Izračunavamo zbir uglova i površine paralelograma: svojstva i karakteristike. Definicija paralelograma i njegovih svojstava Dokaz osobina suprotnih stranica i uglova paralelograma

Tema lekcije

• Svojstva dijagonala paralelograma.

Ciljevi lekcije

• Upoznajte se s novim definicijama i prisjetite se nekih već proučenih.
• Navedite i dokažite svojstva dijagonala paralelograma.
• Naučite primijeniti svojstva oblika prilikom rješavanja problema.
• Razvojni – razvijati pažnju učenika, upornost, upornost, logičko mišljenje, matematički govor.
• Edukativni - kroz nastavu njegovati pažljiv odnos jedni prema drugima, usaditi sposobnost slušanja drugova, međusobnog pomaganja i samostalnosti.

Ciljevi lekcije

• Testirajte učenikove vještine rješavanja problema.

Plan lekcije

1. Uvod.
2. Ponavljanje prethodno proučenog materijala.
3. Paralelogram, njegova svojstva i karakteristike.
4. Primjeri zadataka.
5. Samoprovjera.

Uvod

“Veliko naučno otkriće pruža rješenje za veliki problem, ali u rješenju svakog problema postoji zrno otkrića.”

Svojstvo suprotnih strana paralelograma

Paralelogram ima suprotne stranice koje su jednake.

Dokaz.

Neka je ABCD dati paralelogram. I neka se njegove dijagonale sijeku u tački O.
Pošto je Δ AOB = Δ COD po prvom kriterijumu jednakosti trouglova (∠ AOB = ∠ COD, kao vertikalnih, AO=OC, DO=OB, po svojstvu dijagonala paralelograma), onda je AB=CD. Na isti način, iz jednakosti trouglova BOC i DOA, slijedi da je BC = DA. Teorema je dokazana.

Svojstvo suprotnih uglova paralelograma

U paralelogramu su suprotni uglovi jednaki.

Dokaz.

Neka je ABCD dati paralelogram. I neka se njegove dijagonale sijeku u tački O.
Iz onoga što je dokazano u teoremi o osobinama suprotnih strana paralelograma Δ ABC = Δ CDA na tri strane (AB=CD, BC=DA iz dokazanog, AC – generalno). Iz jednakosti trouglova slijedi da je ∠ ABC = ∠ CDA.
Također je dokazano da je ∠ DAB = ∠ BCD, što slijedi iz ∠ ABD = ∠ CDB. Teorema je dokazana.

Svojstvo dijagonala paralelograma

Dijagonale paralelograma se sijeku i dijele se na pola u tački sjecišta.

Dokaz.

Neka je ABCD dati paralelogram. Nacrtajmo dijagonalu AC. Označimo na njemu sredinu O. Na nastavku segmenta DO ostavićemo segment OB 1 jednak DO.
Prema prethodnoj teoremi, AB 1 CD je paralelogram. Dakle, prava AB 1 je paralelna sa DC. Ali kroz tačku A može se povući samo jedna prava paralelna sa DC. To znači da se pravac AB 1 poklapa sa pravom AB.
Također je dokazano da se BC 1 poklapa sa BC. To znači da se tačka C poklapa sa C 1. paralelogram ABCD se poklapa sa paralelogramom AB 1 CD. Posljedično, dijagonale paralelograma se sijeku i dijele se na pola u tački sjecišta. Teorema je dokazana.

U udžbenicima za redovne škole (na primjer, u Pogorelovu) to se dokazuje ovako: dijagonale dijele paralelogram na 4 trougla. Razmotrimo jedan par i saznajmo - oni su jednaki: njihove baze su suprotne strane, odgovarajući uglovi uz njega su jednaki, poput vertikalnih uglova sa paralelnim linijama. To jest, segmenti dijagonala su jednaki u parovima. Sve.

Da li je to sve?
Gore je dokazano da tačka preseka deli dijagonale - ako postoji. Gore navedeno rezonovanje ni na koji način ne dokazuje samo njegovo postojanje. To jest, dio teoreme „dijagonale paralelograma se sijeku“ ostaje nedokazan.

Smiješno je što je ovaj dio mnogo teže dokazati. Ovo, inače, slijedi iz općenitijeg rezultata: svaki konveksni četverokut će imati dijagonale koje se sijeku, ali svaki nekonveksni četverokut neće.

O jednakosti trokuta duž stranice i dva susjedna ugla (drugi znak jednakosti trokuta) i dr.

Tales je našao važnu praktičnu primjenu na teoremu o jednakosti dva trokuta duž jedne stranice i dva susjedna ugla. U luci Mileta izgrađen je daljinomjer za određivanje udaljenosti do broda na moru. Sastojao se od tri zabijena klina A, B i C (AB = BC) i označene prave linije SC, okomite na CA. Kada se brod pojavio na pravoj liniji SK, našli smo tačku D takvu da su tačke D, .B i E bile na istoj pravoj liniji. Kao što je jasno iz crteža, udaljenost CD na tlu je željena udaljenost do broda.

Pitanja

1. Jesu li dijagonale kvadrata podijeljene na pola točkom presjeka?
   
2. Jesu li dijagonale paralelograma jednake?
3. Da li su suprotni uglovi paralelograma jednaki?
4. Navedite definiciju paralelograma?
5. Koliko znakova ima paralelogram?
   
6. Može li romb biti paralelogram?
   

Spisak korištenih izvora

1. Kuznjecov A.V., nastavnik matematike (5-9 razredi), Kijev
2. “Jedinstveni državni ispit 2006. Matematika. Edukativni materijali i materijali za obuku za pripremu studenata / Rosobrnadzor, ISOP - M.: Intellekt-Centar, 2006"
3. Mazur K. I. “Rješavanje glavnih takmičarskih zadataka iz matematike zbirke koju je uredio M. I. Skanavi”
4. L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, E. G. Poznyak, I. I. Yudina “Geometrija, 7 – 9: udžbenik za obrazovne ustanove”

Radili smo na lekciji

Kuznjecov A.V.

Poturnak S.A.

Evgeniy Petrov

Možete postaviti pitanje o modernom obrazovanju, izraziti ideju ili riješiti gorući problem na Obrazovni forum, gdje se obrazovno vijeće svježe misli i djelovanja sastaje na međunarodnom nivou. Nakon što je stvorio blog, Ne samo da ćete poboljšati svoj status kompetentnog nastavnika, već ćete dati značajan doprinos razvoju škole budućnosti. Ceh obrazovnih lidera otvara vrata vrhunskim stručnjacima i poziva ih na saradnju u stvaranju najboljih škola na svijetu.

Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane paralelne u parovima. Ova definicija je već dovoljna, budući da preostala svojstva paralelograma slijede iz nje i dokazuju se u obliku teorema.

Glavna svojstva paralelograma su:

• paralelogram je konveksan četvorougao;
• Paralelogram ima suprotne strane koje su jednake u parovima;
• U paralelogramu, suprotni uglovi su jednaki u parovima;
• Dijagonale paralelograma podijeljene su na pola točkom presjeka.

Paralelogram - konveksan četvorougao

Hajde da prvo dokažemo teoremu da paralelogram je konveksan četvorougao. Poligon je konveksan ako se bilo koja njegova strana produži na pravu liniju, sve ostale strane poligona će biti na istoj strani ove prave linije.

Neka je zadan paralelogram ABCD, u kojem je AB suprotna strana za CD, a BC suprotna strana za AD. Tada iz definicije paralelograma slijedi da je AB || CD, BC || A.D.

Paralelni segmenti nemaju zajedničkih tačaka i ne seku se. To znači da CD leži na jednoj strani AB. Pošto segment BC povezuje tačku B segmenta AB sa tačkom C segmenta CD, a segment AD povezuje druge tačke AB i CD, segmenti BC i AD takođe leže na istoj strani prave AB na kojoj leži CD. Dakle, sve tri strane - CD, BC, AD - leže na istoj strani AB.

Slično, dokazano je da u odnosu na druge strane paralelograma, ostale tri stranice leže na istoj strani.

Suprotne strane i uglovi su jednaki

Jedno od svojstava paralelograma je da U paralelogramu su suprotne strane i suprotni uglovi jednaki u paru. Na primjer, ako je dat paralelogram ABCD, onda ima AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Ova teorema se dokazuje na sljedeći način.

Paralelogram je četverougao. To znači da ima dvije dijagonale. Budući da je paralelogram konveksan četverougao, bilo koji od njih ga dijeli na dva trokuta. U paralelogramu ABCD razmotrite trouglove ABC i ADC dobijene crtanjem dijagonale AC.

Ovi trouglovi imaju jednu zajedničku stranu - AC. Ugao BCA jednak je kutu CAD, kao i vertikalni kada su BC i AD paralelni. Uglovi BAC i ACD su takođe jednaki vertikalnim uglovima kada su AB i CD paralelni. Dakle, ∆ABC = ∆ADC pod dva ugla i stranicom između njih.

U ovim trouglovima, stranica AB odgovara strani CD, a stranica BC odgovara AD. Dakle, AB = CD i BC = AD.

Ugao B odgovara uglu D, tj. ∠B = ∠D. Ugao A paralelograma je zbir dva ugla - ∠BAC i ∠CAD. Ugao C je jednak ∠BCA i ∠ACD. Pošto su parovi uglova međusobno jednaki, onda je ∠A = ∠C.

Dakle, dokazano je da su u paralelogramu suprotne strane i uglovi jednaki.

Dijagonale su podijeljene na pola

Pošto je paralelogram konveksan četverougao, ima dvije dijagonale i one se sijeku. Neka je zadan paralelogram ABCD, njegove dijagonale AC i BD se sijeku u tački E. Razmotrimo trouglove ABE i CDE koje oni formiraju.

Ovi trouglovi imaju stranice AB i CD jednake suprotnim stranama paralelograma. Ugao ABE jednak je uglu CDE jer poprečno leži sa paralelnim pravima AB i CD. Iz istog razloga, ∠BAE = ∠DCE. To znači ∆ABE = ∆CDE pod dva ugla i stranicom između njih.

Također možete primijetiti da su uglovi AEB i CED vertikalni i stoga jednaki jedan drugom.

Kako su trouglovi ABE i CDE jednaki jedan drugom, onda su i svi njihovi odgovarajući elementi jednaki. Strana AE prvog trokuta odgovara strani CE drugog, što znači AE = CE. Slično BE = DE. Svaki par jednakih segmenata čini dijagonalu paralelograma. Tako je dokazano da Dijagonale paralelograma su prepolovljene njihovom presječnom točkom.

Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane paralelne, odnosno leže na paralelnim pravima (slika 1).

Teorema 1. O svojstvima stranica i uglova paralelograma. U paralelogramu su suprotne strane jednake, suprotni uglovi jednaki, a zbir uglova susednih jednoj strani paralelograma je 180°.

Dokaz. U ovom paralelogramu ABCD nacrtamo dijagonalu AC i dobijemo dva trougla ABC i ADC (slika 2).

Ovi trouglovi su jednaki, jer je ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (unakrsni uglovi za paralelne prave), a stranica AC je zajednička. Iz jednakosti Δ ABC = Δ ADC slijedi da je AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Zbir uglova susednih jednoj strani, na primjer uglova A i D, jednak je 180° kao jednostran za paralelne prave. Teorema je dokazana.

Komentar. Jednakost suprotnih strana paralelograma znači da su segmenti paralela odsječeni paralelogramima jednaki.

Posledica 1. Ako su dve prave paralelne, onda su sve tačke na jednoj pravoj na istoj udaljenosti od druge prave.

Dokaz. Zaista, neka || b (slika 3).

Nacrtajmo okomite BA i CD na pravu a iz neke dvije tačke B i C prave b. Od AB || CD, tada je figura ABCD paralelogram, i prema tome AB = CD.

Udaljenost između dvije paralelne prave je udaljenost od proizvoljne tačke na jednoj od pravih do druge prave.

Prema onome što je dokazano, jednaka je dužini okomice povučene iz neke tačke jedne od paralelnih pravih do druge prave.

Primjer 1. Opseg paralelograma je 122 cm, jedna od njegovih stranica je 25 cm veća od druge. Pronađite stranice paralelograma.

Rješenje. Prema teoremi 1, suprotne strane paralelograma su jednake. Označimo jednu stranu paralelograma sa x, a drugu sa y. Zatim, pod uslovom $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Rješavanjem ovog sistema dobijamo x = 43, y = 18 Dakle, stranice paralelograma su 18, 43, 18 i 43 cm.

Primjer 2.

Rješenje. Neka slika 4 ispunjava uslove zadatka.

Označimo AB sa x, a BC sa y. Prema uslovu, obim paralelograma je 10 cm, odnosno 2(x + y) = 10, odnosno x + y = 5. Obim trougla ABD je 8 cm. A kako je AB + AD = x + y = 5 onda BD = 8 - 5 = 3. Dakle BD = 3 cm.

Primjer 3. Pronađite uglove paralelograma, znajući da je jedan od njih za 50° veći od drugog.

Rješenje. Neka slika 5 ispunjava uslove zadatka.

Označimo stepensku mjeru ugla A sa x. Tada je stepen stepena ugla D x + 50°.

Uglovi BAD i ADC su jednostrani unutrašnji uglovi sa paralelnim linijama AB i DC i sekantom AD. Tada će zbir ovih imenovanih uglova biti 180°, tj.
x + x + 50° = 180°, ili x = 65°. Dakle, ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Primjer 4. Stranice paralelograma su 4,5 dm i 1,2 dm. Iz vrha oštrog ugla povučena je simetrala. Na koje dijelove dijeli veću stranu paralelograma?

Rješenje. Neka slika 6 ispunjava uslove zadatka.

AE je simetrala oštrog ugla paralelograma. Dakle, ∠ 1 = ∠ 2.

Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane paralelne u parovima. Površina paralelograma jednaka je umnošku njegove osnove (a) i visine (h). Također možete pronaći njegovu površinu kroz dvije strane i ugao i kroz dijagonale.

Svojstva paralelograma

1. Suprotne strane su identične

Prije svega, nacrtajmo dijagonalu \(AC\) . Dobijamo dva trougla: \(ABC\) i \(ADC\).

Budući da je \(ABCD\) paralelogram, vrijedi sljedeće:

\(AD || BC \Strelica desno \ugao 1 = \ugao 2\) kao ležanje popreko.

\(AB || CD \Strelica desno \ugao3 = \ugao 4\) kao ležanje popreko.

Dakle, (prema drugom kriteriju: i \(AC\) je uobičajen).

A to znači \(\trokut ABC = \trokut ADC\), zatim \(AB = CD\) i \(AD = BC\) .

2. Suprotni uglovi su identični

Prema dokazu svojstva 1 Znamo to \(\ugao 1 = \ugao 2, \ugao 3 = \ugao 4\). Dakle, zbir suprotnih uglova je: \(\ugao 1 + \ugao 3 = \ugao 2 + \ugao 4\). S obzirom na to \(\trokut ABC = \trokut ADC\) dobijamo \(\ugao A = \ugao C \) , \(\ugao B = \ugao D \) .

3. Dijagonale su podijeljene na pola presječnom točkom

By imovina 1 znamo da su suprotne strane identične: \(AB = CD\) . Još jednom zabilježite poprečno ležeći jednake uglove.

Stoga je jasno da \(\trokut AOB = \trokut COD\) prema drugom znaku jednakosti trokuta (dva ugla i stranica između njih). To jest, \(BO = OD\) (nasuprot uglovima \(\ugao 2\) i \(\ugao 1\) ) i \(AO = OC\) (nasuprot uglovima \(\ugao 3\) i \( \ugao 4\) respektivno).

Znakovi paralelograma

Ako je u vašem problemu prisutna samo jedna karakteristika, onda je figura paralelogram i možete koristiti sva svojstva ove figure.

Za bolje pamćenje, imajte na umu da će znak paralelograma odgovoriti na sljedeće pitanje - "kako saznati?". Odnosno, kako saznati da je data figura paralelogram.

1. Paralelogram je četverougao čije su dvije stranice jednake i paralelne

\(AB = CD\) ; \(AB || CD \Rightarrow ABCD\)- paralelogram.

Pogledajmo izbliza. Zašto \(AD || BC \) ?

\(\trokut ABC = \trokut ADC\) By imovina 1: \(AB = CD \) , \(\ugao 1 = \ugao 2 \) ležeći poprečno kada su \(AB \) i \(CD \) i sekansa \(AC \) paralelni.

Ali ako \(\trokut ABC = \trokut ADC\), tada \(\ugao 3 = \ugao 4 \) (leže nasuprot \(AD || BC \) (\(\ugao 3 \) i \(\ugao 4 \) - oni koji leže poprečno su takođe jednaki).

Prvi znak je tačan.

2. Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane jednake

\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) je paralelogram.

Razmotrimo ovaj znak. Nacrtajmo ponovo dijagonalu \(AC\).

By imovina 1\(\trokut ABC = \trokut ACD\).

Iz toga slijedi da: \(\ugao 1 = \ugao 2 \Rightarrow AD || BC \) I \(\ugao 3 = \ugao 4 \Rightarrow AB || CD \), odnosno \(ABCD\) je paralelogram.

Drugi znak je tačan.

3. Paralelogram je četverougao čiji su suprotni uglovi jednaki

\(\ugao A = \ugao C\) , \(\ugao B = \ugao D \Strelica desno ABCD\)- paralelogram.

\(2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) \)(pošto je \(\ugao A = \ugao C\) , \(\ugao B = \ugao D\) po uslovu).

Ispostavilo se, . Ali \(\alpha \) i \(\beta \) su unutrašnje jednostrane na sekanti \(AB \) .

I šta \(\alpha + \beta = 180^(\circ) \) također kaže da \(AD || BC \) .

Dokaz

Prije svega, nacrtajmo dijagonalu AC. Dobijamo dva trougla: ABC i ADC.

Kako je ABCD paralelogram, vrijedi sljedeće:

AD || BC \Strelica udesno \ugao 1 = \ugao 2 kao ležanje popreko.

AB || CD\Strelica desno\ugao3 =\ugao 4 kao ležanje popreko.

Dakle, \trougao ABC = \trougao ADC (prema drugom kriterijumu: a AC je uobičajen).

I, prema tome, \trougao ABC = \trougao ADC, zatim AB = CD i AD = BC.

Dokazan!

2. Suprotni uglovi su identični.

Dokaz

Prema dokazu svojstva 1 Znamo to \ugao 1 = \ugao 2, \ugao 3 = \ugao 4. Dakle, zbir suprotnih uglova je: \ugao 1 + \ugao 3 = \ugao 2 + \ugao 4. S obzirom da je \trougao ABC = \trougao ADC dobijamo \ugao A = \ugao C , \ugao B = \ugao D .

Dokazan!

3. Dijagonale su podijeljene na pola presječnom točkom.

Dokaz

Nacrtajmo još jednu dijagonalu.

By imovina 1 znamo da su suprotne strane identične: AB = CD. Još jednom zabilježite poprečno ležeći jednake uglove.

Dakle, jasno je da je \trokut AOB = \trokut COD prema drugom kriteriju jednakosti trokuta (dva ugla i stranica između njih). To jest, BO = OD (nasuprot uglovima \ugao 2 i \ugao 1) i AO = OC (nasuprot uglovima \ugao 3 i \ugao 4, respektivno).

Dokazan!

Znakovi paralelograma

Ako je u vašem problemu prisutna samo jedna karakteristika, onda je figura paralelogram i možete koristiti sva svojstva ove figure.

Za bolje pamćenje, imajte na umu da će znak paralelograma odgovoriti na sljedeće pitanje - "kako saznati?". Odnosno, kako saznati da je data figura paralelogram.

1. Paralelogram je četverougao čije su dvije stranice jednake i paralelne.

AB = CD ; AB || CD\Rightarrow ABCD je paralelogram.

Dokaz

Pogledajmo izbliza. Zašto AD || BC?

\trougao ABC = \trougao ADC po imovina 1: AB = CD, AC - zajednički i \ugao 1 = \ugao 2 koji leži poprečno sa paralelnim AB i CD i sekantom AC.

Ali ako je \trougao ABC = \trougao ADC, onda \ugao 3 = \ugao 4 (leži nasuprot AB i CD, respektivno). I stoga AD || BC (\ugao 3 i \ugao 4 - oni koji leže poprečno su također jednaki).

Prvi znak je tačan.

2. Paralelogram je četverougao čije su suprotne strane jednake.

AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD je paralelogram.

Dokaz

Razmotrimo ovaj znak. Ponovo nacrtajmo dijagonalu AC.

By imovina 1\trougao ABC = \trougao ACD .

Iz toga slijedi da: \ugao 1 = \ugao 2 \desno AD || B.C. I \ugao 3 = \ugao 4 \desno AB || CD, odnosno ABCD je paralelogram.

Drugi znak je tačan.

3. Paralelogram je četverougao čiji su suprotni uglovi jednaki.

\ugao A = \ugao C , \ugao B = \ugao D \Strelica desno ABCD- paralelogram.

Dokaz

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(pošto je ABCD četvorougao, a \ugao A = \ugao C , \ugao B = \ugao D po uslovu).

Ispada da je \alpha + \beta = 180^(\circ) . Ali \alpha i \beta su unutrašnje jednostrane na sekanti AB.

A činjenica da je \alpha + \beta = 180^(\circ) također znači da je AD || B.C.

Štaviše, \alpha i \beta su unutrašnje jednostrane na sekanti AD . A to znači AB || CD.

Treći znak je tačan.

4. Paralelogram je četvorougao čije su dijagonale tačkom preseka podeljene na pola.

AO = OC ; BO = OD\Desni strelast paralelogram.

Dokaz

BO = OD; AO = OC , \ugao 1 = \ugao 2 kao okomito \Rightarrow \trokut AOB = \trokut COD, \Strelica udesno \ugao 3 = \ugao 4, i \Rightarrow AB || CD.

Slično BO = OD; AO = OC, \ugao 5 = \ugao 6 \Strelica desno \trokut AOD = \trokut BOC \Strelica desno \ugao 7 = \ugao 8, i \Rightarrow AD || B.C.

Četvrti znak je tačan.