Derivat kompleksne funkcije x x. Složeni derivati

Navedeni su primjeri izračunavanja izvoda pomoću formule za izvod kompleksne funkcije.

Vidi također: Dokaz formule za izvod kompleksne funkcije

Osnovne formule

Ovdje dajemo primjere izračunavanja derivata sljedećih funkcija:
; ; ; ; .

Ako se funkcija može predstaviti kao složena funkcija u sljedećem obliku:
,
tada je njegov izvod određen formulom:
.
U primjerima ispod, zapisat ćemo ovu formulu na sljedeći način:
.
Gdje .
Ovdje indeksi ili , koji se nalaze ispod predznaka derivacije, označavaju varijable pomoću kojih se vrši diferencijacija.

Obično se u tablicama izvoda daju izvode funkcija iz varijable x. Međutim, x je formalni parametar. Varijabla x može se zamijeniti bilo kojom drugom varijablom. Stoga, kada razlikujemo funkciju od varijable, jednostavno mijenjamo, u tablici izvoda, varijablu x u varijablu u.

Jednostavni primjeri

Primjer 1

Pronađite izvod kompleksne funkcije
.

Zapišimo datu funkciju u ekvivalentnom obliku:
.
U tabeli derivata nalazimo:
;
.

Prema formuli za izvod kompleksne funkcije imamo:
.
Evo.

Primjer 2

Pronađite izvod
.

Konstantu 5 uzimamo iz predznaka derivacije i iz tabele derivacija nalazimo:
.

.
Evo.

Primjer 3

Pronađite izvod
.

Izvlačimo konstantu -1 za predznak derivacije i iz tabele derivacija nalazimo:
;
Iz tabele derivata nalazimo:
.

Primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije:
.
Evo.

Složeniji primjeri

U složenijim primjerima primjenjujemo pravilo za diferenciranje složene funkcije nekoliko puta. U ovom slučaju derivaciju računamo od kraja. To jest, razbijamo funkciju na njene sastavne dijelove i pomoću njih pronalazimo derivate najjednostavnijih dijelova tabela derivata. Takođe koristimo pravila za razlikovanje suma, proizvodi i frakcije. Zatim vršimo zamjene i primjenjujemo formulu za izvod kompleksne funkcije.

Primjer 4

Pronađite izvod
.

Odaberimo najjednostavniji dio formule i pronađemo njenu derivaciju. .

.
Ovdje smo koristili notaciju
.

Dobivenim rezultatima nalazimo derivaciju sljedećeg dijela originalne funkcije. Primjenjujemo pravilo za razlikovanje sume:
.

Još jednom primjenjujemo pravilo diferencijacije složenih funkcija.

.
Evo.

Primjer 5

Pronađite izvod funkcije
.

Odaberimo najjednostavniji dio formule i pronađimo njen izvod iz tablice derivacija. .

Primjenjujemo pravilo diferencijacije složenih funkcija.
.
Evo
.

Razlikujemo sljedeći dio koristeći dobijene rezultate.
.
Evo
.

Hajde da razlikujemo sledeći deo.

.
Evo
.

Sada nalazimo derivaciju željene funkcije.

.
Evo
.

Funkcije složenog tipa ne odgovaraju uvijek definiciji složene funkcije. Ako postoji funkcija oblika y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, onda se ona ne može smatrati složenom, za razliku od y = sin 2 x.

Ovaj članak će pokazati koncept kompleksne funkcije i njenu identifikaciju. Poradimo s formulama za pronalaženje izvoda s primjerima rješenja u zaključku. Upotreba tablice izvoda i pravila diferencijacije značajno skraćuje vrijeme za pronalaženje izvoda.

Osnovne definicije

Kompleksna funkcija je ona čiji je argument također funkcija.

Označava se ovako: f (g (x)). Imamo da se funkcija g (x) smatra argumentom f (g (x)).

Definicija 2

Ako postoji funkcija f i ona je kotangensna funkcija, onda je g(x) = ln x funkcija prirodnog logaritma. Nalazimo da će kompleksna funkcija f (g (x)) biti zapisana kao arctg(lnx). Ili funkciju f, koja je funkcija podignuta na 4. stepen, gdje se g (x) = x 2 + 2 x - 3 smatra cijelom racionalnom funkcijom, dobijamo da je f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Očigledno je da g(x) može biti kompleksan. Iz primjera y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 jasno je da vrijednost g ima kubni korijen razlomka. Ovaj izraz se može označiti kao y = f (f 1 (f 2 (x))). Odakle imamo da je f sinusna funkcija, a f 1 je funkcija koja se nalazi ispod kvadratnog korijena, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 je frakciona racionalna funkcija.

Definicija 3

Stepen ugniježđenja je određen bilo kojim prirodnim brojem i zapisuje se kao y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definicija 4

Koncept kompozicije funkcije odnosi se na broj ugniježđenih funkcija prema uvjetima problema. Za rješavanje koristite formulu za pronalaženje izvoda složene funkcije oblika

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Primjeri

Naći izvod kompleksne funkcije oblika y = (2 x + 1) 2.

Rješenje

Uslov pokazuje da je f funkcija kvadriranja, a g(x) = 2 x + 1 se smatra linearnom funkcijom.

Primijenimo formulu derivacije za složenu funkciju i napišimo:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Potrebno je pronaći izvod sa pojednostavljenim izvornim oblikom funkcije. Dobijamo:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Odavde imamo to

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Rezultati su bili isti.

Prilikom rješavanja problema ovog tipa važno je razumjeti gdje će se nalaziti funkcija oblika f i g (x).

Primjer 2

Trebali biste pronaći izvode kompleksnih funkcija oblika y = sin 2 x i y = sin x 2.

Rješenje

Prva notacija funkcije kaže da je f funkcija kvadriranja, a g(x) sinusna funkcija. Onda to shvatamo

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x cos x

Drugi unos pokazuje da je f sinusna funkcija, a g(x) = x 2 označava funkciju stepena. Iz toga slijedi da proizvod kompleksne funkcije pišemo kao

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Formula za izvod y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . (f n (x))))) biće napisana kao y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x) )) )) · . . . fn "(x)

Primjer 3

Naći derivaciju funkcije y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)).

Rješenje

Ovaj primjer pokazuje poteškoću pisanja i određivanja lokacije funkcija. Tada y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) označava gdje je f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) sinusna funkcija, funkcija podizanja do 3 stepena, funkcija sa logaritmom i bazom e, arktangens i linearna funkcija.

Iz formule za definiranje kompleksne funkcije imamo to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Dobijamo ono što treba da nađemo

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) kao derivacija sinusa prema tabeli derivacija, onda f" (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) kao izvod funkcije stepena, onda f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))) kao logaritamski izvod, onda f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) kao izvod arktangensa, tada je f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. Kada nađete izvod f 4 (x) = 2 x, uklonite 2 iz predznaka derivacije koristeći formulu za izvod funkcije stepena s eksponentom jednakim 1, tada je f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Kombinujemo srednje rezultate i dobijamo to

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = cos (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 cos (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza takvih funkcija podsjeća na lutke gnjezdarice. Pravila diferencijacije se ne mogu uvijek eksplicitno primijeniti korištenjem derivacijske tablice. Često morate koristiti formulu za pronalaženje derivata složenih funkcija.

Postoje neke razlike između složenog izgleda i složenih funkcija. Uz jasnu sposobnost razlikovanja, pronalaženje derivata će biti posebno lako.

Primjer 4

Potrebno je razmotriti davanje takvog primjera. Ako postoji funkcija oblika y = t g 2 x + 3 t g x + 1, onda se može smatrati kompleksnom funkcijom oblika g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Očigledno, potrebno je koristiti formulu za složeni derivat:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 cos 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 cos 2 x = 2 t g x + 3 cos 2 x

Funkcija oblika y = t g x 2 + 3 t g x + 1 ne smatra se složenom, jer ima zbir t g x 2, 3 t g x i 1. Međutim, t g x 2 se smatra kompleksnom funkcijom, tada dobijamo funkciju stepena oblika g (x) = x 2 i f, koja je tangentna funkcija. Da biste to učinili, diferencirajte po količini. Shvatili smo to

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 cos 2 x

Idemo dalje na pronalaženje izvoda kompleksne funkcije (t g x 2) ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 cos 2 g (x) = 1 cos 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Dobijamo da je y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Funkcije složenog tipa mogu biti uključene u složene funkcije, a same složene funkcije mogu biti komponente funkcija složenog tipa.

Primjer 5

Na primjer, razmotrite kompleksnu funkciju oblika y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Ova funkcija se može predstaviti kao y = f (g (x)), gdje je vrijednost f funkcija logaritma baze 3, a g (x) se smatra zbirom dvije funkcije oblika h (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 i k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Očigledno, y = f (h (x) + k (x)).

Razmotrimo funkciju h(x). Ovo je omjer l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 prema m (x) = e x 2 + 3 3

Imamo da je l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) zbir dviju funkcija n (x) = x 2 + 7 i p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , gdje je p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) je kompleksna funkcija s numeričkim koeficijentom 3, a p 1 je funkcija kocke, p 2 kosinusnom funkcijom, p 3 (x) = 2 x + 1 linearnom funkcijom.

Otkrili smo da je m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) zbir dvije funkcije q (x) = e x 2 i r (x) = 3 3, gdje je q (x) = q 1 (q 2 (x)) je kompleksna funkcija, q 1 je funkcija s eksponencijalom, q 2 (x) = x 2 je funkcija stepena.

Ovo pokazuje da je h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Kada se pređe na izraz oblika k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), jasno je da je funkcija predstavljena u obliku kompleksa s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) sa racionalnim cijelim brojem t (x) = x 2 + 1, gdje je s 1 funkcija kvadriranja, a s 2 (x) = ln x je logaritamska sa baza e.

Iz toga slijedi da će izraz dobiti oblik k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Onda to shvatamo

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Na osnovu strukture funkcije postalo je jasno kako i koje formule treba koristiti za pojednostavljenje izraza prilikom njegovog razlikovanja. Da bismo se upoznali sa ovakvim problemima i za koncept njihovog rješavanja, potrebno je prijeći na točku diferenciranja funkcije, odnosno pronalaženja njene derivacije.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Ako g(x) I f(u) – diferencibilne funkcije njihovih argumenata u tačkama x I u= g(x), onda je kompleksna funkcija također diferencibilna u tački x i nalazi se po formuli

Tipična greška pri rješavanju derivativnih problema je mehanički prenošenje pravila za diferenciranje jednostavnih funkcija na složene funkcije. Naučimo izbjeći ovu grešku.

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Pogrešno rješenje: izračunajte prirodni logaritam svakog člana u zagradama i potražite zbir izvoda:

Ispravno rješenje: ponovo određujemo gde je "jabuka", a gde "mleveno meso". Ovdje je prirodni logaritam izraza u zagradama "jabuka", odnosno funkcija nad međuargumentom u, a izraz u zagradi je “mljeveno meso”, odnosno srednji argument u nezavisnom varijablom x.

Zatim (koristeći formulu 14 iz tabele derivata)

U mnogim problemima iz stvarnog života, izraz s logaritmom može biti nešto složeniji, zbog čega postoji pouka

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Pogrešno rješenje:

Ispravno rješenje. Još jednom utvrđujemo gdje je "jabuka", a gdje "mleveno meso". Ovdje je kosinus izraza u zagradama (formula 7 u tabeli izvoda) „jabuka“, priprema se u načinu 1, koji utiče samo na nju, a izraz u zagradama (izvod stepena je broj 3 u tabeli derivata) je „mleveno meso“, priprema se u režimu 2, koji utiče samo na njega. I kao i uvijek, povezujemo dvije izvedenice sa znakom proizvoda. rezultat:

Derivat složene logaritamske funkcije čest je zadatak u testovima, pa vam toplo preporučujemo da prisustvujete lekciji „Izvod logaritamske funkcije“.

Prvi primjeri bili su na složenim funkcijama, u kojima je međuargument o nezavisnoj varijabli bila jednostavna funkcija. Ali u praktičnim zadacima često je potrebno pronaći derivaciju složene funkcije, gdje je međuargument ili sam kompleksna funkcija ili sadrži takvu funkciju. Šta učiniti u takvim slučajevima? Pronađite derivate takvih funkcija koristeći tablice i pravila diferencijacije. Kada se pronađe derivat srednjeg argumenta, on se jednostavno zamjenjuje na pravo mjesto u formuli. U nastavku su dva primjera kako se to radi.

Osim toga, korisno je znati sljedeće. Ako se složena funkcija može predstaviti kao lanac od tri funkcije

onda njen izvod treba naći kao proizvod izvoda svake od ovih funkcija:

Mnogi od vaših domaćih zadataka mogu zahtijevati da otvorite svoje vodiče u novim prozorima. Akcije sa moćima i korijenima I Operacije sa razlomcima .

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Primjenjujemo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije, ne zaboravljajući da u rezultirajućem proizvodu derivacija postoji srednji argument u odnosu na nezavisnu varijablu x ne mijenja se:

Pripremamo drugi faktor proizvoda i primjenjujemo pravilo za razlikovanje sume:

Drugi član je korijen, dakle

Tako smo otkrili da srednji argument, koji je zbir, sadrži složenu funkciju kao jedan od pojmova: podizanje na stepen je složena funkcija, a ono što se podiže na stepen je međuargument u odnosu na nezavisnu funkciju. varijabla x.

Stoga ponovo primjenjujemo pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Stepen prvog faktora pretvaramo u korijen, a kada razlikujemo drugi faktor, ne zaboravite da je izvod konstante jednak nuli:

Sada možemo pronaći derivaciju srednjeg argumenta potrebnog za izračunavanje derivacije kompleksne funkcije potrebne u iskazu problema y:

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Prvo koristimo pravilo za razlikovanje sume:

Dobili smo zbir izvoda dvije kompleksne funkcije. Nađimo prvu:

Ovdje je podizanje sinusa na stepen složena funkcija, a sam sinus je srednji argument za nezavisnu varijablu x. Stoga ćemo usput koristiti pravilo diferencijacije složene funkcije uzimanje faktora iz zagrada :

Sada nalazimo drugi član izvoda funkcije y:

Ovdje je podizanje kosinusa na stepen složena funkcija f, a sam kosinus je srednji argument u nezavisnoj varijabli x. Ponovo koristimo pravilo za razlikovanje složene funkcije:

Rezultat je traženi izvod:

Tablica izvoda nekih složenih funkcija

Za složene funkcije, na osnovu pravila diferencijacije složene funkcije, formula za derivaciju jednostavne funkcije poprima drugačiji oblik.

1. Derivat kompleksne funkcije stepena, gdje u x
2. Derivat korijena izraza
3. Derivat eksponencijalne funkcije
4. Poseban slučaj eksponencijalne funkcije
5. Derivat logaritamske funkcije sa proizvoljnom pozitivnom bazom A
6. Derivat kompleksne logaritamske funkcije, gdje je u– diferencijabilna funkcija argumenta x
7. Derivat sinusa
8. Derivat kosinusa
9. Derivat tangente
10. Derivat kotangensa
11. Derivat arcsinusa
12. Derivat arc kosinusa
13. Derivat arktangensa
14. Derivat arc kotangensa

Vrlo lako za pamćenje.

Pa, da ne idemo daleko, odmah razmotrimo inverznu funkciju. Koja je funkcija inverzna eksponencijalnoj funkciji? logaritam:

U našem slučaju, osnova je broj:

Takav logaritam (tj. logaritam s bazom) naziva se „prirodnim“, a za njega koristimo posebnu notaciju: umjesto toga pišemo.

Čemu je to jednako? Naravno, .

Izvod prirodnog logaritma je također vrlo jednostavan:

primjeri:

1. Pronađite izvod funkcije.
2. Što je derivacija funkcije?

odgovori: Eksponencijalni i prirodni logaritam su jedinstveno jednostavne funkcije iz perspektive derivata. Eksponencijalne i logaritamske funkcije s bilo kojom drugom bazom imat će drugačiji izvod, koji ćemo analizirati kasnije, nakon što prođemo kroz pravila diferencijacije.

Pravila diferencijacije

Pravila čega? Opet novi mandat, opet?!...

Diferencijacija je proces pronalaženja derivacije.

To je sve. Kako još jednom riječju možete nazvati ovaj proces? Nije derivacija... Matematičari diferencijal nazivaju istim prirastom funkcije u. Ovaj izraz dolazi od latinskog differentia - razlika. Evo.

Prilikom izvođenja svih ovih pravila, koristit ćemo dvije funkcije, na primjer, i. Također će nam trebati formule za njihove priraštaje:

Postoji ukupno 5 pravila.

Konstanta se izvlači iz predznaka derivacije.

Ako - neki konstantni broj (konstanta), onda.

Očigledno, ovo pravilo radi i za razliku: .

Dokažimo to. Neka bude, ili jednostavnije.

Primjeri.

Pronađite izvode funkcija:

1. u jednom trenutku;
2. u jednom trenutku;
3. u jednom trenutku;
4. u tački.

rješenja:

1. (izvod je isti u svim tačkama, pošto je linearna funkcija, sjećate se?);

Derivat proizvoda

Ovdje je sve slično: uvedemo novu funkciju i pronađemo njen prirast:

Derivat:

primjeri:

1. Naći izvode funkcija i;
2. Pronađite izvod funkcije u tački.

rješenja:

Derivat eksponencijalne funkcije

Sada je vaše znanje dovoljno da naučite kako pronaći derivaciju bilo koje eksponencijalne funkcije, a ne samo eksponenata (jeste li već zaboravili šta je to?).

Dakle, gdje je neki broj.

Već znamo derivaciju funkcije, pa pokušajmo svesti našu funkciju na novu bazu:

Da bismo to učinili, koristit ćemo jednostavno pravilo: . onda:

Pa, upalilo je. Sada pokušajte pronaći izvod i ne zaboravite da je ova funkcija složena.

Desilo se?

Evo, uvjerite se sami:

Ispostavilo se da je formula vrlo slična izvedenici eksponenta: onakva kakva je bila, ostala je ista, pojavio se samo faktor, koji je samo broj, ali ne i varijabla.

primjeri:
Pronađite derivate funkcija:

odgovori:

Ovo je samo broj koji se ne može izračunati bez kalkulatora, odnosno ne može se zapisati u jednostavnijem obliku. Stoga ga ostavljamo u ovom obliku u odgovoru.

Imajte na umu da je ovdje kvocijent dvije funkcije, pa primjenjujemo odgovarajuće pravilo diferencijacije:

U ovom primjeru, proizvod dvije funkcije:

Derivat logaritamske funkcije

Ovdje je slično: već znate derivaciju prirodnog logaritma:

Stoga, da biste pronašli proizvoljan logaritam s različitom bazom, na primjer:

Ovaj logaritam moramo svesti na bazu. Kako se mijenja baza logaritma? Nadam se da se sjećate ove formule:

Tek sada ćemo umjesto toga napisati:

Imenilac je jednostavno konstanta (konstantan broj, bez varijable). Izvod se dobija vrlo jednostavno:

Derivati ​​eksponencijalnih i logaritamskih funkcija gotovo se nikada ne nalaze u Jedinstvenom državnom ispitu, ali neće biti suvišno poznavati ih.

Derivat kompleksne funkcije.

Šta je "složena funkcija"? Ne, ovo nije logaritam, niti arktangens. Ove funkcije mogu biti teško razumljive (mada ako vam je logaritam težak, pročitajte temu “Logaritmi” i biće vam dobro), ali sa matematičke tačke gledišta, riječ “složeno” ne znači “teško”.

Zamislite malu pokretnu traku: dvoje ljudi sjede i rade neke radnje s nekim predmetima. Na primjer, prvi umota čokoladicu u omot, a drugi je veže trakom. Rezultat je kompozitni predmet: čokoladica umotana i vezana vrpcom. Da biste pojeli čokoladicu, morate učiniti obrnutim koracima obrnutim redoslijedom.

Napravimo sličan matematički cevovod: prvo ćemo pronaći kosinus broja, a zatim kvadrirati rezultirajući broj. Dakle, dat nam je broj (čokolada), ja pronađem njegov kosinus (omotač), a onda kvadriraš ono što sam dobio (zaveži ga vrpcom). Šta se desilo? Funkcija. Ovo je primjer složene funkcije: kada, da bismo pronašli njenu vrijednost, izvršimo prvu akciju direktno s promjenljivom, a zatim drugu akciju s onim što je rezultat prve.

Drugim riječima, složena funkcija je funkcija čiji je argument druga funkcija: .

Za naš primjer, .

Lako možemo napraviti iste korake obrnutim redoslijedom: prvo ga kvadriraš, a ja onda tražim kosinus rezultirajućeg broja: . Lako je pretpostaviti da će rezultat gotovo uvijek biti drugačiji. Važna karakteristika složenih funkcija: kada se redoslijed radnji promijeni, funkcija se mijenja.

Drugi primjer: (ista stvar). .

Akcija koju radimo posljednja će biti pozvana "vanjsku" funkciju, a radnja izvedena prva - prema tome "interne" funkcije(ovo su neformalni nazivi, koristim ih samo da objasnim gradivo jednostavnim jezikom).

Pokušajte sami odrediti koja je funkcija vanjska, a koja unutrašnja:

odgovori: Razdvajanje unutrašnjih i vanjskih funkcija vrlo je slično mijenjanju varijabli: na primjer, u funkciji

1. Koju akciju ćemo prvo izvesti? Prvo izračunajmo sinus, pa ga tek onda kockiraj. To znači da je to interna funkcija, ali vanjska.
   A originalna funkcija je njihov sastav: .
2. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
3. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
4. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .
5. Interni: ; eksterno: .
   Ispitivanje: .

Mijenjamo varijable i dobijamo funkciju.

Pa, sada ćemo izvaditi našu čokoladicu i potražiti derivat. Procedura je uvijek obrnuta: prvo tražimo izvod vanjske funkcije, a zatim rezultat množimo s izvodom unutrašnje funkcije. U odnosu na originalni primjer, to izgleda ovako:

Drugi primjer:

Dakle, hajde da konačno formulišemo zvanično pravilo:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

Čini se jednostavno, zar ne?

Provjerimo na primjerima:

rješenja:

1) Interni: ;

Vanjski: ;

2) Interni: ;

(Samo nemojte pokušavati da ga isečete do sada! Ništa ne izlazi ispod kosinusa, sjećate se?)

3) Interni: ;

Vanjski: ;

Odmah je jasno da se radi o složenoj funkciji na tri nivoa: na kraju krajeva, ovo je već složena funkcija sama po sebi, a iz nje izvlačimo i korijen, odnosno izvodimo treću radnju (stavite čokoladu u omot i sa vrpcom u aktovci). Ali nema razloga za strah: i dalje ćemo „raspakovati“ ovu funkciju istim redoslijedom kao i obično: od kraja.

Odnosno, prvo razlikujemo korijen, zatim kosinus, pa tek onda izraz u zagradama. A onda sve to pomnožimo.

U takvim slučajevima, zgodno je numerisati radnje. Odnosno, zamislimo šta znamo. Kojim redoslijedom ćemo izvršiti radnje za izračunavanje vrijednosti ovog izraza? Pogledajmo primjer:

Što se radnja izvrši kasnije, to će odgovarajuća funkcija biti „spoljašnja“. Redoslijed radnji je isti kao i prije:

Ovdje je gniježđenje općenito na 4 nivoa. Hajde da odredimo pravac akcije.

1. Radikalni izraz. .

2. Root. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Stavljajući sve zajedno:

DERIVAT. UKRATKO O GLAVNIM STVARIMA

Derivat funkcije- omjer povećanja funkcije i inkrementa argumenta za beskonačno mali prirast argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila diferencijacije:

Konstanta je uzeta iz predznaka derivacije:

Derivat sume:

Derivat proizvoda:

Derivat količnika:

Derivat kompleksne funkcije:

Algoritam za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije:

1. Definiramo “internu” funkciju i nalazimo njen izvod.
2. Definiramo “vanjsku” funkciju i nalazimo njen izvod.
3. Množimo rezultate prve i druge tačke.

U „starim“ udžbenicima to se naziva i „lančanim“ pravilom. Sta ako y = f (u), i u = φ (x), to je

y = f (φ (x))

složena - složena funkcija (sastav funkcija) tada

Gdje , nakon obračuna se smatra na u = φ (x).

Imajte na umu da smo ovdje uzeli “različite” kompozicije iz istih funkcija, a rezultat diferencijacije prirodno se pokazalo da ovisi o redoslijedu “miješanja”.

Pravilo lanca prirodno se proteže na kompozicije od tri ili više funkcija. U ovom slučaju, postojaće tri ili više „karika“ u „lancu“ koji čini derivat. Evo analogije sa množenjem: „imamo“ tabelu izvedenica; “tamo” - tablica množenja; “kod nas” je pravilo lanca, a “tamo” je pravilo množenja “kolona”. Prilikom izračunavanja takvih „složenih“ izvoda, naravno, ne uvode se pomoćni argumenti (u¸v, itd.), ali, pošto su sami zabilježili broj i redoslijed funkcija uključenih u kompoziciju, odgovarajuće veze se „nanižu“ naznačenim redosledom.

. Ovdje se sa “x” za dobivanje vrijednosti “y” izvodi pet operacija, odnosno postoji kompozicija od pet funkcija: “eksterna” (posljednja od njih) - eksponencijalna - e  ; zatim obrnutim redoslijedom, snaga. (♦) 2 ; trigonometrijski sin(); smireno. () 3 i konačno logaritamski ln.(). Zbog toga

Slijedećim primjerima ćemo „ubiti par muha jednim udarcem“: vježbat ćemo razlikovanje složenih funkcija i dodavati u tablicu izvoda elementarnih funkcija. dakle:

4. Za funkciju stepena - y = x α - prepisujemo je koristeći dobro poznati "osnovni logaritamski identitet" - b=e ln b - u obliku x α = x α ln x dobijamo

5. Za proizvoljnu eksponencijalnu funkciju, koristeći istu tehniku ​​koju ćemo imati

6. Za proizvoljnu logaritamsku funkciju, koristeći dobro poznatu formulu za prijelaz na novu bazu, dosljedno dobijamo

.

7. Za razlikovanje tangenta (kotangensa) koristimo pravilo za razlikovanje količnika:

Da bismo dobili izvode inverznih trigonometrijskih funkcija, koristimo relaciju koju zadovoljavaju derivacije dvije međusobno inverzne funkcije, odnosno funkcije φ (x) i f (x) povezane relacijama:

Ovo je omjer

To je iz ove formule za međusobno inverzne funkcije

I
,

Na kraju, sumiramo ove i neke druge derivate koji se također lako mogu dobiti u sljedećoj tabeli.