Rješavanje trigonometrijskih jednačina. Trigonometrijske jednadžbe Riješite trigonometrijsku jednačinu sinx 1 2

Video kurs “Osvoji A” obuhvata sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. U potpunosti svi zadaci 1-13 profilnog Jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Pogodan i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite da položite Jedinstveni državni ispit sa 90-100 bodova, prvi dio morate riješiti za 30 minuta i bez greške!

Pripremni kurs za Jedinstveni državni ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što vam je potrebno za rješavanje 1. dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A to je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne mogu ni student sa 100 bodova ni student humanističkih nauka.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne Jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI banke zadataka. Kurs je u potpunosti usklađen sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Kurs sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je data od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerovatnoće. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Šaljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto nabijanja. Jasna objašnjenja složenih koncepata. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i derivacija. Osnova za rješavanje složenih zadataka 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

Jednom sam bio svjedok razgovora između dva aplikanta:

– Kada treba dodati 2πn, a kada πn? Samo se ne mogu sjetiti!

– I ja imam isti problem.

Hteo sam da im kažem: „Ne morate da pamtite, već razumete!“

Ovaj članak je prvenstveno namijenjen srednjoškolcima i, nadam se, pomoći će im da riješe najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe s "razumijevanjem":

Brojčani krug

Uz pojam brojevne prave, postoji i pojam brojevnog kruga. kao sto znamo, u pravougaonom koordinatnom sistemu, kružnica sa centrom u tački (0;0) i poluprečnikom 1 naziva se jedinični krug. Zamislimo brojevnu pravu kao tanku nit i namotamo je oko ovog kruga: pričvrstit ćemo ishodište (tačka 0) na "desnu" tačku jedinične kružnice, pozitivnu poluos ćemo omotati u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnu polu -osa u pravcu (slika 1). Takav jedinični krug naziva se numerički krug.

Svojstva brojevnog kruga

• Svaki realan broj leži u jednoj tački na brojevnoj kružnici.
• Postoji beskonačno mnogo realnih brojeva u svakoj tački brojevnog kruga. Pošto je dužina jedinične kružnice 2π, razlika između bilo koja dva broja u jednoj tački kružnice jednaka je jednom od brojeva ±2π; ±4π ; ±6π ; ...

da zaključimo: znajući jedan od brojeva tačke A, možemo pronaći sve brojeve tačke A.

Nacrtajmo prečnik AC (slika 2). Pošto je x_0 jedan od brojeva tačke A, onda su brojevi x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... i samo oni će biti brojevi tačke C. Hajde da izaberemo jedan od ovih brojeva, recimo, x_0+π, i koristimo ga da zapišemo sve brojeve tačke C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Imajte na umu da se brojevi u tačkama A i C mogu kombinovati u jednu formulu: x_(A ; C)=x_0+πk,k∈Z (za k = 0; ±2; ±4; ... dobijamo brojeve tačka A, a za k = ±1; ±3; ±5; … – brojevi tačke C).

da zaključimo: znajući jedan od brojeva u jednoj od tačaka A ili C prečnika AC, možemo pronaći sve brojeve u tim tačkama.

• Dva suprotna broja nalaze se na tačkama kružnice koje su simetrične u odnosu na osu apscise.

Nacrtajmo vertikalnu tetivu AB (slika 2). Pošto su tačke A i B simetrične oko ose Ox, broj -x_0 se nalazi u tački B i stoga su svi brojevi tačke B dati formulom: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Zapisujemo brojeve u tačkama A i B koristeći jednu formulu: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Zaključimo: poznavajući jedan od brojeva u jednoj od tačaka A ili B okomite tetive AB, možemo pronaći sve brojeve u tim tačkama. Razmotrimo horizontalnu tetivu AD i pronađemo brojeve tačke D (slika 2). Pošto je BD prečnik i broj -x_0 pripada tački B, onda je -x_0 + π jedan od brojeva tačke D i, stoga, svi brojevi ove tačke su dati formulom x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Brojevi u tačkama A i D se mogu napisati pomoću jedne formule: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z. (za k= 0; ±2; ±4; … dobijamo brojeve tačke A, a za k = ±1; ±3; ±5; … – brojeve tačke D).

da zaključimo: znajući jedan od brojeva u jednoj od tačaka A ili D horizontalne tetive AD, možemo pronaći sve brojeve u tim tačkama.

Šesnaest glavnih tačaka brojevnog kruga

U praksi, rješavanje većine najjednostavnijih trigonometrijskih jednačina uključuje šesnaest tačaka na kružnici (slika 3). Šta su ove tačke? Crvene, plave i zelene tačke dijele krug na 12 jednakih dijelova. Pošto je dužina polukruga π, onda je dužina luka A1A2 π/2, dužina luka A1B1 je π/6, a dužina luka A1C1 je π/3.

Sada možemo označiti jedan po jedan broj:

π/3 na C1 i

Vrhovi narandžastog kvadrata su sredine lukova svake četvrtine, stoga je dužina luka A1D1 jednaka π/4 i stoga je π/4 jedan od brojeva tačke D1. Koristeći svojstva brojčanog kruga, možemo koristiti formule da zapišemo sve brojeve na svim označenim tačkama našeg kruga. Koordinate ovih tačaka su takođe označene na slici (opis njihovog sticanja ćemo izostaviti).

Nakon što smo naučili gore navedeno, sada imamo dovoljnu pripremu za rješavanje posebnih slučajeva (za devet vrijednosti broja a) najjednostavnije jednačine.

Riješite jednačine

1)sinx=1⁄(2).

– Šta se od nas traži?

– Pronađite sve one brojeve x čiji je sinus jednak 1/2.

Prisjetimo se definicije sinusa: sinx – ordinata tačke na brojevnoj kružnici na kojoj se nalazi broj x. Imamo dvije tačke na kružnici čija je ordinata jednaka 1/2. Ovo su krajevi horizontalne tetive B1B2. To znači da je zahtjev “riješi jednačinu sinx=1⁄2” ekvivalentan zahtjevu “pronađi sve brojeve u tački B1 i sve brojeve u tački B2.”

2)sinx=-√3⁄2 .

Moramo pronaći sve brojeve u tačkama C4 i C3.

3) sinx=1. Na kružnici imamo samo jednu tačku sa ordinatom 1 - tačku A2 i stoga moramo pronaći samo sve brojeve ove tačke.

Odgovor: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Samo tačka A_4 ima ordinatu -1. Svi brojevi ove tačke bit će konji jednadžbe.

Odgovor: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Na kružnici imamo dvije tačke sa ordinatom 0 - tačke A1 i A3. Možete naznačiti brojeve u svakoj tački posebno, ali s obzirom na to da su ove tačke dijametralno suprotne, bolje ih je spojiti u jednu formulu: x=πk,k∈Z.

Odgovor: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Prisjetimo se definicije kosinusa: cosx je apscisa tačke na brojevnoj kružnici na kojoj se nalazi broj x. Na kružnici imamo dvije tačke sa apscisom √2⁄2 - krajevi horizontalne tetive D1D4. Moramo pronaći sve brojeve na ovim tačkama. Hajde da ih zapišemo, kombinujući ih u jednu formulu.

Odgovor: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Moramo pronaći brojeve u tačkama C_2 i C_3.

Odgovor: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Samo tačke A2 i A4 imaju apscisu 0, što znači da će svi brojevi u svakoj od ovih tačaka biti rješenja jednačine.
.

Rješenja jednadžbe sistema su brojevi u tačkama B_3 i B_4. Na cosx nejednakost<0 удовлетворяют только числа b_3
Odgovor: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Imajte na umu da je za bilo koju dopuštenu vrijednost x drugi faktor pozitivan i, prema tome, jednačina je ekvivalentna sistemu

Rješenja sistemske jednačine su broj tačaka D_2 i D_3. Brojevi tačke D_2 ne zadovoljavaju nejednakost sinx≤0,5, ali brojevi tačke D_3 zadovoljavaju.

blog.site, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelimično, potrebna je veza do originalnog izvora.

Glavne metode za rješavanje trigonometrijskih jednačina su: svođenje jednadžbi na najjednostavnije (koristeći trigonometrijske formule), uvođenje novih varijabli i faktoring. Pogledajmo njihovu upotrebu na primjerima. Obratite pažnju na format pisanja rješenja trigonometrijskih jednačina.

Neophodan uslov za uspešno rešavanje trigonometrijskih jednačina je poznavanje trigonometrijskih formula (tema 13 rada 6).

Primjeri.

1. Jednačine svedene na najjednostavnije.

1) Riješite jednačinu

Rješenje:

odgovor:

2) Pronađite korijene jednačine

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, koji pripada segmentu.

Rješenje:

odgovor:

2. Jednačine koje se svode na kvadratne.

1) Riješite jednačinu 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Rješenje: Koristeći formulu sin 2 x = 1 – cos 2 x, dobijamo

odgovor:

2) Riješite jednačinu cos 2x = 1 + 4 cosx.

Rješenje: Koristeći formulu cos 2x = 2 cos 2 x – 1, dobijamo

odgovor:

3) Riješite jednačinu tgx – 2ctgx + 1 = 0

Rješenje:

odgovor:

3. Homogene jednadžbe

1) Riješite jednačinu 2sinx – 3cosx = 0

Rješenje: Neka je cosx = 0, tada je 2sinx = 0 i sinx = 0 – kontradikcija sa činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1. To znači cosx ≠ 0 i jednačinu možemo podijeliti sa cosx. Dobijamo

odgovor:

2) Riješite jednačinu 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Rješenje:

Koristimo formule 1 = sin 2 x + cos 2 x i sin 2x = 2 sinxcosx, dobijamo

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Neka je cosx = 0, tada je sin 2 x = 0 i sinx = 0 – kontradikcija sa činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1.
To znači cosx ≠ 0 i jednačinu možemo podijeliti sa cos 2 x . Dobijamo

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Označimo tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arktan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

odgovor: arctg4 + 2 k, arktan2 + 2 k, k

4. Jednačine oblika a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Riješite jednačinu.

Rješenje:

odgovor:

5. Jednačine riješene faktorizacijom.

1) Riješite jednačinu sin2x – sinx = 0.

Korijen jednadžbe f (X) = φ ( X) može poslužiti samo kao broj 0. Provjerimo ovo:

cos 0 = 0 + 1 – jednakost je tačna.

Broj 0 je jedini korijen ove jednadžbe.

odgovor: 0.