Brzina kretanja pri kretanju u krug. Kretanje tijela po kružnici konstantne brzine po modulu
U ovoj lekciji ćemo razmatrati krivolinijsko kretanje, odnosno jednoliko kretanje tijela u krugu. Naučit ćemo što je linearna brzina, centripetalno ubrzanje kada se tijelo kreće u krug. Uvodimo i veličine koje karakterišu rotaciono kretanje (period rotacije, frekvenciju rotacije, ugaonu brzinu) i povezujemo te veličine među sobom.
Pod ravnomjernim kretanjem u krugu podrazumijeva se da se tijelo rotira pod istim uglom za bilo koji identičan vremenski period (vidi sliku 6).
Rice. 6. Ujednačeno kružno kretanje
Odnosno, modul trenutne brzine se ne mijenja:
Ova brzina se zove linearno.
Iako se modul brzine ne mijenja, smjer brzine se kontinuirano mijenja. Razmotrimo vektore brzina u tačkama A I B(vidi sliku 7). Oni su usmjereni u različitim smjerovima, pa nisu jednaki. Ako se oduzme od brzine u tački B tačka brzina A, dobijamo vektor .
Rice. 7. Vektori brzine
Omjer promjene brzine () i vremena tokom kojeg je došlo do ove promjene () je ubrzanje.
Stoga se svako krivolinijsko kretanje ubrzava.
Ako uzmemo u obzir trokut brzine dobijen na slici 7, onda sa vrlo bliskim rasporedom tačaka A I B jedan prema drugom, ugao (α) između vektora brzine će biti blizu nule:
Također je poznato da je ovaj trokut jednakokračan, pa su moduli brzina jednaki (jednoliko kretanje):
Dakle, oba ugla u osnovi ovog trokuta su beskonačno bliska:
To znači da je ubrzanje koje je usmjereno duž vektora zapravo okomito na tangentu. Poznato je da je prava u krugu okomita na tangentu poluprečnik, dakle ubrzanje je usmjereno duž radijusa prema centru kružnice. Ovo ubrzanje se naziva centripetalno.
Slika 8 prikazuje trokut brzina o kojem smo ranije govorili i jednakokraki trokut (dvije strane su polumjeri kružnice). Ovi trokuti su slični, jer imaju jednake uglove formirane međusobno okomitim linijama (poluprečnik je, kao i vektor, okomit na tangentu).
Rice. 8. Ilustracija za izvođenje formule centripetalnog ubrzanja
Odjeljak AB je move(). Razmatramo ravnomjerno kružno kretanje, dakle:
Dobijeni izraz zamjenjujemo za AB u formulu sličnosti trokuta:
Koncepti "linearne brzine", "ubrzanja", "koordinate" nisu dovoljni da se opiše kretanje duž zakrivljene putanje. Stoga je neophodno uvesti veličine koje karakterišu rotaciono kretanje.
1. Period rotacije (T ) se naziva vrijeme jedne potpune revolucije. Mjeri se u SI jedinicama u sekundama.
Primjeri perioda: Zemlja rotira oko svoje ose za 24 sata (), a oko Sunca - za 1 godinu ().
Formula za izračunavanje perioda:
gdje je ukupno vrijeme rotacije; - broj obrtaja.
2. Frekvencija rotacije (n ) - broj okretaja koje tijelo napravi u jedinici vremena. Mjeri se u SI jedinicama u recipročnim sekundama.
Formula za pronalaženje frekvencije:
gdje je ukupno vrijeme rotacije; - broj obrtaja
Učestalost i period su obrnuto proporcionalni:
3. ugaona brzina () naziva se omjer promjene ugla pod kojim se tijelo okrenulo prema vremenu tokom kojeg je došlo do ovog zaokreta. Mjeri se u SI jedinicama u radijanima podijeljeno sa sekundama.
Formula za pronalaženje ugaone brzine:
gdje je promjena ugla; je vrijeme potrebno da dođe do skretanja.
Važan poseban slučaj kretanja čestica duž date putanje je kružno kretanje. Položaj čestice na kružnici (slika 46) može se odrediti tako što se specificira ne udaljenost od neke početne tačke A, već ugao formiran poluprečnikom povučenim od centra O kružnice do čestice, sa povučenim poluprečnikom do početne tačke A.
Zajedno sa brzinom kretanja duž putanje koja se definira kao
zgodno je uvesti ugaonu brzinu koja karakteriše brzinu promene ugla
Brzina kretanja duž putanje naziva se i linearna brzina. Uspostavimo odnos između linearne i ugaone brzine. Dužina luka I koji obuhvata ugao je gde je poluprečnik kružnice, a ugao se meri u radijanima. Stoga je ugaona brzina ω također povezana sa linearnom brzinom relacijom
Rice. 46. Ugao postavlja položaj tačke na kružnici
Ubrzanje pri kretanju po kružnici, kao i pri proizvoljnom krivolinijskom kretanju, općenito ima dvije komponente: tangencijalnu, usmjerenu tangencijalno na kružnicu i koja karakterizira brzinu promjene vrijednosti brzine, i normalnu, usmjerenu prema centru kružnice i karakterizira brzina promjene u smjeru brzine.
Vrijednost normalne komponente ubrzanja, koja se u ovom slučaju naziva (kružno kretanje) centripetalno ubrzanje, data je općom formulom (3) § 8, u kojoj se linearna brzina sada može izraziti u obliku kutne brzine pomoću formule (3 ):
Ovdje je polumjer kružnice, naravno, isti za sve tačke putanje.
Kod ravnomjernog kretanja u krugu, kada je vrijednost konstantna, ugaona brzina ω, kao što se vidi iz (3), također je konstantna. U ovom slučaju, ponekad se naziva cikličkom frekvencijom.
period i učestalost. Za karakterizaciju ravnomernog kretanja duž kružnice, zajedno sa sa, zgodno je koristiti period obrtanja T, definisan kao vreme tokom kojeg je napravljen jedan potpuni obrt, i frekvenciju - recipročnu vrednost perioda T, koja je jednaka broj obrtaja u jedinici vremena:
Iz definicije (2) ugaone brzine slijedi odnos između veličina
Ova relacija nam omogućava da zapišemo formulu (4) za centripetalno ubrzanje iu sljedećem obliku:
Imajte na umu da se ugaona brzina ω mjeri u radijanima po sekundi, a frekvencija u okretajima u sekundi. Dimenzije sa i su iste jer se ove veličine razlikuju samo po numeričkom faktoru
Zadatak
Uz obilaznicu. Šine pruge za igračke formiraju poluprečnik (sl. 47). Prikolica se kreće duž njih, gurana šipkom koja se rotira konstantnom ugaonom brzinom oko tačke koja leži unutar prstena gotovo na samim šinama. Kako se mijenja brzina prikolice dok se kreće?
Rice. 47. Za pronalaženje ugaone brzine pri vožnji obilaznicom
Rješenje. Ugao koji formira štap sa određenim smjerom mijenja se s vremenom prema linearnom zakonu: . Kao smjer iz kojeg se mjeri ugao, zgodno je uzeti prečnik kružnice koja prolazi kroz tačku (slika 47). Tačka O je centar kružnice. Očigledno, središnji ugao koji određuje položaj prikolice na kružnici je dvostruko veći od upisanog ugla zasnovanog na istom luku: Dakle, ugaona brzina prikolice kada se kreće duž šina je dvostruko veća od ugaone brzine kojom se štap rotira:
Tako se pokazalo da je ugaona brzina iz prikolice konstantna. To znači da se prikolica ravnomjerno kreće duž šina. Njegova linearna brzina je konstantna i jednaka
Ubrzanje prikolice s takvim ravnomjernim kretanjem u krugu uvijek je usmjereno prema centru O, a njegov modul je dat izrazom (4):
Pogledajte formulu (4). Kako to treba shvatiti: da li je ubrzanje i dalje proporcionalno ili obrnuto proporcionalno?
Objasnite zašto pri neravnomjernom kretanju po kružnici ugaona brzina zadržava svoje značenje, ali gubi smisao?
Ugaona brzina kao vektor. U nekim je slučajevima zgodno posmatrati ugaonu brzinu kao vektor, čiji je modul konstantan pravac okomit na ravan u kojoj leži kružnica. Koristeći takav vektor, može se napisati formula slična (3), koja izražava vektor brzine čestice koja se kreće u krug.
Rice. 48. Vektor ugaone brzine
Polazište stavljamo u centar O kružnice. Tada, kada se čestica kreće, njen radijus vektor će se rotirati samo ugaonom brzinom ω, a njen modul je uvek jednak poluprečniku kružnice (slika 48). Može se vidjeti da se vektor brzine usmjeren tangencijalno na kružnicu može predstaviti kao vektorski proizvod vektora ugaone brzine ω i vektora radijusa čestice:
Vektorski proizvod. Po definiciji, unakrsni proizvod dva vektora je vektor okomit na ravan u kojoj leže pomnoženi vektori. Izbor smjera vektorskog proizvoda vrši se prema sljedećem pravilu. Prvi množitelj je mentalno okrenut prema drugom, kao da je drška ključa. Vektorski proizvod je usmjeren u istom smjeru u kojem bi se kretao desni vijak.
Ako se faktori u vektorskom proizvodu zamijene, onda će se promijeniti smjer u suprotno: To znači da je vektorski proizvod nekomutativan.
Od sl. 48 može se vidjeti da će formula (8) dati ispravan smjer za vektor ako je vektor co usmjeren tačno onako kako je prikazano na ovoj slici. Stoga možemo formulirati sljedeće pravilo: smjer vektora kutne brzine poklapa se sa smjerom kretanja vijka s desnim navojem, čija se glava okreće u istom smjeru kako se čestica kreće po obodu.
Po definiciji, modul unakrsnog proizvoda jednak je proizvodu modula pomnoženih vektora sa sinusom ugla a između njih:
U formuli (8), pomnoženi vektori w i su okomiti jedan na drugi, dakle, kao što bi trebalo biti u skladu sa formulom (3).
Šta se može reći o unakrsnom proizvodu dva paralelna vektora?
Koji je smjer vektora ugaone brzine kazaljke na satu? Kako se ovi vektori razlikuju za kazaljke minuta i sata?
Ujednačeno kružno kretanje je najjednostavniji primjer. Na primjer, kraj kazaljke sata pomiče se duž brojčanika duž kruga. Brzina tijela u krugu naziva se brzina linije.
Kod ravnomernog kretanja tela po kružnici, modul brzine tela se ne menja tokom vremena, odnosno v = const, a menja se samo smer vektora brzine u ovom slučaju (ar = 0), a promjenu vektora brzine u smjeru karakterizira vrijednost tzv centripetalno ubrzanje() a n ili CA. U svakoj tački, vektor centripetalnog ubrzanja usmjeren je na centar kružnice duž polumjera.
Modul centripetalnog ubrzanja je jednak
a CS \u003d v 2 / R
Gdje je v linearna brzina, R je polumjer kružnice
Rice. 1.22. Kretanje tijela u krug.
Kada opisujete kretanje tijela u krugu, koristite ugao okretanja radijusa je ugao φ za koji se polumjer povučen od centra kružnice do tačke u kojoj se u tom trenutku nalazi tijelo koje se kreće rotira u vremenu t. Ugao rotacije se mjeri u radijanima. jednak uglu između dva poluprečnika kruga, dužina luka između kojih je jednaka poluprečniku kružnice (slika 1.23). To jest, ako je l = R, onda
1 radijan = l / R
Jer obim je jednako sa
l = 2πR
360 o \u003d 2πR / R \u003d 2π rad.
Shodno tome
1 rad. \u003d 57,2958 oko \u003d 57 oko 18 '
Ugaona brzina Ravnomerno kretanje tela u krugu je vrednost ω, jednaka odnosu ugla rotacije poluprečnika φ i vremenskog intervala tokom kojeg se ova rotacija vrši:
ω = φ / t
Jedinica mjere za ugaonu brzinu je radijani po sekundi [rad/s]. Modul linearne brzine određen je omjerom prijeđene udaljenosti l i vremenskog intervala t:
v= l / t
Brzina linije s ravnomjernim kretanjem duž kružnice, usmjeren je tangencijalno na datu tačku na kružnici. Kada se tačka pomiče, dužina l kružnog luka preko kojeg prelazi tačka povezana je sa uglom rotacije φ izrazom
l = Rφ
gdje je R polumjer kružnice.
Zatim, u slučaju ravnomjernog kretanja tačke, linearna i ugaona brzina su povezane relacijom:
v = l / t = Rφ / t = Rω ili v = Rω
Rice. 1.23. Radian.
Period cirkulacije- ovo je vremenski period T tokom kojeg tijelo (tačka) napravi jedan okret oko obima. Frekvencija cirkulacije- ovo je recipročna vrijednost perioda cirkulacije - broj okretaja u jedinici vremena (po sekundi). Učestalost cirkulacije označena je slovom n.
n=1/T
Za jedan period, ugao rotacije φ tačke je 2π rad, dakle 2π = ωT, odakle
T = 2π / ω
To jest, ugaona brzina je
ω = 2π / T = 2πn
centripetalno ubrzanje može se izraziti kroz period T i frekvenciju obrtaja n:
a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
Budući da linearna brzina ravnomjerno mijenja smjer, onda se kretanje duž kruga ne može nazvati ravnomjernim, ono je jednoliko ubrzano.
Ugaona brzina
Odaberite tačku na krugu 1 . Napravimo radijus. Za jedinicu vremena, tačka će se pomeriti do tačke 2 . U ovom slučaju, radijus opisuje ugao. Ugaona brzina je numerički jednaka kutu rotacije polumjera u jedinici vremena.
Period i učestalost
Period rotacije T je vrijeme potrebno tijelu da napravi jednu revoluciju.
RPM je broj okretaja u sekundi.
Učestalost i period su povezani relacijom
Odnos sa ugaonom brzinom
Brzina linije
Svaka tačka na kružnici se kreće određenom brzinom. Ova brzina se zove linearna. Smjer vektora linearne brzine uvijek se poklapa sa tangentom na kružnicu. Na primjer, iskre ispod brusilice se kreću, ponavljajući smjer trenutne brzine.
Razmotrite tačku na kružnici koja čini jedan okret, vrijeme koje se potroši - ovo je period T.Putnja koju tačka savlada je obim kružnice.
centripetalno ubrzanje
Kada se krećete po kružnici, vektor ubrzanja je uvijek okomit na vektor brzine, usmjeren na centar kružnice.
Koristeći prethodne formule, možemo izvesti sljedeće relacije
Tačke koje leže na istoj pravoj liniji koja izlazi iz središta kruga (na primjer, to mogu biti točke koje leže na žbici kotača) imat će iste ugaone brzine, period i frekvenciju. Odnosno, rotirati će se na isti način, ali s različitim linearnim brzinama. Što je tačka udaljenija od centra, to će se brže kretati.
Zakon sabiranja brzina važi i za rotaciono kretanje. Ako kretanje tijela ili referentnog okvira nije ravnomjerno, tada se zakon primjenjuje na trenutne brzine. Na primjer, brzina osobe koja hoda po rubu rotirajuće vrtuljke jednaka je vektorskom zbroju linearne brzine rotacije ruba vrtuljka i brzine osobe.
Zemlja učestvuje u dva glavna rotaciona kretanja: dnevno (oko svoje ose) i orbitalno (oko Sunca). Period rotacije Zemlje oko Sunca je 1 godina ili 365 dana. Zemlja rotira oko svoje ose od zapada prema istoku, period ove rotacije je 1 dan ili 24 sata. Geografska širina je ugao između ravni ekvatora i pravca od centra Zemlje do tačke na njenoj površini.
Prema drugom Newtonovom zakonu, uzrok svakog ubrzanja je sila. Ako tijelo koje se kreće doživljava centripetalno ubrzanje, tada priroda sila koje uzrokuju ovo ubrzanje može biti drugačija. Na primjer, ako se tijelo kreće u krug na užetu vezanom za njega, tada je sila koja djeluje sila elastičnosti.
Ako tijelo koje leži na disku rotira zajedno s diskom oko svoje ose, tada je takva sila sila trenja. Ako sila prestane djelovati, tada će se tijelo nastaviti kretati pravolinijski
Razmotrimo kretanje tačke na kružnici od A do B. Linearna brzina je jednaka
Sada pređimo na fiksni sistem povezan sa zemljom. Ukupno ubrzanje tačke A ostat će isto i po apsolutnoj vrijednosti i po smjeru, budući da se ubrzanje ne mijenja pri kretanju iz jednog inercijalnog referentnog okvira u drugi. Sa stanovišta stacionarnog posmatrača, putanja tačke A više nije kružnica, već složenija kriva (cikloida), duž koje se tačka kreće neravnomerno.
Kružno kretanje je najjednostavniji slučaj krivolinijskog kretanja tijela. Kada se tijelo kreće oko određene tačke, zajedno sa vektorom pomaka, zgodno je uvesti ugaoni pomak ∆ φ (ugao rotacije u odnosu na centar kruga), mjeren u radijanima.
Poznavajući ugaoni pomak, moguće je izračunati dužinu kružnog luka (puta) koji je tijelo prošlo.
∆ l = R ∆ φ
Ako je ugao rotacije mali, tada je ∆ l ≈ ∆ s .
Ilustrujmo šta je rečeno:
Ugaona brzina
Kod krivolinijskog kretanja uvodi se pojam ugaone brzine ω, odnosno brzine promjene ugla rotacije.
Definicija. Ugaona brzina
Ugaona brzina u datoj tački putanje je granica omjera ugaonog pomaka ∆ φ i vremenskog intervala ∆ t tokom kojeg se to dogodilo. ∆t → 0 .
ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .
Jedinica mjere za ugaonu brzinu je radijani po sekundi (r a d s).
Postoji odnos između ugaone i linearne brzine tela kada se kreće u krug. Formula za pronalaženje ugaone brzine:
Kod ravnomjernog kretanja u krugu, brzine v i ω ostaju nepromijenjene. Mijenja se samo smjer vektora linearne brzine.
U ovom slučaju na jednoliko kretanje duž kružnice na tijelu utječe centripetalno, ili normalno ubrzanje, usmjereno duž polumjera kruga do njegovog centra.
a n = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Modul centripetalnog ubrzanja može se izračunati po formuli:
a n = v 2 R = ω 2 R
Dokažimo ove odnose.
Razmotrimo kako se vektor v → mijenja tokom malog vremenskog perioda ∆ t . ∆ v → = v B → - v A → .
U tačkama A i B vektor brzine je usmeren tangencijalno na kružnicu, dok su moduli brzine u obe tačke isti.
Po definiciji ubrzanja:
a → = ∆ v → ∆ t , ∆ t → 0
Pogledajmo sliku:
Trokuti OAB i BCD su slični. Iz ovoga slijedi da je O A A B = B C C D .
Ako je vrijednost ugla ∆ φ mala, udaljenost A B = ∆ s ≈ v · ∆ t . Uzimajući u obzir da su O A = R i C D = ∆ v za slične trokute razmatrane gore, dobivamo:
R v ∆ t = v ∆ v ili ∆ v ∆ t = v 2 R
Kada je ∆ φ → 0, smjer vektora ∆ v → = v B → - v A → približava se smjeru prema centru kružnice. Uz pretpostavku da je ∆ t → 0, dobijamo:
a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆t → 0 ; a n → = v 2 R .
Kod ravnomjernog kretanja duž kružnice, modul ubrzanja ostaje konstantan, a smjer vektora se mijenja s vremenom, zadržavajući orijentaciju prema centru kruga. Zato se ovo ubrzanje naziva centripetalno: vektor je u svakom trenutku usmjeren prema centru kruga.
Zapis centripetalnog ubrzanja u vektorskom obliku je sljedeći:
a n → = - ω 2 R → .
Ovdje je R → poluprečnik vektora tačke na kružnici čiji je početak u centru.
U općem slučaju, ubrzanje pri kretanju po kružnici sastoji se od dvije komponente - normalne i tangencijalne.
Razmotrimo slučaj kada se tijelo kreće po kružnici neujednačeno. Hajde da uvedemo pojam tangencijalnog (tangencijalnog) ubrzanja. Njegov smjer se poklapa sa smjerom linearne brzine tijela i u svakoj tački kružnice je usmjeren tangencijalno na njega.
a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆t → 0
Ovdje je ∆ v τ \u003d v 2 - v 1 promjena modula brzine u intervalu ∆ t
Smjer punog ubrzanja određen je vektorskom sumom normalnih i tangencijalnih ubrzanja.
Kružno kretanje u ravni može se opisati pomoću dvije koordinate: x i y. U svakom trenutku, brzina tijela se može razložiti na komponente v x i v y.
Ako je kretanje ravnomjerno, vrijednosti v x i v y kao i odgovarajuće koordinate mijenjat će se u vremenu prema harmonijskom zakonu s periodom T = 2 π R v = 2 π ω
Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter
