Kako pronaći tangentu od 45 stepeni.

Tablice vrijednosti sinusa (sin), kosinusa (cos), tangenta (tg), kotangensa (ctg) su moćan i koristan alat koji pomaže u rješavanju mnogih problema, kako teoretskih, tako i primijenjenih. U ovom članku ćemo dati tablicu osnovnih trigonometrijskih funkcija (sinus, kosinus, tangenta i kotangens) za uglove od 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stepeni (0, π 6, π 3, π 2,... . , 2 π radijana). Također će biti prikazane zasebne Bradisove tablice za sinuse i kosinuse, tangente i kotangense, s objašnjenjem kako ih koristiti za pronalaženje vrijednosti osnovnih trigonometrijskih funkcija.

Tabela osnovnih trigonometrijskih funkcija za uglove 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 stepeni

Na osnovu definicija sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa, možete pronaći vrijednosti ovih funkcija za uglove od 0 i 90 stepeni

sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, nulti kotangens nije definiran,

sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, tangens od devedeset stepeni nije definisan.

Vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa u geometrijskom toku definiraju se kao omjer stranica pravokutnog trokuta čiji su uglovi 30, 60 i 90 stepeni, kao i 45, 45 i 90 stepeni.

Definiranje trigonometrijskih funkcija za oštar ugao u pravokutnom trokutu

Sinus- odnos suprotne strane prema hipotenuzi.

Kosinus- odnos susednog kraka i hipotenuze.

Tangenta- odnos suprotne strane prema susednoj strani.

Kotangens- odnos susedne i suprotne strane.

U skladu s definicijama, nalaze se vrijednosti funkcija:

sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.

Stavimo ove vrijednosti u tablicu i nazovimo je tablicom osnovnih vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Tabela osnovnih vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa

Jedno od važnih svojstava trigonometrijskih funkcija je periodičnost. Na osnovu ovog svojstva, ova tabela se može proširiti pomoću formula redukcije. U nastavku predstavljamo proširenu tablicu vrijednosti glavnih trigonometrijskih funkcija za uglove 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 stepeni (0, π 6, π 3 , π 2, ... , 2 π radijana).

Tablica sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa

Periodičnost sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa omogućava vam da proširite ovu tablicu na proizvoljno velike vrijednosti uglova. Vrijednosti prikupljene u tabeli najčešće se koriste prilikom rješavanja problema, pa se preporučuje da ih zapamtite.

Kako koristiti tablicu osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija

Princip korištenja tablice vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa je jasan na intuitivnom nivou. Presjek reda i stupca daje vrijednost funkcije za određeni ugao.

Primjer. Kako koristiti tablicu sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa

Moramo saznati koliko je jednako sin 7 π 6

Pronalazimo kolonu u tabeli čija je posljednja vrijednost ćelije 7 π 6 radijana - isto kao 210 stepeni. Zatim biramo pojam tablice u kojoj su prikazane vrijednosti sinusa. Na presjeku reda i stupca nalazimo željenu vrijednost:

sin 7 π 6 = - 1 2

Bradis stolovi

Bradis tabela vam omogućava da izračunate vrijednost sinusa, kosinusa, tangenta ili kotangensa sa tačnošću od 4 decimale bez upotrebe kompjuterske tehnologije. Ovo je svojevrsna zamjena za inženjerski kalkulator.

Referenca

Vladimir Modestovič Bradis (1890 - 1975) - sovjetski matematičar-nastavnik, od 1954. dopisni član Akademije pedagoških nauka SSSR-a. Tabele četvorocifrenih logaritama i prirodnih trigonometrijskih veličina koje je razvio Bradis prvi put su objavljene 1921.

Prvo predstavljamo Bradisovu tabelu za sinuse i kosinuse. Omogućava vam da prilično precizno izračunate približne vrijednosti ovih funkcija za uglove koji sadrže cijeli broj stupnjeva i minuta. Krajnja lijeva kolona tabele predstavlja stepene, a gornji red predstavlja minute. Imajte na umu da su sve vrijednosti uglova u Bradisovoj tablici višekratnici od šest minuta.

Bradis tabela za sinuse i kosinuse

Da biste pronašli vrijednosti sinusa i kosinusa uglova koji nisu prikazani u tabeli, potrebno je koristiti korekcije.

Sada predstavljamo Bradisovu tabelu za tangente i kotangense. Sadrži vrijednosti tangenta uglova od 0 do 76 stepeni i kotangensa uglova od 14 do 90 stepeni.

Bradis tabela za tangentu i kotangens

Kako koristiti Bradis tabele

Razmotrimo Bradisovu tablicu za sinuse i kosinuse. Sve što se tiče sinusa nalazi se na vrhu i na lijevoj strani. Ako su nam potrebni kosinusi, pogledajte desnu stranu na dnu tabele.

Da biste pronašli vrijednosti sinusa kuta, morate pronaći presjek reda koji sadrži potreban broj stupnjeva u krajnjoj lijevoj ćeliji i stupca koji sadrži potreban broj minuta u gornjoj ćeliji.

Ako tačna vrijednost ugla nije u Bradisovoj tabeli, pribjegavamo korekcijama. Ispravke za jednu, dvije i tri minute date su u krajnjim desnim stupcima tabele. Da bismo pronašli vrijednost sinusa ugla koji nije u tabeli, nalazimo vrijednost koja mu je najbliža. Nakon toga dodajemo ili oduzimamo korekciju koja odgovara razlici uglova.

Ako tražimo sinus ugla koji je veći od 90 stepeni, prvo treba da koristimo formule redukcije, a tek onda Bradisovu tabelu.

Primjer. Kako koristiti Bradis tabelu

Recimo da trebamo pronaći sinus ugla 17°44". Koristeći tabelu, nalazimo čemu je jednak sinus od 17°42" i dodamo korekciju od dvije minute na njegovu vrijednost:

17°44" - 17°42" = 2" (potrebna korekcija) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046

Princip rada sa kosinusima, tangentima i kotangensima je sličan. Međutim, važno je zapamtiti znak izmjena.

Bitan!

Prilikom izračunavanja vrijednosti sinusa, korekcija ima pozitivan predznak, a kod izračunavanja kosinusa, korekcija se mora uzeti s negativnim predznakom.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Osnovne trigonometrijske funkcije uključuju: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans i kosekans. Na osnovu toga, tangent ugla u trigonometriji se definiše kao trigonometrijska funkcija koja izražava omjer sinusa ovog ugla i kosinusa istog ugla. Ako je potrebno odrediti tangentu oštrog ugla u pravokutnom trokutu, onda se to može izračunati geometrijski, jer će tangenta u ovom slučaju biti jednaka omjeru suprotne strane i susjedne stranice pravokutnog trokuta. Sam izraz "tangenta" posuđen je iz latinskog jezika; njegov doslovni prijevod znači "dodirivanje". Tangenta je označena latiničnim slovima. Tangens ugla x će biti označen kao „tg x“, iako zapadni matematičari tradicionalno označavaju tangentu skraćenicom od engleske reči: tangenta ugla x tamo se označava kao „tan x“.

Koliki je tangent od 30 stepeni?

Na osnovu činjenice da je tangent ugla jednak omjeru sinusa ugla i kosinusa istog ugla, tangent ugla od 30 stepeni može se dobiti dijeljenjem vrijednosti sinusa ugla od 30 stepeni po vrednosti kosinusa istog ugla. Tangenta će biti jednaka 0,5774.

Koliki je tangent od 60 stepeni?

Tangens ugla od 60 stepeni izračunava se na sličan način: ako se sinus ugla od 60 stepeni podeli sa kosinusnom vrednošću istog ugla, dobije se broj 1,7321, što je tangenta od 60 stepeni.

Koliki je tangent od 45 stepeni?

Pošto je vrednost sinusa ugla od 45 stepeni jednaka vrednosti kosinusa istog ugla, vrednost tangente ugla od 45 stepeni, dobijena deljenjem sinusa sa kosinusom, daje jedan (tangenta je jednako 1).

Koliki je tangent od 90 stepeni?

Nemoguće je izračunati tangens ugla od 90 stepeni, jer je kosinus ugla od 90 stepeni jednak nuli, a jedno od osnovnih pravila dijeljenja je pravilo da "ne možete dijeliti sa nulom", dok tangenta se u ovom slučaju mora dobiti dijeljenjem sinusa sa kosinusom, odnosno na nulu. Vrijednost tangente od 90 stepeni nije određena.

Koliki je tangent od 120 stepeni?

Slično, računajući tangent ugla od 120 stepeni, možete dobiti broj -1,7321 (negativan), koji će biti tangent ugla od 120 stepeni.

Šta je tangenta 0 stepeni?

Zbog činjenice da je sinus ugla od 0 stepeni jednak nuli, a kosinus istog ugla jednak 1, tangenta se dobija deljenjem nule sa jedan, što daje 0. Tangenta od 0 stepeni je dakle jednako 0.

Koliki je tangent od 135 stepeni?

Tangent od 135 stepeni je jednak -1 (minus jedan) koristeći sličan račun.

Bilješka: vidi takođe tablica vrijednosti trigonometrijskih funkcija drugi uglovi.

Sinus, kosinus, tangens ugla 45 stepeni (sin 45, cos 45, tg 45)

Tabelarne vrijednosti sinusa 45, kosinusa 45 i tangenta 45 stepeni naznačeno . Slijedi objašnjenje metode i ispravnosti izračunavanja ovih vrijednosti za proizvoljan pravokutni trokut.

45 stepeni je π/4 radijana. Formule za vrijednosti kosinusa, sinusa i tangenta pi/4 radijana su date u nastavku (iako su identične).
To je npr. tan π/4 = tan 45 stepeni

VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA NA α=45°

Kako samostalno izračunati vrijednosti sin cos tg 45 stepeni?

Konstruirajmo i razmotrimo pravougli trokut ABC čiji ugao ∠ B = 45°. Na osnovu omjera njegovih strana izračunavamo vrijednosti trigonometrijskih funkcija u pravokutnom trokutu za ugao od 45 stepeni. Budući da je trokut pravokutni, vrijednosti sinusne, kosinusne i tangentne funkcije bit će jednake omjeru njegovih odgovarajućih strana.

Budući da vrijednosti funkcije sinusa, kosinusa i tangente zavise isključivo od stepena mjere ugla (ili vrijednosti izražene u radijanima), omjeri koje smo pronašli bit će vrijednosti funkcije sinusa 45, kosinusa 45 i tangenta 45 stepeni.

Prema svojstvima pravouglog trougla, ugao C je pravi i jednak je 90 stepeni. U početku smo konstruisali ugao B sa stepenom od 45 stepeni. Nađimo vrijednost ugla A. Pošto je zbir uglova trougla 180 stepeni, onda

∠ A+ ∠ B + ∠ C = 180°
Ugao C je pravi i jednak je 90 stepeni, ugao B smo prvobitno definisali kao 45 stepeni, dakle:
∠ A = 180° - ∠ SA - ∠ B = 180° - 90° - 45° = 45°

Pošto ovaj trougao ima dva jednaka ugla, onda je trougao ABC pravougaone i, istovremeno, jednakokrake, u kojoj su obje noge jedna drugoj: AC = BC.

Pretpostavimo da je dužina stranica jednaka određenom broju AC = BC = a. Znajući dužine kateta, izračunavamo dužinu hipotenuze.

Prema Pitagorinoj teoremi: AB 2 = AC 2 + BC 2
Zamenimo dužine AC i BC sa promenljivom a, onda dobijamo:

AB 2 = a 2 + a 2 = 2a 2,

tada je AB=a √ 2.

Kao rezultat izrazili smo dužine svih strana pravougli trougao sa uglom od 45 stepeni kroz promenljivu a.

Prema svojstvima trigonometrijskih funkcija u pravokutnom trokutu omjer odgovarajućih stranica trokuta bit će jednak vrijednosti odgovarajućih funkcija. Dakle, za ugao α = 45 stepeni:

sin α = BC / AB(prema definiciji sinusa za pravokutni trokut, ovo je omjer suprotne katete i hipotenuze, BC - krak, AB - hipotenuza)

cos α = AC / AB(prema definiciji kosinusa, ovo je omjer susjednog kraka i hipotenuze, AC je krak, AB hipotenuza)

tg α = BC / AC(slično, tangenta za ugao α će biti jednaka omjeru suprotne i susjedne strane)

Umjesto označavanja stranica, zamjenjujemo vrijednosti njihovih dužina kroz varijablu a.

Na osnovu toga (vidi tabelu vrijednosti sin 45, cos 45, tg 45) dobijamo:

Vrijednosti tablice sin 45, cos 45, tg 45(tj. vrijednost sinus 45, kosinus 45 i tangenta 45 stupnjevi se mogu izračunati kao omjer odgovarajućih stranica datog trokuta), zamjenjujemo vrijednosti dužina stranica izračunate iznad u formule i dobivamo rezultat na slici ispod.

Vrijednosti tablice: sinus 45, kosinus 45 i tangent 45 stepeni

ovako:

• tangens od 45 stepeni jednak je jedan
• sinus od 45 stepeni je jednak kosinsu od 45 stepeni i jednak je korenu od dva na pola (isto kao jedan podeljen korenom od dva)

Kao što se može vidjeti iz prethodno datih proračuna, za izračunavanje vrijednosti odgovarajuće trigonometrijske funkcije nisu važne dužine stranica trokuta, već njihov omjer koji je uvijek isti za iste kutove. , bez obzira na veličinu određenog trokuta.

Sinus, kosinus i tangent π/4 radijana

U problemima koji se predlažu za rješavanje u srednjoj školi i na Eksternom testu/Jedinstvenom državnom ispitu, umjesto stepena mjere ugla, često se susreće indikacija njegove veličine, mjerene u radijanima. Mjera ugla, izražena u radijanima, zasniva se na broju pi, koji izražava zavisnost obima kruga od njegovog prečnika.

Radi lakšeg razumijevanja, preporučujem da zapamtite jednostavan princip za pretvaranje stupnjeva u radijane. Prečnik kruga pokriva luk od 180 stepeni. Dakle, pi radian će biti jednak 180 stepeni. Odakle je lako pretvoriti bilo koju stepensku mjeru ugla u radijane i obrnuto.

Uzmimo to u obzir Ugao od 45 stepeni izražen u radijanima, je jednako (180 / 45 = 4) π/4 (pi puta četiri). Stoga su vrijednosti koje smo pronašli ispravne za istu mjeru ugla, izraženu u radijanima:

• tangenta π/4(pi preko četiri) jednako je jedan
• sinus π/4(pi puta četiri) stepeni je jednako kosinus π/4 stepeni i jednak je korenu od dva na pola

Tangentna tablica je jedna od četiri najčešće korištene trigonometrijske tablice u Bradisovoj tablici. Iako su tangenta i kotangens u suštini derivati ​​sinusa i kosinusa, često je korisno imati gotove izračunate vrijednosti za tangente.

Trigonometrijske funkcije i njihov značaj u proučavanju geometrije

U geometriji posebnu ulogu imaju trigonometrijske funkcije, uz pomoć kojih određuju kako su stranice i uglovi pravokutnog trokuta međusobno povezani. Naravno, trigonometrija ne miruje i od vremena Euklida je dosta iskoračila i sada se ove funkcije mogu izraziti kroz rješenje diferencijalnih jednačina.

Trenutno u upotrebi šest notacija za osnovne trigonometrijske funkcije , a četiri od šest funkcija, one su posljednje u nizu, mogu se odrediti ne samo pomoću geometrije.

Sinus (grijeh)

Kosinus (cos)

Tangenta (tg/tan)

Kotangens (ctg/krevetac)

Secant (sek)

Kosekans (cosec/csc) .

Razmotrimo sam pravokutni trokut; oznake njegovih stranica i uglova u svim referentnim knjigama su, kao i obično, standardne, bez obzira na kojoj strani se nalazi na ravni.

U ovom trouglu postoje tri ugla, označena kao α, β, γ, pri čemu je γ uvek 90°. Strana koja leži nasuprot pravog kuta γ naziva se hipotenuza, označava se slovom C. Ugao α, od kojeg počinju svi proračuni, nalazi se nasuprot stranice a / BC /, koja se naziva suprotno od ovog kuta, i stranice b / AC /, koji je u blizini, podliježe ovom kutu i naziva se susjednim.

Prema Euklidovoj teoriji, koja je još uvijek istinita (i uvijek će biti istinita), zbir uglova takvog trougla, koji je u istoj ravni, bit će jednak 180 ili broju π. I vrijednost bilo kojeg ugla će biti između 0 i π /2.

Tada se trigonometrijske funkcije mogu izraziti u smislu dimenzija stranica ovog trokuta. Pošto je ugao α prvi i u grčkom alfabetu i u našem trokutu, upoznavanje funkcija počinjemo kroz ovaj ugao.

• Sinus α izražava se kroz omjer kraka koji leži nasuprot ovog ugla i hipotenuze našeg trougla, odnosno sin α = a: c.
• Kosinus α izražava se kroz omjer kraka, koji je susedan kutu α, i hipotenuze c, cos α = b: c. Usput, sin β = α: s, što nam omogućava da prihvatimo da je sin α jednak cos β i stoga je sin β jednak cos α.
• Tangenta α jednak količniku odnosa suprotne strane a prema susednoj strani b : tg α = a: b.
• Kotangens ugla α prema tome je jednako ctg α = b: a.
• Sekansa ugla α je omjer hipotenuze trougla i kraka koji graniči sa ovim kutom sec α = c: b.
• Kosekans ugla α je omjer hipotenuze trougla i kraka koji je nasuprot kuta, cosecα = c: a.

Ove funkcije se također mogu izraziti kroz krug specificiranjem koordinatnog sistema. Postavljamo koordinatni sistem sa centrom u tački O. Ugao kroz koji je rotiran segment OA prikazan na crtežu smatraćemo proizvoljnim, nazovimo ga θ.

Tada se tangentom ovog ugla θ smatra odnos ordinate tačke A na kružnici i njene apscise. Stoga, ako je ctg α = b: a, i AC = sin θ, OS = cos θ, onda je tanθ = sin θ: cos θ. Slično, dobijamo cos θ = cos θ: sin θ ili 1: tanθ.

Online kalkulator za izračunavanje tangente ugla