با توجه به توزیع یک متغیر تصادفی گسسته، پیدا کنید. قانون توزیع متغیرهای تصادفی

ایکس; معنی اف(5)؛ احتمال اینکه متغیر تصادفی است ایکسمقادیر را از بخش می گیرد. یک چند ضلعی توزیع بسازید.

1. تابع توزیع F(x) یک متغیر تصادفی گسسته شناخته شده است ایکس:

قانون توزیع یک متغیر تصادفی را تنظیم کنید ایکسدر قالب یک جدول

1. قانون توزیع یک متغیر تصادفی داده شده است ایکس:

1. احتمال اینکه فروشگاه دارای گواهینامه کیفیت برای طیف کامل محصولات باشد 0.7 است. کمیسیون در دسترس بودن گواهینامه ها را در چهار فروشگاه در منطقه بررسی کرد. یک قانون توزیع تهیه کنید، انتظارات ریاضی و پراکندگی تعداد فروشگاه هایی را که در آنها گواهی کیفیت در طی بازرسی یافت نشد، محاسبه کنید.

1. برای تعیین میانگین زمان سوختن لامپ های الکتریکی در دسته ای از 350 جعبه یکسان، از هر جعبه یک لامپ الکتریکی برای آزمایش گرفته شد. اگر مشخص باشد که انحراف استاندارد مدت زمان سوختن لامپ‌های الکتریکی در لامپ‌های الکتریکی انتخاب‌شده کمتر از 7 ساعت با میانگین مدت سوختن کل دسته به مقدار مطلق تفاوت دارد، از پایین‌تر تخمین بزنید. هر جعبه کمتر از 9 ساعت است.

1. در یک مرکز تلفن، یک اتصال نادرست با احتمال 0.002 رخ می دهد. این احتمال را پیدا کنید که از بین 500 اتصال موارد زیر رخ دهد:

تابع توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس. ساخت نمودار توابع و . انتظارات ریاضی، واریانس، حالت و میانه یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید ایکس.

1. یک دستگاه اتوماتیک غلتک می سازد. اعتقاد بر این است که قطر آنها یک متغیر تصادفی معمولی با مقدار متوسط ​​10 میلی متر است. اگر قطر با احتمال 0.99 در محدوده 9.7 میلی متر تا 10.3 میلی متر باشد انحراف معیار چقدر است.

نمونه A: 6 9 7 6 4 4

نمونه B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

گزینه 17.

1. از بین 35 قطعه، 7 قطعه غیر استاندارد هستند. این احتمال را پیدا کنید که دو قسمت به طور تصادفی گرفته شده استاندارد شوند.

1. سه تاس انداخته می شود. احتمال اینکه مجموع نقاط اضلاع رها شده مضرب 9 باشد را پیدا کنید.

1. کلمه "ADVENTURE" از کارت هایی تشکیل شده است که روی هر کدام یک حرف نوشته شده است. کارت‌ها با هم مخلوط می‌شوند و یکی یکی بدون برگشت بیرون آورده می‌شوند. این احتمال را پیدا کنید که حروف خارج شده به ترتیب ظاهر کلمه را تشکیل می دهند: a) ADVENTURE; ب) زندانی.

1. یک کوزه شامل 6 توپ سیاه و 5 توپ سفید است. 5 توپ به طور تصادفی کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین آنها وجود دارد:
1. 2 توپ سفید؛
2. کمتر از 2 توپ سفید؛
3. حداقل یک توپ سیاه

1. آدر یک آزمون برابر با 0.4 است. احتمالات وقایع زیر را بیابید:
1. رویداد آ 3 بار در یک سری از 7 آزمایش مستقل ظاهر می شود.
2. رویداد آنه کمتر از 220 و نه بیشتر از 235 بار در یک سری از 400 آزمایش.

1. این کارخانه 5000 محصول باکیفیت را به پایگاه ارسال کرد. احتمال آسیب دیدن هر محصول در حین حمل 0.002 است. این احتمال را پیدا کنید که بیش از 3 محصول در طول سفر آسیب نبینند.

1. کوزه اول شامل 4 توپ سفید و 9 توپ سیاه و کوزه دوم شامل 7 توپ سفید و 3 توپ سیاه است. 3 توپ به طور تصادفی از کوزه اول کشیده می شود و 4 توپ از کوزه دوم این احتمال را پیدا کنید که همه توپ های کشیده شده یک رنگ باشند.

1. قانون توزیع یک متغیر تصادفی داده شده است ایکس:

انتظارات و واریانس ریاضی آن را محاسبه کنید.

1. در جعبه 10 مداد وجود دارد. 4 مداد به صورت تصادفی کشیده شده است. مقدار تصادفی ایکس– تعداد مدادهای آبی در میان انتخاب‌شده‌ها. قانون توزیع آن، گشتاورهای اولیه و مرکزی مرتبه 2 و 3 را بیابید.

1. بخش کنترل فنی 475 محصول را از نظر ایراد بررسی می کند. احتمال معیوب بودن محصول 0.05 است. با احتمال 0.95 مرزهایی را بیابید که در آن تعداد محصولات معیوب در بین محصولات آزمایش شده قرار می گیرند.

1. در یک مرکز تلفن، یک اتصال نادرست با احتمال 0.003 رخ می دهد. این احتمال را پیدا کنید که از بین 1000 اتصال موارد زیر رخ دهد:
1. حداقل 4 اتصال نادرست؛
2. بیش از دو اتصال نادرست

1. متغیر تصادفی با تابع چگالی توزیع مشخص می شود:

تابع توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس. ساخت نمودار توابع و . انتظارات ریاضی، واریانس، حالت و میانه متغیر تصادفی X را محاسبه کنید.

1. متغیر تصادفی با تابع توزیع مشخص می شود:

1. بر اساس نمونه آحل مشکلات زیر:
1. ایجاد یک سری تغییرات؛

· میانگین نمونه؛

· واریانس نمونه؛

حالت و میانه؛

نمونه A: 0 0 2 2 1 4

1. محاسبه ویژگی های عددی سری تغییرات:

· میانگین نمونه؛

· واریانس نمونه؛

انحراف نمونه استاندارد؛

· حالت و میانه.

نمونه B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

گزینه 18.

1. از بین 10 بلیط بخت آزمایی، 2 بلیط برنده هستند. این احتمال را پیدا کنید که از پنج بلیطی که به طور تصادفی گرفته می شود، یکی برنده خواهد بود.

1. سه تاس انداخته می شود. احتمال اینکه مجموع نقاط نورد شده بیشتر از 15 باشد را پیدا کنید.

1. کلمه "PERIMETER" از کارت هایی تشکیل شده است که روی هر کدام یک حرف نوشته شده است. کارت‌ها با هم مخلوط می‌شوند و یکی یکی بدون برگشت بیرون آورده می‌شوند. احتمال اینکه حروف خارج شده از کلمه تشکیل شود را بیابید: الف) PERIMETER; ب) متر.

1. یک کوزه شامل 5 توپ سیاه و 7 توپ سفید است. 5 توپ به طور تصادفی کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین آنها وجود دارد:
1. 4 توپ سفید؛
2. کمتر از 2 توپ سفید؛
3. حداقل یک توپ سیاه

1. احتمال وقوع یک رویداد آدر یک آزمایش برابر با 0.55 است. احتمالات وقایع زیر را بیابید:
1. رویداد آ 3 بار در یک سری از 5 چالش ظاهر می شود.
2. رویداد آدر یک سری از 300 آزمایش، نه کمتر از 130 و نه بیشتر از 200 بار ظاهر می شود.

1. احتمال شکستن یک قوطی کنسرو 0.0005 است. این احتمال را پیدا کنید که از بین 2000 قوطی، دو قوطی نشتی داشته باشند.

1. کوزه اول شامل 4 توپ سفید و 8 توپ سیاه و گلدان دوم شامل 7 توپ سفید و 4 توپ سیاه است. دو توپ به طور تصادفی از کوزه اول و سه توپ به طور تصادفی از کوزه دوم کشیده می شود. احتمال اینکه همه توپ های کشیده شده همرنگ باشند را پیدا کنید.

1. از بین قطعاتی که برای مونتاژ می‌آیند، 0.1 درصد از دستگاه اول، 0.2 درصد از دستگاه دوم، 0.25 درصد از دستگاه سوم و 0.5 درصد از دستگاه چهارم معیوب هستند. نسبت بهره وری دستگاه به ترتیب 4:3:2:1 است. بخشی که به طور تصادفی گرفته شد استاندارد بود. احتمال اینکه قطعه در اولین ماشین ساخته شده است را پیدا کنید.

1. قانون توزیع یک متغیر تصادفی داده شده است ایکس:

انتظارات و واریانس ریاضی آن را محاسبه کنید.

1. یک برقکار دارای سه لامپ است که هر کدام دارای نقص با احتمال 0.1 هستند. هنگامی که جریان روشن می شود، لامپ معیوب بلافاصله می سوزد و لامپ دیگری جایگزین می شود. قانون توزیع، انتظارات ریاضی و پراکندگی تعداد لامپ های آزمایش شده را پیدا کنید.

1. احتمال اصابت به هدف برای هر 900 شلیک مستقل 0.3 است. با استفاده از نابرابری چبیشف، احتمال اصابت به هدف را حداقل 240 بار و حداکثر 300 بار برآورد کنید.

1. در یک مرکز تلفن، یک اتصال نادرست با احتمال 0.002 رخ می دهد. این احتمال را پیدا کنید که از بین 800 اتصال موارد زیر رخ دهد:
1. حداقل سه اتصال نادرست؛
2. بیش از چهار اتصال نادرست

1. متغیر تصادفی با تابع چگالی توزیع مشخص می شود:

تابع توزیع متغیر تصادفی X را بیابید. نمودارهای توابع و . انتظارات ریاضی، واریانس، حالت و میانه یک متغیر تصادفی را محاسبه کنید ایکس.

1. متغیر تصادفی با تابع توزیع مشخص می شود:

1. بر اساس نمونه آحل مشکلات زیر:
1. ایجاد یک سری تغییرات؛
2. محاسبه فرکانس های نسبی و انباشته.
3. یک تابع توزیع تجربی بنویسید و آن را رسم کنید.
4. محاسبه ویژگی های عددی سری تغییرات:

· میانگین نمونه؛

· واریانس نمونه؛

انحراف نمونه استاندارد؛

· حالت و میانه.

نمونه A: 4 7 6 3 3 4

1. با استفاده از نمونه B، مسائل زیر را حل کنید:
1. ایجاد یک سری تغییرات گروهی.
2. ساخت یک هیستوگرام و چند ضلعی فرکانس.
3. محاسبه ویژگی های عددی سری تغییرات:

· میانگین نمونه؛

· واریانس نمونه؛

انحراف نمونه استاندارد؛

· حالت و میانه.

نمونه B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

گزینه 19.

1. 16 زن و 5 مرد در سایت مشغول به کار هستند. 3 نفر با استفاده از شماره پرسنل خود به صورت تصادفی انتخاب شدند. این احتمال را پیدا کنید که همه افراد انتخاب شده مرد باشند.

2. چهار سکه پرتاب می شود. این احتمال را بیابید که فقط دو سکه دارای "نشانه" باشند.

3. کلمه «روانشناسی» از کارتهایی تشکیل شده است که روی هر کدام یک حرف نوشته شده است. کارت‌ها با هم مخلوط می‌شوند و یکی یکی بدون برگشت بیرون آورده می‌شوند. احتمال اینکه حروف خارج شده از یک کلمه تشکیل شود را بیابید: الف) روانشناسی. ب) کارکنان.

4. کوزه شامل 6 توپ سیاه و 7 توپ سفید است. 5 توپ به طور تصادفی کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین آنها وجود دارد:

آ. 3 توپ سفید؛

ب کمتر از 3 توپ سفید؛

ج حداقل یک توپ سفید

5. احتمال وقوع یک رویداد آدر یک آزمایش برابر با 0.5 است. احتمالات وقایع زیر را بیابید:

آ. رویداد آ 3 بار در یک سری از 5 آزمایش مستقل ظاهر می شود.

ب رویداد آحداقل 30 و بیش از 40 بار در یک سری 50 آزمایشی ظاهر می شود.

6. 100 دستگاه با قدرت یکسان وجود دارد که به طور مستقل از یکدیگر در یک حالت کار می کنند که درایو آنها به مدت 0.8 ساعت کاری روشن است. احتمال اینکه در هر لحظه از زمان از 70 تا 86 ماشین روشن شود چقدر است؟

7. کوزه اول شامل 4 توپ سفید و 7 توپ سیاه و گلدان دوم شامل 8 توپ سفید و 3 توپ سیاه است. 4 توپ به طور تصادفی از کوزه اول و 1 توپ از دومی کشیده می شود. این احتمال را پیدا کنید که در بین توپ های کشیده شده فقط 4 توپ سیاه وجود دارد.

8. نمایشگاه فروش خودرو روزانه خودروهای سه برند را در حجم دریافت می کند: "Moskvich" - 40٪. "Oka" - 20٪؛ "ولگا" - 40 درصد از کل خودروهای وارداتی. در بین اتومبیل های Moskvich، 0.5٪ دارای دستگاه ضد سرقت، Oka - 0.01٪، Volga - 0.1٪ هستند. این احتمال را پیدا کنید که خودرویی که برای بازرسی گرفته شده است دارای یک دستگاه ضد سرقت باشد.

9. اعداد و به طور تصادفی در بخش انتخاب می شوند. احتمال اینکه این اعداد نابرابری ها را برآورده کنند را بیابید.

10. قانون توزیع یک متغیر تصادفی داده شده است ایکس:

تابع توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس; معنی اف(2)؛ احتمال اینکه متغیر تصادفی است ایکسمقادیر را از بازه دریافت می کند. یک چند ضلعی توزیع بسازید.

همانطور که مشخص است، متغیر تصادفی کمیت متغیری نامیده می شود که بسته به مورد می تواند مقادیر خاصی را به خود بگیرد. متغیرهای تصادفی با حروف بزرگ الفبای لاتین (X، Y، Z) و مقادیر آنها با حروف کوچک مربوطه (x، y، z) نشان داده می شوند. متغیرهای تصادفی به دو دسته ناپیوسته (گسسته) و پیوسته تقسیم می شوند.

متغیر تصادفی گسسته یک متغیر تصادفی است که فقط یک مجموعه مقادیر محدود یا نامتناهی (قابل شمارش) با احتمالات غیر صفر معینی را می گیرد.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته تابعی است که مقادیر یک متغیر تصادفی را با احتمالات مربوط به آنها مرتبط می کند. قانون توزیع را می توان به یکی از روش های زیر مشخص کرد.

1 . قانون توزیع را می توان با جدول ارائه کرد:

که در آن λ> 0، k = 0، 1، 2، ….

V)با استفاده از تابع توزیع F(x) ، که برای هر مقدار x این احتمال را تعیین می کند که متغیر تصادفی X مقداری کمتر از x بگیرد، یعنی. F(x) = P(X< x).

ویژگی های تابع F(x)

3 . قانون توزیع را می توان به صورت گرافیکی مشخص کرد - چند ضلعی توزیع (چند ضلعی) (مشکل 3 را ببینید).

توجه داشته باشید که برای رفع برخی مشکلات نیازی به دانستن قانون توزیع نیست. در برخی موارد، دانستن یک یا چند عدد که مهمترین ویژگی های قانون توزیع را منعکس می کند، کافی است. این می تواند عددی باشد که معنای "مقدار متوسط" یک متغیر تصادفی را داشته باشد، یا عددی که میانگین اندازه انحراف یک متغیر تصادفی از مقدار میانگین آن را نشان می دهد. اعدادی از این نوع را مشخصه های عددی یک متغیر تصادفی می نامند.

ویژگی های عددی پایه یک متغیر تصادفی گسسته :

• انتظارات ریاضی (مقدار متوسط) یک متغیر تصادفی گسسته M(X)=Σ x i p i.
  برای توزیع دو جمله ای M(X)=np، برای توزیع پواسون M(X)=λ
• پراکندگی متغیر تصادفی گسسته D(X)=M2یا D(X) = M(X 2)- 2. تفاوت X–M(X) را انحراف یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی آن می گویند.
  برای توزیع دو جمله ای D(X)=npq، برای توزیع پواسون D(X)=λ
• انحراف معیار (انحراف معیار) σ(X)=√D(X).

نمونه هایی از حل مسائل با موضوع "قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته"

وظیفه 1.

1000 بلیط بخت آزمایی صادر شد: 5 نفر از آنها 500 روبل، 10 نفر 100 روبل، 20 نفر 50 روبل، 50 نفر 10 روبل برنده خواهند شد. قانون توزیع احتمال متغیر تصادفی X - برد در هر بلیط را تعیین کنید.

راه حل. با توجه به شرایط مسئله، مقادیر زیر برای متغیر تصادفی X امکان پذیر است: 0، 10، 50، 100 و 500.

تعداد بلیت های بدون برنده شدن 1000 - (5+10+20+50) = 915، سپس P(X=0) = 915/1000 = 0.915 است.

به طور مشابه، ما همه احتمالات دیگر را پیدا می کنیم: P(X=0) = 50/1000=0.05، P(X=50) = 20/1000=0.02، P(X=100) = 10/1000=0.01، P(X = 500) = 5/1000 = 0.005. اجازه دهید قانون به دست آمده را در قالب یک جدول ارائه کنیم:

بیایید انتظار ریاضی مقدار X را پیدا کنیم: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+ 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3.5

وظیفه 3.

این دستگاه از سه عنصر مستقل تشکیل شده است. احتمال شکست هر عنصر در یک آزمایش 0.1 است. یک قانون توزیع برای تعداد عناصر شکست خورده در یک آزمایش ترسیم کنید، یک چندضلعی توزیع بسازید. تابع توزیع F(x) را پیدا کنید و آن را رسم کنید. انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف معیار یک متغیر تصادفی گسسته را بیابید.

راه حل. 1. متغیر تصادفی گسسته X = (تعداد عناصر ناموفق در یک آزمایش) مقادیر ممکن زیر را دارد: x 1 = 0 (هیچ یک از عناصر دستگاه شکست خورد)، x 2 = 1 (یک عنصر شکست خورد)، x 3 = 2 ( دو عنصر ناموفق ) و x 4 = 3 (سه عنصر ناموفق).

خرابی عناصر مستقل از یکدیگر است، احتمال خرابی هر عنصر برابر است، بنابراین قابل اجرا است. فرمول برنولی . با توجه به اینکه با توجه به شرط n=3، p=0.1، q=1-p=0.9، احتمالات مقادیر را تعیین می کنیم:
P 3 (0) = C 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0.9 3 = 0.729;
P 3 (1) = C 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0.1*0.9 2 = 0.243;
P 3 (2) = C 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0.1 2 *0.9 = 0.027;
P 3 (3) = C 3 3 p 3 q 3-3 = p 3 = 0.1 3 = 0.001;
بررسی کنید: ∑p i = 0.729+0.243+0.027+0.001=1.

بنابراین، قانون توزیع دوجمله ای مورد نظر X به شکل زیر است:

مقادیر احتمالی x i را در امتداد محور آبسیسا و احتمالات مربوطه p i را در امتداد محور ارتین رسم می کنیم. بیایید نقاط M 1 (0؛ 0.729)، M 2 (1؛ 0.243)، M 3 (2؛ 0.027)، M 4 (3؛ 0.001) را بسازیم. با اتصال این نقاط با پاره های خط مستقیم، چندضلعی توزیع مورد نظر را به دست می آوریم.

3. بیایید تابع توزیع F(x) = Р(Х) را پیدا کنیم

نمودار تابع F(x)

4. برای توزیع دو جمله ای X:
- انتظار ریاضی M(X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- واریانس D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- انحراف استاندارد σ(X) = √D(X) = √0.27 ≈ 0.52.

قانون توزیع و خصوصیات

متغیرهای تصادفی

متغیرهای تصادفی، طبقه بندی آنها و روش های توصیف.

کمیت تصادفی کمیتی است که در نتیجه آزمایش می‌تواند یک یا مقدار دیگری به خود بگیرد، اما کدام یک از قبل مشخص نیست. بنابراین، برای یک متغیر تصادفی، فقط می‌توانید مقادیری را مشخص کنید که قطعاً در نتیجه آزمایش یکی از آنها را خواهد گرفت. در ادامه این مقادیر را مقادیر احتمالی متغیر تصادفی می نامیم. از آنجایی که یک متغیر تصادفی به طور کمی نتیجه تصادفی یک آزمایش را مشخص می کند، می توان آن را به عنوان یک مشخصه کمی یک رویداد تصادفی در نظر گرفت.

متغیرهای تصادفی معمولاً با حروف بزرگ الفبای لاتین مانند X..Y..Z و مقادیر احتمالی آنها با حروف کوچک مربوطه نشان داده می شوند.

سه نوع متغیر تصادفی وجود دارد:

گسسته؛ مداوم؛ مختلط.

گسستهیک متغیر تصادفی است که تعداد مقادیر ممکن آن مجموعه ای قابل شمارش را تشکیل می دهد. به نوبه خود، مجموعه ای که عناصر آن قابل شماره گذاری باشد، قابل شمارش نامیده می شود. کلمه "گسسته" از کلمه لاتین discretus به معنای "ناپیوسته، متشکل از بخش های جداگانه" گرفته شده است.

مثال 1. یک متغیر تصادفی گسسته تعداد قطعات معیوب X در یک دسته از n محصول است. در واقع، مقادیر ممکن این متغیر تصادفی یک سری اعداد صحیح از 0 تا n است.

مثال 2. یک متغیر تصادفی گسسته تعداد شلیک های قبل از اولین ضربه به هدف است. در اینجا، مانند مثال 1، مقادیر ممکن را می توان شماره گذاری کرد، اگرچه در حالت محدود، مقدار ممکن یک عدد بی نهایت بزرگ است.

مداومیک متغیر تصادفی است که مقادیر ممکن آن به طور مداوم یک بازه مشخص از محور عددی را پر می کند که گاهی اوقات فاصله وجود این متغیر تصادفی نامیده می شود. بنابراین، در هر بازه محدود وجود، تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی پیوسته بی نهایت زیاد است.

مثال 3. یک متغیر تصادفی پیوسته، مصرف برق ماهانه یک شرکت است.

مثال 4. یک متغیر تصادفی پیوسته خطا در اندازه گیری ارتفاع با استفاده از ارتفاع سنج است. از اصل عملکرد ارتفاع سنج مشخص شود که خطا در محدوده 0 تا 2 متر است، بنابراین فاصله وجود این متغیر تصادفی فاصله بین 0 تا 2 متر است.

قانون توزیع متغیرهای تصادفی

یک متغیر تصادفی در صورتی کاملاً مشخص در نظر گرفته می‌شود که مقادیر ممکن آن روی محور عددی نشان داده شود و قانون توزیع ایجاد شود.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی رابطه ای است که بین مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی و احتمالات مربوطه ارتباط برقرار می کند.

به یک متغیر تصادفی گفته می شود که بر اساس یک قانون معین توزیع می شود یا تابع یک قانون توزیع معین است. تعدادی از احتمالات، تابع توزیع، چگالی احتمال و تابع مشخصه به عنوان قوانین توزیع استفاده می شود.

قانون توزیع یک توصیف احتمالی کامل از یک متغیر تصادفی را ارائه می دهد. طبق قانون توزیع، می توان قبل از آزمایش قضاوت کرد که کدام مقادیر ممکن از یک متغیر تصادفی بیشتر و کدام کمتر ظاهر می شود.

برای یک متغیر تصادفی گسسته، قانون توزیع را می توان به صورت جدول، تحلیلی (به صورت فرمول) و گرافیکی مشخص کرد.

ساده ترین شکل تعیین قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته یک جدول (ماتریس) است که تمام مقادیر ممکن متغیر تصادفی و احتمالات مربوط به آنها را به ترتیب صعودی فهرست می کند.

به چنین جدولی سری توزیع یک متغیر تصادفی گسسته می گویند. 1

رویدادهای X 1، X 2،...، X n، شامل این واقعیت است که در نتیجه آزمایش، متغیر تصادفی X به ترتیب مقادیر x 1، x 2، ... x n را می گیرد. متناقض و تنها موارد ممکن (از آنجایی که جدول تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی را فهرست می کند)، به عنوان مثال. یک گروه کامل تشکیل دهید بنابراین، مجموع احتمالات آنها برابر با 1 است. بنابراین، برای هر متغیر تصادفی گسسته

(این واحد به نوعی بین مقادیر متغیر تصادفی توزیع می شود، از این رو اصطلاح "توزیع" نامیده می شود).

اگر مقادیر متغیر تصادفی در امتداد محور abscissa رسم شوند و احتمالات مربوطه آنها در امتداد محور ordinate رسم شود، سری توزیع را می توان به صورت گرافیکی نشان داد. اتصال نقاط به دست آمده یک خط شکسته را تشکیل می دهد که به آن چند ضلعی یا چندضلعی توزیع احتمال می گویند (شکل 1).

مثالقرعه کشی شامل: یک ماشین به ارزش 5000 دکه. واحد، 4 تلویزیون به قیمت 250 den. واحد، 5 دستگاه فیلمبرداری به ارزش 200 د. واحدها در مجموع 1000 بلیط برای 7 روز فروخته می شود. واحدها یک قانون توزیع برای برنده های خالص دریافت شده توسط یک شرکت کننده در قرعه کشی که یک بلیط خریداری کرده است، تهیه کنید.

راه حل. مقادیر احتمالی متغیر تصادفی X - برنده خالص هر بلیط - برابر است با 0-7 = -7 پول. واحدها (اگر بلیط برنده نشد)، 200-7 = 193، 250-7 = 243، 5000-7 = 4993 den. واحدها (اگر بلیت به ترتیب برنده یک VCR، تلویزیون یا ماشین باشد). با توجه به اینکه از 1000 بلیط تعداد غیر برنده ها 990 و برنده های مشخص شده به ترتیب 5، 4 و 1 می باشد و با استفاده از تعریف کلاسیک احتمال به دست می آوریم.

یک سری توزیع از یک متغیر تصادفی گسسته داده شده است. احتمال گمشده را پیدا کنید و تابع توزیع را رسم کنید. انتظارات ریاضی و واریانس این کمیت را محاسبه کنید.

متغیر تصادفی X فقط چهار مقدار را می گیرد: -4، -3، 1 و 2. هر یک از این مقادیر را با احتمال خاصی می گیرد. از آنجایی که مجموع همه احتمالات باید برابر با 1 باشد، احتمال گمشده برابر است با:

0,3 + ? + 0,1 + 0,4 = 1,

بیایید تابع توزیع متغیر تصادفی X را بسازیم. مشخص است که تابع توزیع، سپس:

از این رو،

بیایید تابع را رسم کنیم اف(ایکس) .

انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی گسسته برابر است با مجموع حاصل از مقدار متغیر تصادفی و احتمال مربوطه، یعنی.

ما واریانس یک متغیر تصادفی گسسته را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم:

کاربرد

عناصر ترکیبیات در اینجا: - فاکتوریل یک عدد

اقدامات مربوط به رویدادها رویداد هر واقعیتی است که ممکن است در نتیجه یک تجربه اتفاق بیفتد یا نباشد. ادغام رویدادها آو که در- این رخداد باکه از یک ظاهر یا رویداد تشکیل شده است آ، یا رویدادها که در، یا هر دو رویداد به طور همزمان. تعیین: ; عبور از رویدادها آو که در- این رخداد با، که از وقوع همزمان هر دو رویداد تشکیل شده است. تعیین: ;

تعریف کلاسیک احتمال احتمال وقوع آنسبت تعداد آزمایشات است ، برای وقوع یک رویداد مساعد است آ، به تعداد کل آزمایش ها :

فرمول ضرب احتمال احتمال وقوع را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد: - احتمال وقوع آ، - احتمال وقوع که در، - احتمال رخداد که درمشروط بر اینکه رویداد آقبلا اتفاق افتاده است. اگر رویدادهای A و B مستقل باشند (وقوع یکی بر وقوع دیگری تأثیر نمی گذارد) احتمال وقوع آن برابر است با:

فرمول اضافه کردن احتمالات احتمال یک رویداد را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد: احتمال وقوع آ، احتمال وقوع که در، - احتمال وقوع همزمان حوادث آو که در. اگر رویدادهای A و B ناسازگار باشند (نمی‌توانند به طور همزمان رخ دهند)، احتمال وقوع آن برابر است با:

فرمول احتمال کل اجازه دهید رویداد آمی تواند همزمان با یکی از رویدادها اتفاق بیفتد , , …, - بیایید آنها را فرضیه بنامیم. همچنین شناختهشده است - احتمال اجرا من-فرضیه و - احتمال وقوع رویداد A در هنگام اجرا من-فرضیه سپس احتمال رخداد آرا می توان با فرمول پیدا کرد:

طرح برنولی اجازه دهید n آزمون مستقل وجود داشته باشد. احتمال وقوع (موفقیت) یک رویداد آدر هر یک از آنها ثابت و مساوی است پ، احتمال شکست (یعنی رخ ندادن رویداد آ) q = 1 - پ. سپس احتمال وقوع کموفقیت در nتست ها را می توان با استفاده از فرمول برنولی پیدا کرد: به احتمال زیاد تعداد موفقیت در طرح برنولی، این تعداد وقوع رویدادهایی است که بیشترین احتمال را دارد. را می توان با استفاده از فرمول پیدا کرد:

متغیرهای تصادفی پیوسته گسسته (مثلا تعداد دختران یک خانواده با 5 فرزند) (مثلا زمان درست کارکردن کتری) ویژگی های عددی متغیرهای تصادفی گسسته بگذارید یک کمیت گسسته توسط یک سری توزیع داده شود: ایکس آر , , …, - مقادیر یک متغیر تصادفی ایکس; , , … مقادیر احتمال مربوطه هستند. تابع توزیع تابع توزیع یک متغیر تصادفی ایکستابعی است که روی کل خط عددی تعریف شده و برابر با احتمال آن است ایکسکمتر وجود خواهد داشت ایکس:

سوالات برای امتحان

رویداد. عملیات روی رویدادهای تصادفی

مفهوم احتمال وقوع یک رویداد.

قوانین جمع و ضرب احتمالات احتمالات مشروط

فرمول احتمال کل فرمول بیز

طرح برنولی

متغیر تصادفی، تابع توزیع و سری توزیع آن.

ویژگی های اساسی تابع توزیع

ارزش مورد انتظار ویژگی های انتظار ریاضی

پراکندگی. خواص پراکندگی.

چگالی توزیع احتمال یک متغیر تصادفی یک بعدی.

انواع توزیع ها: توزیع یکنواخت، نمایی، نرمال، دو جمله ای و توزیع پواسون.

قضایای محلی و انتگرالی مویور لاپلاس.

قانون و تابع توزیع یک سیستم از دو متغیر تصادفی.

چگالی توزیع یک سیستم از دو متغیر تصادفی.

قوانین شرطی توزیع، انتظارات ریاضی مشروط.

متغیرهای تصادفی وابسته و مستقل. ضریب همبستگی.

نمونه. پردازش نمونه چند ضلعی و هیستوگرام فرکانس. تابع توزیع تجربی

مفهوم تخمین پارامترهای توزیع الزامات برای ارزیابی فاصله اطمینان. ساخت فواصل برای تخمین انتظارات ریاضی و انحراف معیار.

فرضیه های آماری معیارهای رضایت

در کاربردهای نظریه احتمال، ویژگی های کمی آزمایش از اهمیت اولیه برخوردار است. کمیتی که بتوان آن را به صورت کمی تعیین کرد و در نتیجه آزمایش، بسته به مورد، مقادیر متفاوتی به خود گرفت، نامیده می شود. متغیر تصادفی

نمونه هایی از متغیرهای تصادفی:

1. تعداد دفعاتی که یک عدد زوج در ده پرتاب یک قالب ظاهر می شود.

2. تعداد ضربه های تیراندازی که یک سری شلیک می کند به هدف.

3. تعداد قطعات یک گلوله در حال انفجار.

در هر یک از مثال‌های ارائه شده، متغیر تصادفی فقط می‌تواند مقادیر جدا شده را بگیرد، یعنی مقادیری که می‌توان با استفاده از یک سری طبیعی از اعداد شمارش کرد.

به چنین متغیر تصادفی که مقادیر ممکن آن اعداد جدا شده منفرد است که این متغیر با احتمالات معینی می گیرد، نامیده می شود. گسسته.

تعداد مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته می تواند متناهی یا بی نهایت (قابل شمارش) باشد.

قانون توزیعیک متغیر تصادفی گسسته فهرستی از مقادیر ممکن و احتمالات مربوط به آن است. قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته را می توان به صورت جدول (سری توزیع احتمال)، تحلیلی و گرافیکی (چند ضلعی توزیع احتمال) مشخص کرد.

هنگام انجام یک آزمایش، ارزیابی مقدار مورد مطالعه "به طور متوسط" ضروری است. نقش میانگین مقدار یک متغیر تصادفی توسط یک مشخصه عددی به نام انتظارات ریاضی،که با فرمول مشخص می شود

جایی که ایکس 1 ، ایکس 2 ,.. , ایکس n- مقادیر متغیر تصادفی ایکس، آ پ 1 ,پ 2 , ... , پ n- احتمالات این مقادیر (توجه داشته باشید که پ 1 + پ 2 +…+ پ n = 1).

مثال. تیراندازی به سمت هدف انجام می شود (شکل 11).

ضربه در I سه امتیاز می دهد، در II - دو امتیاز، در III - یک امتیاز. تعداد امتیازهای کسب شده در یک شوت توسط یک تیرانداز دارای قانون توزیع شکل است

برای مقایسه مهارت تیراندازان کافی است میانگین امتیازات کسب شده را با هم مقایسه کنید. انتظارات ریاضی م(ایکس) و م(Y):

م(ایکس) = 1 0,4 + 2  0,2 + 3  0,4 = 2,0,

م(Y) = 1 0,2 + 2  0,5 + 3  0,3 = 2,1.

تیرانداز دوم به طور متوسط ​​تعداد کمی بیشتر امتیاز می دهد، یعنی. در صورت شلیک مکرر نتایج بهتری به همراه خواهد داشت.

بیایید به ویژگی های انتظار ریاضی توجه کنیم:

1. انتظار ریاضی از یک مقدار ثابت برابر است با خود ثابت:

م(سی) = سی.

2. انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر است با مجموع انتظارات ریاضی عبارت:

M=(ایکس 1 + ایکس 2 +…+ ایکس n)= م(ایکس 1)+ م(ایکس 2)+…+ م(ایکس n).

3. انتظار ریاضی حاصل ضرب متغیرهای تصادفی مستقل متقابل با حاصلضرب انتظارات ریاضی عوامل برابر است.

م(ایکس 1 ایکس 2 … ایکس n) = م(ایکس 1)م(ایکس 2)… م(ایکس n).

4. نفی ریاضی توزیع دوجمله ای برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش ها و احتمال وقوع یک رویداد در یک آزمایش (وظیفه 4.6).

م(ایکس) = pr.

برای ارزیابی اینکه چگونه یک متغیر تصادفی "به طور متوسط" از انتظارات ریاضی خود انحراف می یابد، به عنوان مثال. به منظور مشخص کردن گسترش مقادیر یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال، از مفهوم پراکندگی استفاده می شود.

واریانسمتغیر تصادفی ایکسانتظار ریاضی انحراف مجذور نامیده می شود:

D(ایکس) = م[(ایکس - م(ایکس)) 2 ].

پراکندگی یک مشخصه عددی پراکندگی یک متغیر تصادفی است. از تعریف مشخص می شود که هرچه پراکندگی یک متغیر تصادفی کوچکتر باشد، مقادیر احتمالی آن در اطراف انتظارات ریاضی نزدیکتر است، یعنی مقادیر متغیر تصادفی با انتظارات ریاضی آن بهتر مشخص می شود. .

از تعریف به دست می آید که واریانس را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

.

محاسبه واریانس با استفاده از فرمول دیگری راحت است:

D(ایکس) = م(ایکس 2) - (م(ایکس)) 2 .

پراکندگی دارای خواص زیر است:

1. واریانس ثابت صفر است:

D(سی) = 0.

2. ضریب ثابت را می توان با مربع کردن آن از علامت پراکندگی خارج کرد:

D(CX) = سی 2 D(ایکس).

3. واریانس مجموع متغیرهای تصادفی مستقل برابر است با مجموع واریانس عبارت‌ها:

D(ایکس 1 + ایکس 2 + ایکس 3 +…+ ایکس n)= D(ایکس 1)+ D(ایکس 2)+…+ D(ایکس n)

4. واریانس توزیع دو جمله ای برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش و احتمال وقوع و عدم وقوع یک رویداد در یک آزمایش:

D(ایکس) = npq.

در نظریه احتمال، اغلب از یک مشخصه عددی برابر با جذر واریانس یک متغیر تصادفی استفاده می شود. این مشخصه عددی انحراف مربع میانگین نامیده می شود و با نماد نشان داده می شود

.

اندازه تقریبی انحراف یک متغیر تصادفی از مقدار متوسط ​​آن را مشخص می کند و ابعادی مشابه با متغیر تصادفی دارد.

4.1. تیرانداز سه تیر به سمت هدف شلیک می کند. احتمال اصابت به هدف با هر شلیک 0.3 است.

یک سری توزیع برای تعداد بازدید بسازید.

راه حل. تعداد بازدیدها یک متغیر تصادفی گسسته است ایکس. هر مقدار ایکس n متغیر تصادفی ایکسبا احتمال خاصی مطابقت دارد پ n .

قانون توزیع یک متغیر تصادفی گسسته در این مورد می تواند مشخص شود نزدیک توزیع.

در این مشکل ایکسمقادیر 0، 1، 2، 3 را می گیرد. طبق فرمول برنولی

,

بیایید احتمالات مقادیر ممکن متغیر تصادفی را پیدا کنیم:

آر 3 (0) = (0,7) 3 = 0,343,

آر 3 (1) =0,3(0,7) 2 = 0,441,

آر 3 (2) =(0,3) 2 0,7 = 0,189,

آر 3 (3) = (0,3) 3 = 0,027.

با مرتب کردن مقادیر متغیر تصادفی ایکسبه ترتیب افزایش، سری توزیع را بدست می آوریم:

توجه داشته باشید که مقدار

به معنای احتمال اینکه متغیر تصادفی است ایکسحداقل یک مقدار از بین مقادیر ممکن خواهد گرفت، بنابراین این رویداد قابل اعتماد است

.

4.2 چهار توپ با اعداد از 1 تا 4 در کوزه وجود دارد. دو توپ خارج می شود. مقدار تصادفی ایکس- مجموع اعداد توپ یک سری توزیع از یک متغیر تصادفی بسازید ایکس.

راه حل.مقادیر متغیر تصادفی ایکس 3، 4، 5، 6، 7 هستند. بیایید احتمالات مربوطه را پیدا کنیم. مقدار متغیر تصادفی 3 ایکسدر تنها حالتی که یکی از توپ های انتخاب شده دارای عدد 1 و دیگری 2 باشد می توان پذیرفت.

با استفاده از فرمول احتمال کلاسیک به دست می آوریم

به همین ترتیب،

آر(ایکس= 4) =آر(ایکس= 6) =آر(ایکس= 7) = 1/6.

مجموع 5 می تواند در دو حالت ظاهر شود: 1 + 4 و 2 + 3، بنابراین

.

ایکسدارای فرم:

تابع توزیع را پیدا کنید اف(ایکس) متغیر تصادفی ایکسو آن را ترسیم کنید. محاسبه کنید برای ایکسانتظارات و واریانس ریاضی آن

راه حل. قانون توزیع یک متغیر تصادفی را می توان با تابع توزیع مشخص کرد

اف(ایکس) = پ(ایکس ایکس).

تابع توزیع اف(ایکس) یک تابع غیر نزولی و پیوسته چپ است که بر روی کل خط اعداد تعریف شده است

اف (- )= 0,اف (+ )= 1.

برای یک متغیر تصادفی گسسته، این تابع با فرمول بیان می شود

.

بنابراین در این مورد

نمودار تابع توزیع اف(ایکس) یک خط پلکانی است (شکل 12)

ارزش مورد انتظارم(ایکس) میانگین حسابی وزنی مقادیر است ایکس 1 ، ایکس 2 ،……ایکس nمتغیر تصادفی ایکسبا ترازو ρ 1, ρ 2, …… , ρ n و مقدار میانگین متغیر تصادفی نامیده می شود ایکس. طبق فرمول

م(ایکس)= x 1 ρ 1 + x 2 ρ 2 +……+ x n ρ n

م(ایکس) = 3·0.14+5·0.2+7·0.49+11·0.17 = 6.72.

پراکندگیدرجه پراکندگی مقادیر یک متغیر تصادفی را از مقدار متوسط ​​آن مشخص می کند و نشان می دهد D(ایکس):

D(ایکس)= م[(HM(ایکس)) 2 ]= م(ایکس 2) –[م(ایکس)] 2 .

برای یک متغیر تصادفی گسسته، واریانس شکل دارد

یا با استفاده از فرمول قابل محاسبه است

با جایگزینی داده های عددی مسئله به فرمول، به دست می آوریم:

م(ایکس 2) = 3 2 ∙ 0,14+5 2 ∙ 0,2+7 2 ∙ 0,49+11 2 ∙ 0,17 = 50,84

D(ایکس) = 50,84-6,72 2 = 5,6816.

4.4. دو تاس همزمان دو بار ریخته می شود. قانون دوجمله ای توزیع یک متغیر تصادفی گسسته را بنویسید ایکس- تعداد تکرار تعداد کل امتیازات زوج روی دو تاس.

راه حل. اجازه دهید یک رویداد تصادفی را معرفی کنیم

آ= (دو تاس با یک پرتاب مجموعاً تعداد امتیازات زوج را به همراه داشت).

با استفاده از تعریف کلاسیک احتمال می یابیم

آر(آ)= ,

جایی که n - تعداد نتایج احتمالی آزمون طبق قانون پیدا می شود

ضرب:

n = 6∙6 =36,

متر - تعداد افراد طرفدار این رویداد آنتایج - برابر

متر= 3∙6=18.

بنابراین، احتمال موفقیت در یک آزمایش است

ρ = پ(آ)= 1/2.

مشکل با استفاده از طرح آزمون برنولی حل شده است. یک چالش در اینجا این است که یک بار دو تاس بیندازید. تعداد این آزمایشات n = 2. متغیر تصادفی ایکسمقادیر 0، 1، 2 را با احتمالات می گیرد

آر 2 (0) =,آر 2 (1) =∙,آر 2 (2) =

توزیع دو جمله ای مورد نیاز یک متغیر تصادفی ایکسرا می توان به عنوان یک سری توزیع نشان داد:

4.5 . در یک دسته از شش قسمت، چهار قسمت استاندارد وجود دارد. سه قسمت به صورت تصادفی انتخاب شدند. یک توزیع احتمال از یک متغیر تصادفی گسسته بسازید ایکس- تعداد قطعات استاندارد در بین موارد انتخاب شده و انتظارات ریاضی آن را پیدا می کند.

راه حل.مقادیر متغیر تصادفی ایکساعداد 0،1،2،3 هستند. واضح است که آر(ایکس=0)=0، زیرا تنها دو بخش غیر استاندارد وجود دارد.

آر(ایکس=1) =
=1/5,

آر(X= 2) =
= 3/5,

آر(ایکس=3) =
= 1/5.

قانون توزیع یک متغیر تصادفی ایکسبیایید آن را در قالب یک سری توزیع ارائه کنیم:

ارزش مورد انتظار

م(ایکس)=1 ∙ 1/5+2 ∙ 3/5+3 ∙ 1/5=2.

4.6 . ثابت کنید که انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته است ایکس- تعداد وقوع رویداد آ V nآزمایشات مستقلی که در هر یک از آنها احتمال وقوع یک رویداد برابر است ρ - برابر حاصلضرب تعداد آزمایش‌ها با احتمال وقوع یک رویداد در یک آزمایش، یعنی ثابت کنیم که انتظار ریاضی از توزیع دوجمله‌ای

م(ایکس) =n . ρ ,

و پراکندگی

D(ایکس) =n.p. .

راه حل.مقدار تصادفی ایکسمی تواند مقادیر 0، 1، 2 ... را بگیرد، n. احتمال آر(ایکس= k) با استفاده از فرمول برنولی پیدا می شود:

آر(ایکس=k)= آر n(ک) = ρ به (1-ρ ) n-به

سری توزیع یک متغیر تصادفی ایکسدارای فرم:

جایی که q= 1- ρ .

برای انتظارات ریاضی این عبارت را داریم:

م(ایکس)=ρq n - 1 +2 ρ 2 q n - 2 +…+.n ρ n

در مورد یک تست، یعنی با n= 1 برای متغیر تصادفی ایکس 1- تعداد وقوع رویداد آ- سری توزیع به شکل زیر است:

م(ایکس 1)= 0∙q + 1 ∙ پ = پ

D(ایکس 1) = پ – پ 2 = پ(1- پ) = pq.

اگر ایکس k - تعداد وقوع رویداد آپس در کدام آزمون آر(ایکس به)= ρ و

X=X 1 +X 2 +….+X n .

از اینجا می گیریم

م(ایکس)= م(ایکس 1 )+M(ایکس 2)+ … +M(ایکس n)= nρ,

D(ایکس)=D(ایکس 1)+D(ایکس 2)+ ... +D(ایکس n)=npq.

4.7. بخش کنترل کیفیت محصولات را از نظر استاندارد بودن بررسی می کند. احتمال استاندارد بودن محصول 0.9 است. هر بسته شامل 5 محصول است. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی گسسته را پیدا کنید ایکس- تعداد دسته ها که هر کدام شامل 4 محصول استاندارد خواهد بود - در صورتی که 50 دسته مورد بازرسی قرار گیرند.

راه حل. احتمال وجود 4 محصول استاندارد در هر دسته به طور تصادفی ثابت است. بیایید آن را با علامت گذاری کنیم ρ .سپس انتظار ریاضی از متغیر تصادفی ایکسبرابر است م(ایکس)= 50∙ρ.

بیایید احتمال را پیدا کنیم ρ طبق فرمول برنولی:

ρ=P 5 (4)== 0,94∙0,1=0,32.

م(ایکس)= 50∙0,32=16.

4.8 . سه تاس انداخته می شود. انتظار ریاضی از مجموع امتیازهای کاهش یافته را بیابید.

راه حل.می توانید توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ایکس- مجموع امتیازهای کاهش یافته و سپس انتظار ریاضی آن. با این حال، این مسیر بیش از حد دست و پا گیر است. استفاده از تکنیک دیگری که یک متغیر تصادفی را نشان می دهد آسان تر است ایکس، که انتظارات ریاضی آن نیاز به محاسبه دارد، به صورت مجموع چند متغیر تصادفی ساده تر که محاسبه انتظارات ریاضی آن آسان تر است. اگر متغیر تصادفی ایکس منتعداد نقاطی است که روی آن قرار داده شده است من– استخوان های ام ( من= 1، 2، 3)، سپس مجموع امتیازات ایکسدر فرم بیان خواهد شد

X = X 1 + X 2 + X 3 .

برای محاسبه انتظارات ریاضی متغیر تصادفی اصلی، تنها چیزی که باقی می‌ماند استفاده از ویژگی انتظار ریاضی است.

م(ایکس 1 + X 2 + X 3 )= م(ایکس 1 )+ م(ایکس 2)+ م(ایکس 3 ).

بدیهی است که

آر(ایکس من = ک)= 1/6، به= 1, 2, 3, 4, 5, 6, من= 1, 2, 3.

بنابراین، انتظار ریاضی از متغیر تصادفی ایکس منبه نظر می رسد

م(ایکس من) = 1/6∙1 + 1/6∙2 +1/6∙3 + 1/6∙4 + 1/6∙5 + 1/6∙6 = 7/2,

م(ایکس) = 3∙7/2 = 10,5.

4.9. انتظارات ریاضی تعداد دستگاه هایی که در طول آزمایش شکست خورده اند را تعیین کنید اگر:

الف) احتمال خرابی برای همه دستگاه ها یکسان است آر، و تعداد دستگاه های مورد آزمایش برابر است با n;

ب) احتمال شکست برای من – دستگاه برابر است با پ من , من= 1, 2, … , n.

راه حل.اجازه دهید متغیر تصادفی ایکستعداد دستگاه های خراب است، پس

X = X 1 + X 2 +… + X n ,

ایکس من =

واضح است که

آر(ایکس من = 1)= آر من , آر(ایکس من = 0)= 1– آر من ,i= 1, 2, … ,n

م(ایکس من)= 1∙آر من + 0∙(1-ر من)= پ من ,

م(ایکس)= م(ایکس 1)+M(ایکس 2)+… +M(ایکس n)= پ 1 +ص 2 + … + پ n .

در مورد "الف" احتمال خرابی دستگاه یکسان است، یعنی

آر من =ص,i= 1, 2, … ,n.

م(ایکس)= n.p..

اگر متوجه شویم که متغیر تصادفی است، این پاسخ می تواند بلافاصله به دست آید ایکسدارای توزیع دو جمله ای با پارامترهای ( n, پ).

4.10. دو تاس به طور همزمان دو بار پرتاب می شود. قانون دوجمله ای توزیع یک متغیر تصادفی گسسته را بنویسید ایکس -تعداد پرتاب های زوج تعداد نقاط روی دو تاس.

راه حل. اجازه دهید

آ=(قرار دادن عدد زوج در اولین قالب)،

B =(پرتاب کردن یک عدد زوج روی تاس دوم).

بدست آوردن یک عدد زوج در هر دو تاس در یک پرتاب با حاصلضرب بیان می شود ABسپس

آر (AB) = آر(آ)∙آر(که در) =
.

نتیجه پرتاب دوم دو تاس به تاس اول بستگی ندارد، بنابراین فرمول برنولی زمانی اعمال می شود که

n = 2,p = 1/4, q = 1– p = 3/4.

مقدار تصادفی ایکسمی تواند مقادیر 0، 1، 2 را بگیرد , احتمال آن را می توان با استفاده از فرمول برنولی پیدا کرد:

آر(X= 0)= پ 2 (0) = q 2 = 9/16,

آر(X= 1)= پ 2 (1)= سی ,آر∙q = 6/16,

آر(X= 2)= پ 2 (2)= سی , آر 2 = 1/16.

سری توزیع یک متغیر تصادفی ایکس:

4.11. این دستگاه شامل تعداد زیادی عنصر مستقل با کارکرد مستقل با همان احتمال بسیار کم خرابی هر عنصر در طول زمان است. تی. میانگین تعداد رد در طول زمان را بیابید تیعناصر، اگر احتمال اینکه حداقل یک عنصر در این مدت از کار بیفتد 0.98 باشد.

راه حل. تعداد افرادی که در طول زمان امتناع کردند تیعناصر - متغیر تصادفی ایکس، که طبق قانون پواسون توزیع می شود، از آنجایی که تعداد عناصر زیاد است، عناصر مستقل کار می کنند و احتمال خرابی هر عنصر کم است. میانگین تعداد وقوع یک رویداد در nتست ها برابر است

م(ایکس) = n.p..

از آنجایی که احتمال شکست وجود دارد بهعناصر از nبا فرمول بیان می شود

آر n (به)
,

کجا  = n.p.، پس احتمال اینکه هیچ عنصری در طول زمان خراب نشود تی می رسیم K = 0:

آر n (0)= e -  .

بنابراین احتمال وقوع عکس در زمان است تی حداقل یک عنصر از کار می افتد - برابر با 1 - ه -  . با توجه به شرایط مسئله، این احتمال 0.98 است. از معادله

1 - ه -  = 0,98,

ه -  = 1 – 0,98 = 0,02,

از اینجا  = -لوگاریتم 0,02  4.

بنابراین، در زمان تیعملکرد دستگاه، به طور متوسط ​​4 عنصر خراب می شود.

4.12 . تاس ها ریخته می شوند تا زمانی که یک "دو" ظاهر شود. میانگین تعداد پرتاب ها را پیدا کنید.

راه حل. بیایید یک متغیر تصادفی معرفی کنیم ایکس- تعداد آزمایشاتی که باید انجام شود تا زمانی که رویداد مورد علاقه ما رخ دهد. احتمال اینکه ایکس= 1 برابر است با احتمال اینکه در طول یک پرتاب تاس یک "دو" ظاهر شود، یعنی.

آر(X= 1) = 1/6.

رویداد ایکس= 2 به این معنی است که در تست اول "دو" از بین نرفت، اما در تست دوم افتاد. احتمال وقوع ایکس= 2 با قاعده ضرب احتمالات رویدادهای مستقل پیدا می شود:

آر(X= 2) = (5/6)∙(1/6)

به همین ترتیب،

آر(X= 3) = (5/6) 2 ∙1/6, آر(X= 4) = (5/6) 2 ∙1/6

و غیره. ما یک سری توزیع احتمال به دست می آوریم:

میانگین تعداد پرتاب ها (آزمایش) انتظار ریاضی است

م(ایکس) = 1∙1/6 + 2∙5/6∙1/6 + 3∙(5/6) 2 ∙1/6 + … + به (5/6) به -1 ∙1/6 + … =

1/6∙(1+2∙5/6 +3∙(5/6) 2 + … + به (5/6) به -1 + …)

بیایید مجموع سریال را پیدا کنیم:

بهg به -1 = (g به) g 
.

از این رو،

م(ایکس) = (1/6) (1/ (1 – 5/6) 2 = 6.

بنابراین، شما باید به طور متوسط ​​6 تاس پرتاب کنید تا زمانی که یک "دو" ظاهر شود.

4.13. تست‌های مستقل با همان احتمال وقوع رویداد انجام می‌شوند آدر هر آزمون احتمال وقوع یک رویداد را بیابید آ، اگر واریانس تعداد وقوع یک رویداد در سه آزمایش مستقل 0.63 باشد .

راه حل.تعداد وقوع یک رویداد در سه آزمایش یک متغیر تصادفی است ایکس، طبق قانون دوجمله ای توزیع می شود. واریانس تعداد وقوع یک رویداد در آزمایش‌های مستقل (با احتمال یکسان وقوع رویداد در هر آزمایش) برابر است با حاصل ضرب تعداد آزمایش‌ها با احتمال وقوع و عدم وقوع آن. رویداد (مسئله 4.6)

D(ایکس) = npq.

با شرط n = 3, D(ایکس) = 0.63، بنابراین شما می توانید آراز معادله پیدا کنید

0,63 = 3∙آر(1-ر),

که دو راه حل دارد آر 1 = 0.7 و آر 2 = 0,3.