Koordinate i vektori. Sveobuhvatni vodič (2020.)

Apscisa i ordinatna osa se nazivaju koordinate vektor. Vektorske koordinate su obično naznačene u obrascu (x, y), a sam vektor kao: =(x, y).

Formula za određivanje vektorskih koordinata za dvodimenzionalne probleme.

U slučaju dvodimenzionalnog problema, vektor sa poznatim koordinate tačaka A(x 1; y 1) I B(x 2 ; y 2 ) može se izračunati:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Formula za određivanje vektorskih koordinata za prostorne probleme.

U slučaju prostornog problema, vektor sa poznatim koordinate tačaka A (x 1; y 1;z 1 ) i B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) može se izračunati pomoću formule:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Koordinate daju sveobuhvatan opis vektora, jer je moguće konstruisati sam vektor koristeći koordinate. Poznavajući koordinate, lako je izračunati i dužina vektora. (Svojstvo 3 ispod).

Svojstva vektorskih koordinata.

1. Bilo koji jednaki vektori u jednom koordinatnom sistemu imaju jednake koordinate.

2. Koordinate kolinearni vektori proporcionalan. Pod uslovom da nijedan od vektora nije nula.

3. Kvadrat dužine bilo kojeg vektora jednak je zbiru njegovih kvadrata koordinate.

4.Tokom operacije vektorsko množenje on pravi broj svaka njegova koordinata se množi ovim brojem.

5. Prilikom sabiranja vektora izračunavamo zbir odgovarajućih vektorske koordinate.

6. Skalarni proizvod dva vektora jednaka je zbiru proizvoda njihovih odgovarajućih koordinata.

12. Dužina vektora, dužina segmenta, ugao između vektora, uslov okomitosti vektora.

vektor – Ovo je usmjereni segment koji povezuje dvije tačke u prostoru ili u ravni. Vektori se obično označavaju malim slovima ili početnom i završnom tačkom. Obično je crtica na vrhu.

Na primjer, vektor usmjeren iz tačke A do tačke B, može se odrediti a ,

Nulti vektor 0 ili 0 - Ovo je vektor čija se početna i završna tačka poklapaju, tj. A = B. Odavde, 0 = – 0 .

Dužina vektora (modulus)a je dužina segmenta koji ga predstavlja AB, označeno sa |a | . Posebno, | 0 | = 0.

Vektori se nazivaju kolinearno, ako njihovi usmjereni segmenti leže na paralelnim linijama. Kolinearni vektori a I b su naznačeni a || b .

Tri ili više vektora se nazivaju komplanarno, ako leže u istoj ravni.

Vektorsko dodavanje. Pošto su vektori usmjereno segmente, onda se može izvršiti njihovo sabiranje geometrijski. (Algebarsko sabiranje vektora je opisano u nastavku, u paragrafu “Jedinstveni ortogonalni vektori”). Pretvarajmo se to

a = AB i b = CD,

tada vektor __ __

a + b = AB+ CD

je rezultat dvije operacije:

a)paralelni transfer jedan od vektora tako da se njegova početna tačka poklapa sa krajnjom tačkom drugog vektora;

b)geometrijski dodatak, tj. konstruisanje rezultujućeg vektora koji ide od početne tačke fiksnog vektora do krajnje tačke prenesenog vektora.

Oduzimanje vektora. Ova operacija se svodi na prethodnu zamjenom vektora oduzimanja s njegovim suprotnim: a – b =a + (– b ) .

Zakoni sabiranja.

I. a + b = b + a (Tranziciono pravo).

II. (a + b ) + c = a + (b + c ) (Kombinativno pravo).

III. a + 0 = a .

IV. a + (– a ) = 0 .

Zakoni za množenje vektora brojem.

I. 1 · a = a , 0 · a = 0 , m· 0 = 0 , (– 1) · a = – a .

II. ma = a m,| ma | = | m | · | a | .

III. m(na ) = (mn)a . (K o m b e t a l

zakon množenja brojem).

IV. (m+n) a = ma + na , (DISTRIBUCIJSKI

m(a + b ) = ma + mb . zakon množenja brojem).

Tačkasti proizvod vektora. __ __

Ugao između vektora koji nisu nula AB I CD– ovo je ugao koji formiraju vektori kada se prenose paralelno dok se tačke ne poravnaju A I C. Tačkasti proizvod vektoraa I b naziva se broj jednak proizvod njihovih dužina i kosinusa ugla između njih:

Ako je jedan od vektora nula, onda je njihov skalarni proizvod, u skladu s definicijom, jednak nuli:

(a, 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Ako su oba vektora različita od nule, tada se kosinus ugla između njih izračunava po formuli:

Skalarni proizvod ( aa ), jednako | a | 2, zv skalarni kvadrat. Dužina vektora a i njegov skalarni kvadrat povezani su sa:

Tačkasti proizvod dva vektora:

- pozitivno, ako je ugao između vektora ljuto;

- negativan, ako je ugao između vektora tup.

Tada je skalarni proizvod dva vektora različita od nule jednak nuli i to samo kada je ugao između njih ravan, tj. kada su ovi vektori okomiti (ortogonalni):

Svojstva skalarnog proizvoda. Za bilo koje vektore a, b,c i bilo koji broj m važeći su sljedeći odnosi:

I. (a, b ) = (b,a ) . (Tranzicioni zakon)

II. (ma, b ) = m(a, b ) .

III.(a+b,c ) = (a, c ) + (b, c ). (Distributivno pravo)

Jedinični ortogonalni vektori. U bilo koji pravougaoni koordinatni sistem možete unijeti jedinični upareni ortogonalni vektorii , j I k povezano s koordinatnim osama: i – sa osovinom X, j – sa osovinom Y I k – sa osovinom Z. Prema ovoj definiciji:

(i , j ) = (i , k ) = (j , k ) = 0,

| i | =| j | =| k | = 1.

Bilo koji vektor a može se izraziti kroz ove vektore na jedinstven način: a = xi+ yj+ zk . Drugi oblik snimanja: a = (x, y, z). Evo x, y, z - koordinate vektor a u ovom koordinatnom sistemu. U skladu sa posljednjom relacijom i svojstvima jediničnih ortogonalnih vektora i, j , k Skalarni proizvod dva vektora može se izraziti različito.

Neka a = (x, y, z); b = (u, v, w). Zatim ( a, b ) = xu + yv + zw.

Skalarni proizvod dva vektora jednak je zbroju proizvoda odgovarajućih koordinata.

Dužina vektora (modulus) a = (x, y, z ) je jednako:

Osim toga, sada imamo priliku da dirigujemo algebarski operacije na vektorima, odnosno, sabiranje i oduzimanje vektora mogu se izvoditi pomoću koordinata:

a+ b = (x + u, y + v, z + w) ;

a – b = (x–u, y– v, z–w) .

Unakrsni proizvod vektora. Vector artwork [a, b ] vektoria Ib (ovim redoslijedom) naziva se vektor:

Postoji još jedna formula za dužinu vektora [ a, b ] :

| [ a, b ] | = | a | | b | grijeh( a, b ) ,

tj. dužina ( modul ) vektorski proizvod vektoraa Ib jednak je proizvodu dužina (modula) ovih vektora i sinusa ugla između njih. Drugim riječima: dužina (modul) vektora[ a, b ] brojčano jednak površini paralelograma izgrađenog na vektorima a Ib .

Svojstva vektorskog proizvoda.

I. vektor [ a, b ] okomito (ortogonalno) oba vektora a I b .

(Dokažite, molim!).

II.[ a, b ] = – [b,a ] .

III. [ ma, b ] = m[a, b ] .

IV. [ a+b,c ] = [ a, c ] + [ b, c ] .

V. [ a, [ b,c ] ] = b (a , c ) – c (a, b ) .

VI. [ [ a, b ] , c ] = b (a , c ) – a (b,c ) .

Neophodan i dovoljan uslov kolinearnosti vektori a = (x, y, z) I b = (u, v, w) :

Neophodan i dovoljan uslov za koplanarnost vektori a = (x, y, z), b = (u, v, w) I c = (p, q, r) :

PRIMJER Vektori su dati: a = (1, 2, 3) i b = (– 2 , 0 ,4).

Izračunajte njihove tačke i križne proizvode i ugao

između ovih vektora.

Rješenje Koristeći odgovarajuće formule (vidi gore), dobijamo:

a). skalarni proizvod:

(a, b ) = 1 · (– 2) + 2 · 0 + 3 · 4 = 10 ;

b). vektorski proizvod:

Pronalaženje koordinata vektora je prilično uobičajen uslov za mnoge probleme u matematici. Mogućnost pronalaženja vektorskih koordinata pomoći će vam u drugim, složenijim problemima sa sličnim temama. U ovom članku ćemo pogledati formulu za pronalaženje vektorskih koordinata i nekoliko problema.

Pronalaženje koordinata vektora u ravni

Šta je avion? Ravan se smatra dvodimenzionalnim prostorom, prostorom sa dvije dimenzije (dimenzija x i dimenzija y). Na primjer, papir je ravan. Površina stola je ravna. Svaka nevolumetrijska figura (kvadrat, trokut, trapez) je također ravan. Dakle, ako u izjavi problema trebate pronaći koordinate vektora koji leži na ravni, odmah se sjećamo o x i y. Koordinate takvog vektora možete pronaći na sljedeći način: Koordinate AB vektora = (xB – xA; yB – xA). Formula pokazuje da trebate oduzeti koordinate početne točke od koordinata krajnje točke.

primjer:

• Vektorski CD ima početne (5; 6) i konačne (7; 8) koordinate.
• Pronađite koordinate samog vektora.
• Koristeći gornju formulu, dobijamo sljedeći izraz: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Dakle, koordinate CD vektora = (2; 2).
• Prema tome, x koordinata je jednaka dva, y koordinata je također dva.

Pronalaženje koordinata vektora u prostoru

Šta je prostor? Prostor je već trodimenzionalna dimenzija, gdje su date 3 koordinate: x, y, z. Ako trebate pronaći vektor koji leži u prostoru, formula se praktički ne mijenja. Dodaje se samo jedna koordinata. Da biste pronašli vektor, morate oduzeti koordinate početka od krajnjih koordinata. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

primjer:

• Vektor DF ima početni (2; 3; 1) i konačni (1; 5; 2).
• Primjenom gornje formule dobijamo: Vektorske koordinate DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Zapamtite, vrijednost koordinata može biti negativna, nema problema.

Kako pronaći vektorske koordinate na mreži?

Ako iz nekog razloga ne želite sami da pronađete koordinate, možete koristiti online kalkulator. Za početak odaberite vektorsku dimenziju. Dimenzija vektora je odgovorna za njegove dimenzije. Dimenzija 3 znači da je vektor u prostoru, dimenzija 2 znači da je u ravni. Zatim unesite koordinate tačaka u odgovarajuća polja i program će vam odrediti koordinate samog vektora. Sve je vrlo jednostavno.

Klikom na dugme, stranica će se automatski pomeriti prema dole i dati vam tačan odgovor zajedno sa koracima za rešenje.

Preporučuje se dobro proučiti ovu temu, jer se koncept vektora nalazi ne samo u matematici, već iu fizici. Temu vektora izučavaju i studenti Fakulteta informacionih tehnologija, ali na složenijem nivou.

1. Definicija vektora. Dužina vektora. Kolinearnost, koplanarnost vektora.

Vektor je usmjereni segment. Dužina ili modul vektora je dužina odgovarajućeg usmjerenog segmenta.

Vektorski modul a označeno sa . Vector a se zove jedinica ako . Vektori se nazivaju kolinearni ako su paralelni sa istom pravom. Vektori se nazivaju komplanarni ako su paralelni sa istom ravninom.

2. Množenje vektora brojem. Svojstva operacije.

Množenjem vektora brojem dobija se suprotno usmjeren vektor koji je dvostruko duži. Množenje vektora brojem u koordinatnom obliku vrši se množenjem svih koordinata ovim brojem:

Na osnovu definicije dobijamo izraz za modul vektora pomnožen brojem:

Slično brojevima, operacija dodavanja vektora samom sebi može se napisati množenjem brojem:

A oduzimanje vektora može se prepisati sabiranjem i množenjem:

Na osnovu činjenice da množenje sa ne mijenja dužinu vektora, već samo smjer, a uzimajući u obzir definiciju vektora, dobijamo:

3. Sabiranje vektora, oduzimanje vektora.

U koordinatnom prikazu, vektor sume se dobija zbrajanjem odgovarajućih koordinata pojmova:

Za geometrijsku konstrukciju vektora zbira koriste se različita pravila (metode), ali sva daju isti rezultat. Upotreba jednog ili drugog pravila opravdana je problemom koji se rješava.

Pravilo trougla

Pravilo trougla najprirodnije slijedi iz razumijevanja vektora kao prijenosa. Jasno je da će rezultat uzastopne primjene dva transfera u određenom trenutku biti isti kao i primjena jednog prijenosa odjednom koji odgovara ovom pravilu. Za dodavanje dva vektora prema pravilu trougao oba ova vektora prenose se paralelno sa sobom tako da se početak jednog od njih poklapa sa krajem drugog. Tada je vektor zbira zadan trećom stranom rezultirajućeg trokuta, a njegov početak se poklapa sa početkom prvog vektora, a kraj sa krajem drugog vektora.

Ovo pravilo se može direktno i prirodno generalizirati na dodavanje bilo kojeg broja vektora, pretvarajući se u pravilo izlomljene linije:

Pravilo poligona

Početak drugog vektora poklapa se sa krajem prvog, početak trećeg sa krajem drugog, i tako dalje, zbir vektora je vektor, pri čemu se početak poklapa sa početkom prvog, i kraj koji se poklapa s krajem th (to jest, prikazan je usmjerenim segmentom koji zatvara izlomljenu liniju) . Naziva se i pravilo izlomljene linije.

Pravilo paralelograma

Za dodavanje dva vektora i po pravilu paralelogram oba ova vektora se prenose paralelno sa sobom tako da im se ishodište poklapa. Tada je vektor zbira dat dijagonalom paralelograma konstruiranog na njima, počevši od njihovog zajedničkog ishodišta. (Lako je vidjeti da se ova dijagonala poklapa sa trećom stranom trokuta kada se koristi pravilo trougla).

Pravilo paralelograma je posebno zgodno kada postoji potreba da se vektor zbira prikaže kao odmah primijenjen na istu tačku na koju se primjenjuju oba pojma - to jest, da se opiše sva tri vektora kao da imaju zajedničko porijeklo.

Modul vektorske sume

Modul zbira dva vektora može se izračunati pomoću kosinus teorema:

Gdje je kosinus ugla između vektora.

Ako su vektori prikazani u skladu sa pravilom trokuta i ugao je uzet prema crtežu - između stranica trokuta - što se ne poklapa sa uobičajenom definicijom ugla između vektora, a samim tim i sa uglom u gornjem tekstu formule, tada zadnji član dobija znak minus, što odgovara kosinusnom teoremu u njegovoj direktnoj formulaciji.

Za zbir proizvoljnog broja vektora primjenjiva je slična formula u kojoj postoji više članova sa kosinusom: jedan takav član postoji za svaki par vektora iz sumiranog skupa. Na primjer, za tri vektora formula izgleda ovako:

Vektorsko oduzimanje

Dva vektora i njihov vektor razlike

Da biste dobili razliku u obliku koordinata, morate oduzeti odgovarajuće koordinate vektora:

Da bi se dobio vektor razlike, počeci vektora su povezani i početak vektora će biti kraj, a kraj će biti kraj. Ako to zapišemo pomoću vektorskih tačaka, onda.

Modul vektorske razlike

Tri vektora, kao i kod sabiranja, formiraju trokut, a izraz za modul razlike je sličan:

gdje je kosinus ugla između vektora

Razlika od formule za modul sume je u znaku ispred kosinusa; u ovom slučaju morate pažljivo pratiti koji se ugao uzima (verzija formule za modul sume sa uglom između stranice trokuta kada se zbrajaju po pravilu trokuta ne razlikuju se oblikom od ove formule za modul razlike, ali morate imati Napomena da se ovdje uzimaju različiti uglovi: u slučaju zbira, ugao je uzeti kada se vektor prenese na kraj vektora; kada se traži model razlike, uzima se ugao između vektora primijenjenih na jednu tačku; izraz za modul sume koristeći isti ugao kao u datom izrazu za modul razlike, razlikuje se u znaku ispred kosinusa).

Prije svega, moramo razumjeti koncept samog vektora. Da bismo uveli definiciju geometrijskog vektora, sjetimo se šta je segment. Hajde da uvedemo sljedeću definiciju.

Definicija 1

Segment je dio prave koji ima dvije granice u obliku tačaka.

Segment može imati 2 smjera. Da bismo označili pravac, nazvaćemo jednu od granica segmenta njegovim početkom, a drugu granicu njegovim krajem. Smjer je označen od njegovog početka do kraja segmenta.

Definicija 2

Vektor ili usmjereni segment je segment za koji se zna koja se od granica segmenta smatra početkom, a koja njegovim krajem.

Oznaka: Sa dva slova: $\overline(AB)$ – (gdje je $A$ njegov početak, a $B$ njegov kraj).

Jednom malim slovom: $\overline(a)$ (slika 1).

Hajde da sada direktno uvedemo koncept vektorskih dužina.

Definicija 3

Dužina vektora $\overline(a)$ bit će dužina segmenta $a$.

Notacija: $|\overline(a)|$

Koncept dužine vektora povezan je, na primjer, s takvim konceptom kao što je jednakost dva vektora.

Definicija 4

Dva vektora ćemo nazvati jednakima ako zadovoljavaju dva uslova: 1. kosmjerni su; 1. Njihove dužine su jednake (slika 2).

Da biste definisali vektore, unesite koordinatni sistem i odredite koordinate za vektor u unesenom sistemu. Kao što znamo, svaki vektor se može dekomponovati u obliku $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$, gdje su $m$ i $n$ realni brojevi, a $\overline (i )$ i $\overline(j)$ su jedinični vektori na osi $Ox$ i $Oy$, respektivno.

Definicija 5

Koeficijente proširenja vektora $\overline(c)=m\overline(i)+n\overline(j)$ nazvaćemo koordinatama ovog vektora u uvedenom koordinatnom sistemu. matematički:

$\overline(c)=(m,n)$

Kako pronaći dužinu vektora?

Da biste izveli formulu za izračunavanje dužine proizvoljnog vektora date njegove koordinate, razmotrite sljedeći problem:

Primjer 1

Zadano: vektor $\overline(α)$ sa koordinatama $(x,y)$. Pronađite: dužinu ovog vektora.

Hajde da uvedemo Dekartov koordinatni sistem $xOy$ na ravni. Odvojimo $\overline(OA)=\overline(a)$ od početka uvedenog koordinatnog sistema. Konstruirajmo projekcije $OA_1$ i $OA_2$ konstruisanog vektora na osi $Ox$ i $Oy$ (slika 3).

Vektor $\overline(OA)$ koji smo konstruirali biće vektor radijusa za tačku $A$, dakle, imat će koordinate $(x,y)$, što znači

$=x$, $[OA_2]=y$

Sada možemo lako pronaći potrebnu dužinu koristeći Pitagorinu teoremu, dobijamo

$|\overline(α)|^2=^2+^2$

$|\overline(α)|^2=x^2+y^2$

$|\overline(α)|=\sqrt(x^2+y^2)$

Odgovor: $\sqrt(x^2+y^2)$.

zaključak: Da bismo pronašli dužinu vektora čije su koordinate date, potrebno je pronaći korijen kvadrata zbira ovih koordinata.

Primjeri zadataka

Primjer 2

Pronađite rastojanje između tačaka $X$ i $Y$, koje imaju sljedeće koordinate: $(-1.5)$ i $(7.3)$, respektivno.

Bilo koje dvije tačke mogu se lako povezati s konceptom vektora. Razmotrimo, na primjer, vektor $\overline(XY)$. Kao što već znamo, koordinate takvog vektora se mogu naći oduzimanjem odgovarajućih koordinata početne tačke ($X$) od koordinata krajnje tačke ($Y$). Shvatili smo to