Funkcija distribucije integralne vjerovatnoće slučajne varijable.

Funkcija distribucije integralne vjerovatnoće slučajne varijable

TZR-3. Funkcija distribucije integralne vjerovatnoće SV

Ovo je najuniverzalniji način da se specificira zakon raspodjele. Može se koristiti i za diskretne i za kontinuirane SV. Često, kada se govori o ovoj metodi, riječi “integral” i “vjerovatnosti” se odbacuju i koristi se termin “integral”. SV funkcija distribucije.

Funkcija kumulativne distribucije vjerovatnoće predstavlja vjerovatnoću da neka slučajna varijabla X poprimi vrijednost manju od trenutnog x:

F(x) = P(X< х) (20)

Na primjer, ako je za takav SV kao što je struja u dalekovodu, funkcija distribucije F(90) = 0,3, onda to znači da je vjerovatnoća da struja u dalekovodu dobije vrijednost manju od 90 A jednaka 0.3.

Ako je funkcija distribucije za mrežni napon F(215) = 0,4, tada je 0,4 vjerovatnoća da je napon mreže manji od 215 V.

Funkcija raspodjele vjerovatnoće mora biti specificirana analitički, tabelarno ili grafički.

Primjer 27

Za dati niz raspodjele studentskih ocjena na ispitu (tabela 8, red 1 i 2) zapisati integralnu funkciju raspodjele (tabela 8, red 3) i konstruirati njen grafik.

Tabela 8. Serija i integralna funkcija distribucije ispitnih ocjena

Vrijedi reći da je za pronalaženje vrijednosti funkcije distribucije izuzetno važno koristiti njenu definiciju (20):

· Za X = 2 F(2)= P(X< 2) = 0, jer na ispitu nema ocjena manje od 2;

· Za X= 3 F(3)= P(X< 3) = P(X = 2) = 0,1, jer manje od 3 postoji samo rezultat od 2;

· Za X = 4 F(4)= P(X< 4) = P( X= 2) + R(X= 3) = 0,1 + 0,5 = 0,6, jer manje od 4 postoje dvije ocjene - 2 ili 3 (dobiti ocjenu manju od 4 jednako je dobivanju ili ocjene 2 ili bodova 3 i pronaći F(4) možete koristiti formulu za sabiranje vjerovatnoća nekompatibilnih događaja);

· Za X = 5 F(5)= P(X< 5) = R(X< 4) + R(X= 4) = 0,6 + 0,3 = 0,9, odnosno do F(4) dodaje vjerovatnoću da je rezultat 4.

Analizirajući redoslijed pronalaženja vrijednosti F(x), vidimo da se vjerovatnoća najmanje vrijednosti SV prvo dodaje vjerovatnoći druge vrijednosti, zatim treće itd. To jest, izgleda da se vjerovatnoće akumuliraju. Iz tog razloga se naziva i funkcija integralne distribucije ʼʼfunkcija akumuliranih vjerovatnoćaʼʼ.

U literaturi o statistici, kumulativna funkcija vjerovatnoće se često naziva kumulirati.

Na osnovu podataka u tabeli. 8 treba nacrtati grafik integralne funkcije diskretno slučajna varijabla (slika 29). Ova funkcija je eksplozivno. Utakmice konjskih trka odvojeno diskretno vrijednosti X, a visineʼʼkoraciʼʼ - odgovarajući vjerovatnoće. U tačkama prekida, funkcija (slika 29) poprima vrijednosti označene tačkama, ᴛ.ᴇ. lijevo kontinuirano. U opštem obliku za diskretni SV možemo napisati: F(x) = P(X< х) = . (21)

Da biste razumjeli kako će izgledati graf kumulativne funkcije distribucije za kontinuirani SV, možete pribjeći sljedećem rezonovanju. Ako zamislimo da se broj diskretnih SV vrijednosti povećava, tada će biti više praznina, a visina stepenica će se smanjiti. U granici, kada broj mogućih vrijednosti postane beskonačan (a ovo je kontinuirani SV), graf koraka će se pretvoriti u kontinuirani (slika 30).

Zbog integralna funkcija raspodjele vjerovatnoće SV je od najveće važnosti, razmotrimo ga detaljnije svojstva:

Nekretnina 1. Ovaj metod specificiranja zakona distribucije univerzalni, budući da je pogodan za specifikaciju zakona distribucije i diskretnih i kontinuiranih SV.

Nekretnina 2 . Pošto je kumulativna funkcija distribucije vjerovatnoća, onda njegove vrijednosti leže na intervalu od 0 do 1.

Nekretnina 3 . Funkcija distribucije bezdimenzionalni, kao i svaka vjerovatnoća.

Nekretnina 4 . Postoji funkcija distribucije neopadajuća funkcija, tj. veća vrijednost argumenta odgovara istoj ili većoj vrijednosti funkcije: kada x 2 > x 1 F(x 2) ≥ F(x 1).

Ovo svojstvo proizilazi iz činjenice (slika 31) da vjerovatnoća pada na veći segment (od -∞ do x 2) ni na koji način ne smije biti manja od vjerovatnoće pada na manji segment (od -∞ do x 1 ).

Ako je u području od x 2 prije x 1(Sl. 32) ne postoje moguće vrijednosti SV (ovo je moguće za diskretni SV), tada F(x 2) = F(x 1).

Za funkciju distribucije kontinuiranog SV (sl. 33) F(x 2) uvek više F(x 1).

Svojstvo 4 ima dvije posljedice.

Zaključak 1

IN vjerovatnoća da će vrijednost X poprimiti vrijednost u intervalu (x 1; x 2) jednaka je razlici vrijednosti integralne funkcije na granicama intervala:

P(x 1 ≤ X< х 2) = F(х 2) – F(х 1). (15)

Ova posledica se može objasniti na sledeći način (slika 31):

F(x 2) = P(X< х 2) –

vjerovatnoća da SV uzima vrijednosti lijevo od tačke x 2 .

F(x 1) = P(X< х 1) – vjerovatnoća da SV uzima vrijednosti lijevo od tačke x 1.

Otuda i razlika

P(X< х 2) - Р(Х < х 1) postoji mogućnost da se SV vrijednosti nalaze u području od x 1 prije x 2 (Sl. 34) .

Funkcija distribucije integralne vjerovatnoće slučajne varijable - pojam i tipovi. Klasifikacija i karakteristike kategorije "Integralna funkcija raspodjele vjerovatnoće slučajne varijable" 2017, 2018.

Pod uslovima lokalne Moivre-Laplaceove formule, verovatnoća da će broj uspeha m biti između m 1 i m 2 može se približno naći korišćenjem integralne formule Moivre-Laplacea

gdje je x 1 =
, x 2 =
,
-Laplaceova funkcija.

Vrijednosti ovih funkcija nalaze se u prilozima udžbenika iz teorije vjerojatnosti.

Grafička dodjela zakona o raspodjeli prikazano na sl. 1

Rice. 1 Poligon distribucije diskretne slučajne varijable.

Metoda opisivanja distribucije slučajne varijable u obliku tabele, formule ili grafički je primenljiva samo za diskretne slučajne varijable.

1.5. Kumulativna funkcija distribucije

Funkcija kumulativne distribucije omogućava vam da specificirate i diskretnu i kontinuiranu slučajnu varijablu.

Funkcija kumulativne distribucije (CDF) je funkcija F(x) koja za svaku moguću vrijednost x određuje vjerovatnoću da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x, tj.

Geometrijsko značenje funkcije kumulativne distribucije je vjerovatnoća da će slučajna varijabla X uzeti vrijednost koja leži lijevo od tačke x na numeričkoj osi.

Za diskretnu slučajnu varijablu X, koji može uzeti vrijednosti X 1 , X 2 , …,X n, funkcija distribucije ima oblik gdje nejednakost pod predznakom zbira znači da se zbrajanje odnosi na sve te vrijednosti X i, čija je vrijednost manja X. Objasnimo ovu formulu na osnovu definicije funkcije F(x). Pretpostavimo da je argument x uzeo nešto specifično, ali takvo da je nejednakost zadovoljena x i <x≤x i+1. Tada će lijevo od broja x na brojevnoj osi biti samo one vrijednosti slučajne varijable koje imaju indeks 1, 2, 3, ..., i. Stoga nejednakost X<x je zadovoljan ako je vrijednost X poprimiće vrednosti X To, Gdje k = 1, 2, …, i. Dakle, događaj X<x dogodit će se ako se dogodi, bez obzira koji se događaj dogodi X = X 1 , X=X 2 , X=X 3 , …, X=X i. Pošto su ovi događaji nekompatibilni, onda po teoremi sabiranja vjerovatnoća imamo

Svojstva kumulativne funkcije distribucije:

1. Vrijednosti integralne funkcije raspodjele pripadaju segmentu

:
.

2. Vjerovatnoća da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu (a, b) jednaka je prirastu kumulativne funkcije distribucije na ovom intervalu

3. Ako sve moguće vrijednosti x slučajne varijable pripadaju intervalu (a, b), onda

, Ako

, Ako

Grafikon IRF kontinuirane slučajne varijable prikazan je na Sl. 2

Rice. 2 Grafikon IFR kontinuirane slučajne varijable

Grafikon IDF diskretne slučajne varijable prikazan je na Sl. 3

Rice. 3 Grafikon IFR diskretne slučajne varijable

1.6. Funkcija diferencijalne distribucije

Za opis distribucije vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable koristi se funkcija diferencijalne distribucije.

Funkcija diferencijalne distribucije (DDF)(ili gustina vjerovatnoće) je prvi izvod integralne funkcije.

Kumulativna funkcija distribucije je antiderivat funkcije diferencijalne distribucije. Onda

Vjerovatnoća da će kontinuirana slučajna varijabla X uzeti vrijednost koja pripada intervalu (a, b) jednaka je definitivnom integralu diferencijalne funkcije uzete u rasponu od a do b:

Geometrijsko značenje DDF-a je sljedeće: vjerovatnoća da će kontinuirana slučajna varijabla X uzeti vrijednost koja pripada intervalu (a, b) jednaka je površini krivolinijskog trapeza ograničenog osom x, distribucija kriva f(x) i prave x = a i x = b (slika 4).

Rice. 4 Grafikon funkcije diferencijalne distribucije obično se naziva krivulja distribucije.

Svojstva funkcije diferencijalne distribucije:

1. Funkcija diferencijalne raspodjele je nenegativna, tj.

2. Ako sve moguće vrijednosti slučajne varijable pripadaju intervalu (a, b), onda

Funkcija diferencijalne distribucije se često naziva zakonom distribucije vjerovatnoće kontinuiranih slučajnih varijabli.

Prilikom rješavanja primijenjenih problema suočava se sa različitim zakonima distribucije vjerovatnoće kontinuiranih slučajnih varijabli. Često se nalazi zakoni uniformne i normalne distribucije.

Ustanovili smo da red raspodjele u potpunosti karakterizira diskretnu slučajnu varijablu. Međutim, ova karakteristika nije univerzalna. Postoji samo za diskretne količine. Za kontinualnu količinu, serija distribucije se ne može konstruisati. Zaista, kontinuirana slučajna varijabla ima beskonačan broj mogućih vrijednosti, koje u potpunosti ispunjavaju određeni interval. Nemoguće je napraviti tabelu koja navodi sve moguće vrijednosti ove količine. Prema tome, za kontinuiranu slučajnu varijablu ne postoji distribucijski niz u smislu u kojem postoji za diskretnu varijablu. Međutim, različita područja mogućih vrijednosti slučajne varijable nisu jednako vjerovatna, a za kontinuiranu varijablu i dalje postoji „distribucija vjerovatnoće“, iako ne u istom smislu kao za diskretnu.

Da bi se kvantitativno okarakterisala ova distribucija verovatnoće, zgodno je koristiti ne verovatnoću događaja R(X= X), koji se sastoji u činjenici da će slučajna varijabla uzeti određenu vrijednost X, i vjerovatnoću događaja R(X<X), koji se sastoji u činjenici da će slučajna varijabla imati vrijednost manju od X. Očigledno, vjerovatnoća ovog događaja zavisi od X, tj. je neka funkcija X.

Definicija. Funkcija distribucije slučajna varijabla X zove funkcija F(x), izražavajući za svaku vrijednost X vjerovatnoća da je slučajna varijabla Xće uzeti vrijednost manju od X:

Funkcija distribucije se također naziva kumulativna funkcija distribucije ili integralni zakon raspodele .

Funkcija distribucije je najuniverzalnija karakteristika slučajne varijable. Postoji za sve slučajne varijable: i diskretne i kontinuirane. Funkcija distribucije u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu sa vjerovatnoće, tj. je jedan od oblika zakona o raspodjeli.

Funkcija distribucije omogućava jednostavnu geometrijsku interpretaciju. Uzmite u obzir slučajnu varijablu X na osi Oh(Sl. 4.2), koje kao rezultat iskustva mogu zauzeti jednu ili drugu poziciju. Neka se izabere tačka na osi koja ima vrijednost X. Zatim, kao rezultat eksperimenta, slučajna varijabla X može biti lijevo ili desno od tačke X. Očigledno, vjerovatnoća da je slučajna varijabla Xće biti lijevo od tačke X, zavisiće od položaja tačke X, tj. biti funkcija argumenta X.

Za diskretnu slučajnu varijablu X, koji može uzeti vrijednosti X 1 , X 2 , …, x n, funkcija distribucije ima oblik

Pronađite i grafički opišite njegovu funkciju distribucije.

Rješenje. Postavićemo različite vrijednosti X i pronađite za njih F(x) = = P(X < x).

1. Ako X≤ 0, onda F(x) = P(X < X) = 0.

2. Ako je 0< X≤ 1, onda F(x) = P(X < X) = P(X = 0) = 0,08.

3. Ako 1< X≤ 2, onda F(x) = P(X < X) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,08 + 0,44 = 0,52.

4. Ako X> 2, onda F(x) = P(X < X) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,08 + 0,44 + + 0,48 = 1.

Zapišimo funkciju distribucije.

Prikažimo funkciju distribucije grafički (slika 4.3). Imajte na umu da kada se tačkama diskontinuiteta približava s lijeve strane, funkcija zadržava svoju vrijednost (za takvu funkciju se kaže da je kontinuirana s lijeve strane). Ove tačke su istaknute na grafikonu. ◄

Ovaj primjer nam omogućava da dođemo do zaključka da funkcija distribucije bilo koje diskretne slučajne varijable je diskontinuirana funkcija koraka, čiji se skokovi javljaju u tačkama koje odgovaraju mogućim vrijednostima slučajne varijable i jednake su vjerojatnosti ovih vrijednosti.

Razmotrimo opća svojstva funkcije distribucije.

1. Funkcija distribucije slučajne varijable je nenegativna funkcija između nule i jedan:

3. Na minus beskonačnosti funkcija raspodjele je jednaka nuli, na plus beskonačno jednaka je jedan, tj.

Primjer 4.3. Funkcija distribucije slučajne varijable X ima oblik:

Pronađite vjerovatnoću da je slučajna varijabla Xće uzeti vrijednost u intervalu i imati nultu vjerovatnoću.

Međutim, ideja o događaju koji ima nenultu vjerovatnoću, ali se sastoji od događaja sa nultom vjerovatnoćom, nije ništa paradoksalnija od ideje o segmentu koji ima određenu dužinu, a da nema niti jedne tačke na segmentu. ima dužinu različitu od nule. Segment se sastoji od takvih tačaka, ali njegova dužina nije jednaka zbiru njihovih dužina.

Iz ovog svojstva slijedi sljedeći zaključak.

Posljedica. Ako je X kontinuirana slučajna varijabla, onda vjerovatnoća da ova vrijednost padne u interval (x 1, x 2) ne ovisi o tome da li je ovaj interval otvoren ili zatvoren:

P(x 1 < X < x 2) = P(x 1 ≤ X < x 2) = P(x 1 < X ≤ x 2) = P(x 1 ≤ X ≤ x 2).

Diferencijalni i integralni zakoni distribucije

Zakon distribucije slučajne varijable uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti ove varijable i vjerojatnosti njihovog pojavljivanja koje odgovaraju ovim vrijednostima. Postoje dva oblika opisivanja zakona distribucije slučajne varijable - diferencijalni i integralni . Štaviše, u mjeriteljstvu se uglavnom koristi diferencijalni oblik - zakon distribucije gustoće vjerovatnoće slučajna varijabla.
Zakon diferencijalne distribucije okarakterisan gustina distribucije Gustoća distribucije slučajne varijable u ovom slučaju vjerovatnoća P slučajna varijabla koja pada u interval od x 1 prije x 2 :

Grafički, ova vjerovatnoća je omjer površine ispod krive f(x) u rasponu od x 1 prije x 2 na ukupnu površinu ograničenu cijelom krivom raspodjele.

U ovom slučaju je prikazana distribucija kontinuirano slučajna varijabla. Pored njih, postoje diskretno slučajne varijable koje poprimaju određeni broj specifičnih vrijednosti koje se mogu numerisati.

Integralni zakon raspodjele slučajne varijable predstavlja funkciju F(x), definisana formulom

Vjerovatnoća da će slučajna varijabla biti manja x1 dato vrijednošću funkcije F(x) at x = x 1:

F(X)– funkcija nije opadajuća pri X → ∞ F(X)→1

Kako je X → - ∞ F(X)→0

F(x) - funkcija je kontinuirana, jer rezultat posmatranja u određenom intervalu može poprimiti bilo koju vrijednost

Međutim, četvrto svojstvo se obično ne ostvaruje u praksi. To je zbog činjenice da korišteni mjerni instrumenti imaju konačnu rezoluciju: za pokazivački instrument to je cijena podjele skale (PV quantum), za digitalne instrumente to je cijena najmanje cifre koda. Stoga, u stvarnosti funkcija distribucije za grešku ima oblik koraka.

Ipak, u metrološkoj praksi integralna funkcija se smatra kontinuiranom, što pojednostavljuje obradu grešaka.

Uniformni zakon raspodjele kontinuirane slučajne varijable.

Kontinuirana slučajna varijabla poštuje uniformni zakon raspodjele ako njene moguće vrijednosti leže u određenom intervalu, unutar kojeg su sve vrijednosti jednako vjerojatne, odnosno imaju istu gustoću vjerojatnosti. Drugim riječima, distribucija vjerojatnosti se naziva uniformnom ako na intervalu kojem pripadaju sve moguće vrijednosti slučajne varijable, diferencijalna funkcija ima konstantnu vrijednost.

Slučajne varijable koje imaju ujednačenu distribuciju vjerovatnoće<<встречаются на практике. Например, при снятии показаний измерительных приборов. Ошибка при округлении отсчёта до ближайшего целого деления шкалы является случайной величиной, которая может с постоянной плотностью вероятности принимать любые значения между двумя соседними делениями. Таким образом, данная случайная величина имеет равномерное распределение.

Nađimo diferencijalnu funkciju (gustoću) uniformne distribucije, uz pretpostavku da su sve moguće vrijednosti slučajne varijable X zatvoren u procjepu , na kojem diferencijalna funkcija održava konstantnu vrijednost, tj

f(x) = C

Po stanju X ne prihvata vrijednosti izvan intervala , Zbog toga f(x) = 0 pred svima x< a I x< b.

Nađimo vrijednost konstante WITH . Budući da sve moguće vrijednosti slučajne varijable pripadaju intervalu , onda je tačno:

Dakle, zakon uniformne distribucije slučajne varijable na intervalu (Ovdje a< b ) može se analitički napisati na sljedeći način:

Nađimo sada integralnu funkciju uniformne distribucije kontinuirane slučajne varijable. Da bismo to učinili, koristimo formulu

Ako x< a To f(x) = 0 i zbog toga F(x) = 0

Ako a ≤ x ≤ b To i zbog toga

Ako x ˃ b To

Dakle, željena funkcija integralne distribucije može se analitički napisati na sljedeći način:

F(x) = 0 na x< a

za a ≤ x ≤ b

F(x) = 1 na x ˃ b

Svojstva ujednačene kontinuirane distribucije:

1. Prvi trenutak (matematičko očekivanje)

2. Medijan: M = M(X)

3. Mod – bilo koji broj na segmentu (mod – najvjerovatnija vrijednost distribucije);

Označimo vjerovatnoćom da slučajna varijabla x ima vrijednost manju od one koja je funkcija koja se naziva integralna funkcija distribucije vrijednosti x. Budući da bilo koja vjerovatnoća mora ležati u intervalu između i 1, onda za sve vrijednosti imamo: Ako je takva da će vjerovatnoća koja će biti veća ili jednaka vjerovatnoći da, tj. drugim riječima, funkcija ne može opadati s povećanjem

Tipičan oblik kumulativne funkcije distribucije prikazan je na Sl. 1, gdje je funkcija iscrtana duž horizontalne osi, a funkcija duž vertikalne ose

Poznavajući integralnu funkciju distribucije, lako možemo odrediti za bilo koju datu vjerovatnoću da će Zaista, budući da su događaji nekompatibilni, vjerovatnoća pojave bilo kojeg od ovih događaja biti jednaka zbroju vjerovatnoća pojave svakog od događaja , tj.

(vidi skeniranje)

Budući da se vjerovatnoća pojave bilo kojeg od ova dva događaja ili poklapa sa vjerovatnoćom da će se događaj dogoditi, onda u skladu sa relacijom (1.1) imamo

Prema tome, željena vjerovatnoća da će se događaj dogoditi će biti jednaka

U slučaju kada je slučajna varijabla x rezultat mjerenja bilo koje karakteristike objekta slučajno odabranog iz grupe objekata, može se dati jednostavno tumačenje kumulativne funkcije distribucije. Kao što je navedeno u paragrafu 1.1.1, u ovom slučaju vjerojatnost da promatrana vrijednost x zadovoljava neku jednakost ili nejednakost (recimo, ili je jednaka relativnoj proporciji (u datoj grupi objekata) takvih objekata za koje vrijednost x zadovoljava odgovarajuću jednakost ili nejednakost. Dakle, jednostavno određuje relativni udeo onih objekata za koje sa ovakvim tumačenjem verovatnoća postaje očigledna relacija (1.2 ), koja, u stvari, kaže da je relativni broj objekata za koje je jednak relativnom broju objekata za koje je plus relativni broj objekata objekti za koje se grupa objekata često naziva populacijom Do sada smo razmatrali samo populacije koje sadrže konačan broj objekata. Takve populacije se nazivaju konačnim.

Tumačenje vjerovatnoće događaja za koji vrijedi određena relacija (jednakost ili nejednakost), kao relativne proporcije u datoj opštoj populaciji takvih elemenata za koje vrijednost x zadovoljava ovaj odnos, pokazuje se vrlo korisnim u mnogim slučajevima, i često ćemo ga koristiti. Međutim, takvo tumačenje vjerovatnoća nije uvijek moguće osim ako se ne ograničimo na konačne populacije. Zaista, kumulativna funkcija distribucije povezana sa konačnom populacijom ima svoje karakteristike.

Pretpostavimo da se populacija sastoji od elemenata. Tada slučajna varijabla x može uzeti samo različite vrijednosti. Neka su različite vrijednosti koje vrijednost x može zauzeti, a te vrijednosti su poređane rastućim redoslijedom. Jasno je da ako je vrijednost x ista za nekoliko elemenata, tada će kumulativna funkcija distribucije u ovom slučaju imati oblik stepenaste krive prikazane na sl. 2.

Funkcija distribucije će imati tačno skokove, a veličina svakog skoka će biti jednaka ili celom broju pomnoženom sa kumulativnom funkcijom raspodele, predstavljenom kontinuiranom krivom na Sl. 1 očigledno nije ovog tipa.

Dakle, ako je kumulativna funkcija distribucije kontinuirana kriva, onda je interpretacija vjerovatnoće kao relativnog udjela određenih elemenata konačne populacije nemoguća. Međutim, bilo koja kontinuirana kumulativna funkcija distribucije može se aproksimirati sa bilo kojom preciznošću pomoću stepenaste kumulativne funkcije raspodjele povezane s konačnom populacijom, sve dok je broj elemenata u potonjoj dovoljno velik. Dakle, bilo koja kontinuirana kumulativna funkcija raspodjele može se smatrati graničnim oblikom kumulativne funkcije distribucije povezane s konačnom populacijom. Granica se postiže beskonačnim povećanjem broja elemenata u ovoj općoj

totalitet. To znači da ako pretpostavimo postojanje beskonačne populacije (populacije sa beskonačno velikim brojem elemenata), onda se svaka vjerovatnoća povezana s tom populacijom uvijek može tumačiti kao relativni udio odgovarajućih elemenata populacije. Naravno, koncept beskonačne populacije je jednostavno korisna apstrakcija uvedena samo da bi se pojednostavila teorija.

Kao primjer beskonačne populacije, razmotrite eksperiment koji uključuje mjerenje dužine određenog štapa. Ishod svakog mjerenja može se smatrati slučajnom varijablom, koju karakterizira kumulativna funkcija raspodjele. Tada će beskonačna populacija biti beskonačan niz ponovljenih mjerenja dužine štapa, tako da se svako stvarno izvršeno mjerenje može smatrati elementom ove populacije. Ponekad je populacija konačna, ali je broj elemenata ove populacije toliko velik da je zgodnije razmatrati probleme povezane s ovom populacijom kao da je beskonačna, odnosno kao da je populacija beskonačna. Pretpostavimo, na primjer, da nas zanima distribucija visine svih žena od 20 godina i više koje žive u Sjedinjenim Državama. Očigledno, broj takvih pojedinaca je toliko velik da se može računati na značajna matematička pojednostavljenja ako se smatra da je populacija takvih pojedinaca beskonačna.