نمودار Arcsin و خواص. توابع مثلثاتی معکوس، نمودارها و فرمول های آنها

توابع مثلثاتی معکوس(توابع دایره ای، توابع قوس) - توابع ریاضی که معکوس به توابع مثلثاتی هستند.

آرکسین(مشخص می شود arcsin x; arcsin x- این زاویه است گناهبرابر او ایکس).

آرکسین (y = arcsin x) - تابع مثلثاتی معکوس به گناه (x = گناه y) که دارای دامنه و مجموعه ای از مقادیر است . به عبارت دیگر، زاویه را با مقدار آن برمی گرداند گناه.

تابع y=sin xپیوسته است و در امتداد تمام خط عددی آن محدود شده است. تابع y=arcsin x- به شدت افزایش می یابد.

ویژگی های تابع arcsin.

طرح آرکسین.

دریافت تابع arcsin.

یک تابع وجود دارد y = sinx. در سراسر دامنه تعریف آن به صورت تکه ای یکنواخت است، بنابراین مطابقت معکوس دارد y = arcsin xیک تابع نیست بنابراین، بخشی را در نظر می گیریم که در آن فقط افزایش می یابد و هر مقدار از محدوده مقادیر - . زیرا برای عملکرد y = sinxدر بازه، تمام مقادیر تابع تنها با یک مقدار آرگومان به دست می آیند، به این معنی که در این بازه یک تابع معکوس وجود دارد. y = arcsin x، که نمودار آن متقارن با نمودار تابع است y = sinxروی یک بخش نسبتاً مستقیم y = x.

مسائل مربوط به توابع مثلثاتی معکوس اغلب در امتحانات نهایی مدارس و در کنکور برخی از دانشگاه ها ارائه می شود. مطالعه دقیق این موضوع فقط در کلاس های انتخابی یا دروس انتخابی قابل دستیابی است. دوره پیشنهادی برای توسعه هر چه بیشتر توانایی های هر دانش آموز و بهبود آمادگی ریاضی او طراحی شده است.

مدت دوره 10 ساعت:

1. توابع arcsin x، arccos x، arctg x، arcctg x (4 ساعت).

2. عملیات بر روی توابع مثلثاتی معکوس (4 ساعت).

3. عملیات مثلثاتی معکوس روی توابع مثلثاتی (2 ساعت).

درس 1 (2 ساعت) موضوع: توابع y = arcsin x، y = arccos x، y = arctan x، y = arcctg x.

هدف: پوشش کامل این موضوع.

1. تابع y = arcsin x.

الف) برای تابع y = sin x بر روی قطعه یک تابع معکوس (تک مقدار) وجود دارد که توافق کردیم آن را arcsine بنامیم و آن را به صورت زیر نشان دهیم: y = arcsin x. نمودار تابع معکوس با نمودار تابع اصلی با توجه به نیمساز زوایای مختصات I - III متقارن است.

ویژگی های تابع y = arcsin x.

1) دامنه تعریف: بخش [-1; 1]؛

2) منطقه تغییر: بخش.

3) تابع y = arcsin x odd: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) تابع y = arcsin x بطور یکنواخت در حال افزایش است.

5) نمودار محورهای Ox، Oy را در مبدا قطع می کند.

مثال 1. a = arcsin را پیدا کنید. این مثال را می توان با جزئیات به صورت زیر فرمول بندی کرد: یک آرگومان a را پیدا کنید که در محدوده از تا قرار دارد و سینوس آن برابر است.

راه حل. آرگومان های بی شماری وجود دارد که سینوس آنها برابر است، به عنوان مثال: و غیره. اما ما فقط به استدلالی علاقه مند هستیم که در بخش است. این بحث خواهد بود. بنابراین، .

مثال 2. پیدا کنید .راه حل.با استدلال به همان روشی که در مثال 1 وجود دارد، دریافت می کنیم .

ب) تمرینات دهانی یافتن: arcsin 1، arcsin (-1)، arcsin، arcsin()، arcsin، arcsin()، arcsin، arcsin()، arcsin 0. پاسخ نمونه: ، زیرا . آیا عبارات معنی دارند: ; arcsin 1.5; ?

ج) به ترتیب صعودی ترتیب دهید: arcsin، arcsin (-0.3)، arcsin 0.9.

II. توابع y = arccos x، y = arctg x، y = arcctg x (مشابه).

درس 2 (2 ساعت) موضوع: توابع مثلثاتی معکوس، نمودارهای آنها.

هدف: در این درس لازم است مهارت در تعیین مقادیر توابع مثلثاتی، در ساخت نمودارهای توابع مثلثاتی معکوس با استفاده از D (y)، E (y) و تبدیل های لازم ایجاد شود.

در این درس تمریناتی را کامل کنید که شامل یافتن دامنه تعریف، دامنه مقدار توابع از نوع: y = arcsin، y = arccos (x-2)، y = arctg (tg x)، y = arccos است.

شما باید نمودارهایی از توابع بسازید: a) y = arcsin 2x; ب) y = 2 arcsin 2x; ج) y = arcsin;

د) y = arcsin; ه) y = arcsin; ه) y = arcsin; g) y = | آرکسین | .

مثال.بیایید نمودار y = arccos را ترسیم کنیم

می توانید تمرین های زیر را در تکالیف خود بگنجانید: نمودارهایی از توابع بسازید: y = arccos، y = 2 arcctg x، y = arccos | x | .

نمودارهای توابع معکوس

هدف: گسترش دانش ریاضی (این برای کسانی که وارد تخصص‌هایی می‌شوند که نیازهای بیشتری برای آموزش ریاضی دارند مهم است) با معرفی روابط پایه برای توابع مثلثاتی معکوس.

مواد برای درس.

چند عملیات ساده مثلثاتی روی توابع مثلثاتی معکوس: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1 cos (arсcos x) = x، i xi؟ 1 tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x، x I R.

تمرینات

الف) tg (1.5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

ب) cos ( + arcsin 0.6) = - cos (arcsin 0.6). اجازه دهید arcsin 0.6 = a، sin a = 0.6;

cos (arcsin x) = ; گناه (arccos x) = .

توجه: علامت + را جلوی ریشه می گیریم زیرا a = arcsin x را برآورده می کند.

ج) گناه (1.5 + arcsin) پاسخ: ;

د) ctg ( + arctg 3) پاسخ: ;

ه) tg ( – arcctg 4) جواب: .

ه) cos (0.5 + arccos). پاسخ: .

محاسبه:

الف) گناه (2 arctan 5) .

اجازه دهید arctan 5 = a، سپس sin 2 a = یا گناه (2 arctan 5) = ;

ب) cos (+ 2 arcsin 0.8) پاسخ: 0.28.

ج) arctg + arctg.

بگذارید a = arctg، b = arctg،

سپس tg(a + b) = .

د) گناه (arcsin + arcsin).

ه) ثابت کنید که برای تمام x I [-1; 1] arcsin واقعی x + arccos x = .

اثبات:

arcsin x = – arccos x

گناه (arcsin x) = گناه ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

برای حل آن خودتان: sin (arccos)، cos (arcsin)، cos (arcsin ())، sin (arctg (- 3))، tg (arccos)، ctg (arccos).

برای راه حل خانگی: 1) گناه (arcsin 0.6 + arctan 0)؛ 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg (- arccos 0.6)؛ 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) گناه (1.5 - arcsin 0.8)؛ 6) arctg 0.5 – arctg 3.

هدف: در این درس، استفاده از نسبت ها را در تبدیل عبارات پیچیده تر نشان دهید.

مواد برای درس.

شفاهی:

الف) گناه (arccos 0.6)، cos (arcsin 0.8)؛

ب) tg (arcсtg 5)، ctg (arctg 5)؛

ج) sin (arctg -3)، cos (arcсtg());

د) tg (arccos)، ctg (arccos()).

به صورت مکتوب:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =

3) tg (- arcsin 0.6) = - tg (arcsin 0.6) =

4)

کار مستقل به شناسایی سطح تسلط بر مطالب کمک می کند.

برای مشق شب می توانید پیشنهاد دهید:

1) ctg (arctg + arctg + arctg)؛ 2) گناه 2 (arctg 2 - arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan (arcsin )); 4) sin(2 arctg); 5) tg ((arcsin))

هدف: ایجاد درک دانش آموزان از عملیات مثلثاتی معکوس بر روی توابع مثلثاتی، با تمرکز بر افزایش درک نظریه مورد مطالعه.

هنگام مطالعه این مبحث، فرض بر این است که حجم مطالب نظری برای حفظ محدود است.

مواد درسی:

می توانید با مطالعه تابع y = arcsin (sin x) و رسم نمودار آن، یادگیری مطالب جدید را شروع کنید.

3. هر x I R با y I ​​مرتبط است، i.e.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. تابع فرد است: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. نمودار y = arcsin (sin x) در:

الف) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

ب)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = گناه ( – x) = گناه x , 0<= - x <= .

بنابراین،

پس از ساختن y = arcsin (sin x) روی , به طور متقارن در مورد مبدا در [- ; 0]، با توجه به عجیب بودن این تابع. با استفاده از تناوب، کل خط اعداد را ادامه می دهیم.

سپس چند رابطه را یادداشت کنید: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos آ ) = a اگر 0 باشد<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

و تمرینات زیر را انجام دهید: الف) arccos(sin 2).پاسخ: 2 - ; ب) arcsin (cos 0.6) پاسخ: - 0.1; ج) arctg (tg 2) جواب: 2 - ;

د) arcctg(tg 0.6).پاسخ: 0.9; e) arccos (cos (- 2)) پاسخ: 2 - ; ه) آرکسین (سین (- 0.6)). پاسخ: - 0.6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). پاسخ: 2 - ; h) аrcctg (tg 0.6). پاسخ: - 0.6; - arctan x; ه) آرکوس + آرکوس

تعریف و نماد

آرکسین گاهی اوقات به صورت زیر نشان داده می شود:
.

نمودار تابع آرکسین

نمودار تابع y = arcsin x

گراف آرکسین از نمودار سینوسی به دست می آید در صورتی که محورهای آبسیسا و ارتین مبادله شوند. برای از بین بردن ابهام، محدوده مقادیر به فاصله زمانی که تابع یکنواخت است محدود می شود. این تعریف، مقدار اصلی آرکسین نامیده می شود.

آرکوزین، آرکوس

تعریف و نماد

آرکوزین گاهی اوقات به صورت زیر نشان داده می شود:
.

نمودار تابع کسینوس قوس

نمودار تابع y = arccos x

گراف کسینوس قوسی از نمودار کسینوس به دست می آید در صورتی که محورهای آبسیسا و ارتین مبادله شوند. برای از بین بردن ابهام، محدوده مقادیر به فاصله زمانی که تابع یکنواخت است محدود می شود. این تعریف را مقدار اصلی کسینوس قوس می نامند.

برابری

تابع آرکسین فرد است:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

تابع کسینوس قوس زوج یا فرد نیست:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

خواص - افراطی، افزایش، کاهش

توابع آرکسین و آرکوزین در دامنه تعریف خود پیوسته هستند (به اثبات پیوستگی مراجعه کنید). خواص اصلی آرکسین و آرکوزین در جدول ارائه شده است.

جدول آرکسین ها و آرکوزین ها

این جدول مقادیر آرکسین ها و آرکوسین ها را بر حسب درجه و رادیان برای مقادیر معین آرگومان نشان می دهد.

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

فرمول ها

فرمول های حاصل جمع و تفاوت

در یا

در و

در و

در یا

در و

در و

در

در

در

در

عبارات از طریق لگاریتم، اعداد مختلط

عبارات از طریق توابع هذلولی

مشتقات

;
.
به مشتقات آرکسین و مشتقات آرکوزین مراجعه کنید > > >

مشتقات مرتبه بالاتر:
,
که در آن چند جمله ای درجه است. با فرمول های زیر تعیین می شود:
;
;
.

به مشتقات مرتبه بالاتر آرکسین و آرکوزین مراجعه کنید > > >

انتگرال ها

جایگزینی x = را انجام می دهیم سینت. ما با توجه به اینکه -π/ با قطعات ادغام می کنیم 2 ≤ t ≤ π/2, هزینه t ≥ 0:
.

بیایید کسینوس قوس را از طریق سینوس قوس بیان کنیم:
.

گسترش سری

وقتی |x|< 1 تجزیه زیر انجام می شود:
;
.

توابع معکوس

معکوس آرکسین و آرکوزین به ترتیب سینوس و کسینوس هستند.

فرمول های زیر در کل دامنه تعریف معتبر هستند:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

فرمول های زیر فقط برای مجموعه مقادیر آرکسین و آرکوزین معتبر هستند:
arcsin(sin x) = xدر
arccos(cos x) = xدر .

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.