§13. قضیه اشتاینر در مورد ممان اینرسی در مورد یک محور دلخواه

بدن متردر هر مربع فاصله دبین محورها:

J = J c + m d 2، (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)،)

جایی که متر- وزن کل بدن

برای مثال، ممان اینرسی یک میله نسبت به محوری که از انتهای آن می گذرد برابر است با:

J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\displaystyle J=J_(c)+md^(2)=(\frac (1)(12))ml^(2)+m\left((\frac (l)(2))\راست)^ (2)=(\frac (1)(3))ml^(2).)

گشتاورهای محوری اینرسی برخی اجسام

لحظات اینرسیاجسام همگن از ساده ترین شکل نسبت به محورهای خاص چرخش

شرح	موقعیت محور آ	ممان اینرسی ج ا
جرم نقطه مواد متر	در فاصله rاز یک نقطه، ثابت
استوانه یا حلقه شعاع دیواره نازک توخالی rو توده ها متر	محور سیلندر	m r 2 (\displaystyle mr^(2))
سیلندر جامد یا دیسک شعاع rو توده ها متر	محور سیلندر	1 2 m r 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))mr^(2))
استوانه جرمی توخالی با دیواره ضخیم متربا شعاع بیرونی r 2 و شعاع داخلی r 1	محور سیلندر	m r 2 2 + r 1 2 2 (\displaystyle m(\frac (r_(2)^(2)+r_(1)^(2))(2)))
طول سیلندر جامد ل، شعاع rو توده ها متر		1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \بیش از 4)m\cdot r^(2)+(1 \بیش از 12)m\cdot l^(2))
طول استوانه (حلقه) دیواره نازک توخالی ل، شعاع rو توده ها متر	محور بر استوانه عمود است و از مرکز جرم آن می گذرد	1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\displaystyle (1 \ بیش از 2)m\cdot r^(2)+(1 \بیش از 12)m\cdot l^(2))
میله با طول نازک مستقیم لو توده ها متر	محور عمود بر میله است و از مرکز جرم آن می گذرد	1 12 متر در لیتر (\displaystyle (\frac (1)(12))ml^(2))
میله با طول نازک مستقیم لو توده ها متر	محور عمود بر میله است و از انتهای آن می گذرد	1 3 m l 2 (\displaystyle (\frac (1)(3))ml^(2))
کره شعاع دیواره نازک rو توده ها متر	محور از مرکز کره عبور می کند	2 3 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(3))mr^(2))
توپ شعاع rو توده ها متر	محور از مرکز توپ عبور می کند	2 5 m r 2 (\displaystyle (\frac (2)(5))mr^(2))
مخروط شعاع rو توده ها متر	محور مخروطی	3 10 m r 2 (\displaystyle (\frac (3)(10))mr^(2))
مثلث متساوی الساقین با ارتفاع ساعت، اساس آو جرم متر	محور بر صفحه مثلث عمود است و از رأس می گذرد	1 24 متر (a 2 + 12h 2) (\displaystyle (\frac (1)(24))m(a^(2)+12h^(2)))
مثلث منظم با ضلع آو جرم متر	محور بر صفحه مثلث عمود است و از مرکز جرم می گذرد	1 12 متر در 2 (\displaystyle (\frac (1)(12))ma^(2))
مربع با ضلع آو جرم متر	محور بر صفحه مربع عمود است و از مرکز جرم می گذرد	1 6 متر در 2 (\displaystyle (\frac (1)(6))ma^(2))
مستطیل با اضلاع آو بو جرم متر	محور بر صفحه مستطیل عمود است و از مرکز جرم می گذرد	1 12 متر (a 2 + b 2) (\displaystyle (\frac (1)(12))m(a^(2)+b^(2)))
n-gon منظم شعاع rو جرم متر	محور عمود بر صفحه است و از مرکز جرم می گذرد	m r 2 6 [ 1 + 2 cos ⁡ (π / n) 2 ] (\displaystyle (\frac (mr^(2))(6))\ چپ)
توروس (توخالی) با شعاع دایره راهنما آر، شعاع دایره مولد rو جرم متر	محور بر صفحه دایره راهنمای چنبره عمود است و از مرکز جرم می گذرد	I = m (3 4 r 2 + R 2) (\displaystyle I=m\left((\frac (3)(4))\,r^(2)+R^(2)\راست))

استخراج فرمول ها

استوانه جدار نازک (حلقه، حلقه)

استخراج فرمول

ممان اینرسی یک جسم برابر است با مجموع گشتاورهای اینرسی اجزای تشکیل دهنده آن. اجازه دهید یک استوانه جدار نازک را به عناصری با جرم تقسیم کنیم dmو لحظه های اینرسی دی جی آی. سپس

J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m . (1). (\displaystyle J=\sum dJ_(i)=\sum R_(i)^(2)dm.\qquad (1).)

از آنجایی که تمام عناصر یک استوانه جدار نازک در فاصله یکسانی از محور چرخش قرار دارند، فرمول (1) به فرم تبدیل می شود.

J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2 . (\displaystyle J=\sum R^(2)dm=R^(2)\sum dm=mR^(2).)

سیلندر دیواره ضخیم (حلقه، حلقه)

استخراج فرمول

بگذارید یک حلقه همگن با شعاع بیرونی وجود داشته باشد آر، شعاع داخلی آر 1، ضخیم ساعتو چگالی ρ. بیایید آن را به حلقه های نازک ضخیم بشکنیم دکتر. جرم و گشتاور اینرسی یک حلقه شعاع نازک rخواهد بود

d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r ; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r . (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot 2\pi rhdr;\qquad dJ=r^(2)dm=2\pi \rho hr^(3)dr.)

اجازه دهید ممان اینرسی حلقه ضخیم را به عنوان یک انتگرال پیدا کنیم

J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 d r = (\displaystyle J=\int _(R_(1))^(R)dJ=2\pi \rho h\int _ (R_(1))^(R)r^(3)dr=) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 − R 1 4 ) = 1 2 π ρ h (R 2 − R 1 2 ) (R 2 + R 1 2 ) . (\displaystyle =2\pi \rho h\left.(\frac (r^(4))(4))\right|_(R_(1))^(R)=(\frac (1)(2 ))\pi \rho h\left(R^(4)-R_(1)^(4)\right)=(\frac (1)(2))\pi \rho h\left(R^(2 )-R_(1)^(2)\راست)\چپ(R^(2)+R_(1)^(2)\راست).)

از آنجایی که حجم و جرم حلقه برابر است

V = π (R 2 - R 1 2) h ; m = ρ V = π ρ (R 2 - R 1 2) h , (\displaystyle V=\pi \left(R^(2)-R_(1)^(2)\right)h;\qquad m= \rho V=\pi \rho \چپ(R^(2)-R_(1)^(2)\راست)h،)

فرمول نهایی ممان اینرسی حلقه را بدست می آوریم

J = 1 2 متر (R 2 + R 1 2) . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))m\ چپ(R^(2)+R_(1)^(2)\راست).)

دیسک همگن (سیلندر جامد)

استخراج فرمول

در نظر گرفتن یک سیلندر (دیسک) به عنوان حلقه ای با شعاع داخلی صفر ( آر 1 = 0)، فرمول لحظه اینرسی سیلندر (دیسک) را به دست می آوریم:

J = 1 2 m R 2 . (\displaystyle J=(\frac (1)(2))mR^(2).)

مخروط جامد

استخراج فرمول

بیایید مخروط را به دیسک های نازک با ضخامت بشکنیم dh، عمود بر محور مخروط. شعاع چنین دیسکی برابر است با

r = Rh H , (\displaystyle r=(\frac (Rh)(H))

جایی که آر- شعاع پایه مخروط، اچ- ارتفاع مخروط ساعت- فاصله از بالای مخروط تا دیسک. جرم و ممان اینرسی چنین دیسکی خواهد بود

d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h ; (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \left((\frac (Rh)(H))\راست)^(4)dh;)

ادغام، دریافت می کنیم

J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 . (\displaystyle (\begin(تراز شده)J=\int _(0)^(H)dJ=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H)) \right)^(4)\int _(0)^(H)h^(4)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left((\frac (R)(H) )\right)^(4)\left.(\frac (h^(5))(5))\right|_(0)^(H)==(\frac (1)(10))\pi \rho R^(4)H=\left(\rho \cdot (\frac (1)(3))\pi R^(2)H\right)(\frac (3)(10))R^( 2)=(\frac (3)(10))mR^(2).\end(تراز شده)))

توپ همگن جامد

استخراج فرمول

بیایید توپ را به دیسک های نازک با ضخامت بشکنیم dh، عمود بر محور چرخش. شعاع چنین دیسکی در ارتفاع قرار دارد ساعتاز مرکز کره، آن را با استفاده از فرمول پیدا می کنیم

r = R 2 − h 2 . (\displaystyle r=(\sqrt (R^(2)-h^(2))).)

جرم و ممان اینرسی چنین دیسکی خواهد بود

d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h ; (\displaystyle dm=\rho dV=\rho \cdot \pi r^(2)dh;) d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R 2 - h 2) 2 d h = 1 2 π ρ (R 4 - 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\displaystyle dJ=(\frac (1)(2))r^(2)dm=(\frac (1)(2))\pi \rho r^(4)dh=(\frac (1)( 2))\pi \rho \چپ(R^(2)-h^(2)\راست)^(2)dh=(\frac (1)(2))\pi \rho \left(R^( 4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh.)

ممان اینرسی توپ را با ادغام پیدا می کنیم:

J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4) d h = = π ρ (R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 ساعت 5) | 0 R = π ρ (R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 . (\displaystyle (\begin(تراز شده)J&=\int _(-R)^(R)dJ=2\int _(0)^(R)dJ=\pi \rho \int _(0)^(R )\left(R^(4)-2R^(2)h^(2)+h^(4)\right)dh=\\&=\pi \rho \left.\left(R^(4) h-(\frac (2)(3))R^(2)h^(3)+(\frac (1)(5))h^(5)\right)\right|_(0)^( R)=\pi \rho \چپ(R^(5)-(\frac (2)(3))R^(5)+(\frac (1)(5))R^(5)\راست) =(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5)=\\&=\left((\frac (4)(3))\pi R^(3)\rho \راست) \cdot (\frac (2)(5))R^(2)=(\frac (2)(5))mR^(2).\end(تراز شده)))

کره دیواره نازک

استخراج فرمول

برای بدست آوردن این، از فرمول ممان اینرسی یک توپ همگن با شعاع استفاده می کنیم آر :

J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5 . (\displaystyle J_(0)=(\frac (2)(5))MR^(2)=(\frac (8)(15))\pi \rho R^(5).)

اجازه دهید محاسبه کنیم که لحظه اینرسی توپ چقدر تغییر می کند اگر در چگالی ρ ثابت شعاع آن به مقدار بی نهایت کوچک افزایش یابد. دکتر .

J = d J 0 d R d R = d d R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 . (\displaystyle (\begin(تراز شده)J&=(\frac (dJ_(0))(dR))dR=(\frac (d)(dR))\left((\frac (8)(15))\ pi \rho R^(5)\right)dR=\\&=(\frac (8)(3))\pi \rho R^(4)dR=\left(\rho \cdot 4\pi R^ (2)dR\right)(\frac (2)(3))R^(2)=(\frac (2)(3))mR^(2).\end(تراز شده)))

میله نازک (محور از مرکز عبور می کند)

استخراج فرمول

بیایید میله را به قطعات کوچکی از طول بشکنیم دکتر. جرم و گشتاور اینرسی چنین قطعه ای برابر است

d m = m d r l ; d J = r 2 d m = m r 2 d r l . (\displaystyle dm=(\frac (mdr)(l));\qquad dJ=r^(2)dm=(\frac (mr^(2)dr)(l)).)

ادغام، دریافت می کنیم

J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 . (\displaystyle J=\int _(-l/2)^(l/2)dJ=2\int _(0)^(l/2)dJ=(\frac (2m)(l))\int _ (0)^(l/2)r^(2)dr=(\frac (2m)(l))\ چپ.(\frac (r^(3))(3))\راست|_(0) ^(l/2)=(\frac (2m)(l))(\frac (l^(3))(24))=(\frac (1)(12))ml^(2.)

میله نازک (محور از انتهای آن عبور می کند)

استخراج فرمول

هنگامی که محور چرخش از وسط میله به انتهای آن حرکت می کند، مرکز ثقل میله نسبت به محور با فاصله حرکت می کند. l ⁄ 2. بر اساس قضیه اشتاینر، گشتاور جدید اینرسی برابر خواهد بود

J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 . (\displaystyle J=J_(0)+mr^(2)=J_(0)+m\left((\frac (l)(2))\راست)^(2)=(\frac (1)( 12))ml^(2)+(\frac (1)(4))ml^(2)=(\frac (1)(3))ml^(2.)

لحظه‌های اینرسی بی‌بعد سیارات و ماهواره‌ها

گشتاورهای بی بعدی اینرسی آنها برای مطالعات ساختار داخلی سیارات و ماهواره های آنها اهمیت زیادی دارد. ممان اینرسی بدون بعد جسمی با شعاع rو توده ها متربرابر است با نسبت ممان اینرسی آن نسبت به محور چرخش به ممان اینرسی یک نقطه مادی با همان جرم نسبت به یک محور ثابت چرخش واقع در فاصله r(مساوی با آقای 2). این مقدار توزیع جرم در عمق را منعکس می کند. یکی از روش‌های اندازه‌گیری آن در نزدیکی سیارات و ماهواره‌ها، تعیین تغییر داپلر سیگنال رادیویی است که توسط یک AMS که در نزدیکی یک سیاره یا ماهواره پرواز می‌کند، ارسال می‌شود. برای یک کره با دیواره نازک، گشتاور بی بعد اینرسی برابر با 2/3 (~0.67) است، برای یک توپ همگن - 0.4، و به طور کلی، هر چه کمتر، جرم بدن بیشتر در مرکز آن متمرکز شود. به عنوان مثال، ماه دارای گشتاور اینرسی بی بعدی نزدیک به 0.4 (برابر با 0.391) است، بنابراین فرض می شود که نسبتا همگن است، چگالی آن کمی با عمق تغییر می کند. گشتاور بی بعد اینرسی زمین کمتر از یک توپ همگن است (برابر 0.335) که دلیلی بر وجود یک هسته متراکم است.

ممان اینرسی گریز از مرکز

گشتاورهای گریز از مرکز اینرسی یک جسم نسبت به محورهای یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی به شرح زیر است:

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , (\displaystyle J_(xy)=\int \limits _((m))xydm=\int \limits _(V))xy\ rho dV،) J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , (\displaystyle J_(xz)=\int \limits _((m))xzdm=\int \limits _((V))xz\ rho dV،) J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , (\displaystyle J_(yz)=\int \limits _((m))yzdm=\int \limits _((V))yz\ rho dV،)

جایی که ایکس , yو z- مختصات یک عنصر بدن کوچک با حجم dV، چگالی ρ و جرم dm .

محور OX نامیده می شود محور اصلی اینرسی بدنه، اگر گشتاورهای گریز از مرکز اینرسی J xyو J xzبه طور همزمان برابر با صفر هستند. سه محور اصلی اینرسی را می توان در هر نقطه از بدنه ترسیم کرد. این محورها متقابلاً بر یکدیگر عمود هستند. لحظات اینرسی بدننسبت به سه محور اصلی اینرسی ترسیم شده در یک نقطه دلخواه Oاجسام نامیده می شوند لحظات اصلی اینرسیاز این بدن

محورهای اصلی اینرسی که از مرکز جرم بدن عبور می کنند نامیده می شوند محورهای اصلی اینرسی بدنه، و ممان اینرسی در مورد این محورها آن است ممان مرکزی اصلی اینرسی. محور تقارن یک جسم همگن همیشه یکی از محورهای اصلی اینرسی مرکزی آن است.

گشتاورهای هندسی اینرسی

گشتاور هندسی اینرسی حجم

J V a = ∫ (V) r 2 d V , (\displaystyle J_(Va)=\int \limits _((V))r^(2)dV,)

جایی که مثل قبل r- فاصله از عنصر dVبه محور آ .

گشتاور هندسی اینرسی مساحتنسبت به محور - یک ویژگی هندسی بدن است که با فرمول بیان می شود:

J S a = ∫ (S) r 2 d S , (\displaystyle J_(Sa)=\int \limits _((S))r^(2)dS,)

جایی که یکپارچه سازی روی سطح انجام می شود اس، آ dS- عنصر این سطح.

بعد، ابعاد، اندازه JSa- طول تا توان چهارم ( d i m J S a = L 4 (\displaystyle \mathrm (کم رنگ) J_(Sa)=\mathrm (L^(4)))، به ترتیب، واحد اندازه گیری SI 4 است. در محاسبات ساخت و ساز، ادبیات و مجموعه های فلزی نورد، اغلب در سانتی متر 4 نشان داده شده است.

ممان مقاومت مقطع از طریق گشتاور هندسی اینرسی ناحیه بیان می شود:

W = J S a r m a x . (\displaystyle W=(\frac (J_(Sa))(r_(max))).)

اینجا rmax- حداکثر فاصله از سطح تا محور.

گشتاورهای هندسی اینرسی مساحت برخی اشکال
ارتفاع مستطیل h (\displaystyle h)و عرض b (\displaystyle b):	J y = b h 3 12 (\displaystyle J_(y)=(\frac (bh^(3))(12))) J z = h b 3 12 (\displaystyle J_(z)=(\frac (hb^(3))(12)))
بخش جعبه مستطیلی با ارتفاع و عرض در امتداد خطوط خارجی H (\displaystyle H)و B (\displaystyle B)و برای داخلی h (\displaystyle h)و b (\displaystyle b)به ترتیب	J z = B H 3 12 - b h 3 12 = 1 12 (B H 3 - b h 3) (\displaystyle J_(z)=(\frac (BH^(3))(12))-(\frac (bh^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(BH^(3)-bh^(3))) J y = H B 3 12 - h b 3 12 = 1 12 (H B 3 - h b 3) (\displaystyle J_(y)=(\frac (HB^(3))(12))-(\frac (hb^( 3))(12))=(\frac (1)(12))(HB^(3)-hb^(3)))
قطر دایره d (\displaystyle d)	J y = J z = π d 4 64 (\displaystyle J_(y)=J_(z)=(\frac (\pi d^(4))(64)))

ممان اینرسی نسبت به هواپیما

ممان اینرسی جسم صلب نسبت به صفحه معین مقداری اسکالر برابر با مجموع حاصلضرب جرم هر نقطه از جسم به مجذور فاصله این نقطه تا صفحه مورد نظر است.

اگر از طریق یک نقطه دلخواه O (\displaystyle O)ترسیم محورهای مختصات x , y , z (\displaystyle x,y,z)، سپس ممان اینرسی نسبت به صفحات مختصات x O y (\displaystyle xOy), y O z (\displaystyle yOz)و z O x (\displaystyle zOx)با فرمول های زیر بیان می شود:

J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2 , (\displaystyle J_(xOy)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)z_(i)^(2)\ ,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2 , (\displaystyle J_(yOz)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)x_(i)^(2)\ ,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2 . (\displaystyle J_(zOx)=\sum _(i=1)^(n)m_(i)y_(i)^(2)\ .)

در مورد جسم جامد، جمع با یکپارچگی جایگزین می شود.

ممان مرکزی اینرسی

ممان مرکزی اینرسی (ممان اینرسی در مورد نقطه O، ممان اینرسی در مورد قطب، ممان اینرسی قطبی) J O (\displaystyle J_(O))مقدار تعیین شده توسط عبارت است:

J a = ∫ (m) r 2 d m = ∫ (V) ρ r 2 d V , (\displaystyle J_(a)=\int \limits _((m))r^(2)dm=\int \limits _((V))\rho r^(2)dV،)

گشتاور مرکزی اینرسی را می‌توان بر حسب ممان‌های اینرسی اصلی محوری و همچنین بر حسب ممان‌های اینرسی در مورد صفحات بیان کرد:

J O = 1 2 (J x + J y + J z) , (\displaystyle J_(O)=(\frac (1)(2))\left(J_(x)+J_(y)+J_(z) \درست)،) J O = J x O y + J y O z + J x O z . (\displaystyle J_(O)=J_(xOy)+J_(yOz)+J_(xOz).)

تانسور اینرسی و بیضی اینرسی

ممان اینرسی یک جسم نسبت به یک محور دلخواه که از مرکز جرم می گذرد و دارای جهت مشخص شده توسط بردار واحد است. s → = ‖ s x، s y، s z ‖ T، | s → | = 1 (\displaystyle (\vec (s))=\left\Vert s_(x)،s_(y)،s_(z)\right\Vert ^(T)،\left\vert (\vec (s) )\راست\vert =1)، را می توان در قالب یک فرم درجه دوم (دو خطی) نشان داد:

I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , (\displaystyle I_(s)=(\vec (s))^(T)\cdot (\hat (J))\cdot (\vec (s)) ,\qquad) (1)

تانسور اینرسی کجاست ماتریس تانسور اینرسی متقارن و دارای ابعاد است 3 × 3 (\displaystyle 3\times 3)و از اجزای لنگرهای گریز از مرکز تشکیل شده است:

J ^ = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))=\left\Vert (\begin(array )(cccc)J_(xx)&-J_(xy)&-J_(xz)\\-J_(yx)&J_(yy)&-J_(yz)\\-J_(zx)&-J_(zy) &J_(zz)\end(آرایه))\right\Vert ,) J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , (\displaystyle J_(xy)=J_(yx),\quad J_(xz)=J_(zx),\quad J_(zy)= J_(yz)،\quad)J x x = ∫ (m) (y 2 + z 2) d m , J y y = ∫ (m) (x 2 + z 2) d m , J z z = ∫ (m) (x 2 + y 2) d m . (\displaystyle J_(xx)=\int \limits _((m))(y^(2)+z^(2))dm,\quad J_(yy)=\int \limits _(m)) (x^(2)+z^(2))dm,\quad J_(zz)=\int \limits _((m))(x^(2)+y^(2))dm.)

با انتخاب سیستم مختصات مناسب، ماتریس تانسور اینرسی را می توان به شکل مورب کاهش داد. برای این کار باید مسئله مقدار ویژه ماتریس تانسور را حل کنید J ^ (\displaystyle (\hat (J))):

J ^ d = Q ^ T ⋅ J ^ ⋅ Q ^ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=(\hat (Q))^(T)\cdot (\hat (J))\ cdot (\hat (Q)) J ^ d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , (\displaystyle (\hat (J))_(d)=\left\Vert (\begin(array)(ccc)J_(X)&0&0\ \0&J_(Y)&0\\0&0&J_(Z)\پایان(آرایه))\راست\Vert ,)

جایی که Q ^ (\displaystyle (\hat (Q)))- ماتریس متعامد انتقال به پایه خود تانسور اینرسی. در مبنای مناسب، محورهای مختصات در امتداد محورهای اصلی تانسور اینرسی هدایت می شوند و همچنین با نیمه محورهای اصلی بیضی تانسور اینرسی منطبق می شوند. مقادیر J X، J Y، J Z (\displaystyle J_(X)، J_(Y)، J_(Z))- لحظات اصلی اینرسی. عبارت (1) در سیستم مختصات خود به شکل زیر است:

I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , (\displaystyle I_(s)=J_(X)\cdot s_(x)^(2)+J_(Y)\cdot s_(y )^(2)+J_(Z)\cdot s_(z)^(2)،)

که از آن معادله بیضی را در مختصات خودش بدست می آوریم. تقسیم دو طرف معادله بر من (\displaystyle I_(s))

(s x I s) 2 ⋅ J X + (s y I s) 2 ⋅ J Y + (s z I s) 2 ⋅ J Z = 1 (\displaystyle \left((s_(x) \over (\sqrt (I_(s))) ))\راست)^(2)\cdot J_(X)+\left((s_(y) \over (\sqrt (I_(s))))\راست)^(2)\cdot J_(Y) +\left((s_(z) \over (\sqrt (I_(s))))\right)^(2)\cdot J_(Z)=1)

و ایجاد جایگزین:

ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , (\displaystyle \xi =(s_(x) \over (\sqrt (I_(s)))),\eta =(s_(y ) \over (\sqrt (I_(s))))،\zeta =(s_(z) \over (\sqrt (I_(s)))))

شکل متعارف معادله بیضی را در مختصات به دست می آوریم ξ η ζ (\displaystyle \xi \eta \zeta ):

ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1. (\displaystyle \xi ^(2)\cdot J_(X)+\eta ^(2)\cdot J_(Y)+\zeta ^( 2)\cdot J_(Z)=1.)

فاصله مرکز بیضی تا یک نقطه معین مربوط به مقدار ممان اینرسی جسم در امتداد خط مستقیمی است که از مرکز بیضی و این نقطه می گذرد.

بگذار یک بدن جامد وجود داشته باشد. بیایید یک خط مستقیم OO را انتخاب کنیم (شکل 6.1)، که آن را محور می نامیم (خط مستقیم OO می تواند خارج از بدنه باشد). اجازه دهید بدن را به بخش های ابتدایی (نقاط مادی) با جرم تقسیم کنیم
در فاصله ای از محور واقع شده است
به ترتیب.

ممان اینرسی یک نقطه مادی نسبت به یک محور (OO) حاصل ضرب جرم یک نقطه مادی بر مجذور فاصله آن تا این محور است:

. (6.1)

ممان اینرسی (MI) یک جسم نسبت به یک محور (OO) مجموع حاصلضرب جرم بخش‌های ابتدایی بدن به مجذور فاصله آنها تا محور است:

. (6.2)

همانطور که می بینید، ممان اینرسی یک جسم یک کمیت افزایشی است - ممان اینرسی کل بدن نسبت به یک محور خاص برابر است با مجموع گشتاورهای اینرسی اجزای جداگانه آن نسبت به همان محور.

در این مورد

ممان اینرسی بر حسب kgm 2 اندازه گیری می شود. زیرا

, (6.3)

کجا  - چگالی ماده،
- جلد من- بخش هفتم، سپس

یا حرکت به سمت عناصر بی نهایت کوچک،

. (6.4)

فرمول (6.4) برای محاسبه MI اجسام همگن با شکل منظم نسبت به محور تقارن که از مرکز جرم بدن می گذرد مناسب است. به عنوان مثال، برای MI یک استوانه نسبت به محوری که از مرکز جرم موازی با ژنراتیکس می گذرد، این فرمول به دست می دهد.

جایی که تی- وزن؛ آر- شعاع سیلندر

قضیه اشتاینر کمک زیادی به محاسبه MI اجسام نسبت به محورهای معین می کند: MI اجسام. مننسبت به هر محوری برابر است با مجموع MI این جسم من جنسبت به محوری که از مرکز جرم بدن و موازی با محور داده شده می گذرد و حاصل ضرب جرم بدن بر مجذور فاصله دبین محورهای مشخص شده:

. (6.5)

لحظه نیروی حول محور

بگذارید نیرو روی بدن وارد شود اف. اجازه دهید برای سادگی فرض کنیم که نیرو افدر صفحه ای عمود بر یک خط مستقیم OO قرار دارد (شکل 6.2، آ) که آن را محور می نامیم (مثلاً این محور چرخش جسم است). در شکل 6.2، آ آ- نقطه اعمال نیرو اف,
- نقطه تقاطع محور با صفحه ای که نیرو در آن قرار دارد. r- بردار شعاع تعیین کننده موقعیت نقطه آنسبت به نقطه در باره"; O"ب = ب - شانه قدرت بازوی نیرو نسبت به محور، کوچکترین فاصله از محور تا خط مستقیمی است که بردار نیرو روی آن قرار دارد. اف(طول عمود رسم شده از نقطه به این خط).

گشتاور نیرو نسبت به محور یک کمیت برداری است که با تساوی تعریف می شود

. (6.6)

مدول این بردار است. بنابراین گاهی اوقات می گویند که گشتاور نیرو حول محور حاصل ضرب نیرو و بازوی آن است.

اگر قدرت افبه طور دلخواه هدایت می شود، سپس می توان آن را به دو جزء تجزیه کرد. و (شکل 6.2، ب) ، یعنی
+، جایی که - کامپوننت به موازات محور OO و در صفحه ای عمود بر محور قرار دارد. در این حالت تحت لحظه نیرو افنسبت به محور OO بردار را درک کنید

. (6.7)

مطابق با عبارات (6.6) و (6.7)، بردار مدر امتداد محور هدایت شده است (شکل 6.2 را ببینید، آ,ب).

تکانه جسم نسبت به محور چرخش

پ اجازه دهید بدن حول یک محور معین OO با سرعت زاویه ای بچرخد
. بیایید این بدن را از نظر ذهنی به بخش های ابتدایی با توده ها تقسیم کنیم
، که به ترتیب از محور در فواصل قرار دارند
و به صورت دایره ای بچرخید و دارای سرعت خطی است
معلوم است که مقدار برابر است
- یک انگیزه وجود دارد من-طرح. لحظه تکانه من- برش (نقطه ماده) نسبت به محور چرخش را بردار (به طور دقیق تر شبه بردار) می گویند.

, (6.8)

جایی که r من- بردار شعاع تعیین کننده موقعیت من- مساحت نسبت به محور.

تکانه زاویه ای کل بدن نسبت به محور چرخش بردار نامیده می شود

(6.9)

که ماژول
.

مطابق با عبارات (6.8) و (6.9)، بردارها
و هدایت شده در امتداد محور چرخش (شکل 6.3). نشان دادن تکانه زاویه ای یک جسم آسان است Lنسبت به محور چرخش و ممان اینرسی مناین جسم نسبت به همان محور با رابطه مرتبط هستند

. (6.10)

گشتاور اینرسی یک جسم (سیستم) نسبت به یک محور معین Oz (یا گشتاور محوری اینرسی) یک کمیت اسکالر است که با مجموع حاصلضرب جرم های تمام نقاط بدن (سیستم) متفاوت است. مجذور فاصله آنها از این محور:

از تعریف چنین برمی‌آید که ممان اینرسی جسم (یا سیستم) نسبت به هر محوری یک کمیت مثبت است و برابر با صفر نیست.

در آینده نشان داده خواهد شد که گشتاور محوری اینرسی در حین حرکت چرخشی یک جسم همان نقشی را ایفا می کند که جرم در حین حرکت انتقالی ایفا می کند، یعنی ممان محوری اینرسی معیاری از اینرسی جسم در حین چرخش است. حرکت - جنبش.

طبق فرمول (2) ممان اینرسی یک جسم برابر است با مجموع گشتاورهای اینرسی تمام اجزای آن نسبت به یک محور. برای یک نقطه مادی که در فاصله h از محور قرار دارد، . واحد اندازه گیری ممان اینرسی در SI 1 کیلوگرم خواهد بود (در سیستم MKGSS -).

برای محاسبه گشتاورهای محوری اینرسی، فواصل نقاط از محورها را می توان از طریق مختصات این نقاط بیان کرد (مثلاً مجذور فاصله از محور Ox خواهد بود و غیره).

سپس ممان اینرسی در مورد محورها با فرمول تعیین می شود:

اغلب در طول محاسبات از مفهوم شعاع چرخش استفاده می شود. شعاع اینرسی یک جسم نسبت به یک محور یک کمیت خطی است که توسط برابری تعیین می شود.

جایی که M توده بدن است. از تعریف به دست می آید که شعاع اینرسی از نظر هندسی برابر است با فاصله از محور نقطه ای که جرم کل بدن باید در آن متمرکز شود به طوری که ممان اینرسی این یک نقطه برابر با ممان اینرسی باشد. از کل بدن

با دانستن شعاع اینرسی می توانید از فرمول (4) برای یافتن ممان اینرسی جسم و بالعکس استفاده کنید.

فرمول (2) و (3) هم برای یک جسم صلب و هم برای هر سیستمی از نقاط مادی معتبر است. در مورد جسم جامد، با شکستن آن به اجزای ابتدایی، متوجه می شویم که در حد، مجموع برابری (2) به یک انتگرال تبدیل می شود. در نتیجه با در نظر گرفتن اینکه در کجا چگالی و V حجم است، به دست می آوریم

انتگرال در اینجا به کل حجم V بدن امتداد می یابد و چگالی و فاصله h به مختصات نقاط بدن بستگی دارد. به طور مشابه، فرمول (3) برای اجسام جامد شکل می گیرد

فرمول های (5) و (5) هنگام محاسبه ممان اینرسی اجسام همگن با شکل منظم مناسب هستند. در این حالت چگالی ثابت خواهد بود و خارج از علامت انتگرال قرار می گیرد.

اجازه دهید گشتاورهای اینرسی برخی اجسام همگن را پیدا کنیم.

1. یک میله نازک همگن به طول l و جرم M. اجازه دهید گشتاور اینرسی آن را نسبت به محور عمود بر میله و عبور از انتهای آن A محاسبه کنیم (شکل 275). اجازه دهید محور مختصات را در امتداد AB هدایت کنیم سپس برای هر قطعه ابتدایی به طول d مقدار برابر است و جرم برابر است با جرم یک واحد طول میله. در نتیجه فرمول (5) به دست می آید

با جایگزینی اینجا با ارزش آن، در نهایت پیدا می کنیم

2. یک حلقه نازک همگن گرد با شعاع R و جرم M. اجازه دهید گشتاور اینرسی آن را نسبت به محور عمود بر صفحه حلقه و عبور از مرکز آن C پیدا کنیم (شکل 276).

از آنجایی که تمام نقاط حلقه در فاصله ای از محور قرار دارند، فرمول (2) به دست می آید

بنابراین، برای حلقه

بدیهی است که همین نتیجه برای ممان اینرسی یک پوسته استوانه ای نازک به جرم M و شعاع R نسبت به محور آن به دست خواهد آمد.

3. یک صفحه یا استوانه گرد همگن با شعاع R و جرم M. اجازه دهید گشتاور اینرسی صفحه گرد را نسبت به محور عمود بر صفحه و عبور از مرکز آن محاسبه کنیم (شکل 276 را ببینید). برای انجام این کار، یک حلقه ابتدایی با شعاع و عرض را انتخاب می کنیم (شکل 277، a). مساحت این حلقه برابر است و جرم جایی است که جرم در واحد سطح صفحه است. سپس طبق فرمول (7) برای حلقه ابتدایی انتخاب شده و برای کل صفحه وجود خواهد داشت

همانطور که در بالا ذکر شد، شکل های صفحه ساده شامل سه شکل است: یک مستطیل، یک مثلث و یک دایره. این اشکال ساده در نظر گرفته می شوند زیرا موقعیت مرکز ثقل این فیگورها از قبل مشخص است. تمام شکل های دیگر می توانند از این شکل های ساده تشکیل شده و پیچیده در نظر گرفته شوند. اجازه دهید گشتاور محوری اینرسی اشکال ساده را نسبت به محورهای مرکزی آنها محاسبه کنیم.

1. مستطیل.بیایید سطح مقطع یک پروفیل مستطیلی را با ابعاد در نظر بگیریم (شکل 4.6). اجازه دهید یک عنصر بخش با دو بخش بی نهایت نزدیک در فاصله را انتخاب کنیم از محور مرکزی
.

بیایید ممان اینرسی یک مقطع مستطیلی را نسبت به محور محاسبه کنیم:

. (4.10)

ممان اینرسی یک مقطع مستطیلی حول محور
مشابه آن را خواهیم یافت. در اینجا نتیجه گیری ارائه نشده است.

. (4.11)

و
برابر با صفر است، زیرا محورها
و
محورهای تقارن و در نتیجه محورهای اصلی هستند.

2. مثلث متساوی الساقین.بیایید قسمتی از یک پروفیل مثلثی را با ابعاد در نظر بگیریم
(شکل 4.7). اجازه دهید یک عنصر بخش با دو بخش بی نهایت نزدیک در فاصله را انتخاب کنیم از محور مرکزی
. مرکز ثقل مثلث در یک فاصله است
از پایه مثلث متساوی الساقین فرض می شود، پس محور
بخش محور تقارن است.

اجازه دهید گشتاور اینرسی مقطع را نسبت به محور محاسبه کنیم
:

. (4.12)

اندازه از شباهت مثلث ها مشخص می کنیم:

; جایی که
.

جایگزینی عبارات برای در (4.12) و ادغام، به دست می آوریم:

. (4.13)

ممان اینرسی برای یک مثلث متساوی الساقین حول محور
به صورت مشابه یافت می شود و برابر است با:

(4.14)

گشتاور گریز از مرکز اینرسی در مورد محورها
و
برابر با صفر است، زیرا محور
محور تقارن مقطع است.

3. دایره. سطح مقطع پروفیل دایره ای با قطر را در نظر بگیرید (شکل 4.8). اجازه دهید عنصر مقطع را با دو دایره متحدالمرکز بی نهایت نزدیک که در فاصله ای دور قرار گرفته اند برجسته کنیم از مرکز ثقل دایره .

بیایید گشتاور قطبی اینرسی دایره را با استفاده از عبارت (4.5) محاسبه کنیم:

. (4.15)

با استفاده از شرط عدم تغییر برای مجموع گشتاورهای محوری اینرسی حول دو محور متقابل عمود بر هم (4.6) و در نظر گرفتن آن برای یک دایره، به دلیل تقارن
، مقدار گشتاورهای اینرسی محوری را تعیین می کنیم:

. (4.16)

. (4.17)

گشتاور گریز از مرکز اینرسی در مورد محورها و برابر با صفر است، زیرا محورها
و
محورهای تقارن مقطع هستند.

4.4. وابستگی بین گشتاورهای اینرسی نسبت به محورهای موازی

هنگام محاسبه ممان اینرسی برای ارقام پیچیده، باید یک قانون را به خاطر بسپارید: مقادیر لحظه های اینرسی را می توان اضافه کرد. اگر نسبت به یک محور محاسبه شوند. برای اشکال پیچیده، اغلب مراکز ثقل تک تک شکل های ساده و کل شکل بر هم منطبق نیستند. بر این اساس، محورهای مرکزی برای شکل های ساده منفرد و کل شکل بر هم منطبق نیستند. در این راستا، تکنیک هایی برای آوردن ممان اینرسی به یک محور، به عنوان مثال، محور مرکزی کل شکل وجود دارد. این ممکن است به دلیل ترجمه موازی محورهای اینرسی و محاسبات اضافی باشد.

اجازه دهید تعیین گشتاورهای اینرسی را نسبت به محورهای اینرسی موازی نشان داده شده در شکل 4.9 در نظر بگیریم.

اجازه دهید گشتاور محوری و گریز از مرکز اینرسی نشان داده شده در شکل 4.9. ارقام نسبت به محورهای انتخابی دلخواه
و
با مبدا در نقطه شناخته شده. محاسبه گشتاورهای اینرسی محوری و گریز از مرکز یک شکل نسبت به محورهای موازی دلخواه مورد نیاز است.
و
با مبدا در نقطه . محورها
و
در فواصل انجام می شود و به ترتیب از محورها
و
.

اجازه دهید از عبارات برای گشتاورهای اینرسی محوری (4.4) و برای گشتاور گریز از مرکز اینرسی (4.7) استفاده کنیم. بیایید به جای مختصات فعلی این عبارات را جایگزین کنیم
و
عنصر با مساحت مختصات بی نهایت کوچک
و
در سیستم مختصات جدید ما گرفتیم:

با تجزیه و تحلیل عبارات به دست آمده، به این نتیجه می رسیم که هنگام محاسبه گشتاورهای اینرسی نسبت به محورهای موازی، مواد افزودنی در قالب عبارت های اضافی باید به ممان های اینرسی محاسبه شده نسبت به محورهای اینرسی اصلی اضافه شود، که ممکن است بسیار بیشتر باشد. از مقادیر ممان اینرسی نسبت به محورهای اصلی. بنابراین، این شرایط اضافی تحت هیچ شرایطی نباید نادیده گرفته شوند.

مورد در نظر گرفته شده عمومی ترین مورد انتقال موازی محورها است، زمانی که محورهای اینرسی دلخواه به عنوان محورهای اولیه در نظر گرفته شد. در بیشتر محاسبات موارد خاصی از تعیین گشتاورهای اینرسی وجود دارد.

اولین مورد خاص. محورهای مبدا، محورهای مرکزی اینرسی شکل هستند. سپس با استفاده از خاصیت اصلی برای ممان ایستا مساحت، می‌توان از معادلات (4.18)– (4.20) عبارات معادلاتی را که شامل گشتاور ساکن مساحت شکل است حذف کرد. در نتیجه دریافت می کنیم:

. (4.21)

. (4.22)

. (4.23)

در اینجا محورها هستند
و
-محورهای اینرسی مرکزی

مورد ویژه دوم. محورهای مرجع، محورهای اصلی اینرسی هستند. سپس با در نظر گرفتن این که نسبت به محورهای اصلی اینرسی، ممان گریز از مرکز اینرسی برابر با صفر است، به دست می آوریم:

. (4.24)

. (4.25)

. (4.26)

در اینجا محورها هستند
و
محورهای اصلی اینرسی

بیایید از عبارات به دست آمده استفاده کنیم و چندین مثال از محاسبه گشتاورهای اینرسی را برای ارقام صفحه در نظر بگیریم.

مثال 4.2.گشتاورهای محوری اینرسی شکل نشان داده شده در شکل را تعیین کنید. 4.10، نسبت به محورهای مرکزی و .

در مثال قبلی 4.1، برای شکل نشان داده شده در شکل 4.10، موقعیت مرکز ثقل C مشخص شد. مختصات مرکز ثقل از محور ترسیم شد و تدوین کرد
. بیایید فاصله ها را محاسبه کنیم و بین محورها و و تبرها و . این فاصله ها به ترتیب بود
و
. از آنجایی که محورهای اصلی و محورهای مرکزی برای شکل های ساده به شکل مستطیل برای تعیین ممان اینرسی شکل نسبت به محور هستند. اجازه دهید از نتیجه گیری برای اولین مورد خاص، به ویژه، فرمول (4.21) استفاده کنیم.

لحظه اینرسی حول محور ما با جمع ممان اینرسی ارقام ساده نسبت به همان محور به دست می آوریم، زیرا محور محور مرکزی مشترک برای اشکال ساده و برای کل شکل است.

سانتی متر 4.

گشتاور گریز از مرکز اینرسی در مورد محورها و برابر با صفر است، زیرا محور اینرسی است محور اصلی (محور تقارن شکل) است.

مثال 4.3.اتدازه اش چقدر است؟ ب(به سانتی متر) شکل نشان داده شده در شکل 4.11، اگر ممان اینرسی شکل نسبت به محور باشد برابر با 1000 سانتی متر 4؟

اجازه دهید لحظه اینرسی را در مورد محور بیان کنیم از طریق اندازه بخش ناشناخته ، با استفاده از فرمول (4.21) با در نظر گرفتن فاصله بین محورها و برابر با 7 سانتی متر:

سانتی متر 4. (آ)

حل عبارت (a) نسبت به اندازه بخش ، ما گرفتیم:

سانتی متر.

مثال 4.4.کدام یک از شکل های نشان داده شده در شکل 4.12 دارای گشتاور اینرسی بیشتری نسبت به محور است. اگر هر دو شکل مساحت یکسانی داشته باشند
سانتی متر 2؟

1. بیایید مساحت شکل ها را بر حسب اندازه آنها بیان کنیم و تعیین کنیم:

الف) قطر مقطع برای یک مقطع گرد:

سانتی متر 2; جایی که
سانتی متر.

ب) اندازه ضلع مربع:

; جایی که
سانتی متر.

2. ممان اینرسی را برای یک مقطع دایره ای محاسبه کنید:

سانتی متر 4.

3. محاسبه ممان اینرسی برای یک مقطع مربع:

سانتی متر 4.

با مقایسه نتایج به دست آمده به این نتیجه می رسیم که یک مقطع مربعی بالاترین گشتاور اینرسی را در مقایسه با یک مقطع دایره ای با مساحت یکسان خواهد داشت.

مثال 4.5.ممان اینرسی قطبی (بر حسب سانتی متر 4) یک مقطع مستطیلی را نسبت به مرکز ثقل آن، در صورتی که عرض مقطع
سانتی متر، ارتفاع مقطع
سانتی متر.

1. گشتاورهای اینرسی مقطع را نسبت به افقی بیابید و عمودی محورهای مرکزی اینرسی:

سانتی متر 4;
سانتی متر 4.

2. گشتاور قطبی اینرسی مقطع را به صورت مجموع گشتاورهای محوری اینرسی تعیین می کنیم:

سانتی متر 4.

مثال 4.6.ممان اینرسی شکل مثلثی نشان داده شده در شکل 4.13 را نسبت به محور مرکزی تعیین کنید. ، اگر ممان اینرسی شکل نسبت به محور برابر با 2400 سانتی متر 4.

ممان اینرسی یک مقطع مثلثی نسبت به محور اصلی اینرسی در مقایسه با ممان اینرسی حول محور کمتر خواهد بود با مقدار
. بنابراین، زمانی که
ممان اینرسی سانتی متری مقطع نسبت به محور آن را به صورت زیر می یابیم.

تعریف

اندازه گیری اینرسی جسم در حال چرخش است ممان اینرسی(J) نسبت به محوری که چرخش حول آن اتفاق می افتد.

این یک کمیت فیزیکی اسکالر (به طور کلی تانسوری) است که برابر است با حاصلضرب جرم نقاط مادی () که جسم مورد نظر باید به مربع های فواصل () از آنها تا محور چرخش تقسیم شود:

جایی که r تابعی از موقعیت یک نقطه مادی در فضا است. - تراکم بدن؛ - حجم یک عنصر بدنه

برای یک جسم همگن، عبارت (2) را می توان به صورت زیر نشان داد:

ممان اینرسی در سیستم بین المللی واحدها به صورت زیر اندازه گیری می شود:

کمیت J در قوانین اساسی که با آن چرخش یک جسم صلب توصیف می شود، گنجانده شده است.

در حالت کلی، بزرگی ممان اینرسی به جهت محور چرخش بستگی دارد و از آنجایی که بردار در حین حرکت معمولا جهت خود را نسبت به جسم تغییر می دهد، ممان اینرسی را باید تابعی از زمان در نظر گرفت. یک استثنا ممان اینرسی جسمی است که حول یک محور ثابت می چرخد. در این حالت ممان اینرسی ثابت می ماند.

قضیه اشتاینر

قضیه اشتاینر این امکان را فراهم می کند که گشتاور اینرسی یک جسم را نسبت به یک محور چرخش دلخواه محاسبه کنیم که ممان اینرسی جسم مورد نظر نسبت به محوری که از مرکز جرم این جسم می گذرد شناخته شود و این محورها عبارتند از: موازی. در شکل ریاضی، قضیه اشتاینر به صورت زیر نمایش داده می شود:

ممان اینرسی بدن نسبت به محور چرخشی که از مرکز جرم بدن می گذرد کجاست. m جرم بدن مورد نظر است. a فاصله بین محورها است. حتما به یاد داشته باشید که محورها باید موازی باشند. از عبارت (4) چنین می شود که:

چند عبارت برای محاسبه ممان اینرسی جسم

هنگام چرخش حول یک محور، یک نقطه مادی دارای گشتاور اینرسی برابر با:

جایی که m جرم نقطه است. r فاصله نقطه تا محور چرخش است.

برای یک میله نازک همگن به جرم m و طول l J نسبت به محوری که از مرکز جرم آن می گذرد (محور عمود بر میله است) برابر است با:

یک حلقه نازک با جرمی که حول محوری می چرخد که از مرکز آن عمود بر صفحه حلقه می گذرد، سپس ممان اینرسی به صورت زیر محاسبه می شود:

که در آن R شعاع حلقه است.

یک دیسک همگن گرد با شعاع R و جرم m دارای J نسبت به محوری که از مرکز آن می گذرد و عمود بر صفحه دیسک است برابر با:

برای یک توپ همگن

که در آن m جرم توپ است. R شعاع توپ است. توپ حول محوری می چرخد که از مرکز آن می گذرد.

اگر محورهای چرخش محورهای یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی باشد، برای یک جسم پیوسته می توان گشتاورهای اینرسی را به صورت زیر محاسبه کرد:

مختصات یک عنصر بینهایت کوچک بدن کجاست.

نمونه هایی از حل مسئله

مثال 1

ورزش

دو توپ که می توان آنها را توپ های نقطه ای در نظر گرفت توسط یک میله نازک بدون وزن در کنار هم نگه داشته می شوند. طول میله l. ممان اینرسی این سیستم نسبت به محوری که عمود بر میله از مرکز جرم عبور می کند چقدر است. جرم نقاط یکسان و برابر با m است.

راه حل

بیایید ممان اینرسی یک توپ () را نسبت به محوری که در فاصله ای از آن قرار دارد، پیدا کنیم:

ممان اینرسی توپ دوم برابر خواهد بود با:

ممان اینرسی کل سیستم برابر است با مجموع:

پاسخ

مثال 2

ورزش

ممان اینرسی یک آونگ فیزیکی نسبت به محوری که از نقطه O می گذرد چقدر است (شکل 1)؟ محور عمود بر صفحه نقشه است. در نظر بگیرید که یک آونگ فیزیکی از یک میله نازک به طول l با جرم m و یک دیسک به جرم تشکیل شده است. دیسک به انتهای پایین میله متصل است و شعاع آن برابر است

راه حل

ممان اینرسی آونگ ما (J) برابر است با مجموع گشتاور اینرسی میله () که حول محور عبور از نقطه O و دیسک () که حول همان محور می چرخد: