توابع غیر منطقی روش گرافیکی برای حل معادلات غیر منطقی

این مطالب روش شناختی فقط برای مرجع است و طیف گسترده ای از موضوعات را پوشش می دهد. این مقاله مروری بر نمودارهای توابع اصلی اصلی ارائه می دهد و مهمترین موضوع را در نظر می گیرد - چگونه به درستی و سریع یک نمودار بسازیم. در دوره تحصیل ریاضیات عالی بدون آگاهی از نمودارهای توابع ابتدایی ابتدایی دشوار خواهد بود، بنابراین بسیار مهم است که به یاد داشته باشید نمودارهای سهمی، هذلولی، سینوس، کسینوس و غیره چگونه به نظر می رسند. از مقادیر توابع همچنین در مورد برخی از ویژگی های توابع اصلی صحبت خواهیم کرد.

من تظاهر به کامل بودن و دقیق بودن علمی مواد نمی کنم، تاکید اول از همه بر روی تمرین خواهد بود - مواردی که با آنها در هر مبحثی از ریاضیات عالی باید به معنای واقعی کلمه در هر مرحله با آن روبرو شد. نمودار برای آدمک ها؟ شما می توانید اینطور بگویید.

با تقاضای عمومی خوانندگان فهرست مطالب قابل کلیک:

علاوه بر این، یک چکیده فوق العاده کوتاه در مورد این موضوع وجود دارد
- با مطالعه شش صفحه بر 16 نوع نمودار مسلط شوید!

جدی، شش، حتی من خودم تعجب کردم. این چکیده شامل گرافیک بهبود یافته است و با هزینه اسمی در دسترس است، نسخه آزمایشی آن قابل مشاهده است. چاپ فایل راحت است تا نمودارها همیشه در دسترس باشند. با تشکر برای حمایت از پروژه!

و بلافاصله شروع می کنیم:

چگونه محورهای مختصات را به درستی بسازیم؟

در عمل، آزمون‌ها تقریباً همیشه توسط دانش‌آموزان در دفترچه‌های جداگانه، ردیف‌شده در قفس، طراحی می‌شوند. چرا به علامت های شطرنجی نیاز دارید؟ پس از همه، کار، در اصل، می تواند بر روی ورق های A4 انجام شود. و قفس فقط برای طراحی با کیفیت و دقیق نقشه ها ضروری است.

هر رسم نمودار تابع با محورهای مختصات شروع می شود.

نقشه ها دو بعدی و سه بعدی هستند.

اجازه دهید ابتدا مورد دو بعدی را در نظر بگیریم سیستم مختصات دکارتی:

1) محورهای مختصات را رسم می کنیم. محور نامیده می شود محور x ، و محور محور y . ما همیشه سعی می کنیم آنها را ترسیم کنیم مرتب و کج نیست. همچنین پیکان ها نباید شبیه ریش پاپا کارلو باشند.

2) محورها را با حروف بزرگ "x" و "y" امضا می کنیم. امضای محورها را فراموش نکنید.

3) مقیاس را در امتداد محورها تنظیم کنید: صفر و دو یک را رسم کنید. هنگام ساخت یک نقاشی، راحت ترین و رایج ترین مقیاس این است: 1 واحد = 2 سلول (طراحی در سمت چپ) - در صورت امکان به آن بچسبید. با این حال، هر از گاهی اتفاق می افتد که نقاشی روی یک برگه نوت بوک قرار نمی گیرد - سپس مقیاس را کاهش می دهیم: 1 واحد = 1 سلول (نقاشی در سمت راست). به ندرت، اما این اتفاق می افتد که مقیاس نقاشی باید حتی بیشتر کاهش یابد (یا افزایش یابد).

از مسلسل خط خطی نکنید ... -5، -4، -3، -1، 0، 1، 2، 3، 4، 5، ....زیرا هواپیمای مختصات یادبود دکارت نیست و دانش آموز کبوتر نیست. ما گذاشتیم صفرو دو واحد در امتداد محورها. گاهی بجایواحدها، "تشخیص" مقادیر دیگر، به عنوان مثال، "دو" در محور آبسیسا و "سه" در محور مختصات راحت است - و این سیستم (0، 2 و 3) همچنین شبکه مختصات را به طور منحصر به فرد تنظیم می کند.

بهتر است قبل از ترسیم نقشه، ابعاد تخمین زده شده را تخمین بزنید.. بنابراین، برای مثال، اگر کار مستلزم ترسیم مثلث با رئوس، , , باشد، کاملاً واضح است که مقیاس محبوب 1 واحد = 2 سلول کار نخواهد کرد. چرا؟ بیایید به این نکته نگاه کنیم - در اینجا باید پانزده سانتی متر به سمت پایین اندازه گیری کنید، و بدیهی است که نقاشی روی یک برگه نوت بوک قرار نمی گیرد (یا به سختی جا می شود). بنابراین، بلافاصله مقیاس کوچکتر 1 واحد = 1 سلول را انتخاب می کنیم.

به هر حال، حدود سانتی متر و سلول های نوت بوک. آیا این درست است که در 30 سلول نوت بوک 15 سانتی متر وجود دارد؟ با یک خط کش 15 سانتی متر را در دفترچه اندازه بگیرید. در اتحاد جماهیر شوروی، شاید این درست بود ... جالب است بدانید که اگر همین سانتی متر ها را به صورت افقی و عمودی اندازه گیری کنید، نتایج (در سلول ها) متفاوت خواهد بود! به بیان دقیق، نوت بوک های مدرن شطرنجی نیستند، بلکه مستطیلی هستند. ممکن است بیهوده به نظر برسد، اما کشیدن مثلاً یک دایره با قطب نما در چنین شرایطی بسیار ناخوشایند است. صادقانه بگویم، در چنین لحظاتی شما شروع به فکر کردن در مورد درستی رفیق استالین می کنید، که برای کار هک در تولید به اردوگاه ها فرستاده شده بود، نه به صنعت خودروسازی داخلی، سقوط هواپیماها یا انفجار نیروگاه ها.

صحبت از کیفیت، یا یک توصیه کوتاه در مورد لوازم التحریر. تا به امروز، بیشتر نوت‌بوک‌هایی که به فروش می‌رسند، بدون گفتن کلمات بد، کاملاً اجنه هستند. به این دلیل که خیس می شوند و نه تنها از قلم های ژل، بلکه از قلم های توپی نیز! روی کاغذ صرفه جویی کنید. برای طراحی آزمایشات، توصیه می کنم از نوت بوک های آسیاب خمیر و کاغذ Arkhangelsk (18 ورق، سلولی) یا Pyaterochka استفاده کنید، اگرچه گران تر است. توصیه می شود یک قلم ژله ای انتخاب کنید، حتی ارزان ترین ژل پرکننده چینی بسیار بهتر از قلم توپی است که کاغذ را لکه دار یا پاره می کند. تنها قلم توپ "رقابتی" در حافظه من اریش کراوز است. او واضح، زیبا و با ثبات می نویسد - یا با ساقه پر، یا تقریباً خالی.

علاوه بر این: دید یک سیستم مختصات مستطیلی از نگاه هندسه تحلیلی در مقاله پوشش داده شده است. وابستگی خطی (غیر) بردارها. مبنای برداری، اطلاعات دقیق در مورد یک چهارم مختصات را می توانید در پاراگراف دوم درس بیابید نابرابری های خطی.

کیس سه بعدی

اینجا هم تقریبا همینطوره

1) محورهای مختصات را رسم می کنیم. استاندارد: محور کاربردی - جهت به سمت بالا، محور - جهت به سمت راست، محور - به سمت پایین به سمت چپ موکدادر زاویه 45 درجه

2) محورها را امضا می کنیم.

3) مقیاس را در امتداد محورها تنظیم کنید. مقیاس در امتداد محور - دو برابر کوچکتر از مقیاس در امتداد محورهای دیگر. همچنین توجه داشته باشید که در نقاشی سمت راست، من از یک "سریف" غیر استاندارد در امتداد محور استفاده کردم (این امکان قبلاً در بالا ذکر شد). از نظر من، دقیق‌تر، سریع‌تر و از نظر زیبایی‌شناختی دلپذیرتر است - لازم نیست وسط سلول را زیر میکروسکوپ جستجو کنید و واحد را تا مبدأ "تجسم" کنید.

هنگام انجام دوباره طراحی سه بعدی - اولویت را به مقیاس بدهید
1 واحد = 2 سلول (طراحی در سمت چپ).

همه این قوانین برای چیست؟ قوانین برای شکستن وجود دارد. الان چیکار کنم. واقعیت این است که نقشه های بعدی مقاله توسط من در اکسل انجام خواهد شد و محورهای مختصات از نظر طراحی مناسب نادرست به نظر می رسند. من می‌توانم تمام نمودارها را با دست ترسیم کنم، اما ترسیم آنها واقعاً ترسناک است، زیرا اکسل تمایلی به ترسیم دقیق‌تر آنها ندارد.

نمودارها و ویژگی های اساسی توابع ابتدایی

تابع خطی با معادله به دست می آید. نمودار تابع خطی است مستقیم. برای ایجاد یک خط مستقیم، دانستن دو نقطه کافی است.

مثال 1

تابع را رسم کنید. بیایید دو نکته را پیدا کنیم. انتخاب صفر به عنوان یکی از نقاط سودمند است.

اگر پس از آن

نکته دیگری را در نظر می گیریم، مثلاً 1.

اگر پس از آن

هنگام تهیه وظایف، مختصات نقاط معمولاً در یک جدول خلاصه می شود:

و مقادیر خود به صورت شفاهی یا بر روی پیش نویس، ماشین حساب محاسبه می شوند.

دو نقطه پیدا شد، بیایید رسم کنیم:

هنگام طراحی یک نقاشی، ما همیشه گرافیک را امضا می کنیم.

یادآوری موارد خاص یک تابع خطی اضافی نخواهد بود:

توجه کنید که چگونه زیرنویس ها را قرار دادم، هنگام مطالعه نقاشی، امضاها نباید مبهم باشند. در این مورد، قرار دادن یک امضا در کنار نقطه تلاقی خطوط، یا در پایین سمت راست بین نمودارها بسیار نامطلوب بود.

1) تابع خطی شکل () تناسب مستقیم نامیده می شود. مثلا، . نمودار تناسب مستقیم همیشه از مبدا عبور می کند. بنابراین، ساخت یک خط مستقیم ساده شده است - کافی است فقط یک نقطه را پیدا کنید.

2) یک معادله شکل یک خط مستقیم را به موازات محور تعریف می کند، به ویژه، خود محور توسط معادله داده می شود. نمودار تابع بلافاصله و بدون یافتن هیچ نقطه ای ساخته می شود. یعنی ورودی باید به صورت زیر درک شود: "y همیشه برابر است با -4، برای هر مقدار x."

3) یک معادله شکل یک خط مستقیم را به موازات محور تعریف می کند، به ویژه، خود محور توسط معادله داده می شود. نمودار تابع نیز بلافاصله ساخته می شود. ورودی باید به صورت زیر درک شود: "x همیشه، برای هر مقدار y، برابر با 1 است."

برخی می پرسند خوب چرا کلاس ششم را به یاد می آورید؟! همینطور است، شاید همینطور باشد، فقط در طول سالهای تمرین با ده ها دانش آموز آشنا شدم که از کار ساختن نموداری مانند یا گیج شده بودند.

کشیدن یک خط مستقیم رایج ترین عمل در هنگام طراحی است.

خط مستقیم در درس هندسه تحلیلی به تفصیل مورد بحث قرار می گیرد و علاقه مندان می توانند به مقاله مراجعه کنند. معادله یک خط مستقیم در یک صفحه.

نمودار تابع درجه دوم، نمودار تابع مکعبی، نمودار چند جمله ای

سهمی. نمودار یک تابع درجه دوم () سهمی است. مورد معروف را در نظر بگیرید:

بیایید برخی از ویژگی های تابع را به یاد بیاوریم.

بنابراین، حل معادله ما: - در این نقطه است که راس سهمی قرار دارد. چرایی چنین است را می توان از مقاله نظری مشتق و درس در مورد مادون تابع فهمید. در ضمن، مقدار مربوط به "y" را محاسبه می کنیم:

بنابراین راس در نقطه است

اکنون نقاط دیگری را می یابیم، در حالی که گستاخانه از تقارن سهمی استفاده می کنیم. لازم به ذکر است که تابع – یکنواخت نیست، اما، با این وجود، هیچ کس تقارن سهمی را لغو نکرد.

فکر می کنم از جدول نهایی مشخص شود که به چه ترتیب امتیازهای باقی مانده را پیدا کنید:

این الگوریتم ساخت و ساز را می توان به صورت مجازی یک «شاتل» یا اصل «پیش و عقب» با آنفیسا چخوا نامید.

بیایید یک نقاشی بکشیم:

از نمودارهای در نظر گرفته شده، ویژگی مفید دیگری به ذهن می رسد:

برای تابع درجه دوم () موارد زیر درست است:

اگر، آنگاه شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت می شوند.

اگر، آنگاه شاخه های سهمی به سمت پایین هدایت می شوند.

دانش عمیق منحنی را می توان در درس هایپربولا و سهمی بدست آورد.

سهمی مکعبی با تابع داده می شود. در اینجا یک نقاشی آشنا از مدرسه است:

ویژگی های اصلی تابع را فهرست می کنیم

نمودار تابع

یکی از شاخه های سهمی را نشان می دهد. بیایید یک نقاشی بکشیم:

ویژگی های اصلی تابع:

در این مورد، محور است مجانب عمودی برای نمودار هذلولی در .

این یک اشتباه بزرگ خواهد بود اگر هنگام ترسیم یک نقاشی، با سهل انگاری، اجازه دهید نمودار با مجانب قطع شود.

همچنین محدودیت های یک طرفه، به ما بگویید که یک هذلولی است از بالا محدود نیستو از پایین محدود نیست.

بیایید تابع را در بی‌نهایت بررسی کنیم: یعنی اگر در امتداد محور به سمت چپ (یا راست) به سمت بی‌نهایت حرکت کنیم، «بازی‌ها» یک مرحله باریک خواهند بود. بی نهایت نزدیکنزدیک به صفر، و بر این اساس، شاخه های هذلولی بی نهایت نزدیکبه محور نزدیک شوید

پس محور است مجانب افقی برای نمودار تابع، اگر "x" به مثبت یا منفی بی نهایت تمایل داشته باشد.

تابع است فرد، به این معنی که هذلولی نسبت به مبدا متقارن است. این واقعیت از نقاشی آشکار است، علاوه بر این، به راحتی می توان آن را به صورت تحلیلی تأیید کرد: .

نمودار تابعی از شکل () دو شاخه از هذلولی را نشان می دهد.

اگر، هذلولی در ربع مختصات اول و سوم قرار دارد(تصویر بالا را ببینید).

اگر، هذلولی در ربع مختصات دوم و چهارم قرار دارد.

تجزیه و تحلیل نظم مشخص شده محل سکونت هذلولی از نقطه نظر تبدیل های هندسی نمودارها دشوار نیست.

مثال 3

شاخه سمت راست هذلولی را بسازید

ما از روش ساخت نقطه ای استفاده می کنیم، در حالی که انتخاب مقادیر به گونه ای که کاملاً تقسیم شوند سودمند است:

بیایید یک نقاشی بکشیم:

ساختن شاخه سمت چپ هذلولی دشوار نخواهد بود، در اینجا عجیب بودن تابع به شما کمک می کند. به طور تقریبی، در جدول ساخت نقطه ای، ذهنی به هر عدد یک منهای اضافه کنید، نقاط مربوطه را قرار دهید و شاخه دوم را رسم کنید.

اطلاعات هندسی دقیق در مورد خط در نظر گرفته شده را می توان در مقاله Hyperbola and Parabola یافت.

نمودار یک تابع نمایی

در این پاراگراف، من بلافاصله تابع نمایی را در نظر خواهم گرفت، زیرا در مسائل ریاضیات بالاتر در 95٪ موارد این توان است که رخ می دهد.

یادآوری می کنم که - این یک عدد غیر منطقی است: ، هنگام ساختن یک نمودار لازم است که در واقع بدون تشریفات آن را می سازم. سه نکته احتمالا کافی است:

بیایید نمودار تابع را فعلا به حال خود بگذاریم، بعداً در مورد آن.

ویژگی های اصلی تابع:

اساساً، نمودارهای توابع یکسان به نظر می رسند و غیره.

باید بگویم که مورد دوم در عمل کمتر دیده می شود، اما اتفاق می افتد، بنابراین لازم دیدم آن را در این مقاله قرار دهم.

نمودار تابع لگاریتمی

تابعی را با لگاریتم طبیعی در نظر بگیرید.
بیایید یک خط کشی انجام دهیم:

اگر فراموش کردید لگاریتم چیست به کتاب های درسی مدرسه مراجعه کنید.

ویژگی های اصلی تابع:

دامنه:

محدوده مقادیر: .

عملکرد از بالا محدود نمی شود: ، هرچند به کندی، اما شاخه لگاریتم تا بی نهایت بالا می رود.
اجازه دهید رفتار تابع نزدیک به صفر در سمت راست را بررسی کنیم: . پس محور است مجانب عمودی برای نمودار تابعی که "x" در سمت راست به صفر گرایش دارد.

حتماً مقدار معمولی لگاریتم را بدانید و به خاطر بسپارید: .

اساساً، نمودار لگاریتم در پایه یکسان به نظر می رسد: , , (لگاریتم اعشاری به پایه 10) و غیره. در عین حال، هرچه پایه بزرگتر باشد، نمودار صاف تر خواهد بود.

ما این مورد را در نظر نخواهیم گرفت، چیزی که به یاد نمی‌آورم آخرین باری که نموداری با چنین مبنایی ساختم کی بود. بله، و به نظر می رسد لگاریتم مهمان بسیار نادری در مسائل ریاضیات عالی باشد.

در پایان پاراگراف، یک واقعیت دیگر را می گویم: تابع نمایی و تابع لگاریتمیدو تابع معکوس متقابل هستند. اگر به نمودار لگاریتم دقت کنید، می بینید که این همان توان است، فقط کمی متفاوت است.

نمودارهای توابع مثلثاتی

عذاب مثلثاتی چگونه در مدرسه شروع می شود؟ به درستی. از سینوس

بیایید تابع را رسم کنیم

این خط نامیده می شود سینوسی.

یادآوری می کنم که "پی" یک عدد غیر منطقی است: و در مثلثات در چشم ها خیره می شود.

ویژگی های اصلی تابع:

این تابع است دوره ایبا یک دوره چه مفهومی داره؟ بیایید به برش نگاه کنیم. در سمت چپ و راست آن، دقیقاً همان قطعه نمودار بی انتها تکرار می شود.

دامنه: یعنی برای هر مقدار "x" یک مقدار سینوسی وجود دارد.

محدوده مقادیر: . تابع است محدود: یعنی همه «بازی‌ها» به شدت در بخش قرار می‌گیرند.
این اتفاق نمی افتد: یا به عبارت دقیق تر، اتفاق می افتد، اما این معادلات راه حلی ندارند.

"تبدیل نمودارهای توابع" - کشش. تقارن. ساخت نمودارهای توابع را با استفاده از تبدیل نمودارهای توابع ابتدایی برطرف کنید. ترسیم توابع پیچیده کار مستقل گزینه 1 گزینه 2. انتقال موازی. هر نمودار را با یک تابع مرتبط کنید. تبدیل نمودار توابع. نمونه هایی از تبدیل ها را در نظر بگیرید، هر نوع تبدیل را توضیح دهید.

"معادله غیر منطقی" - الگوریتم حل معادلات. تاریخچه اعداد غیر منطقی چه مرحله ای در حل معادله منجر به ظهور ریشه های اضافی می شود. «درس-بحث». اشتباه را پیدا کنید. مقدمه. "من با استفاده از معادلات، قضایا، انواع مسائل را حل کرده ام." در طول کلاس ها. در یک اختلاف، توهین، سرزنش، خصومت با همکلاسی های خود غیر قابل قبول است.

"گراف تابع" - اگر یک تابع خطی با فرمولی مانند y \u003d kx، یعنی b \u003d 0 داده شود، به آن تناسب مستقیم می گویند. اگر یک تابع خطی با فرمول y \u003d b ، یعنی k \u003d 0 داده شود ، نمودار آن از نقطه ای با مختصات (b؛ 0) موازی با محور OX عبور می کند. عملکرد. یک تابع خطی تابعی است که با فرمول y = kx + b قابل تعریف است، که در آن x یک متغیر مستقل است، k و b برخی از اعداد هستند.

چگونه یک تابع خطی رسم کنیم؟ - مقدار y که x=3 است. ادغام مواد تحت پوشش. موضوع روشی. نموداری از تابع خطی y \u003d -3x + 6 بسازید. - خصوصیات این تابع را تعریف کنید. بررسی کنید: دانش آموز پشت تخته سیاه است. توابع یادگیری با تایید نوشته شده است. در محدوده برنامه درسی مدرسه

"گراف تابع Y X" - مثال 1. بیایید یک نمودار از تابع y=(x - 2)2، بر اساس نمودار تابع y=x2 (کلیک ماوس) بسازیم. برای دیدن نمودارها کلیک کنید مثال 2. بیایید یک نمودار از تابع y = x2 + 1، بر اساس نمودار تابع y=x2 (کلیک ماوس) بسازیم. الگوی سهمی y = x2. نمودار تابع y=(x - m)2 سهمی است با راس در نقطه (m; 0).

"معادلات و نابرابری های غیر منطقی" - روش های حل. 3. معرفی متغیرهای کمکی. 1. قدرت. روش های حل معادلات غیر منطقی معادلات و نابرابری های غیر منطقی 2. ضرب در عبارت الحاقی. 4. انتخاب مربع کامل تحت علامت رادیکال. 6. روش گرافیکی. نابرابری های غیر منطقی

دانش توابع ابتدایی پایه، خواص و نمودارهای آنهامهمتر از دانستن جدول ضرب نیست. آنها مانند یک پایه هستند، همه چیز بر اساس آنها است، همه چیز از آنها ساخته شده است و همه چیز به آنها می رسد.

در این مقاله، تمام توابع ابتدایی اصلی را فهرست می کنیم، نمودارهای آنها را ارائه می دهیم و آنها را بدون اشتقاق و اثبات ارائه می کنیم. ویژگی های توابع ابتدایی پایهطبق طرح:

• رفتار تابع در مرزهای دامنه تعریف، مجانب عمودی (در صورت لزوم، طبقه بندی مقاله نقاط شکست یک تابع را ببینید).
• زوج و فرد؛
• فواصل تحدب (تحدب به سمت بالا) و تقعر (تحدب به سمت پایین)، نقاط عطف (در صورت لزوم به تابع مقاله تحدب، جهت تحدب، نقاط عطف، تحدب و شرایط خمش مراجعه کنید).
• مجانب مورب و افقی؛
• نقاط منفرد توابع؛
• خواص ویژه برخی از توابع (به عنوان مثال، کوچکترین دوره مثبت برای توابع مثلثاتی).

اگر به یا علاقه مند هستید، می توانید به این بخش های تئوری بروید.

توابع ابتدایی اولیهعبارتند از: تابع ثابت (ثابت)، ریشه درجه n، تابع توان، تابع نمایی، لگاریتمی، مثلثاتی و مثلثاتی معکوس.

پیمایش صفحه.

عملکرد دائمی

یک تابع ثابت بر روی مجموعه تمام اعداد حقیقی با فرمول داده می شود که در آن C مقداری واقعی است. تابع ثابت به هر مقدار واقعی متغیر مستقل x همان مقدار متغیر وابسته y - مقدار С را نسبت می دهد. تابع ثابت را ثابت نیز می گویند.

نمودار یک تابع ثابت یک خط مستقیم موازی با محور x است و از نقطه ای با مختصات (0,C) می گذرد. برای مثال، بیایید نمودارهایی از توابع ثابت y=5، y=-2 و y=-2 را نشان دهیم که در شکل زیر به ترتیب با خطوط سیاه، قرمز و آبی مطابقت دارند.

ویژگی های یک تابع ثابت

• دامنه تعریف: کل مجموعه اعداد حقیقی.
• تابع ثابت زوج است.
• محدوده مقادیر: مجموعه ای متشکل از یک عدد C .
• تابع ثابت غیرافزاینده و بدون کاهش است (به همین دلیل ثابت است).
• بی معنی است که در مورد تحدب و تقعر ثابت صحبت کنیم.
• هیچ مجانبی وجود ندارد.
• تابع از نقطه (0,C) صفحه مختصات عبور می کند.

ریشه درجه n.

تابع ابتدایی پایه را در نظر بگیرید که با فرمول n داده می شود، که در آن n یک عدد طبیعی بزرگتر از یک است.

ریشه درجه n، n یک عدد زوج است.

بیایید با تابع ریشه n برای مقادیر زوج توان ریشه n شروع کنیم.

به عنوان مثال، ما یک تصویر با تصاویر نمودارهای توابع ارائه می دهیم و با خطوط مشکی، قرمز و آبی مطابقت دارند.

نمودارهای توابع ریشه یک درجه زوج شکل مشابهی برای سایر مقادیر نشانگر دارند.

خواص ریشه درجه n برای زوج n .

ریشه درجه n، n یک عدد فرد است.

تابع ریشه درجه n با یک توان فرد از ریشه n بر روی کل مجموعه اعداد حقیقی تعریف می شود. به عنوان مثال، ما نمودارهایی از توابع را ارائه می دهیم و منحنی های سیاه، قرمز و آبی با آنها مطابقت دارد.

برای مقادیر فرد دیگری از توان ریشه، نمودارهای تابع ظاهری مشابه خواهند داشت.

خواص ریشه درجه n برای فرد n .

تابع توان.

تابع توان با فرمولی از فرم داده می شود.

نوع نمودارهای تابع توان و ویژگی های تابع توان را بسته به مقدار توان در نظر بگیرید.

بیایید با یک تابع توان با توان عدد صحیح a شروع کنیم. در این حالت، شکل نمودارهای توابع توان و خواص توابع به توان زوج یا فرد و همچنین به علامت آن بستگی دارد. بنابراین، ابتدا توابع توان را برای مقادیر مثبت فرد نمایی a، سپس برای زوج مثبت، سپس برای نماهای منفی فرد و در نهایت برای زوج منفی a در نظر می گیریم.

ویژگی های توابع توان با توان های کسری و غیر منطقی (و همچنین نوع نمودارهای این توابع توانی) به مقدار توان a بستگی دارد. آنها را در نظر می گیریم، اولاً وقتی a از صفر به یک است، ثانیاً وقتی a بزرگتر از یک است، ثالثاً وقتی a از منهای یک به صفر است و چهارم وقتی a کوچکتر از منهای یک است.

در پایان این بخش، به منظور کامل بودن، یک تابع توان با توان صفر را توضیح می دهیم.

تابع توان با توان مثبت فرد.

تابع توانی را با نماهای مثبت فرد در نظر بگیرید، یعنی با a=1،3،5،….

شکل زیر نمودارهای توابع توان - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز، - خط سبز را نشان می دهد. برای a=1 داریم تابع خطی y=x

ویژگی های تابع توان با نما مثبت فرد.

تابع توان با نما حتی مثبت.

تابع توانی را با توان مثبت در نظر بگیرید، یعنی برای a=2،4،6،….

به عنوان مثال، بیایید نمودارهای توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز را در نظر بگیریم. برای a=2 یک تابع درجه دوم داریم که نمودار آن است سهمی درجه دوم.

ویژگی های یک تابع توان با توان مثبت زوج.

تابع توان با توان منفی فرد.

به نمودارهای تابع نمایی برای مقادیر منفی فرد نمایی نگاه کنید، یعنی برای \u003d -1، -3، -5، ....

شکل نمودارهای توابع نمایی را به عنوان مثال نشان می دهد - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز، - خط سبز. برای a=-1 داریم نسبت معکوس، که نمودار آن است هذلولی.

ویژگی های یک تابع توان با توان منفی فرد.

تابع توان با توان منفی زوج.

بیایید به تابع توان در a=-2،-4،-6،… برویم.

شکل نمودارهای توابع قدرت - خط سیاه، - خط آبی، - خط قرمز را نشان می دهد.

ویژگی های تابع توان با توان منفی زوج.

تابع توانی با توان گویا یا غیرمنطقی که مقدار آن بزرگتر از صفر و کوچکتر از یک است.

توجه داشته باشید!اگر a یک کسر مثبت با مخرج فرد باشد، برخی از نویسندگان بازه را حوزه تابع توان در نظر می گیرند. در عین حال مقرر شده است که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. اکنون نویسندگان بسیاری از کتاب های درسی جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، توابع توان را با یک توان به شکل کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی استدلال تعریف نمی کنند. ما دقیقاً به چنین دیدگاهی پایبند خواهیم بود، یعنی دامنه‌های توابع توان با نماهای مثبت کسری را مجموعه در نظر می‌گیریم. ما دانش آموزان را تشویق می کنیم که دیدگاه معلم خود را در مورد این نکته ظریف دریافت کنند تا از اختلاف نظر جلوگیری شود.

تابع توانی با توان منطقی یا غیرمنطقی a را در نظر بگیرید و .

ما نمودارهایی از توابع توان را برای a=11/12 (خط سیاه)، a=5/7 (خط قرمز)، (خط آبی)، a=2/5 (خط سبز) ارائه می‌کنیم.

تابع توانی با توان غیر صحیح گویا یا غیرمنطقی بزرگتر از یک.

تابع توانی با توان غیر صحیح گویا یا غیر منطقی a را در نظر بگیرید، و .

اجازه دهید نمودارهای توابع توان ارائه شده توسط فرمول ها را ارائه دهیم (خطوط مشکی، قرمز، آبی و سبز به ترتیب).

برای سایر مقادیر توان a، نمودارهای تابع ظاهری مشابه خواهند داشت.

ویژگی های تابع قدرت برای .

تابع توانی با توان واقعی که بزرگتر از منهای یک و کوچکتر از صفر است.

توجه داشته باشید!اگر a یک کسر منفی با مخرج فرد باشد، برخی از نویسندگان بازه را در نظر می گیرند . در عین حال مقرر شده است که توان a یک کسر تقلیل ناپذیر است. اکنون نویسندگان بسیاری از کتاب های درسی جبر و آغاز تجزیه و تحلیل، توابع توان را با یک توان به شکل کسری با مخرج فرد برای مقادیر منفی استدلال تعریف نمی کنند. ما دقیقاً به چنین دیدگاهی پایبند خواهیم بود، یعنی دامنه های توابع توان با توان منفی کسری را به ترتیب مجموعه در نظر می گیریم. ما دانش آموزان را تشویق می کنیم که دیدگاه معلم خود را در مورد این نکته ظریف دریافت کنند تا از اختلاف نظر جلوگیری شود.

ما به تابع قدرت , که در آن .

برای اینکه ایده خوبی از نوع نمودار توابع قدرت برای داشته باشیم، نمونه هایی از نمودارهای توابع ارائه می کنیم. (به ترتیب منحنی های مشکی، قرمز، آبی و سبز).

ویژگی های تابع توان با توان a , .

یک تابع توان با توان واقعی غیر صحیح که کمتر از منهای یک است.

اجازه دهید نمونه هایی از نمودارهای توابع قدرت را برای ، به ترتیب با خطوط سیاه، قرمز، آبی و سبز به تصویر کشیده شده اند.

ویژگی های یک تابع توان با ضریب منفی غیرصحیح کمتر از منهای یک.

وقتی a=0 و تابعی داریم - این یک خط مستقیم است که نقطه (0؛ 1) از آن حذف می شود (عبارت 0 0 موافقت شد که هیچ اهمیتی قائل نشود).

تابع نمایی.

یکی از توابع ابتدایی، تابع نمایی است.

نمودار تابع نمایی، که در آن و بسته به مقدار پایه a شکل متفاوتی دارد. بیایید آن را بفهمیم.

ابتدا حالتی را در نظر بگیرید که پایه تابع نمایی از صفر تا یک مقدار بگیرد، یعنی .

به عنوان مثال، نمودارهای تابع نمایی را برای a = 1/2 - خط آبی، a = 5/6 - خط قرمز ارائه می کنیم. نمودارهای تابع نمایی برای سایر مقادیر پایه از بازه ظاهری مشابه دارند.

ویژگی های تابع نمایی با پایه کوچکتر از یک.

وقتی پایه تابع نمایی بزرگتر از یک باشد، یعنی .

به عنوان یک تصویر، ما نمودارهایی از توابع نمایی - خط آبی و - خط قرمز را ارائه می دهیم. برای مقادیر دیگر پایه، بزرگتر از یک، نمودارهای تابع نمایی ظاهری مشابه خواهند داشت.

ویژگی های تابع نمایی با پایه بزرگتر از یک.

تابع لگاریتمی

تابع ابتدایی بعدی تابع لگاریتمی است که در آن، . تابع لگاریتمی فقط برای مقادیر مثبت آرگومان تعریف می شود، یعنی برای .

نمودار تابع لگاریتمی بسته به مقدار پایه a شکل متفاوتی به خود می گیرد.

در این مقاله، اطلاعاتی را که به چنین مفهوم ریاضی مهمی به عنوان یک تابع مربوط می شود، خلاصه می کنیم. ما در مورد آنچه هست صحبت خواهیم کرد تابع عددیو چی باید بداند و بتواند کشف کند.

چی تابع عددی? فرض کنید دو مجموعه عددی داریم: X و Y و وابستگی خاصی بین این مجموعه ها وجود دارد. یعنی به هر عنصر x از مجموعه X، طبق قانون خاصی اختصاص داده می شود عنصر واحد y از مجموعه Y.

این مهم است که هر عنصر x از مجموعه X مربوط به یک و تنها یک عنصر y از مجموعه Y است.

قاعده ای که به وسیله آن به هر عنصر از مجموعه X یک عنصر منحصر به فرد از مجموعه Y اختصاص می دهیم تابع عددی نامیده می شود.

مجموعه X نامیده می شود دامنه عملکرد

مجموعه Y نامیده می شود مجموعه ای از مقادیر مقادیر تابع.

برابری نامیده می شود معادله تابعدر این معادله - متغیر مستقل یا آرگومان تابع. - متغیر وابسته

اگر همه جفت ها را گرفته و مطابق با نقاط مربوط به صفحه مختصات قرار دهیم، به دست می آید. نمودار تابعنمودار تابع یک نمایش گرافیکی از رابطه بین مجموعه های X و Y است.

ویژگی های تابعمی توانیم با مشاهده نمودار تابع و برعکس با بررسی آن را تعیین کنیم ما می توانیم آن را ترسیم کنیم.

ویژگی های اساسی توابع

1. دامنه عملکرد.

دامنه تابع D(y)مجموعه ای از تمام مقادیر معتبر آرگومان x (متغیر مستقل x) است که عبارت سمت راست معادله تابع برای آن معنا دارد. به عبارت دیگر، آنها عبارت هستند.

به با توجه به نمودار یک تابع، دامنه تعریف آن را پیدا کنید، nواقعا در حال حرکت با از چپ به راست در امتداد محور x, تمام فواصل مقادیر x را که نمودار تابع در آنها وجود دارد بنویسید.

2. مجموعه ای از مقادیر تابع.

مجموعه مقادیر تابع E(y)مجموعه تمام مقادیری است که متغیر وابسته y می تواند بگیرد.

به با توجه به نمودار تابعبرای یافتن مجموعه مقادیر آن، لازم است، با حرکت از پایین به بالا در امتداد محور OY، تمام فواصل مقادیر y را که نمودار تابع روی آنها وجود دارد، یادداشت کنید.

3. تابع صفر.

تابع صفر -اینها مقادیر آرگومان x هستند که مقدار تابع (y) برای آنها صفر است.

برای پیدا کردن صفرهای تابع، باید معادله را حل کنید. ریشه های این معادله صفرهای تابع خواهد بود.

برای یافتن صفرهای یک تابع از نمودار آن، باید نقاط تلاقی نمودار را با محور OX پیدا کنید. ابسیساهای نقاط تقاطع و صفرهای تابع خواهند بود.

4. فواصل علامت ثابت یک تابع.

فواصل پایداری تابع آن دسته از فواصل مقادیر آرگومان هستند که تابع علامت خود را حفظ می کند، یعنی یا.

برای پیدا کردن ، باید نابرابری ها را حل کنیم و .

برای پیدا کردن فواصل ثابت یک تابعطبق برنامه او

5. فواصل یکنواختی یک تابع.

فواصل یکنواختی یک تابع، بازه هایی از مقادیر آرگومان x است که در آن تابع افزایش یا کاهش می یابد.

به یک تابع گفته می شود که در بازه I افزایش می یابد اگر برای هر دو مقدار آرگومان که به بازه I تعلق دارد به طوری که رابطه برآورده شود: .

به عبارت دیگر، اگر مقدار بزرگتر آرگومان از این بازه با مقدار بزرگتر تابع مطابقت داشته باشد، در بازه I افزایش می یابد.

برای تعیین فواصل افزایش تابع از نمودار تابع، لازم است با حرکت از چپ به راست در امتداد خط نمودار تابع، فواصل مقادیر آرگومان را انتخاب کنید. x، که نمودار روی آن بالا می رود.

به یک تابع گفته می شود که در بازه I کاهش می یابد اگر برای هر دو مقدار آرگومان که به بازه I تعلق دارد به طوری که رابطه زیر برقرار باشد: .

به عبارت دیگر، اگر مقدار بزرگتر آرگومان از این بازه با مقدار کوچکتر تابع مطابقت داشته باشد، در بازه I کاهش می یابد.

برای تعیین فواصل تابع کاهشی از نمودار تابع، لازم است با حرکت از چپ به راست در امتداد خط نمودار تابع، فواصل مقادیر آرگومان x را انتخاب کنید. که نمودار پایین می آید.

6. نقاط حداکثر و حداقل تابع.

نقطه ای حداکثر نقطه یک تابع نامیده می شود که همسایگی I از نقطه وجود داشته باشد که برای هر نقطه x از این همسایگی رابطه زیر صادق باشد:

.

از نظر گرافیکی، این بدان معناست که نقطه دارای ابسیسا x_0 بالاتر از نقاط دیگر از همسایگی I نمودار تابع y=f(x) قرار دارد.

نقطه ای را حداقل نقطه تابع می نامیم که همسایگی I از نقطه وجود داشته باشد که برای هر نقطه x از این همسایگی رابطه زیر صادق باشد:

از نظر گرافیکی، این بدان معنی است که نقطه دارای ابسیسا زیر نقاط دیگر از همسایگی I نمودار تابع قرار دارد.

ما معمولاً با بررسی تابع با استفاده از مشتق، حداکثر و حداقل نقاط یک تابع را پیدا می کنیم.

7. توابع زوج (فرد).

یک تابع حتی اگر دو شرط وجود داشته باشد فراخوانی می شود:

به عبارت دیگر، دامنه تعریف یک تابع زوج با توجه به مبدا متقارن است.

ب) برای هر مقدار آرگومان x که به دامنه تابع تعلق دارد، رابطه زیر برقرار است: .

یک تابع فرد نامیده می شود اگر دو شرط وجود داشته باشد:

الف) برای هر مقدار آرگومان که به محدوده تابع تعلق دارد، به محدوده تابع نیز تعلق دارد.