Simetrala okomita u pravokutnom trokutu. Krug opisan oko trougla Trougao upisan u kružnicu

Dokaz teorema o svojstvima opisane kružnice trougla

Okomita simetrala na segment

Definicija 1. Okomita simetrala na segment naziva se prava linija koja je okomita na ovaj segment i prolazi kroz njegovu sredinu (slika 1).

Teorema 1. Svaka tačka simetrale okomite na segment je locirana na istoj udaljenosti od krajeva ovom segmentu.

Dokaz. Razmotrimo proizvoljnu tačku D koja leži na simetrali okomice na segment AB (slika 2) i dokažimo da su trouglovi ADC i BDC jednaki.

Zaista, ovi trouglovi su pravokutni trouglovi u kojima su kraci AC i BC jednaki, a krak DC je uobičajen. Jednakost trouglova ADC i BDC implicira jednakost segmenata AD i DB. Teorema 1 je dokazana.

Teorema 2 (konverzno sa teoremom 1). Ako je tačka na istoj udaljenosti od krajeva segmenta, onda leži na okomitoj simetrali na ovaj segment.

Dokaz. Dokažimo teoremu 2 kontradikcijom. U tu svrhu pretpostavimo da je neka tačka E na istoj udaljenosti od krajeva segmenta, ali ne leži na simetrali okomite na ovaj segment. Dovedemo ovu pretpostavku u kontradikciju. Razmotrimo prvo slučaj kada tačke E i A leže na suprotnim stranama simetrale okomice (slika 3). U ovom slučaju, segment EA siječe simetralu okomice u nekoj tački, koju ćemo označiti slovom D.

Dokažimo da je segment AE duži od segmenta EB. stvarno,

Dakle, u slučaju kada tačke E i A leže na suprotnim stranama simetrale okomice, imamo kontradikciju.

Pogledajmo sada slučaj kada tačke E i A leže na istoj strani simetrale okomice (slika 4). Dokažimo da je segment EB duži od segmenta AE. stvarno,

Dobivena kontradikcija završava dokaz teoreme 2

Krug opisan oko trougla

Definicija 2. Krug opisan oko trougla, naziva se kružnica koja prolazi kroz sva tri vrha trougla (slika 5). U ovom slučaju trokut se zove trougao upisan u krug ili upisani trougao.

Svojstva opisane kružnice trougla. Teorema sinusa

Slika	Crtanje	Nekretnina
Okomite simetrale na stranice trougla		seku u jednoj tački .

Centar krug opisan oko oštrog trougla		Centar opisano o oštrougao unutra trougao.
Centar krug opisan oko pravouglog trougla		Centar opisan oko pravougaona sredina hipotenuze .
Centar krug opisan oko tupouglog trougla		Centar opisano o tupougla trokut krug leži vani trougao.
		,
Square trougao		S= 2R 2 sin A grijeh B grijeh C ,
Circumradius		Za bilo koji trokut jednakost je tačna:

Okomite simetrale na stranice trougla

Sve okomite simetrale , povučen na stranice proizvoljnog trokuta, seku u jednoj tački .

Krug opisan oko trougla

Svaki trougao može biti okružen krugom . Središte kružnice opisane oko trougla je tačka u kojoj se sijeku sve okomite simetrale povučene na stranice trougla.

Centar opisane kružnice oštrog trougla

Centar opisano o oštrougao trokut krug leži unutra trougao.

Centar opisane kružnice pravouglog trougla

Centar opisan oko pravougaona trougao krug je sredina hipotenuze .

Centar opisane kružnice tupouglog trougla

Centar opisano o tupougla trokut krug leži vani trougao.

Za bilo koji trokut sljedeće jednakosti su tačne (sinusna teorema):

gdje su a, b, c stranice trougla, A, B, C su uglovi trougla, R je poluprečnik opisane kružnice.

Površina trougla

Za bilo koji trokut jednakost je tačna:

S= 2R 2 sin A grijeh B grijeh C ,

gdje su A, B, C uglovi trokuta, S je površina trokuta, R je polumjer opisane kružnice.

Circumradius

Za bilo koji trokut jednakost je tačna:

gdje su a, b, c stranice trokuta, S je površina trokuta, R je polumjer opisane kružnice.

Dokaz teorema o svojstvima opisane kružnice trougla

Teorema 3. Sve okomite simetrale povučene na stranice proizvoljnog trougla seku se u jednoj tački.

Dokaz. Razmotrimo dvije okomite simetrale povučene na stranice AC i AB trougla ABC i označimo njihovu presječnu tačku slovom O (slika 6).

Budući da tačka O leži na simetrali okomice na segment AC, onda je na osnovu teoreme 1 jednakost tačna.

Okomita simetrala (srednja okomita ili posrednica) - prava prava okomita na dati segment i prolazi kroz njegovu sredinu.

Svojstva

p_a=\tfrac(2aS)(a^2+b^2-c^2), p_b=\tfrac(2bS)(a^2+b^2-c^2), p_c=\tfrac(2cS)( a^2-b^2+c^2),

gdje indeks označava stranu na koju je povučena okomica,

S

je površina trokuta, a također se pretpostavlja da su stranice povezane nejednačinama

a\geqslant b\geqslant c.

p_a\geq p_b

p_c\geq p_b.

Drugim riječima, najmanja okomita simetrala trougla pripada srednjem segmentu.

Napišite recenziju o članku "Okomita simetrala"

Bilješke

Izvod koji karakterizira simetralu okomice

Kutuzov, prestajući da žvaće, iznenađeno je zurio u Volcogena, kao da ne shvata šta mu se govori. Wolzogen, primijetivši uzbuđenje des alten Herrna, [stari gospodin (Njemac)] reče sa osmehom:
– Nisam smatrao da imam pravo da krijem od vašeg gospodstva ono što sam video... Trupe su u potpunom neredu...
- Jeste li vidjeli? Jeste li vidjeli?.. – viknuo je Kutuzov mršteći se, brzo ustao i krenuo prema Volcogenu. “Kako... kako se usuđuješ!..” vikao je, praveći prijeteće pokrete rukovanja i gušenja. - Kako se usuđujete, dragi gospodine, da mi ovo kažete? Ne znaš ništa. Recite generalu Barkliju od mene da su njegove informacije netačne i da je pravi tok bitke poznat meni, glavnokomandujućem, bolje nego njemu.
Volcogen je hteo da prigovori, ali ga je Kutuzov prekinuo.
- Neprijatelj je odbijen na lijevom i poražen na desnom krilu. Ako niste dobro vidjeli, poštovani gospodine, onda ne dozvolite sebi da kažete ono što ne znate. Molim vas idite kod generala Barclaya i prenesite mu sutradan moju apsolutnu namjeru da napadnem neprijatelja”, rekao je Kutuzov strogo. Svi su ćutali, a čulo se samo teško disanje starog generala zadihanog. “Svuda su bili odbijeni, na čemu zahvaljujem Bogu i našoj hrabroj vojsci.” Neprijatelj je poražen i sutra ćemo ga istjerati iz svete ruske zemlje“, rekao je Kutuzov prekrstivši se; i odjednom jecao od suza koje su potekle. Wolzogen, slegnuvši ramenima i stisnuvši usne, tiho se udaljio u stranu, pitajući se uber diese Eingenommenheit des alten Herrn. [kod ove tiranije starog gospodina. (Njemački)]
„Da, evo ga, moj heroj“, rekao je Kutuzov punašnom, zgodnom, crnokosom generalu, koji je u to vreme ulazio u humku. Bio je to Raevski, koji je ceo dan proveo na glavnoj tački polja Borodina.
Raevsky je izvestio da su trupe čvrsto na svojim mestima i da se Francuzi više ne usuđuju da napadnu. Nakon što ga je saslušao, Kutuzov je rekao na francuskom:
– Vous ne pensez donc pas comme lesautres que nous sommes obliges de nous retirer? [Ne mislite, dakle, kao drugi, da se trebamo povući?]

Dati ideju o novoj klasi zadataka - konstruiranje geometrijskih figura pomoću šestara i ravnala bez podjela skale.

Uvedite koncept GMT.

Definišite simetralu okomice, naučite kako je izgraditi i dokazati teoremu o simetrali okomice, kao i njen inverz.

Koristeći kompjuterski sistem za crtanje „Compass-3D“, izvodite geometrijske konstrukcije, koje se preporučuje izvođenje na kursu geometrije pomoću šestara i ravnala.

Materijali (Dodatak br. 1)

Problemi koji uključuju konstrukciju sa šestarima i ravnalom bez podjela najčešće se rješavaju prema određenoj shemi:

I. Analiza: Šematski nacrtajte željenu figuru i uspostavite veze između podataka zadatka i potrebnih elemenata.

II. Izgradnja: Prema planiranom planu gradnja se izvodi sa šestarom i ravnalom.

III. Dokaz: Dokažite da konstruisani lik zadovoljava uslove zadatka.

IV. Studija: Provedite studiju da biste vidjeli da li problem ima rješenje za bilo koje date podatke i, ako ima, koliko rješenja postoji (ne provodi se u svim problemima).

Evo nekoliko primjera elementarnih građevinskih zadataka koje ćemo razmotriti:

1. Odvojite segment jednak zadatom (ranije proučavanom).

2. Konstrukcija simetrale okomite na segment:

konstruisati sredinu datog segmenta;
konstruisati pravu koja prolazi kroz datu tačku i okomita na datu pravu (tačka može, ali ne mora ležati na datoj pravoj).

3. Konstrukcija simetrale ugla.

4. Konstruisanje ugla jednakog datom.

Simetrala okomitog segmenta.

Definicija: Simetrala okomita na segment je prava koja prolazi sredinom segmenta i okomita je na nju.

Zadatak: “Konstruiraj simetralu okomitu na segment.” Prezentacija

O - srednji AB

Opis gradnje ( slajd broj 4):

Beam a; A – početak grede

Obim (A; r =m)

Krug a = B; AB = m

Krug 1 (A; r 1 > m/2)

Krug 2 (B; r 1)

Krug 1 Krug 2 =

MN; MN AB =0, (MN = L)

gdje je MN AB, O – sredina AB

III. Dokaz(slajd br. 5, 6)

1. Uzmite u obzir AMN i BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2, dakle AM = BN, AN = BM MN – zajednička strana

(Slika 3)

Dakle, AMN = BNM (na 3 strane),

Dakle

1= 2 (po definiciji jednako)

3= 4 (po definiciji jednako)

2. MAN i NBM su jednakokraki (po definiciji) ->

1 = 4 i 3 = 2 (prema jednakokračnom svojstvu)

3. Iz tačaka 1 i 2 -> 1 = 3 stoga je MO simetrala jednakokrake AMB

4. Tako smo dokazali da je MN simetrala okomita na segment AB

IV. Studija

Ovaj problem ima jedinstveno rješenje, jer svaki segment ima samo jednu polovinu, a kroz datu tačku se može povući jedna prava prava okomita na datu.

Definicija: Geometrijski skup tačaka (GMT) je skup tačaka koje imaju određeno svojstvo. (Dodatak br. 2)

GMT koje poznajete:

Okomita simetrala segmenta je skup tačaka jednako udaljenih od krajeva segmenta.
Simetrala ugla - skup tačaka jednako udaljenih od strana ugla

Dakle, dokažimo teoremu:

Teorema: “Svaka tačka simetrale okomite na segment jednako je udaljena od krajeva ovog segmenta.”

(Slika 4)

Dato: AB; MO – okomita simetrala

Dokazati: AM = VM

dokaz:

1. MO – simetrala okomice (po uslovu) -> O – sredina segmenta AB, MOAB

2. Razmotrite AMO i VMO - pravougaone

MO – opšta noga

AO = VO (O – sredina AB) -> AMO = VMO (na 2 kraka) -> AM = VM (po definiciji jednakih trokuta, kao odgovarajućih stranica)

Q.E.D

Domaći zadatak: “Dokaži obrnutu teoremu ovome”

Teorema: “Svaka tačka jednako udaljena od krajeva segmenta leži na simetrali okomite na ovaj segment.”

(Slika 5)

Dato: AB; MA=MV

Dokazati: Tačka M leži na okomitoj simetrali

dokaz:

To. MO je okomita simetrala koja sadrži sve tačke jednako udaljene od krajeva segmenta.

Svojstvo simetrala okomitih na stranice trougla

Seku se u jednoj tački i ta tačka je centar opisane kružnice oko trougla, koju ćemo učiti u osmom razredu.

Radionica

Materijalno-tehnička oprema:

Distribucija: 29,574 KB

OS: Windows 9x/2000/XP

Web stranica: http://www.ascon.ru

Sada prenesite konstrukciju u grafičko okruženje računara (slajd br. 7)

Prethodno stečena znanja i vještine moraju se primijeniti na određeni zadatak. Vidjet ćete da vam konstrukcija neće oduzeti ništa više vremena od konstrukcije u bilježnici. Između ostalog, zanimljivo je vidjeti kako kompjutersko okruženje izvršava ljudske komande za konstruiranje ravnih figura. Ovdje je Dodatak br. 3, koji detaljno opisuje vaše korake izgradnje. Učitajte program i otvorite novi crtež ( slajd broj 8, 9).

Nacrtajte geometrijske objekte navedene u iskazu problema: zraka A počevši od tačke A a segment je jednak m– proizvoljna dužina ( slajd broj 10).

Pomoću kartice unesite oznaku zraka, segmenta, početka zraka na crtežu „Alati“ tekst.

Konstruišite kružnicu poluprečnika koji je jednak segmentu m centriran na vrhu u datoj tački A (slajd broj 11).

m sa centrom na vrhu datoj tački A ( slajd br. 12, 13).

Konstruišite krug poluprečnika koji je jednak segmentu većem od 1/2 m Da biste to učinili, odaberite stavku " u kontekstnom izborniku RMB Između 2 boda" (slajd br. 14, 15, 16).

Kroz tačke preseka kružnica M i N nacrtaj pravu liniju ( slajd br. 17,18).

rabljene knjige:

Ugrinovich N.D. “Informatika. Osnovni kurs” 7. razred. - M.: BINOM – 2008 – 175 str.
Ugrinovich N.D. “Radionica o računarskim naukama i informacionim tehnologijama.” Tutorial. – M.: BINOM, 2004-2006. -
Ugrinovich N.D. „Nastava predmeta „Informatika i IKT“ u osnovnim i srednjim razredima 8-11 M.: Laboratorija znanja BINOM, 2008. - 180 str.
Ugrinovich N.D. Računarska radionica na CD-ROM-u. – M.: BINOM, 2004-2006.
Boguslavsky A.A., Tretyak T.M. Farafonov A.A. “Kompas - 3D v 5.11-8.0 Radionica za početnike” - M.: SOLON - PRESS, 2006 - 272 str.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al. „Geometrija 7-9. Udžbenik za srednje škole” – M: Obrazovanje 2006 – 384 str.
Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., et al. „Učenje geometrije 7-9 razreda. Metodičke preporuke za udžbenik” - M: Obrazovanje 1997 - 255 str.
Afanasjeva T.L., Tapilina L.A. „Planovi časova zasnovani na udžbeniku za 8. razred autora Atanasyana L.S.” - Volgograd “Učitelj” 2010, 166 str.

Dodatak br. 1

Plan za rješavanje zadataka koji uključuju konstrukciju sa šestarom i ravnalom.

Analiza.
Izgradnja.
Dokaz.
Studija.

Objašnjenje

Prilikom izvođenja analize šematski se iscrtava željena figura i uspostavlja se veza između podataka zadatka i potrebnih elemenata.
Prema planiranom planu, gradnja se izvodi pomoću šestara i ravnala.
Oni dokazuju da konstruisana figura zadovoljava uslove problema.
Oni provode studiju: da li problem ima rješenje za bilo koji dati podatak, i ako ima, koliko rješenja?

Primjeri elementarnih konstrukcijskih problema

Odvojite segment jednak datom.
Konstruirajte simetralu okomitu na segment.
Konstruirajte sredinu segmenta.
Konstruirajte pravu koja prolazi kroz datu tačku, okomitu na datu pravu (Tačka može, ali ne mora ležati na datoj pravoj).
Konstruisati simetralu ugla.
Konstruisati ugao jednak zadatom.

Dodatak br. 2

Geometrijski lokus tačaka (GLP) je skup tačaka koje imaju određeno svojstvo.

Primjeri GMT:

Okomita simetrala segmenta je skup tačaka jednako udaljenih od krajeva segmenta.
Krug je skup tačaka jednako udaljenih od date tačke – centra kružnice.
Simetrala ugla je skup tačaka jednako udaljenih od stranica ugla.

Svaka tačka simetrale okomice segmenta jednako je udaljena od krajeva tog segmenta.

U prethodnoj lekciji pogledali smo svojstva simetrale ugla, zatvorene u trokut i slobodne. Trokut uključuje tri ugla i za svaki od njih su sačuvana razmatrana svojstva simetrale.

Teorema:

Simetrale AA 1, BB 1, SS 1 trougla seku se u jednoj tački O (slika 1).

Rice. 1. Ilustracija za teoremu

dokaz:

Razmotrimo prvo dvije simetrale BB 1 i CC 1. Seku se, tačka preseka O postoji. Da bismo to dokazali, pretpostavimo suprotno: neka se date simetrale ne sijeku, u tom slučaju su paralelne. Tada je prava BC sekansa, a zbir uglova je , ovo je u suprotnosti sa činjenicom da je u cijelom trokutu zbir uglova .

Dakle, tačka O preseka dve simetrale postoji. Razmotrimo njegova svojstva:

Tačka O leži na simetrali ugla, što znači da je jednako udaljena od njegovih stranica BA i BC. Ako je OK okomito na BC, OL je okomito na BA, tada su dužine ovih okomica jednake - . Također, tačka O leži na simetrali ugla i jednako je udaljena od njegovih stranica CB i CA, okomice OM i OK su jednake.

Dobili smo sljedeće jednakosti:

, odnosno sve tri okomice ispuštene iz tačke O na stranice trougla su jedna drugoj.

Zanima nas jednakost okomica OL i OM. Ova jednakost kaže da je tačka O jednako udaljena od stranica ugla, pa slijedi da leži na njegovoj simetrali AA 1.

Tako smo dokazali da se sve tri simetrale trougla sijeku u jednoj tački.

Osim toga, trokut se sastoji od tri segmenta, što znači da treba uzeti u obzir svojstva pojedinačnog segmenta.

Dat je segment AB. Bilo koji segment ima polovinu i kroz njega se može povući okomica - označimo ga kao p. Dakle, p je okomita simetrala.

Rice. 2. Ilustracija za teoremu

Svaka tačka koja leži na simetrali okomice jednako je udaljena od krajeva segmenta.

Dokažite to (sl. 2).

dokaz:

Razmotrimo trouglove i . Oni su pravougaoni i jednaki, jer imaju zajedničku krak OM, a kraci AO i OB su jednaki po uslovu, tako da imamo dva pravougla trougla, jednaka u dva kraka. Iz toga slijedi da su i hipotenuze trouglova jednake, odnosno ono što je trebalo dokazati.

Obrnuta teorema je tačna.

Svaka tačka jednako udaljena od krajeva segmenta leži na okomitoj simetrali na ovaj segment.

Dati su segment AB, njegova okomita simetrala p i tačka M jednako udaljena od krajeva segmenta. Dokažite da tačka M leži na simetrali okomite na segment (slika 3).

Rice. 3. Ilustracija za teoremu

dokaz:

Zamislite trougao. Jednakokraka je, prema uslovu. Razmotrimo medijanu trougla: tačka O je sredina baze AB, OM je medijana. Prema svojstvu jednakokračnog trougla, medijana povučena do njegove osnove je i visina i simetrala. Iz toga sledi da . Ali prava p je također okomita na AB. Znamo da je u tački O moguće povući jednu okomitu na odsječak AB, što znači da se prave OM i p poklapaju, slijedi da tačka M pripada pravoj p, što smo trebali i dokazati.

Direktne i suprotne teoreme mogu se generalizirati.

Tačka leži na okomitoj simetrali segmenta ako i samo ako je jednako udaljena od krajeva ovog segmenta.

Dakle, ponovimo da postoje tri segmenta u trokutu i svojstvo simetrale okomice vrijedi za svaki od njih.

Teorema:

Okomite simetrale trougla seku se u jednoj tački.

Dat je trougao. Okomite na njegove stranice: P 1 na stranu BC, P 2 na stranu AC, P 3 na stranu AB.

Dokazati da se okomite P 1, P 2 i P 3 sijeku u tački O (slika 4).

Rice. 4. Ilustracija za teoremu

dokaz:

Razmotrimo dvije okomite simetrale P 2 i P 3, one se sijeku, presječna tačka O postoji. Dokažimo ovu činjenicu kontradiktorno – neka su okomite P 2 i P 3 paralelne. Tada je ugao obrnut, što je u suprotnosti sa činjenicom da je zbir tri ugla trougla . Dakle, postoji tačka O preseka dve od tri okomite simetrale. Osobine tačke O: leži na okomitoj simetrali na stranu AB, što znači da je jednako udaljena od krajeva segmenta AB: . Također leži na okomitoj simetrali na stranu AC, što znači . Dobili smo sljedeće jednakosti.