نحوه محاسبه فرمول پیشروی حسابی پیشرفت حسابی: چیست؟ تفاوت پیشرفت: تعریف

یا حساب نوعی دنباله عددی منظم است که خصوصیات آن در درس جبر مدرسه بررسی می شود. این مقاله به تفصیل به این سوال می پردازد که چگونه می توان مجموع یک پیشروی حسابی را پیدا کرد.

این چه نوع پیشرفتی است؟

قبل از اینکه به این سوال بپردازیم (چگونه مجموع یک پیشروی حسابی را پیدا کنیم)، ارزش آن را دارد که بدانیم در مورد چه چیزی صحبت می کنیم.

به هر دنباله ای از اعداد حقیقی که با جمع کردن (کاهش) مقداری از هر عدد قبلی به دست می آید، پیشروی جبری (حسابی) نامیده می شود. این تعریف وقتی به زبان ریاضی ترجمه می شود، به شکل زیر است:

در اینجا i شماره سریال عنصر ردیف a i است. بنابراین، با دانستن تنها یک شماره شروع، می توانید به راحتی کل سری را بازیابی کنید. پارامتر d در فرمول را اختلاف پیشروی می نامند.

به راحتی می توان نشان داد که برای سری اعداد مورد نظر تساوی زیر برقرار است:

a n = a 1 + d * (n - 1).

یعنی برای یافتن مقدار عنصر n به ترتیب باید اختلاف d را به عنصر اول a 1 n-1 بار اضافه کنید.

مجموع یک پیشروی حسابی چقدر است: فرمول

قبل از ارائه فرمول برای مقدار مشخص شده، ارزش دارد که یک مورد خاص ساده را در نظر بگیرید. با توجه به پیشرفت اعداد طبیعی از 1 تا 10، باید مجموع آنها را پیدا کنید. از آنجایی که عبارات کمی در پیشروی وجود دارد (10)، می توان مشکل را به طور مستقیم حل کرد، یعنی همه عناصر را به ترتیب جمع کرد.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

شایان ذکر است که یک چیز جالب توجه است: از آنجایی که هر جمله با مقدار یکسانی d = 1 با عبارت بعدی متفاوت است، پس مجموع زوج اول با دهم، دوم با نهم و غیره نتیجه یکسانی خواهد داشت. واقعا:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

همانطور که می بینید از این مجموع فقط 5 عدد وجود دارد، یعنی دقیقا دو برابر تعداد عناصر سریال. سپس با ضرب تعداد مجموع (5) در نتیجه هر مجموع (11) به نتیجه ای که در مثال اول به دست آمده است خواهید رسید.

اگر این استدلال ها را تعمیم دهیم، می توانیم عبارت زیر را بنویسیم:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

این عبارت نشان می دهد که اصلاً لازم نیست همه عناصر را در یک ردیف جمع کنیم، کافی است مقدار اول a 1 و آخرین a n و همچنین تعداد کل عبارت های n را بدانیم.

اعتقاد بر این است که گاوس اولین بار زمانی که به دنبال راه حلی برای مسئله ای بود که معلم مدرسه اش ارائه کرده بود، به این برابری فکر کرد: 100 عدد صحیح اول را جمع کنید.

مجموع عناصر از m تا n: فرمول

فرمول ارائه شده در پاراگراف قبل به این سوال پاسخ می دهد که چگونه می توان مجموع یک تصاعد حسابی (عناصر اول) را پیدا کرد، اما اغلب در مسائل لازم است یک سری از اعداد در وسط پیشرفت جمع شود. چگونه انجامش بدهیم؟

ساده ترین راه برای پاسخ به این سوال با در نظر گرفتن مثال زیر است: بگذارید مجموع عبارت های m-th تا n-ام را پیدا کنید. برای حل مشکل باید قطعه داده شده از m تا n پیشرفت را در قالب یک سری اعداد جدید ارائه دهید. در این نمایش، m امین عبارت a m اولین خواهد بود و a n n-(m-1) شماره گذاری می شود. در این صورت با اعمال فرمول استاندارد برای جمع، عبارت زیر به دست می آید:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

نمونه ای از استفاده از فرمول ها

با دانستن چگونگی یافتن مجموع یک پیشروی حسابی، ارزش آن را دارد که مثال ساده ای از استفاده از فرمول های بالا را در نظر بگیرید.

در زیر یک دنباله عددی وجود دارد که باید مجموع عبارت های آن را پیدا کنید که از پنجم شروع می شود و به دوازدهم ختم می شود:

اعداد داده شده نشان می دهد که تفاوت d برابر با 3 است. با استفاده از عبارت عنصر n، می توانید مقادیر 5 و 12 ترم پیشرفت را پیدا کنید. معلوم می شود:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

با دانستن مقادیر اعداد در انتهای پیشرفت جبری مورد بررسی، و همچنین دانستن اینکه چه اعدادی در سری اشغال می کنند، می توانید از فرمول جمع به دست آمده در پاراگراف قبل استفاده کنید. معلوم خواهد شد:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

شایان ذکر است که این مقدار را می توان متفاوت به دست آورد: ابتدا با استفاده از فرمول استاندارد مجموع 12 عنصر اول را پیدا کنید، سپس با استفاده از همان فرمول مجموع 4 عنصر اول را محاسبه کنید، سپس دومی را از مجموع اول کم کنید.

بنابراین، بیایید بنشینیم و شروع به نوشتن چند عدد کنیم. مثلا:
شما می توانید هر عددی را بنویسید، و می تواند هر تعداد که دوست دارید وجود داشته باشد (در مورد ما، آنها وجود دارند). مهم نیست که چند عدد بنویسیم، همیشه می توانیم بگوییم کدام اول است، کدام دوم و همینطور تا آخرین عدد، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است:

دنباله اعداد
به عنوان مثال، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده فقط مختص یک عدد در دنباله است. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. عدد دوم (مانند عدد هفتم) همیشه یکسان است.
عددی که دارای عدد است، ترم امین دنباله نامیده می شود.

ما معمولاً کل دنباله را با یک حرف صدا می زنیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

در مورد ما:

فرض کنید یک دنباله عددی داریم که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.
مثلا:

و غیره.
این دنباله اعداد را پیشروی حسابی می نامند.
اصطلاح "پیشرفت" توسط نویسنده رومی Boethius در قرن ششم معرفی شد و در معنای گسترده تر به عنوان یک دنباله عددی بی نهایت درک شد. نام "حساب" از نظریه نسبت های پیوسته که توسط یونانیان باستان مورد مطالعه قرار گرفت، منتقل شد.

این یک دنباله اعداد است که هر عضو آن برابر است با عضو قبلی که به همان عدد اضافه شده است. این عدد را تفاضل یک تصاعد حسابی می نامند و مشخص می شود.

سعی کنید تعیین کنید که کدام دنباله اعداد یک تصاعد حسابی هستند و کدام یک نیستند:

آ)
ب)
ج)
د)

فهمیدم؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:
استپیشرفت حسابی - b، c.
نیستپیشرفت حسابی - a, d.

بیایید به پیشرفت داده شده () برگردیم و سعی کنیم مقدار ترم آن را پیدا کنیم. وجود دارد دوراهی برای پیدا کردن آن

1. روش

می‌توانیم عدد پیشرفت را به مقدار قبلی اضافه کنیم تا زمانی که به ترم پیشروی برسیم. خوب است که چیز زیادی برای خلاصه کردن نداریم - فقط سه مقدار:

بنابراین، امین ترم پیشروی حسابی توصیف شده برابر است با.

2. روش

اگر نیاز به یافتن مقدار ترم ترم پیشرفت داشته باشیم چه می‌شود؟ جمع‌بندی بیش از یک ساعت طول می‌کشد و این یک واقعیت نیست که هنگام جمع کردن اعداد اشتباه نکنیم.
البته ریاضیدانان روشی را ابداع کرده اند که در آن لازم نیست تفاوت یک تصاعد حسابی را به مقدار قبلی اضافه کنیم. به تصویر کشیده شده با دقت نگاه کنید... مطمئناً قبلاً متوجه الگوی خاصی شده اید، یعنی:

برای مثال، بیایید ببینیم که مقدار ترم سوم این پیشروی حسابی شامل چه چیزی است:


به عبارت دیگر:

سعی کنید ارزش عضوی از یک پیشرفت محاسباتی را خودتان از این طریق بیابید.

حساب کردی؟ یادداشت های خود را با پاسخ مقایسه کنید:

لطفاً توجه داشته باشید که دقیقاً همان عددی را به دست آوردید که در روش قبلی، زمانی که ما به طور متوالی شرایط پیشروی حسابی را به مقدار قبلی اضافه کردیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را "شخصی" کنیم - بیایید آن را به شکل کلی قرار دهیم و دریافت کنیم:

پیشروی های حسابی می تواند افزایش یا کاهش یابد.

در حال افزایش است- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها از مقدار قبلی بیشتر است.
مثلا:

نزولی- پیشرفت هایی که در آنها هر مقدار بعدی از عبارت ها کمتر از مقدار قبلی است.
مثلا:

فرمول مشتق شده در محاسبه عبارات در هر دو حالت افزایشی و کاهشی یک پیشروی حسابی استفاده می شود.
بیایید این را در عمل بررسی کنیم.
به ما یک تصاعد حسابی متشکل از اعداد زیر داده شده است: بیایید بررسی کنیم که اگر از فرمول خود برای محاسبه آن استفاده کنیم، عدد امین این پیشروی حسابی چقدر خواهد بود:

از آن به بعد:

بنابراین، ما متقاعد شده‌ایم که این فرمول هم در کاهش و هم در افزایش پیشروی حسابی عمل می‌کند.
سعی کنید خود ترم های این پیشروی حسابی را پیدا کنید.

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

خاصیت پیشرفت حسابی

بیایید مشکل را پیچیده کنیم - ما خاصیت پیشرفت حسابی را به دست خواهیم آورد.
فرض کنید شرایط زیر به ما داده شده است:
- پیشرفت حسابی، مقدار را پیدا کنید.
آسان است، می گویید و طبق فرمولی که از قبل می دانید شروع به شمارش می کنید:

بگذار، آه، پس:

کاملا درسته معلوم می شود که ما ابتدا پیدا می کنیم، سپس آن را به عدد اول اضافه می کنیم و آنچه را که به دنبال آن هستیم به دست می آوریم. اگر پیشرفت با مقادیر کوچک نشان داده شود، هیچ چیز پیچیده ای در مورد آن وجود ندارد، اما اگر در شرایط به ما اعداد داده شود چه؟ موافقم، احتمال اشتباه در محاسبات وجود دارد.
حال به این فکر کنید که آیا با استفاده از هر فرمولی می توان این مشکل را در یک مرحله حل کرد؟ البته بله، و این چیزی است که ما اکنون سعی خواهیم کرد آن را بیان کنیم.

بیایید عبارت مورد نیاز پیشروی حسابی را به عنوان فرمول پیدا کردن آن برای ما مشخص کنیم - این همان فرمولی است که در ابتدا استخراج کردیم:
، سپس:

• ترم قبلی پیشرفت عبارت است از:
• ترم بعدی پیشرفت عبارت است از:

بیایید شرایط قبلی و بعدی پیشرفت را خلاصه کنیم:

به نظر می رسد که مجموع عبارت های قبلی و بعدی پیشرفت، مقدار دو برابر عبارت پیشروی است که بین آنها قرار دارد. به عبارت دیگر، برای یافتن مقدار یک عبارت پیشرفت با مقادیر قبلی و متوالی شناخته شده، باید آنها را جمع کرده و بر آن تقسیم کنید.

درست است، ما همین عدد را گرفتیم. بیایید مواد را ایمن کنیم. ارزش پیشرفت را خودتان محاسبه کنید، اصلاً سخت نیست.

آفرین! شما تقریباً همه چیز را در مورد پیشرفت می دانید! باقی مانده است که فقط یک فرمول را پیدا کنیم، که طبق افسانه، یکی از بزرگترین ریاضیدانان تمام دوران، "پادشاه ریاضیدانان" - کارل گاوس به راحتی استنباط شده است.

وقتی کارل گاوس 9 ساله بود، معلمی که مشغول بررسی کار دانش‌آموزان در کلاس‌های دیگر بود، این کار را در کلاس محول کرد: «مجموع تمام اعداد طبیعی را از تا (طبق منابع دیگر تا) فراگیر محاسبه کنید.» تعجب معلم را تصور کنید که یکی از شاگردانش (این کارل گاوس بود) یک دقیقه بعد جواب درست را به تکلیف داد، در حالی که اکثر همکلاسی های جسور، پس از محاسبات طولانی، نتیجه اشتباه را دریافت کردند...

کارل گاوس جوان متوجه الگوی خاصی شد که شما نیز به راحتی می توانید متوجه آن شوید.
فرض کنید ما یک پیشروی حسابی داریم که از جمله های -ام تشکیل شده است: باید مجموع این ترم های پیشروی حسابی را پیدا کنیم. البته، ما می‌توانیم به صورت دستی همه مقادیر را جمع کنیم، اما اگر کار مستلزم یافتن مجموع عبارت‌های آن باشد، همانطور که گاوس به دنبال آن بود، چه؟

اجازه دهید پیشرفتی که به ما داده شده را به تصویر بکشیم. به اعداد برجسته شده نگاه دقیق تری بیندازید و سعی کنید با آنها عملیات ریاضی مختلفی را انجام دهید.


این را امتحان کرده ای؟ چه چیزی را متوجه شدید؟ درست! مجموع آنها برابر است

حالا به من بگویید، در مجموع چند جفت از این دست در پیشرفتی که به ما داده شده است وجود دارد؟ البته دقیقاً نیمی از اعداد، یعنی.
بر اساس این واقعیت که مجموع دو جمله یک پیشروی حسابی مساوی است و جفت های مشابه برابر هستند، به دست می آوریم که مجموع کل برابر است با:
.
بنابراین، فرمول مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

در برخی از مسائل ما اصطلاح هفتم را نمی دانیم، اما تفاوت پیشرفت را می دانیم. سعی کنید فرمول جمله ام را با فرمول جمع جایگزین کنید.
چی به دست آوردی؟

آفرین! حال برگردیم به مسئله ای که از کارل گاوس پرسیده شد: خودتان محاسبه کنید که مجموع اعدادی که از th شروع می شوند با چه عددی و مجموع اعدادی که از th شروع می شوند برابر است.

چقدر گرفتی؟
گاوس دریافت که مجموع عبارت ها برابر است و مجموع عبارت ها. این همان چیزی است که شما تصمیم گرفتید؟

در واقع، فرمول مجموع اصطلاحات یک پیشروی حسابی توسط دانشمند یونان باستان دیوفانتوس در قرن سوم به اثبات رسید و در طول این مدت، افراد شوخ از خواص پیشروی حسابی استفاده کامل کردند.
مثلا مصر باستان و بزرگترین پروژه ساختمانی آن زمان - ساخت یک هرم را تصور کنید... تصویر یک طرف آن را نشان می دهد.

شما می گویید پیشرفت اینجا کجاست؟ با دقت نگاه کنید و الگویی از تعداد بلوک های شنی در هر ردیف دیوار هرم پیدا کنید.


چرا یک پیشرفت حسابی نیست؟ اگر آجرهای بلوکی در پایه قرار گیرند، محاسبه کنید که برای ساخت یک دیوار چند بلوک لازم است. امیدوارم وقتی انگشت خود را روی مانیتور حرکت می‌دهید، شمارش نکنید، آخرین فرمول و همه چیزهایی را که در مورد پیشروی حسابی گفتیم به خاطر دارید؟

در این مورد، پیشرفت به این صورت است: .
تفاوت پیشروی حسابی
تعداد اصطلاحات یک تصاعد حسابی.
بیایید داده های خود را با آخرین فرمول ها جایگزین کنیم (تعداد بلوک ها را به 2 روش محاسبه کنید).

روش 1.

روش 2.

و اکنون می توانید روی مانیتور محاسبه کنید: مقادیر به دست آمده را با تعداد بلوک هایی که در هرم ما هستند مقایسه کنید. فهمیدم؟ آفرین، شما بر مجموع nام یک پیشروی حسابی تسلط دارید.
البته، شما نمی توانید یک هرم را از بلوک هایی در پایه بسازید، اما از؟ سعی کنید محاسبه کنید که برای ساخت یک دیوار با این شرایط چند آجر شنی لازم است.
توانستی مدیریت کنی؟
پاسخ صحیح بلوک است:

آموزش

وظایف:

1. ماشا در حال خوش فرم شدن برای تابستان است. او هر روز تعداد اسکات ها را افزایش می دهد. اگر ماشا در اولین جلسه تمرین اسکوات انجام دهد، چند بار در هفته اسکات انجام می دهد؟
2. مجموع همه اعداد فرد موجود در چیست؟
3. هنگام ذخیره لاگ ها، لاگرها آنها را به گونه ای روی هم می چینند که هر لایه بالایی یک لاگ کمتر از لاگ قبلی داشته باشد. در صورتی که پایه سنگ تراشی کنده ها باشد در یک سنگ تراشی چند کنده وجود دارد؟

پاسخ ها:

1. اجازه دهید پارامترهای پیشرفت حسابی را تعریف کنیم. در این مورد
   (هفته = روز).

   پاسخ:در دو هفته، ماشا باید یک بار در روز اسکات انجام دهد.

2. اولین عدد فرد، آخرین عدد.
   تفاوت پیشروی حسابی
   تعداد اعداد فرد در نصف است، با این حال، بیایید این واقعیت را با استفاده از فرمول برای یافتن جمله ترم یک پیشرفت حسابی بررسی کنیم:

   اعداد حاوی اعداد فرد هستند.
   بیایید داده های موجود را با فرمول جایگزین کنیم:

   پاسخ:مجموع تمام اعداد فرد موجود در برابر است.

3. بیایید مشکل اهرام را به یاد بیاوریم. برای مورد ما، a، از آنجایی که هر لایه بالایی یک لاگ کاهش می یابد، در مجموع یک دسته لایه وجود دارد، یعنی.
   بیایید داده ها را با فرمول جایگزین کنیم:

   پاسخ:در سنگ تراشی کنده هایی وجود دارد.

بیایید آن را جمع بندی کنیم

1. - دنباله اعدادی که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است. می تواند در حال افزایش یا کاهش باشد.
2. یافتن فرمولجمله ترم یک پیشروی حسابی با فرمول - نوشته می شود، که در آن تعداد اعداد در پیشروی است.
3. ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی- - تعداد اعداد در حال پیشرفت کجاست.
4. مجموع عبارات یک تصاعد حسابیرا می توان به دو صورت یافت:
   
   ، تعداد مقادیر کجاست.

پیشروی حسابی. سطح متوسط

دنباله اعداد

بیا بشینیم و شروع کنیم به نوشتن چند عدد. مثلا:

شما می توانید هر عددی را بنویسید و هر تعداد که دوست دارید می تواند وجود داشته باشد. اما همیشه می توانیم بگوییم کدام اول است کدام دوم و ... یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است.

دنباله اعدادمجموعه ای از اعداد است که به هر کدام می توان یک شماره منحصر به فرد اختصاص داد.

به عبارت دیگر، هر عدد می تواند با یک عدد طبیعی خاص و یک عدد منحصر به فرد مرتبط باشد. و این شماره را به هیچ شماره دیگری از این مجموعه اختصاص نمی دهیم.

به عددی که دارای عدد است، امین عضو دنباله نامیده می شود.

ما معمولاً کل دنباله را با یک حرف صدا می زنیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

بسیار راحت است اگر بتوان ترم 7 دنباله را با فرمولی مشخص کرد. به عنوان مثال، فرمول

دنباله را تنظیم می کند:

و فرمول به ترتیب زیر است:

به عنوان مثال، یک پیشروی حسابی یک دنباله است (جمله اول در اینجا برابر است و تفاوت آن است). یا (، تفاوت).

فرمول ترم n

ما یک فرمول را تکراری می نامیم که در آن، برای پیدا کردن عبارت، باید موارد قبلی یا چند مورد قبلی را بدانید:

برای مثال برای یافتن ترم ترم پیشروی با استفاده از این فرمول، باید نه قبلی را محاسبه کنیم. به عنوان مثال، اجازه دهید. سپس:

خوب حالا معلوم شد فرمولش چیه؟

در هر خطی که به آن اضافه می کنیم، در یک عدد ضرب می کنیم. کدام یک؟ خیلی ساده: این تعداد عضو فعلی منهای است:

الان خیلی راحت تره، درسته؟ بررسی می کنیم:

خودتان تصمیم بگیرید:

در یک تصاعد حسابی، فرمول جمله n را پیدا کنید و جمله صدم را پیدا کنید.

راه حل:

جمله اول برابر است. تفاوت در چیست؟ این چیزی است که:

(به همین دلیل است که به آن تفاوت می گویند زیرا برابر است با اختلاف ترم های متوالی پیشرفت).

بنابراین، فرمول:

سپس جمله صدم برابر است با:

مجموع همه اعداد طبیعی از تا چقدر است؟

طبق افسانه ها، کارل گاوس، ریاضیدان بزرگ، به عنوان یک پسر 9 ساله، این مقدار را در چند دقیقه محاسبه کرد. او متوجه شد که مجموع اعداد اول و آخر برابر است، مجموع عدد دوم و ماقبل آخر یکسان است، مجموع عدد سوم و سوم از آخر یکسان است و غیره. در کل چند جفت از این دست وجود دارد؟ درست است، دقیقاً نصف تعداد تمام اعداد، یعنی. بنابراین،

فرمول کلی برای مجموع جمله های اول هر پیشروی حسابی به صورت زیر خواهد بود:

مثال:
مجموع همه مضرب های دو رقمی را پیدا کنید.

راه حل:

اولین چنین عددی این است. هر عدد بعدی با اضافه کردن به عدد قبلی بدست می آید. بنابراین، اعدادی که ما به آنها علاقه مندیم، با جمله اول و تفاوت، یک پیشروی حسابی تشکیل می دهند.

فرمول ترم این پیشرفت:

اگر همه آنها باید دو رقمی باشند، چند عبارت در پیشرفت وجود دارد؟

بسیار آسان: .

آخرین ترم پیشرفت برابر خواهد بود. سپس مجموع:

پاسخ: .

حالا خودتان تصمیم بگیرید:

1. هر روز ورزشکار مترهای بیشتری نسبت به روز قبل می دود. اگر در روز اول کیلومتر متر دوید، مجموعا چند کیلومتر در هفته خواهد دوید؟
2. یک دوچرخه سوار هر روز کیلومترهای بیشتری را نسبت به روز قبل طی می کند. روز اول کیلومتر را طی کرد. برای طی کردن یک کیلومتر به چند روز سفر نیاز دارد؟ او در آخرین روز سفر چند کیلومتر را طی خواهد کرد؟
3. قیمت یخچال در مغازه ها هر سال به همین میزان کاهش می یابد. تعیین کنید که قیمت یک یخچال در هر سال چقدر کاهش می یابد اگر شش سال بعد به روبل برای فروش گذاشته شود.

پاسخ ها:

1. مهمترین چیز در اینجا تشخیص پیشروی حسابی و تعیین پارامترهای آن است. در این صورت، (هفته = روز). شما باید مجموع جمله های اول این پیشرفت را تعیین کنید:
   .
   پاسخ:
2. در اینجا داده می شود: , باید پیدا شود.
   بدیهی است که باید از همان فرمول جمع مانند مشکل قبلی استفاده کنید:
   .
   مقادیر را جایگزین کنید:

   بدیهی است که ریشه مناسب نیست، بنابراین پاسخ این است.
   بیایید مسیر طی شده در روز گذشته را با استفاده از فرمول جمله ام محاسبه کنیم:
   (کیلومتر).
   پاسخ:

3. داده شده: . پیدا کردن: .
   ساده تر از این نمی تواند باشد:
   (مالیدن).
   پاسخ:

پیشروی حسابی. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

این یک دنباله اعداد است که در آن تفاوت بین اعداد مجاور یکسان و مساوی است.

پیشرفت محاسباتی می تواند افزایش () و کاهش () باشد.

مثلا:

فرمول یافتن ترم n یک پیشرفت حسابی

با فرمول نوشته می شود، جایی که تعداد اعداد در حال پیشرفت است.

ویژگی اعضای یک پیشرفت حسابی

این به شما امکان می دهد به راحتی یک عبارت از یک پیشروی را در صورت شناخته شدن شرایط همسایه آن پیدا کنید - تعداد اعداد در پیشرفت کجاست.

مجموع شرایط یک پیشرفت حسابی

دو راه برای پیدا کردن مقدار وجود دارد:

تعداد مقادیر کجاست.

تعداد مقادیر کجاست.

2/3 مقاله باقیمانده فقط برای دانش‌آموزان باهوش در دسترس است!

دانش آموز YouClever شوید،

برای آزمون دولتی واحد یا آزمون دولتی واحد در ریاضیات به قیمت "یک فنجان قهوه در ماه" آماده شوید.

و همچنین دسترسی نامحدود به کتاب درسی "YouClever"، برنامه آماده سازی "100gia" (کتاب حل)، یک آزمون آزمایشی نامحدود Unified State Exam و Unified State Exam، 6000 مشکل با تجزیه و تحلیل راه حل ها، و سایر خدمات YouClever و 100gia داشته باشید.

در ریاضیات، به هر مجموعه ای از اعداد که به نوعی به دنبال یکدیگر هستند، دنباله می گویند. از بین تمام دنباله های موجود اعداد، دو مورد جالب متمایز می شود: پیشرفت های جبری و هندسی.

پیشروی حسابی چیست؟

فوراً باید گفت که پیشرفت جبری اغلب حساب نامیده می شود ، زیرا خواص آن توسط شاخه ریاضیات - حساب مورد مطالعه قرار می گیرد.

این پیشروی دنباله ای از اعداد است که در آن هر عضو بعدی با یک عدد ثابت مشخص با عضو قبلی متفاوت است. به آن تفاوت یک پیشرفت جبری می گویند. برای قطعیت، آن را با حرف لاتین d نشان می دهیم.

نمونه ای از چنین دنباله ای می تواند موارد زیر باشد: 3، 5، 7، 9، 11 ...، در اینجا می بینید که عدد 5 بزرگتر از عدد 3 در 2 است، 7 بزرگتر از 5 در 2 است، و به زودی. بنابراین، در مثال ارائه شده، d = 5-3 = 7-5 = 9-7 = 11-9 = 2.

انواع پیشرفت های حسابی کدامند؟

ماهیت این دنباله های مرتب اعداد تا حد زیادی با علامت عدد d تعیین می شود. انواع زیر از پیشرفت های جبری متمایز می شوند:

• هنگامی که d مثبت است افزایش می یابد (d>0).
• ثابت زمانی که d = 0;
• زمانی که d منفی است کاهش می یابد (d<0).

مثال ارائه شده در پاراگراف قبل یک پیشرفت فزاینده را نشان می دهد. نمونه ای از یک دنباله نزولی دنباله اعداد زیر است: 10، 5، 0، -5، -10، -15 ... یک پیشروی ثابت، همانطور که در تعریف آن آمده است، مجموعه ای از اعداد یکسان است.

نهمین ترم پیشرفت

با توجه به اینکه هر عدد بعدی در پیشروی مورد بررسی یک عدد ثابت d با عدد قبلی متفاوت است، ترم nام آن به راحتی قابل تعیین است. برای انجام این کار، شما باید نه تنها d، بلکه یک 1 - اولین ترم پیشرفت را نیز بدانید. با استفاده از یک رویکرد بازگشتی، می توان یک فرمول پیشرفت جبری برای یافتن عبارت n به دست آورد. به نظر می رسد: a n = a 1 + (n-1)*d. این فرمول بسیار ساده است و به طور مستقیم قابل درک است.

همچنین استفاده از آن دشوار نیست. به عنوان مثال، در پیشرفت داده شده در بالا (d=2، a 1 =3)، عبارت 35 آن را تعریف می کنیم. طبق فرمول، برابر خواهد بود: a 35 = 3 + (35-1) * 2 = 71.

فرمول برای مقدار

هنگامی که یک پیشروی حسابی داده می شود، مجموع n جمله اول آن یک مشکل است که اغلب با آن مواجه می شود، همراه با تعیین مقدار جمله n. فرمول مجموع یک پیشروی جبری به شکل زیر نوشته شده است: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2، در اینجا نماد ∑ n 1 نشان می دهد که جمله های 1 تا n جمع شده اند.

عبارت فوق را می توان با توسل به خواص همان بازگشت به دست آورد، اما راه آسان تری برای اثبات صحت آن وجود دارد. بیایید 2 جمله اول و 2 جمله آخر این مجموع را بنویسیم و آنها را با اعداد a 1، a n و d بیان کنیم، و به دست می‌آید: a 1، a 1 +d،...،a n -d، a n. حال توجه داشته باشید که اگر جمله اول را به آخرین جمله اضافه کنیم دقیقاً برابر با مجموع جمله دوم و ماقبل آخر یعنی a 1 +a n خواهد بود. به همین ترتیب می توان نشان داد که با جمع عبارت های سوم و ماقبل آخر و غیره می توان همان جمع را به دست آورد. در مورد یک جفت اعداد در دنباله، n/2 مجموع به دست می آوریم که هر کدام برابر با 1 +a n است. یعنی فرمول فوق را برای پیشرفت جبری برای مجموع بدست می آوریم: ∑ n 1 = n*(a 1 +a n)/2.

اگر از استدلال شرح داده شده پیروی کنید، برای تعداد جفت نشده n فرمول مشابهی به دست می آید. فقط به یاد داشته باشید که عبارت باقی مانده را که در مرکز پیشرفت قرار دارد، اضافه کنید.

بیایید نحوه استفاده از فرمول بالا را با استفاده از مثال یک پیشرفت ساده که در بالا معرفی شد نشان دهیم (3، 5، 7، 9، 11 ...). مثلاً باید مجموع 15 جمله اول آن را مشخص کرد. ابتدا بیایید یک عدد 15 را تعریف کنیم. با استفاده از فرمول ترم n (به پاراگراف قبلی مراجعه کنید)، دریافت می کنیم: a 15 = a 1 + (n-1)*d = 3 + (15-1)*2 = 31. اکنون می توانیم فرمول را برای مجموع یک پیشرفت جبری: ∑ 15 1 = 15*(3+31)/2 = 255.

ذکر یک واقعیت جالب تاریخی جالب است. فرمول مجموع یک تصاعد حسابی اولین بار توسط کارل گاوس (ریاضیدان مشهور آلمانی قرن هجدهم) بدست آمد. زمانی که او تنها 10 سال داشت معلمش از او خواست که مجموع اعداد 1 تا 100 را بیابد. آنها می گویند که گاوس کوچک این مشکل را در چند ثانیه حل کرد و متوجه شد که با جمع کردن اعداد از ابتدا و انتهای دنباله به صورت جفت همیشه می توانید 101 بگیرید و از آنجایی که 50 عدد از این دست وجود دارد سریع جواب داد: 50*101 = 5050.

نمونه ای از راه حل مسئله

برای تکمیل مبحث پیشرفت جبری مثالی از حل یک مسئله جالب دیگر می زنیم و بدین وسیله درک موضوع مورد بررسی را تقویت می کنیم. اجازه دهید یک پیشروی مشخص داده شود که تفاوت d = -3 برای آن مشخص است، و همچنین جمله 35 آن a 35 = -114 است. لازم است که ترم 7 پیشرفت a 7 پیدا شود.

همانطور که از شرایط مسئله مشخص است، مقدار 1 ناشناخته است، بنابراین استفاده از فرمول برای عبارت n به طور مستقیم امکان پذیر نخواهد بود. روش بازگشتی نیز ناخوشایند است که اجرای آن به صورت دستی دشوار است و احتمال اشتباه وجود دارد. بیایید به صورت زیر عمل کنیم: فرمول های 7 و 35 را بنویسیم، داریم: a 7 = a 1 + 6*d و a 35 = a 1 + 34*d. دومی را از عبارت اول کم کنید، به دست می آید: a 7 - a 35 = a 1 + 6*d - a 1 - 34*d. به شرح زیر است: a 7 = a 35 - 28 *d. باقی مانده است که داده های شناخته شده از بیان مسئله را جایگزین کرده و پاسخ را بنویسید: a 7 = -114 - 28*(-3) = -30.

پیشرفت هندسی

برای آشکار کردن موضوع مقاله به طور کامل، توضیح مختصری از نوع دیگری از پیشرفت - هندسی ارائه می دهیم. در ریاضیات، این نام به عنوان دنباله ای از اعداد درک می شود که در آن هر عبارت بعدی با یک عامل خاص با عبارت قبلی متفاوت است. بیایید این عامل را با حرف r نشان دهیم. به آن مخرج نوع پیشرفت در نظر گرفته می شود. نمونه ای از این دنباله اعداد عبارتند از: 1، 5، 25، 125، ...

همانطور که از تعریف بالا پیداست، پیشرفت های جبری و هندسی از نظر ایده مشابه هستند. تفاوت آنها در این است که اولی کندتر از دومی تغییر می کند.

پیشرفت هندسی نیز می تواند افزایشی، ثابت یا کاهشی باشد. نوع آن به مقدار مخرج r بستگی دارد: اگر r>1 باشد، یک پیشرفت فزاینده وجود دارد، اگر r<1 - убывающая, наконец, если r = 1 - постоянная, которая в этом случае может также называться постоянной арифметической прогрессией.

فرمول های پیشرفت هندسی

همانطور که در مورد جبری، فرمول های یک پیشرفت هندسی به تعیین n ام ترم آن و مجموع n جمله کاهش می یابد. در زیر این عبارات آمده است:

• a n = a 1 *r (n-1) - این فرمول از تعریف پیشرفت هندسی ناشی می شود.
• ∑ n 1 = a 1 *(r n -1)/(r-1). توجه به این نکته ضروری است که اگر r = 1 باشد، فرمول فوق عدم قطعیت می دهد، بنابراین نمی توان از آن استفاده کرد. در این حالت، مجموع n جمله برابر با حاصل ضرب ساده a 1 *n خواهد بود.

برای مثال، بیایید مجموع تنها 10 جمله دنباله 1، 5، 25، 125، ... را پیدا کنیم با دانستن اینکه a 1 = 1 و r = 5، به دست می آید: ∑ 10 1 = 1*(5 10 -1 )/4 = 2441406. مقدار حاصل نمونه واضحی از سرعت رشد پیشروی هندسی است.

شاید اولین ذکر این پیشرفت در تاریخ، افسانه صفحه شطرنج باشد، زمانی که یکی از دوستان سلطان که به او بازی شطرنج را آموخته بود، برای خدمت او غلات خواست. علاوه بر این، مقدار دانه باید به این صورت باشد: یک دانه باید در مربع اول صفحه شطرنج، در دومی دو برابر اولی، در سومی دو برابر دومی و غیره قرار گیرد. . سلطان با کمال میل پذیرفت که این خواسته را برآورده کند، اما نمی دانست که برای وفای به قول خود باید تمام سطل های کشورش را خالی کند.