Opšti tehnološki skup proizvodnog elementa može biti. Opis proizvodnje po tehnološkom setu

2. Proizvodni setovi i proizvodne funkcije

2.1. Proizvodni setovi i njihova svojstva

Razmotrimo najvažnijeg učesnika u ekonomskim procesima - pojedinačnog proizvođača. Proizvođač ostvaruje svoje ciljeve samo preko potrošača i stoga mora pogoditi, razumjeti šta želi i zadovoljiti njegove potrebe. Pretpostavićemo da postoji n različitih dobara, količina n-tog proizvoda je označena sa x n, zatim se određeni skup dobara označava sa X = (x 1, ..., x n). Razmatraćemo samo nenegativne količine dobara, tako da je x i  0 za bilo koji i = 1, ..., n ili X > 0. Skup svih skupova dobara naziva se prostorom dobara C. Skup roba se može tretirati kao korpa u kojoj se ta roba nalazi u odgovarajućim količinama.

Neka ekonomija funkcioniše u prostoru dobara C = (X = (x 1, x 2, …, x n): x 1, …, x n  0). Prostor proizvoda sastoji se od nenegativnih n-dimenzionalnih vektora. Razmotrimo sada vektor T dimenzije n, čijih prvih m komponenti nisu pozitivne: x 1, …, x m  0, a posljednje (n-m) komponente su nenegativne: x m +1, …, x n  0. Vektor X = (x 1,…, x m ) pozovimo vektor troškova, i vektor Y = (x m+1 , …, x n) – vektor oslobađanja. Nazovimo vektor T = (X,Y) ulazno-izlazni vektor ili tehnologija.

U svom značenju, tehnologija (X,Y) je način prerade resursa u gotove proizvode: „miješanjem“ resursa u količini X dobijamo proizvode u količini od Y. Svakog konkretnog proizvođača karakteriše određeni skup τ tehnologija, što se zove proizvodni set. Tipičan zasjenjeni set prikazan je na Sl. 2.1. Ovaj proizvođač koristi jedan proizvod za proizvodnju drugog.

Rice. 2.1. Proizvodni set

Proizvodni set odražava širinu mogućnosti proizvođača: što je veći, to su njegove mogućnosti šire. Proizvodni set mora zadovoljiti sljedeće uslove:

zatvoren je - to znači da ako se ulazno-izlazni vektor T aproksimira onoliko precizno koliko žele vektori iz τ, onda T takođe pripada τ (ako sve tačke vektora T leže u τ, tada Tτ vidi sl. 2,1 bod C i B);

u τ(-τ) = (0), tj. ako je Tτ, T ≠ 0, onda -Tτ – troškovi i output se ne mogu zamijeniti, tj. proizvodnja je nepovratan proces (skup – τ je u četvrtom kvadrantu , gdje je y 0);

skup je konveksan, ova pretpostavka dovodi do smanjenja povrata na prerađene resurse s povećanjem obima proizvodnje (do povećanja stope izdataka na gotove proizvode). Dakle, sa Sl. 2.1 jasno je da y/x  opada kao x  -. Konkretno, pretpostavka konveksnosti dovodi do smanjenja produktivnosti rada kako se proizvodnja povećava.

Često konveksnost jednostavno nije dovoljna i tada je potrebna stroga konveksnost proizvodnog skupa (ili nekog njegovog dijela).

2.2. Kriva proizvodnih mogućnosti

i oportunitetni troškovi

Koncept proizvodnog skupa koji se razmatra odlikuje se visokim stepenom apstrakcije i, zbog svoje ekstremne opštosti, od male je koristi za ekonomsku teoriju.

Razmotrite, na primjer, sl. 2.1. Počnimo sa tačkama B i C. Troškovi za ove tehnologije su isti, ali je učinak drugačiji. Proizvođač, ako nije lišen zdravog razuma, nikada neće izabrati tehnologiju B, jer postoji bolja tehnologija C. U ovom slučaju (vidi sliku 2.1) nalazimo za svaki x  0 najvišu tačku (x, y ) u proizvodnom setu. Očigledno, po cijeni x, tehnologija (x, y) je najbolja. Nema tehnologije (x, b) sa b proizvodnom funkcijom. Tačna definicija proizvodne funkcije:

Y = f(x)(x, y) τ, a ako je (x, b)  τ i b  y, onda je b = x .

Od sl. 2.1 jasno je da je za bilo koje x  0 takva tačka y = f(x) jedinstvena, što nam, zapravo, omogućava da govorimo o proizvodnoj funkciji. Ali situacija je tako jednostavna ako se proizvodi samo jedan proizvod. U opštem slučaju, za vektor troškova X označavamo skup M x = (Y:(X,Y)τ). Postavi M x – je skup svih mogućih izlaza po troškovima X. U ovom skupu razmotrite “krivu” proizvodnih mogućnosti K x = (YM x: ako je ZM x i Z  Y, onda je Z = X), tj. K x – ovo su mnoga najbolja izdanja, nema boljih. Ako se proizvode dva dobra, onda je to kriva, ali ako se proizvodi više od dva dobra, onda je to površina, tijelo ili skup još veće dimenzije.

Dakle, za bilo koji vektor troškova X, svi najbolji rezultati leže na krivulji proizvodnih mogućnosti (površini). Stoga, iz ekonomskih razloga, proizvođač mora izabrati tehnologiju odatle. Za slučaj puštanja dvije robe y 1, y 2, slika je prikazana na sl. 2.2.

Ako radimo samo s fizičkim pokazateljima (tone, metri, itd.), tada za dati vektor troškova X moramo odabrati samo vektor proizvodnje Y na krivulji proizvodnih mogućnosti, ali još uvijek se ne može odlučiti koji konkretan output treba izabrati. Ako je proizvodni skup τ sam po sebi konveksan, tada je i M x konveksan za bilo koji vektor troškova X. U nastavku će nam biti potrebna stroga konveksnost skupa M x. U slučaju proizvodnje dva dobra, to znači da tangenta krive proizvodnih mogućnosti K x ima samo jednu zajedničku tačku sa ovom krivom.

Rice. 2.2. Kriva proizvodnih mogućnosti

Razmotrimo sada pitanje tzv oportunitetni troškovi. Pretpostavimo da je izlaz fiksiran u tački A(y 1, y 2), vidi sl. 2.2. Sada postoji potreba za povećanjem proizvodnje 2. proizvoda za y 2, koristeći, naravno, isti skup troškova. To se može učiniti, kao što se može vidjeti na sl. 2.2, prenos tehnologije u tačku B, za koju će, uz povećanje proizvodnje drugog proizvoda za y 2, biti potrebno smanjiti izlaz prvog proizvoda za y 1.

Imputedtroškoviprvi proizvod u odnosu na drugi u tački A pozvao
. Ako je krivulja proizvodnih mogućnosti data implicitnom jednačinom F(y 1 ,y 2) = 0, tada je δ 1 2 (A) = (F/y 2)/(F/y 1), gdje je parcijalni derivati ​​se uzimaju u tački A. Ako pažljivo pogledate dotičnu cifru, naći ćete zanimljiv obrazac: kada se pomičete niz krivulju proizvodnih mogućnosti s lijeve strane, oportunitetni troškovi se smanjuju sa vrlo velikih vrijednosti na vrlo male .

2.3. Proizvodne funkcije i njihova svojstva

Proizvodna funkcija je analitički odnos koji povezuje varijabilne vrijednosti troškova (faktora, resursa) sa količinom outputa. Istorijski gledano, jedan od prvih radova na konstrukciji i korištenju proizvodnih funkcija bio je rad na analizi poljoprivredne proizvodnje u Sjedinjenim Državama. Godine 1909. Mitscherlich je predložio nelinearnu proizvodnu funkciju: gnojiva - prinos. Nezavisno, Spillman je predložio jednačinu eksponencijalnog prinosa. Na njihovoj osnovi izgrađen je niz drugih agrotehničkih proizvodnih funkcija.

Proizvodne funkcije su dizajnirane da modeliraju proizvodni proces određene ekonomske jedinice: posebnog preduzeća, industrije ili cjelokupne privrede države u cjelini. Uz pomoć proizvodnih funkcija rješavaju se sljedeći problemi:

ocjenjivanje povrata resursa u procesu proizvodnje;

predviđanje ekonomskog rasta;

razvoj opcija za plan razvoja proizvodnje;

optimiziranje funkcionisanja poslovne jedinice podložne zadatom kriterijumu i ograničenjima resursa.

Opšti oblik proizvodne funkcije: Y = Y(X 1, X 2, ..., X i, ..., X n), gdje je Y indikator koji karakterizira proizvodne rezultate; X – faktor faktor i-tog proizvodnog resursa; n – broj faktorskih indikatora.

Proizvodne funkcije određuju dvije grupe pretpostavki: matematičke i ekonomske. Matematički se očekuje da proizvodna funkcija bude kontinuirana i dvostruko diferencibilna. Ekonomske pretpostavke su sljedeće: u nedostatku barem jednog proizvodnog resursa, proizvodnja je nemoguća, tj. Y(0, X 2, ..., X i, ..., X n) =

Y(X 1 , 0, …, X i , …, X n) = …

Y(X 1, X 2, …, 0, …, X n) = …

Y(X 1, X 2, …, X i, …, 0) = 0.

Međutim, nije moguće na zadovoljavajući način odrediti jedini učinak Y za date troškove X koristeći prirodne indikatore: naš izbor se suzio samo na “krivu” proizvodnih mogućnosti K x . Iz tih razloga razvijena je samo teorija proizvodnih funkcija proizvođača, čiji se output može okarakterizirati jednom vrijednošću - bilo obimom outputa, ako se proizvodi jedan proizvod, ili ukupnom vrijednošću cjelokupnog outputa.

Prostor troškova je m-dimenzionalan. Svaka tačka u troškovnom prostoru X = (x 1, ..., x m) odgovara jednom maksimalnom izlazu (vidi sliku 2.1) proizvedenom koristeći ove troškove. Ovaj odnos se naziva proizvodna funkcija. Međutim, proizvodna funkcija se obično razumije manje restriktivno i svaki funkcionalni odnos između inputa i outputa smatra se proizvodnom funkcijom. U nastavku ćemo pretpostaviti da proizvodna funkcija ima potrebne derivate. Pretpostavlja se da proizvodna funkcija f(X) zadovoljava dva aksioma. Prvi od njih navodi da postoji podskup prostora troškova tzv ekonomska oblast E, u kojem povećanje bilo koje vrste inputa ne dovodi do smanjenja outputa. Dakle, ako su X 1, X 2 dvije tačke ovog područja, onda X 1  X 2 implicira f(X 1)  f(X 2). U diferencijalnom obliku, to se izražava u činjenici da su u ovom području svi prvi parcijalni izvodi funkcije nenegativni: f/x 1 ≥ 0 (za bilo koju rastuću funkciju izvod je veći od nule). Ovi derivati ​​se nazivaju marginalni proizvodi, a vektor f/X = (f/x 1 , …, f/x m) – vektor marginalnih proizvoda (pokazuje koliko puta će se proizvodnja promijeniti kada se troškovi promijene).

Drugi aksiom kaže da postoji konveksni podskup S ekonomske domene za koji su podskupovi (XS:f(X)  a) konveksni za sve a  0. U ovom podskupu S, Hesova matrica sastavljena od drugi izvod funkcije f(X) , je negativno određen, dakle,  2 f/x 2 i

Hajde da se zadržimo na ekonomskom sadržaju ovih aksioma. Prvi aksiom kaže da proizvodna funkcija nije neka potpuno apstraktna funkcija koju je izmislio matematički teoretičar. Ona, doduše ne u cijelom svom domenu definicije, već samo u jednom dijelu, odražava ekonomski važnu, neospornu i istovremeno trivijalnu tvrdnju: VU razumnoj ekonomiji, povećanje troškova ne može dovesti do smanjenja proizvodnje. Iz drugog aksioma ćemo objasniti samo ekonomsko značenje zahtjeva da izvod  2 f/x 2 i bude manji od nule za svaku vrstu troškova. Ovo svojstvo se u ekonomiji naziva izaZakon opadajućeg prinosa ili opadajućeg prinosa: kako troškovi rastu, počevši od određenog trenutka (prilikom ulaska u regiju S!), pogranični proizvod počinje da se smanjuje. Klasičan primjer ovog zakona je dodavanje sve više i više rada u proizvodnju žita na fiksnom komadu zemlje. U nastavku se pretpostavlja da se proizvodna funkcija razmatra na području S u kojem vrijede oba aksioma.

Možete kreirati proizvodnu funkciju za dato preduzeće, a da o tome ništa ne znate. Potrebno je samo postaviti brojač (bilo osobu ili neku vrstu automatskog uređaja) na kapiju preduzeća, koji će evidentirati X – uvezeni resursi i Y – količinu proizvoda koje je preduzeće proizvelo. Ako akumulirate dovoljnu količinu takvih statičkih informacija i uzmete u obzir rad poduzeća u različitim režimima, tada možete predvidjeti učinak, znajući samo količinu uvezenih resursa, a to je znanje o proizvodnoj funkciji.

2.4. Cobb-Douglas proizvodna funkcija

Razmotrimo jednu od najčešćih proizvodnih funkcija - Cobb-Douglasovu funkciju: Y = AK  L , gdje su A, ,  > 0 konstante,  + 

Y/K = AαK α -1 L β > 0, Y/L = AβK α L β -1 > 0.

Negativnost drugih parcijalnih derivata, odnosno opadajućih graničnih proizvoda: Y 2 /K 2 = Aα(α–1)K α -2 L β 0.

Prijeđimo na glavne ekonomske i matematičke karakteristike Cobb-Douglasove proizvodne funkcije. Prosječna produktivnost rada definira se kao y = Y/L – odnos količine proizvedenog proizvoda i količine utrošenog rada; prosječna kapitalna produktivnost k = Y/K – odnos obima proizvedenog proizvoda i vrijednosti sredstava.

Za Cobb-Douglasovu funkciju, prosječna produktivnost rada y = AK  L  , a zbog uslova , s povećanjem troškova rada, prosječna produktivnost rada opada. Ovaj zaključak omogućava prirodno objašnjenje – budući da vrijednost drugog faktora K ostaje nepromijenjena, to znači da novoprivučena radna snaga nije opskrbljena dodatnim sredstvima za proizvodnju, što dovodi do smanjenja produktivnosti rada (to vrijedi i za najopštiji slučaj - na nivou proizvodnih setova).

Granična produktivnost rada Y/L = AβK α L β -1 > 0, što pokazuje da je za Cobb-Douglasovu funkciju granična produktivnost rada proporcionalna prosječnoj produktivnosti i manja od nje. Prosječna i granična produktivnost kapitala određuju se na sličan način. Za njih važi i naznačeni odnos - granična produktivnost kapitala je proporcionalna prosečnoj produktivnosti kapitala i manja je od nje.

Važna karakteristika je kao npr odnos kapitala i rada f = K/L, prikazuje obim sredstava po zaposlenom (po jedinici rada).

Nađimo sada radnu elastičnost proizvodnje:

(Y/L):(Y/L) = (Y/L)L/Y = AβK α L β -1 L/(AK α L β) = β.

Značenje je jasno parametar - Ovo elastičnost (odnos granične produktivnosti rada prema prosječnoj produktivnosti rada) proizvodnje po radu. Radna elastičnost proizvodnje znači da je za povećanje proizvodnje za 1% potrebno povećati obim radnih resursa za %. Ima slično značenje parametar – je elastičnost proizvodnje kroz fondove.

I još jedno značenje se čini zanimljivim. Neka je  +  = 1. Lako je provjeriti da je Y = (Y/K)/K + (Y/L)L (zamjenom prethodno izračunatih Y/K, Y/L u ovu formulu). Pretpostavimo da se društvo sastoji samo od radnika i preduzetnika. Tada se prihod Y dijeli na dva dijela - prihod radnika i prihod poduzetnika. Pošto se kod optimalne veličine firme vrijednost Y/L – granični proizvod rada – poklapa sa nadnicama (to se može dokazati), onda (Y/L)L predstavlja prihod radnika. Slično, vrijednost Y/K je granični prinos na kapital, čije je ekonomsko značenje profitna stopa, pa (Y/K)K predstavlja prihod preduzetnika.

Cobb-Douglasova funkcija je najpoznatija među svim proizvodnim funkcijama. U praksi, prilikom njegove konstruisanja, ponekad se odustaju neki zahtjevi (na primjer, zbir  +  može biti veći od 1, itd.).

Primjer 1. Neka je proizvodna funkcija Cobb-Douglasova funkcija. Za povećanje proizvodnje za a = 3%, potrebno je povećati osnovna sredstva za b = 6% ili broj zaposlenih za c = 9%. Trenutno jedan radnik proizvodi proizvode u vrijednosti M = 10 4 rubalja mjesečno . , a ukupan broj zaposlenih je L = 1000. Osnovna sredstva su procenjena na K = 10 8 rubalja. Pronađite proizvodnu funkciju.

Rješenje. Nađimo koeficijente , :  = a/b = 3/6 = 1/2,  = a/c = = 3/9 = 1/3, dakle, Y = AK 1/2 L 1/3. Da bismo pronašli A, zamjenjujemo vrijednosti K, L, M u ovu formulu, imajući na umu da je Y = ML = 1000 . 10 4 = 10 7 – – 10 7 = A(10 8) 1/2 1000 1/3. Dakle, A = 100. Dakle, proizvodna funkcija ima oblik: Y = 100K 1/2 L 1/3.

2.5. Teorija firme

U prethodnom dijelu, prilikom analize i modeliranja ponašanja proizvođača, koristili smo samo prirodne pokazatelje i bez cijena, ali nismo mogli konačno riješiti problem proizvođača, odnosno ukazati na jedini pravac djelovanja za njega u trenutnom uslovima. Sada razmotrimo cijene. Neka je P vektor cijene. Ako je T = (X,Y) tehnologija, tj. input-output vektor, X su troškovi, Y je izlaz, tada je skalarni proizvod PT = PX + PY profit od upotrebe tehnologije T (troškovi su negativne količine) . Sada formulirajmo matematičku formalizaciju aksioma koji opisuje ponašanje proizvođača.

Problem proizvođača: Proizvođač bira tehnologiju iz svog proizvodnog skupa, s ciljem maksimiziranja profita . Dakle, proizvođač rješava sljedeći problem: PT→max, Tτ. Ovaj aksiom uvelike pojednostavljuje situaciju izbora. Dakle, ako su cijene pozitivne, što je prirodno, onda će “output” komponenta rješenja ovog problema automatski ležati na krivulji proizvodnih mogućnosti. Zaista, neka T = (X,Y) bude neko rješenje za problem proizvođača. Tada postoji ZK x , Z  Y, dakle, P(X, Z)  P(X, Y), što znači da je tačka (X, Z) također rješenje problema proizvođača.

Za slučaj dvije vrste proizvoda, problem se može riješiti grafički (slika 2.3). Da biste to učinili, trebate "pomjeriti" pravu liniju okomitu na vektor P u smjeru gdje pokazuje; tada će posljednja tačka, kada ova prava linija i dalje siječe proizvodni skup, biti rješenje (na slici 2.3 to je tačka T). Kao što je lako vidjeti, stroga konveksnost traženog dijela proizvodnog skupa u drugom kvadrantu garantuje jedinstvenost rješenja. Isto razmišljanje važi i u opštem slučaju, za veći broj tipova ulaza i izlaza. Međutim, nećemo ići tim putem, već ćemo koristiti aparat proizvodnih funkcija i nazvati proizvođača firmom. Dakle, output firme se može okarakterizirati jednom vrijednošću - bilo obimom proizvodnje, ako se proizvodi jedan proizvod, ili ukupnom vrijednošću cjelokupne proizvodnje. Prostor troškova je m-dimenzionalan, vektor troškova X = (x 1, ..., x m). Troškovi jedinstveno određuju izlaz Y, a ovaj odnos je proizvodna funkcija Y = f(X).

Rice. 2.3. Rješavanje problema proizvođača

U ovoj situaciji, označimo sa P vektor cijena robe-troškova i neka je v cijena jedinice proizvedene robe. Dakle, profit W, koji je u konačnici funkcija X (i cijene, ali se one smatraju konstantnim), je W(X) = vf(X) – PX→max, X  0. Izjednačavanje parcijalnih izvoda funkcije W na nulu, dobijamo:

v(f/x j) = p j za j = 1, …, m ili v(f/X) = P (2.1)

Pretpostavićemo da su svi troškovi striktno pozitivni (nulte jedinice se jednostavno mogu isključiti iz razmatranja). Tada se ispostavlja da je tačka data relacijom (2.1) interna, odnosno tačka ekstrema. A pošto se pretpostavlja da je i Hessian matrica proizvodne funkcije f(X) negativno definirana (na osnovu zahtjeva za proizvodne funkcije), ovo je maksimalna tačka.

Dakle, pod prirodnim pretpostavkama o proizvodnim funkcijama (ove pretpostavke su ispunjene za proizvođača sa zdravim razumom i u razumnoj ekonomiji), relacija (2.1) daje rješenje za problem firme, tj. određuje obim X * prerađenih resursa, što rezultira izlazom Y * = f(X *) Tačka X *, ili (X *,f(X *)) će se zvati optimalnim rješenjem kompanije. Zadržimo se na ekonomskom značenju relacije (2.1). Kao što je navedeno, (f/X) = (f/x 1 ,…,f/x m) se naziva vektor graničnog proizvoda, ili vektor graničnih proizvoda, a f/x i se zove i-ti marginalni proizvod, ili otpustite odgovor na promjenu i - troškovi stavke. Dakle, vf/x i dx i je Cijena i -ti granični proizvod dodatno dobijen od dx i jedinice i th resurs. Međutim, cijena dx i jedinica i-tog resursa jednaka je r i dx i , tj. postignuta je ravnoteža: moguće je uključiti dodatne dx i jedinice i-tog resursa u proizvodnju, trošenje r i dx i na njegovu kupovinu, ali neće biti dobitka, t Jer nakon obrade proizvoda, dobit ćemo potpuno isti iznos koliko smo potrošili. Shodno tome, optimalna tačka data relacijom (2.1) je tačka ravnoteže – više nije moguće izvući više od robe-resursa nego što je potrošeno na njihovu kupovinu.

Očigledno, povećanje proizvodnje firme odvijalo se postepeno: u početku su troškovi marginalnih proizvoda bili manji od nabavne cijene robe i resursa potrebnih za njihovu proizvodnju. Obim proizvodnje raste sve dok relacija (2.1) ne počne da se ispunjava: jednakost vrijednosti graničnih proizvoda i nabavne cijene dobara i resursa potrebnih za njihovu proizvodnju.

Pretpostavimo da je u problemu firme W(X) = vf(X) – PX → max, X  0, rješenje X * jedinstveno za v > 0 i P > 0. Tako dobijamo vektorsku funkciju X * = X * ( v, P), ili funkcije x * I = x * i (v, p 1 , p m) za i = 1, …, m. Ove m funkcije se pozivaju funkcije potražnje za resursima po datim cijenama proizvoda i resursa. U suštini, ove funkcije znače da ako su utvrđene cijene P za resurse i cijena v za proizvedenu robu, dati proizvođač (obilježen datom proizvodnom funkcijom) određuje volumen prerađenih resursa koristeći funkcije x * I = x * i (v, p 1, p m) i traži ove količine na tržištu. Poznavajući količine prerađenih resursa i supstituirajući ih u proizvodnu funkciju, dobijamo output kao funkciju cijena; označimo ovu funkciju sa q * = q * (v,P) = f(X(v,P)) = Y * . To se zove funkcija opskrbe proizvodom ovisno o cijeni v za proizvode i cijene P za resurse.

A-priorat, resurs i-te vrste pozvao male vrijednosti, ako i samo ako,x * i /v, tj. kada cijena proizvoda raste, potražnja za resursom niske vrijednosti opada. Moguće je dokazati važnu relaciju: q * /P = -X * /v ili q * /p i = -x * i /v, za i = 1, …, m. Posljedično, povećanje cijene proizvoda dovodi do povećanja (smanjenja) potražnje za određenom vrstom resursa ako i samo ako povećanje plaćanja za ovaj resurs dovodi do smanjenja (povećanja) optimalnog outputa. Ovo pokazuje glavno svojstvo resursa male vrijednosti: povećanje plaćanja za njih dovodi do povećanja proizvodnje! Međutim, moguće je striktno dokazati postojanje takvih resursa, čije povećanje plaćanja dovodi do smanjenja proizvodnje (tj. svi resursi ne mogu biti male vrijednosti).

Također je moguće dokazati da su x * i /p i komplementarni ako su x * i /p j zamjenjivi ako je x * i /p j > 0. To jest, za komplementarne resurse, povećanje cijene jedan od njih dovodi do pada potražnje za drugim, a za zamjenjivim resursima, povećanje cijene jednog od njih dovodi do povećanja potražnje za drugim. Primjeri komplementarnih resursa: kompjuter i njegove komponente, namještaj i drvo, šampon i balzam za njega. Primjeri zamjenjivih resursa: šećer i zamjene za šećer (na primjer, sorbitol), lubenice i dinje, majonez i pavlaka, puter i margarin, itd.

Primjer 2. Za preduzeće sa proizvodnom funkcijom Y = 100K 1/2 L 1/3 (iz primera 1), pronađite optimalnu veličinu ako je period amortizacije osnovnih sredstava N = 12 meseci, mesečna plata zaposlenog je a = 1000 rubalja .

Rješenje. Optimalna veličina outputa ili obima proizvodnje nalazi se iz relacije (2.1). U ovom slučaju, output se mjeri u monetarnom smislu, tako da je v = 1. Trošak mjesečnog održavanja jedne rublje sredstava je 1/N, tj. dobijamo sistem jednačina

, rješavajući koje nalazimo odgovor:
, L = 8 . 10 3, K = 144. 10 6.

2.6. Zadaci

1. Neka je proizvodna funkcija Cobb-Douglasova funkcija. Za povećanje proizvodnje za 1%, potrebno je povećati osnovna sredstva za b = 4% ili broj zaposlenih za c = 3%. Trenutno jedan radnik proizvodi proizvode u vrijednosti M = 10 5 rubalja mjesečno . , a ukupan broj radnika je L = 10 4 . Osnovna sredstva su procenjena na K = 10 6 rubalja. Naći proizvodnu funkciju, prosječnu produktivnost kapitala, prosječnu produktivnost rada, odnos kapitala i rada.

2. Grupa „šatlova“ u iznosu od E odlučila je da se ujedini sa N prodavačima. Dobit od radnog dana (prihod minus rashodi, ali ne i plate) izražava se formulom Y = 600(EN) 1/3. Plata šatl radnika je 120 rubalja. po danu, prodavac - 80 rubalja. za jedan dan. Pronađite optimalan sastav grupe „šatlova“ i prodavaca, odnosno koliko „šatlova“ treba da bude i koliko prodavaca.

3. Biznismen je odlučio da osnuje malu transportnu kompaniju. Upoznavši se sa statistikom, uvidio je da je približna zavisnost dnevnog prihoda od broja automobila A i broja N izražena formulom Y = 900A 1/2 N 1/4. Amortizacija i ostali dnevni troškovi za jednu mašinu su 400 rubalja, dnevna plata radnika je 100 rubalja. Pronađite optimalan broj radnika i vozila.

4. Biznismen je odlučio da otvori pivnicu. Pretpostavimo da je zavisnost prihoda Y (minus cijena piva i grickalica) od broja stolova M i broja konobara F izražena formulom Y = 200M 2/3 F 1/4. Cijena za jedan stol je 50 rubalja, plata konobara je 100 rubalja. Pronađite optimalnu veličinu šanka, odnosno broj konobara i stolova.

Koncept poznato je svakom čovjeku, budući da je rođen i živi u nizu stvari koje su karakteristične za materijalnu kulturu njegovog društva. Čak i čitava ekonomska teorija počinje opisom predmetnog skupa, koji je dat u radu, upoređivanjem broja i količine objekata i broja profesija (tehnologija), koje su određivale bogatstvo određene države. Druga stvar je da su sve dosadašnje teorije prihvatile ovu poziciju aksiomatski, ali uz gubitak interesa za koncept koji su razumjeli značenje predmetno-tehnološkog skupa samo u vezi sa odvojenim .

Stoga je ovo još uvijek otkriće koje PTM povezana sa, što se samo ponekad može poklopiti sa ekonomijom države. Fenomen predmetno-tehnološkog skupa pokazalo se da nije tako jednostavno kao što su ekonomisti mislili. U ovom članku o predmetno-tehnološkom skupučitalac će pronaći ne samo opis predmetno-tehnološkog skupa kao, ali i istorija prepoznavanja PTM kao mjera za poređenje razvijenosti zemalja.

predmetno-tehnološki set

Ljudi su sami po sebi proizvod prilično visokog životnog standarda, koji su stepski hominidi postigli zahvaljujući pojavi nekih stabilnih u svojim jatima. Ako za primate okupljanje, kao način dobijanja resursa s područja prirodnog kompleksa, nije zahtijevalo zajedničke napore nekoliko jedinki, onda je lov na velike kopitare, koji je postao glavni način osiguravanja postojanja hominida tokom razvoja stepe, bila je složeno organizovana aktivnost sa podelom uloga između nekoliko učesnika.

U isto vrijeme, mala veličina stepskih hominida nije im dopuštala da ubiju veliku životinju bez lovačkih alata, čak i kao dio grupe. Međutim, u stepama nije posvuda razbacano kamenje prikladnog oblika i teško je pronaći naoštreni štap, pa su hominidi morali sa sobom nositi lovačko oruđe. Zajedno sa odjećom, koja se pojavila uz uspravno hodanje, čija je posljedica opadanje kose, a jednostavno zbog hladne stepske klime, Jata-PLEMA dobijaju određeni sklop, drugim riječima - mnogi- artikli čije prisustvo obezbeđuje članovima nivo egzistencije bez gladi.

Uz luksuz se pojavljuju i ljudi, odnosno predmeti za koje hominidi ranije nisu imali vremena - ili da jednostavno prisvoje predmete iz prirode koji ih zanimaju, ili da ih proizvedu radom, jer nije bilo ni potrebe ni mogućnosti da se stalno nose sa sobom. njima. Luksuzni predmeti uključuju sve poboljšane alate, uostalom, ljudima, kao jednoj od vrsta sisara, za život je dovoljan skup životnih dobara, čija je proizvodnja u potpunosti osigurana raznovrsnošću predmeta koje su hominidi imali u čoporima. Kao biološko biće, čovjek je, prije više miliona godina, mogao i živi iznad hominidnog nivoa sa istom raznolikošću objekata, ali je kod ljudi toliko jak da se ljudi nisu zaustavili na nivou hominida, kao što je trebalo da bude. za životinjsku vrstu koja je dostigla nivo prosperiteta. Ljudi nisu imali priliku da poboljšaju uslove života u prirodnom okruženju, pa počinju da stvaraju svoje veštačko okruženje od predmeta rada.

U ljudskim plemenima utjecaj je nastavio djelovati, naslijeđen od hominida, u čijim je jatima prvi potrošač bilo kakvog luksuza (lijepo perje kao primjer „šarma“) mogao biti samo vođa. Kada je vođa imao puno perja, davao ih je svojim saradnicima - članovima sa visokim statusom. Takve praksa davanja poklona među preostalim članovima plemena, to je potaknulo vjerovanje da posjedovanje predmeta iz vođine upotrebe povećava status vlasnika u hijerarhiji. Potrošnja u skladu sa statusom primorala je visoke članove društva da traže najluksuznije stvari.

Istovremeno, mnogi nižerangirani članovi spremni su da žrtvuju mnogo da bi dobili stvari od upotrebe jerarha, jer im posedovanje ovih stvari omogućava da osete povećanje svog statusa pred drugima. Tako su stvari koje su se prvo pojavljivale u svakodnevnom životu hijerarha, u kopijama, postale predmet potrošnje visokostatusnih članova, a požuda ostalih članova sa jakim hijerarhijskim instinktom dovela je do masovne proizvodnje, što je snizilo cijenu, što je stvar koja je dostupna svakom članu zajednice. Ova trka za prestižnim stvarima nastavlja se hiljadama godina, povećavajući raznovrsnost objekata, tako da sada živimo okruženi milionima objekata koji živote ljudi čine SAMO MNOGO Udobnijim od načina života pretka hominida.

Ali biološki, osoba je i dalje isti hominid sa hijerarhijskim instinktom, koji ostvaruje u polju zvanom -. Predmetno-tehnološki set je još jedna razlika između ljudi i životinja - ovo je novo vještačko stanište koje ljudi stvaraju zahvaljujući naučnom i tehnološkom napretku, čija je pokretačka snaga. Kao što vidimo, u PRIVREDNOM RAZVOJU nema ništa sveto, samo je zadovoljstvo jedan od instinkata.

Možemo reći da je to svakom čovjeku poznato, budući da se rađa i živi okružen mnoštvom predmeta, ali ideja o objektno-tehnološkom setu pojavila se kada su odlučili uporedi bogatstvo različitih država. I ovdje predmetno-tehnološki set pokazalo se kao jasan pokazatelj bogatstva ili stepena razvoja. U jednom slučaju moguće je poređenje po asortimanu – tj. po broju različitih objekata, što omogućava karakterizaciju razvoja istog društva u određenom vremenskom periodu (što je opisano u temi naučno-tehnološkog napretka). U drugom slučaju to možemo reći jedno društvo je bogatije od drugog, ali tada parametru asortimana morate dodati karakteristiku kvalitete i tehnološke izvrsnosti artikala koji se uspoređuju (ovo se proučava u temi -). Ali, po pravilu, u skupu objekata bogatijeg društva pojavljuju se fundamentalno novi objekti u čijoj su proizvodnji korištene nove tehnologije. Veza između naprednijih i suštinski novih proizvoda i novih tehnologija je sasvim očigledna, stoga, koju određeno društvo ima, pretpostavlja ne samo spisak artikala, već i skup tehnologija, dozvoljavajući proizvodnju ovih proizvoda u sferi proizvodnje ovog društva.

Za stare ekonomske teorije, jedinica ekonomije je ekonomija suverene države. Upravo stanovništvo države smatra se zajednicom čiji je predmetno-tehnološki skup određen sposobnošću privrede date države da proizvodi sve te predmete. A veza s tehnologijom pretpostavlja se da je mehanička - doslovno, ako država ima tehnologije, onda ništa ne sprječava proizvodnju proizvoda koji im odgovaraju.

Međutim, dolaskom globalnog sistema podjele rada, netačnost poistovjećivanja privrede jedne zemlje sa zajednicom ljudi koja ima takav atribut kao što je predmetno-tehnološki set. Činjenica je da u zemljama koje učestvuju u međunarodnoj podjeli rada većina komponenti, dijelova i rezervnih dijelova od kojih se ovdje sklapaju gotovi proizvodi mogu čak i ne proizvoditi na teritoriji ove države i obratno, proizvode se samo dijelovi, ali se konačni proizvodi ne proizvode.

Ovdje se to mora reći nedoslednost DOSTUPNOST tehnologije i MOGUĆNOST da se na njoj proizvedu neki proizvodi - postojala je I PRIJE međunarodne podjele rada, ali stara ekonomska nauka nedoslednost Nisam primijetio, čak i više – u razumijevanju prethodnih teorija – ekonomije svih država su bile ekvivalentne (razlika je prihvaćena samo u veličini – jedna je mogla biti veća ili manja od druge) i čim je tehnologija data, odmah se pojavila MOGUĆNOST da se bilo šta proizvede.

Činjenica da je praksa opovrgla ove teorijske pretpostavke nije spriječila staru ekonomsku nauku da daje recepte zemljama u razvoju za izgradnju proizvodnih objekata bilo koje tehnološke složenosti. Vrlo čest primjer je Rumunjska, koja, po mišljenju ekonomista, nema prepreka da dostigne nivo Sjedinjenih Američkih Država, barem u sferi proizvodnje, iako je jasno da bi predmetno-tehnološka raznolikost da bi Rumunija postala velika kao u SAD, potrebno je imati barem toliko ljudi u proizvodnji. Međutim, ako asortiman predmetno-tehnološke raznolikosti Sjedinjenih Država premašuje broj stanovnika Rumunije, onda nije jasno ko će na teritoriji Rumunije moći proizvoditi toliki broj artikala.

POSTOJE objektivna ograničenja za razvoj - i ona se najvjerovatnije svode ne samo na veličinu sistema podjele rada koji se može stvoriti u zemlji (na primjer, Indija, gdje stanovništvo teoretski omogućava stvaranje najvećeg na svijetu , ali iz teorijske mogućnosti - Indija nije postala bogatija) , a u . Na primjer, Finska je za kratko vrijeme uspjela zauzeti mjesto najnaprednije zemlje u proizvodnji mobilnih telefona. Ali proizvedeni Nokia telefoni nisu svi ostali unutar predmetno-tehnološkog skupa Finske; oni su dopunili predmetne skupove mnogih zemalja. Stoga moramo zaključiti - snaga predmetno-tehnološkog skupa Konkretan proizvod je određen ne toliko brojem ljudi zaposlenih u proizvodnji, već u većoj mjeri veličinom tržišta (broj proizvoda ovisi o tome), i što je najvažnije, prisustvom masovne efektivne POTRAŽNJE za proizvod.

Kao što sada možete vidjeti - koncept predmetno-tehnološkog skupa nije tako jednostavno kao što se čini. Prvo, sada to razumijemo predmetno-tehnološki set već povezan sa nekim sistemom podele rada, a ne sa državom (u smislu, iako istorijski predmetno-tehnološki set izvodimo iz skupa ciljeva, koji je bio prvi). Ovaj sistem može biti unutrašnji deo ili vanjski supersistema u odnosu na stanovništvo. Drugo, zamislite predmetno-tehnološki set možemo, ako ima prebrojiv asortiman - inače, broj različitih objekata u njemu je konačan, što implicira u određenom trenutku vremena prebrojivo ograničen broj ljudi u zajednici. Ako mislimo na zajednicu koja ima PMT, sistem podjele rada, onda moramo govoriti o njegovoj ZATVORENOSTI, budući da se predmeti iz skupa i proizvode i troše u ovom sistemu.

Tvoja naučnim znači predmetno-tehnološki skup prima sa otvaranjem novi objekat u privredi, koji se zove , koji predstavlja zatvoreno, u kojoj se u njemu troše i oni proizvodi koji se proizvode. Primjer reproduktivnog kompleksa je u, ali sljedeći - kao što su, a posebno - mogu imati kombinaciju nekoliko.

Pojam predmetno-tehnološki skup koristio već u svojim prvim radovima, kada se zainteresovao za interakciju razvijenih zemalja i zemalja u razvoju. Tada sam počeo da koristim pojam predmetno-tehnološki skup, kao određena karakteristika sistema podjele rada koji su se razvili u različitim zemljama. Tada nije bilo jasno sa kojim entitetom je to povezano PMT, Zbog toga pojam predmetno-tehnološki skup koristio se za karakterizaciju stanja prilikom njihovog poređenja. Ovdje sam pratio osnivača političke ekonomije, koji je u svom radu uporedio blagostanje zemalja kao poređenje broja i obima proizvoda koji se proizvode radom građana.

Podobnost korišćenja PMT koncepti državi - ostaje, ali čitalac mora zapamtiti - predmetno-tehnološki set karakteriše zatvoreno sistem podjele rada, što u nekim modelima može značiti ekonomija jedne nezavisne države.

Još jedno pitanje direktno vezano za prognozu sadašnjosti - Može li se predmetno-tehnološka raznolikost smanjiti? Odgovor je, naravno, može, iako mnogi misle da je naučno-tehnološki napredak može samo povećati snaga predmetno-tehnološkog skupa, ako na to gledate kao na atribut države. Jasno je da neki predmeti prirodno nestaju iz svakodnevnog života ljudi, drugi su toliko poboljšani da više ne liče na svoj povijesni prototip. Ovaj prirodni proces povezan je sa pojavom novih tehnologija, ali, kako je pokazala istorija Rimskog carstva - predmetno-tehnološki set može smanjiti uz zaborav svih tehnoloških dostignuća, ako sistem podjele rada koji ga zamjenjuje nije u stanju osigurati reprodukciju PTM u cijelosti.

Na početku naše ere u Evropi počinje demografska kriza, tako da plemena ne mogu da pupaju zajedno, a želja da se ukloni višak stanovništva dovodi do otimanja zemlje. Države počinju da se razvijaju na periferiji Rimskog carstva, a ispostavilo se da je Stari Rim (kao i Stara Grčka) bio ogranak istočnog carstva na evropskom kontinentu. Autohtona Evropa ulazi u prirodno stanje perioda formiranja države, koji se u Evropi, zbog početno malog broja stanovništva koje ga je razvijao, pomerio vekovima kasnije nego što je bio na ISTOKU. Rimsko carstvo nije imalo šanse oduprijeti se želji plemena da se šire, a gubitak teritorija uništio je uspostavljeni sistem podjele rada, čiji je kolaps doveo do nestanka potražnje za nekadašnjim svakodnevnim proizvodima Rimljana. Kolaps predmetnog skupa bio je toliki da su mnogi rimski tehnolozi potpuno zaboravljeni i ponovo otkriveni tek nakon jednog milenijuma, a životni standard koji je postojao u gradovima starog Rima ponovo je postignut u Evropi tek u 19. veku, npr. , tekuća voda na gornjim spratovima višespratnica.

Naveo sam glavne nijanse koncepta predmetno-tehnološki set, ali mora voditi definicija predmetno-tehnološkog skupa iz službenog Glossary of Neoconomics:

KONCEPT PREDMETNO-TEHNOLOŠKE MULTIPLE (PTM)

Ovo PREDMETNO-TEHNOLOŠKI VIŠE sastoji se od predmeta (proizvoda, dijelova, vrsta sirovina) koji stvarno postoje u određenom sistemu podjele rada, odnosno neko ih proizvodi i, shodno tome, konzumira – prodaje na tržištu ili distribuira. Što se tiče dijelova, oni možda nisu roba, ali su dio robe.

Drugi dio ovog skupa je skup tehnologija, odnosno metoda proizvodnje robe koja se prodaje na tržištu - od i/ili sa - korištenjem predmeta uključenih u ovaj set. Odnosno, poznavanje ispravnih sekvenci radnji sa materijalnim elementima skupa.

U svakom vremenskom periodu koji imamo predmetno-tehnološki set(PTM) različite snage. Kako se podjela rada produbljuje PTM se širi.

Važnost ovog koncepta određena je činjenicom da PTM određuje mogućnost naučnog i tehnološkog napretka. Kada je siromašan PTM novi izumi, čak i ako se mogu implementirati u obliku prototipa, po pravilu nemaju šanse da uđu u seriju ako zahtijevaju određene proizvode ili tehnologije koje nisu dostupne u PTM. Jednostavno se ispostavi da su preskupi.

Povezani materijali

Ispred tebe je samo izvod iz poglavlja br. 8 knjige The Age of Growth, u kojem daje opis predmetno-tehnološkog skupa:

Hajde da se predstavimo koncept predmetno-tehnološkog skupa. Ovaj set se sastoji od predmeta (proizvoda, dijelova, vrsta sirovina) koji stvarno postoje, odnosno neko ih je proizveo i shodno tome prodao na tržištu. Što se tiče dijelova, oni možda nisu roba, ali su dio robe. Drugi dio ovog seta čine tehnologije, odnosno metode proizvodnje robe koja se prodaje na tržištu od i uz pomoć predmeta koji su uključeni u ovaj set. To je poznavanje ispravnih redosleda radnji sa materijalnim elementima skupa.

U svakom vremenskom periodu imamo različitu moć predmetno-tehnološki set (PTM). Usput, ne može se samo proširiti. Neki artikli se više ne proizvode, neke tehnologije su izgubljene. Možda crteži i opisi ostaju, ali u stvarnosti, ako odjednom bude potrebno, restauracija elemenata PTM može biti složen projekat, u suštini novi izum. Kažu da su, kada su u naše vrijeme pokušali reproducirati Newcomenov parni stroj, morali uložiti ogromne napore da bi nekako uspjeli. Ali u 18. veku stotine ovih mašina su radile prilično uspešno.

Ali, generalno gledano, PTM Za sada se širi. Istaknimo dva ekstremna slučaja kako do ove ekspanzije može doći. Prvi je čista inovacija, odnosno potpuno novi artikal nastao korištenjem dosad nepoznate tehnologije od potpuno novih sirovina. Ne znam, sumnjam da se ovaj slučaj u stvarnosti nikada nije dogodio, ali pretpostavimo da bi to moglo biti tako.

Drugi ekstremni slučaj je kada se novi elementi skupa formiraju kao kombinacije već postojećih elemenata PTM. Ovakvi slučajevi nisu neuobičajeni. Šumpeter je već vidio inovaciju kao nove kombinacije onoga što već postoji. Uzmimo iste personalne računare. U određenom smislu, ne može se reći da su „izmišljeni“. Sve njihove komponente su već postojale i jednostavno su bile kombinovane na određeni način.

Ako se ovdje može govoriti o bilo kakvom otkriću, onda je to da je početna hipoteza: „Oni će kupiti ovu stvar“ bila potpuno opravdana. Iako, ako razmislite, onda to nije bilo nimalo očito, a veličina otkrića je upravo u tome.

Kako mi to razumijemo, većina novih stavki PTM predstavljaju mješoviti slučaj: bliže prvom ili drugom. Dakle, istorijski trend je, čini mi se, da se udeo pronalazaka bliskih prvoj vrsti smanjuje, a onih bliskih drugoj raste.

Općenito, u svjetlu moje priče o uređajima serije A i uređaj B Jasno je zašto se to dešava. Za više detalja pogledajte 8. poglavlje knjige klikom na dugme:

Formalizirajući skup svih tehnološki izvodljivih vektora neto izlaza.

Definicija

Neka privreda ima $N$ dobro U procesu njihove proizvodnje $n$ beneficije se troše. Označimo vektor ovih koristi (troškova) $x$(vektorska dimenzija $n$). Ostalo $m=N-n$ roba se oslobađa u procesu proizvodnje (dimenzija vektora je $m$). Označimo vektor ovih koristi $y$. Zatim vektor $z=(-x,y)$(dimenzija - $N$) se naziva vektor neto pitanja. Ukupnost svih tehnološki izvodljivih vektora neto outputa je tehnološki set. U stvari, ovo je neki podskup prostora $R^N$.

Za čitaoce koji imaju poteškoća s vektorskim konceptima, postoji mnogo:

vektor - lista robe, svako dobro je opisano svojom količinom, skupom brojeva;

sva dobra potrošena u proizvodnji evidentiraju se na početku vektora neto proizvodnje z sa predznakom minus (-x), ona proizvedena sa znakom plus (y);

sve kombinacije moguće za proizvodnju čine tehnološki skup (proizvodne kombinacije).

Svojstva

• Ne-praznina: tehnološki set nije prazan. Nepraznina znači temeljnu mogućnost proizvodnje.
• Prihvatljivost neaktivnosti: nulti vektor pripada tehnološkom skupu. Ovo formalno svojstvo znači da je nulti izlaz na nultom ulazu prihvatljiv.
• Zatvorenost: tehnološki skup sadrži svoju granicu i granica bilo kojeg niza tehnološki izvodljivih vektora neto izlaza također pripada tehnološkom skupu.
• Sloboda trošenja: ako je dati vektor $z$ pripada tehnološkom skupu, tada mu pripada bilo koji vektor $z"\backslash leqslant\; z$. To znači da se formalno isti obim proizvodnje može proizvesti uz veće troškove.
• Odsustvo "rog izobilja": od nenegativnih vektora neto proizvodnje, samo nulti vektor pripada tehnološkom skupu. To znači da su potrebni troškovi različiti od nule da bi se proizvela pozitivna količina autputa.
• Ireverzibilnost: za bilo koji važeći vektor $z$, suprotni vektor $-z$ ne pripada tehnološkom skupu. Odnosno, nemoguće je proizvesti resurse iz proizvedenih proizvoda u istim količinama u kojima se koriste za proizvodnju ovih proizvoda.
• Aditivnost: Zbir dva valjana vektora je također važeći vektor. Odnosno, dozvoljena je kombinacija tehnologija.
• Svojstva koja se odnose na povrat na obim proizvodnje:
  • Nerastući prinosi na skalu: za bilo koga $\backslash lambda\; \backslash in\; (0;1)$ $\backslash lambda\; z$
  • Nesmanjujući povrat na razmjeru: za bilo koga $\backslash lambda\; >1$ ako z pripada tehnološkom skupu, onda $\backslash lambda\; z$ takođe pripada tehnološkom setu.
  • Konstantno vraćanje na skalu: istovremeno ispunjenje dva prethodna svojstva, odnosno za bilo koju pozitivu $\backslash lambda$ Ako $z$ pripada tehnološkom skupu, dakle $\backslash lambda\; z$ takođe pripada tehnološkom setu. Svojstvo konstantnog povrata znači da je tehnološki skup konus.

8. Konveksna: za bilo koja dva važeća vektora $z\_1,\; z\_2$ Bilo koji vektori su također važeći $\backslash alpha\; z\_1\; +(1-\backslash alpha)z\_2$, Gdje . Svojstvo konveksnosti znači mogućnost "miješanja" tehnologija. Konkretno, ispunjeno je ako tehnološki skup ima svojstvo aditivnosti i nerastućih povrata na skalu. Štaviše, u ovom slučaju tehnološki skup je konveksan konus.

Efikasna tehnologija postavlja granice

Prihvatljiva tehnologija $z$ pozvao efektivno, ako ne postoji druga prihvatljiva tehnologija koja se razlikuje od nje $z"\backslash geqslant\; z$. Formiraju se mnoge efikasne tehnologije efikasna granica tehnološki set.

Ako je ispunjen uslov slobode trošenja i zatvorenosti tehnološkog skupa, onda je nemoguće beskonačno povećavati proizvodnju jednog dobra bez smanjenja proizvodnje drugih. U ovom slučaju, za bilo koju prihvatljivu tehnologiju $z$ postoji efikasna tehnologija $z"\; \backslash geqslant\; z$. U ovom slučaju, umjesto cijelog tehnološkog skupa, može se koristiti samo njegova efektivna granica. Obično se efikasna granica može dati nekom proizvodnom funkcijom.

Proizvodna funkcija

Razmotrimo tehnologije jednog proizvoda $(-x,y)$, Gdje $y$- vektor dimenzija $m=1$, A $x$- vektor troškova dimenzija $n$. Razmotrite set $X$, koji uključuje sve moguće vektore troškova $x$, takav da za svakoga $x$ postoji $y$, tako da su neto izlazni vektori $(-x,y)$ pripadaju tehnološkom skupu.

Numerička funkcija $f(x)$ on $X$ pozvao proizvodna funkcija, ako za svaki dati vektor troškova $x$ značenje $f(x)$ definira maksimalnu vrijednost dozvoljenog izlaza $y$(tako da vektor neto izlaza (-x,y) pripada tehnološkom skupu).

Bilo koja tačka efektivne granice tehnološkog skupa može se predstaviti u obliku $(-x,f(x))$, a suprotno je istina ako $f(x)$ je rastuća funkcija (u ovom slučaju $y=f(x)$- jednačina efektivne granice). Ako tehnološki skup ima svojstvo slobode trošenja i može se opisati proizvodnom funkcijom, tada se tehnološki skup određuje na osnovu nejednakosti $y\backslash leqslant\; f(x)$.

Da bi se tehnološki skup mogao specificirati pomoću proizvodne funkcije, dovoljno je da za bilo koji $x$ gomila $F(x)$ dozvoljeni rezultati po datim troškovima $x$, bio je ograničen i zatvoren. Konkretno, ovaj uslov je zadovoljen ako tehnološki skup ima svojstva zatvorenosti, nerastućih povrata na skalu i odsustva roga izobilja.

Ako je tehnološki skup konveksan, onda je proizvodna funkcija konkavna i kontinuirana na unutrašnjosti seta $X$. Ako je uslov slobode trošenja zadovoljen, onda $f(x)$ je neopadajuća funkcija (u ovom slučaju, konkavnost funkcije implicira i konveksnost tehnološkog skupa). Konačno, ako su istovremeno zadovoljeni i uvjet odsustva roga izobilja i dopustivosti neaktivnosti, tada $f(0)=0$.

Ako je proizvodna funkcija diferencibilna, tada je moguće definirati lokalnu elastičnost skale na sljedeće ekvivalentne načine:

$e(x)=\backslash frac\; (d\; f(\backslash lambda\; x))(d\; \backslash lambda)\; \backslash cdot\; \backslash frac\; (\backslash lambda)(f(x))|\_(\backslash lambda=1)=\backslash frac\; (f"(x)\; )x)(f(x))$

Gdje $f"(x)$ je vektor gradijenta proizvodne funkcije.

Odredivši tako elastičnost razmjera, može se pokazati da ako tehnološki skup ima svojstvo konstantnog povrata na razmjer, onda $e(x)=1$, ako postoje opadajući prinosi na razmjer, onda $e(x)\backslash leqslant\; 1$, ako rastući prinosi, onda $e(x)\backslash geqslant\; 1$.

Izazov proizvođača

Ako je dat vektor cijene $str$, zatim proizvod $pz$ predstavlja profit proizvođača. Zadatak proizvođača se svodi na pronalaženje takvog vektora $z$, tako da je za dati vektor cijene profit maksimalan. Označavamo skup cijena robe po kojima ovaj problem ima rješenje $P$. Može se pokazati da za neprazan, zatvoreni tehnološki skup s nerastućim povratom na razmjer, problem proizvođača ima rješenje na skupu cijena $P$, dajući negativnu dobit na tzv recesivan pravci (ovo su vektori $z$ tehnološki skup, za koji, za bilo koji nenegativni $\backslash lambda$ vektori $\backslash lambda\; z$ takođe pripadaju tehnološkom skupu). Konkretno, ako se skup recesivnih pravaca poklapa sa $R^N\_-$, onda postoji rješenje za sve pozitivne cijene.

Funkcija profita $\backslash pi(p)$ definisano kao $pz(p)$, Gdje $z(p)$- rješavanje problema proizvođača po datim cijenama (ovo je tzv. funkcija nabave, moguće viševrijedna). Funkcija profita je pozitivno homogena (prvog stepena), tj $\backslash pi(\backslash lambda\; p)=\backslash lambda\; \backslash pi(p)$ i kontinuirano iznutra $P$. Ako je tehnološki skup strogo konveksan, onda je i funkcija profita kontinuirano diferencibilna. Ako je tehnološki skup zatvoren, tada je funkcija profita konveksna na bilo kojem konveksnom podskupu prihvatljivih cijena $P$.

Funkcija rečenice (prikaz) $z(p)$ je pozitivno homogena stepena nula. Ako je tehnološki skup strogo konveksan, tada je funkcija opskrbe jednovrijedna na P i kontinuirana na unutrašnjosti $P$. Ako je funkcija ponude dvaput diferencibilna, tada je Jacobian matrica ove funkcije simetrična i nenegativno određena.

Ako je tehnološki skup predstavljen proizvodnom funkcijom, onda se profit definira kao $pf(x)-wx$, Gdje $w$- vektor cijena faktora proizvodnje, $str$ u ovom slučaju cijena proizvedenih proizvoda. Zatim za bilo koje unutrašnje rješenje (tj. pripadanje unutrašnjosti $X$) problem proizvođača je pravedan: jednakost graničnog proizvoda svakog faktora njegovoj relativnoj cijeni, odnosno u vektorskom obliku $f"(x)=w/p$.

Ako je data funkcija profita $\backslash pi(p)$, što je dvostruko kontinuirano diferencibilna, konveksna i pozitivno homogena (prvi stepen) funkcija, tada je moguće vratiti tehnološki skup kao skup koji sadrži za bilo koji nenegativan vektor cijene $str$čisti vektori oslobađanja $z$, zadovoljavajući nejednakost $pz\backslash leqslant\backslash pi(p)$. Takođe se može pokazati da ako je funkcija ponude pozitivno homogena stepena nula i matrica njenih prvih izvoda je kontinuirana, simetrična i nenegativno određena, onda odgovarajuća funkcija profita zadovoljava gornje zahtjeve (i obrnuto je tačno).

vidi takođe

Napišite recenziju o članku "Tehnološki set"

Književnost

Izvod koji karakteriše Tehnološki komplet

Odjednom je princ Ipolit ustao i, zaustavljajući sve znakovima rukama i zamolivši ih da sjednu, progovori:
- Ah! aujourd"hui on m"a raconte une anegdote moscovite, charmante: il faut que je vous en regale. Vous m"excusez, vicomte, il faut que je raconte en russe. Autrement on ne sentira pas le sel de l"histoire. [Danas su mi rekli šarmantan moskovski vic; morate ih naučiti. Izvinite, vikonte, ispričaću na ruskom, inače će se izgubiti cela poenta šale.]
I princ Ipolit je počeo da govori ruski sa akcentom koji govore Francuzi kada su u Rusiji godinu dana. Svi su zastali: princ Hipolit je tako živahno i hitno tražio pažnju na svoju priču.
– Ima jedna dama u Moskvi, une dame. I veoma je škrta. Za kočiju su joj trebala dva sluge de pied [lajeja]. I veoma visok. Bilo joj je po volji. I imala je une femme de chambre [sluškinja], još uvijek vrlo visoka. Ona je rekla…
Ovde je princ Hipolit počeo da razmišlja, očigledno imajući poteškoća da pravilno razmišlja.
“Rekla je... da, rekla je: “djevojko (a la femme de chambre), obuci livree [livreju] i pođi sa mnom, iza kočije, faire des visites.” [napraviti posjete.]
Ovdje je princ Hipolit frknuo i smijao se mnogo ranije od svojih slušalaca, što je ostavilo nepovoljan utisak na pripovjedača. Međutim, mnogi, uključujući stariju gospođu i Anu Pavlovnu, nasmijali su se.
- Otišla je. Odjednom je zapuhao jak vjetar. Djevojka je izgubila šešir, a njena duga kosa je počešljana...
Tu više nije mogao da izdrži i počeo je naglo da se smeje i kroz ovaj smeh je rekao:
- I ceo svet je znao...
To je kraj šale. Iako nije bilo jasno zašto to priča i zašto se mora ispričati na ruskom, Ana Pavlovna i drugi su cenili društvenu ljubaznost princa Ipolita, koji je tako prijatno okončao neprijatnu i neljubaznu šalu gospodina Pjera. Razgovor nakon anegdote raspao se u mali, beznačajni razgovor o budućnosti i prošlom balu, nastupu, o tome kada i gdje će se vidjeti.

Hajde da razmotrimo ekonomiju sa l robom. Za određenu firmu, prirodno je da neke od ovih dobara smatra faktorima proizvodnje, a neke kao proizvodne proizvode. Treba napomenuti da je ova podjela prilično proizvoljna, budući da kompanija ima dovoljno slobode u izboru asortimana proizvoda i strukture troškova. Kada opisujemo tehnologiju, napravićemo razliku između outputa i troškova, predstavljajući potonje kao output sa predznakom minus. Radi praktičnosti predstavljanja tehnologije, proizvodi koje kompanija ne konzumira niti proizvodi biće klasifikovani kao njen proizvod, a obim proizvodnje ovih proizvoda će se smatrati jednakim 0. U principu, situacija u kojoj proizvod proizveden od strane ne može se isključiti i kompanija koju ona konzumira u procesu proizvodnje. U ovom slučaju ćemo uzeti u obzir samo neto proizvodnju ovog proizvoda, odnosno njegovu proizvodnju minus troškove.

Neka je broj faktora proizvodnje jednak n, a broj vrsta outputa jednak m, tako da je l = m + n. Označimo vektor troškova (u apsolutnoj vrijednosti) sa r Rn + , a obim proizvodnje sa y Rm + . Nazvat ćemo vektor (−r, yo ) vektor neto emisija. Skup svih tehnološki izvodljivih vektora neto izlaza y = (−r, yo ) je tehnološki set Y. Dakle, u slučaju koji se razmatra, bilo koji tehnološki skup je podskup od Rn − × Rm +.

Ovaj opis proizvodnje je opšte prirode. Istovremeno, moguće je ne pridržavati se stroge podjele robe na proizvode i faktore proizvodnje: isto dobro se može potrošiti jednom tehnologijom, a proizvesti drugom. U ovom slučaju, Y Rl.

Opišimo svojstva tehnoloških skupova, u smislu kojih se obično opisuju određene klase tehnologija.

1. Nepraznina

Tehnološki skup Y nije prazan.

Ova nekretnina znači temeljnu mogućnost obavljanja proizvodne djelatnosti.

2. Zatvorenost

Tehnološki skup Y je zatvoren.

Ovo svojstvo je prilično tehničko; to znači da tehnološki skup sadrži svoju granicu, a granica bilo kojeg niza tehnološki izvodljivih vektora neto izlaza je također i tehnološki izvodljiv vektor neto izlaza.

3. Sloboda trošenja:

ako y Y i y0 6 y, onda y0 Y.

Ovo svojstvo se može tumačiti kao sposobnost da se proizvede isti iznos autputa, ali uz veće troškove, ili manji učinak uz iste troškove.

4. Bez "rog izobilja" ("bez besplatnog ručka")

ako je y Y i y > 0, onda je y = 0.

Ovo svojstvo znači da su za proizvodnju proizvoda u pozitivnoj količini potrebni troškovi u količini različitoj od nule.

Rice. 4.1. Tehnološka raznolikost sa sve većim povratom obima.

5. Nerastući povrat na skalu:

ako je y Y i y0 = λy, gdje je 0< λ < 1, тогда y0 Y.

Ovo svojstvo se ponekad naziva (ne sasvim tačno) smanjenjem povrata na skalu. U slučaju dva dobra, gdje se jedno troši, a drugo proizvodi, smanjenje povrata znači da se (maksimalno moguća) prosječna produktivnost inputa ne povećava. Ako za sat vremena možete riješiti, u najboljem slučaju, 5 sličnih problema iz mikroekonomije, onda za dva sata, pod uslovima sve manjeg prinosa, ne biste mogli riješiti više od 10 takvih problema.

50 . Neopadajući povrat na skalu:

ako je y Y i y0 = λy, gdje je λ > 1, tada je y0 Y.

U slučaju dva dobra, gdje se jedno troši, a drugo proizvodi, povećanje povrata znači da se (maksimalno moguća) prosječna produktivnost inputa ne smanjuje.

500. Konstantni povrati na razmeru je situacija kada tehnološki skup istovremeno zadovoljava uslove 5 i 50, tj.

ako je y Y i y0 = λy0 , tada je y0 Y λ > 0.

Geometrijski, konstantni povrati na skalu znače da je Y konus (vjerovatno ne sadrži 0).

U slučaju dva dobra, gdje je jedno input, a drugo proizvedeno, konstantan output znači da se prosječna produktivnost inputa ne mijenja kako se output mijenja.

Rice. 4.2. Set konveksne tehnologije sa sve manjim povratom na skalu

Svojstvo konveksnosti znači mogućnost "miješanja" tehnologija u bilo kojoj proporciji.

7. Nepovratnost

ako je y Y i y 6= 0, onda (−y) / Y.

Recimo da možete proizvesti 5 ležajeva od kilograma čelika. Nepovratnost znači da je nemoguće proizvesti kilogram čelika iz 5 ležajeva.

8. Aditivnost.

ako y Y i y0 Y , onda y + y0 Y.

Svojstvo aditivnosti znači sposobnost kombinovanja tehnologija.

9. Prihvatljivost neaktivnosti:

Teorema 44:

1) Iz nerastućeg povrata na razmjer i aditivnost tehnološkog skupa slijedi njegova konveksnost.

2) Nerastući prinosi na skalu proizlaze iz konveksnosti tehnološkog skupa i dopuštenosti neaktivnosti. (Obrnuto nije uvijek tačno: sa nerastućim prinosima, tehnologija može biti nekonveksna, vidi sl. 4.3 .)

3) Tehnološki skup ima svojstva aditivnosti i nerastanja

vraća se na skalu ako i samo ako je konveksan konus.

Rice. 4.3. Nekonveksni tehnološki skup s nerastućim povratom na skalu.

Nisu sve prihvatljive tehnologije podjednako važne sa ekonomske tačke gledišta. Među dozvoljenim ističu se posebni efikasne tehnologije. Dopuštena tehnologija y obično se naziva efektivnom ako ne postoji druga (različita od nje) prihvatljiva tehnologija y0 takva da je y0 > y. Očigledno, ova definicija efikasnosti implicitno implicira da su sva dobra u nekom smislu poželjna. Efikasne tehnologije čine efikasna granica tehnološki set. Pod određenim uslovima postaje moguće koristiti efektivnu granicu u analizi umjesto cjelokupnog tehnološkog skupa. U ovom slučaju, važno je da za bilo koju dopuštenu tehnologiju y postoji efektivna tehnologija y0 takva da je y0 > y. Da bi se ovaj uslov ispunio, potrebno je da tehnološki skup bude zatvoren, te da je u okviru tehnološkog skupa nemoguće neograničeno povećavati proizvodnju jednog dobra bez smanjenja proizvodnje drugih dobara. Može se pokazati da ako je tehnološki

Rice. 4.4. Efikasna tehnologija postavlja granice

skup ima svojstvo slobode trošenja, tada efektivna granica jednoznačno definira odgovarajući tehnološki skup.

Uvodni i srednji kursevi, kada se opisuju ponašanje proizvođača, zasnivaju se na predstavljanju njegovog proizvodnog skupa kroz proizvodnu funkciju. Relevantno je pitanje pod kojim uslovima na proizvodnom setu je takav prikaz moguć. Iako je moguće dati širu definiciju proizvodne funkcije, u daljem tekstu ćemo govoriti samo o tehnologijama “single-product”, tj. m = 1.

Neka je R projekcija tehnološkog skupa Y na prostor vektora troškova, tj.

R = ( r Rn | yo R: (−r, yo ) Y ) .

Definicija 37:

Poziva se funkcija f(·) : R 7→R proizvodna funkcija, predstavljajući tehnologiju Y, ako je za svako r R vrijednost f(r) vrijednost sljedećeg problema:

yo → max

(−r, yo) Y.

Imajte na umu da svaka tačka na efektivnoj granici tehnološkog skupa ima oblik (−r, f(r)). Obrnuto je tačno ako je f(r) rastuća funkcija. U ovom slučaju, yo = f(r) je efektivna jednačina granice.

Sljedeća teorema daje uslove pod kojima se tehnološki skup može predstaviti??? proizvodna funkcija.

Teorema 45:

Neka je za tehnološki skup Y R × (−R) za bilo koje r R skup

F (r) = ( yo | (−r, yo ) Y )

zatvoreno i omeđeno odozgo. Tada se Y može predstaviti proizvodnom funkcijom.

Napomena: Ispunjenje uslova ove izjave može biti zagarantovano, na primjer, ako je skup Y zatvoren i ima svojstva nerastajućeg povrata na skalu i odsustva roga izobilja.

Teorema 46:

Neka je skup Y zatvoren i ima svojstva nerastajućeg prinosa na skalu i odsustva roga izobilja. Tada za bilo koji r R skup

F (r) = ( yo | (−r, yo ) Y )

zatvoreno i omeđeno odozgo.

Dokaz: Zatvorenost skupova F (r) direktno slijedi iz zatvorenosti Y. Pokažimo da su F (r) ograničeni odozgo. Neka to nije slučaj i neka r R postoji

postoji beskonačno rastući niz (yn) takav da je yn F (r). Zatim, zbog nerastućih povrata na skalu (−r/yn , 1) Y . Prema tome (zbog zatvaranja), (0, 1) Y , što je u suprotnosti sa odsustvom roga izobilja.

Imajte na umu da ako tehnološki skup Y zadovoljava hipotezu slobodne potrošnje, a postoji proizvodna funkcija f(·) koja ga predstavlja, tada je skup Y opisan sljedećom relacijom:

Y = ((−r, yo ) | yo 6 f(r), r R ) .

Uspostavimo sada neke odnose između svojstava tehnološkog skupa i proizvodne funkcije koja ga predstavlja.

Teorema 47:

Neka je tehnološki skup Y takav da je za sve r R definirana proizvodna funkcija f(·). Onda je tačno sledeće.

1) Ako je skup Y konveksan, tada je funkcija f(·) konkavna.

2) Ako skup Y zadovoljava hipotezu slobodne potrošnje, tada je i obrnuto, tj. ako je funkcija f(·) konkavna, tada je skup Y konveksan.

3) Ako je Y konveksan, onda je f(·) kontinuiran na unutrašnjosti skupa R.

4) Ako skup Y ima svojstvo slobode trošenja, tada funkcija f(·) ne opada.

5) Ako Y ima svojstvo da nedostaje rog izobilja, tada je f(0) 6 0.

6) Ako skup Y ima svojstvo dozvoljene neaktivnosti, onda je f(0) > 0.

Dokaz: (1) Neka su r0 , r00 R. Tada (−r0 , f(r0 )) Y i (−r00 , f(r00 )) Y , i

(−αr0 − (1 − α)r00 , αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 )) Y α ,

pošto je skup Y konveksan. Zatim, po definiciji proizvodne funkcije

αf(r0 ) + (1 − α)f(r00 ) 6 f(αr0 + (1 − α)r00 ),

što znači da je f(·) konkavan.

(2) Pošto skup Y ima svojstvo slobodne potrošnje, skup Y (do predznaka vektora troškova) poklapa se sa svojim podgrafom. A podgraf konkavne funkcije je konveksan skup.

(3) Činjenica koju treba dokazati proizlazi iz činjenice da je konkavna funkcija iznutra kontinuirana.

veličina njegovog domena definicije.

(4) Neka je r 00 > r0 (r0 , r00 R). Pošto (−r0 , f(r0 )) Y , onda po svojstvu slobode trošenja (−r00 , f(r0 )) Y . Dakle, prema definiciji proizvodne funkcije, f(r00) > f(r0), odnosno f(·) ne opada.

(5) Nejednakost f(0) > 0 je u suprotnosti sa pretpostavkom o odsustvu roga izobilja. Dakle, f(0) 6 0.

(6) Po pretpostavci dopustivosti neaktivnosti (0, 0) Y . Dakle, po definiciji

Uz pretpostavku postojanja proizvodne funkcije, svojstva tehnologije mogu se direktno opisati u terminima ove funkcije. Pokažimo to na primjeru takozvane elastičnosti skale.

Neka je proizvodna funkcija diferencibilna. U tački r, gdje je f(r) > 0, definiramo

lokalna elastičnost skale e(r) kao:

Ako je u nekom trenutku e(r) jednako 1, tada se smatra da je u ovoj tački stalni prinosi na skalu, ako je više od 1 onda povećanje prinosa, manje - smanjenje povrata na skalu. Gornja definicija se može prepisati na sljedeći način:

P ∂f(r) e(r) = i ∂r i r i .

Teorema 48:

Neka je tehnološki skup Y opisan proizvodnom funkcijom f(·) i

V u tački r imamo e(r) > 0. Tada vrijedi sljedeće:

1) Ako tehnološki skup Y ima svojstvo smanjenja povrata na razmjer, tada je e(r) 6 1.

2) Ako tehnološki skup Y ima svojstvo povećanja povrata na skalu, tada je e(r) > 1.

3) Ako Y ima svojstvo konstantnog povrata na skalu, onda je e(r) = 1.

Dokaz: (1) Razmotrimo niz (λn ) (0< λn < 1), такую что λn → 1. Тогда (−λn r, λn f(r)) Y , откуда следует, что f(λn r) >λn f(r). Prepišimo ovu nejednačinu kao:

Tehnološki setovi Y mogu se specificirati u obrascu implicitne proizvodne funkcije g(·). Po definiciji, funkcija g(·) naziva se implicitna proizvodna funkcija ako tehnologija y pripada tehnološkom skupu Y ako i samo ako g(y) >

Imajte na umu da se takva funkcija uvijek može pronaći. Na primjer, pogodna funkcija je takva da je g(y) = 1 za y Y i g(y) = −1 za y / Y . Imajte na umu, međutim, da se ova funkcija ne može razlikovati. Općenito govoreći, ne može se svaki tehnološki skup opisati jednom diferencibilnom implicitnom proizvodnom funkcijom, a takvi tehnološki skupovi nisu nešto posebno. Konkretno, tehnološki skupovi koji se razmatraju u početnim kursevima mikroekonomije često su takvi da njihov opis zahtijeva dvije (ili više) nejednakosti s diferencibilnim funkcijama, budući da je potrebno uzeti u obzir dodatna ograničenja na nenegativnost faktora proizvodnje. Da bi se objasnila takva ograničenja, može se koristiti vektorski implicitni