نحوه تعیین انتظار مات انتظار یک متغیر تصادفی پیوسته

- تعداد پسر در بین 10 نوزاد.

کاملاً واضح است که این تعداد از قبل مشخص نیست و ده فرزند بعدی که متولد می شوند ممکن است شامل موارد زیر باشد:

یا پسران - یک و تنها یکاز گزینه های ذکر شده

و برای حفظ تناسب اندام، کمی تربیت بدنی:

- مسافت پرش طولانی (در برخی واحدها).

حتی یک استاد ورزش هم نمی تواند آن را پیش بینی کند :)

با این حال، فرضیه های شما؟

2) متغیر تصادفی پیوسته - می پذیرد همهمقادیر عددی از یک بازه محدود یا نامتناهی.

توجه داشته باشید : اختصارات DSV و NSV در ادبیات آموزشی رایج است

ابتدا بیایید متغیر تصادفی گسسته را تجزیه و تحلیل کنیم، سپس - مداوم.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته

- این مکاتباتبین مقادیر ممکن این کمیت و احتمالات آنها. اغلب، قانون در یک جدول نوشته شده است:

این اصطلاح اغلب ظاهر می شود ردیف توزیع، اما در برخی موقعیت ها مبهم به نظر می رسد و بنابراین من به "قانون" پایبند خواهم بود.

و حالا نکته بسیار مهم: از متغیر تصادفی لزوماخواهد پذیرفت یکی از ارزش ها، سپس رویدادهای مربوطه تشکیل می شود گروه کاملو مجموع احتمالات وقوع آنها برابر با یک است:

یا اگر به صورت فشرده نوشته شود:

بنابراین، برای مثال، قانون توزیع احتمال نقاط نورد شده روی یک قالب به شکل زیر است:

بدون نظر.

ممکن است این تصور را داشته باشید که یک متغیر تصادفی گسسته فقط می‌تواند مقادیر صحیح «خوب» بگیرد. بیایید این توهم را از بین ببریم - آنها می توانند هر چیزی باشند:

مثال 1

برخی از بازی ها قانون توزیع برنده زیر را دارند:

...احتمالا مدتهاست که آرزوی چنین کارهایی را داشته اید :) رازی را به شما می گویم - من هم. به خصوص پس از اتمام کار بر روی نظریه میدانی.

راه حل: از آنجایی که یک متغیر تصادفی می تواند تنها یکی از سه مقدار را بگیرد، رویدادهای مربوطه تشکیل می شوند گروه کامل، یعنی مجموع احتمالات آنها برابر با یک است:

افشای "حزب":

– بنابراین، احتمال برنده شدن واحدهای معمولی 0.4 است.

کنترل: این چیزی است که ما باید از آن مطمئن شویم.

پاسخ:

زمانی که لازم است خودتان قانون توزیع تهیه کنید، غیر معمول نیست. برای این استفاده می کنند تعریف کلاسیک احتمال, قضایای ضرب/جمع برای احتمالات رویدادو چیپس های دیگر tervera:

مثال 2

این جعبه حاوی 50 بلیط بخت آزمایی است که از بین آنها 12 برنده است و 2 تای آنها هر کدام 1000 روبل و بقیه - هر کدام 100 روبل برنده می شوند. یک قانون برای توزیع یک متغیر تصادفی ترسیم کنید - اندازه بردها، اگر یک بلیط به طور تصادفی از جعبه کشیده شود.

راه حل: همانطور که متوجه شدید، مقادیر یک متغیر تصادفی معمولا در آن قرار می گیرند به ترتیب صعودی. بنابراین، ما با کوچکترین بردها، یعنی روبل شروع می کنیم.

در کل 50 بلیط وجود دارد - 12 = 38 و با توجه به تعریف کلاسیک:
- احتمال اینکه بلیطی که به طور تصادفی گرفته شده بازنده باشد.

در موارد دیگر همه چیز ساده است. احتمال برنده شدن روبل:

بررسی کنید: - و این لحظه به خصوص لذت بخش از این وظایف است!

پاسخ: قانون مورد نظر توزیع برنده ها:

وظیفه زیر برای شماست که خودتان آن را حل کنید:

مثال 3

احتمال برخورد تیرانداز به هدف است. یک قانون توزیع برای یک متغیر تصادفی ترسیم کنید - تعداد ضربه ها بعد از 2 ضربه.

...میدونستم دلت براش تنگ شده :) یادمون باشه قضایای ضرب و جمع. راه حل و پاسخ در پایان درس است.

قانون توزیع به طور کامل یک متغیر تصادفی را توصیف می کند، اما در عمل دانستن تنها برخی از آن می تواند مفید (و گاهی اوقات مفیدتر) باشد. ویژگی های عددی .

انتظار یک متغیر تصادفی گسسته

به عبارت ساده، این است میانگین ارزش مورد انتظارزمانی که تست بارها تکرار می شود. اجازه دهید متغیر تصادفی مقادیر با احتمالات را بگیرد به ترتیب. سپس انتظار ریاضی از این متغیر تصادفی برابر است با مجموع محصولاتتمام مقادیر آن به احتمالات مربوطه:

یا فرو ریخت:

به عنوان مثال، انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی را محاسبه کنیم - تعداد نقاطی که روی یک قالب ریخته شده است:

حالا بیایید بازی فرضی خود را به یاد بیاوریم:

این سوال پیش می آید: آیا اصلاً انجام این بازی سودآور است؟ ... چه کسی برداشتی دارد؟ بنابراین شما نمی توانید آن را "بی رویه" بگویید! اما این سوال را می توان به راحتی با محاسبه انتظارات ریاضی پاسخ داد، اساسا - میانگین وزنیبر اساس احتمال برنده شدن:

بنابراین، انتظارات ریاضی از این بازی از دست دادن.

به برداشت های خود اعتماد نکنید - به اعداد اعتماد کنید!

بله، در اینجا شما می توانید 10 یا حتی 20-30 بار متوالی برنده شوید، اما در دراز مدت، خرابی اجتناب ناپذیر در انتظار ما است. و من به شما توصیه نمی کنم که چنین بازی هایی انجام دهید :) خب، شاید فقط برای سرگرمی.

از تمام موارد فوق نتیجه می شود که انتظارات ریاضی دیگر یک مقدار تصادفی نیست.

کار خلاقانه برای تحقیق مستقل:

مثال 4

آقای X با استفاده از سیستم زیر رولت اروپایی بازی می کند: او دائماً 100 روبل روی "قرمز" شرط بندی می کند. قانون توزیع یک متغیر تصادفی - برنده های آن را ترسیم کنید. انتظارات ریاضی برنده ها را محاسبه کنید و آن را به نزدیکترین کوپک گرد کنید. چند تا میانگینآیا بازیکن به ازای هر صد شرط بندی بازنده می شود؟

ارجاع : رولت اروپایی شامل 18 بخش قرمز، 18 سیاه و 1 بخش سبز ("صفر") است. اگر "قرمز" ظاهر شود، دو برابر شرط به بازیکن پرداخت می شود، در غیر این صورت به درآمد کازینو می رود

بسیاری از سیستم های رولت دیگری وجود دارند که می توانید جداول احتمال خود را برای آنها ایجاد کنید. اما این در شرایطی است که ما به هیچ قانون یا جدولی نیاز نداریم، زیرا به طور قطع ثابت شده است که انتظارات ریاضی بازیکن دقیقاً یکسان خواهد بود. تنها چیزی که از سیستمی به سیستم دیگر تغییر می کند این است

هر مقدار جداگانه به طور کامل توسط تابع توزیع آن تعیین می شود. همچنین برای حل مسائل عملی، دانستن چندین ویژگی عددی کافی است که به لطف آنها می توان ویژگی های اصلی یک متغیر تصادفی را به صورت کوتاه ارائه کرد.

این مقادیر در درجه اول شامل می شود ارزش مورد انتظارو پراکندگی .

ارزش مورد انتظار- مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال. به عنوان مشخص شده است.

به ساده ترین روش، انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی X(w)، چگونگی را پیدا کنید انتگراللبگدر رابطه با معیار احتمال آر اصلی فضای احتمال

همچنین می توانید انتظار ریاضی یک مقدار را به عنوان پیدا کنید انتگرال Lebesgueاز جانب ایکسبا توزیع احتمال R Xمقادیر ایکس:

مجموعه تمام مقادیر ممکن کجاست ایکس.

انتظارات ریاضی توابع از یک متغیر تصادفی ایکساز طریق توزیع یافت می شود R X. مثلا، اگر ایکس- یک متغیر تصادفی با مقادیر در و f(x)- بدون ابهام بورلتابع ایکس ، این که:

اگر F(x)- تابع توزیع ایکس، پس انتظار ریاضی قابل نمایش است انتگرالLebesgue - Stieltjes (یا Riemann - Stieltjes):

در این مورد یکپارچگی ایکسبه لحاظ ( * ) مربوط به محدود بودن انتگرال است

در موارد خاص، اگر ایکسدارای توزیع گسسته با مقادیر احتمالی است x k, k=1، 2، . ، و احتمالات، سپس

اگر ایکستوزیع کاملاً پیوسته با چگالی احتمال دارد p(x)، آن

در این حالت، وجود یک انتظار ریاضی معادل همگرایی مطلق سری یا انتگرال مربوطه است.

ویژگی های انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی.

• انتظار ریاضی یک مقدار ثابت برابر با این مقدار است:

سی- ثابت؛

• M=C.M[X]

• انتظارات ریاضی از مجموع مقادیر تصادفی گرفته شده برابر است با مجموع انتظارات ریاضی آنها:

• انتظارات ریاضی حاصل ضرب متغیرهای تصادفی مستقل = حاصلضرب انتظارات ریاضی آنها:

M=M[X]+M[Y]

اگر ایکسو Yمستقل.

اگر سری همگرا شوند:

الگوریتم محاسبه انتظارات ریاضی.

ویژگی های متغیرهای تصادفی گسسته: تمام مقادیر آنها را می توان با اعداد طبیعی شماره گذاری کرد. به هر مقدار یک احتمال غیر صفر اختصاص دهید.

1. جفت ها را یک به یک ضرب کنید: x iبر p i.

2. محصول هر جفت را اضافه کنید x i p i.

مثلا، برای n = 4 :

تابع توزیع یک متغیر تصادفی گسستهگام به گام، در نقاطی که احتمالات آنها علامت مثبت دارد، ناگهان افزایش می یابد.

مثال:انتظارات ریاضی را با استفاده از فرمول پیدا کنید.

انتظار توزیع احتمال یک متغیر تصادفی است

انتظارات ریاضی، تعریف، انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته، نمونه، انتظار شرطی، محاسبه، خواص، مسائل، تخمین انتظار، پراکندگی، تابع توزیع، فرمول‌ها، مثال‌های محاسبه

مطالب را گسترش دهید

جمع کردن محتوا

انتظار ریاضی تعریف است

یکی از مهمترین مفاهیم در آمار ریاضی و نظریه احتمال، مشخص کردن توزیع مقادیر یا احتمالات یک متغیر تصادفی است. معمولاً به عنوان میانگین وزنی تمام پارامترهای ممکن یک متغیر تصادفی بیان می شود. به طور گسترده در تحلیل تکنیکال، مطالعه سری های اعداد و مطالعه فرآیندهای مستمر و وقت گیر استفاده می شود. در ارزیابی ریسک‌ها، پیش‌بینی شاخص‌های قیمت هنگام معامله در بازارهای مالی مهم است و در توسعه استراتژی‌ها و روش‌های تاکتیک‌های بازی در تئوری قمار استفاده می‌شود.

انتظار ریاضی استمقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی، توزیع احتمال یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال در نظر گرفته می شود.

انتظار ریاضی استاندازه گیری مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال. انتظار یک متغیر تصادفی ایکسنشان داده شده با M(x).

انتظار ریاضی است

انتظار ریاضی استدر تئوری احتمال، میانگین وزنی تمام مقادیر ممکن که یک متغیر تصادفی می تواند بگیرد.

انتظار ریاضی استمجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات این مقادیر.

انتظار ریاضی استمیانگین سود از یک تصمیم خاص، مشروط بر اینکه بتوان چنین تصمیمی را در چارچوب تئوری اعداد بزرگ و مسافت طولانی در نظر گرفت.

انتظار ریاضی استدر تئوری قمار، میزان بردی که یک بازیکن می تواند به طور متوسط ​​برای هر شرط به دست آورد یا از دست بدهد. در اصطلاح قمار، گاهی اوقات به آن "لبه بازیکن" (اگر برای بازیکن مثبت باشد) یا "لبه خانه" (اگر برای بازیکن منفی باشد) می گویند.

انتظار ریاضی استدرصد سود به ازای هر برد ضرب در سود متوسط، منهای احتمال ضرر ضرب در میانگین ضرر.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی در نظریه ریاضی

یکی از ویژگی های عددی مهم یک متغیر تصادفی، انتظار ریاضی آن است. اجازه دهید مفهوم سیستم متغیرهای تصادفی را معرفی کنیم. بیایید مجموعه ای از متغیرهای تصادفی را در نظر بگیریم که نتایج همان آزمایش تصادفی هستند. اگر یکی از مقادیر ممکن سیستم باشد، آنگاه رویداد با احتمال خاصی مطابقت دارد که بدیهیات کلموگروف را برآورده می کند. تابعی که برای هر مقدار ممکن از متغیرهای تصادفی تعریف می شود، قانون توزیع مشترک نامیده می شود. این تابع به شما اجازه می دهد تا احتمالات هر رویداد را از آن محاسبه کنید. به طور خاص، قانون توزیع مشترک متغیرهای تصادفی و که مقادیر را از مجموعه می گیرند و توسط احتمالات داده می شود.

اصطلاح "انتظار ریاضی" توسط پیر سیمون مارکیز د لاپلاس (1795) معرفی شد و از مفهوم "ارزش مورد انتظار برنده" می آید که برای اولین بار در قرن هفدهم در نظریه قمار در آثار بلز پاسکال و کریستیان ظاهر شد. هویگنس. با این حال، اولین درک نظری و ارزیابی کامل از این مفهوم توسط پافنوتی لوویچ چبیشف (اواسط قرن نوزدهم) ارائه شد.

قانون توزیع متغیرهای عددی تصادفی (تابع توزیع و سری توزیع یا چگالی احتمال) به طور کامل رفتار یک متغیر تصادفی را توصیف می کند. اما در تعدادی از مسائل، دانستن برخی از خصوصیات عددی کمیت مورد مطالعه (مثلاً مقدار متوسط ​​و انحراف احتمالی آن) برای پاسخ به سوال مطرح شده کافی است. ویژگی های عددی اصلی متغیرهای تصادفی عبارتند از انتظار ریاضی، واریانس، حالت و میانه.

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته، مجموع حاصل از مقادیر ممکن و احتمالات مربوط به آن است. گاهی اوقات انتظارات ریاضی را میانگین وزنی می نامند، زیرا تقریباً برابر است با میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده یک متغیر تصادفی در تعداد زیادی آزمایش. از تعریف انتظار ریاضی چنین برمی‌آید که مقدار آن از کوچک‌ترین مقدار ممکن یک متغیر تصادفی کمتر و از بزرگترین آن بیشتر نیست. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی یک متغیر غیر تصادفی (ثابت) است.

انتظار ریاضی معنای فیزیکی ساده ای دارد: اگر یک واحد جرم را روی یک خط مستقیم قرار دهید، جرم خاصی را در برخی نقاط قرار دهید (برای توزیع گسسته)، یا آن را با چگالی معین «لکه کنید» (برای توزیع کاملاً پیوسته) ، سپس نقطه متناظر با انتظارات ریاضی مختصات "مرکز ثقل" مستقیم خواهد بود.

مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی عدد معینی است که همان طور که گفته شد «نماینده» آن است و در محاسبات تقریباً تقریبی جایگزین آن می‌شود. وقتی می گوییم: "متوسط ​​زمان کارکرد لامپ 100 ساعت است" یا "متوسط ​​نقطه ضربه نسبت به هدف 2 متر به سمت راست جابه جا شده است"، مشخصه عددی خاصی از یک متغیر تصادفی را نشان می دهیم که مکان آن را توصیف می کند. روی محور عددی، یعنی. "ویژگی های موقعیت".

از ویژگی های یک موقعیت در نظریه احتمال، مهمترین نقش را انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی ایفا می کند که گاهی اوقات به سادگی مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی نامیده می شود.

متغیر تصادفی را در نظر بگیرید ایکس، داشتن مقادیر ممکن x1، x2، …، xnبا احتمالات p1, p2, …, pn. با در نظر گرفتن این واقعیت که این مقادیر احتمالات متفاوتی دارند، باید موقعیت مقادیر یک متغیر تصادفی را در محور x با مقداری مشخص کنیم. برای این منظور، طبیعی است که از به اصطلاح «میانگین وزنی» مقادیر استفاده شود xi، و هر مقدار xi در طول میانگین گیری باید با یک "وزن" متناسب با احتمال این مقدار در نظر گرفته شود. بنابراین میانگین متغیر تصادفی را محاسبه خواهیم کرد ایکس، که به آن اشاره می کنیم M |X|:

این میانگین وزنی را انتظار ریاضی از متغیر تصادفی می نامند. بنابراین، ما یکی از مهمترین مفاهیم نظریه احتمال - مفهوم انتظار ریاضی را در نظر گرفتیم. انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی، مجموع حاصل از تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات این مقادیر است.

بذار تولید بشه نآزمایش های مستقل، که در هر یک از آنها ارزش ایکسارزش خاصی به خود می گیرد. بیایید فرض کنیم که ارزش x1ظاهر شد m1بار، ارزش x2ظاهر شد متر مربعبار، معنای عام xiبارها ظاهر شد اجازه دهید میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده از مقدار X را محاسبه کنیم که بر خلاف انتظارات ریاضی M|X|نشان می دهیم M*|X|:

با افزایش تعداد آزمایشات نفرکانس ها پیبه احتمالات مربوطه نزدیک می شود (در احتمال همگرا می شود). در نتیجه، میانگین حسابی مقادیر مشاهده شده از متغیر تصادفی M|X|با افزایش تعداد آزمایش‌ها، به انتظارات ریاضی خود نزدیک می‌شود (احتمال همگرایی). ارتباط بین میانگین حسابی و انتظارات ریاضی که در بالا فرموله شد، محتوای یکی از اشکال قانون اعداد بزرگ را تشکیل می دهد.

ما قبلاً می دانیم که همه اشکال قانون اعداد بزرگ بیانگر این واقعیت است که برخی از میانگین ها در تعداد زیادی آزمایش پایدار هستند. در اینجا ما در مورد پایداری میانگین حسابی از یک سری مشاهدات با همان کمیت صحبت می کنیم. با تعداد کمی آزمایش، میانگین حسابی نتایج آنها تصادفی است. با افزایش کافی در تعداد آزمایش ها، "تقریبا غیر تصادفی" می شود و با تثبیت به یک مقدار ثابت - انتظار ریاضی نزدیک می شود.

پایداری میانگین ها در تعداد زیادی آزمایش را می توان به راحتی به صورت تجربی تأیید کرد. به عنوان مثال، هنگام توزین یک بدن در آزمایشگاه بر روی ترازوهای دقیق، در نتیجه توزین هر بار مقدار جدیدی به دست می آید. برای کاهش خطای مشاهده، بدن را چندین بار وزن کرده و از میانگین حسابی مقادیر به دست آمده استفاده می کنیم. به راحتی می توان دریافت که با افزایش بیشتر تعداد آزمایش ها (توزین)، میانگین حسابی کمتر و کمتر به این افزایش واکنش نشان می دهد و با تعداد کافی آزمایش، عملاً تغییر نمی کند.

لازم به ذکر است که مهمترین مشخصه موقعیت یک متغیر تصادفی - انتظار ریاضی - برای همه متغیرهای تصادفی وجود ندارد. می توان نمونه هایی از چنین متغیرهای تصادفی را که انتظار ریاضی برای آنها وجود ندارد، ایجاد کرد، زیرا مجموع یا انتگرال مربوطه واگرا می شود. با این حال، چنین مواردی برای تمرین جالب نیست. به طور معمول، متغیرهای تصادفی که با آنها سروکار داریم، محدوده محدودی از مقادیر ممکن و البته انتظار ریاضی دارند.

علاوه بر مهمترین ویژگی های موقعیت یک متغیر تصادفی - انتظار ریاضی - در عمل، گاهی اوقات از سایر ویژگی های موقعیت به ویژه حالت و میانه متغیر تصادفی استفاده می شود.

حالت یک متغیر تصادفی محتمل ترین مقدار آن است. اصطلاح "محتمل ترین مقدار" به طور دقیق فقط در مورد کمیت های ناپیوسته کاربرد دارد. برای یک کمیت پیوسته، حالت مقداری است که در آن چگالی احتمال حداکثر است. شکل ها به ترتیب حالت متغیرهای تصادفی ناپیوسته و پیوسته را نشان می دهند.

اگر چندضلعی توزیع (منحنی توزیع) بیش از یک ماکزیمم داشته باشد، توزیع را "چند وجهی" می نامند.

گاهی اوقات توزیع هایی وجود دارند که یک حداقل در وسط دارند نه حداکثر. چنین توزیع هایی "ضد وجهی" نامیده می شوند.

در حالت کلی، حالت و انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی با هم مطابقت ندارند. در حالت خاص، وقتی توزیع متقارن و مدال است (یعنی حالت دارد) و انتظار ریاضی وجود دارد، آنگاه با حالت و مرکز تقارن توزیع منطبق است.

یکی دیگر از ویژگی های موقعیت اغلب استفاده می شود - به اصطلاح میانه یک متغیر تصادفی. این مشخصه معمولاً فقط برای متغیرهای تصادفی پیوسته استفاده می شود، اگرچه می توان آن را به طور رسمی برای یک متغیر ناپیوسته تعریف کرد. از نظر هندسی، میانه آبسیسا نقطه ای است که در آن ناحیه محصور شده توسط منحنی توزیع به نصف تقسیم می شود.

در مورد توزیع مودال متقارن، میانه با انتظار و حالت ریاضی منطبق است.

انتظارات ریاضی مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی است - یک مشخصه عددی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی. در کلی ترین حالت، انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی است X(w)با توجه به اندازه گیری احتمال به عنوان انتگرال Lebesgue تعریف می شود آردر فضای احتمال اصلی:

انتظارات ریاضی را می توان به عنوان انتگرال Lebesgue نیز محاسبه کرد ایکسبا توزیع احتمال pxمقادیر ایکس:

مفهوم متغیر تصادفی با انتظارات ریاضی بی نهایت را می توان به روشی طبیعی تعریف کرد. یک مثال معمولی زمان بازگشت برخی از پیاده روی های تصادفی است.

با استفاده از انتظارات ریاضی، بسیاری از ویژگی های عددی و تابعی یک توزیع تعیین می شود (به عنوان انتظار ریاضی توابع متناظر یک متغیر تصادفی)، به عنوان مثال، تابع مولد، تابع مشخصه، گشتاورهای هر مرتبه، به ویژه پراکندگی، کوواریانس. .

انتظارات ریاضی مشخصه مکان مقادیر یک متغیر تصادفی (مقدار متوسط ​​توزیع آن) است. در این ظرفیت، انتظار ریاضی به عنوان برخی از پارامترهای توزیع "معمولی" عمل می کند و نقش آن مشابه نقش لحظه ایستا - مختصات مرکز ثقل توزیع جرم - در مکانیک است. از دیگر ویژگی های مکان که با کمک آنها توزیع به طور کلی توصیف می شود - میانه ها، حالت ها، انتظارات ریاضی در مقدار بیشتری که آن و مشخصه پراکندگی مربوطه - پراکندگی - در قضایای حدی نظریه احتمال دارند متفاوت است. معنای انتظار ریاضی به طور کامل توسط قانون اعداد بزرگ (نابرابری چبیشف) و قانون تقویت شده اعداد بزرگ آشکار می شود.

انتظار یک متغیر تصادفی گسسته

اجازه دهید یک متغیر تصادفی وجود داشته باشد که بتواند یکی از چندین مقدار عددی را بگیرد (به عنوان مثال، تعداد امتیازها هنگام پرتاب تاس می تواند 1، 2، 3، 4، 5 یا 6 باشد). اغلب در عمل، برای چنین مقداری، این سوال مطرح می شود: با تعداد زیادی تست، چه مقداری به طور متوسط ​​می گیرد؟ میانگین درآمد (یا ضرر) ما از هر یک از معاملات پرخطر چقدر خواهد بود؟

فرض کنید نوعی قرعه کشی وجود دارد. ما می خواهیم بفهمیم که آیا شرکت در آن سودآور است یا نه (یا حتی شرکت مکرر و منظم). بیایید بگوییم که هر بلیط چهارم برنده است، جایزه 300 روبل و قیمت هر بلیط 100 روبل خواهد بود. با تعداد بی نهایت زیاد مشارکت، این اتفاق می افتد. در سه چهارم موارد ما ضرر خواهیم کرد، هر سه ضرر 300 روبل هزینه خواهد داشت. در هر چهارمین مورد 200 روبل برنده خواهیم شد. (جایزه منهای هزینه)، یعنی برای چهار شرکت به طور متوسط ​​100 روبل از دست می دهیم، برای یک - به طور متوسط ​​25 روبل. در مجموع، میانگین نرخ خرابی ما برای هر بلیط 25 روبل خواهد بود.

تاس ها را می اندازیم. اگر تقلب نباشد (بدون جابجایی مرکز ثقل و غیره)، پس به طور میانگین در یک زمان چند امتیاز خواهیم داشت؟ از آنجایی که احتمال هر گزینه به یک اندازه است، به سادگی میانگین حسابی را می گیریم و 3.5 می گیریم. از آنجایی که این میانگین است، نیازی به عصبانیت نیست که هیچ رول خاصی 3.5 امتیاز نمی دهد - خوب، این مکعب با چنین عددی صورت ندارد!

حال بیایید نمونه های خود را خلاصه کنیم:

بیایید به تصویر ارائه شده نگاه کنیم. در سمت چپ جدولی از توزیع یک متغیر تصادفی وجود دارد. مقدار X می تواند یکی از n مقدار ممکن را بگیرد (نشان داده شده در خط بالا). معانی دیگری نمی تواند وجود داشته باشد. در زیر هر مقدار ممکن، احتمال آن در زیر نوشته شده است. در سمت راست فرمول است که در آن M(X) انتظار ریاضی نامیده می شود. معنای این مقدار این است که با تعداد زیادی آزمون (با نمونه بزرگ)، مقدار متوسط ​​به همان انتظار ریاضی تمایل پیدا می کند.

بیایید دوباره به همان مکعب بازی برگردیم. انتظار ریاضی تعداد امتیاز هنگام پرتاب 3.5 است (اگر باور ندارید، خودتان با استفاده از فرمول آن را محاسبه کنید). فرض کنید شما آن را چند بار پرتاب کردید. نتایج 4 و 6 بود. میانگین 5 بود که با 3.5 فاصله زیادی دارد. یه بار دیگه انداختن 3 یعنی به طور متوسط ​​(4 + 6 + 3)/3 = 4.3333... یه جورایی دور از انتظار ریاضی. اکنون یک آزمایش دیوانه انجام دهید - مکعب را 1000 بار بچرخانید! و حتی اگر میانگین دقیقاً 3.5 نباشد، نزدیک به آن خواهد بود.

بیایید انتظارات ریاضی برای قرعه کشی که در بالا توضیح داده شد را محاسبه کنیم. صفحه به شکل زیر خواهد بود:

سپس انتظارات ریاضی همانطور که در بالا مشخص کردیم خواهد بود:

نکته دیگر این است که اگر گزینه های بیشتری وجود داشته باشد، انجام آن "روی انگشتان" بدون فرمول دشوار خواهد بود. خوب، فرض کنید 75 درصد بلیت های باخت، 20 درصد بلیت های برنده و 5 درصد به ویژه بلیت های برنده وجود دارد.

در حال حاضر برخی از ویژگی های انتظار ریاضی.

اثبات آن آسان است:

عامل ثابت را می توان به عنوان نشانه ای از انتظار ریاضی خارج کرد، یعنی:

این یک مورد خاص از ویژگی خطی بودن انتظار ریاضی است.

پیامد دیگر خطی بودن انتظار ریاضی:

یعنی انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی.

اجازه دهید X، Y متغیرهای تصادفی مستقل باشند، سپس:

این نیز به راحتی قابل اثبات است) کار کنید XYخود یک متغیر تصادفی است، و اگر مقادیر اولیه می تواند باشد nو متربر این اساس ارزش می دهد، پس XYمی تواند مقادیر nm را بگیرد. احتمال هر مقدار بر اساس چند برابر شدن احتمالات رویدادهای مستقل محاسبه می شود. در نتیجه این را دریافت می کنیم:

انتظار یک متغیر تصادفی پیوسته

متغیرهای تصادفی پیوسته دارای ویژگی هایی مانند چگالی توزیع (چگالی احتمال) هستند. اساساً وضعیتی را مشخص می کند که یک متغیر تصادفی مقادیری را از مجموعه اعداد واقعی اغلب و برخی دیگر را کمتر می گیرد. برای مثال این نمودار را در نظر بگیرید:

اینجا ایکس- متغیر تصادفی واقعی، f(x)- چگالی توزیع با قضاوت در این نمودار، در طول آزمایش مقدار ایکساغلب عددی نزدیک به صفر خواهد بود. شانس بیش از حد است 3 یا کوچکتر باشد -3 نه صرفا نظری

به عنوان مثال، یک توزیع یکنواخت وجود داشته باشد:

این کاملاً با درک شهودی سازگار است. فرض کنید، اگر تعداد زیادی اعداد واقعی تصادفی با توزیع یکنواخت دریافت کنیم، هر یک از بخش ها |0; 1| ، پس میانگین حسابی باید حدود 0.5 باشد.

ویژگی‌های انتظار ریاضی - خطی بودن و غیره که برای متغیرهای تصادفی گسسته قابل اعمال است، در اینجا نیز قابل استفاده است.

رابطه بین انتظارات ریاضی و سایر شاخص های آماری

در تحلیل آماری، همراه با انتظارات ریاضی، سیستمی از شاخص‌های وابسته به هم وجود دارد که همگنی پدیده‌ها و پایداری فرآیندها را منعکس می‌کند. شاخص های تغییرات اغلب معنای مستقلی ندارند و برای تجزیه و تحلیل بیشتر داده ها استفاده می شوند. استثنا ضریب تغییرات است که مشخص کننده همگنی داده ها است که یک مشخصه آماری ارزشمند است.

درجه تغییرپذیری یا پایداری فرآیندها در علم آمار را می توان با استفاده از چند شاخص اندازه گیری کرد.

مهمترین شاخصی که تغییرپذیری یک متغیر تصادفی را مشخص می کند، می باشد پراکندگیکه نزدیک ترین و مستقیم ترین ارتباط را با انتظارات ریاضی دارد. این پارامتر به طور فعال در انواع دیگر تحلیل های آماری (آزمایش فرضیه، تجزیه و تحلیل روابط علت و معلولی و غیره) استفاده می شود. مانند میانگین انحراف خطی، واریانس نیز میزان گسترش داده ها را در اطراف مقدار میانگین منعکس می کند.

ترجمه زبان نشانه ها به زبان کلمات مفید است. معلوم می شود که پراکندگی میانگین مربعات انحرافات است. یعنی ابتدا مقدار میانگین محاسبه می شود، سپس تفاوت بین هر مقدار اصلی و میانگین گرفته شده، مربع، اضافه شده و سپس بر تعداد مقادیر موجود در جامعه تقسیم می شود. تفاوت بین یک مقدار فردی و میانگین نشان دهنده اندازه گیری انحراف است. مجذور آن طوری است که همه انحرافات منحصراً به اعداد مثبت تبدیل می شوند و هنگام جمع کردن آنها از تخریب متقابل انحرافات مثبت و منفی جلوگیری می شود. سپس با توجه به مجذور انحرافات، به سادگی میانگین حسابی را محاسبه می کنیم. میانگین - مربع - انحرافات. انحرافات مجذور و میانگین محاسبه می شود. پاسخ به کلمه جادویی "پراکندگی" فقط در سه کلمه نهفته است.

با این حال، در شکل خالص آن، مانند میانگین حسابی، یا شاخص، پراکندگی استفاده نمی شود. این بیشتر یک شاخص کمکی و میانی است که برای انواع دیگر تحلیل های آماری استفاده می شود. حتی یک واحد اندازه گیری معمولی هم ندارد. با قضاوت بر اساس فرمول، این مربع واحد اندازه گیری داده های اصلی است.

اجازه دهید یک متغیر تصادفی را اندازه گیری کنیم نبرای مثال سرعت باد را ده بار اندازه می گیریم و می خواهیم مقدار متوسط ​​را پیدا کنیم. مقدار متوسط ​​چگونه با تابع توزیع مرتبط است؟

یا تاس را چند بار می اندازیم. تعداد نقاطی که با هر پرتاب روی تاس ظاهر می شود یک متغیر تصادفی است و می تواند هر مقدار طبیعی را از 1 تا 6 داشته باشد. نبه یک عدد بسیار خاص تمایل دارد - انتظار ریاضی Mx. در این مورد Mx = 3.5.

چگونه به این مقدار رسیدید؟ بگذار وارد شود نتست ها n1وقتی 1 امتیاز گرفتی n2یک بار - 2 امتیاز و غیره. سپس تعداد نتایجی که در آنها یک امتیاز کاهش یافته است:

به طور مشابه برای نتایج زمانی که 2، 3، 4، 5 و 6 امتیاز داده می شود.

اکنون فرض می کنیم که قانون توزیع متغیر تصادفی x را می دانیم، یعنی می دانیم که متغیر تصادفی x می تواند مقادیر x1، x2، ...، xk را با احتمالات p1، p2، ​​...، بگیرد. pk.

انتظار ریاضی Mx از یک متغیر تصادفی x برابر است با:

انتظارات ریاضی همیشه تخمین معقولی از برخی متغیرهای تصادفی نیست. بنابراین، برای تخمین میانگین حقوق، منطقی‌تر است که از مفهوم میانه استفاده کنیم، یعنی مقداری که تعداد افرادی که حقوق کمتر از میانه و بیشتر دریافت می‌کنند، مطابقت داشته باشند.

احتمال p1 که متغیر تصادفی x کمتر از x1/2 باشد و احتمال p2 که متغیر تصادفی x بزرگتر از x1/2 باشد، یکسان و برابر با 1/2 است. میانه به طور منحصر به فرد برای همه توزیع ها تعیین نمی شود.

استاندارد یا انحراف استاندارددر آمار به درجه انحراف داده ها یا مجموعه های مشاهده ای از مقدار AVERAGE گفته می شود. با حروف s یا s مشخص می شود. یک انحراف معیار کوچک نشان می دهد که داده ها در اطراف میانگین خوشه می شوند، در حالی که یک انحراف استاندارد بزرگ نشان می دهد که داده های اولیه دور از آن قرار دارند. انحراف معیار برابر است با جذر کمیتی به نام واریانس. میانگین مجذور مجذور اختلاف داده های اولیه است که از مقدار متوسط ​​منحرف می شود. انحراف استاندارد یک متغیر تصادفی جذر واریانس است:

مثال. در شرایط آزمایش هنگام شلیک به یک هدف، پراکندگی و انحراف استاندارد متغیر تصادفی را محاسبه کنید:

تغییر- نوسان، تغییرپذیری ارزش یک مشخصه در بین واحدهای جمعیت. مقادیر عددی منفرد یک مشخصه که در جمعیت مورد مطالعه یافت می شود، انواع مقادیر نامیده می شود. ناکافی بودن مقدار متوسط ​​برای توصیف کامل جمعیت ما را مجبور می کند که مقادیر متوسط ​​را با شاخص هایی تکمیل کنیم که به ما امکان می دهد با اندازه گیری تغییرپذیری (تغییر) مشخصه مورد مطالعه ویژگی این میانگین ها را ارزیابی کنیم. ضریب تغییرات با استفاده از فرمول محاسبه می شود:

محدوده تنوع(R) نشان دهنده تفاوت بین مقادیر حداکثر و حداقل ویژگی در جمعیت مورد مطالعه است. این شاخص کلی ترین ایده را در مورد تغییرپذیری مشخصه مورد مطالعه ارائه می دهد، زیرا تنها تفاوت بین حداکثر مقادیر گزینه ها را نشان می دهد. وابستگی به مقادیر شدید یک مشخصه به دامنه تغییرات یک شخصیت ناپایدار و تصادفی می دهد.

میانگین انحراف خطینشان دهنده میانگین حسابی انحرافات مطلق (مدول) همه مقادیر جمعیت مورد تجزیه و تحلیل از مقدار متوسط ​​آنها است:

انتظارات ریاضی در نظریه قمار

انتظار ریاضی استمیانگین مقدار پولی که یک قمارباز می تواند در یک شرط بندی برنده یا ببازد. این یک مفهوم بسیار مهم برای بازیکن است زیرا برای ارزیابی بیشتر موقعیت های بازی اساسی است. انتظارات ریاضی نیز ابزار بهینه برای تجزیه و تحلیل طرح‌بندی کارت‌ها و موقعیت‌های بازی است.

فرض کنید در حال انجام یک بازی سکه ای با یک دوست هستید و هر بار به اندازه یک دلار شرط بندی می کنید، مهم نیست چه اتفاقی می افتد. دم به معنای برنده شدن است، سر یعنی باخت. شانس بالا رفتن یک به یک است، بنابراین شما 1 دلار به 1 دلار شرط می بندید. بنابراین، انتظارات ریاضی شما صفر است، زیرا از نقطه نظر ریاضی، شما نمی توانید بدانید که آیا بعد از دو پرتاب پیشروی می کنید یا می بازید یا بعد از 200.

سود ساعتی شما صفر است. برنده های ساعتی مقدار پولی است که انتظار دارید در یک ساعت برنده شوید. شما می توانید یک سکه را 500 بار در یک ساعت پرتاب کنید، اما نه برنده خواهید شد و نه بازنده زیرا... شانس شما نه مثبت است و نه منفی. اگر به آن نگاه کنید، از دید یک بازیکن جدی، این سیستم شرط بندی بد نیست. اما این به سادگی اتلاف وقت است.

اما فرض کنید شخصی می خواهد در همان بازی 2 دلار در برابر 1 دلار شما شرط بندی کند. سپس بلافاصله انتظار مثبت 50 سنت از هر شرط دارید. چرا 50 سنت؟ به طور متوسط، شما یک شرط را برنده می شوید و شرط دوم را می بازید. دلار اول را شرط بندی کنید و 1 دلار از دست بدهید، دومی را شرط بندی کنید و 2 دلار برنده شوید. شما دوبار 1 دلار شرط می بندید و 1 دلار جلوتر هستید. بنابراین هر شرط یک دلاری شما 50 سنت به شما داد.

اگر یک سکه 500 بار در یک ساعت ظاهر شود، برنده ساعتی شما در حال حاضر 250 دلار خواهد بود، زیرا ... به طور متوسط، شما یک دلار را 250 بار باختید و دو دلار را 250 بار بردید. 500 دلار منهای 250 دلار معادل 250 دلار است که کل بردها است. لطفاً توجه داشته باشید که ارزش مورد انتظار، که میانگین مبلغی است که در هر شرط برنده می‌شوید، 50 سنت است. شما با 500 بار شرط‌بندی بر روی یک دلار، 250 دلار بردید، که معادل 50 سنت در هر شرط است.

انتظارات ریاضی ربطی به نتایج کوتاه مدت ندارد. حریف شما که تصمیم گرفته 2 دلار علیه شما شرط بندی کند، می تواند در ده رول اول متوالی شما را شکست دهد، اما شما با داشتن مزیت شرط بندی 2 به 1، در شرایطی که همه چیزها برابر باشند، در هر شرط 1 دلاری، 50 سنت به دست خواهید آورد. موقعیت. فرقی نمی‌کند که یک شرط برنده شوید یا ببازید یا چند شرط، تا زمانی که پول نقد کافی برای پوشش راحت هزینه‌ها داشته باشید. اگر به همان روش به شرط بندی ادامه دهید، در طی یک دوره زمانی طولانی، برد شما به مجموع انتظارات در پرتاب های فردی نزدیک می شود.

هر بار که بهترین شرط بندی را انجام می دهید (شرطی که ممکن است در درازمدت سودآور باشد)، زمانی که شانس به نفع شما باشد، مطمئناً چیزی را برنده خواهید شد، مهم نیست که آن را ببازید یا نه. دست داده شده برعکس، اگر در زمانی که احتمالات علیه شما وجود دارد، یک شرط بندی ضعیف انجام دهید (شرطی که در درازمدت سودآور نیست)، بدون در نظر گرفتن اینکه برنده شوید یا ببازید، چیزی را از دست می دهید.

اگر انتظارات شما مثبت باشد، شرط بندی را با بهترین نتیجه انجام می دهید، و اگر شانس به سمت شما باشد، این شرط بندی مثبت است. وقتی شرط بندی می کنید که بدترین نتیجه را داشته باشد، یک انتظار منفی دارید، که زمانی اتفاق می افتد که شانس با شما مخالف باشد. بازیکنان جدی فقط بر روی بهترین نتیجه شرط می‌بندند، اگر بدترین اتفاق بیفتد، آنها را فولد می‌کنند. شانس به نفع شما به چه معناست؟ ممکن است در نهایت بیشتر از شانس های واقعی برنده شوید. شانس واقعی فرود هد 1 به 1 است، اما به دلیل نسبت شانس، 2 به 1 می گیرید. در این مورد، شانس به نفع شماست. شما قطعا بهترین نتیجه را با انتظار مثبت 50 سنت در هر شرط می گیرید.

در اینجا یک مثال پیچیده تر از انتظارات ریاضی وجود دارد. یکی از دوستان اعداد یک تا پنج را می نویسد و 5 دلار در برابر 1 دلار شما شرط می بندد که عدد را حدس نزنید. آیا باید با چنین شرط بندی موافقت کنید؟ در اینجا چه انتظاری وجود دارد؟

به طور متوسط ​​چهار بار اشتباه خواهید کرد. بر این اساس، احتمال اینکه شما عدد را حدس بزنید 4 به 1 است. احتمال از دست دادن یک دلار در یک بار تلاش وجود دارد. با این حال، شما 5 بر 1 برنده می شوید، با احتمال باخت 4 بر 1. بنابراین شانس به نفع شما است، می توانید شرط را بپذیرید و به بهترین نتیجه امیدوار باشید. اگر این شرط را پنج بار انجام دهید، به طور متوسط ​​1 دلار چهار بار باخت و 5 دلار یک بار برنده خواهید شد. بر این اساس، برای هر پنج تلاش، 1 دلار با انتظار ریاضی مثبت 20 سنت در هر شرط به دست خواهید آورد.

بازیکنی که قرار است بیش از آنچه شرط بندی می کند برنده شود، مانند مثال بالا، در حال گرفتن شانس است. برعکس، زمانی که انتظار دارد کمتر از آنچه شرط بندی می کند، برنده شود، شانس خود را از بین می برد. یک شرط‌بند می‌تواند انتظار مثبت یا منفی داشته باشد، که بستگی به برنده شدن یا خراب کردن شانس دارد.

اگر 50 دلار برای برنده شدن 10 دلار با شانس 4 به 1 شرط بندی کنید، انتظار منفی 2 دلار خواهید داشت زیرا به طور متوسط، چهار بار 10 دلار برنده می شوید و یک بار 50 دلار از دست می دهید، که نشان می دهد ضرر هر شرط 10 دلار خواهد بود. اما اگر 30 دلار برای بردن 10 دلار شرط بندی کنید، با همان شانس 4 بر 1 برنده شدن، در این صورت انتظار مثبت 2 دلار دارید، زیرا شما دوباره 10 دلار چهار بار برنده می شوید و یک بار 30 دلار از دست می دهید، برای سود 10 دلار. این مثال ها نشان می دهد که شرط اول بد است و شرط دوم خوب است.

انتظارات ریاضی مرکز هر موقعیت بازی است. زمانی که یک شرکت شرط‌بندی هواداران فوتبال را تشویق می‌کند که ۱۱ دلار شرط ببندند تا ۱۰ دلار برنده شوند، انتظار مثبت ۵۰ سنت از هر ۱۰ دلار دارد. اگر کازینو حتی پولی را از خط پاس به صورت craps پرداخت کند، انتظار مثبت کازینو تقریباً 1.40 دلار برای هر 100 دلار خواهد بود، زیرا ساختار این بازی به گونه ای است که هر کسی که روی این خط شرط بندی می کند به طور متوسط ​​50.7 درصد بازنده است و 49.3 درصد از کل زمان برنده می شود. بدون شک، همین انتظارات مثبت به ظاهر حداقلی است که سود هنگفتی را برای صاحبان کازینو در سراسر جهان به ارمغان می آورد. همانطور که باب استوپاک، صاحب کازینو وگاس ورلد اشاره کرد، "یک هزارم یک درصد احتمال منفی در یک مسافت طولانی، ثروتمندترین مرد جهان را نابود خواهد کرد."

انتظارات هنگام بازی پوکر

بازی پوکر گویاترین و گویاترین مثال از منظر استفاده از تئوری و ویژگیهای انتظار ریاضی است.

ارزش مورد انتظار در پوکر میانگین سود حاصل از یک تصمیم خاص است، مشروط بر اینکه چنین تصمیمی در چارچوب تئوری اعداد بزرگ و مسافت طولانی در نظر گرفته شود. یک بازی پوکر موفق این است که همیشه حرکاتی را با ارزش مورد انتظار مثبت بپذیرید.

معنای ریاضی انتظارات ریاضی هنگام بازی پوکر این است که ما اغلب هنگام تصمیم گیری با متغیرهای تصادفی مواجه می شویم (ما نمی دانیم که حریف چه کارت هایی در دست دارد، چه کارت هایی در دورهای بعدی شرط بندی خواهد آمد). ما باید هر یک از راه حل ها را از دیدگاه نظریه اعداد بزرگ در نظر بگیریم، که بیان می کند که با یک نمونه به اندازه کافی بزرگ، مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی به انتظارات ریاضی آن تمایل دارد.

در بین فرمول های خاص برای محاسبه انتظارات ریاضی، موارد زیر در پوکر کاربرد بیشتری دارند:

هنگام بازی پوکر، ارزش مورد انتظار را می توان برای شرط ها و تماس ها محاسبه کرد. در مورد اول، برابری سهام باید در نظر گرفته شود، در مورد دوم، شانس خود بانک. هنگام ارزیابی انتظارات ریاضی از یک حرکت خاص، باید به یاد داشته باشید که یک فولد همیشه انتظار صفر دارد. بنابراین، دور انداختن کارت‌ها همیشه یک تصمیم سودآورتر از هر حرکت منفی خواهد بود.

انتظارات به شما می گوید که برای هر دلاری که ریسک می کنید چه انتظاری دارید (سود یا ضرر). کازینوها پول در می آورند زیرا انتظارات ریاضی از همه بازی هایی که در آنها انجام می شود به نفع کازینو است. با یک سری بازی به اندازه کافی طولانی، می توانید انتظار داشته باشید که مشتری پول خود را از دست بدهد، زیرا "شانس" به نفع کازینو است. با این حال، بازیکنان حرفه‌ای کازینو بازی‌های خود را به دوره‌های زمانی کوتاه محدود می‌کنند و در نتیجه شانس‌ها را به نفع خود جمع می‌کنند. در مورد سرمایه گذاری هم همینطور. اگر انتظارات شما مثبت است، می توانید با انجام معاملات زیاد در مدت زمان کوتاه، درآمد بیشتری کسب کنید. انتظار عبارت است از درصد سود در هر برد ضربدر میانگین سود شما، منهای احتمال ضرر ضربدر میانگین ضرر شما.

پوکر را می توان از نقطه نظر انتظارات ریاضی نیز در نظر گرفت. ممکن است تصور کنید که یک حرکت خاص سودآور است، اما در برخی موارد ممکن است بهترین نباشد زیرا حرکت دیگری سودآورتر است. فرض کنید در پوکر پنج کارتی به یک خانه کامل رسیدید. حریف شما شرط بندی می کند. شما می دانید که اگر شرط را افزایش دهید، او پاسخ خواهد داد. بنابراین به نظر می رسد بالا بردن بهترین تاکتیک باشد. اما اگر شرط را افزایش دهید، دو بازیکن باقی مانده قطعا تا می شوند. اما اگر تماس بگیرید، اطمینان کامل دارید که دو بازیکن دیگر پشت سر شما نیز همین کار را خواهند کرد. وقتی شرط خود را افزایش می دهید یک واحد دریافت می کنید و وقتی فقط تماس می گیرید دو واحد دریافت می کنید. بنابراین، تماس ارزش مورد انتظار مثبت بالاتری به شما می دهد و بهترین تاکتیک خواهد بود.

انتظارات ریاضی همچنین می‌تواند ایده‌ای در مورد اینکه کدام تاکتیک‌های پوکر سود کمتری دارند و کدامیک سودآورتر هستند، ارائه دهد. به عنوان مثال، اگر یک دست خاص بازی می کنید و فکر می کنید ضرر شما به طور متوسط ​​75 سنت با احتساب آنت است، باید آن دست را بازی کنید زیرا این بهتر از تا کردن زمانی است که آنت 1 دلار است.

یکی دیگر از دلایل مهم برای درک مفهوم ارزش مورد انتظار این است که به شما احساس آرامش می‌دهد، چه برنده شوید یا نه: اگر شرط‌بندی خوبی انجام دادید یا در زمان مناسب آن را انجام دادید، می‌دانید که کسب کرده‌اید یا مقدار معینی پول را پس انداز کرد که بازیکن ضعیفتر نتوانست پس انداز کند. اگر ناراحت هستید، فولد کردن بسیار سخت تر است زیرا حریف شما دست قوی تری کشید. با همه اینها، پولی که با بازی نکردن به جای شرط بندی پس انداز می کنید، به بردهای شما در شب یا ماه اضافه می شود.

فقط به یاد داشته باشید که اگر دست خود را تغییر می دادید، حریف شما را صدا می زد و همانطور که در مقاله قضیه اساسی پوکر خواهید دید، این تنها یکی از مزایای شماست. وقتی این اتفاق می افتد باید خوشحال باشید. حتی می توانید یاد بگیرید که از از دست دادن یک دست لذت ببرید زیرا می دانید که بازیکنان دیگر در موقعیت شما بسیار بیشتر از این دست را از دست داده اند.

همانطور که در مثال بازی سکه در ابتدا ذکر شد، نرخ سود ساعتی با انتظارات ریاضی مرتبط است و این مفهوم به ویژه برای بازیکنان حرفه ای مهم است. وقتی به بازی پوکر می روید، باید به طور ذهنی تخمین بزنید که در یک ساعت بازی چقدر می توانید برنده شوید. در بیشتر موارد باید به شهود و تجربه خود تکیه کنید، اما می توانید از ریاضیات نیز استفاده کنید. به عنوان مثال، شما در حال بازی کردن در لوبال هستید و می بینید که سه بازیکن 10 دلار شرط بندی می کنند و سپس دو کارت را مبادله می کنند که تاکتیک بسیار بدی است، می توانید بفهمید که هر بار که 10 دلار شرط بندی می کنند، حدود 2 دلار از دست می دهند. هر کدام از آنها این کار را هشت بار در ساعت انجام می دهند، یعنی هر سه آنها تقریباً 48 دلار در ساعت ضرر می کنند. شما یکی از چهار بازیکن باقیمانده هستید که تقریباً برابر هستند، بنابراین این چهار بازیکن (و شما در میان آنها) باید 48 دلار تقسیم کنید و هر ساعت سودی معادل 12 دلار داشته باشد. شانس ساعتی شما در این مورد به سادگی برابر با سهم شما از مقدار پولی است که سه بازیکن بد در یک ساعت از دست می دهند.

در یک دوره زمانی طولانی، کل بردهای بازیکن مجموع انتظارات ریاضی او در دستان فردی است. هر چه دست های بیشتری با انتظارات مثبت بازی کنید، بیشتر برنده می شوید و بالعکس، هر چه دست های بیشتری با انتظارات منفی بازی کنید، بیشتر بازنده می شوید. در نتیجه، باید بازی‌ای را انتخاب کنید که بتواند انتظارات مثبت شما را به حداکثر برساند یا پیش‌بینی منفی‌تان را خنثی کند تا بتوانید برنده‌های ساعتی خود را به حداکثر برسانید.

انتظارات ریاضی مثبت در استراتژی بازی

اگر می دانید چگونه کارت ها را بشمارید، می توانید نسبت به کازینو برتری داشته باشید، به شرطی که متوجه نشوند و شما را بیرون نکنند. کازینوها عاشق بازیکنان مست هستند و بازیکنان شمارش کارت را تحمل نمی کنند. یک مزیت به شما این امکان را می دهد که بیشتر از آنچه در طول زمان باختید، برنده شوید. مدیریت خوب پول با استفاده از محاسبات ارزش مورد انتظار می تواند به شما کمک کند سود بیشتری را از لبه خود استخراج کنید و زیان خود را کاهش دهید. بدون مزیت، بهتر است پول را به خیریه بدهید. در بازی در بورس، مزیت سیستم بازی است که نسبت به ضرر، اختلاف قیمت و پورسانت سود بیشتری ایجاد می کند. هیچ مقدار مدیریت پول نمی تواند یک سیستم بازی بد را نجات دهد.

انتظار مثبت به عنوان مقداری بزرگتر از صفر تعریف می شود. هر چه این عدد بزرگتر باشد، انتظارات آماری قوی تر است. اگر مقدار کمتر از صفر باشد، انتظار ریاضی نیز منفی خواهد بود. هر چه ماژول مقدار منفی بزرگتر باشد، وضعیت بدتر است. اگر نتیجه صفر باشد، انتظار به سر می‌رسد. شما فقط زمانی می توانید برنده شوید که یک انتظار ریاضی مثبت و یک سیستم بازی معقول داشته باشید. بازی با شهود منجر به فاجعه می شود.

انتظارات ریاضی و معاملات سهام

انتظارات ریاضی یک شاخص آماری نسبتاً پرکاربرد و محبوب در هنگام انجام معاملات مبادلاتی در بازارهای مالی است. اول از همه، این پارامتر برای تجزیه و تحلیل موفقیت معاملات استفاده می شود. حدس زدن اینکه هر چه این مقدار بالاتر باشد، دلایل بیشتری برای موفقیت آمیز بودن تجارت مورد مطالعه دشوار نیست. البته، تجزیه و تحلیل کار یک معامله گر را نمی توان به تنهایی با استفاده از این پارامتر انجام داد. با این حال، مقدار محاسبه شده، در ترکیب با سایر روش های ارزیابی کیفیت کار، می تواند دقت تجزیه و تحلیل را به میزان قابل توجهی افزایش دهد.

انتظارات ریاضی اغلب در خدمات نظارت بر حساب معاملاتی محاسبه می شود که به شما امکان می دهد به سرعت کار انجام شده روی سپرده را ارزیابی کنید. استثناها شامل استراتژی هایی می شود که از معاملات بی سود «نشستن» استفاده می کنند. یک معامله گر ممکن است برای مدتی خوش شانس باشد و بنابراین ممکن است هیچ ضرری در کار او وجود نداشته باشد. در این صورت نمی توان تنها با انتظارات ریاضی هدایت کرد، زیرا ریسک های به کار رفته در کار در نظر گرفته نمی شود.

در معاملات بازار، انتظارات ریاضی اغلب هنگام پیش‌بینی سودآوری هر استراتژی معاملاتی یا پیش‌بینی درآمد معامله‌گر بر اساس داده‌های آماری از معاملات قبلی او استفاده می‌شود.

با توجه به مدیریت پول، درک این نکته بسیار مهم است که هنگام انجام معاملات با انتظارات منفی، هیچ طرح مدیریت پولی وجود ندارد که مطمئناً بتواند سود بالایی به همراه داشته باشد. اگر تحت این شرایط به بازی در بازار سهام ادامه دهید، بدون در نظر گرفتن اینکه چگونه پول خود را مدیریت می کنید، کل حساب خود را از دست خواهید داد، مهم نیست که در ابتدا چقدر بزرگ باشد.

این اصل نه تنها برای بازی ها یا معاملات با انتظارات منفی صادق است، بلکه برای بازی هایی با شانس برابر نیز صادق است. بنابراین، تنها زمانی که فرصتی برای سود در بلندمدت دارید این است که معاملاتی با ارزش مورد انتظار مثبت انجام دهید.

تفاوت بین انتظارات منفی و انتظارات مثبت تفاوت بین زندگی و مرگ است. مهم نیست انتظارات چقدر مثبت یا منفی هستند. تنها چیزی که مهم است مثبت یا منفی بودن آن است. بنابراین، قبل از در نظر گرفتن مدیریت پول، باید یک بازی با انتظارات مثبت پیدا کنید.

اگر آن بازی را نداشته باشید، تمام مدیریت پول در جهان شما را نجات نخواهد داد. از سوی دیگر، اگر انتظار مثبتی دارید، می توانید با مدیریت صحیح پول، آن را به یک تابع رشد تصاعدی تبدیل کنید. مهم نیست توقع مثبت چقدر کوچک باشد! به عبارت دیگر، مهم نیست که یک سیستم معاملاتی بر اساس یک قرارداد واحد چقدر سودآور باشد. اگر سیستمی دارید که در هر معامله 10 دلار در هر قرارداد برنده می شود (پس از کمیسیون و لغزش)، می توانید از تکنیک های مدیریت پول برای سودآوری بیشتر از سیستمی استفاده کنید که میانگین آن 1000 دلار در هر معامله است (پس از کسر کمیسیون و لغزش).

مهم این نیست که سیستم چقدر سودآور بوده است، بلکه این است که چقدر می توان گفت که سیستم حداقل سود را در آینده نشان می دهد. بنابراین، مهم ترین آماده سازی که یک معامله گر می تواند انجام دهد این است که اطمینان حاصل کند که سیستم ارزش مورد انتظار مثبتی را در آینده نشان خواهد داد.

برای داشتن ارزش مورد انتظار مثبت در آینده، بسیار مهم است که درجات آزادی سیستم خود را محدود نکنید. این امر نه تنها با حذف یا کاهش تعداد پارامترهایی که باید بهینه شوند، بلکه با کاهش هر چه بیشتر قوانین سیستم به دست می آید. هر پارامتری که اضافه می کنید، هر قانونی که ایجاد می کنید، هر تغییر کوچکی که در سیستم ایجاد می کنید، تعداد درجات آزادی را کاهش می دهد. در حالت ایده آل، شما باید یک سیستم نسبتاً ابتدایی و ساده بسازید که به طور مداوم تقریباً در هر بازاری سودهای کمی ایجاد کند. باز هم، برای شما مهم است که درک کنید که سودآوری سیستم تا زمانی که سودآور باشد، مهم نیست. پولی که در معاملات به دست می آورید از طریق مدیریت موثر پول به دست می آید.

یک سیستم معاملاتی به سادگی ابزاری است که به شما ارزش مورد انتظار مثبت می دهد تا بتوانید از مدیریت پول استفاده کنید. سیستم‌هایی که فقط در یک یا چند بازار کار می‌کنند (حداقل حداقل سود را نشان می‌دهند)، یا قوانین یا پارامترهای متفاوتی برای بازارهای مختلف دارند، به احتمال زیاد برای مدت زمان کافی در زمان واقعی کار نخواهند کرد. مشکل اکثر معامله‌گران فنی این است که زمان و تلاش زیادی را صرف بهینه‌سازی قوانین و مقادیر پارامترهای مختلف سیستم معاملاتی می‌کنند. این نتایج کاملاً متضاد می دهد. به جای هدر دادن انرژی و زمان رایانه ای برای افزایش سود سیستم معاملاتی، انرژی خود را به سمت افزایش سطح اطمینان کسب حداقل سود هدایت کنید.

با علم به اینکه مدیریت پول فقط یک بازی اعدادی است که مستلزم استفاده از انتظارات مثبت است، یک معامله گر می تواند جستجو برای " جام مقدس" معاملات سهام را متوقف کند. در عوض، او می تواند شروع به آزمایش روش معاملاتی خود کند، بفهمد این روش چقدر منطقی است و آیا انتظارات مثبتی را به همراه دارد یا خیر. روش‌های مناسب مدیریت پول، که برای هر روش معاملاتی حتی بسیار متوسطی اعمال می‌شود، بقیه کار را خودشان انجام خواهند داد.

برای اینکه هر تاجری در کار خود موفق شود، باید سه کار مهم را حل کند: . برای اطمینان از اینکه تعداد تراکنش های موفق بیش از اشتباهات و محاسبات نادرست اجتناب ناپذیر است. سیستم معاملاتی خود را طوری تنظیم کنید که تا حد امکان فرصت کسب درآمد داشته باشید. به نتایج مثبت پایدار از عملیات خود دست یابید.

و در اینجا، برای ما تاجران شاغل، انتظارات ریاضی می تواند کمک بزرگی باشد. این اصطلاح یکی از موارد کلیدی در نظریه احتمال است. با کمک آن می توانید یک تخمین متوسط ​​از مقداری تصادفی ارائه دهید. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی مشابه مرکز ثقل است، اگر همه احتمالات ممکن را به صورت نقاطی با جرم های مختلف تصور کنید.

در رابطه با یک استراتژی معاملاتی، انتظار ریاضی سود (یا زیان) اغلب برای ارزیابی اثربخشی آن استفاده می شود. این پارامتر به عنوان مجموع محصولات سطوح معین سود و زیان و احتمال وقوع آنها تعریف می شود. به عنوان مثال، استراتژی تجاری توسعه یافته فرض می کند که 37٪ از کل معاملات سود را به همراه خواهد داشت و قسمت باقی مانده - 63٪ - بی سود خواهد بود. در عین حال، متوسط ​​درآمد حاصل از یک تراکنش موفق 7 دلار و میانگین ضرر آن 1.4 دلار خواهد بود. بیایید انتظارات ریاضی معامله را با استفاده از این سیستم محاسبه کنیم:

این عدد به چه معناست؟ می گوید که با رعایت قوانین این سیستم، به طور متوسط ​​از هر تراکنش بسته 1708 دلار دریافت خواهیم کرد. از آنجایی که رتبه بازده حاصل بیشتر از صفر است، چنین سیستمی را می توان برای کار واقعی استفاده کرد. اگر در نتیجه محاسبه، انتظار ریاضی منفی باشد، این نشان دهنده ضرر متوسط ​​است و چنین معاملاتی منجر به خرابی می شود.

مقدار سود هر تراکنش را نیز می توان به صورت یک مقدار نسبی در قالب % بیان کرد. مثلا:

- درصد درآمد به ازای هر تراکنش - 5٪؛

- درصد عملیات تجاری موفق - 62%؛

- درصد ضرر در هر تراکنش - 3٪؛

- درصد تراکنش های ناموفق - 38٪؛

یعنی میانگین تجارت 1.96 درصد به ارمغان خواهد آورد.

امکان توسعه سیستمی وجود دارد که علیرغم غلبه معاملات بی‌سود، نتیجه مثبتی به همراه داشته باشد، زیرا MO>0 آن است.

با این حال، انتظار به تنهایی کافی نیست. اگر سیستم سیگنال های معاملاتی بسیار کمی بدهد، کسب درآمد دشوار است. در این صورت سودآوری آن با سود بانکی قابل مقایسه خواهد بود. بگذارید هر عملیات به طور متوسط ​​فقط 0.5 دلار تولید کند، اما اگر سیستم شامل 1000 عملیات در سال باشد، چه؟ این مبلغ در مدت زمان نسبتاً کوتاهی بسیار قابل توجه خواهد بود. منطقاً از این نتیجه می‌شود که یکی دیگر از ویژگی‌های متمایز یک سیستم معاملاتی خوب را می‌توان دوره کوتاه نگه داشتن موقعیت‌ها در نظر گرفت.

منابع و لینک ها

dic.academic.ru – فرهنگ لغت آنلاین آکادمیک

mathematics.ru – وب سایت آموزشی ریاضیات

nsu.ru - وب سایت آموزشی دانشگاه دولتی نووسیبیرسک

webmath.ru یک پورتال آموزشی برای دانش آموزان، متقاضیان و دانش آموزان مدرسه است.

وب سایت ریاضی آموزشی exponenta.ru

ru.tradimo.com – آموزشگاه تجارت آنلاین رایگان

crypto.hut2.ru - منبع اطلاعات چند رشته ای

poker-wiki.ru – دایره المعارف رایگان پوکر

sernam.ru – کتابخانه علمی منتخب انتشارات علوم طبیعی

reshim.su - وب سایت ما مشکلات دروس آزمون را حل خواهیم کرد

unfx.ru – فارکس در UNFX: آموزش، سیگنال های تجاری، مدیریت اعتماد

slovopedia.com – دیکشنری بزرگ دایره المعارفی اسلووپدیا

pokermansion.3dn.ru – راهنمای شما در دنیای پوکر

statanaliz.info – وبلاگ اطلاعاتی “تجزیه و تحلیل داده های آماری”

forex-trader.rf – پورتال Forex-Trader

megafx.ru – تجزیه و تحلیل فعلی فارکس

fx-by.com - همه چیز برای یک معامله گر

در نظریه احتمالات و در بسیاری از کاربردهای آن، ویژگی های عددی مختلف متغیرهای تصادفی از اهمیت بالایی برخوردار است. اصلی ترین آنها انتظار و واریانس ریاضی است.

1. انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی و خواص آن.

بیایید ابتدا مثال زیر را در نظر بگیریم. اجازه دهید گیاه یک دسته متشکل از نبلبرینگ ها که در آن:

متر 1 x 1,
متر 2- تعداد یاتاقان ها با قطر بیرونی x 2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
m n- تعداد یاتاقان ها با قطر بیرونی x n,

اینجا m 1 + m 2 +... + m n = N. بیایید میانگین حسابی را پیدا کنیم میانگین xقطر بیرونی بلبرینگ به طور مشخص،
قطر بیرونی یک یاتاقان که به صورت تصادفی خارج شده است را می توان به عنوان یک متغیر تصادفی در نظر گرفت که مقادیر می گیرد. x 1, x 2, ..., x n، با احتمالات مربوطه p 1 = m 1 / N, p 2 = m 2 / N, ..., p n =m n /N، از آنجایی که احتمال وجود دارد p iظاهر یک یاتاقان با قطر خارجی x iمساوی با m i /N. بنابراین، میانگین حسابی میانگین xقطر خارجی بلبرینگ را می توان با استفاده از رابطه تعیین کرد
اجازه دهید یک متغیر تصادفی گسسته با قانون توزیع احتمال معین باشد

انتظارات ریاضی متغیر تصادفی گسستهمجموع محصولات زوجی از همه مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی با احتمالات مربوطه آنها است، یعنی. *
در این صورت فرض بر این است که انتگرال نامناسب در سمت راست برابری (40) وجود دارد.

بیایید ویژگی های انتظار ریاضی را در نظر بگیریم. در این مورد، ما خود را به اثبات تنها دو ویژگی اول محدود می‌کنیم که برای متغیرهای تصادفی گسسته انجام می‌دهیم.

1 درجه انتظار ریاضی ثابت C برابر با این ثابت است.
اثباتثابت سیرا می توان به عنوان یک متغیر تصادفی در نظر گرفت که فقط می تواند یک مقدار را بگیرد سیبا احتمال مساوی یک از همین رو

2 درجه عامل ثابت را می توان فراتر از علامت انتظار ریاضی در نظر گرفت، یعنی
اثباتبا استفاده از رابطه (39) داریم

3 درجه. انتظار ریاضی از مجموع چندین متغیر تصادفی با مجموع انتظارات ریاضی این متغیرها برابر است.:

ارزش مورد انتظار- مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی (توزیع احتمال یک متغیر تصادفی ثابت) زمانی که تعداد نمونه ها یا تعداد اندازه گیری ها (گاهی اوقات تعداد آزمایش نامیده می شود) به بی نهایت میل می کند.

میانگین حسابی یک متغیر تصادفی یک بعدی از تعداد محدود آزمایش معمولاً نامیده می شود. برآورد انتظارات ریاضی. از آنجایی که تعداد آزمایش های یک فرآیند تصادفی ثابت به بی نهایت میل می کند، تخمین انتظارات ریاضی به انتظارات ریاضی تمایل پیدا می کند.

انتظارات ریاضی یکی از مفاهیم اساسی در نظریه احتمالات است.

یوتیوب دایره المعارفی

1 / 5

✪ انتظار و واریانس - bezbotvy

✪ نظریه احتمال 15: انتظار

✪ انتظارات ریاضی

✪ انتظارات و واریانس. تئوری

✪ انتظارات ریاضی در معاملات

زیرنویس

تعریف

اجازه دهید یک فضای احتمال داده شود (Ω , A , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathfrak (A))،\mathbb (P)))و یک متغیر تصادفی بر روی آن تعریف شده است X (\displaystyle X). یعنی طبق تعریف X: Ω → R (\displaystyle X\colon \Omega\to \mathbb (R))- عملکرد قابل اندازه گیری اگر انتگرال Lebesgue وجود داشته باشد X (\displaystyle X)توسط فضا Ω (\displaystyle \Omega)سپس آن را انتظار ریاضی یا مقدار میانگین (مورد انتظار) می نامند و نشان می دهند. M [ X ] (\displaystyle M[X])یا E [ X ] (\displaystyle \mathbb (E) [X]).

فرمول های اساسی برای انتظارات ریاضی

M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R)).

انتظارات ریاضی از توزیع گسسته

سپس مستقیماً از تعریف انتگرال Lebesgue نتیجه می گیرد که

انتظار یک مقدار صحیح

سپس انتظارات ریاضی آن را می توان از طریق تابع مولد دنباله بیان کرد ( p i ) (\displaystyle \(p_(i)\))

به عنوان مقدار اولین مشتق در وحدت: M [ X ] = P ′ (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)). اگر انتظار ریاضی X (\displaystyle X)پس بی نهایت lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\to 1)P"(s)=\infty)و ما خواهیم نوشت P′ (1) = M [ X ] = ∞ (\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty)

حالا بیایید تابع تولید را در نظر بگیریم Q (s) (\displaystyle Q(s))توالی دنباله های توزیع ( q k ) (\displaystyle \(q_(k)\))

این تابع تولید کننده مربوط به تابعی است که قبلاً تعریف شده است P (s) (\displaystyle P(s))ویژگی: Q (s) = 1 - P (s) 1 - s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s)))در | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} . از این، با قضیه مقدار میانگین، نتیجه می شود که انتظار ریاضی به سادگی برابر با مقدار این تابع در واحد است:

انتظارات ریاضی یک توزیع کاملاً پیوسته

انتظارات ریاضی از یک بردار تصادفی

اجازه دهید X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n (\displaystyle X=(X_(1),\dots,X_(n))^(\top)\colon \Omega \to \mathbb ( R)^(n))- بردار تصادفی سپس طبق تعریف

یعنی انتظار ریاضی یک بردار جزء به جزء تعیین می شود.

انتظار تبدیل یک متغیر تصادفی

اجازه دهید g: R → R (\displaystyle g\colon \mathbb (R) \to \mathbb (R))یک تابع بورل است به طوری که متغیر تصادفی است Y = g (X) (\displaystyle Y=g(X))انتظارات ریاضی محدودی دارد. سپس فرمول برای آن معتبر است

اگر X (\displaystyle X)دارای توزیع گسسته؛

اگر X (\displaystyle X)توزیع کاملاً پیوسته دارد.

اگر توزیع P X (\displaystyle \mathbb (P) ^(X))متغیر تصادفی X (\displaystyle X)پس نمای کلی

در حالت خاص که g (X) = X k (\displaystyle g(X)=X^(k))، ارزش مورد انتظار M [ g (X) ] = M [ X k ] (\displaystyle M=M)تماس گرفت k (\displaystyle k)-m لحظه از متغیر تصادفی.

ساده ترین ویژگی های انتظار ریاضی

• انتظار ریاضی از یک عدد، خود عدد است.

• انتظار ریاضی خطی است، یعنی