2 مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنید. چگونه مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنیم؟ فرمول های پیدا کردن مساحت متوازی الاضلاع

وظیفه 4.

یکی از قطرهای متوازی الاضلاع به طول 4√6 با قاعده زاویه 60 درجه و قطر دوم با همان قاعده زاویه 45 درجه ایجاد می کند. قطر دوم را پیدا کنید.

راه حل.

1. AO = 2√6.

2. قضیه سینوس را برای مثلث AOD اعمال می کنیم.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

جواب: 12.

وظیفه 5.

برای متوازی الاضلاع با اضلاع 5√2 و 7√2، زاویه کوچکتر بین قطرها برابر با زاویه کوچکتر متوازی الاضلاع است. مجموع طول قطرها را بیابید.

راه حل.

فرض کنید d 1، d 2 قطرهای متوازی الاضلاع باشد و زاویه بین مورب ها و زاویه کوچکتر متوازی الاضلاع برابر با φ باشد.

1. بیایید دو تا متفاوت بشماریم
مساحت خود را راه می دهد.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

برابری 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f یا

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. با استفاده از رابطه بین اضلاع و مورب متوازی الاضلاع، تساوی را می نویسیم

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. بیایید یک سیستم ایجاد کنیم:

(d 1 2 + d 2 2 = 296،
(d 1 + d 2 = 140.

بیایید معادله دوم سیستم را در 2 ضرب کنیم و به معادله اول اضافه کنیم.

ما (d 1 + d 2) 2 = 576 می گیریم. بنابراین Id 1 + d 2 I = 24.

از آنجایی که d 1، d 2 طول قطرهای متوازی الاضلاع هستند، پس d 1 + d 2 = 24.

جواب: 24.

وظیفه 6.

اضلاع متوازی الاضلاع 4 و 6 است. زاویه تند بین قطرها 45 درجه است. مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنید.

راه حل.

1. از مثلث AOB با استفاده از قضیه کسینوس رابطه بین ضلع متوازی الاضلاع و قطرها را می نویسیم.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2)cos 45 o;

d 1 2 / 4 + d 2 2 / 4 – 2 · (d 1/2) · (d 2/2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. به همین ترتیب، رابطه را برای مثلث AOD می نویسیم.

بیایید آن را در نظر بگیریم<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

معادله d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144 را بدست می آوریم.

3. ما یک سیستم داریم
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

با کم کردن رابطه اول از معادله دوم، 2d 1 · d 2 √2 = 80 یا

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

توجه داشته باشید:در این و مسئله قبلی نیازی به حل کامل سیستم نیست، با پیش بینی اینکه در این مسئله برای محاسبه مساحت به حاصل ضرب قطرها نیاز داریم.

جواب: 10.

وظیفه 7.

مساحت متوازی الاضلاع 96 و اضلاع آن 8 و 15 است. مربع قطر کوچکتر را پیدا کنید.

راه حل.

1. S ABCD = AB · AD · sin VAD. بیایید یک جایگزین در فرمول انجام دهیم.

ما 96 = 8 · 15 · sin VAD دریافت می کنیم. بنابراین sin VAD = 4/5.

2. بیایید cos VAD را پیدا کنیم. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

با توجه به شرایط مسئله، طول قطر کوچکتر را پیدا می کنیم. اگر زاویه VAD تند باشد، VD مورب کوچکتر خواهد شد. سپس cos VAD = 3/5.

3. از مثلث ABD با استفاده از قضیه کسینوس، مربع BD مورب را پیدا می کنیم.

ВD 2 = АВ 2 + AD 2 – 2 · АВ · ВD · cos VAD.

VD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

جواب: 145.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه یک مسئله هندسه را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

قبل از اینکه یاد بگیریم مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنیم، باید به یاد بیاوریم که متوازی الاضلاع چیست و ارتفاع آن چیست. متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت زوجی موازی هستند (روی خطوط موازی قرار دارند). عمودی که از یک نقطه دلخواه در طرف مقابل به خطی حاوی این ضلع کشیده می شود، ارتفاع متوازی الاضلاع نامیده می شود.

مربع، مستطیل و لوزی موارد خاص متوازی الاضلاع هستند.

مساحت متوازی الاضلاع با (S) مشخص می شود.

فرمول های پیدا کردن مساحت متوازی الاضلاع

S=a*h، جایی که a پایه است، h ارتفاعی است که به سمت پایه کشیده شده است.

S=a*b*sinα، که در آن a و b پایه ها هستند و α زاویه بین پایه های a و b است.

S =p*r، جایی که p نیمه محیط است، r شعاع دایره ای است که در متوازی الاضلاع محاط شده است.

مساحت متوازی الاضلاع که توسط بردارهای a و b تشکیل شده است برابر است با مدول حاصلضرب بردارهای داده شده، یعنی:

مثال شماره 1 را در نظر می گیریم: با توجه به متوازی الاضلاع که ضلع آن 7 سانتی متر و ارتفاع آن 3 سانتی متر است، چگونه مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنیم، به فرمولی برای حل نیاز داریم.

بنابراین S = 7x3. S=21. جواب: 21 سانتی متر مربع.

مثال شماره 2 را در نظر بگیرید: پایه های داده شده 6 و 7 سانتی متر هستند و همچنین زاویه بین پایه ها 60 درجه است. چگونه مساحت متوازی الاضلاع را پیدا کنیم؟ فرمول مورد استفاده برای حل:

بنابراین، ابتدا سینوس زاویه را پیدا می کنیم. سینوس 60 = 0.5، به ترتیب S = 6*7*0.5=21 پاسخ: 21 سانتی متر مربع.

امیدوارم این مثال ها به شما در حل مشکلات کمک کند. و به یاد داشته باشید، نکته اصلی دانش فرمول ها و توجه است

متوازی الاضلاع چیست؟ متوازی الاضلاع چهار ضلعی است که اضلاع مقابل آن به صورت جفت موازی باشند.

1. مساحت متوازی الاضلاع با فرمول محاسبه می شود:

\[ \LARGE S = a \cdot h_(a)\]

جایی که:
a ضلع متوازی الاضلاع است،
h a – ارتفاع کشیده شده به این سمت.

2. اگر طول دو ضلع مجاور متوازی الاضلاع و زاویه بین آنها مشخص باشد، مساحت متوازی الاضلاع با فرمول محاسبه می شود:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. اگر قطرهای متوازی الاضلاع داده شود و زاویه بین آنها مشخص باشد، مساحت متوازی الاضلاع با فرمول محاسبه می شود:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

ویژگی های متوازی الاضلاع

در متوازی الاضلاع، اضلاع مقابل برابر هستند: \(AB = CD\)، \(BC = AD\)

در متوازی الاضلاع، زوایای مقابل برابر هستند: \(\زاویه A = \زاویه C\)، \(\زاویه B = \زاویه D\)

قطرهای متوازی الاضلاع در نقطه تقاطع به نصف تقسیم می شوند \(AO = OC\) , \(BO = OD\)

مورب متوازی الاضلاع آن را به دو مثلث مساوی تقسیم می کند.

مجموع زوایای متوازی الاضلاع مجاور یک ضلع 180 درجه است:

\(\زاویه A + \زاویه B = 180^(o)\)، \(\زاویه B + \زاویه C = 180^(o)\)

\(\زاویه C + \زاویه D = 180^(o)\)، \(\زاویه D + \زاویه A = 180^(o)\)

مورب ها و اضلاع متوازی الاضلاع با رابطه زیر به هم مرتبط می شوند:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

در متوازی الاضلاع، زاویه بین ارتفاعات برابر با زاویه تند آن است: \(\ زاویه K B H =\ زاویه A\) .

نیمسازهای زوایای مجاور یک ضلع متوازی الاضلاع بر یکدیگر عمود هستند.

نیمسازهای دو زاویه متوازی الاضلاع موازی هستند.

نشانه های متوازی الاضلاع

یک چهارضلعی متوازی الاضلاع خواهد بود اگر:

\(AB = CD\) و \(AB || CD\)

\(AB = CD\) و \(BC = AD\)

\(AO = OC\) و \(BO = OD\)

\(\زاویه A = \زاویه C\) و \(\زاویه B = \زاویه D\)

فرمول مساحت متوازی الاضلاع

مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصلضرب ضلع آن و ارتفاع آن ضلع.

اثبات

اگر متوازی الاضلاع یک مستطیل باشد، تساوی با قضیه مساحت یک مستطیل برآورده می شود. بعد، فرض می کنیم که زوایای متوازی الاضلاع درست نیستند.

فرض کنید $\angle BAD$ یک زاویه تند در متوازی الاضلاع $ABCD$ و $AD > AB$ باشد. در غیر این صورت، نام رئوس را تغییر می دهیم. سپس ارتفاع $BH$ از راس $B$ تا خط $AD$ در سمت $AD$ قرار می گیرد، زیرا پای $AH$ کوتاهتر از فرضیه $AB$ و $AB است.< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

بیایید مساحت متوازی الاضلاع $ABCD$ و مساحت مستطیل $HBCK$ را با هم مقایسه کنیم. مساحت متوازی الاضلاع با مساحت $\مثلث ABH$ بیشتر است، اما از نظر مساحت $\مثلث DCK$ کمتر است. از آنجایی که این مثلث ها مساوی هستند، مساحت آنها برابر است. این بدان معناست که مساحت متوازی الاضلاع برابر است با مساحت مستطیل با طول اضلاع به ضلع و ارتفاع متوازی الاضلاع.

فرمول مساحت متوازی الاضلاع با استفاده از اضلاع و سینوس

مساحت متوازی الاضلاع برابر است با حاصل ضرب اضلاع مجاور و سینوس زاویه بین آنها.

اثبات

ارتفاع متوازی الاضلاع $ABCD$ بر روی ضلع $AB$ برابر است با حاصلضرب بخش $BC$ و سینوس زاویه $\ زاویه ABC$. باقی می ماند که عبارت قبلی را اعمال کنیم.

فرمول مساحت متوازی الاضلاع با استفاده از قطرها

مساحت متوازی الاضلاع برابر با نصف حاصلضرب قطرها و سینوس زاویه بین آنهاست.

اثبات

اجازه دهید قطرهای متوازی الاضلاع $ABCD$ در نقطه $O$ با زاویه $\alpha$ قطع شوند. سپس $AO=OC$ و $BO=OD$ توسط ویژگی متوازی الاضلاع. سینوس‌های زوایایی که مجموع آن‌ها تا 180$^\circ$ برابر است، $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. این بدان معنی است که سینوس های زاویه در محل تلاقی قطرها برابر با $\sin \alpha$ است.

$S_(ABCD)=S_(\مثلث AOB) + S_(\مثلث BOC) + S_(\مثلث COD) + S_(\مثلث AOD)$

با توجه به اصل اندازه گیری مساحت. ما فرمول مساحت مثلث $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ را برای این مثلث ها و زوایا در هنگام قطع قطرها اعمال می کنیم. اضلاع هر کدام برابر با نصف قطرها و سینوس ها نیز برابر هستند. بنابراین، مساحت هر چهار مثلث برابر است با $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. با جمع بندی تمام موارد بالا، به دست می آوریم

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$