابع لگاریتم طبیعی است. دریافتیم که تابع مختلط f (g (x)) به صورت arctg(lnx) نوشته خواهد شد. یا یک تابع f، که تابعی است که به توان 4 افزایش یافته است، که در آن g (x) = x 2 + 2 x - 3 یک تابع منطقی کامل در نظر گرفته می شود، به دست می آوریم که f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

بدیهی است که g(x) می تواند پیچیده باشد. از مثال y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 واضح است که مقدار g دارای ریشه مکعب کسری است. این عبارت را می توان با y = f (f 1 (f 2 (x)) نشان داد. از آنجا که f یک تابع سینوسی است، و f 1 تابعی است که در زیر جذر قرار دارد، f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 یک تابع گویا کسری است.

تعریف 3

درجه تودرتو با هر عدد طبیعی تعیین می شود و به صورت y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) نوشته می شود.

تعریف 4

مفهوم ترکیب تابع به تعداد توابع تو در تو با توجه به شرایط مسئله اشاره دارد. برای حل، از فرمول برای یافتن مشتق تابع مختلط از فرم استفاده کنید

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

مثال ها

مشتق تابع مختلط به شکل y = (2 x + 1) 2 را بیابید.

راه حل

شرط نشان می دهد که f یک تابع مربع است و g(x) = 2 x + 1 یک تابع خطی در نظر گرفته می شود.

بیایید فرمول مشتق را برای یک تابع مختلط اعمال کنیم و بنویسیم:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g" (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

لازم است مشتق را با شکل اصلی ساده شده تابع پیدا کنید. ما گرفتیم:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

از اینجا ما آن را داریم

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

نتایج یکسان بود.

هنگام حل مسائل از این نوع، مهم است که بدانیم تابع شکل f و g (x) در کجا قرار خواهد گرفت.

مثال 2

شما باید مشتقات توابع مختلط به شکل y = sin 2 x و y = sin x 2 را پیدا کنید.

راه حل

نماد تابع اول می گوید که f تابع مربع و g(x) تابع سینوس است. سپس ما آن را دریافت می کنیم

y " = ( گناه 2 x) " = 2 گناه 2 - 1 x (سین x) " = 2 گناه x cos x

ورودی دوم نشان می دهد که f یک تابع سینوسی است و g(x) = x 2 یک تابع توان را نشان می دهد. نتیجه می شود که حاصل ضرب یک تابع مختلط را به صورت می نویسیم

y " = (سین x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

فرمول مشتق y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) به صورت y " = f " نوشته می شود (f 1 (f 2 (f 3 (. .. (f n (x)))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2" (f 3 (. . . (f n (x) )))) · . . . fn "(x)

مثال 3

مشتق تابع y = sin را بیابید (ln 3 a r c t g (2 x)).

راه حل

این مثال دشواری نوشتن و تعیین محل توابع را نشان می دهد. سپس y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) نشان می دهد که در آن f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) تابع سینوس است، تابع افزایش تا 3 درجه، تابع با لگاریتم و پایه e، تابع قطبی و خطی.

از فرمول تعریف تابع مختلط داریم که

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

ما آنچه را که باید پیدا کنیم به دست می آوریم

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) به عنوان مشتق سینوس مطابق جدول مشتقات، سپس f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x))))) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 3 (f 4 (x)))) به عنوان مشتق تابع توان، سپس f 1" (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) به عنوان یک مشتق لگاریتمی، سپس f 2" (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) به عنوان مشتق تانژانت، سپس f 3" (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. هنگام یافتن مشتق f 4 (x) = 2 x، 2 را از علامت مشتق با استفاده از فرمول مشتق تابع توان با توانی برابر با 1 حذف کنید، سپس f 4 "(x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

ما نتایج میانی را ترکیب می کنیم و به آن می رسیم

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2" (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

تجزیه و تحلیل چنین عملکردهایی یادآور عروسک های تودرتو است. قوانین تمایز را نمی توان همیشه به طور صریح با استفاده از جدول مشتق اعمال کرد. اغلب شما نیاز به استفاده از فرمولی برای یافتن مشتقات توابع پیچیده دارید.

تفاوت هایی بین ظاهر پیچیده و عملکردهای پیچیده وجود دارد. با داشتن توانایی واضح در تشخیص این، یافتن مشتقات بسیار آسان خواهد بود.

مثال 4

ذکر چنین مثالی ضروری است. اگر تابعی به شکل y = t g 2 x + 3 t g x + 1 وجود داشته باشد، می توان آن را به عنوان یک تابع مختلط از شکل g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 در نظر گرفت. . بدیهی است که استفاده از فرمول برای مشتق پیچیده ضروری است:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) "+ 1" = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 tg x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f" (g (x)) g" (x) = (2 tg x + 3) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

تابعی به شکل y = t g x 2 + 3 t g x + 1 پیچیده در نظر گرفته نمی شود، زیرا دارای مجموع tg x 2، 3 tg x و 1 است. با این حال، t g x 2 یک تابع مختلط در نظر گرفته می شود، سپس یک تابع توانی به شکل g (x) = x 2 و f به دست می آوریم که یک تابع مماس است. برای انجام این کار، بر اساس مقدار متمایز کنید. ما آن را دریافت می کنیم

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

بیایید به یافتن مشتق یک تابع مختلط (t g x 2) ادامه دهیم:

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2)" = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g" (x) = 2 x cos 2 (x 2)

دریافت می کنیم که y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

توابع از نوع پیچیده را می توان در توابع پیچیده گنجاند و توابع پیچیده خود می توانند اجزای توابع از نوع پیچیده باشند.

مثال 5

به عنوان مثال، یک تابع مختلط به شکل y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) را در نظر بگیرید.

این تابع را می توان به صورت y = f (g (x)) نشان داد، که در آن مقدار f تابعی از لگاریتم پایه 3 است و g (x) مجموع دو تابع شکل h (x) = در نظر گرفته می شود. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 و k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . بدیهی است که y = f (h (x) + k (x)).

تابع h(x) را در نظر بگیرید. این نسبت l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 به m (x) = e x 2 + 3 3 است

داریم که l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) مجموع دو تابع n (x) = x 2 + 7 و p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) ، که در آن p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) یک تابع مختلط با ضریب عددی 3 است و p 1 یک تابع مکعب است. p 2 توسط یک تابع کسینوس، p 3 (x) = 2 x + 1 توسط یک تابع خطی.

دریافتیم که m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) مجموع دو تابع q (x) = e x 2 و r (x) = 3 3 است، که در آن q (x) = q 1 (q 2 (x)) یک تابع مختلط است، q 1 یک تابع با نمایی است، q 2 (x) = x 2 یک تابع توان است.

این نشان می دهد که h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

وقتی به یک عبارت به شکل k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x) حرکت می کنیم، واضح است که تابع به شکل یک s مختلط ارائه می شود ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) با یک عدد صحیح گویا t (x) = x 2 + 1، که در آن s 1 یک تابع مربع است و s 2 (x) = ln x لگاریتمی با پایه e.

نتیجه این است که عبارت به شکل k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) خواهد بود.

سپس ما آن را دریافت می کنیم

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

بر اساس ساختار تابع، مشخص شد که چگونه و از چه فرمول هایی برای ساده کردن عبارت هنگام متمایز کردن آن باید استفاده شود. برای آشنایی با چنین مسائلی و مفهوم حل آنها باید به تمایز یک تابع یعنی یافتن مشتق آن رجوع کرد.

در صورت مشاهده خطایی در متن، لطفاً آن را برجسته کرده و Ctrl+Enter را فشار دهید