Riješite homogeni sistem primjera linearnih algebarskih jednadžbi. Sistem fundamentalnih odluka (konkretni primjer)
Sistemi linearnih homogenih jednačina- ima oblik ∑a k i x i = 0. gdje je m > n ili m Homogeni sistem linearnih jednadžbi je uvijek konzistentan, jer je rangA = rangB. Očigledno ima rješenje koje se sastoji od nula, koje se zove trivijalan.Svrha usluge. Online kalkulator je dizajniran da pronađe netrivijalno i fundamentalno rješenje za SLAE. Rezultirajuće rješenje se pohranjuje u Word datoteku (pogledajte primjer rješenja).
Instrukcije. Odaberite dimenziju matrice:
Osobine sistema linearnih homogenih jednačina
Da bi sistem imao netrivijalna rješenja, potrebno je i dovoljno da rang njene matrice bude manji od broja nepoznatih.Teorema. Sistem u slučaju m=n ima netrivijalno rješenje ako i samo ako je determinanta ovog sistema jednaka nuli.
Teorema. Svaka linearna kombinacija rješenja nekog sistema je također rješenje za taj sistem.
Definicija. Skup rješenja sistema linearnih homogenih jednačina naziva se fundamentalni sistem rješenja, ako se ovaj skup sastoji od linearno nezavisnih rješenja i svako rješenje sistema je linearna kombinacija ovih rješenja.
Teorema. Ako je rang r sistemske matrice manji od broja n nepoznatih, onda postoji fundamentalni sistem rješenja koji se sastoji od (n-r) rješenja.
Algoritam za rješavanje sistema linearnih homogenih jednačina
- Pronalaženje ranga matrice.
- Odabiremo osnovni mol. Razlikujemo zavisne (osnovne) i slobodne nepoznanice.
- Precrtavamo one jednačine sistema čiji koeficijenti nisu uključeni u bazni minor, jer su posljedice ostalih (prema teoremi o baznom minoru).
- Članove jednačina koje sadrže slobodne nepoznanice pomjeramo na desnu stranu. Kao rezultat, dobijamo sistem od r jednačina sa r nepoznatih, ekvivalentan datoj, čija je determinanta različita od nule.
- Rezultirajući sistem rješavamo eliminacijom nepoznanica. Nalazimo odnose koji izražavaju zavisne varijable kroz slobodne.
- Ako rang matrice nije jednak broju varijabli, tada nalazimo osnovno rješenje sistema.
- U slučaju rang = n imamo trivijalno rješenje.
Primjer. Pronađite osnovu sistema vektora (a 1, a 2,...,a m), rangirajte i izrazite vektore na osnovu baze. Ako je a 1 =(0,0,1,-1), i 2 =(1,1,2,0), i 3 =(1,1,1,1), i 4 =(3,2,1 ,4), i 5 =(2,1,0,3).
Zapišimo glavnu matricu sistema:
Pomnožite 3. red sa (-3). Dodajmo 4. red u 3.:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Pomnožite 4. red sa (-2). Pomnožimo 5. red sa (3). Dodajmo 5. red u 4.:
Dodajmo 2. red na 1.:
Nađimo rang matrice.
Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Koristeći metodu eliminacije nepoznanica, nalazimo netrivijalno rješenje:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1 , x 2 , x 3 preko slobodnih x 4 , odnosno pronašli smo opšte rešenje:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
Homogeni sistem je uvijek konzistentan i ima trivijalno rješenje 
. Da bi postojalo netrivijalno rješenje, potrebno je da je rang matrice 
bio manji od broja nepoznatih:
.
Osnovni sistem rješenja
homogeni sistem 
nazovite sistem rješenja u obliku vektora stupaca 
, koji odgovaraju kanonskoj osnovi, tj. bazi u kojoj proizvoljne konstante 
se naizmjenično postavljaju jednakima jedan, dok su ostali postavljeni na nulu.
Tada opšte rešenje homogenog sistema ima oblik:
Gdje 
- proizvoljne konstante. Drugim riječima, cjelokupno rješenje je linearna kombinacija osnovnog sistema rješenja.
Dakle, osnovna rješenja se mogu dobiti iz općeg rješenja ako se slobodnim nepoznanicama zauzvrat da vrijednost jedan, postavljajući sve ostale jednake nuli.
Primjer. Hajde da nađemo rešenje za sistem
Prihvatimo , tada ćemo dobiti rješenje u obliku:
Konstruirajmo sada fundamentalni sistem rješenja:
.
Opšte rješenje će biti zapisano kao:
Rješenja sistema homogenih linearnih jednadžbi imaju sljedeća svojstva:
Drugim riječima, svaka linearna kombinacija rješenja homogenog sistema je opet rješenje.
Rješavanje sistema linearnih jednadžbi Gaussovom metodom
Rešavanje sistema linearnih jednačina zanimalo je matematičare već nekoliko vekova. Prvi rezultati dobijeni su u 18. veku. Godine 1750. G. Kramer (1704–1752) objavio je svoje radove o determinantama kvadratnih matrica i predložio algoritam za pronalaženje inverzne matrice. Godine 1809. Gauss je iznio novi metod rješenja poznat kao metoda eliminacije.
Gaussova metoda, odnosno metoda sekvencijalne eliminacije nepoznanica, sastoji se u tome što se pomoću elementarnih transformacija sistem jednačina svodi na ekvivalentni sistem stepenastog (ili trouglastog) oblika. Takvi sistemi omogućavaju sekvencijalno pronalaženje svih nepoznatih u određenom redoslijedu.
Pretpostavimo da je u sistemu (1) 
(što je uvek moguće).
(1)
Množenjem prve jednačine jednu po jednu sa tzv odgovarajući brojevi
i dodavanjem rezultata množenja sa odgovarajućim jednačinama sistema, dobijamo ekvivalentni sistem u kojem u svim jednačinama osim u prvoj neće biti nepoznate X 1
(2)
Pomnožimo sada drugu jednačinu sistema (2) odgovarajućim brojevima, uz pretpostavku da je to 
,
i dodajući ga sa nižim, eliminišemo varijablu 
iz svih jednačina, počevši od treće.
Nastavak ovog procesa, nakon 
korak dobijamo:
(3)
Ako je barem jedan od brojeva 
nije jednako nuli, onda je odgovarajuća jednakost kontradiktorna i sistem (1) je nekonzistentan. Obrnuto, za bilo koji zajednički sistem brojeva 
jednake su nuli. Broj 
nije ništa drugo do rang matrice sistema (1).
Prijelaz iz sistema (1) u (3) se zove samo naprijed Gaussova metoda i pronalaženje nepoznanica iz (3) – obrnuto .
Komentar : Pogodnije je izvršiti transformacije ne sa samim jednadžbama, već sa proširenom matricom sistema (1).
Primjer. Hajde da nađemo rešenje za sistem
.
Napišimo proširenu matricu sistema:
.
Dodajmo prvi redovima 2,3,4, pomnožen sa (-2), (-3), (-2) redom:
.
Zamenimo redove 2 i 3, a zatim u rezultujućoj matrici dodamo red 2 na red 4, pomnožen sa 
:
.
Dodajte u red 4 red 3 pomnožen sa 
:
.
Očigledno je da 
, dakle, sistem je konzistentan. Iz rezultirajućeg sistema jednačina
nalazimo rješenje obrnutom zamjenom:
,
,
,
.
Primjer 2. Pronađite rješenje za sistem:
.
Očigledno je da je sistem nekompatibilan, jer 
, A 
.
Prednosti Gaussove metode :
Manje radno intenzivan od Cramerove metode.
Nedvosmisleno utvrđuje kompatibilnost sistema i omogućava vam da pronađete rješenje.
Omogućava određivanje ranga bilo koje matrice.
Linearna jednačina se zove homogena, ako je njegov slobodni član jednak nuli, a inače nehomogen. Sistem koji se sastoji od homogenih jednačina naziva se homogenim i ima opšti oblik:
Očigledno je da je svaki homogeni sistem konzistentan i da ima nulto (trivijalno) rješenje. Stoga, kada se primjenjuje na homogene sisteme linearnih jednačina, često se mora tražiti odgovor na pitanje postojanja rješenja različitih od nule. Odgovor na ovo pitanje može se formulisati kao sljedeća teorema.
Teorema . Homogeni sistem linearnih jednadžbi ima rješenje različito od nule ako i samo ako je njegov rang manji od broja nepoznatih .
Dokaz: Pretpostavimo da sistem čiji je rang jednak ima rješenje različito od nule. Očigledno ne prelazi . U slučaju da sistem ima jedinstveno rešenje. Pošto sistem homogenih linearnih jednačina uvijek ima nulto rješenje, onda će nulto rješenje biti ovo jedinstveno rješenje. Dakle, rješenja različita od nule moguća su samo za .
Zaključak 1 : Homogeni sistem jednačina, u kojem je broj jednačina manji od broja nepoznatih, uvijek ima rješenje različito od nule.
Dokaz: Ako sistem jednačina ima , tada rang sistema ne prelazi broj jednačina, tj. . Dakle, uslov je zadovoljen i, prema tome, sistem ima rešenje različito od nule.
Zaključak 2 : Homogeni sistem jednačina sa nepoznatim ima rešenje različito od nule ako i samo ako je njegova determinanta nula.
Dokaz: Pretpostavimo da sistem linearnih homogenih jednačina, čija matrica sa determinantom , ima rješenje različito od nule. Zatim, prema dokazanoj teoremi, a to znači da je matrica singularna, tj. .
Kronecker-Capelli teorema: SLU je konzistentan ako i samo ako je rang sistemske matrice jednak rangu proširene matrice ovog sistema. Sistem ur se naziva dosljednim ako ima barem jedno rješenje.Homogeni sistem linearnih algebarskih jednačina.
Sistem od m linearnih jednačina sa n varijabli naziva se sistem linearnih homogenih jednačina ako su svi slobodni članovi jednaki 0. Sistem linearnih homogenih jednačina je uvijek konzistentan, jer uvijek ima barem nulto rješenje. Sistem linearnih homogenih jednačina ima rješenje različito od nule ako i samo ako je rang njegove matrice koeficijenata za varijable manji od broja varijabli, tj. za rang A (n. Bilo koja linearna kombinacija
Lin sistemska rješenja. homogena. ur-ii je također rješenje za ovaj sistem.
Sistem linearnih nezavisnih rješenja e1, e2,...,ek naziva se fundamentalnim ako je svako rješenje sistema linearna kombinacija rješenja. Teorema: ako je rang r matrice koeficijenata za varijable sistema linearnih homogenih jednačina manji od broja varijabli n, onda se svaki fundamentalni sistem rješenja sistema sastoji od n-r rješenja. Dakle, opšte rešenje linearnog sistema. jednog dana ur-th ima oblik: c1e1+c2e2+...+skek, gdje je e1, e2,..., ek bilo koji fundamentalni sistem rješenja, c1, c2,...,ck su proizvoljni brojevi i k=n-r. Opšte rješenje sistema od m linearnih jednačina sa n varijabli jednako je zbiru
opšteg rešenja sistema koji mu odgovara je homogena. linearne jednačine i proizvoljno partikularno rješenje ovog sistema.
7. Linearni prostori. Podprostori. Osnova, dimenzija. Linearna školjka. Linearni prostor se zove n-dimenzionalan, ako u njemu postoji sistem linearno nezavisnih vektora, a svaki sistem većeg broja vektora je linearno zavisan. Broj je pozvan dimenzija (broj dimenzija) linearni prostor i označen je sa . Drugim riječima, dimenzija prostora je maksimalni broj linearno nezavisnih vektora ovog prostora. Ako takav broj postoji, onda se prostor naziva konačno-dimenzionalnim. Ako za bilo koji prirodni broj n postoji sistem u prostoru koji se sastoji od linearno nezavisnih vektora, onda se takav prostor naziva beskonačno-dimenzionalnim (piše: ). U nastavku, osim ako nije drugačije navedeno, razmatrat će se prostori konačnih dimenzija.
Osnova n-dimenzionalnog linearnog prostora je uređena kolekcija linearno nezavisnih vektora ( baznih vektora).
Teorema 8.1 o proširenju vektora u smislu baze. Ako je osnova n-dimenzionalnog linearnog prostora, tada se bilo koji vektor može predstaviti kao linearna kombinacija baznih vektora:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
i, štaviše, na jedini način, tj. koeficijenti se određuju jedinstveno. Drugim riječima, bilo koji vektor prostora može se proširiti u osnovu i, štaviše, na jedinstven način.
Zaista, dimenzija prostora je . Sistem vektora je linearno nezavisan (ovo je osnova). Nakon dodavanja bilo kojeg vektora bazi, dobijamo linearno zavisan sistem (pošto se ovaj sistem sastoji od vektora n-dimenzionalnog prostora). Koristeći svojstvo 7 linearno zavisnih i linearno nezavisnih vektora, dobijamo zaključak teoreme.
6.3. HOMOGENI SISTEMI LINEARNIH JEDNAČINA
Neka sada u sistemu (6.1).
Homogeni sistem je uvek konzistentan. Rješenje () se zove nula, ili trivijalan.
Homogeni sistem (6.1) ima rješenje različito od nule ako i samo ako je njegov rang ( 
) je manji od broja nepoznatih. Konkretno, homogeni sistem u kojem je broj jednačina jednak broju nepoznatih ima rješenje različito od nule ako i samo ako je njegova determinanta nula.
Jer ovaj put sve
, umjesto formule (6.6) dobijamo sljedeće:
(6.7)
Formule (6.7) sadrže bilo koje rješenje homogenog sistema (6.1).
1. Skup svih rješenja homogenog sistema linearnih jednačina (6.1) čini linearni prostor.
2. Linearni prostorRsva rješenja homogenog sistema linearnih jednačina (6.1) sannepoznanice i rang glavne matrice jednakr, ima dimenzijun–r.
Bilo koji set (n–r) linearno nezavisna rješenja homogenog sistema (6.1) čini osnovu u prostoruRsve odluke. To se zove fundamentalno skup rješenja homogenog sistema jednačina (6.1). Poseban naglasak je stavljen na "normalno" osnovni skup rješenja homogenog sistema (6.1):
(6.8)
Po definiciji osnove, bilo koje rješenje X homogeni sistem (6.1) može se predstaviti u obliku
(6.9)
Gdje 
– proizvoljne konstante.
Budući da formula (6.9) sadrži bilo koje rješenje homogenog sistema (6.1), ona daje zajednička odluka ovaj sistem.
Primjer.
Rješenje pronađite pomoću kalkulatora. Algoritam rješenja je isti kao i za sisteme linearnih nehomogenih jednačina.
Radeći samo sa redovima, nalazimo rang matrice, bazni minor; Proglašavamo zavisne i slobodne nepoznanice i pronalazimo opšte rešenje.
Prvi i drugi red su proporcionalni, precrtajmo jedan od njih:
.
Zavisne varijable – x 2, x 3, x 5, slobodne – x 1, x 4. Iz prve jednačine 10x 5 = 0 nalazimo x 5 = 0, dakle
; .
Opšte rješenje je:
Pronalazimo fundamentalni sistem rješenja, koji se sastoji od (n-r) rješenja. U našem slučaju, n=5, r=3, dakle, osnovni sistem rješenja sastoji se od dva rješenja, a ova rješenja moraju biti linearno nezavisna. Da bi redovi bili linearno nezavisni, potrebno je i dovoljno da rang matrice sastavljene od elemenata redova bude jednak broju redova, odnosno 2. Dovoljno je dati slobodne nepoznanice x 1 i x 4 vrijednosti iz redova determinante drugog reda, različita od nule, i izračunajte x 2 , x 3 , x 5 . Najjednostavnija determinanta koja nije nula je .
Dakle, prvo rješenje je:
, sekunda - 
.
Ove dvije odluke čine temeljni sistem odlučivanja. Imajte na umu da osnovni sistem nije jedinstven (možete kreirati onoliko nenultih determinanti koliko želite).
Primjer 2. Naći opšte rešenje i osnovni sistem rešenja sistema 
Rješenje.
,
slijedi da je rang matrice 3 i jednak broju nepoznanica. To znači da sistem nema slobodne nepoznanice, pa stoga ima jedinstveno rješenje - trivijalno.
Vježba. Istražite i riješite sistem linearnih jednačina.
Primjer 4
Vježba. Pronađite opšta i posebna rješenja za svaki sistem.
Rješenje. Zapišimo glavnu matricu sistema:
| 5 | -2 | 9 | -4 | -1 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Hajde da svedemo matricu na trouglasti oblik. Radit ćemo samo sa redovima, jer množenje reda matrice brojem koji nije nula i dodavanje u drugi red za sistem znači množenje jednačine istim brojem i dodavanje sa drugom jednačinom, što ne mijenja rješenje sistem.
Pomnožite 2. red sa (-5). Dodajmo 2. red na 1.:
| 0 | -22 | -1 | -14 | 24 |
| 1 | 4 | 2 | 2 | -5 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
Pomnožimo 2. red sa (6). Pomnožite 3. red sa (-1). Dodajmo 3. red u 2.:
Nađimo rang matrice.
| 0 | 22 | 1 | 14 | -24 |
| 6 | 2 | 11 | -2 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 3 | x 4 | x 5 |
Odabrani minor ima najveći red (od mogućih minora) i nije nula (jednak je proizvodu elemenata na obrnutoj dijagonali), stoga rang(A) = 2.
Ovaj minor je osnovni. Uključuje koeficijente za nepoznate x 1 , x 2 , što znači da su nepoznate x 1 , x 2 zavisne (osnovne), a x 3 , x 4 , x 5 su slobodne.
Transformirajmo matricu, ostavljajući samo bazni mol na lijevoj strani.
| 0 | 22 | 14 | -1 | -24 |
| 6 | 2 | -2 | -11 | -6 |
| x 1 | x 2 | x 4 | x 3 | x 5 |
Sistem sa koeficijentima ove matrice je ekvivalentan originalnom sistemu i ima oblik:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Koristeći metodu eliminacije nepoznanica, nalazimo netrivijalno rešenje:
Dobili smo relacije koje izražavaju zavisne varijable x 1 , x 2 preko slobodnih x 3 , x 4 , x 5 , tj. zajednička odluka:
x 2 = 0,64x 4 - 0,0455x 3 - 1,09x 5
x 1 = - 0,55x 4 - 1,82x 3 - 0,64x 5
Pronalazimo fundamentalni sistem rješenja, koji se sastoji od (n-r) rješenja.
U našem slučaju, n=5, r=2, dakle, osnovni sistem rješenja sastoji se od 3 rješenja, a ta rješenja moraju biti linearno nezavisna.
Da bi redovi bili linearno nezavisni, potrebno je i dovoljno da rang matrice sastavljene od elemenata reda bude jednak broju redova, odnosno 3.
Dovoljno je dati slobodne nepoznanice x 3 , x 4 , x 5 vrijednosti iz linija determinante 3. reda, različite od nule, i izračunati x 1 , x 2 .
Najjednostavnija determinanta koja nije nula je matrica identiteta.
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Zadatak. Pronađite osnovni skup rješenja homogenog sistema linearnih jednačina.
