Izračunavanje granica funkcije s detaljnim rješenjem. Ograničenje redoslijeda i funkcije

Rješavanje zadataka na pronalaženju granica Prilikom rješavanja problema na pronalaženju granica treba zapamtiti neke granice kako ih ne biste svaki put preračunavali. Kombinujući ove poznate granice, naći ćemo nove granice koristeći svojstva navedena u § 4. Radi praktičnosti, predstavljamo najčešće nailazeće granice: Granice 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -o X 6 lim f(x) = f(a), ako je f (x) neprekidna x a Ako je poznato da je funkcija kontinuirana, onda umjesto nalaženja granice, izračunavamo vrijednost funkcije. Primjer 1. Pronađite lim (x*-6l:+ 8). Pošto je funkcija višečlana X->2 kontinualna, onda je lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Primjer 2. Pronađite lim -G. . Prvo, nalazimo granicu nazivnika: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; nije jednako X-Y1 nuli, što znači da možemo primijeniti svojstvo 4 § 4, zatim x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. Granica imenilac X X je jednak nuli, stoga se ne može primijeniti svojstvo 4 iz § 4. Pošto je brojilac konstantan broj, a imenilac [x2x) -> -0 za x - - 1, tada se cijeli razlomak neograničeno povećava u apsolutna vrijednost, tj. lim " 1 X - * - - 1 x* + x Primjer 4. Pronađite lim\-ll*"!"" "Granica nazivnika je nula: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, tako da X svojstvo 4 § 4 nije primenljivo. Ali granica brojila je također jednaka nuli: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Dakle, granice brojnika i nazivnika su istovremeno jednake nuli. Međutim, broj 2 je korijen i brojnika i nazivnika, tako da se razlomak može smanjiti za razliku x-2 (prema Bezoutovom teoremu). U stvari, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" dakle, xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Primjer 5. Pronađite lim xn (n cijeli broj, pozitivan). X sa Imamo xn = X* X . . X, n puta Pošto svaki faktor raste neograničeno, proizvod takođe raste neograničeno, tj. lim xn=oo. x oo Primjer 6. Pronađite lim xn(n cijeli broj, pozitivan). X -> - CO Imamo xn = x x... x. Budući da svaki faktor raste u apsolutnoj vrijednosti dok ostaje negativan, u slučaju parnog stepena proizvod će rasti neograničeno dok ostaje pozitivan, tj. lim *n = + oo (za paran n). *-* -o U slučaju neparnog stepena, apsolutna vrijednost proizvoda raste, ali ostaje negativna, tj. lim xn = - oo (za n neparan). p -- 00 Primjer 7. Pronađite lim. x x-*- co * Ako je m>pu onda možemo napisati: m = n + kt gdje je k>0. Stoga xm b lim -=- = lim -=-= lim x. UP Yn x - x> A x yu Došli smo do primjera 6. Ako ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co Ovdje brojilac ostaje konstantan, a nazivnik raste u apsolutnoj vrijednosti, tako da je lim -ʹ = 0. X - *oo X* Preporučljivo je zapamtiti rezultat ovog primjera u sljedeći oblik: Funkcija stepena raste brže, što je veći eksponent. $hv_Zhg + 7 Primjer 8. Pronađite lim g L -g-=. U ovom primjeru x-*® «J* "G bH -oh-o i brojnik i imenilac rastu bez ograničenja. Podijelimo i brojilac i nazivnik najvećim stepenom x, tj. na xb, zatim 3 7_ Primjer 9. Pronađite liru... Izvodeći transformacije, dobijamo liru... ^ = lim X CO + 3 7 3 Pošto je lim -5 = 0, lim - , = 0 , tada je granica nazivnika rad-*® X X-+-CD X nula, dok je granica brojila 1. Posljedično, cijeli razlomak raste neograničeno, tj. t. 7x hm X-+ yu Primjer 10. Pronađite lim Izračunajmo granicu S nazivnika, imajući na umu da je cos*-funkcija kontinuirana: lira (2 + cos x) = 2 + cozy = 2. Tada je x->- S lim (l-fsin*) Primjer 15. Pronađite lim *<*-e>2 i lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO pritisnite (l: - a)2 = z; pošto (Λ;-a)2 uvek raste nenegativno i bez ograničenja sa x, onda za x - ±oo nova varijabla z-*oc. Stoga dobijamo qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim eg = oo (vidi napomenu uz §5). g -*■ co Slično lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, pošto x ± oo g m - (x- a)z opada bez ograničenja kao x ->±oo (vidi napomenu uz §

Ograničenja zadaju svim studentima matematike mnogo problema. Da biste riješili ograničenje, ponekad morate upotrijebiti mnogo trikova i izabrati iz raznih metoda rješenja upravo onu koja je prikladna za određeni primjer.

U ovom članku nećemo vam pomoći da shvatite granice svojih mogućnosti ili da shvatite granice kontrole, već ćemo pokušati odgovoriti na pitanje: kako razumjeti granice u višoj matematici? Razumijevanje dolazi s iskustvom, pa ćemo istovremeno dati nekoliko detaljnih primjera rješavanja granica sa objašnjenjima.

Koncept granice u matematici

Prvo pitanje je: koja je to granica i granica čega? Možemo govoriti o granicama numeričkih nizova i funkcija. Zanima nas pojam granice funkcije, jer se s tim studenti najčešće susreću. Ali prvo, najopćenitija definicija granice:

Recimo da postoji neka vrijednost varijable. Ako se ova vrijednost u procesu promjene neograničeno približi određenom broju a , To a – granica ove vrijednosti.

Za funkciju definiranu u određenom intervalu f(x)=y takav broj se zove limit A , kojoj funkcija teži kada X , težeći određenoj tački A . Dot A pripada intervalu na kojem je funkcija definirana.

Zvuči glomazno, ali je napisano vrlo jednostavno:

Lim- sa engleskog limit- limit.

Postoji i geometrijsko objašnjenje za određivanje granice, ali ovdje nećemo ulaziti u teoriju, jer nas više zanima praktična, a ne teorijska strana problema. Kada to kažemo X teži nekoj vrijednosti, to znači da varijabla ne poprima vrijednost broja, već joj se približava beskonačno blizu.

Navedimo konkretan primjer. Zadatak je pronaći granicu.

Da bismo riješili ovaj primjer, zamjenjujemo vrijednost x=3 u funkciju. Dobijamo:

Usput, ako ste zainteresirani, pročitajte poseban članak na ovu temu.

U primjerima X može težiti bilo kojoj vrijednosti. Može biti bilo koji broj ili beskonačnost. Evo primjera kada X teži beskonačnosti:

Intuitivno, što je veći broj u nazivniku, to će funkcija imati manju vrijednost. Dakle, sa neograničenim rastom X značenje 1/x će se smanjiti i približiti nuli.

Kao što vidite, da biste riješili ograničenje, samo trebate zamijeniti vrijednost kojoj težite u funkciju X . Međutim, ovo je najjednostavniji slučaj. Često pronalaženje granice nije tako očigledno. Unutar granica postoje nesigurnosti tipa 0/0 ili beskonačnost/beskonačnost . Šta učiniti u takvim slučajevima? Pribjegavajte trikovima!

Neizvjesnosti unutar

Nesigurnost oblika beskonačnost/beskonačnost

Neka postoji granica:

Ako pokušamo zamijeniti beskonačnost u funkciju, dobićemo beskonačnost i u brojniku i u nazivniku. Općenito, vrijedi reći da postoji određeni element umjetnosti u rješavanju takvih nesigurnosti: morate primijetiti kako možete transformirati funkciju na takav način da nesigurnost nestane. U našem slučaju, brojilac i nazivnik dijelimo sa X u višem stepenu. Šta će se desiti?

Iz prethodnog primjera, znamo da će članovi koji sadrže x u nazivniku težiti nuli. Tada je rješenje granice:

Za rješavanje nesigurnosti tipa beskonačnost/beskonačnost podijeliti brojilac i imenilac sa X do najvišeg stepena.

Između ostalog! Za naše čitaoce sada postoji popust od 10%.

Druga vrsta nesigurnosti: 0/0

Kao i uvijek, zamjena vrijednosti u funkciju x=-1 daje 0 u brojniku i nazivniku. Pogledajte malo pažljivije i primijetit ćete da imamo kvadratnu jednadžbu u brojniku. Nađimo korijene i napišimo:

Smanjimo i dobijemo:

Dakle, ako ste suočeni sa nesigurnošću tipa 0/0 – čini brojilac i imenilac.

Da bismo vam olakšali rješavanje primjera, predstavljamo tabelu s ograničenjima nekih funkcija:

L'Hopitalovo pravilo iznutra

Još jedan moćan način da se eliminišu obje vrste neizvjesnosti. Šta je suština metode?

Ako postoji nesigurnost u granici, uzimajte derivaciju brojnika i nazivnika sve dok nesigurnost ne nestane.

L'Hopitalovo pravilo izgleda ovako:

Važna tačka : granica u kojoj stoje izvode brojioca i nazivnika umjesto brojnika i nazivnika mora postojati.

A sada - pravi primjer:

Postoji tipična nesigurnost 0/0 . Uzmimo izvode brojnika i nazivnika:

Voila, neizvjesnost se rješava brzo i elegantno.

Nadamo se da ćete ove informacije moći korisno primijeniti u praksi i pronaći odgovor na pitanje “kako riješiti granice u višoj matematici”. Ako trebate izračunati granicu niza ili granicu funkcije u nekoj tački, a za ovaj posao apsolutno nema vremena, obratite se stručnoj studentskoj službi za brzo i detaljno rješenje.

U ovoj temi ćemo razmotriti sve tri gore navedene grupe granica sa iracionalnošću. Počnimo s granicama koje sadrže nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$.

Objava nesigurnosti $\frac(0)(0)$.

Rješenje standardnih primjera ovog tipa obično se sastoji od dva koraka:

Riješimo se iracionalnosti koja je uzrokovala nesigurnost množenjem sa takozvanim „konjugiranim“ izrazom;
Ako je potrebno, faktorirajte izraz u brojnik ili nazivnik (ili oboje);
Smanjujemo faktore koji dovode do neizvjesnosti i izračunavamo željenu vrijednost granice.

Izraz "konjugirani izraz" korišten gore će biti detaljno objašnjen u primjerima. Za sada nema razloga da se detaljnije zadržavamo na tome. Općenito, možete ići drugim putem, bez korištenja konjugiranog izraza. Ponekad dobro odabrana zamjena može eliminirati iracionalnost. Takvi primjeri su rijetki u standardnim testovima, pa ćemo razmotriti samo jedan primjer br. 6 za korištenje zamjene (vidi drugi dio ove teme).

Trebat će nam nekoliko formula koje ću zapisati u nastavku:

\begin(jednačina) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(jednačina) \begin(jednačina) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(jednačina) \begin(jednačina) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(jednačina) \begin (jednačina) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(jednačina)

Uz to, pretpostavljamo da čitalac poznaje formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Ako su $x_1$ i $x_2$ korijeni kvadratnog trinoma $ax^2+bx+c$, onda se može faktorizirati korištenjem sljedeće formule:

\begin(jednačina) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(jednačina)

Formule (1)-(5) su sasvim dovoljne za rješavanje standardnih problema, na koje ćemo sada preći.

Primjer br. 1

Pronađite $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Pošto je $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ i $\lim_(x\ do 3) (x-3)=3-3=0$, tada u datom limitu imamo nesigurnost oblika $\frac(0)(0)$. Razlika $\sqrt(7-x)-2$ nas sprečava da otkrijemo ovu nesigurnost. Da bi se otklonile takve iracionalnosti, koristi se množenje sa takozvanim „konjugiranim izrazom“. Sada ćemo pogledati kako funkcionira takvo množenje. Pomnožite $\sqrt(7-x)-2$ sa $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

Da otvorite zagrade, primijenite , zamjenjujući $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ u desnu stranu navedene formule:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Kao što vidite, ako pomnožite brojilac sa $\sqrt(7-x)+2$, tada će korijen (tj. iracionalnost) u brojniku nestati. Ovaj izraz $\sqrt(7-x)+2$ će biti konjugirati na izraz $\sqrt(7-x)-2$. Međutim, ne možemo jednostavno pomnožiti brojilac sa $\sqrt(7-x)+2$, jer će to promijeniti razlomak $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, koji je ispod limita. Morate pomnožiti i brojnik i imenilac u isto vrijeme:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Sada zapamtite da je $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ i otvorite zagrade. I nakon otvaranja zagrada i male transformacije $3-x=-(x-3)$, smanjujemo razlomak za $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Nesigurnost $\frac(0)(0)$ je nestala. Sada možete lako dobiti odgovor na ovaj primjer:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Napominjem da konjugirani izraz može promijeniti svoju strukturu, ovisno o tome koju vrstu iracionalnosti treba ukloniti. U primjerima br. 4 i br. 5 (pogledajte drugi dio ove teme) koristit će se drugačiji tip konjugiranog izraza.

Odgovori: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Primjer br. 2

Pronađite $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Pošto je $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ i $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, tada ćemo bave se nesigurnošću oblika $\frac(0)(0)$. Oslobodimo se iracionalnosti u nazivniku ovog razlomka. Da bismo to uradili, dodajemo i brojilac i imenilac razlomka $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ u izraz $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$ konjugiran sa nazivnikom:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Opet, kao u primjeru br. 1, trebate koristiti zagrade za proširenje. Zamjenom $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ u desnu stranu navedene formule, dobijamo sljedeći izraz za imenilac:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\desno)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ desno)=\\ =\left(\sqrt(x^2+5)\desno)^2-\left(\sqrt(7x^2-19)\desno)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Vratimo se našem limitu:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\to 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

U primjeru br. 1, skoro odmah nakon množenja konjugiranim izrazom, razlomak je smanjen. Ovdje ćete prije redukcije morati faktorizirati izraze $3x^2-5x-2$ i $x^2-4$, pa tek onda nastaviti sa redukcijom. Za faktoriranje izraza $3x^2-5x-2$ trebate koristiti . Prvo, riješimo kvadratnu jednačinu $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(poravnano) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(poravnano) $$

Zamjenom $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ u , imat ćemo:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\desno)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( x-2). $$

Sada je vrijeme da faktorizujemo izraz $x^2-4$. Koristimo , zamjenjujući $a=x$, $b=2$ u njega:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Koristimo dobijene rezultate. Pošto je $x^2-4=(x-2)(x+2)$ i $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, onda:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2) -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Smanjenjem za zagradu $x-2$ dobijamo:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^) 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Sve! Neizvjesnost je nestala. Još jedan korak i dolazimo do odgovora:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2) ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Odgovori: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

U sljedećem primjeru, razmotrite slučaj kada će iracionalnosti biti prisutne i u brojniku i u nazivniku razlomka.

Primjer br. 3

Pronađite $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))$.

Pošto je $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ i $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, tada imamo nesigurnost oblika $ \frac (0)(0)$. Budući da su u ovom slučaju korijeni prisutni i u nazivniku i u brojniku, da biste se riješili nesigurnosti, morat ćete pomnožiti s dvije zagrade odjednom. Prvo, izrazu $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$ koji je konjugiran sa brojnikom. I drugo, izrazu $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$ konjugiranom sa nazivnikom.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2) -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(poravnano) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

Za izraz $x^2-8x+15$ dobijamo:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(poravnano) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(poravnano)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Zamjena rezultirajućih proširenja $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ i $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ u ograničenje razmatra, imat će:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\to 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\to 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Odgovori: $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9) ))=-6$.

U sljedećem (drugom) dijelu ćemo razmotriti još par primjera u kojima će konjugirani izraz imati drugačiji oblik nego u prethodnim problemima. Glavna stvar koju treba zapamtiti je da je svrha upotrebe konjugiranog izraza da se riješi iracionalnosti koja uzrokuje nesigurnost.

Elementarne funkcije i njihovi grafovi.

Glavne elementarne funkcije su: funkcija stepena, eksponencijalna funkcija, logaritamska funkcija, trigonometrijske funkcije i inverzne trigonometrijske funkcije, kao i polinom i racionalna funkcija, što je omjer dva polinoma.

U elementarne funkcije spadaju i one funkcije koje se iz elementarnih dobivaju primjenom četiri osnovne aritmetičke operacije i formiranjem složene funkcije.

Grafovi elementarnih funkcija

	Duž- graf linearne funkcije y = ax + b. Funkcija y monotono raste za a > 0 i opada za a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Parabola- graf kvadratne trinomske funkcije y = ax 2 + bx + c. Ima vertikalnu os simetrije. Ako je a > 0, ima minimum ako je a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx +c =0
	Hiperbola- graf funkcije. Kada je a > O nalazi se u I i III kvartalu, kada je a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) ili y - - x(a< 0).
	Eksponencijalna funkcija. Izlagač(eksponencijalna funkcija bazi e) y = e x. (Još jedan pravopis y = exp(x)). Asimptota je os apscise.
	Logaritamska funkcija y = log a x(a > 0)
	y = sinx. Sinusni talas- periodična funkcija s periodom T = 2π

Ograničenje funkcije.

Funkcija y=f(x) ima broj A kao granicu dok x teži ka a, ako za bilo koji broj ε › 0 postoji broj δ › 0 takav da | y – A | ‹ ε ako |x - a| ‹ δ,

ili lim y = A

Kontinuitet funkcije.

Funkcija y=f(x) je kontinuirana u tački x = a ako je lim f(x) = f(a), tj.

granica funkcije u tački x = a jednaka je vrijednosti funkcije u datoj tački.

Pronalaženje granica funkcija.

Osnovne teoreme o granicama funkcija.

1. Granica konstantne vrijednosti je jednaka ovoj konstantnoj vrijednosti:

2. Granica algebarskog zbira jednaka je algebarskom zbiru granica ovih funkcija:

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. Granica proizvoda nekoliko funkcija jednaka je proizvodu granica ovih funkcija:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. Granica kvocijenta dvije funkcije jednaka je količniku granica ovih funkcija ako granica nazivnika nije jednaka 0:

lim------- = ----------

Prva izuzetna granica: lim --------- = 1

Druga izuzetna granica: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Primjeri pronalaženja granica funkcija.

5.1. primjer:

Svaki limit se sastoji od tri dijela:

1) Dobro poznata ikona ograničenja.

2) Unosi ispod ikone ograničenja. Unos glasi “X teži jedan”. Najčešće je to x, iako umjesto “x” može biti bilo koja druga varijabla. Umjesto jedan može biti apsolutno bilo koji broj, kao i beskonačnost 0 ili .

3) Funkcije pod graničnim znakom, u ovom slučaju .

Sam snimak glasi ovako: "granica funkcije kao x teži jedinstvu."

Vrlo važno pitanje - šta znači izraz "x"? nastoji do jednog"? Izraz "x" nastoji do jedan” treba shvatiti na sljedeći način: “x” dosljedno poprima vrijednosti koji se beskonačno približavaju jedinstvu i praktično se s njim poklapaju.

Kako riješiti gornji primjer? Na osnovu gore navedenog, samo trebate zamijeniti jednu u funkciju ispod znaka ograničenja:

Dakle, prvo pravilo : Kada dobijete ograničenje, prvo jednostavno uključite broj u funkciju.

5.2. Primjer sa beskonačnosti:

Hajde da shvatimo šta je to? To je slučaj kada se neograničeno povećava.

Sta ako , zatim funkciju teži minus beskonačnosti:

Prema našem prvom pravilu, umjesto “X” zamjenjujemo u funkciji beskonačnost i dobijamo odgovor.

5.3. Još jedan primjer sa beskonačnošću:

Opet počinjemo da rastemo do beskonačnosti i gledamo ponašanje funkcije.
Zaključak: funkcija se neograničeno povećava

5.4. Niz primjera:

Pokušajte sami mentalno analizirati sljedeće primjere i riješiti najjednostavnije vrste ograničenja:

, , , , , , , , ,

Šta trebate zapamtiti i razumjeti iz gore navedenog?

Kada dobijete bilo koje ograničenje, prvo jednostavno uključite broj u funkciju. U isto vrijeme morate razumjeti i odmah riješiti najjednostavnije granice, kao npr , , itd.

6. Granice sa nesigurnošću tipa i metod za njihovo rješavanje.

Sada ćemo razmotriti grupu granica kada , a funkcija je razlomak čiji brojnik i nazivnik sadrže polinome.

6.1. primjer:

Izračunajte limit

Prema našem pravilu, pokušavamo zamijeniti beskonačnost u funkciju. Šta dobijamo na vrhu? Beskonačnost. A šta se dešava ispod? Takođe beskonačnost. Dakle, imamo ono što se zove nesigurnost vrste. Moglo bi se pomisliti da je = 1, i odgovor je spreman, ali u općem slučaju to uopće nije slučaj i morate primijeniti neku tehniku rješenja, koju ćemo sada razmotriti.

Kako riješiti limite ovog tipa?

Prvo pogledamo brojilac i pronađemo najveću snagu:

Vodeća snaga u brojiocu je dva.

Sada gledamo imenilac i takođe ga nalazimo na najveći stepen:

Najviši stepen nazivnika je dva.

Zatim biramo najveći stepen brojnika i nazivnika: u ovom primjeru oni su isti i jednaki dva.

Dakle, metoda rješenja je sljedeća: da otkrije neizvesnost potrebno je podijeliti brojilac i imenilac sa u višem stepenu.

Dakle, odgovor nije 1.

Primjer

Pronađite granicu

Opet u brojniku i nazivniku nalazimo u najvišem stepenu:

Maksimalni stepen u brojiocu: 3

Maksimalni stepen u nazivniku: 4

Izaberi najveći vrijednost, u ovom slučaju četiri.
Prema našem algoritmu, da bismo otkrili nesigurnost, podijelimo brojilac i nazivnik sa .

Primjer

Pronađite granicu

Maksimalni stepen "X" u brojiocu: 2

Maksimalni stepen “X” u nazivniku: 1 (može se napisati kao)
Da bi se otkrila nesigurnost, potrebno je podijeliti brojilac i nazivnik sa . Konačno rješenje bi moglo izgledati ovako:

Podijelite brojilac i imenilac sa

Rješenje ograničenja online funkcija. Pronađite graničnu vrijednost funkcije ili funkcionalnog niza u točki, izračunajte krajnji vrijednost funkcije u beskonačnosti. određivanje konvergencije niza brojeva i još mnogo toga se može učiniti zahvaljujući našoj online usluzi -. Omogućavamo vam da brzo i precizno pronađete ograničenja funkcija na mreži. Vi sami unosite varijablu funkcije i granicu kojoj ona teži, a naš servis za vas vrši sve proračune, dajući tačan i jednostavan odgovor. I za pronalaženje ograničenja na mreži možete unijeti i numeričke serije i analitičke funkcije koje sadrže konstante u doslovnom izrazu. U ovom slučaju, pronađeno ograničenje funkcije će sadržavati ove konstante kao konstantne argumente u izrazu. Naša usluga rješava sve složene probleme pronalaženja ograničenja na mreži, dovoljno je naznačiti funkciju i tačku u kojoj je potrebno izračunati granična vrijednost funkcije. Računanje online ograničenja, možete koristiti različite metode i pravila za njihovo rješavanje, dok provjeravate rezultat dobiven sa rješavanje ograničenja na mreži na www.site, što će dovesti do uspješnog završetka zadatka - izbjeći ćete vlastite greške i administrativne greške. Ili nam možete u potpunosti vjerovati i koristiti naš rezultat u svom radu, bez trošenja dodatnog truda i vremena na samostalno izračunavanje granice funkcije. Dozvoljavamo unos graničnih vrijednosti kao što je beskonačnost. Potrebno je unijeti zajednički član brojevnog niza i www.site izračunat će vrijednost limit online na plus ili minus beskonačnost.

Jedan od osnovnih koncepata matematičke analize je ograničenje funkcije I granica sekvence u tački i u beskonačnosti, važno je biti u stanju ispravno riješiti granice. Uz našu uslugu to neće biti teško. Odluka je doneta ograničenja na mreži u roku od nekoliko sekundi, odgovor je tačan i potpun. Proučavanje matematičke analize počinje sa prelazak do granice, granice se koriste u gotovo svim oblastima više matematike, pa je korisno imati server pri ruci online limit rješenja, što je stranica.