Područje različitih figura. Kolika je površina figure? Zaštita ličnih podataka

Područje geometrijske figure- numerička karakteristika geometrijske figure koja pokazuje veličinu ove figure (dio površine ograničen zatvorenom konturom ove figure). Veličina područja izražava se brojem kvadratnih jedinica koje se u njemu nalaze.

Formule površine trougla

Formula za površinu trokuta po strani i visini
Površina trougla jednak polovini umnoška dužine stranice trokuta i dužine visine povučene ovoj strani
Formula za površinu trokuta zasnovanu na tri strane i poluprečniku opisane kružnice
Formula za površinu trokuta zasnovana na tri strane i poluprečniku upisane kružnice
Površina trougla jednak je proizvodu poluperimetra trokuta i poluprečnika upisane kružnice.

Formule kvadratne površine

Formula za površinu kvadrata po dužini stranice
Kvadratna površina jednak kvadratu dužine njegove stranice.
Formula za površinu kvadrata duž dijagonalne dužine
Kvadratna površina jednaka polovini kvadrata dužine njegove dijagonale.
S= 1 2
2

Formula površine pravokutnika

Površina pravougaonika

Formule površine paralelograma

Formula za površinu paralelograma na osnovu dužine i visine stranice
Površina paralelograma
Formula za površinu paralelograma zasnovana na dvije strane i kutu između njih
Površina paralelograma jednak je proizvodu dužina njegovih stranica pomnoženog sa sinusom ugla između njih.
a b sin α

Formule za površinu romba

Formula za površinu romba na osnovu dužine i visine stranice
Područje romba jednak proizvodu dužine njegove stranice i dužine visine spuštene na ovu stranu.
Formula za površinu romba na osnovu dužine stranice i kuta
Područje romba jednak je proizvodu kvadrata dužine njegove stranice i sinusa ugla između stranica romba.
Formula za površinu romba zasnovana na dužinama njegovih dijagonala
Područje romba jednak polovini umnoška dužina njegovih dijagonala.

Formule površine trapeza

Heronova formula za trapez
gdje je S površina trapeza,
- dužine osnova trapeza,
- dužine stranica trapeza,

Kako pronaći površinu figure?

Poznavanje i sposobnost izračunavanja površina različitih figura neophodno je ne samo za rješavanje jednostavnih geometrijskih problema. Ne možete bez ovog znanja prilikom sastavljanja ili provjere procjena za popravke prostorija, izračunavanja količine potrebnog potrošnog materijala. Dakle, hajde da shvatimo kako pronaći područja različitih oblika.

Dio ravnine koji se nalazi unutar zatvorene konture naziva se površina ove ravni. Površina je izražena brojem kvadratnih jedinica sadržanih u njoj.

Da biste izračunali površinu osnovnih geometrijskih oblika, morate koristiti ispravnu formulu.

Površina trougla

Oznake:

Ako su h, a poznati, tada se površina traženog trokuta određuje kao proizvod dužine stranice i visine trokuta spuštenog na ovu stranu, podijeljen na pola: S=(a h)/2
Ako su a, b, c poznati, tada se tražena površina izračunava pomoću Heronove formule: kvadratni korijen uzet iz proizvoda polovine perimetra trokuta i tri razlike polovine perimetra i svake strane trokuta: S = √ (p (p - a) (p - b)·(p - c)).
Ako su a, b, γ poznati, tada se površina trokuta određuje kao polovina umnožaka 2 stranice, pomnoženog sa vrijednošću sinusa ugla između ovih stranica: S=(a b sin γ)/2
Ako su a, b, c, R poznati, tada se tražena površina određuje dijeljenjem proizvoda dužina svih strana trokuta sa četiri polumjera opisane kružnice: S=(a b c)/4R
Ako su p, r poznati, tada se tražena površina trokuta određuje množenjem polovine perimetra polumjerom kruga upisanog u njega: S=p·r

Kvadratna površina

Oznake:

Ako je strana poznata, tada se površina date figure određuje kao kvadrat dužine njene stranice: S=a 2
Ako je d poznato, tada se površina kvadrata određuje kao polovina kvadrata dužine njegove dijagonale: S=d 2 /2

Površina pravougaonika

Oznake:

S - određena površina,
a, b - dužine stranica pravougaonika.

Ako su a, b poznati, tada je površina datog pravokutnika određena umnoškom dužina njegovih dviju stranica: S=a b
Ako su dužine stranica nepoznate, tada se površina pravokutnika mora podijeliti na trokute. U ovom slučaju, površina pravougaonika se određuje kao zbir površina trokuta koji ga čine.

Površina paralelograma

Oznake:

S je tražena površina,
a, b - dužine stranica,
h je dužina visine datog paralelograma,
d1, d2 - dužine dvije dijagonale,
α je ugao između stranica,
γ je ugao između dijagonala.

Ako su a, h poznati, tada se tražena površina određuje množenjem dužine stranice i visine spuštene na ovu stranu: S=a h
Ako su a, b, α poznati, tada se površina paralelograma određuje množenjem dužina stranica paralelograma i sinusa ugla između ovih stranica: S=a b sin α
Ako su poznati d 1 , d 2 , γ, tada se površina paralelograma određuje kao polovina proizvoda dužina dijagonala i sinusa ugla između ovih dijagonala: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

Područje romba

Oznake:

S je tražena površina,
a - dužina strane,
h - dužina visine,
α je manji ugao između dvije stranice,
d1, d2 - dužine dvije dijagonale.

Ako su a, h poznati, tada se površina romba određuje množenjem dužine stranice s dužinom visine koja se spušta na ovu stranu: S=a h
Ako su a, α poznati, tada se površina romba određuje množenjem kvadrata dužine stranice sa sinusom ugla između stranica: S=a 2 sin α
Ako su d 1 i d 2 poznati, tada se tražena površina određuje kao polovina proizvoda dužina dijagonala romba: S=(d 1 d 2)/2

Područje trapeza

Oznake:

Ako su a, b, c, d poznati, tada se tražena površina određuje po formuli: S= (a+b) /2 *√.
Uz poznate a, b, h, tražena površina je određena kao proizvod polovine zbira osnovica i visine trapeza: S=(a+b)/2 h

Površina konveksnog četvorougla

Oznake:

Ako su poznati d 1 , d 2 , α, tada se površina konveksnog četverokuta određuje kao polovina proizvoda dijagonala četverokuta, pomnoženog sa sinusom ugla između ovih dijagonala: S=(d 1 · d 2 · sin α)/2
Za poznate p, r, površina konveksnog četverokuta određuje se kao proizvod poluperimetra četverokuta i polumjera kružnice upisane u ovaj četverokut: S=p r
Ako su poznati a, b, c, d, θ, tada se površina konveksnog četverokuta određuje kao kvadratni korijen proizvoda razlike poluperimetra i dužine svake stranice minus proizvod dužine svih strana i kvadrat kosinusa polovine zbira dva suprotna ugla: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+ β)/2)

Područje kruga

Oznake:

Ako je r poznato, tada se tražena površina određuje kao proizvod broja π i kvadratnog polumjera: S=π r 2

Ako je d poznat, tada se površina kruga određuje kao umnožak broja π s kvadratom prečnika podijeljenog sa četiri: S=(π d 2)/4

Područje složene figure

Složeni se mogu podijeliti na jednostavne geometrijske oblike. Površina složene figure definira se kao zbir ili razlika njegovih sastavnih površina. Razmotrite, na primjer, prsten.

Oznaka:

S - područje prstena,
R, r - radijusi vanjskog i unutrašnjeg kruga, respektivno,
D, d su promjeri vanjskog i unutrašnjeg kruga, respektivno.

Da biste pronašli površinu prstena, morate oduzeti površinu od površine većeg kruga manji krug. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Dakle, ako su R i r poznati, tada se površina prstena određuje kao razlika u kvadratima polumjera vanjskog i unutrašnjeg kruga, pomnoženih s pi: S=π(R 2 -r 2).

Ako su D i d poznati, tada se površina prstena određuje kao četvrtina razlike u kvadratima prečnika vanjskog i unutrašnjeg kruga, pomnožene s pi: S= (1/4)(D 2 -d 2) π.

Patch area

Pretpostavimo da se unutar jednog kvadrata (A) nalazi drugi (B) (manje veličine), a trebamo pronaći zasjenjenu šupljinu između figura "A" i "B". Recimo, "okvir" malog kvadrata. Za ovo:

Pronađite površinu figure "A" (izračunato pomoću formule za pronalaženje površine kvadrata).
Slično, nalazimo područje na slici "B".
Oduzmite područje "B" od područja "A". I tako dobijamo površinu osenčene figure.

Sada znate kako pronaći područja različitih oblika.

klasa: 5

Po mom mišljenju, zadatak nastavnika nije samo da podučava, već razvija kognitivni interes kod učenika. Stoga, kad god je to moguće, povezujem teme lekcije sa praktičnim zadacima.

Tokom časa, učenici, pod vodstvom nastavnika, sastavljaju plan rješavanja zadataka za pronalaženje površine „kompleksne figure“ (za izračunavanje procjena popravke), učvršćuju vještine u rješavanju problema za pronalaženje površine; javlja se razvoj pažnje, sposobnosti za istraživačke aktivnosti, vaspitanje aktivnosti i samostalnosti.

Rad u paru stvara situaciju komunikacije između onih koji imaju znanje i onih koji ga stiču; Ovaj rad se zasniva na poboljšanju kvaliteta obuke iz predmeta. Podstiče razvoj interesovanja za proces učenja i dublju asimilaciju nastavnog materijala.

Čas ne samo da sistematizuje znanje učenika, već i doprinosi razvoju kreativnih i analitičkih sposobnosti. Upotreba zadataka sa praktičnim sadržajima u nastavi omogućava nam da pokažemo relevantnost matematičkog znanja u svakodnevnom životu.

Ciljevi lekcije:

edukativni:

konsolidacija znanja o formulama za površinu pravokutnika, pravokutnog trokuta;
analiza zadataka za izračunavanje površine "složene" figure i metode za njihovo izvođenje;
samostalno izvršavanje zadataka za provjeru znanja, vještina i sposobnosti.

edukativni:

razvoj metoda mentalne i istraživačke aktivnosti;
razvijanje sposobnosti slušanja i objašnjavanja toka odluke.

edukativni:

razvijati akademske vještine učenika;
neguju kulturu usmenog i pismenog matematičkog govora;
razvijati prijateljski stav u učionici i sposobnost rada u grupama.

Vrsta lekcije: kombinovano.

Oprema:

Matematika: udžbenik za 5. razred. opšte obrazovanje institucije/ N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov et al., M.: “Mnemosyne”, 2010.
Kartice za grupe učenika sa oblicima za izračunavanje površine složenog oblika.
Alati za crtanje.

Plan lekcije:

Organiziranje vremena.
Ažuriranje znanja.
a) Teorijska pitanja (test).
b) Izjava o problemu.
Naučio novo gradivo.
a) pronalaženje rješenja za problem;
b) rješenje problema.
Učvršćivanje materijala.
a) kolektivno rješavanje problema;
Minut fizičkog vaspitanja.
b) samostalan rad.
Zadaća.
Sažetak lekcije. Refleksija.

Tokom nastave

I. Organizacioni momenat.

Počećemo lekciju sa ovim rečima za rastanak:

matematika, prijatelji,
Apsolutno svima treba.
Radite vrijedno na času
A uspjeh vas sigurno čeka!

II. Ažuriranje znanja.

A) Frontalni rad sa signalnim karticama (svaki učenik ima kartice sa brojevima 1, 2, 3, 4; prilikom odgovaranja na testno pitanje učenik podiže karticu sa brojem tačnog odgovora).

1. Kvadratni centimetar je:

površina kvadrata sa stranicom od 1 cm;
kvadrat sa stranicom 1 cm;
kvadrat sa perimetrom od 1 cm.

2. Površina figure prikazane na slici jednaka je:

8 dm;
8 dm 2;
15 dm 2.

3. Da li je tačno da jednake figure imaju jednake perimetre i jednake površine?

4. Površina pravokutnika određena je formulom:

S = a 2 ;
S = 2 (a + b);
S = a b.

5. Površina figure prikazane na slici jednaka je:

12 cm;
8 cm;
16 cm.

b) (Formulacija problema). Zadatak. Koliko je boje potrebno za farbanje poda koji ima sljedeći oblik (vidi sliku), ako se potroši 200 g boje na 1 m2?

III. Učenje novog gradiva.

Šta trebamo znati da bismo riješili posljednji problem? (Pronađite površinu poda koja izgleda kao "složena figura.")

Učenici formulišu temu i ciljeve časa (ako je potrebno, nastavnik pomaže).

Zamislite pravougaonik A B C D. Hajde da povučemo crtu u njemu KPMN, razbijanje pravougaonika A B C D na dva dela: ABNMPK I KPMNCD.

Koja je oblast? A B C D? (15 cm 2)

Kolika je površina figure? ABMNPK? (7 cm 2)

Kolika je površina figure? KPMNCD? (8 cm 2)

Analizirajte svoje rezultate. (15= = 7 + 8)

Zaključak? (Površina cijele figure jednaka je zbroju površina njenih dijelova.)

S = S 1 + S 2

Kako možemo primijeniti ovo svojstvo da riješimo naš problem? (Razbijmo složenu figuru na dijelove, pronađimo površine dijelova, a zatim površinu cijele figure.)

S 1 = 7 2 = 14 (m 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m 2)
S 3 = 7 3 = 21 (m 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)

Hajde da se pomirimo plan za rješavanje problema za pronalaženje područja "složene figure":

Sliku razbijamo na jednostavne figure.
Pronalaženje površina jednostavnih figura.

a) Zadatak 1. Koliko će pločica biti potrebno za postavljanje stranice sljedećih dimenzija:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60 – 30) 20 = 600 (dm 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (dm 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm 2)

Postoji li drugi način za rješavanje? (Razmatramo predložene opcije.)

Odgovor: 2100 dm 2.

Zadatak 2. (kolektivna odluka na tabli i u sveskama.) Koliko m2 linoleuma je potrebno za renoviranje prostorije koja ima sljedeći oblik:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (m 2)
S 2 = ((5 – 3) 2) : 2 = 2 (m 2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)

Odgovor: 8 m2.

Minut fizičkog vaspitanja.

A sada, momci, ustanite.
Brzo su podigli ruke.
Na strane, napred, nazad.
Skrenuo desno, lijevo.
Tiho su sjeli i vratili se na posao.

b) Samostalan rad (obrazovni) .

Učenici su podijeljeni u grupe (br. 5–8 su jači). Svaka grupa je tim za popravku.

Zadatak za ekipe: odredite koliko je boje potrebno za farbanje poda koji ima oblik figure prikazane na kartici, ako je potrebno 200 g boje na 1 m2.

Ugradite ovu figuru u svoju bilježnicu i zapišete sve podatke i započnete zadatak. O rješenju možete razgovarati (ali samo u svojoj grupi!). Ako se neka grupa brzo nosi sa zadatkom, onda im se daje dodatni zadatak (nakon provjere samostalnog rada).

Zadaci za grupe:

V. Domaća zadaća.

stav 18, br. 718, br. 749.

Dodatni zadatak. Planski dijagram Ljetne bašte (Sankt Peterburg). Izračunajte njegovu površinu.

VI. Sažetak lekcije.

Refleksija. Nastavite rečenicu:

Danas sam saznao...
Bilo je zanimljivo…
Bilo je teško…
Sada mogu…
Dao mi je lekciju za ceo zivot...

U prethodnom dijelu, posvećenom analizi geometrijskog značenja određenog integrala, dobili smo niz formula za izračunavanje površine krivolinijskog trapeza:

S (G) = ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nenegativnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x za kontinuiranu i nepozitivnu funkciju y = f (x) na intervalu [ a ; b ] .

Ove formule su primjenjive za rješavanje relativno jednostavnih problema. U stvarnosti, često ćemo morati da radimo sa složenijim figurama. S tim u vezi, ovaj dio ćemo posvetiti analizi algoritama za izračunavanje površine figura koje su ograničene funkcijama u eksplicitnom obliku, tj. kao y = f(x) ili x = g(y).

Teorema

Neka su funkcije y = f 1 (x) i y = f 2 (x) definirane i kontinuirane na intervalu [ a ; b ] , i f 1 (x) ≤ f 2 (x) za bilo koju vrijednost x iz [ a ; b ] . Tada će formula za izračunavanje površine figure G, ograničene linijama x = a, x = b, y = f 1 (x) i y = f 2 (x) izgledati kao S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Slična formula će biti primenljiva za površinu figure ograničenu linijama y = c, y = d, x = g 1 (y) i x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Dokaz

Pogledajmo tri slučaja za koja će formula vrijediti.

U prvom slučaju, uzimajući u obzir svojstvo aditivnosti površine, zbir površina originalne figure G i krivolinijskog trapeza G 1 jednak je površini figure G 2. To znači da

Dakle, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Posljednju tranziciju možemo izvesti koristeći treće svojstvo određenog integrala.

U drugom slučaju, jednakost je tačna: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Grafička ilustracija će izgledati ovako:

Ako su obe funkcije nepozitivne, dobijamo: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Grafička ilustracija će izgledati ovako:

Idemo dalje na razmatranje opšteg slučaja kada y = f 1 (x) i y = f 2 (x) sijeku osu O x.

Tačke presjeka označavamo sa x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Ove tačke dijele segment [a; b ] na n dijelova x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, gdje je α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

dakle,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Posljednju tranziciju možemo napraviti koristeći peto svojstvo određenog integrala.

Ilustrujmo opšti slučaj na grafu.

Formula S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x može se smatrati dokazanom.

Pređimo sada na analizu primjera izračunavanja površine figura koje su ograničene linijama y = f (x) i x = g (y).

Započet ćemo naše razmatranje bilo kojeg od primjera konstruiranjem grafa. Slika će nam omogućiti da složene oblike predstavimo kao spojeve jednostavnijih oblika. Ako vam je konstruisanje grafova i figura na njima teško, možete proučiti odeljak o osnovnim elementarnim funkcijama, geometrijskoj transformaciji grafova funkcija, kao i o konstruisanju grafova tokom proučavanja funkcije.

Primjer 1

Potrebno je odrediti površinu figure koja je ograničena parabolom y = - x 2 + 6 x - 5 i pravim linijama y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Rješenje

Nacrtajmo linije na grafu u Dekartovom koordinatnom sistemu.

Na segmentu [ 1 ; 4 ] grafik parabole y = - x 2 + 6 x - 5 nalazi se iznad prave linije y = - 1 3 x - 1 2. U tom smislu, da bismo dobili odgovor koristimo formulu dobijenu ranije, kao i metodu izračunavanja definitivnog integrala pomoću Newton-Leibnizove formule:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odgovor: S(G) = 13

Pogledajmo složeniji primjer.

Primjer 2

Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x + 2, y = x, x = 7.

Rješenje

U ovom slučaju imamo samo jednu pravu liniju koja je paralelna sa x-osi. Ovo je x = 7. To od nas zahtijeva da sami pronađemo drugu granicu integracije.

Napravimo graf i nacrtajmo na njemu linije date u iskazu problema.

Imajući graf pred očima, lako možemo odrediti da će donja granica integracije biti apscisa tačke preseka grafika prave linije y = x i poluparabole y = x + 2. Da bismo pronašli apscisu koristimo jednakosti:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Ispada da je apscisa presječne tačke x = 2.

Skrećemo vam pažnju na činjenicu da se u opštem primeru na crtežu prave y = x + 2, y = x seku u tački (2; 2), pa se ovakvi detaljni proračuni mogu činiti nepotrebnim. Ovdje smo dali ovako detaljno rješenje samo zato što u složenijim slučajevima rješenje možda nije tako očigledno. To znači da je uvijek bolje analitički izračunati koordinate presjeka linija.

Na intervalu [ 2 ; 7] grafik funkcije y = x nalazi se iznad grafika funkcije y = x + 2. Primijenimo formulu za izračunavanje površine:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odgovor: S (G) = 59 6

Primjer 3

Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena grafovima funkcija y = 1 x i y = - x 2 + 4 x - 2.

Rješenje

Nacrtajmo linije na grafikonu.

Hajde da definišemo granice integracije. Da bismo to učinili, odredimo koordinate tačaka presjeka pravih izjednačavanjem izraza 1 x i - x 2 + 4 x - 2. Pod uslovom da x nije nula, jednakost 1 x = - x 2 + 4 x - 2 postaje ekvivalentna jednačini trećeg stepena - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 sa cjelobrojnim koeficijentima. Da biste osvježili vaše pamćenje algoritma za rješavanje ovakvih jednadžbi, možemo pogledati odjeljak “Rješavanje kubnih jednadžbi”.

Koren ove jednadžbe je x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Podijelimo izraz - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 binomom x - 1, dobijamo: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Preostale korijene možemo pronaći iz jednačine x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Našli smo interval x ∈ 1; 3 + 13 2, u kojem se lik G nalazi iznad plave i ispod crvene linije. Ovo nam pomaže da odredimo površinu figure:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odgovor: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Primjer 4

Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena krivuljama y = x 3, y = - log 2 x + 1 i osom apscise.

Rješenje

Nacrtajmo sve linije na graf. Graf funkcije y = - log 2 x + 1 možemo dobiti iz grafa y = log 2 x ako ga postavimo simetrično oko x-ose i pomaknemo za jednu jedinicu gore. Jednačina x-ose je y = 0.

Označimo tačke preseka pravih.

Kao što se vidi sa slike, grafovi funkcija y = x 3 i y = 0 seku se u tački (0; 0). Ovo se dešava zato što je x = 0 jedini pravi koren jednačine x 3 = 0.

x = 2 je jedini korijen jednadžbe - log 2 x + 1 = 0, pa se grafovi funkcija y = - log 2 x + 1 i y = 0 sijeku u tački (2; 0).

x = 1 je jedini korijen jednadžbe x 3 = - log 2 x + 1 . U tom smislu, grafovi funkcija y = x 3 i y = - log 2 x + 1 seku se u tački (1; 1). Posljednja izjava možda nije očigledna, ali jednačina x 3 = - log 2 x + 1 ne može imati više od jednog korijena, jer je funkcija y = x 3 striktno rastuća, a funkcija y = - log 2 x + 1 je striktno opadajuće.

Dalje rješenje uključuje nekoliko opcija.

Opcija #1

Lik G možemo zamisliti kao zbir dva krivolinijska trapeza koja se nalaze iznad x-ose, od kojih se prvi nalazi ispod srednje linije na segmentu x ∈ 0; 1, a drugi je ispod crvene linije na segmentu x ∈ 1; 2. To znači da će površina biti jednaka S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Opcija br. 2

Slika G se može predstaviti kao razlika dvije figure, od kojih se prva nalazi iznad x-ose i ispod plave linije na segmentu x ∈ 0; 2, a druga između crvene i plave linije na segmentu x ∈ 1; 2. To nam omogućava da pronađemo područje na sljedeći način:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

U ovom slučaju, da biste pronašli površinu morat ćete koristiti formulu oblika S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. U stvari, linije koje ograničavaju figuru mogu se predstaviti kao funkcije argumenta y.

Riješimo jednadžbe y = x 3 i - log 2 x + 1 u odnosu na x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Dobijamo potrebnu površinu:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odgovor: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Primjer 5

Potrebno je izračunati površinu figure koja je ograničena linijama y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Rješenje

Crvenom linijom iscrtavamo liniju definiranu funkcijom y = x. Plavom bojom nacrtamo liniju y = - 1 2 x + 4, a crnom liniju y = 2 3 x - 3.

Označimo tačke ukrštanja.

Nađimo točke presjeka grafova funkcija y = x i y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Provjerite: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nije rješenje jednadžbe x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 je rješenje jednadžbe ⇒ (4; 2) presječna tačka i y = x i y = - 1 2 x + 4

Nađimo točku presjeka grafova funkcija y = x i y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Provjerite: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 je rješenje jednadžbe ⇒ (9 ; 3) tačka a s y = x i y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Ne postoji rješenje jednačine

Nađimo točku presjeka pravih y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) tačka presjeka y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3

Metoda br. 1

Zamislimo površinu željene figure kao zbir površina pojedinih figura.

Tada je površina figure:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda br. 2

Površina originalne figure može se predstaviti kao zbir dvije druge figure.

Zatim rješavamo jednadžbu linije u odnosu na x, a tek nakon toga primjenjujemo formulu za izračunavanje površine figure.

y = x ⇒ x = y 2 crvena linija y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 crna linija y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Dakle, područje je:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Kao što vidite, vrijednosti su iste.

Odgovor: S (G) = 11 3

Rezultati

Da bismo pronašli površinu figure koja je ograničena datim linijama, trebamo konstruirati linije na ravni, pronaći njihove točke presjeka i primijeniti formulu da pronađemo površinu. U ovom dijelu smo ispitali najčešće varijante zadataka.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Postoji beskonačan broj ravnih figura različitih oblika, pravilnih i nepravilnih. Zajedničko svojstvo svih figura je da svaka od njih ima površinu. Površine figura su dimenzije dijela ravni koji zauzimaju ove figure, izražene u određenim jedinicama. Ova vrijednost se uvijek izražava kao pozitivan broj. Jedinica mjerenja je površina kvadrata čija je stranica jednaka jedinici dužine (na primjer, jedan metar ili jedan centimetar). Približna površina bilo koje figure može se izračunati množenjem broja jediničnih kvadrata na koje je podijeljena površinom jednog kvadrata.

Ostale definicije ovog koncepta su sljedeće:

1. Površine jednostavnih figura su skalarne pozitivne veličine koje zadovoljavaju uslove:

Jednake figure imaju jednake površine;

Ako je figura podijeljena na dijelove (jednostavne figure), tada je njena površina zbir površina ovih figura;

Kvadrat sa stranom mjerne jedinice služi kao jedinica površine.

2. Područja figura složenog oblika (poligona) su pozitivne veličine sa sljedećim svojstvima:

Jednaki poligoni imaju iste veličine površine;

Ako se poligon sastoji od nekoliko drugih poligona, njegova je površina jednaka zbroju površina potonjeg. Ovo pravilo vrijedi za poligone koji se ne preklapaju.

Prihvaćeno je kao aksiom da su površine figura (poligona) pozitivne veličine.

Definicija površine kruga data je zasebno kao vrijednost kojoj teži površina datog kruga upisanog u krug - uprkos činjenici da broj njegovih strana teži beskonačnosti.

Površine figura nepravilnog oblika (proizvoljne figure) nemaju definiciju, već se određuju samo metode za njihovo izračunavanje.

Već u antičko doba, izračunavanje površina bilo je važan praktični zadatak u određivanju veličine zemljišnih parcela. Pravila za izračunavanje površina tokom nekoliko stotina godina formulisali su grčki naučnici i izložili ih u Euklidovim elementima kao teoreme. Zanimljivo je da su pravila za određivanje površina prostih figura u njima ista kao i sada. Površine sa zakrivljenom konturom izračunate su korištenjem prolaza do granice.

Izračunavanje površina jednostavnog pravokutnika ili kvadrata), poznato svima iz škole, prilično je jednostavno. Nije potrebno čak ni pamtiti formule za površine figura koje sadrže slovne simbole. Dovoljno je zapamtiti nekoliko jednostavnih pravila:

2. Površina pravougaonika se izračunava tako što se njegova dužina pomnoži sa širinom. Potrebno je da dužina i širina budu izražene u istim mjernim jedinicama.

3. Izračunavamo površinu složene figure tako što je podijelimo na nekoliko jednostavnih i dodamo rezultirajuće površine.

4. Dijagonala pravougaonika dijeli ga na dva trougla čije su površine jednake i jednake polovini njegove površine.

5. Površina trokuta se izračunava kao polovina proizvoda njegove visine i osnove.

6. Površina kruga jednaka je proizvodu kvadrata polumjera i dobro poznatog broja “π”.

7. Površinu paralelograma računamo kao proizvod susjednih stranica i sinusa ugla koji leži između njih.

8. Površina romba je ½ rezultat množenja dijagonala sa sinusom unutrašnjeg ugla.

9. Površinu trapeza nalazimo množenjem njegove visine sa dužinom srednje linije, koja je jednaka aritmetičkoj sredini osnova. Druga opcija za određivanje površine trapeza je množenje njegovih dijagonala i sinusa kuta koji leži između njih.

Radi jasnoće, djeca u osnovnoj školi često dobijaju zadatke: pronađite površinu figure nacrtane na papiru pomoću palete ili lista prozirnog papira podijeljenog na kvadrate. Takav list papira stavlja se na izmjerenu figuru, broji se broj potpunih ćelija (jedinica površine) koje se uklapaju u njegov obris, zatim broj nepotpunih, koji se dijeli na pola.