انتگرال های چندگانه (مسائل و تمرین ها). انتگرال های چندگانه مختصات مرکز جرم یک شکل مسطح

Def . اجازه دهید ،
,

.

یک مجموعه را یک بازه بسته یا یک نوار بسته در می نامند .

مجموعه بازه باز نامیده می شود

یا یک پرتو باز در .

Def . اندازه گیری فواصل و مقدار نامیده می شود:

(دقیق تر
).

Def . اگر
به طوری که
سپس فاصله منحط و
.

ویژگی های اندازه گیری شکاف:

آ). مثبت بودن:
، و
آن وقت و تنها زمانی که - منحط

ب). همگنی مثبت: .

V). قابلیت افزایشی:

* برای
به طوری که
;

* برای
و

.

ز). یکنواختی اندازه گیری: .

Def . قطر تیر (شکاف) مقدار:

توجه داشته باشید که
و
- این یک چیز نیست. به عنوان مثال، اگر - پس منحط
،آ
(به طور کلی).

که در آن: * ؛

* ;*
.

Def . کلیت
زیر بازه های بازه پارتیشن فاصله ای نامیده می شود ، اگر: *;

*
; *
; *
; *
.

اندازه
پارامتر پارتیشن نامیده می شود پ(که در آن
).

Def . تقسیم شدن پالایش پارتیشن نامیده می شود ، اگر تمام عناصر پارتیشن با پارتیشن بندی عناصر پارتیشن به دست می آید .

نشان داده شده توسط:
. می خواند: کوچکتر یا بزرگتر .

برای نسبت "بزرگتر - کوچکتر" موارد زیر صادق است:

*. گذرا – ; *.
;

*.


; *.

|
.

§. تعریف انتگرال چندگانه

اجازه دهید
- الوار (شکاف) در ,
- پارتیشن بندی شکاف من. در هر بازه پارتیشن نقطه را علامت گذاری کنید
.

ما گرفتیم
پارتیشن با نقاط مشخص شده برای
.

اندازه
مجموع انتگرال ریمان برای تابع نامیده می شود f (ایکس) در فاصله زمانی من توسط پارتیشن با نقاط مشخص شده
.

Def :
=
=
.

تعیین کردن - بسیاری از عملکردها روی پرتو یکپارچه شده اند من بیا بنویسیم:

Def : ε > 0 δ>0<.

اگر برای تابع f(ایکس) بر منو پارتیشن ها
- نشان دادن با
- بزرگترین و کوچکترین مقدار تابع f(ایکس) بر من کسپس مقادیر
=
و
=
به مجموع داربوکس پایین و بالایی می گویند.

§. معیار داربوکس برای وجود انتگرال چندگانه.

تی 0 . برای عملکرد
روی پرتو ادغام شد (آنها
) لازم و کافی است تا

. Δ▲.

ادغام یک تابع بر روی یک پرتو در فضای اقلیدسی تعریف شده است. چگونه می توان یک تابع را روی یک مجموعه محدود دلخواه از فضای اقلیدسی ادغام کرد؟

اجازه دهید انتگرال تابع را تعریف کنیم f توسط بسیاری
.

Def : اجازه دهید
و
- محدود، یعنی
. تابع
تابع مشخصه مجموعه را می نامیم م.

سپس:
≡
.

تعریف مجموعه انتگرال بستگی به این ندارد که کدام پرتو را شامل می شود مانتخاب شده، یعنی

.

این بدان معنی است که تعریف انتگرال بر روی یک مجموعه درست است.

شرط لازم برای یکپارچگی.برای عملکرد f(ایکس) بر مادغام پذیر بودن لازم است که f(ایکس) محدود شد به م. Δ▲.

§. ویژگی های انتگرال های چندگانه

1  . خطی بودن: بسیاری آر متوابع قابل ادغام در یک مجموعه M –خطی

فضا، و
- عملکردی خطی

2  . شرایط عادی سازی:
. شکل دیگری از ورود
اساساً اندازه یک مجموعه دلخواه را از فضای اقلیدسی تعیین می کند.

3  . اگر یک انتگرال بر روی مجموعه ای از اندازه گیری Lebesgue صفر وجود داشته باشد، آن وقت است

برابر با صفر

توجه داشته باشید:یک دسته از ممجموعه ای از اندازه گیری لبگ صفر نامیده می شود،

اگر

به طوری که
و
.

4  . آ.;ب;

V.اگر
و - از صفر با جدا شده است م، آن

5  .
و f=g p.v. (تقریبا در همه جا) روشن است م، آن
.

6  . افزودنی: اگر
و
که

,

به طور کلی:
.

Δ. از برابری نتیجه می شود: ▲

7  . یکنواخت:
و
که
.

8  . ادغام نابرابری ها: اگر
آن

.

9  . اجازه دهید


. به منظور. واسه اینکه. برای اینکه
وجود نقطه داخلی مجموعه لازم و کافی است م، که در آن f (ایکس) > 0 و پیوسته.

10  . یکپارچگی ماژول تابع ادغام پذیر:
.

11  . قضیه مقدار میانگین:
,
بر معلامت را حفظ می کند و
، آن

.

اگر مجموعه م- منسجم و f(ایکس) – پیوسته روشن
که
به طوری که
.

12  . برای اینکه انتگرال یک تابع غیر منفی برابر با 0 باشد

لازم و کافی برای f(ایکس) = 0 تقریبا در همه جا م.

13  . قضیه فوبینیبرای انتگرال دوگانه:

اجازه دهید منطقه
- مستطیل:. سپس، به شرطی که انتگرال های منفرد داخلی وجود داشته باشند، برای یافتن انتگرال مضاعف، می توانید به یکپارچگی مکرر ادامه دهید (شکل a را ببینید):

، یا

E

توجه داشته باشید:حدود خارجی ادغام باید ثابت باشد؛ حدود داخلی ادغام ممکن است به متغیری بستگی داشته باشد که ادغام هنوز روی آن انجام نشده است.

فرمول (*) را می توان با استفاده از تابع مشخصه مجموعه به دست آورد D.

برای انتگرال چندگانه:

اجازه دهید و چند زیر مجموعه از فضاهای اقلیدسی و . اجازه دهید حاصلضرب دکارتی این مجموعه ها را که زیرمجموعه ای از فضای اقلیدسی است، تعریف کنیم
:.

سپس قضیه فوبینی برای
دارای فرم:
.

این قضیه برای تیرها نیز معتبر است ایکسو Yو برای پیکربندی های پیچیده تر.

مثال ها:

1 0 . محاسبه
، اگر مرز منطقه
توسط معادلات داده شده است:

آ).
;

2

–

.

دستور آشپزی:هنگام تنظیم محدودیت های یکپارچه سازی در یک انتگرال دوگانه، توصیه می شود با محدودیت های ادغام بیرونی شروع کنید.

3

عبور به انتگرال های تکرار شده به دست می دهد:
.

در عین حال، در یک انتگرال سه گانه، قرار دادن حدود باید با حدود داخلی ادغام آغاز شود. سپس منطقه را طرح ریزی کنید Vبه هواپیما xOy

تعیین محدودیت در منطقه D- دراز کشیدن در هواپیما xOy.

4 0 . ترتیب ادغام را در انتگرال تکراری تغییر دهید:
.

انتگرال چندگانه

انتگرال یک تابع مشخص شده در قسمتی از صفحه، در سه بعد یا n-فضای بعدی در میان K. و. تمایز بین انتگرال های دوگانه، انتگرال های سه گانه و غیره. n-انتگرال های چندگانه

اجازه دهید تابع f(x، y) در برخی مناطق داده می شود Dسطح xOy.بیایید منطقه را تقسیم کنیم Dبر nمناطق جزئی d منکه مساحت آنها برابر است مندر هر منطقه انتخاب کنید d iنقطه ( ξ i, η i) (سانتی متر. برنج. ) و جمع انتگرال را بسازید

اگر، با کاهش نامحدود در حداکثر قطر مناطق جزئی d iمقادیر اسبدون توجه به انتخاب امتیاز محدودیت داشته باشید ( ξ i, η i، سپس این حد انتگرال دوگانه تابع نامیده می شود f(x، y) بر اساس منطقه Dو نشان دهند

انتگرال سه گانه به طور مشابه تعریف می شود و به طور کلی، n-انتگرال چندگانه

برای وجود یک انتگرال دوگانه کافی است که مثلاً منطقه Dیک منطقه مربع بسته بود (نگاه کنید به منطقه مربع)، و تابع f(x، y) پیوسته در بود D. K. و. دارای تعدادی ویژگی شبیه به خصوصیات انتگرال های ساده . برای محاسبه K. و. معمولاً آن را به یک انتگرال تکراری هدایت می کند (به انتگرال تکراری مراجعه کنید). در موارد خاص برای اطلاع K. و. فرمول گرین و فرمول استروگرادسکی می توانند به عنوان انتگرال های بعد پایین عمل کنند. K. و. کاربردهای گسترده ای دارند: برای بیان حجم اجسام، جرم آنها، گشتاورهای ساکن، گشتاورهای اینرسی و غیره استفاده می شود.

دایره المعارف بزرگ شوروی. - م.: دایره المعارف شوروی. 1969-1978 .

ببینید «انتگرال چندگانه» در فرهنگ‌های دیگر چیست:

انتگرال تابعی از چندین متغیر. با استفاده از مجموع انتگرال، مشابه انتگرال قطعی یک تابع از یک متغیر تعیین می شود (به حساب انتگرال مراجعه کنید). بسته به تعداد متغیرها، دو، سه، n... ... وجود دارد. فرهنگ لغت دایره المعارفی بزرگ

انتگرال معین یک تابع متشکل از چندین متغیر. مفاهیم مختلفی از K. و وجود دارد. (انتگرال ریمان، انتگرال Lebesgue، انتگرال Lebesgue Stieltjes و غیره). انتگرال چندگانه ریمان بر اساس معیار جردن معرفی شده است.بگذارید E قابل اندازه گیری باشد... ... دایره المعارف ریاضی

در تحلیل ریاضی، انتگرال چندتایی یا چندگانه، مجموعه ای از انتگرال ها است که از متغیرها گرفته می شود. به عنوان مثال: توجه: یک انتگرال چندگانه یک انتگرال معین است، محاسبه آن همیشه به یک عدد منجر می شود. مطالب 1... ...ویکی پدیا

انتگرال تابعی از چندین متغیر. با استفاده از مجموع انتگرال، مشابه انتگرال قطعی یک تابع از یک متغیر تعیین می شود (به حساب انتگرال مراجعه کنید). بسته به تعداد متغیرها، دو، سه، n... ... وجود دارد. فرهنگ لغت دایره المعارفی

انتگرال تابعی از چندین متغیر. با استفاده از مجموع انتگرال، به طور مشابه تعریف شده است. انتگرال تابعی از یک متغیر (به حساب انتگرال مراجعه کنید). بسته به تعداد متغیرها، دو، سه، من... ... علوم طبیعی. فرهنگ لغت دایره المعارفی

نکته: در هر جایی از این مقاله که از علامت استفاده می‌شود، انتگرال ریمان (چندگانه) منظور می‌شود، مگر اینکه خلاف آن ذکر شده باشد. در همه جای این مقاله که در مورد سنجش پذیری یک مجموعه صحبت می کنیم، منظور ما اندازه گیری اردنی است، اگر نه... ... ویکی پدیا

یک انتگرال چندگانه از فرم Where، که مقدار متوسط ​​درجه 2k مدول یک مجموع مثلثاتی است. قضیه وینوگرادوف در مورد مقدار این انتگرال، قضیه مقدار میانگین، زیربنای برآوردهای حاصل از مجموع ویل است. ادبیات Vinogradova inte ... ویکی پدیا

انتگرال معین به عنوان مساحت یک شکل این اصطلاح معانی دیگری دارد، به انتگرال (معانی) مراجعه کنید. انتگرال یک تابع ... ویکی پدیا

انتگرالی که در آن انتگرال بر روی متغیرهای مختلف به صورت متوالی انجام می شود، به عنوان مثال، انتگرالی از شکل (1) تابع f(x، y) در مجموعه A که در حاصلضرب مستقیم XX Y از فضاهای X و Y قرار دارد، تعریف می شود. که در آن s معیارهای محدود mx و my، … … دایره المعارف ریاضی

انتگرالی که در امتداد هر منحنی در یک صفحه یا در فضا گرفته می شود. K. و. نوع 1 و 2 K. و. برای مثال، هنگام بررسی مسئله محاسبه جرم یک منحنی چگالی متغیر، نوع 1 به وجود می آید. تعیین شده است...... دایره المعارف بزرگ شوروی

احتیاط: هنگام محاسبه انتگرال های نامناسب با نقاط منفرد در داخل بازه ادغام، نمی توانید فرمول نیوتن-لایب نیتس را به صورت مکانیکی اعمال کنید، زیرا ممکن است منجر به خطا شود.

قانون کلی:اگر ضد مشتق باشد، فرمول نیوتن-لایب نیتس صحیح است f(x)در نقطه مفرد دومی پیوسته است.

مثال 2.11.

اجازه دهید یک انتگرال نامناسب با نقطه مفرد x = 0 در نظر بگیریم.

با این حال، قاعده کلی در اینجا اعمال نمی شود; برای f(x) = 1/x ضد مشتق ln |x| در x = 0 تعریف نشده است و در این نقطه بی نهایت بزرگ است، یعنی. در این مرحله پیوسته نیست به راحتی می توان با تأیید مستقیم تأیید کرد که انتگرال واگرا می شود. واقعا،

عدم قطعیت حاصل را می توان به روش های مختلفی آشکار کرد زیرا e و d به طور مستقل به صفر تمایل دارند. به طور خاص، با تنظیم e = d، مقدار اصلی انتگرال نامناسب برابر با 0 را بدست می آوریم. اگر e = 1/n، و d =1/n 2، i.e. d سریعتر از e به 0 تمایل پیدا می کند، سپس دریافت می کنیم

چه زمانی و بالعکس،

آن ها انتگرال واگرا می شود.n

مثال 2.12.

اجازه دهید یک انتگرال نامناسب با نقطه مفرد x = 0 در نظر بگیریم. ضد مشتق تابع شکل است و در نقطه x = 0 پیوسته است. بنابراین، می‌توانیم فرمول نیوتن-لایب‌نیتس را اعمال کنیم:

تعمیم طبیعی مفهوم انتگرال ریمان معین به حالت تابعی از چندین متغیر، مفهوم انتگرال چندگانه است. برای دو متغیر، این انتگرال ها نامیده می شوند دو برابر.

در فضای دو بعدی اقلیدسی در نظر بگیرید R'R، یعنی در یک هواپیما با سیستم مختصات دکارتی، یک مجموعه Eمنطقه نهایی اس.

بگذارید با ( من = 1, …, ک) تنظیم پارتیشن E، یعنی چنین سیستمی از زیر مجموعه های آن E i, i = 1,. . .، ک، که Ø برای i 1 j و (شکل 2.5). در اینجا ما زیر مجموعه را نشان می دهیم Eمن بدون مرزش، i.e. نقاط داخلی زیرمجموعه E i، که همراه با مرز آن Gr Eمن یک زیر مجموعه بسته تشکیل می دهم Eمن، . مشخص است که منطقه اس(Eط) زیر مجموعه ها Eمن با مساحت داخلی آن منطبق است، زیرا منطقه مرز GRE i برابر با صفر است.

بگذارید d(E i) نشان دهد تنظیم قطرای من، یعنی حداکثر فاصله بین دو نقطه آن. کمیت l(t) = d(E i) فراخوانی خواهد شد ظرافت پارتیشنتی اگر تابع f(x),x = (x,y) روی E به عنوان تابعی از دو آرگومان تعریف شود، هر مجموع شکل

X i О E i , i = 1, . . . ، k، x i = (x i، y i)،

بسته به تابع f و پارتیشن t و انتخاب نقاط x i О E i М t، نامیده می شود مجموع انتگرال تابع f .

اگر برای تابع f مقداری وجود داشته باشد که به پارتیشن‌های t یا انتخاب نقاط (i = 1، ...، k) بستگی نداشته باشد، این حد نامیده می‌شود. انتگرال دوگانه ریماناز f(x,y) و نشان داده می شود

خود تابع f در این حالت فراخوانی می شود ریمان قابل ادغام.

به یاد بیاورید که در مورد یک تابع با یک آرگومان به عنوان یک مجموعه Eکه در آن ادغام انجام می شود، بخش معمولاً گرفته می شود ، و پارتیشن t آن پارتیشنی متشکل از بخش ها در نظر گرفته می شود. از جنبه های دیگر، همانطور که به راحتی قابل مشاهده است، تعریف انتگرال دوگانه ریمان، تعریف انتگرال ریمان معین را برای تابعی از یک آرگومان تکرار می کند.

انتگرال دوگانه ریمان از توابع محدود دو متغیر دارای خواص معمول یک انتگرال معین برای توابع یک آرگومان است - خطی بودن، افزودنی بودنبا توجه به مجموعه هایی که ادغام روی آنها انجام می شود، حفظهنگام ادغام نابرابری های غیر دقیق, یکپارچگی محصولتوابع یکپارچه و غیره

محاسبه انتگرال های چندگانه ریمان به محاسبه کاهش می یابد انتگرال های تکرار شده. اجازه دهید مورد انتگرال دوگانه ریمان را در نظر بگیریم. اجازه دهید تابع f(x,y)بر روی مجموعه E که در حاصلضرب دکارتی مجموعه‌های X ´Y, E M X ´Y قرار دارد، تعریف می‌شود.

توسط انتگرال مکررتابع f(x,y) انتگرالی نامیده می شود که در آن یکپارچه سازی به صورت متوالی روی متغیرهای مختلف انجام می شود. انتگرال فرم

مجموعه E(y) = (x: О E) M X نامیده می شود سطح مقطعمجموعه E مربوط به y داده شده، y О E y ; مجموعه E y نامیده می شود - طرح ریزی E را روی محور Y قرار دهید.

برای انتگرال تکرار شده، از نماد زیر نیز استفاده می شود:

که مانند قبلی به این معنی است که اول، برای ثابت y، y О E y،تابع یکپارچه است f(x, y)توسط ایکسدر امتداد بخش E(y) که بخشی از مجموعه است Eمربوط به این yدر نتیجه، انتگرال داخلی تابعی از یک متغیر را تعریف می کند - yاین تابع سپس به عنوان تابعی از یک متغیر، همانطور که با نماد انتگرال بیرونی نشان داده می شود، ادغام می شود.

هنگام تغییر ترتیب ادغام، یک انتگرال مکرر از فرم به دست می آوریم

جایی که ادغام داخلی انجام می شود y،و خارجی - توسط ایکس.این انتگرال تکرار شده چگونه با انتگرال تکرار شده تعریف شده در بالا ارتباط دارد؟

اگر یک انتگرال دوگانه از تابع وجود داشته باشد f، یعنی

پس هر دو انتگرال مکرر وجود دارند و از نظر قدر یکسان و برابر با دو برابر هستند، یعنی.

تاکید می کنیم که شرط فرموله شده در این بیانیه برای امکان تغییر ترتیب یکپارچگی در انتگرال های تکراری فقط کافی، اما لازم نیست.

سایر شرایط کافیامکان تغییر ترتیب ادغام در انتگرال های تکراری به شرح زیر است:

اگر حداقل یکی از انتگرال ها وجود داشته باشد

سپس تابع f(x, y)ریمان قابل ادغام در مجموعه E، هر دو انتگرال مکرر آن وجود دارد و برابر با انتگرال دوگانه است. n

اجازه دهید نماد پیش بینی ها و مقاطع را در نمادگذاری انتگرال های تکرار شده مشخص کنیم.

اگر مجموعه E مستطیل باشد

که E x = (x: a £ x £ b)، E y = (y: c £ y £ d);که در آن E(y) = E x برای هر y، y О E y. ،آ E(x) = Eyبرای هر x , x О E x ..

ورود رسمی: " y y О E yÞ E(y) = مثالÙ" x x О E xÞ E(x) = Ey

اگر مجموعه E داشته باشد حاشیه منحنیو اجازه نمایندگی ها را می دهد

در این حالت انتگرال های تکرار شده به صورت زیر نوشته می شوند:

مثال 2.13.

انتگرال مضاعف را روی یک ناحیه مستطیلی محاسبه کنید و آن را به تکرار کاهش دهید.

از آنجایی که شرط sin 2 (x+y) =| sin 2 (x + y)|، سپس برآورده بودن شرایط کافی برای وجود انتگرال مضاعف I در قالب وجود هر یک از انتگرال های مکرر

نیازی به انجام این کار به طور خاص نیست و می توانید بلافاصله به محاسبه انتگرال مکرر اقدام کنید

اگر وجود داشته باشد، انتگرال دوگانه نیز وجود دارد، و I = I 1. از آنجا که

پس من = .n

مثال 2.14.

انتگرال دوگانه را در ناحیه مثلثی محاسبه کنید (شکل 2.6 را ببینید) و آن را به تکرار کاهش دهید

Gr(E) = ( : x = 0، y = 0، x + y = 2).

ابتدا اجازه دهید وجود انتگرال دوگانه I را تأیید کنیم. برای این کار کافی است وجود انتگرال مکرر را تأیید کنیم.

آن ها انتگرال ها در فواصل ادغام پیوسته هستند، زیرا همه آنها تابع قدرت هستند. بنابراین، انتگرال I 1 وجود دارد. در این حالت انتگرال مضاعف نیز وجود دارد و برابر است با هر انتگرال مکرر، یعنی.

مثال 2.15.

برای درک بهتر ارتباط بین مفاهیم انتگرال مضاعف و تکراری، به مثال زیر توجه کنید، که ممکن است در اولین خواندن حذف شود. تابعی از دو متغیر f(x,y) داده شده است

توجه داشته باشید که برای x ثابت این تابع در y فرد و برای y ثابت در x فرد است. به عنوان مجموعه E که این تابع روی آن یکپارچه شده است، مربع E = ( : -1 £ x £ 1، -1 £ y £ 1).

ابتدا انتگرال تکرار شده را در نظر می گیریم

انتگرال درونی

برای ثابت y، -1 £ y £ 1 گرفته می شود. از آنجایی که انتگرال برای ثابت y در x فرد است، و ادغام روی این متغیر بر روی بخش [-1، 1]، متقارن با توجه به نقطه 0 انجام می شود، پس انتگرال داخلی برابر با 0 است. بدیهی است که انتگرال بیرونی روی متغیر y تابع صفر نیز برابر با 0 است.

استدلال مشابه برای انتگرال تکرار شده دوم منجر به همان نتیجه می شود:

بنابراین، برای تابع f(x,y) مورد بررسی، انتگرال های مکرر وجود دارند و با یکدیگر برابر هستند. با این حال، هیچ انتگرال دوگانه ای از تابع f(x,y) وجود ندارد. برای مشاهده این موضوع، اجازه دهید به معنای هندسی محاسبه انتگرال های مکرر بپردازیم.

برای محاسبه انتگرال تکرار شده

نوع خاصی از پارتیشن مربع E و همچنین محاسبه خاصی از مجموع انتگرال استفاده می شود. یعنی مربع E به نوارهای افقی تقسیم می شود (شکل 2.7 را ببینید)، و هر نوار به مستطیل های کوچک تقسیم می شود. هر نوار مربوط به مقدار مشخصی از متغیر y است. به عنوان مثال، این می تواند مختصات محور افقی نوار باشد.

محاسبه مجموع انتگرال به شرح زیر انجام می شود: ابتدا، مبالغ برای هر باند به طور جداگانه محاسبه می شود، یعنی. در y ثابت برای x های مختلف، و سپس این مجموع میانی برای باندهای مختلف جمع می شوند، یعنی. برای y مختلف اگر ظرافت پارتیشن به صفر میل کند، در حد انتگرال مکرر فوق الذکر را بدست می آوریم.

واضح است که برای دومین انتگرال تکرار شده

مجموعه E به نوارهای عمودی مربوط به x های مختلف تقسیم می شود. مبالغ میانی در هر نوار در مستطیل های کوچک محاسبه می شود، یعنی. در امتداد y، و سپس آنها برای باندهای مختلف جمع می شوند، i.e. توسط x. در حد، زمانی که ظرافت پارتیشن به صفر میل می کند، انتگرال تکرار شده مربوطه را به دست می آوریم.

برای اثبات اینکه انتگرال مضاعف وجود ندارد، کافی است یک مثال از پارتیشنی بیاوریم، که محاسبه مجموع انتگرال آن، در حدی که ظرافت پارتیشن به سمت صفر می‌رود، نتیجه‌ای متفاوت از مقدار به دست می‌دهد. از انتگرال های مکرر اجازه دهید مثالی از چنین پارتیشنی مربوط به سیستم مختصات قطبی (r, j) ارائه دهیم (شکل 2.8 را ببینید).

در سیستم مختصات قطبی، موقعیت هر نقطه در صفحه M 0 (x 0، y 0)، که در آن x 0، y 0 مختصات دکارتی نقطه M 0 است، با طول r 0 شعاع تعیین می شود. اتصال آن به مبدأ و زاویه j 0 تشکیل شده توسط این شعاع با جهت مثبت محور x (زاویه در خلاف جهت عقربه های ساعت شمارش می شود). ارتباط بین مختصات دکارتی و قطبی آشکار است:

y 0 = r 0 × sinj 0 .

پارتیشن به صورت زیر ساخته شده است. ابتدا مربع E به بخش هایی با شعاع هایی که از مرکز مختصات سرچشمه می گیرند، تقسیم می شود و سپس هر بخش با خطوط عمود بر محور بخش به ذوزنقه های کوچک تقسیم می شود. محاسبه مجموع انتگرال به شرح زیر انجام می شود: ابتدا در امتداد ذوزنقه های کوچک در داخل هر بخش در امتداد محور آن (در امتداد r) و سپس در تمام بخش ها (در امتداد j). موقعیت هر بخش با زاویه محور j مشخص می شود و طول محور r(j) آن به این زاویه بستگی دارد:

اگر یا، پس؛

اگر پس از آن ؛

اگر پس از آن

اگر پس از آن .

با عبور از حد مجموع انتگرال یک پارتیشن قطبی هنگامی که ظرافت پارتیشن به صفر میل می کند، نمایشی از انتگرال دوگانه در مختصات قطبی به دست می آوریم. چنین نمادی را می توان به روشی کاملاً رسمی به دست آورد و مختصات دکارتی (x, y) را با مختصات قطبی (r, j) جایگزین کرد.

با توجه به قوانین انتقال در انتگرال ها از مختصات دکارتی به قطبی، طبق تعریف باید نوشت:

در مختصات قطبی تابع f(x,y) به صورت زیر نوشته می شود:

بالاخره داریم

انتگرال داخلی (نادرست) در آخرین فرمول

در جایی که تابع r(j) در بالا نشان داده شده است، 0 £ j £ 2p، برابر است با +¥ برای هر j، زیرا

بنابراین، انتگرال در انتگرال بیرونی که روی j ارزیابی می شود برای هیچ j تعریف نشده است. اما پس از آن خود انتگرال خارجی تعریف نمی شود، یعنی. انتگرال دوگانه اصلی تعریف نشده است.

توجه داشته باشید که تابع f(x,y) شرط کافی برای وجود یک انتگرال دوگانه بر روی مجموعه E را برآورده نمی کند. اجازه دهید نشان دهیم که انتگرال

وجود ندارد. واقعا،

به طور مشابه، همان نتیجه برای انتگرال ایجاد می شود

دانلود از Depositfiles

سخنرانی 5-6

موضوع 2. انتگرال های چندگانه

انتگرال دوگانه.

کنترل سوالات

1. انتگرال مضاعف، معنای هندسی و فیزیکی آن

2. خواص انتگرال دوگانه.

3. محاسبه انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی.

4. تغییر متغیرها در انتگرال دوگانه. محاسبه انتگرال دوگانه در مختصات قطبی.

اجازه دهید تابع z = f (ایکس , y) در یک منطقه بسته محدود تعریف شده است Dسطح. بیایید منطقه را تقسیم کنیم Dبه طور تصادفی در nمناطق بسته ابتدایی  1 , … , n، دارای مناطق   1 , …,   nو قطرها د 1 , …, د n به ترتیب. بیایید نشان دهیم دبزرگترین قطر منطقه  1 , … ,  n. در هر منطقه  کیک نقطه دلخواه انتخاب کنید پ ک (ایکس ک ، y ک) و آهنگسازی کنید جمع انتگرالکارکرد f(x، y)

اس =
(1)

تعریف. انتگرال دوگانهکارکرد f(x، y) بر اساس منطقه Dحد مجموع انتگرال نامیده می شود

, (2)

اگر وجود داشته باشد.

اظهار نظر. جمع تجمعی اسبستگی به نحوه تقسیم منطقه دارد Dو انتخاب نقاط پ ک (ک=1, …, n). با این حال، حد
، اگر وجود داشته باشد، به نحوه تقسیم بندی منطقه بستگی ندارد Dو انتخاب نقاط پ ک .

شرط کافی برای وجود انتگرال دوگانه. اگر تابع انتگرال دوگانه (1) وجود داشته باشد f(x، y) پیوسته در Dبه جز تعداد محدودی از منحنی های صاف تکه ای و محدود در D. در ادامه ما فرض می کنیم که همه انتگرال های دوگانه مورد بررسی وجود دارند.

معنای هندسی انتگرال دوگانه.

اگر f(x، y) ≥0 در منطقه D، سپس انتگرال دوگانه (1) برابر با حجم بدنه "استوانه ای" است که در شکل نشان داده شده است:

V =
(3)

بدنه استوانه ای در زیر توسط منطقه محدود می شود D، از بالا - بخشی از سطح z = f (ایکس , y، از طرفین - توسط بخش های مستقیم عمودی که مرزهای این سطح و منطقه را به هم متصل می کند D.

معنای فیزیکی انتگرال دوگانه. جرم یک صفحه تخت.

بگذارید یک بشقاب صاف داده شود Dبا تابع چگالی شناخته شده γ( ایکس،در، سپس صفحه D را به قسمت های D تبدیل کنید منو انتخاب نقاط دلخواه
، برای جرم صفحه بدست می آوریم
یا در مقایسه با فرمول (2):

(4)

4. برخی از خصوصیات انتگرال دوگانه.

خطی بودن.اگر بایک ثابت عددی است، پس

افزودنی.اگر منطقه D "شکسته" به مناطق D 1 و D 2، سپس

3) مساحت منطقه محدود Dمساوی با

(5)

محاسبه انتگرال دوگانه در مختصات دکارتی.

بگذار منطقه داده شود

تصویر 1

D= { (ایکس , y ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (ایکس ) ≤ y≤ φ 2 (ایکس ) } (6)

منطقه D محصور در یک نوار بین خطوط مستقیم ایکس = آ , y = ب، از پایین و بالا به ترتیب با منحنی محدود می شود y = φ 1 (ایکس ) و y = φ 2 (ایکس ) .

انتگرال دوگانه (1) بر روی یک منطقه D(4) با انتقال به انتگرال تکرار شده محاسبه می شود:

(7)

این انتگرال تکرار شده به صورت زیر محاسبه می شود. ابتدا انتگرال داخلی محاسبه می شود

توسط متغیر y، که در آن ایکسثابت در نظر گرفته می شود. نتیجه تابعی از متغیر خواهد بود ایکسو سپس انتگرال بیرونی این تابع بر روی متغیر محاسبه می شود ایکس .

اظهار نظر. فرآیند انتقال به انتگرال مکرر طبق فرمول (7) را اغلب قرار دادن حدود انتگرال در انتگرال دوگانه می نامند. هنگام تعیین محدودیت های یکپارچه سازی، باید دو نکته را به خاطر بسپارید. اولاً حد پایین انتگرال نباید از حد بالایی تجاوز کند و ثانیاً حدود انتگرال خارجی ثابت باشد و حد داخلی در حالت کلی باید به متغیر انتگرال انتگرال خارجی بستگی داشته باشد.

اجازه دهید در حال حاضر منطقه Dبه نظر می رسد

D= { (ایکس , y ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (y ) ≤ x ≤ ψ 2 (y ) } . (8)

سپس

. (9)

بیایید فرض کنیم که منطقه Dمی توان به صورت همزمان (6) و (8) نمایش داد. سپس برابری برقرار است

(10)

انتقال از یک انتگرال تکرار شده به انتگرال دیگر در برابری (10) نامیده می شود تغییر ترتیب ادغامدر انتگرال دوگانه

مثال ها.

1) ترتیب ادغام در انتگرال را تغییر دهید

راه حل. با استفاده از فرم انتگرال تکرار شده، منطقه را پیدا می کنیم

D= { (ایکس , y ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤ 2 } .

بیایید منطقه را به تصویر بکشیم D. از شکل می بینیم که این ناحیه در یک نوار افقی بین خطوط مستقیم قرار دارد y =0, y=2 و بین خطوط ایکس =0 و ایکس= دی

گاهی اوقات، برای ساده کردن محاسبات، تغییر متغیرها انجام می شود:

,
(11)

اگر توابع (11) به طور پیوسته قابل تمایز هستند و تعیین کننده (ژاکوبین) در حوزه مورد نظر غیر صفر است:

(12)

وزارت آموزش و پرورش و علوم فدراسیون روسیه

کار دوره

رشته: ریاضیات عالی

(مبانی برنامه ریزی خطی)

با موضوع: انتگرال های چندگانه

تکمیل شده توسط: ______________

معلم:___________

تاریخ ___________________

مقطع تحصیلی _________________

امضا ________________

ورونژ 2008

1 انتگرال چندگانه

1.1 انتگرال دوگانه

1.2 انتگرال سه گانه

1.3 انتگرال های چندگانه در مختصات منحنی

1.4 کاربردهای هندسی و فیزیکی انتگرال های چندگانه

2 انتگرال منحنی و سطحی

2.1 انتگرال های منحنی

2.2 انتگرال های سطحی

2.3 کاربردهای هندسی و فیزیکی

کتابشناسی - فهرست کتب

1 انتگرال چندگانه

1.1 انتگرال دوگانه

اجازه دهید یک منطقه بسته D را در صفحه Oxy در نظر بگیریم که با خط L محدود شده است. اجازه دهید این منطقه را با چند خط به n قسمت تقسیم کنیم.

اجازه دهید یک تابع z = f(x, y) در دامنه D داده شود. اجازه دهید مقادیر این تابع را در نقاط انتخاب شده با f(P 1)، f(P 2)،…، f(P n) نشان دهیم و مجموع حاصل از فرم f(P i)ΔS i را بسازیم:

مجموع انتگرال تابع f(x,y) در دامنه D نامیده می شود.

اگر همان حد از مجموع انتگرال (1) برای وجود دارد

محاسبه انتگرال دوگانه بر روی منطقه D محدود شده توسط خطوط

1.2 انتگرال سه گانه

مفهوم انتگرال سه گانه با قیاس با انتگرال دوگانه معرفی می شود.

اجازه دهید یک ناحیه خاص V در فضا داده شود که توسط یک سطح بسته S محدود شده است. اجازه دهید یک تابع پیوسته f(x,y,z) را در این ناحیه بسته تعریف کنیم. سپس ناحیه V را با در نظر گرفتن حجم هر قسمت برابر با Δv i به قسمت های دلخواه Δv i تقسیم می کنیم و مجموع انتگرالی شکل را می سازیم.

محدود در

انتگرال سه گانه تابع f(x,y,z) در ناحیه V برابر است با انتگرال سه گانه روی همان ناحیه:

1.3 انتگرال های چندگانه در مختصات منحنی

اجازه دهید مختصات منحنی را در صفحه معرفی کنیم که قطبی نامیده می شود. اجازه دهید نقطه O (قطب) و پرتوهای ساطع شده از آن (محور قطبی) را انتخاب کنیم.

برنج. 2 شکل 3

مختصات نقطه M (شکل 2) طول قطعه MO خواهد بود - شعاع قطبی ρ و زاویه φ بین MO و محور قطبی: M(ρ,φ). توجه داشته باشید که برای تمام نقاط صفحه، به جز قطب، ρ > 0، و زاویه قطبی φ هنگام اندازه گیری در جهت خلاف جهت عقربه های ساعت مثبت و زمانی که در جهت مخالف اندازه گیری می شوند، منفی در نظر گرفته می شوند.

رابطه بین مختصات قطبی و دکارتی نقطه M را می توان با تراز کردن مبدا سیستم مختصات دکارتی با قطب، و نیم محور مثبت Ox با محور قطبی تنظیم کرد (شکل 3). سپس x=ρcosφ، y=ρsinφ. از اینجا

اجازه دهید در ناحیه D محدود شده توسط منحنی‌های ρ=Φ 1 (φ) و ρ=Φ 2 (φ) تعریف کنیم، جایی که φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

در فضای سه بعدی مختصات استوانه ای و کروی معرفی می شود.

مختصات استوانه ای نقطه P(ρ,φ,z) مختصات قطبی ρ، φ طرح این نقطه بر روی صفحه Oxy و کاربرد این نقطه z هستند (شکل 5).

Fig.5 Fig.6

فرمول های انتقال از مختصات استوانه ای به دکارتی را می توان به صورت زیر مشخص کرد:

x = ρcosφ، y = ρsinφ، z = z. (8)

در مختصات کروی، موقعیت یک نقطه در فضا با مختصات خطی r تعیین می شود - فاصله از نقطه تا مبدأ سیستم مختصات دکارتی (یا قطب سیستم کروی)، φ - زاویه قطبی بین مثبت نیم محور Ox و طرح نقطه بر روی صفحه Ox، و θ - زاویه بین نیمه محور مثبت محور Oz و قطعه OP (شکل 6). که در آن

اجازه دهید فرمول های انتقال از کروی به مختصات دکارتی را تنظیم کنیم:

x = rsinθcosφ، y = rsinθsinφ، z = rcosθ. (9)

سپس فرمول های انتقال به مختصات استوانه ای یا کروی در انتگرال سه گانه به شکل زیر خواهد بود:

که در آن F 1 و F 2 توابعی هستند که با جایگزین کردن عبارات آنها از طریق مختصات استوانه ای (8) یا کروی (9) در تابع f به جای x، y، z به دست می آیند.

1.4 کاربردهای هندسی و فیزیکی انتگرال های چندگانه

1) مساحت منطقه مسطح S:

مثال 1.

مساحت شکل D که با خطوط محدود شده است را پیدا کنید

محاسبه این ناحیه با شمارش y به عنوان یک متغیر خارجی راحت است. سپس مرزهای منطقه توسط معادلات داده می شود