Višestruki integrali (zadaci i vježbe). Višestruki integrali Koordinate centra mase ravne figure

Def . neka ,
,

.

Skup se naziva zatvoreni interval ili zatvorena traka .

Skup se naziva otvoreni interval

ili otvorena zraka unutra .

Def . Mjerenje intervala I količina se zove:

(Preciznije
).

Def . Ako
takav da
zatim interval naziva se degenerisanim i
.

Svojstva mjere zazora:

A). pozitivnost:
, i
tada i samo kada – degenerisan.

b). Pozitivna homogenost: .

V). aditivnost:

* Za
takav da
;

* Za
I

.

G). Monotonost mjere: .

Def . Prečnik grede (razmak) je vrednost:

Zapiši to
I
– ovo nije ista stvar. Na primjer, ako – onda degeneracija
,a
(općenito govoreći).

Pri čemu: * ;

* ;*
.

Def . Totalnost
podrasponi intervala naziva se intervalna particija , Ako: *;

*
; *
; *
; *
.

Magnituda
naziva parametar particije P(pri čemu
).

Def . Razdvajanje nazvano prečišćavanje particija , ako su svi elementi particije dobiveno particioniranjem elemenata particije .

Označio:
. Čita: manji ili veći .

Za omjer „veći – manji“ vrijedi sljedeće:

*. tranzitivnost – ; *.
;

*.


; *.

|
.

§. Definicija višestrukog integrala

Neka
– drvo (razmak) u ,
– pregrađivanje jaza I. U svakom intervalu particije označite tačku
.

Dobijamo
particija sa označenim tačkama za
.

Magnituda
naziva se Riemannov integralni zbir za funkciju f (x) na intervalu I particijom sa označenim tačkama
.

Def :
=
=
.

Određivanje – mnoge funkcije integrirane u gredu I napišimo:

Def : ε > 0 δ>0<.

Ako je za funkciju f(x) uključeno I i particije
- označiti sa
– najveća i najmanja vrijednost funkcije f(x) uključeno I k zatim vrednosti
=
I
=
nazivaju se donja i gornja Darbouxova suma.

§. Darbouxov kriterij za postojanje višestrukog integrala.

T 0 . Da funkcioniše
bila integrisana na gredu (oni.
) neophodno je i dovoljno da

. Δ▲.

Definirana je integracija funkcije nad gredom u euklidskom prostoru. Kako se može integrirati funkcija preko proizvoljnog ograničenog skupa iz euklidskog prostora?

Definirajmo integral funkcije f od mnogih
.

Def : Neka
I
– ograničeno, tj.
. Funkcija
nazivamo karakterističnom funkcijom skupa M.

onda:
≡
.

Definicija skupnog integrala ne zavisi od toga koji snop sadrži M odabrano, tj.

.

To znači da je definicija integrala nad skupom ispravna.

Neophodan uslov za integraciju. Da funkcioniše f(x) uključeno M biti integrabilan potrebno je da f(x) bio je ograničen na M. Δ▲.

§. Svojstva višestrukih integrala.

1  . Linearnost: mnogo R M funkcije koje se mogu integrirati u skup M – linearno

prostor, i
– linearni funkcionalni.

2  . Stanje normalizacije:
. Drugi oblik ulaska
u suštini određuje meru proizvoljnog skupa iz Euklidovog prostora.

3  . Ako integral nad skupom Lebesgueove mjere nula postoji, onda on

jednaka nuli.

Bilješka: Gomila M naziva se skup Lebesgueove mjere nula,

Ako

takav da
I
.

4  . A.;b.;

V. Ako
I – odvojeno od nule za M, To

5  .
I f=g p.v. (skoro svuda) uključeno M, To
.

6  . Aditivnost: Ako
I
To

,

Uglavnom:
.

Δ. Iz jednakosti slijedi: ▲

7  . monoton:
I
To
.

8  . Integrisanje nejednakosti: ako
ito

.

9  . Neka


. Da bi
, potrebno je i dovoljno da postoji unutrašnja tačka skupa M, pri čemu f (x) > 0 i kontinuirano.

10  . Integrabilnost integrabilnog funkcionalnog modula:
.

11  . Teorema srednje vrijednosti:
,
on Mčuva znak i
, To

.

Ako je set M– koherentan i f(x) – kontinuirano uključeno
To
takav da
.

12  . Da bi integral nenegativne funkcije bio jednak 0

neophodno i dovoljno za f(x) = 0 skoro svuda M.

13  . Fubinijeva teorema. Za dvostruki integral:

Neka područje
- pravougaonik:. Zatim, pod uslovom da postoje unutrašnji pojedinačni integrali, da biste pronašli dvostruki integral, možete nastaviti sa ponovljenom integracijom (vidi sliku a):

, ili

E

Bilješka: Eksterne granice integracije moraju biti konstante; unutrašnje granice integracije mogu zavisiti od varijable nad kojom se integracija tek treba izvršiti.

Formula (*) se može dobiti pomoću funkcije postavljene karakteristike D.

Za višestruki integral:

Neka i neki podskupovi euklidskih prostora I . Definirajmo kartezijanski proizvod ovih skupova, koji je podskup euklidskog prostora
:.

Zatim Fubinijeva teorema za
ima oblik:
.

Teorema vrijedi i za grede X I Y, i za složenije konfiguracije.

primjeri:

1 0 . Izračunati
, ako je granica područja
dato jednadžbama:

A).
;

2

–

.

recept: Prilikom postavljanja granica integracije u dvostrukom integralu, preporuča se početi s vanjskim granicama integracije.

3

Prijelaz na iterirane integrale daje:
.

Istovremeno, u trostrukom integralu, postavljanje granica mora početi sa unutrašnjim granicama integracije. Zatim projektirajte područje V u avion xOy

postavljanje granica u oblasti D– ležanje u avionu xOy.

4 0 . Promijenite redosljed integracije u iteriranom integralu:
.

Višestruki integral

integral funkcije specificirane u nekom području na ravni, u tri dimenzije ili n-dimenzionalni prostor. Među K. i. razlikovati dvostruke integrale, trostruke integrale itd. n-višestruki integrali.

Neka funkcija f(x, y) je dat u nekom području D avion xOy. Podijelimo područje D on n djelomične površine d i,čije su površine jednake s i , birajte u svakoj oblasti d i tačka ( ξi, ηi) (cm. pirinač. ) i sastavi integralni zbir

Ako, uz neograničeno smanjenje maksimalnog promjera djelomičnih površina d i iznosi S imaju ograničenje bez obzira na izbor bodova ( ξi, ηi), tada se ova granica naziva dvostrukim integralom funkcije f(x, y) po regionu D i označiti

Trostruki integral je definiran slično i, općenito, n-višestruki integral.

Za postojanje dvostrukog integrala dovoljno je, na primjer, da regija D je bila zatvorena kvadratna regija (pogledajte kvadratna regija), a funkcija f(x, y) bio je kontinuiran u D. K. i. imaju niz svojstava sličnih svojstvima jednostavnih integrala . Za izračunavanje K. i. obično ga dovode do iteriranog integrala (vidi Ponovljeni integral). U posebnim slučajevima za informaciju K. i. Greenova formula i formula Ostrogradskog mogu poslužiti kao integrali niže dimenzije. K. i. imaju široku primjenu: koriste se za izražavanje volumena tijela, njihove mase, statičkih momenata, momenata inercije itd.

Velika sovjetska enciklopedija. - M.: Sovjetska enciklopedija. 1969-1978 .

Pogledajte šta je „Višestruki integral“ u drugim rječnicima:

Integral funkcije više varijabli. Određuje se korištenjem integralnih suma, slično kao definitivni integral funkcije jedne varijable (vidi Integralni račun). U zavisnosti od broja varijabli postoje dvostruke, trostruke, n...... Veliki enciklopedijski rječnik

Definitivni integral funkcije više varijabli. Postoje različiti koncepti K. i. (Riemann integral, Lebesgue integral, Lebesgue Stieltjes integral, itd.). Višestruki Rimanov integral je uveden na osnovu Jordanove mere. Neka je E Jordanov merljiv ... ... Mathematical Encyclopedia

U matematičkoj analizi, višestruki ili višestruki integral je skup integrala uzetih iz varijabli. Na primjer: Napomena: višestruki integral je definitivan integral; njegovo izračunavanje uvijek rezultira brojem. Sadržaj 1... ...Vikipedija

Integral funkcije više varijabli. Određuje se korištenjem integralnih suma, slično kao definitivni integral funkcije jedne varijable (vidi Integralni račun). U zavisnosti od broja varijabli postoje dvostruke, trostruke, n...... enciklopedijski rječnik

Integral funkcije više varijabli. Određuje se pomoću integralnih suma, slično definisanih. integral funkcije jedne varijable (vidi Integralni račun). U zavisnosti od broja varijabli postoje dvostruke, trostruke, i...... Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

Napomena: svuda u ovom članku gdje se koristi znak, misli se na (višestruki) Rimanov integral, osim ako nije drugačije navedeno; Svugdje u ovom članku gdje govorimo o mjerljivosti skupa, mislimo na jordansku mjerljivost, ako ne... ... Wikipedia

Višestruki integral oblika gdje, što je prosječna vrijednost stepena 2k modula trigonometrijskog zbira. Vinogradovljeva teorema o vrijednosti ovog integrala, teorema srednje vrijednosti, leži u osnovi procjena Weylovih suma. Literatura Vinogradova inte... Wikipedia

Određeni integral kao površina figure Ovaj izraz ima druga značenja, pogledajte Integral (značenja). Integral funkcije ... Wikipedia

Integral u kojem se sekvencijalno izvodi integracija preko različitih varijabli, tj. integral oblika (1) Funkcija f(x, y) je definirana na skupu A koji leži u direktnom proizvodu XX Y prostora X i Y, u kojima su s date konačne mjere mx i my,… … Mathematical Encyclopedia

Integral uzet duž bilo koje krive na ravni ili u prostoru. Tu su K. i. 1. i 2. vrste. K. i. Tip 1 nastaje, na primjer, kada se razmatra problem izračunavanja mase krive varijabilne gustine; naznačeno je ... ... Velika sovjetska enciklopedija

Oprez: Prilikom izračunavanja nepravilnih integrala sa singularnim tačkama unutar intervala integracije, ne možete mehanički primijeniti Newton–Leibniz formulu, jer to može dovesti do grešaka.

Opće pravilo: Newton–Leibnizova formula je tačna ako je antiderivat od f(x) u singularnoj tački potonjeg je kontinuiran.

Primjer 2.11.

Razmotrimo nepravilan integral sa singularnom tačkom x = 0. Formalno primenjena Newton–Leibnizova formula daje

Međutim, ovdje se ne primjenjuje opće pravilo; za f(x) = 1/x antiderivat ln |x| nije definisan na x = 0 i beskonačno je velik u ovoj tački, tj. nije kontinuirano u ovom trenutku. Lako je provjeriti direktnom provjerom da integral divergira. stvarno,

Rezultirajuća nesigurnost se može otkriti na različite načine jer e i d nezavisno teže nuli. Konkretno, postavljanjem e = d, dobijamo glavnu vrijednost nepravilnog integrala jednaku 0. Ako je e = 1/n, a d =1/n 2, tj. d teži 0 brže od e, onda dobijamo

kada i obrnuto,

one. integral divergira.n

Primjer 2.12.

Razmotrimo nepravilan integral sa singularnom tačkom x = 0. Antiderivat funkcije ima oblik i kontinuiran je u tački x = 0. Stoga možemo primijeniti Newton–Leibniz formulu:

Prirodna generalizacija koncepta određenog Riemannovog integrala na slučaj funkcije više varijabli je koncept višestrukog integrala. Za slučaj dvije varijable, takvi integrali se nazivaju duplo.

Razmotrimo dvodimenzionalni euklidski prostor R´R, tj. na ravni sa Dekartovim koordinatnim sistemom, skup E finalno područje S.

Označimo sa ( i = 1, …, k) postaviti particiju E, tj. takav sistem njegovih podskupova E i, i = 1,. . ., k, da je Ø za i ¹ j i (sl. 2.5). Ovdje označavamo podskup E i bez svoje granice, tj. unutrašnje tačke podskupa E i , koje zajedno sa svojom granicom Gr E ja formiram zatvoreni podskup E i, . Jasno je da je to područje S(E i) podskupovi E i poklapa se sa površinom njegove unutrašnjosti, budući da je površina granice GrE i je jednako nuli.

Neka je d(E i). podesiti prečnik E i, tj. maksimalno rastojanje između dve njegove tačke. Količina l(t) = d(E i) će biti pozvana finoća pregrade t. Ako je funkcija f(x),x = (x, y), definirana na E kao funkcija dva argumenta, tada bilo koji zbir oblika

X i O E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i , y i),

u zavisnosti kako od funkcije f i particije t, tako i od izbora tačaka x i O E i M t, naziva se integralni zbir funkcije f .

Ako za funkciju f postoji vrijednost koja ne zavisi ni od particija t ni od izbora tačaka (i = 1, ..., k), tada se ova granica naziva dvostruki Rimanov integral iz f(x,y) i označava se

U ovom slučaju se poziva sama funkcija f Riemann integrabilan.

Podsjetimo to u slučaju funkcije s jednim argumentom kao skupom E nad kojim se vrši integracija obično se uzima segment , a njegova particija t se smatra particijom koja se sastoji od segmenata. U drugim aspektima, kao što je lako vidjeti, definicija dvostrukog Rimanova integrala ponavlja definiciju definitivnog Rimanova integrala za funkciju jednog argumenta.

Dvostruki Riemannov integral ograničenih funkcija dvije varijable ima uobičajena svojstva određenog integrala za funkcije jednog argumenta – linearnost, aditivnost s obzirom na skupove nad kojima se vrši integracija, očuvanje prilikom integracije nestriktne nejednakosti, integrabilnost proizvoda integrisane funkcije itd.

Proračun višestrukih Riemannovih integrala svodi se na proračun iterirani integrali. Razmotrimo slučaj dvostrukog Rimanova integrala. Neka funkcija f(x,y) je definiran na skupu E koji leži u kartezijanskom proizvodu skupova X ´ Y, E M X ´ Y.

Ponovljenim integralom funkcije f(x, y) naziva se integral u kojem se sekvencijalno vrši integracija nad različitim varijablama, tj. integral forme

Postavite E(y) = (x: O E) M X se zove presjek skupovi E koji odgovaraju datom y, y O E y ; skup E y se zove – projekcija postavite E na Y os.

Za iterirani integral se također koristi sljedeća notacija:

što, kao i prethodni, znači da prvo, za fiksno y, y O E y , funkcija je integrirana f(x, y) By x duž segmenta E(y), što je dio skupa E odgovara ovome y. Kao rezultat toga, unutrašnji integral definira neku funkciju jedne varijable - y. Ova funkcija se zatim integrira kao funkcija jedne varijable, kao što je naznačeno vanjskim integralnim simbolom.

Prilikom promjene redoslijeda integracije dobijamo ponovljeni integral oblika

gdje se vrši unutrašnja integracija y, i eksterne - po x. Kako se ovaj ponovljeni integral odnosi na iterirani integral definisan gore?

Ako postoji dvostruki integral funkcije f, tj.

tada postoje oba ponovljena integrala, a oni su identični po veličini i jednaki dvostrukom, tj.

Naglašavamo da je uslov formulisan u ovoj izjavi za mogućnost promene redosleda integracije u iteriranim integralima samo dovoljno, ali nije neophodno.

Drugi dovoljni uslovi mogućnosti promene redosleda integracije u iteriranim integralima su formulisane na sledeći način:

ako postoji barem jedan od integrala

zatim funkciju f(x, y) Riemann integrabilan na setu E, oba ponovljena integrala postoje i jednaka su dvostrukom integralu. n

Odredimo notaciju projekcija i presjeka u zapisu iteriranih integrala.

Ako je skup E pravougaonik

To E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d); pri čemu E(y) = E x za bilo koje y, y O E y . , A E(x) = Ey za bilo koji x , x O E x ..

Formalni unos: " y y O E yÞ E(y) = prÙ" x x O E xÞ E(x) = Ey

Ako skup E ima zakrivljena granica i dozvoljava reprezentacije

U ovom slučaju, ponovljeni integrali se zapisuju na sljedeći način:

Primjer 2.13.

Izračunajte dvostruki integral nad pravokutnom površinom, svodeći ga na iterativno.

Pošto je uslov sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, zatim se provjerava zadovoljivost dovoljnih uslova za postojanje dvostrukog integrala I u obliku postojanja bilo kojeg od ponovljenih integrala

nema potrebe da se ovo posebno izvodi i odmah možete preći na izračunavanje ponovljenog integrala

Ako postoji, onda postoji i dvostruki integral, i I = I 1 . Zbog

Dakle, I = .n

Primjer 2.14.

Izračunajte dvostruki integral preko trouglastog područja (vidi sliku 2.6), svodeći ga na ponovljeno

Gr(E) = ( : x = 0, y = 0, x + y = 2).

Prvo, provjerimo postojanje dvostrukog integrala I. Da bismo to učinili, dovoljno je provjeriti postojanje ponovljenog integrala

one. integrandi su kontinuirani na intervalima integracije, pošto su svi funkcije stepena. Dakle, integral I 1 postoji. U ovom slučaju dvostruki integral također postoji i jednak je svakom ponovljenom, tj.

Primjer 2.15.

Da biste bolje razumjeli vezu između pojmova dvostrukih i iteriranih integrala, razmotrite sljedeći primjer, koji može biti izostavljen pri prvom čitanju. Zadana je funkcija dvije varijable f(x, y).

Imajte na umu da je za fiksni x ova funkcija neparna po y, a za fiksno y neparna po x. Kao skup E preko kojeg je ova funkcija integrirana, uzimamo kvadrat E = ( : -1 £ x £ 1, -1 £ y £ 1).

Prvo razmatramo iterirani integral

Unutrašnji integral

uzima se za fiksni y, -1 £ y £ 1. Pošto je integrand za fiksni y neparan po x, a integracija nad ovom varijablom se vrši preko segmenta [-1, 1], simetričnog u odnosu na tačku 0, tada unutrašnji integral je jednak 0. Očigledno je da je vanjski integral nad promjenljivom y nulte funkcije također jednak 0, tj.

Slično razmišljanje za drugi iterirani integral dovodi do istog rezultata:

Dakle, za razmatranu funkciju f(x, y) ponovljeni integrali postoje i jednaki su jedan drugom. Međutim, ne postoji dvostruki integral funkcije f(x, y). Da bismo to vidjeli, okrenimo se geometrijskom značenju izračunavanja ponovljenih integrala.

Za izračunavanje iteriranog integrala

koristi se poseban tip podjele kvadrata E, kao i poseban proračun integralnih suma. Naime, kvadrat E je podijeljen na horizontalne pruge (vidi sliku 2.7), a svaka traka je podijeljena na male pravokutnike. Svaka traka odgovara određenoj vrijednosti varijable y; na primjer, ovo može biti ordinata horizontalne ose trake.

Izračunavanje integralnih suma se vrši na sljedeći način: prvo se izračunavaju sume za svaki pojas posebno, tj. pri fiksnom y za različite x, a zatim se ovi međuzbroji sabiraju za različite opsege, tj. za različite y. Ako finoća particije teži nuli, tada u granici dobijamo gore spomenuti ponovljeni integral.

Jasno je da za drugi iterirani integral

skup E je podijeljen na okomite pruge koje odgovaraju različitim x. Međuzbroji se izračunavaju unutar svake trake u malim pravokutnicima, tj. duž y, a zatim se sabiraju za različite opsege, tj. od x. U granici, kada finoća particije teži nuli, dobijamo odgovarajući iterirani integral.

Da bismo dokazali da dvostruki integral ne postoji, dovoljno je navesti jedan primjer particije, izračunavanje integralnih suma za koje, u granici kada finoća particije teži nuli, daje rezultat različit od vrijednosti ponovljenih integrala. Navedimo primjer takve particije koja odgovara polarnom koordinatnom sistemu (r, j) (vidi sliku 2.8).

U polarnom koordinatnom sistemu, položaj bilo koje tačke na ravni M 0 (x 0 , y 0), gde su x 0 , y 0 kartezijanske koordinate tačke M 0, određen je dužinom r 0 poluprečnika povezujući ga sa ishodištem i uglom j 0 formiranim ovim poluprečnikom sa pozitivnim pravcem osi x (ugao se računa suprotno od kazaljke na satu). Veza između kartezijanskih i polarnih koordinata je očigledna:

y 0 = r 0 × sinj 0 .

Particija je konstruisana na sledeći način. Prvo se kvadrat E dijeli na sektore s polumjerima koji izlaze iz centra koordinata, a zatim se svaki sektor dijeli na male trapeze linijama okomitim na osu sektora. Izračunavanje integralnih suma vrši se na sljedeći način: prvo duž malih trapeza unutar svakog sektora duž njegove ose (duž r), a zatim preko svih sektora (duž j). Položaj svakog sektora karakteriše ugao njegove ose j, a dužina njegove ose r(j) zavisi od ovog ugla:

ako ili , onda ;

ako onda ;

ako onda

ako onda .

Prelaskom na granicu integralnih suma polarne particije kada finoća particije teži nuli, dobijamo prikaz dvostrukog integrala u polarnim koordinatama. Takva notacija se može dobiti na čisto formalan način, zamjenom kartezijanskih koordinata (x, y) polarnim (r, j).

Prema pravilima prijelaza u integralima iz kartezijanskih u polarne koordinate, po definiciji treba napisati:

U polarnim koordinatama, funkcija f(x, y) će biti zapisana na sljedeći način:

Konačno imamo

Unutrašnji integral (nepravilan) u posljednjoj formuli

gdje je funkcija r(j) naznačena gore, 0 £ j £ 2p , jednaka je +¥ za bilo koje j, jer

Stoga, integrand u vanjskom integralu evaluiranom preko j nije definiran za bilo koji j. Ali tada sam vanjski integral nije definiran, tj. originalni dvostruki integral nije definiran.

Imajte na umu da funkcija f(x, y) ne zadovoljava dovoljan uslov za postojanje dvostrukog integrala nad skupom E. Pokažimo da je integral

ne postoji. stvarno,

Slično, isti rezultat je uspostavljen za integral

Preuzmite sa Depositfiles

Predavanja 5-6

Tema 2. Višestruki integrali.

Dvostruki integral.

Kontrolna pitanja.

1. Dvostruki integral, njegovo geometrijsko i fizičko značenje

2. Svojstva dvostrukog integrala.

3. Izračunavanje dvostrukog integrala u kartezijanskim koordinatama.

4. Promjena varijabli u dvostrukom integralu. Proračun dvostrukog integrala u polarnim koordinatama.

Neka funkcija z = f (x , y) definisano u ograničenom zatvorenom regionu D avion. Podijelimo područje D nasumično uključeno n elementarno zatvoreni prostori  1 , … , n, koji imaju površine   1 , …,   n i prečnika d 1 , …, d n respektivno. Označimo d najveći od prečnika površine  1 , … ,  n. U svakoj oblasti  k izaberite proizvoljnu tačku P k (x k ,y k) i komponujte integralni zbir funkcije f(x,y)

S =
(1)

Definicija. Dvostruki integral funkcije f(x,y) po regionu D naziva se granica integralnog zbira

, (2)

ako postoji.

Komentar. Kumulativna suma S zavisi kako je prostor podeljen D i odabir bodova P k (k=1, …, n). Međutim, granica
, ako postoji, ne ovisi o tome kako je područje podijeljeno D i odabir bodova P k .

Dovoljan uslov za postojanje dvostrukog integrala. Dvostruki integral (1) postoji ako je funkcija f(x,y) kontinuirano u D osim konačnog broja glatkih krivulja i ograničen je u D. U nastavku ćemo pretpostaviti da postoje svi dvostruki integrali koji se razmatraju.

Geometrijsko značenje dvostrukog integrala.

Ako f(x,y) ≥0 u području D, tada je dvostruki integral (1) jednak zapremini „cilindričnog“ tijela prikazanog na slici:

V =
(3)

Cilindrično tijelo je odozdo ograničeno regijom D, odozgo - dio površine z = f (x , y), sa strane - vertikalnim ravnim segmentima koji povezuju granice ove površine i regije D.

Fizičko značenje dvostrukog integrala. Masa ravne ploče.

Neka je data ravna ploča D sa poznatom funkcijom gustoće γ( X,at), zatim razbijanje ploče D na dijelove D i i biranje proizvoljnih tačaka
, dobijamo za masu ploče
, ili u poređenju sa formulom (2):

(4)

4. Neka svojstva dvostrukog integrala.

Linearnost. Ako WITH onda je numerička konstanta

Aditivnost. Ako područje D „razbijena“ na područja D 1 I D 2, onda

3) Područje ograničenog područja D jednak

(5)

Izračunavanje dvostrukog integrala u kartezijanskim koordinatama.

Neka oblast bude data

Slika 1

D= { (x , y ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (x ) ≤ y≤ φ 2 (x ) } (6)

Region D zatvorena u traku između pravih linija x = a , y = b, ograničeno odozdo i odozgo, respektivno, krivinama y = φ 1 (x ) I y = φ 2 (x ) .

Dvostruki integral (1) preko regije D(4) se izračunava prelaskom na iterirani integral:

(7)

Ovaj ponovljeni integral se izračunava na sljedeći način. Prvo se izračunava unutrašnji integral

po varijabli y, pri čemu x smatra konstantnim. Rezultat će biti funkcija varijable x, a zatim se izračunava “spoljni” integral ove funkcije nad varijablom x .

Komentar. Proces prelaska na ponovljeni integral prema formuli (7) se često naziva postavljanjem granica integracije u dvostruki integral. Kada postavljate granice integracije, morate zapamtiti dvije točke. Prvo, donja granica integracije ne bi trebalo da prelazi gornju, i drugo, granice spoljašnjeg integrala treba da budu konstantne, a unutrašnje treba, u opštem slučaju, da zavise od integracione varijable spoljašnjeg integrala.

Pustite sada područje D izgleda kao

D= { (x , y ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (y ) ≤ x ≤ ψ 2 (y ) } . (8)

Onda

. (9)

Pretpostavimo da je to područje D mogu biti predstavljeni kao (6) i (8) istovremeno. Tada vrijedi jednakost

(10)

Prijelaz iz jednog iteriranog integrala u drugi u jednakosti (10) se zove menja redosled integracije u dvostrukom integralu.

Primjeri.

1) Promijeniti red integracije u integralu

Rješenje. Koristeći formu iteriranog integrala, nalazimo regiju

D= { (x , y ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤ 2 } .

Oslikajmo područje D. Sa slike vidimo da se ovo područje nalazi u horizontalnoj traci između pravih linija y =0, y=2 i između redova x =0 I x= D

Ponekad se, radi pojednostavljenja proračuna, izvrši promjena varijabli:

,
(11)

Ako su funkcije (11) kontinuirano diferencibilne i determinanta (Jacobian) nije nula u domeni koja se razmatra:

(12)

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije

Rad na kursu

Disciplina: Viša matematika

(Osnove linearnog programiranja)

Na temu: VIŠE INTEGRALA

Završio: ______________

Učitelj:___________

Datum ___________________

Ocjena ________________

Potpis ________________

VORONJEŽ 2008

1 Višestruki integrali

1.1 Dvostruki integral

1.2 Trostruki integral

1.3 Višestruki integrali u krivolinijskim koordinatama

1.4 Geometrijske i fizičke primjene višestrukih integrala

2 Krivolinijski i površinski integrali

2.1 Krivolinijski integrali

2.2 Površinski integrali

2.3 Geometrijske i fizičke primjene

Bibliografija

1 Višestruki integrali

1.1 Dvostruki integral

Razmotrimo zatvorenu regiju D u ravni Oxy, ograničenu linijom L. Podijelimo ovo područje na n dijelova nekim linijama

Neka je funkcija z = f(x, y) data u domeni D. Označimo sa f(P 1), f(P 2),..., f(P n) vrijednosti ove funkcije u odabranim tačkama i sastavimo zbir proizvoda oblika f(P i)ΔS i:

naziva se integralni zbir za funkciju f(x, y) u domeni D.

Ako postoji isti limit integralnih suma (1) za

Izračunavanje dvostrukog integrala nad područjem D ograničenim linijama

1.2 Trostruki integral

Koncept trostrukog integrala uvodi se po analogiji sa dvostrukim integralom.

Neka je određeno područje V zadano u prostoru, ograničeno zatvorenom površinom S. Definirajmo kontinuiranu funkciju f(x, y, z) u ovom zatvorenom području. Zatim podijelimo područje V na proizvoljne dijelove Δv i, uzimajući u obzir zapreminu svakog dijela jednaku Δv i, i sastavimo integralni zbir oblika

Limit at

Trostruki integral funkcije f(x,y,z) nad područjem V jednak je trostrukom integralu nad istim područjem:

1.3 Višestruki integrali u krivolinijskim koordinatama

Hajde da uvedemo krivolinijske koordinate na ravni, koje se nazivaju polarne. Odaberimo tačku O (pol) i zrak koji izlazi iz nje (polarna osa).

Rice. 2 Fig. 3

Koordinate tačke M (slika 2) biće dužina segmenta MO - polarni poluprečnik ρ i ugao φ između MO i polarne ose: M(ρ,φ). Imajte na umu da će se za sve točke ravnine, osim pola, ρ > 0, a polarni ugao φ smatrati pozitivnim kada se mjeri u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, a negativnim kada se mjeri u suprotnom smjeru.

Odnos između polarnih i Dekartovih koordinata tačke M može se postaviti poravnavanjem početka kartezijanskog koordinatnog sistema sa polom, a pozitivne poluose Ox sa polarnom osom (slika 3). Tada je x=ρcosφ, y=ρsinφ. Odavde

Definirajmo u području D ograničenom krivuljama ρ=Φ 1 (φ) i ρ=Φ 2 (φ), gdje je φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

U trodimenzionalnom prostoru uvode se cilindrične i sferne koordinate.

Cilindrične koordinate tačke P(ρ,φ,z) su polarne koordinate ρ, φ projekcije ove tačke na ravan Oxy i aplikat ove tačke z (slika 5).

Sl.5 Sl.6

Formule za prijelaz iz cilindričnih u kartezijanske koordinate mogu se specificirati na sljedeći način:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)

U sfernim koordinatama, položaj tačke u prostoru određen je linearnom koordinatom r - rastojanjem od tačke do početka kartezijanskog koordinatnog sistema (ili pola sfernog sistema), φ - polarnim uglom između pozitivnih poluose Ox i projekciju tačke na ravan Ox, a θ - ugao između pozitivne poluose ose Oz i segmenta OP (slika 6). Gde

Postavimo formule za prijelaz sa sfernih na kartezijanske koordinate:

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)

Tada će formule za prijelaz na cilindrične ili sferne koordinate u trostrukom integralu izgledati ovako:

gdje su F 1 i F 2 funkcije dobivene zamjenom njihovih izraza kroz cilindrične (8) ili sferne (9) koordinate u funkciju f umjesto x, y, z.

1.4 Geometrijske i fizičke primjene višestrukih integrala

1) Površina ravne regije S:

Primjer 1.

Pronađite površinu slike D ograničenu linijama

Pogodno je izračunati ovu površinu računajući y kao eksternu varijablu. Tada su granice regije date jednadžbama