Pojednostavite trigonometrijske izraze na mreži. Identične transformacije trigonometrijskih izraza

IN transformacije identiteta trigonometrijski izrazi mogu se koristiti sljedeće algebarske tehnike: sabiranje i oduzimanje identičnih pojmova; stavljanje zajedničkog faktora iz zagrada; množenje i dijeljenje istom količinom; primjena skraćenih formula za množenje; odabir kompletnog kvadrata; faktoring kvadratnog trinoma; uvođenje novih varijabli za pojednostavljenje transformacija.

Prilikom pretvaranja trigonometrijskih izraza koji sadrže razlomke, možete koristiti svojstva proporcije, reduciranja razlomaka ili svođenja razlomaka na zajednički nazivnik. Osim toga, možete koristiti odabir cijelog dijela razlomka, množenjem brojnika i nazivnika razlomka istim iznosom, a također, ako je moguće, uzeti u obzir homogenost brojnika ili nazivnika. Ako je potrebno, možete predstaviti razlomak kao zbir ili razliku nekoliko jednostavnijih razlomaka.

Osim toga, prilikom primjene svih potrebnih metoda za pretvaranje trigonometrijskih izraza, potrebno je stalno voditi računa o rasponu dopuštenih vrijednosti izraza koji se pretvaraju.

Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjer 1.

Izračunajte A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π) /2) +
+ sin (3π/2 – x) sin (2x –5π/2)) 2

Rješenje.

Iz formula redukcije slijedi:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Odatle, na osnovu formula za sabiranje argumenata i glavnog trigonometrijskog identiteta, dobijamo

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Odgovor: 1.

Primjer 2.

Pretvorite izraz M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ u proizvod.

Rješenje.

Iz formula za dodavanje argumenata i formula za pretvaranje zbira trigonometrijskih funkcija u proizvod nakon odgovarajućeg grupisanja, imamo

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α +β)/2) cos ((α + γ)/2).

Odgovor: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Primjer 3.

Pokažite da izraz A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) uzima jedan za sve x iz R i isto značenje. Pronađite ovu vrijednost.

Rješenje.

Evo dva načina za rješavanje ovog problema. Primjenom prve metode, izolacijom cijelog kvadrata i korištenjem odgovarajućih osnovnih trigonometrijskih formula, dobijamo

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Rješavajući problem na drugi način, razmotrite A kao funkciju x od R i izračunajte njegov izvod. Nakon transformacija dobijamo

A´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x) + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Dakle, zbog kriterija konstantnosti funkcije diferencibilne na intervalu, zaključujemo da

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Odgovor: A = 3/4 za x € R.

Glavne tehnike za dokazivanje trigonometrijskih identiteta su:

A) svođenje lijeve strane identiteta na desnu kroz odgovarajuće transformacije;
b) svođenje desne strane identiteta na lijevu;
V) svođenje desne i lijeve strane identiteta na isti oblik;
G) svodeći na nulu razliku između lijeve i desne strane identiteta koji se dokazuje.

Primjer 4.

Provjerite da li je cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Rješenje.

Transformirajući desnu stranu ovog identiteta koristeći odgovarajuće trigonometrijske formule, imamo

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Desna strana identiteta svedena je na lijevu.

Primjer 5.

Dokazati da je sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2 ako su α, β, γ unutrašnji uglovi nekog trougla.

Rješenje.

S obzirom da su α, β, γ unutrašnji uglovi nekog trougla, dobijamo da

α + β + γ = π i, prema tome, γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Izvorna jednakost je dokazana.

Primjer 6.

Dokazati da je da bi jedan od uglova α, β, γ trougla bio jednak 60°, potrebno je i dovoljno da je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Rješenje.

Uslov ovog problema uključuje dokazivanje i neophodnosti i dovoljnosti.

Prvo da dokažemo nužnost.

To se može pokazati

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Dakle, uzimajući u obzir da je cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, dobijamo da ako je jedan od uglova α, β ili γ jednak 60°, onda

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 i, prema tome, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Dokažimo sada adekvatnost navedenom stanju.

Ako je sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, tada je cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, i stoga

ili cos (3α/2) = 0, ili cos (3β/2) = 0, ili cos (3γ/2) = 0.

dakle,

ili 3α/2 = π/2 + πk, tj. α = π/3 + 2πk/3,

ili 3β/2 = π/2 + πk, tj. β = π/3 + 2πk/3,

ili 3γ/2 = π/2 + πk,

one. γ = π/3 + 2πk/3, gdje je k ϵ Z.

Iz činjenice da su α, β, γ uglovi trougla, imamo

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Dakle, za α = π/3 + 2πk/3 ili β = π/3 + 2πk/3 ili

γ = π/3 + 2πk/3 od svih kϵZ je pogodan samo k = 0.

Iz toga slijedi da je ili α = π/3 = 60°, ili β = π/3 = 60°, ili γ = π/3 = 60°.

Tvrdnja je dokazana.

Imate još pitanja? Niste sigurni kako pojednostaviti trigonometrijske izraze?
Da biste dobili pomoć od tutora, registrujte se.
Prva lekcija je besplatna!

web stranicu, kada kopirate materijal u cijelosti ili djelomično, link na izvor je obavezan.

Odjeljci: Matematika

klasa: 11

Lekcija 1

Predmet: 11. razred (priprema za Jedinstveni državni ispit)

Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza.

Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. (2 sata)

Ciljevi:

• Sistematizirati, generalizirati, proširiti znanja i vještine učenika u vezi sa upotrebom trigonometrijskih formula i rješavanjem jednostavnih trigonometrijskih jednačina.

Oprema za nastavu:

Struktura lekcije:

1. Organizacioni momenat
2. Testiranje na laptopovima. Diskusija o rezultatima.
3. Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza
4. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi
5. Samostalan rad.
6. Sažetak lekcije. Objašnjenje domaćeg zadatka.

1. Organizacioni momenat. (2 minute.)

Nastavnik pozdravlja prisutne, najavljuje temu časa, podsjeća ih da su prethodno dobili zadatak da ponove trigonometrijske formule i priprema učenike za testiranje.

2. Testiranje. (15 min + 3 min diskusije)

Cilj je provjeriti poznavanje trigonometrijskih formula i sposobnost njihove primjene. Svaki učenik na svom stolu ima laptop sa verzijom testa.

Može biti bilo koji broj opcija, dat ću primjer jedne od njih:

I opcija.

Pojednostavite izraze:

a) osnovni trigonometrijski identiteti

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formule sabiranja

3. sin5x - sin3x;

c) pretvaranje proizvoda u zbir

6. 2sin8y cos3y;

d) formule dvostrukog ugla

7. 2sin5x cos5x;

e) formule za poluuglove

f) formule trostrukog ugla

g) univerzalna supstitucija

h) smanjenje stepena

16. cos 2 (3x/7);

Učenici vide svoje odgovore na laptopu pored svake formule.

Rad se odmah provjerava kompjuterom. Rezultati se prikazuju na velikom ekranu kako bi ga svi mogli vidjeti.

Takođe, po završetku rada, tačni odgovori se prikazuju na laptopovima učenika. Svaki učenik vidi gdje je napravljena greška i koje formule treba ponoviti.

3. Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza. (25 min.)

Cilj je ponoviti, uvježbati i konsolidirati korištenje osnovnih trigonometrijskih formula. Rješavanje zadataka B7 sa Jedinstvenog državnog ispita.

U ovoj fazi preporučljivo je podijeliti razred u grupe jakih učenika (samostalan rad uz naknadno testiranje) i slabih učenika koji rade sa nastavnikom.

Zadatak za jake studente (unaprijed pripremljen na štampanoj osnovi). Glavni naglasak je na formulama redukcije i dvostrukog ugla, prema Jedinstvenom državnom ispitu 2011.

Pojednostavite izraze (za jake učenike):

Istovremeno, nastavnik radi sa slabim učenicima, raspravljajući i rješavajući zadatke na ekranu pod diktatom učenika.

Izračunati:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

6)

Pojednostavite:

Bilo je vrijeme da se razgovara o rezultatima rada jake grupe.

Odgovori se pojavljuju na ekranu, a uz pomoć video kamere se prikazuje rad 5 različitih učenika (po jedan zadatak za svakog).

Slaba grupa vidi stanje i način rješenja. Diskusija i analiza su u toku. Uz korištenje tehničkih sredstava to se događa brzo.

4. Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi. (30 min.)

Cilj je ponoviti, sistematizirati i generalizirati rješenja najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina i zapisati njihove korijene. Rješenje problema B3.

Svaka trigonometrijska jednadžba, bez obzira kako je riješimo, vodi do najjednostavnije.

Prilikom rješavanja zadatka učenici treba da obrate pažnju na pisanje korijena jednačina posebnih slučajeva i opšteg oblika i na odabir korijena u posljednjoj jednačini.

Riješite jednačine:

Zapišite najmanji pozitivan korijen kao odgovor.

5. Samostalni rad (10 min.)

Cilj je testirati stečene vještine, identificirati probleme, greške i načine za njihovo otklanjanje.

Rad na više nivoa se nudi na izbor studenta.

Opcija "3"

1) Pronađite vrijednost izraza

2) Pojednostavite izraz 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Riješite jednačinu

Opcija za "4"

1) Pronađite vrijednost izraza

2) Riješite jednačinu Zapišite najmanji pozitivan korijen u svom odgovoru.

Opcija "5"

1) Pronađite tanα ako

2) Pronađite korijen jednačine Zapišite najmanji pozitivan korijen kao odgovor.

6. Sažetak lekcije (5 min.)

Nastavnik sumira činjenicu da su tokom časa ponavljali i pojačavali trigonometrijske formule i rješavali najjednostavnije trigonometrijske jednačine.

Domaća zadaća se zadaje (unaprijed pripremljena na štampanoj osnovi) sa nasumičnom provjerom na sljedećem času.

Riješite jednačine:

9)

10) U svom odgovoru navedite najmanji pozitivni korijen.

Lekcija 2

Predmet: 11. razred (priprema za Jedinstveni državni ispit)

Metode rješavanja trigonometrijskih jednačina. Odabir korijena. (2 sata)

Ciljevi:

• Uopštiti i sistematizirati znanja o rješavanju trigonometrijskih jednačina različitih tipova.
• Promovirati razvoj matematičkog mišljenja učenika, sposobnost zapažanja, poređenja, generalizacije i klasifikacije.
• Podsticati učenike na prevazilaženje poteškoća u procesu mentalne aktivnosti, na samokontrolu i introspekciju svojih aktivnosti.

Oprema za nastavu: KRMu, laptop za svakog učenika.

Struktura lekcije:

1. Organizacioni momenat
2. Diskusija o d/z i sebi. rad od prosle lekcije
3. Pregled metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.
4. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi
5. Izbor korijena u trigonometrijskim jednadžbama.
6. Samostalan rad.
7. Sažetak lekcije. Zadaća.

1. Organizacioni trenutak (2 min.)

Nastavnik pozdravlja prisutne, najavljuje temu časa i plan rada.

2. a) Analiza domaće zadaće (5 min.)

Cilj je provjeriti izvršenje. Jedan rad se prikazuje na ekranu pomoću video kamere, a ostali se selektivno prikupljaju za provjeru nastavnika.

b) Analiza samostalnog rada (3 min.)

Cilj je analizirati greške i ukazati na načine za njihovo prevazilaženje.

Odgovori i rješenja su na ekranu; Analiza se odvija brzo.

3. Pregled metoda rješavanja trigonometrijskih jednačina (5 min.)

Cilj je prisjetiti se metoda za rješavanje trigonometrijskih jednačina.

Pitajte učenike koje metode rješavanja trigonometrijskih jednačina znaju. Naglasite da postoje takozvane osnovne (često korištene) metode:

• varijabilna zamjena,
• faktorizacija,
• homogene jednadžbe,

a primjenjuju se i metode:

• koristeći formule za pretvaranje sume u proizvod i proizvoda u zbir,
• prema formulama za smanjenje stepena,
• univerzalna trigonometrijska supstitucija
• uvođenje pomoćnog ugla,
• množenje nekom trigonometrijskom funkcijom.

Također treba podsjetiti da se jedna jednačina može riješiti na različite načine.

4. Rješavanje trigonometrijskih jednačina (30 min.)

Cilj je generalizacija i konsolidacija znanja i vještina na ovu temu, priprema za C1 rješenje iz Jedinstvenog državnog ispita.

Smatram da je preporučljivo rješavati jednačine za svaku metodu zajedno sa učenicima.

Učenik diktira rješenje, nastavnik ga zapisuje na tablet, a cijeli proces se prikazuje na ekranu. Ovo će vam omogućiti da se brzo i efikasno prisjetite prethodno obrađenog materijala u vašem sjećanju.

Riješite jednačine:

1) zamjenom varijable 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) faktorizacija 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogene jednadžbe sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) pretvaranje sume u proizvod cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) pretvaranje proizvoda u zbir 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) smanjenje stepena sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) univerzalna trigonometrijska supstitucija sinx + 5cosx + 5 = 0.

Prilikom rješavanja ove jednadžbe treba napomenuti da korištenje ove metode dovodi do sužavanja raspona definicije, jer su sinus i kosinus zamijenjeni sa tg(x/2). Stoga, prije nego što napišete odgovor, trebate provjeriti da li su brojevi iz skupa π + 2πn, n Z konji ove jednadžbe.

8) uvođenje pomoćnog ugla √3sinx + cosx - √2 = 0

9) množenje nekom trigonometrijskom funkcijom cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Izbor korijena trigonometrijskih jednadžbi (20 min.)

Budući da u uslovima žestoke konkurencije pri upisu na fakultete nije dovoljno samo rješavanje prvog dijela ispita, većina studenata treba da obrati pažnju na zadatke drugog dijela (C1, C2, C3).

Stoga je cilj ove faze lekcije zapamtiti prethodno proučeno gradivo i pripremiti se za rješavanje zadatka C1 sa Jedinstvenog državnog ispita 2011.

Postoje trigonometrijske jednadžbe u kojima morate odabrati korijene kada pišete odgovor. To je zbog nekih ograničenja, na primjer: nazivnik razlomka nije jednak nuli, izraz pod parnim korijenom nije negativan, izraz pod predznakom logaritma je pozitivan, itd.

Takve jednačine se smatraju jednadžbama povećane složenosti iu verziji Jedinstvenog državnog ispita nalaze se u drugom dijelu, odnosno C1.

Riješite jednačinu:

Razlomak je jednak nuli ako je tada pomoću jediničnog kruga izabraćemo korijene (vidi sliku 1)

Slika 1.

dobijamo x = π + 2πn, n Z

Odgovor: π + 2πn, n Z

Na ekranu je izbor korena prikazan u krugu u slici u boji.

Proizvod je jednak nuli kada je barem jedan od faktora jednak nuli, a luk ne gubi svoje značenje. Onda

Koristeći jedinični krug, biramo korijene (vidi sliku 2)

Video lekcija “Pojednostavljivanje trigonometrijskih izraza” je osmišljena da razvije vještine učenika u rješavanju trigonometrijskih problema koristeći osnovne trigonometrijske identitete. Tokom video lekcije razmatraju se vrste trigonometrijskih identiteta i primjeri rješavanja zadataka pomoću njih. Upotrebom vizuelnih pomagala nastavniku je lakše postići ciljeve časa. Živopisna prezentacija materijala pomaže pri pamćenju važnih tačaka. Korištenje efekata animacije i glasa na ekranu omogućava vam da potpuno zamijenite nastavnika u fazi objašnjavanja materijala. Dakle, korišćenjem ovog vizuelnog pomagala na časovima matematike, nastavnik može povećati efikasnost nastave.

Na početku video lekcije najavljuje se njegova tema. Zatim se prisjećamo trigonometrijskih identiteta koje smo ranije proučavali. Na ekranu se prikazuju jednakosti sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, gdje je t≠π/2+πk za kϵZ, ctg t=cos t/sin t, ispravno za t≠πk, gdje je kϵZ, tg t· ctg t=1, za t≠πk/2, gdje je kϵZ, nazvani osnovnim trigonometrijskim identitetima. Primjećuje se da se ovi identiteti često koriste u rješavanju problema gdje je potrebno dokazati jednakost ili pojednostaviti izraz.

U nastavku razmatramo primjere primjene ovih identiteta u rješavanju problema. Prvo, predlaže se razmatranje rješavanja problema pojednostavljivanja izraza. U primjeru 1 potrebno je pojednostaviti izraz cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Da biste riješili primjer, prvo izvadite zajednički faktor cos 2 t iz zagrada. Kao rezultat ove transformacije u zagradi, dobija se izraz 1- cos 2 t, čija je vrijednost iz glavnog identiteta trigonometrije jednaka sin 2 t. Nakon transformacije izraza, očigledno je da se još jedan zajednički faktor sin 2 t može izvaditi iz zagrada, nakon čega izraz dobija oblik sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Iz istog osnovnog identiteta izvodimo vrijednost izraza u zagradama jednaku 1. Kao rezultat pojednostavljenja, dobijamo cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

U primjeru 2, izraz trošak/(1- sint)+ trošak/(1+ sint) treba biti pojednostavljen. Kako brojnici oba razlomka sadrže izraz trošak, on se može izvaditi iz zagrada kao zajednički faktor. Tada se razlomci u zagradama svode na zajednički nazivnik množenjem (1- sint)(1+ sint). Nakon donošenja sličnih članova, brojilac ostaje 2, a nazivnik 1 - sin 2 t. Na desnoj strani ekrana se prisjeća osnovni trigonometrijski identitet sin 2 t+cos 2 t=1. Koristeći ga, nalazimo imenilac razlomka cos 2 t. Nakon smanjenja razlomka, dobijamo pojednostavljeni oblik izraza trošak/(1- sint)+ trošak/(1+ sint)=2/trošak.

Zatim ćemo razmotriti primjere dokaza identiteta koji koriste stečeno znanje o osnovnim identitetima trigonometrije. U primjeru 3 potrebno je dokazati identičnost (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Desna strana ekrana prikazuje tri identiteta koji će biti potrebni za dokaz - tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t i tg t=sin t/cos t sa ograničenjima. Za dokazivanje identiteta prvo se otvaraju zagrade, nakon čega se formira proizvod koji odražava izraz glavnog trigonometrijskog identiteta tg t·ctg t=1. Tada se, prema istovjetnosti iz definicije kotangensa, ctg 2 t transformira. Kao rezultat transformacija dobija se izraz 1-cos 2 t. Koristeći glavni identitet, pronalazimo značenje izraza. Dakle, dokazano je da (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

U primjeru 4, potrebno je pronaći vrijednost izraza tg 2 t+ctg 2 t ako je tg t+ctg t=6. Da biste izračunali izraz, prvo kvadrirajte desnu i lijevu stranu jednakosti (tg t+ctg t) 2 =6 2. Skraćena formula za množenje se poziva na desnoj strani ekrana. Nakon otvaranja zagrada na lijevoj strani izraza, formira se zbir tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, za transformaciju kojeg možete primijeniti jedan od trigonometrijskih identiteta tg t·ctg t=1 , čiji se oblik poziva na desnoj strani ekrana. Nakon transformacije dobija se jednakost tg 2 t+ctg 2 t=34. Lijeva strana jednakosti se poklapa sa uslovom zadatka, pa je odgovor 34. Zadatak je riješen.

Video lekcija “Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza” preporučuje se za korištenje u tradicionalnoj školskoj lekciji matematike. Materijal će biti koristan i nastavnicima koji uče na daljinu. U cilju razvijanja vještina rješavanja trigonometrijskih zadataka.

DEKODIRANJE TEKSTA:

"Pojednostavljenje trigonometrijskih izraza."

Jednakosti

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus kvadrat te plus kosinus kvadrat te jednako jedan)

2)tgt =, za t ≠ + πk, kϵZ (tangenta te je jednaka omjeru sinusa te i kosinusa te pri čemu te nije jednako pi za dva plus pi ka, ka pripada zet)

3)ctgt = , za t ≠ πk, kϵZ (kotangens te je jednak omjeru kosinusa te i sinusa te pri čemu te nije jednako pi ka, ka pripada zet).

4) tgt ∙ ctgt = 1 za t ≠ , kϵZ (proizvod tangente te sa kotangensom te jednak je jedan kada te nije jednako vrhuncu ka, podijeljeno sa dva, ka pripada zet)

nazivaju se osnovnim trigonometrijskim identitetima.

Često se koriste za pojednostavljivanje i dokazivanje trigonometrijskih izraza.

Pogledajmo primjere korištenja ovih formula za pojednostavljenje trigonometrijskih izraza.

PRIMJER 1. Pojednostavite izraz: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (izraz kosinus na kvadrat te minus kosinus četvrtog stepena te plus sinus četvrtog stepena te).

Rješenje. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(izvlačimo zajednički faktor kosinus kvadrat te, u zagradama dobijamo razliku između jedinice i kvadratnog kosinusa te, koji je jednak kvadratnom sinusu te po prvom identiku. Dobijamo zbir četvrtog sinusa te na kvadrat umnožak kosinus kvadrat te i sinus kvadrat te Izvadimo zajednički faktor sinus kvadrat te van zagrada, u zagradama dobijemo zbir kvadrata kosinusa i sinusa koji je, prema osnovnom trigonometrijskom identitetu, jednak jedan. Kao rezultat, dobijamo kvadrat sinusa te).

PRIMJER 2. Pojednostavite izraz: + .

(izraz be je zbir dva razlomka u brojiocu prvog kosinusa te u nazivniku jedan minus sinus te, u brojniku drugog kosinusa te u nazivniku drugog plus sinus te).

(Izvadimo zajednički faktor kosinus te iz zagrada, a u zagradama ga dovedemo do zajedničkog nazivnika, koji je proizvod jedan minus sin te sa jedan plus sinus te.

U brojniku dobijamo: jedan plus sinus te plus jedan minus sinus te, dajemo slične, brojilac je jednak dva nakon donošenja sličnih.

U nazivniku možete primijeniti skraćenu formulu množenja (razlika kvadrata) i dobiti razliku između jedinice i kvadrata sinusa te, koji prema osnovnom trigonometrijskom identitetu

jednak kvadratu kosinusa te. Nakon smanjenja kosinusom te dobijamo konačni odgovor: dva podijeljena kosinusom te).

Pogledajmo primjere korištenja ovih formula pri dokazivanju trigonometrijskih izraza.

PRIMJER 3. Dokazati identičnost (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (proizvod razlike kvadrata tangente te i sinus te kvadrata kotangensa te jednak je kvadratu sine te).

Dokaz.

Transformirajmo lijevu stranu jednakosti:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 2 t = sin 2 t

(Otvorimo zagrade; iz prethodno dobijenog odnosa poznato je da je proizvod kvadrata tangente te sa kotangensom te jednak jedan. Podsjetimo da je kotangens te jednak omjeru kosinusa te prema sinusu te, koji znači da je kvadrat kotangensa omjer kvadrata kosinusa te i kvadrata sinusa te.

Nakon redukcije za sinus kvadrat te dobijamo razliku između jedinice i kosinus kvadrata te, koja je jednaka sinusnom kvadratu te). Q.E.D.

PRIMJER 4. Pronađite vrijednost izraza tg 2 t + ctg 2 t ako je tgt + ctgt = 6.

(zbir kvadrata tangente te i kotangensa te, ako je zbir tangente i kotangensa šest).

Rješenje. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Kvadirajmo obje strane izvorne jednakosti:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (kvadrat zbira tangente te i kotangensa te jednak je šest na kvadrat). Prisjetimo se formule za skraćeno množenje: Kvadrat zbira dvije veličine jednak je kvadratu prve plus dvostruki umnožak prve na drugu plus kvadrat druge. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Dobijamo tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (tangenta na kvadrat te plus dvostruki proizvod tangente te sa kotangensom te plus kotangens na kvadrat te jednako je trideset i šest) .

Pošto je proizvod tangente te i kotangensa te jednak jedan, tada je tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (zbir kvadrata tangente te i kotangensa te i dva jednak je trideset šest),