Cauchyjev zakon raspodjele slučajnih varijabli. Kosha distribucija

Čini se da Cauchyjeva distribucija izgleda vrlo atraktivno za opisivanje i modeliranje slučajnih varijabli. Međutim, u stvarnosti to nije slučaj. Osobine Cauchyjeve raspodjele oštro se razlikuju od svojstava Gaussove, Laplaceove i drugih eksponencijalnih raspodjela.

Činjenica je da je Cauchyjeva distribucija blizu ekstremno ravne. Podsjetimo da se za distribuciju kaže da je ekstremno ravna ako je, kao x -> +oo, njena gustina vjerovatnoće

Za Cauchyjevu distribuciju ne postoji čak ni prvi početni trenutak distribucije, odnosno matematičko očekivanje, jer se integral koji je definira divergira. U ovom slučaju, distribucija ima i medijan i mod, koji su jednaki parametru a.

Naravno, disperzija ove distribucije (drugi centralni moment) je takođe jednaka beskonačnosti. U praksi, to znači da će se procjena varijanse za uzorak iz Cauchyjeve distribucije neograničeno povećavati kako se obim podataka povećava.

Iz navedenog proizilazi da je aproksimacija Cauchyjevom distribucijom slučajnih procesa, koje karakteriziraju konačno matematičko očekivanje i konačna varijansa, netačna.

Dakle, dobili smo simetričnu distribuciju u zavisnosti od tri parametra, uz pomoć kojih možemo opisati uzorke slučajnih varijabli, uključujući i one sa blagim nagibima. Međutim, ova raspodjela ima nedostatke koji su uzeti u obzir kada se raspravljalo o Cauchyjevoj distribuciji, naime, matematičko očekivanje postoji samo za a > 1, varijansa je konačna samo za OS > 2, i općenito, konačni momenat raspodjele k-tog reda postoji za a > k .

Slika 14.1 koristi 8.000 uzoraka iz poznate Cauchyjeve distribucije, koja ima beskonačnu srednju vrijednost i varijansu. Cauchyjeva distribucija je detaljnije opisana u nastavku. Serija korištena ovdje je "normalizirana" oduzimanjem srednje vrijednosti i dijeljenjem standardnom devijacijom uzorka. Dakle, sve jedinice su izražene u standardnim devijacijama. Za poređenje, koristimo 8.000 Gaussovih slučajnih varijabli koje su normalizirane na sličan način. Važno je shvatiti da će sljedeća dva koraka uvijek završiti sa srednjom vrijednosti 0 i standardnom devijacijom od 1 jer su normalizirani na te vrijednosti. Konvergencija znači da se vremenska serija brzo kreće prema stabilnoj vrijednosti.

Ove dvije dobro poznate distribucije, Cauchyjeva distribucija i normalna distribucija, imaju mnoge primjene. Oni su također jedina dva člana porodice stabilnih distribucija za koje se funkcije gustoće vjerovatnoće mogu eksplicitno izvesti. U svim drugim razlomcima moraju se procijeniti, obično numeričkim sredstvima. O jednoj od ovih metoda ćemo raspravljati u kasnijem dijelu ovog poglavlja.

U 14. poglavlju ispitali smo serijsku standardnu ​​devijaciju i srednju vrijednost američkog tržišta dionica i uporedili ih s vremenskim nizom izvedenim iz Cauchyjeve distribucije. Ovo smo uradili da vidimo efekat beskonačne varijanse i srednje vrednosti na vremensku seriju. Serijska standardna devijacija je standardna devijacija vremenske serije kada se dodaje po jedna

Napravite prvu aproksimaciju Z na u(o,F) uzimajući ponderisani prosjek F kvantila Cauchyjeve i Gaussove raspodjele.

Tabela A3.2 konvertuje rezultate tabele A3.1 u kvantile. Da biste saznali koja F vrijednost objašnjava 99 posto zapažanja za a = 1,0, pomaknite se niz F kolonu lijevo do 0,99 i preko do u = 31,82. Cauchyjeva distribucija zahtijeva opažanja 31,82 vrijednosti od srednje vrijednosti da bi pokrila 99 posto vjerovatnoće. Nasuprot tome, normalan slučaj dostiže nivo od 99 posto pri u=3,29. Ovo se razlikuje od standardnog normalnog slučaja, koji iznosi 2.326 standardnih devijacija umjesto 3.29 s.

P(> (nm)1/2G(n/2) n Kada je n = 1, odgovarajuća raspodjela se naziva Cauchyjeva raspodjela.

Ako je niz stacionaran u širem smislu, onda nije nužno striktno stacionaran. U isto vrijeme, strogo stacionarni niz možda nije stacionaran u širem smislu jednostavno zato što možda nema matematičko očekivanje i/ili disperziju. (U odnosu na ovo drugo, primjer bi bio slučajni uzorak iz Cauchyjeve distribucije.) Osim toga, moguće su situacije kada su ispunjena gornja tri uslova, ali, na primjer, E(X) zavisi od t.

U isto vrijeme, u općem slučaju, čak i ako su neke slučajne varijable X, . .., X su međusobno nezavisni i imaju istu distribuciju, to ne znači da formiraju proces bijelog šuma, jer slučajna varijabla Xt možda jednostavno nema matematičko očekivanje i/ili varijansu (opet možemo ukazati na Cauchyjevu distribuciju kao primjer).

Kada su dva ili više faktora, na primjer radna i materijalna sredstva, uključena u proces proizvodnje robe i pružanja usluga, kao iu naknadnom formiranju novčanih primanja, logična raspodjela ovih potonjih među faktorima općenito se čini nemogućom. Pretpostavljalo se da će se imovina koja se može iskoristiti uskladiti sa neto graničnim prihodima, ali se iznos privatnih graničnih prihoda može pokazati većim od ukupnih neto prihoda od prodaje proizvoda i pružanja usluga.

Takve dugorepe distribucije, posebno u Paretovim podacima, navele su Levyja (1937), francuskog matematičara, da formuliše generalizovanu funkciju gustine, od kojih su normalne distribucije kao i Cauchyjeve distribucije bili posebni slučajevi. Levy je koristio generaliziranu verziju Centralne granične teoreme. Ove distribucije odgovaraju velikoj klasi prirodnih fenomena, ali nisu dobile veliku pažnju zbog svojih neobičnih i naizgled nerešivih problema. Njihove neobične nekretnine i dalje ih čine nepopularnima, ali njihove druge nekretnine su toliko bliske našim rezultatima s tržišta kapitala da ih moramo istražiti. Osim toga, utvrđeno je da su stabilne Lévyjeve distribucije korisne u opisivanju statističkih svojstava turbulentnog toka i l/f buke – a također su fraktalne.

Slika 14.2(a) prikazuje serijsku standardnu ​​devijaciju za te dvije serije. Serijska standardna devijacija, kao i serijski prosjek, je izračun standardne devijacije jer se opažanja dodaju jedno po jedno. U ovom slučaju razlika je još upečatljivija. Nasumični ejad brzo konvergira na standardnu ​​devijaciju od 1. Cauchyjeva raspodjela, nasuprot tome, nikada ne konvergira. Umjesto toga, karakterizira ga nekoliko velikih povremenih skokova i velikih odstupanja od normalizirane vrijednosti 1.

Ovo je logaritam karakteristične funkcije za Cauchyjevu distribuciju, za koju je poznato da ima beskonačnu varijansu i srednju vrijednost. U ovom slučaju, 8 postaje medijan distribucije, a c postaje raspon od sedam interkvartila.

Holt i Row (1973) su pronašli funkcije gustine vjerovatnoće za a = 0,25 do 2,00 i P jednako od -1,00 do +1,00, obje u koracima od 0,25. Metodologija koju su koristili interpolirala je između poznatih distribucija, kao što su Cauchy i normalne distribucije, i integralnog prikaza iz rada Zolotareva (1964/1966). Stolovi pripremljeni za prve

Kao što smo raspravljali u poglavlju 14, eksplicitni izrazi za stabilne distribucije postoje samo za posebne slučajeve normalne i Cauchyjeve distribucije. Međutim, Bergstrom (1952) je razvio proširenje serije koje su Fame and Roll koristili za aproksimaciju gustoće za mnoge vrijednosti alfa. Kada je a > 1.0, mogli bi koristiti Bergstromove rezultate za izvođenje sljedećeg konvergentnog niza

Materijal sa Wikipedije - slobodne enciklopedije

Definicija

Neka je distribucija slučajne varijable $X$ dato gustinom $f\_X(x)$, koji ima oblik:

$f\_X(x)\; =\; \backslash frac(1)(\backslash pi\backslash gamma\; \backslash left)\; =\; (\; 1\; \backslash preko\; \backslash pi)\; \backslash left[\; (\; \backslash gamma\; \backslash preko\; (x\; -\; x\_0)^2\; +\; \backslash gamma^2)\; \backslash desno]$,

• $x\_0\; \backslash in\; \backslash mathbb(R)$- parametar pomaka;
• $\backslash gama\; >\; 0$- parametar skale.

Onda to kažu $X$ ima Cauchy distribuciju i napisan je $X\; \backslash sim\; \backslash mathrm(C)(x\_0,\backslash gamma)$. Ako $x\_0\; =\; 0$ I $\backslash gama\; =\; 1$, onda se takva distribucija zove standard Cauchy distribucija.

Funkcija distribucije

Ovo omogućava generiranje uzorka iz Cauchyjeve distribucije korištenjem metode inverzne transformacije.

Trenuci

nije definisano za $\backslash alpha\; \backslash geqslant\; 1$, niti matematičko očekivanje (iako je integral 1. momenta u smislu glavne vrijednosti jednak: $\backslash lim\backslash limits\_(c\; \backslash rightarrow\; \backslash infty)\; \backslash int\backslash limits\_(-c)^(c)\; x\; \backslash cdot\; (\; 1\; \backslash over\; \backslash pi\; )\; \backslash left[\; (\; \backslash gamma\; \backslash over\; (x\; -\; x\_0)^2\; +\; \backslash \; gama^2\; )\; \backslash desno]\backslash ,\; dx\; =\; x\_0$), ni disperzija ni momenti višeg reda ove raspodjele nisu određeni. Ponekad kažu da je matematičko očekivanje nedefinisano, ali da je varijansa beskonačna.

Ostale nekretnine

• Cauchyjeva raspodjela je beskonačno djeljiva.
• Cauchyjeva distribucija je stabilna. Konkretno, srednja vrijednost uzorka uzorka iz standardne Cauchyjeve distribucije sama po sebi ima standardnu ​​Cauchyjevu distribuciju: if $X\_1,\backslash ldots,\; X\_n\; \backslash sim\; \backslash mathrm(C)(0,1)$, To

Odnos sa drugim distribucijama

• Ako $U\backslash sim\; U$, To

• Ako $X\_1,X\_2$ su nezavisne normalne slučajne varijable takve da $X\_i\; \backslash sim\; \backslash mathrm(N)(0,1),\backslash ;\; i=1.2$, To

• Standardna Cauchyjeva distribucija je poseban slučaj Studentove distribucije:

Pojava u praktičnim problemima

• Cauchyjeva raspodjela karakterizira dužinu odsječenog segmenta na x-osi prave linije fiksirane u tački na osi ordinata, ako ugao između prave i ordinatne ose ima jednoliku distribuciju na intervalu (−π π) (tj. pravac je izotropan na ravni).
• U fizici, Cauchyjeva distribucija (koja se naziva i Lorentzov oblik) opisuje profile jednoliko proširenih spektralnih linija.
• Cauchyjeva raspodjela opisuje amplitudno-frekventne karakteristike linearnih oscilatornih sistema u blizini rezonantnih frekvencija.

Napišite recenziju o članku "Cauchy distribucija"

Odlomak koji karakterizira Cauchyjevu distribuciju

Jauci i požari u neprijateljskoj vojsci nastali su jer dok se Napoleonova naredba čitala među trupama, sam car je jahao oko svojih bivaka na konju. Vojnici su, ugledavši cara, zapalili snopove slame i vičući: vive l "empereur! potrčali za njim. Napoleonova naredba je bila sljedeća:
“Vojnici! Ruska vojska izlazi na vas da osveti austrijsku, Ulmsku vojsku. To su isti bataljoni koje ste porazili kod Golabruna i koje ste od tada neprestano progonili do ovog mjesta. Položaji koje zauzimamo su moćni, i dok oni krenu da me boknu sa desne strane, razotkriće moj bok! Vojnici! Ja ću lično voditi vaše bataljone. Ostaću daleko od vatre ako svojom uobičajenom hrabrošću unesete nered i pometnju u neprijateljske redove; ali ako je pobjeda u nedoumici makar i jedan minut, vidjet ćete svog cara izloženog prvim neprijateljskim udarima, jer u pobjedu ne može biti sumnje, posebno na dan u kojem je čast francuske pješadije, koja je tako neophodan za čast njegove nacije, u pitanju.

CAUCHY DISTRIBUCIJA, raspodjela vjerovatnoće slučajne varijable X koja ima gustinu

gdje je - ∞< μ < ∞ и λ>0 - parametri. Cauchyjeva raspodjela je unimodalna i simetrična u odnosu na tačku x = μ, koja je mod i medijan ove distribucije [Slike a i b prikazuju grafike gustine p(x; λ, μ) i odgovarajuće funkcije distribucije F (x λ, μ) za μ =1 ,5 i λ = 1]. Matematičko očekivanje Cauchyjeve distribucije ne postoji. Karakteristična funkcija Cauchyjeve raspodjele jednaka je e iμt - λ|t| , - ∞< t < ∞. Произвольное Коши распределение с параметрами μ и λ выражается через стандартное Коши распределение с параметрами 0 и 1 формулой

Ako nezavisne slučajne varijable X 1,...,X n imaju istu Cauchyjevu distribuciju, onda njihova aritmetička sredina (X 1 + ... + X n)/n za bilo koje n = 1,2, ... ima istu distribuciju ; ovu činjenicu utvrdio je S. Poisson (1830). Cauchyjeva distribucija je stabilna distribucija. Odnos X/Y nezavisnih slučajnih varijabli X i Y sa standardnom normalnom distribucijom ima Cauchyjevu distribuciju sa parametrima 0 i 1. Distribucija tangente tan Z slučajne varijable Z, sa uniformnom distribucijom na intervalu [-π /2, π/2], takođe ima Cauchy distribuciju sa parametrima 0 i 1. Cauchy distribuciju je razmatrao O. Cauchy (1853).

Fizička enciklopedija

CAUCHY DISTRIBUTION

CAUCHY DISTRIBUTION

Distribucija vjerovatnoće sa gustinom

i funkciju distribucije

Shift parametar, >0 - parametar skale. Recenzirao O. Cauchy 1853. godine. Karakteristična funkcija K.r. jednako exp ; trenuci reda R 1 ne postoji, dakle zakon velikih brojeva za K. r. nije izvršeno [if X 1 ..., X n su nezavisne slučajne varijable sa istim K. r., onda n -1 (X 1 + ... + X n) ima isti K. r.]. Porodica K. b. je zatvoren pod linearnim transformacijama: ako je slučajna varijabla X onda ima distribuciju (*). aX+b također ima K. r. sa parametrima , . K.r.- održiva distribucija sa eksponentom 1, simetrično oko tačke x=. K.r. ima, na primjer, odnos X/Y nezavisne normalno raspoređene slučajne varijable sa nultim srednjim vrednostima, kao i funkcija , gde je slučajna varijabla Z ravnomerno raspoređeni . Razmatraju se i višedimenzionalni analozi K. r.

Lit.: Feller V., Uvod u teoriju vjerojatnosti i njene primjene, trans. sa engleskog, tom 2, M., 1984.

• - površina koja je granica područja uzročne predvidljivosti fizičkog. pojave u budućnosti na početku. podaci dati na određenoj trodimenzionalnoj površini nalik na prostor...

  Fizička enciklopedija

• - problem nalaženja rješenja za diferencijale. nivo koji zadovoljava početak. uslovima. Smatrao ga je 1823-24 O. Cauchy...

  Fizička enciklopedija

• - integral f-la, koji izražava vrijednost analitičke funkcije f u tački koja leži unutar zatvorene konture koja ne sadrži karakteristike f, kroz njene vrijednosti ​​​na ovoj konturi: ...

  Fizička enciklopedija

• - ...

  Etnografski pojmovi

• - vidi Učestalost distribucije...

  Medicinski termini

• - Augustin Louis, baron, francuski matematičar, tvorac kompleksne analize. Razvijajući EULER-ove ideje, formalizirao je mnoge koncepte matematičkog RAČUNA...

  Naučno-tehnički enciklopedijski rečnik

• - poznati francuski matematičar. Njegov prvi učitelj i vaspitač bio je njegov otac, strastveni latinista i revni katolik. Sa 13 godina, Augustin K. je raspoređen u centralnu školu...

  Enciklopedijski rječnik Brockhausa i Euphrona

• - Augustin Louis, francuski matematičar, član Pariske akademije nauka. Završio Ecole Polytechnique i Školu za mostove i puteve u Parizu. 1810-13 radio je kao inženjer u Cherbourgu...
• - jedan od glavnih problema teorije diferencijalnih jednačina, koji je prvi sistematski proučavao O. Cauchy. Sastoji se od pronalaženja rješenja u...

  Velika sovjetska enciklopedija

• - integral forme...

  Velika sovjetska enciklopedija

• - nejednakost za konačne sume, koja ima oblik: ...

  Velika sovjetska enciklopedija

• - poseban tip distribucije vjerovatnoće slučajnih varijabli. Uveo O. Cauchy; karakterizira gustina p = 0...

  Velika sovjetska enciklopedija

• - Augustin Louis, francuski matematičar. Jedan od osnivača teorije funkcija. Radi na teoriji diferencijalnih jednadžbi, matematičkoj fizici, teoriji brojeva, geometriji...

  Moderna enciklopedija

• - RIEMANNOVE JEDNAČINE - diferencijalne jednadžbe sa parcijalnim derivatima 1. reda, povezujući realne i imaginarne dijelove analitičke funkcije kompleksne varijable...
• - jedan od glavnih problema teorije diferencijalnih jednadžbi. Sastoji se u pronalaženju rješenja takve jednačine koja zadovoljava tzv. početni uslovi...

  Veliki enciklopedijski rečnik

• - imenica, broj sinonima: 1 cipele...

  Rečnik sinonima

"CACHY DISTRIBUTION" u knjigama

Distribucija