موارد خاص آوردن یک سیستم فضایی دلخواه نیروها به مرکز. موارد کاهش به ساده ترین شکل اشکال معادلات تعادل یک سیستم هواپیمای نیروها

اجازه دهید چندین جفت نیرو با گشتاورهایی که در سطوح مختلف عمل می کنند به طور همزمان به یک جسم صلب اعمال شوند. آیا می توان این سیستم جفت را به شکل ساده تری تقلیل داد؟ معلوم می شود که ممکن است و پاسخ با قضیه زیر در مورد جمع دو جفت پیشنهاد می شود.

قضیه. دو جفت نیرویی که در سطوح مختلف عمل می کنند معادل یک جفت نیرو با گشتاوری برابر با مجموع هندسی گشتاورهای جفت داده شده است.

اجازه دهید جفت ها با لحظه هایشان تعریف شوند و (شکل 36، a). بیایید دو صفحه عمود بر این بردارها (صفحه عمل جفت ها) بسازیم و با انتخاب یک قطعه معین AB روی خط تقاطع صفحات برای شانه مشترک هر دو جفت، جفت های مربوطه را می سازیم: (شکل 1). 36، ب).

مطابق با تعریف لحظه زن و شوهر می توانیم بنویسیم

در نقاط A و B نیروهای همگرا داریم. با اعمال قانون متوازی الاضلاع نیروها (اصول 3) خواهیم داشت:

جفت های داده شده معادل دو نیرو هستند که آنها نیز یک جفت را تشکیل می دهند. بنابراین قسمت اول قضیه ثابت می شود. قسمت دوم قضیه با محاسبه مستقیم لحظه لحظه جفت حاصل اثبات می شود:

اگر تعدادی جفت وجود داشته باشد، با جمع کردن آنها به صورت جفت مطابق با این قضیه، می توان هر تعداد جفت را به یک جفت کاهش داد. در نتیجه، به این نتیجه می رسیم: مجموعه ای (سیستم) از جفت نیروها که به یک جسم کاملاً صلب اعمال می شود را می توان به یک جفت با گشتاوری برابر با مجموع هندسی گشتاورهای همه جفت های داده شده کاهش داد.

از نظر ریاضی، این را می توان به صورت زیر نوشت:

در شکل شکل 37 یک تصویر هندسی از نتیجه گیری را نشان می دهد.

برای تعادل جفت نیرو لازم است که ممان جفت حاصل برابر با صفر باشد که منجر به برابری می شود.

این حالت را می توان به صورت هندسی و تحلیلی بیان کرد. شرط هندسی تعادل جفت نیرو: برای اینکه سیستمی از جفت نیرو در حالت تعادل باشد لازم و کافی است که چندضلعی برداری که از ممان همه جفت ها ساخته شده است بسته باشد.

شرط تحلیلی برای تعادل جفت نیرو: برای اینکه سیستمی از جفت نیرو در حالت تعادل باشد، لازم و کافی است که مجموع جبری پیش بینی بردارهای لحظه ای همه جفت ها بر روی محورهای مختصات انتخابی دلخواه Oxyz برابر با صفر باشد:

اگر همه جفت ها در یک صفحه قرار گیرند، یعنی یک سیستم مسطح از جفت ها را تشکیل دهند، فقط یک شرط تعادل تحلیلی به دست می آید - مجموع گشتاورهای جبری جفت ها برابر با صفر است.

سوالات خودآزمایی

1. قاعده چندضلعی نیرو چیست؟ چند ضلعی نیرو برای چه استفاده می شود؟

2. چگونه به صورت تحلیلی برآیند نیروهای همگرا را پیدا کنیم؟

3- شرط هندسی تعادل نیروهای همگرا چیست؟ این شرایط مشابه چگونه به صورت تحلیلی فرموله می شود؟

4. قضیه سه نیرو را بیان کنید.

5- کدام مسائل استاتیکی را از نظر استاتیکی تعریف شده و کدام را از نظر استاتیکی نامعین می نامند؟ مثالی از یک مسئله استاتیکی نامعین بیاورید.

6. جفت نیرو به چه چیزی گفته می شود؟

7- لحظه لحظه (بردار-لمان) یک جفت نیرو را چه می نامند؟ جهت، قدر و نقطه کاربرد لحظه چیست؟

8- لحظه جبری یک جفت به چه چیزی گفته می شود؟

9. یک قانون برای اضافه کردن جفت هایی که به طور دلخواه در فضا قرار دارند، فرموله کنید.

10. شرایط بردار، هندسی و تحلیلی برای تعادل یک سیستم از جفت نیرو چیست؟

قضیه اصلی استاتیک در مورد آوردن یک سیستم دلخواه نیرو به یک مرکز معین: هر سیستم سطحی نیرو معادل یک نیروی برابر با بردار اصلی سیستم اعمال شده در نقطه ای (مرکز کاهش) و یک جفت نیرو است که ممان آن برابر است با ممان اصلی نیروهای سیستم نسبی. به مرکز کاهش.

اثبات قضیه به ترتیب زیر انجام می شود: یک نقطه خاص را انتخاب کنید (مثلاً یک نقطه در باره) به عنوان مرکز کاهش و انتقال هر نیرو به این نقطه، با افزودن، با توجه به قضیه انتقال نیروی موازی، جفت نیرو مربوطه را اضافه کنید. در نتیجه، سیستمی از نیروهای همگرا اعمال شده در نقطه به دست می آید در باره, جایی که , و سیستمی از جفت نیروی اضافه که گشتاورهای آن . سپس سیستم نیروهای همگرا با نتیجه ای برابر با بردار اصلی سیستم جایگزین می شود و سیستم جفت نیرو با یک جفت نیرو با گشتاوری برابر با ممان اصلی سیستم نسبت به مرکز جایگزین می شود. کاهش . در نتیجه، ما آن ~ را دریافت می کنیم. بنابراین، قضیه ثابت می شود.

موارد کاهش سیستم فضایی نیروها به ساده ترین شکل:

1، الف - سیستم به یک جفت نیرو با ممان برابر با ممان اصلی سیستم کاهش می یابد و مقدار ممان اصلی سیستم به انتخاب مرکز کاهش بستگی ندارد.

2، a - سیستم نیروها به نتیجه ای برابر با بردار اصلی سیستم کاهش می یابد که خط عمل آن از مرکز O کاهش می گذرد.

3، و - چنین سیستمی از نیروها به یک نتیجه کاهش می یابد، برابر با بردار اصلی سیستم، که خط عمل آن از مرکز کاهش قبلی با فاصله ای جابجا شده است.

4 اگر بردار اصلی و ممان اصلی باشند، سیستم نیروها متعادل می شود، یعنی. ~ 0.

2.1.5 شرایط تعادل برای یک سیستم هواپیمای نیروها

شرایط لازم و کافی برای تعادل هر سیستم سطحی نیرو با معادلات زیر تعیین می شود:

بزرگی بردار اصلی یک سیستم هواپیمای نیروها با وابستگی ها: و لحظه اصلی توسط وابستگی تعیین می شود.

بردار اصلی تنها زمانی برابر با صفر خواهد بود که همزمان باشد. در نتیجه، شرایط تعادل زمانی برآورده می شود که معادلات تحلیلی زیر برآورده شوند:

این معادلات پایه هستند ( اولین ) شکل شرایط تحلیلی برای تعادل یک سیستم هواپیما دلخواه نیروها که به صورت زیر فرموله می شوند: برای تعادل یک سیستم هواپیمای دلخواه نیروها، لازم و کافی است که مجموع پیش بینی های همه نیروها در هر یک از دو محور مختصات و مجموع جبری گشتاورهای این نیروها نسبت به هر نقطه از صفحه عمل نیروها برابر با صفر است.

توجه داشته باشید که تعداد معادلات تعادل برای یک سیستم هواپیمای دلخواه نیروها در حالت کلی سه است. آنها را می توان به اشکال مختلف ارائه کرد.

دو شکل دیگر از معادلات تعادل برای یک سیستم سطح دلخواه نیروها وجود دارد که تحقق آنها شرایط تعادل را بیان می کند ().

دومینشکل شرایط تعادل تحلیلی فراهم می کند: برای تعادل یک سیستم هواپیمای دلخواه نیروها، لازم و کافی است که مجموع گشتاورهای همه نیروها نسبت به دو نقطه و مجموع برآمدگی های این نیروها بر روی محوری عمود بر خط مستقیم کشیده شده از این ها نباشد. امتیاز برابر با صفر است:

(خط ABعمود بر محور نیست اوه)

فرمول بندی کنیم سوم شکل شرایط تحلیلی برای تعادل سیستم نیروهای مورد نظر: برای تعادل یک سیستم هواپیمای دلخواه نیروها، لازم و کافی است که مجموع گشتاورهای نیروهای سیستم نسبت به هر سه نقطه ای که روی یک خط مستقیم قرار ندارند، برابر با صفر باشد.:

در مورد سیستم هواپیمای نیروهای موازی، می توانید محور را هدایت کنید OUبه موازات نیروهای سیستم سپس پیش بینی هر یک از نیروهای سیستم بر روی محور اوهبرابر صفر خواهد بود. در نتیجه، برای سیستم صفحه ای از نیروهای موازی دو شکل از شرایط تعادل باقی می ماند.

برای تعادل یک سیستم صفحه ای از نیروهای موازی، لازم و کافی است که مجموع برآمدگی های همه نیروها روی محور موازی با آنها و مجموع گشتاورهای همه نیروها نسبت به هر نقطه برابر با صفر باشد:

این اولین شکل از شرایط تعادل تحلیلی برای یک سیستم صفحه ای از نیروهای موازی از معادلات () ناشی می شود.

شکل دوم شرایط تعادل را برای سیستم صفحه ای از نیروهای موازی از معادلات () بدست می آوریم.

برای تعادل یک سیستم صفحه ای از نیروهای موازی، لازم و کافی است که مجموع گشتاورهای تمام نیروهای سیستم نسبت به دو نقطه که روی یک خط مستقیم موازی با نیروها قرار ندارند، برابر با صفر باشد:

همانطور که در § 12 نشان داده شده است، هر یک در حالت کلی به نیرویی برابر با بردار اصلی R کاهش می یابد و در مرکز دلخواه O اعمال می شود، و به یک جفت با یک گشتاور برابر با ممان اصلی (نگاه کنید به شکل 40، b). ). بیایید دریابیم که یک سیستم فضایی از نیروها که در تعادل نیست به چه ساده‌ترین شکل می‌تواند کاهش یابد. نتیجه بستگی به مقادیری دارد که این سیستم برای مقادیر R و دارد

1. اگر برای یک سیستم معین از نیروها، آن را به یک جفت نیرو که گشتاور برابر است کاهش می یابد و می توان با استفاده از فرمول (50) محاسبه کرد. در این مورد، همانطور که در § 12 نشان داده شد، مقدار به انتخاب مرکز O بستگی ندارد.

2. اگر برای یک سیستم معین از نیروها، آنگاه به نتیجه ای برابر با R کاهش می یابد که خط عمل آن از مرکز O می گذرد. ​​مقدار R را می توان با استفاده از فرمول (49) یافت.

3. اگر برای یک سیستم معین از نیروها، اما این سیستم نیز به نتیجه ای برابر با R کاهش می یابد، اما از مرکز O عبور نمی کند.

در واقع، هنگامی که زوج، که توسط بردار نشان داده می شود، و نیروی R در یک صفحه قرار می گیرند (شکل 91).

سپس نیروهای جفت را در مدول R مساوی انتخاب کرده و آنها را مطابق شکل زیر مرتب کنید. 91، متوجه می‌شویم که نیروها متقابلاً متعادل می‌شوند و سیستم با یک خط عمل نتیجه‌ای که از نقطه O می‌گذرد جایگزین می‌شود (به بند 15، بند 2، ب مراجعه کنید). فاصله ) با فرمول (28)، که در آن تعیین می شود

به راحتی می توان تأیید کرد که مورد در نظر گرفته شده، به ویژه، همیشه برای هر سیستمی از نیروهای موازی یا نیروهایی که در همان صفحه قرار دارند رخ می دهد، اگر بردار اصلی این سیستم اگر برای یک سیستم معین از نیروها و بردار موازی باشد با R (شکل 92، a) ، به این معنی است که سیستم نیروها به ترکیبی از نیروی R و یک جفت P، P که در صفحه عمود بر نیرو قرار دارد کاهش می یابد (شکل 92، b). چنین ترکیبی از نیرو و جفت پیچ دینامیک نامیده می شود و خط مستقیمی که بردار R در امتداد آن هدایت می شود، محور پیچ است. ساده سازی بیشتر این سیستم نیروها غیرممکن است. در واقع، اگر هر نقطه دیگر C را به عنوان مرکز کاهش در نظر بگیریم (شکل 92، a)، آنگاه می توان بردار را به صورت آزاد به نقطه C منتقل کرد، و زمانی که نیروی R به نقطه C منتقل شود (نگاه کنید به § 11). ، یک جفت دیگر با گشتاور عمود بر بردار R و بنابراین . در نتیجه، گشتاور جفت حاصل از نظر عددی بیشتر خواهد بود، بنابراین ممان جفت حاصل در این حالت وقتی به مرکز O آورده می‌شود، کمترین مقدار را دارد. این سیستم نیروها را نمی توان به یک نیرو (نتیجه) یا به یک جفت تقلیل داد.

اگر یکی از نیروهای جفت، به عنوان مثال P، به نیروی R اضافه شود، سیستم نیروهای مورد نظر را نیز می توان با دو نیروی متقاطع جایگزین کرد، یعنی نیروهای Q و نه در همان صفحه (شکل 93). از آنجایی که سیستم نیروهای حاصل معادل یک پیچ دینامیکی است، نتیجه ای نیز ندارد.

5. اگر برای یک سیستم معین از نیروها و در عین حال بردارها و R عمود بر یکدیگر و موازی نباشند، چنین سیستمی از نیروها نیز به یک پیچ دینامیکی کاهش می یابد، اما محور پیچ نمی شود. از مرکز O عبور کنید.

برای اثبات این موضوع، اجازه دهید بردار را به اجزاء تجزیه کنیم: در امتداد R، و عمود بر R (شکل 94). در این مورد، بردارها و R کجا هستند. جفت نشان داده شده توسط بردار و نیروی R می تواند باشد، همانطور که در شکل نشان داده شده است. 91، با یک نیروی R اعمال شده در نقطه O جایگزین شود. سپس این سیستم نیروها با یک نیرو و یک جفت گشتاور موازی جایگزین می شود، و بردار به عنوان یک بردار آزاد نیز می تواند در نقطه O اعمال شود. نتیجه عملاً خواهد بود. یک پیچ پویا باشد، اما با محوری که از نقطه عبور می کند

اگر پس از آوردن سیستم فضایی نیروها به مرکز انتخاب شده O، بردار اصلی و ممان اصلی برابر با صفر باشد، یعنی.

سیستم نیروها متعادل است. تحت تأثیر چنین سیستمی از نیروها، جسم جامد در حالت تعادل قرار می گیرد. بدیهی است که در حالت کلی، دو معادله برداری (4.1) با شش معادله اسکالر مطابقت دارد که منعکس کننده برابری صفر پیش بینی این بردارها بر روی محورهای سیستم مختصات انتخاب شده (مثلاً دکارتی) است.

اگر پس از آوردن سیستم فضایی نیروها به مرکز انتخاب شده O، بردار اصلی برابر با صفر باشد و ممان اصلی برابر با صفر نباشد، یعنی.

یک جفت نیرو بر روی بدن اثر می گذارد و تمایل به چرخش آن دارد. توجه داشته باشید که در این حالت انتخاب مرکز کاهش تاثیری در نتیجه ندارد.

اگر پس از آوردن سیستم فضایی نیروها به مرکز انتخاب شده O، بردار اصلی برابر با صفر نباشد و گشتاور اصلی برابر با صفر باشد، یعنی.

بدن توسط سیستم حاصل از نیروهایی که از مرکز کاهش عبور می کنند و تمایل دارند بدن را در امتداد خط عمل خود حرکت دهند، وارد عمل می شود. بدیهی است که روابط (4.3.) برای تمام نقاط خط عمل نتیجه معتبر است.

توجه داشته باشید که اگر نقطه تلاقی خطوط عمل نیروهای سیستم به عنوان مرکز کاهش در نظر گرفته شود، عمل یک سیستم نیروهای همگرا به این حالت کاهش می یابد (زیرا گشتاور نیروها نسبت به این نقطه برابر است. به صفر).

اگر پس از آوردن سیستم فضایی نیروها به مرکز انتخاب شده O، بردار اصلی و ممان اصلی برابر با صفر نباشند و جهت آنها یک زاویه قائمه ایجاد کنند، یعنی.

سپس چنین سیستمی از نیروها را نیز می توان به یک نتیجه کاهش داد، اما از مرکز کاهش دیگری - نقطه عبور می کند. برای انجام این عملیات، ابتدا سیستم های نیروی معادل نشان داده شده در شکل 1 را در نظر می گیریم. 4.2.b و شکل. 4.1. بدیهی است که اگر نماد را تغییر دهیم (نقطه B مرکز O نامیده می شود، نقطه A مرکز نامیده می شود)، وظیفه ای که پیش روی ما قرار دارد مستلزم انجام عملیات معکوس نسبت به آنچه در لم در انتقال موازی نیرو انجام شده است. با در نظر گرفتن موارد فوق، اولاً نقطه باید در صفحه ای عمود بر بردار گشتاور اصلی که از مرکز O می گذرد قرار گیرد و ثانیاً روی خطی موازی با خط عمل بردار اصلی قرار گیرد. نیروها و از آن در فاصله h برابر با

از بین دو خط یافت شده، باید خطی را برای نقاطی انتخاب کنید که بردار گشتاور اصلی برابر با صفر باشد (لمان بردار اصلی نیروها نسبت به مرکز جدید باید از نظر بزرگی برابر و در جهت مخالف باشد. گشتاور اصلی سیستم نیروها نسبت به نقطه O).

در حالت کلی، پس از آوردن سیستم فضایی نیروها به مرکز انتخاب شده O، بردار اصلی و ممان اصلی که برابر با صفر نیستند، با یکدیگر زاویه قائمه تشکیل نمی دهند (شکل 4.5.a).

اگر ممان اصلی به دو جزء تجزیه شود - در امتداد بردار نیروی اصلی و عمود بر آن، مطابق با (4.5)، یک مرکز کاهش پیدا می شود که برای آن مولفه عمودی گشتاور اصلی برابر با صفر می شود، و قدر و جهت بردار اصلی و اولین مولفه های گشتاور اصلی ثابت می مانند (شکل 4.5.b). مجموعه بردارها نامیده می شود پیچ برقیا دینام.

ساده سازی بیشتر امکان پذیر نیست.

از آنجایی که با چنین تغییری در مرکز کاهش، فقط پیش بینی گشتاور اصلی به جهت عمود بر بردار اصلی سیستم نیروها تغییر می کند، مقدار حاصلضرب اسکالر این بردارها بدون تغییر باقی می ماند، یعنی.

این عبارت نامیده می شود تغییر ناپذیر دوم

استاتیک.

مثال 4.1. رئوس یک متوازی الاضلاع مستطیلی با اضلاع و توسط نیروها و (نگاه کنید به شکل 4.6). با در نظر گرفتن مبدا مختصات سیستم مختصات دکارتی که در شکل به عنوان مرکز کاهش سیستم نیرو نشان داده شده است، عباراتی را برای پیش بینی های بردار اصلی و لحظه اصلی یادداشت کنید.

بیایید روابط مثلثاتی را برای تعیین زاویه بنویسیم:

حال می‌توانیم عباراتی را برای پیش‌بینی بردار اصلی و ممان اصلی نیروهای سیستم بنویسیم:

توجه: آگاهی از پیش بینی های برداری بر روی محورهای مختصات، در صورت لزوم، امکان محاسبه قدر و جهت کسینوس های آن را فراهم می کند.

همانطور که در بالا ثابت شد، یک سیستم دلخواه از نیروها، که به طور دلخواه در فضا قرار دارند، می توانند به یک نیروی منفرد برابر با بردار اصلی سیستم کاهش یافته و در یک مرکز کاهش دلخواه اعمال شوند. در باره، و یک جفت با گشتاور برابر با ممان اصلی سیستم نسبت به همان مرکز. بنابراین، در آینده، یک سیستم دلخواه نیرو را می توان با مجموعه ای معادل از دو بردار - نیرو و گشتاور اعمال شده در یک نقطه جایگزین کرد. در باره. هنگام تغییر موقعیت مرکز کاهش در بارهبردار اصلی قدر و جهت را حفظ خواهد کرد، اما لحظه اصلی تغییر خواهد کرد. اجازه دهید ثابت کنیم که اگر بردار اصلی غیر صفر و باشد عمود بر ممان اصلی است، سپس سیستم نیروها به یک نیرو کاهش می یابد که در این صورت آن را برآیند می نامیم (شکل 8). لحظه اصلی را می توان با یک جفت نیرو (،) با یک شانه نشان داد، سپس نیروها و بردار اصلی یک سیستم دو را تشکیل می دهند.

نیروهایی معادل صفر که می توان آنها را کنار گذاشت. یک نیروی باقی می ماند که در امتداد یک خط مستقیم موازی با خط اصلی عمل می کند

شکل 8 به بردار و عبور از فاصله

ساعت= از صفحه تشکیل شده توسط بردارها و . مورد در نظر گرفته شده نشان می دهد که اگر از همان ابتدا مرکز کاهش را روی خط مستقیم انتخاب کنیم L،سپس سیستم نیروها بلافاصله به نتیجه می رسد، لحظه اصلی برابر با صفر خواهد بود. حال ثابت خواهیم کرد که اگر بردار اصلی غیر صفر و عمود بر لحظه اصلی نباشد، چنین نقطه ای را می توان به عنوان مرکز کاهش انتخاب کرد. در باره* که ممان اصلی نسبت به این نقطه و بردار اصلی روی یک خط مستقیم قرار خواهند گرفت. برای اثبات این موضوع، اجازه دهید لحظه را به دو جزء تجزیه کنیم - یکی در امتداد بردار اصلی و دیگری عمود بر بردار اصلی. بنابراین، جفت نیرو به دو جفت با گشتاور تجزیه می شود: و، و صفحه جفت اول عمود بر بردار است، سپس صفحه جفت دوم، عمود بر بردار (شکل 9) حاوی بردار است. ترکیب یک زوج با یک گشتاور و یک نیرو، سیستمی از نیروها را تشکیل می دهد که می توان آن را به یک نیرو کاهش داد (شکل 8) که از نقطه O * عبور می کند. بنابراین (شکل 9)، ترکیب بردار اصلی و لحظه اصلی در نقطه در بارهبه نیرویی که از یک نقطه می گذرد کاهش می یابد در باره*، و یک جفت با یک لحظه موازی با این خط، که چیزی بود که باید ثابت می شد. ترکیب یک نیرو و یک زوج که صفحه آنها عمود بر خط عمل نیرو است، پویایی نامیده می شود (شکل 10). یک جفت نیرو را می توان با دو نیروی ( , ) با قدر مساوی که در شکل 10 نشان داده شده است نشان داد. اما با جمع دو نیرو و , مجموع آنها و نیروی باقی مانده را بدست می آوریم که از آن نتیجه می شود (شکل 10). ) که ترکیب بردار اصلی و لحظه اصلی در نقطه است در باره، می توان به دو نیروی غیر متقاطع تقلیل داد و .

اجازه دهید برخی از موارد کاهش یک سیستم نیرو را در نظر بگیریم.

1. سیستم مسطح نیروها. برای قطعیت، بگذارید همه نیروها در صفحه باشند OXY. سپس در کلی ترین حالت

بردار اصلی صفر نیست، لحظه اصلی صفر نیست، حاصل ضرب نقطه آنها صفر است، در واقع

بنابراین، بردار اصلی عمود بر ممان اصلی است: سیستم صفحه نیروها به حاصل کاهش می یابد.

2. سیستم نیروهای موازی. برای قطعیت، بگذارید همه نیروها موازی با محور باشند OZ. سپس در کلی ترین حالت

در اینجا نیز بردار اصلی برابر با صفر نیست، ممان اصلی برابر با صفر نیست و حاصل ضرب اسکالر آنها برابر با صفر است، در واقع

بنابراین، در این مورد، بردار اصلی عمود بر ممان اصلی است: سیستم نیروهای موازی به حاصل کاهش می یابد. در حالت خاص، اگر برابر با صفر باشد، بردار اصلی نیروها برابر با صفر است و سیستم نیروها به یک جفت نیرو کاهش می یابد که بردار ممان آن در صفحه است. OXY. حال اجازه دهید موارد در نظر گرفته شده را نظام مند کنیم. بیایید به یاد بیاوریم: یک سیستم فضایی دلخواه از نیروها که به یک جسم صلب اعمال می شود از نظر استاتیکی معادل نیرویی برابر با بردار اصلی اعمال شده در یک نقطه دلخواه از جسم (مرکز کاهش) و یک جفت نیرو با گشتاور برابر است. لحظه اصلی سیستم نیروها نسبت به مرکز کاهش مشخص شده.