Ako su 2 paralelne. Paralelne prave, znaci i uslovi za paralelne prave

Znakovi paralelizma dvije prave

Teorema 1. Ako, kada se dvije prave seku sa sekantom:

ukršteni uglovi su jednaki, ili

odgovarajući uglovi su jednaki, ili

tada je zbir jednostranih uglova 180°

prave su paralelne(Sl. 1).

Dokaz. Ograničavamo se na dokazivanje slučaja 1.

Neka su prave a i b ukrštene, a uglovi AB jednaki. Na primjer, ∠ 4 = ∠ 6. Dokažimo da je a || b.

Pretpostavimo da prave a i b nisu paralelne. Tada se sijeku u nekoj tački M i stoga će jedan od uglova 4 ili 6 biti vanjski ugao trougla ABM. Radi određenosti, neka je ∠ 4 vanjski ugao trougla ABM, a ∠ 6 unutrašnji. Iz teoreme o spoljašnjem uglu trougla sledi da je ∠ 4 veći od ∠ 6, a to je u suprotnosti sa uslovom, što znači da se prave a i 6 ne mogu seći, pa su paralelne.

Zaključak 1. Dvije različite prave u ravni okomitoj na istu pravu su paralelne(Sl. 2).

Komentar. Način na koji smo upravo dokazali slučaj 1 teoreme 1 nazivamo metodom dokaza kontradikcijom ili svođenjem na apsurd. Ova metoda je dobila svoje prvo ime jer se na početku argumenta postavlja pretpostavka koja je suprotna (suprotna) onome što treba dokazati. To se naziva dovođenjem do apsurda zbog činjenice da, rezonujući na osnovu postavljene pretpostavke, dolazimo do apsurdnog zaključka (do apsurda). Primanje takvog zaključka tjera nas da odbacimo pretpostavku iznesenu na početku i prihvatimo onu koju je trebalo dokazati.

Zadatak 1. Konstruisati pravu koja prolazi kroz datu tačku M i paralelna sa datom pravom a, a ne prolazi kroz tačku M.

Rješenje. Provlačimo pravu p kroz tačku M okomitu na pravu a (slika 3).

Zatim povučemo pravu b kroz tačku M okomitu na pravu p. Prava b je paralelna pravoj a prema posljedici teoreme 1.

Iz razmatranog problema proizlazi važan zaključak:
kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj uvek je moguće povući pravu paralelnu datoj.

Glavno svojstvo paralelnih linija je sljedeće.

Aksiom paralelnih pravih. Kroz datu tačku koja ne leži na datoj pravoj prolazi samo jedna prava paralelna sa datom.

Razmotrimo neka svojstva paralelnih pravih koja slijede iz ovog aksioma.

1) Ako prava seče jednu od dve paralelne prave, onda seče i drugu (slika 4).

2) Ako su dvije različite prave paralelne s trećom pravom, onda su one paralelne (slika 5).

Sljedeća teorema je također tačna.

Teorema 2. Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, onda:

poprečni uglovi su jednaki;

odgovarajući uglovi su jednaki;

zbir jednostranih uglova je 180°.

Zaključak 2. Ako je prava okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu(vidi sliku 2).

Komentar. Teorema 2 se naziva inverzna teorema 1. Zaključak teoreme 1 je uslov teoreme 2. A uslov teoreme 1 je zaključak teoreme 2. Nema svaka teorema inverzna, tj. ako je data teorema tačno, onda inverzna teorema može biti netačna.

Objasnimo ovo na primjeru teoreme o vertikalnim uglovima. Ova teorema se može formulirati na sljedeći način: ako su dva ugla okomita, onda su jednaki. Obrnuti teorem bi bio: ako su dva ugla jednaka, onda su vertikalni. A ovo, naravno, nije tačno. Dva jednaka ugla ne moraju biti vertikalna.

Primjer 1. Dvije paralelne prave se ukrštaju trećom. Poznato je da je razlika između dva unutrašnja jednostrana ugla 30°. Pronađite ove uglove.

Rješenje. Neka slika 6 ispuni uslov.

POGLAVLJE III.
PARALLEL DIRECT

§ 38. ZAVISNOST IZMEĐU UGLOVA,
FORMIRAN OD DVIJE PARALELNE PRAVE I SEKUNDARNOM.

Znamo da su dvije prave paralelne ako su, kada sijeku treću pravu, odgovarajući uglovi jednaki, ili su unutrašnji ili vanjski uglovi koji leže poprečno jednaki, ili je zbir unutrašnjih, ili zbir vanjskih jednostranih uglova jednak 2 d. Dokažimo da su i obrnute teoreme tačne, naime:

Ako dvije paralelne prave prelazi treća, tada:

1) odgovarajući uglovi su jednaki;
2) unutrašnji poprečni uglovi su jednaki;
3) spoljašnji poprečni uglovi su jednaki;
4) zbir unutrašnjih jednostranih uglova je jednak 2 d ;
5) zbir spoljašnjih jednostranih uglova je jednak 2 d .

Dokažimo, na primjer, da ako dvije paralelne prave siječe treća prava, onda su odgovarajući uglovi jednaki.

Neka su prave AB i CD paralelne, a MN njihova sekansa (slika 202) Dokažimo da su odgovarajući uglovi 1 i 2 međusobno jednaki.

Pretpostavimo to / 1 i / 2 nisu jednaki. Tada u tački O možemo konstruirati / MOK, odgovarajući i ravnopravni / 2 (crtež 203).

Ali ako / MOQ = / 2, tada će prava linija OK biti paralelna sa CD-om (§ 35).

Utvrdili smo da su dvije prave AB i OK povučene kroz tačku O, paralelno sa pravom CD. Ali to ne može biti (§ 37).

Došli smo do kontradikcije jer smo to pretpostavili / 1 i / 2 nisu jednaki. Stoga je naša pretpostavka netačna i / 1 mora biti jednako / 2, tj. odgovarajući uglovi su jednaki.

Uspostavimo odnose između preostalih uglova. Neka su prave AB i CD paralelne, a MN njihova sekansa (slika 204).

Upravo smo dokazali da su u ovom slučaju odgovarajući uglovi jednaki. Pretpostavimo da bilo koja od njih imaju po 119°. Izračunajmo veličinu svakog od ostalih šest uglova. Na osnovu svojstava susjednih i vertikalnih uglova, nalazimo da će četiri od osam uglova imati po 119°, a ostali po 61°.

Pokazalo se da su i unutrašnji i vanjski poprečni uglovi jednaki u parovima, a zbir unutrašnjih ili vanjskih jednostranih uglova jednak je 180° (ili 2 d).

Isto će se dogoditi za bilo koju drugu vrijednost jednakih odgovarajućih uglova.

Zaključak 1. Ako je svaka od dvije prave AB i CD paralelna sa istom trećom linijom MN, tada su prve dvije prave paralelne jedna s drugom (crtež 205).

U stvari, crtanjem sekante EF (slika 206), dobijamo:
A) / 1 = / 3, budući da AB || MN; b) / 2 = / 3, budući da CO || MN.

znači, / 1 = / 2, a to su uglovi koji odgovaraju pravima AB i CD i sekanti EF, dakle, prave AB i CD su paralelne.

Zaključak 2. Ako je prava okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu (crtež 207).

Zaista, ako je EF _|_ AB, onda / 1 = d; ako AB || CD, onda / 1 = / 2.

dakle, / 2 = d tj. EF _|_ CD .

1) Ako su, kada se dvije prave seku sa transverzalom, uglovi koji leže jednaki, tada su prave paralelne.

2) Ako su, kada se dvije prave seku sa transverzalom, odgovarajući uglovi jednaki, tada su prave paralelne.

3) Ako je, kada se dvije prave seku sa transverzalom, zbir jednostranih uglova jednak 180°, tada su prave paralelne.

3. Kroz tačku koja ne leži na datoj pravoj prolazi samo jedna prava paralelna sa datom.

4 Ako prava siječe jednu od dvije paralelne prave, siječe i drugu.

5. Ako su dvije prave paralelne s trećom linijom, onda su paralelne.

Svojstva paralelnih pravih

1) Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, tada su uglovi koji se seku jednaki.

2) Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, tada su odgovarajući uglovi jednaki.

3) Ako se dvije paralelne prave sijeku transverzalom, tada je zbir jednostranih uglova 180°.

7. Ako je prava okomita na jednu od dvije paralelne prave, ona je također okomita na drugu.

8. Rješavanje sistema od dvije jednačine sa dva Takav par brojeva naziva se nepoznatim X I at , koji, kada se zameni u ovaj sistem, pretvara svaku od svojih jednačina u tačnu numeričku jednakost.

9.Rješiti sistem jednačina- znači pronaći sva njegova rješenja ili utvrditi da ih nema.

1. Metode za rješavanje sistema jednačina:

a) zamjena

b) dodavanje;

c) grafički.

10. Zbir uglova trougla je 180°.

11.Spoljni ugao trougla je ugao koji graniči sa nekim uglom ovog trougla.

Vanjski ugao trougla jednak je zbiru dvaju uglova trougla koji mu nisu susjedni.

12. U bilo kojem trouglu, ili su svi uglovi oštri, ili su dva oštra, a treći je tup ili ravan.

13Ako su sva tri ugla trougla oštra, onda se trokut naziva oštrougao.

14. Ako je jedan od uglova trougla tup, onda se trokut naziva tupougla.

15. Ako je jedan od uglova trougla pravi, onda se trougao naziva pravougaona.

16. Strana pravokutnog trougla koja leži nasuprot pravog ugla naziva se hipotenuza, a druge dvije strane su noge.

17. U trouglu: 1) veći ugao leži nasuprot veće stranice; 2) nazad, veća strana leži nasuprot većeg ugla.

18. U pravokutnom trokutu hipotenuza je duža od kraka.

19. Ako su dva ugla trougla jednaka, onda je trougao jednakokraki (znak jednakokrakog trougla).

20. Svaka strana trougla je manja od zbira druge dvije stranice.

21 Zbir dva oštra ugla pravouglog trougla je 90°.

22. Krak pravouglog trougla koji leži nasuprot ugla od 30° jednak je polovini hipotenuze.

Znaci jednakosti pravouglog trougla: 1) na dve strane; 2) duž hipotenuze i oštrog ugla; 3) duž hipotenuze i kraka; 4) duž noge i oštrog ugla

Dužina okomice povučene iz tačke na pravu naziva se udaljenost od ove tačke do prave.

U ovom članku ćemo govoriti o paralelnim linijama, dati definicije i skicirati znakove i uvjete paralelizma. Da bi teorijski materijal bio jasniji, koristit ćemo ilustracije i rješenja tipičnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicija 1

Paralelne prave na ravni– dvije prave na ravni koje nemaju zajedničkih tačaka.

Definicija 2

Paralelne linije u trodimenzionalnom prostoru– dvije prave u trodimenzionalnom prostoru, koje leže u istoj ravni i nemaju zajedničkih tačaka.

Potrebno je napomenuti da je za određivanje paralelnih pravih u prostoru izuzetno važno pojašnjenje „leže u istoj ravni“: dvije prave u trodimenzionalnom prostoru koje nemaju zajedničke tačke i ne leže u istoj ravni nisu paralelne. , ali se ukrštaju.

Za označavanje paralelnih linija uobičajeno je koristiti simbol ∥. Odnosno, ako su date prave a i b paralelne, ovaj uslov treba ukratko napisati na sljedeći način: a ‖ b. Verbalno, paralelnost pravih se označava na sledeći način: prave a i b su paralelne, ili prava a je paralelna pravoj b, ili prava b paralelna pravoj a.

Hajde da formulišemo izjavu koja igra važnu ulogu u temi koja se proučava.

Aksiom

Kroz tačku koja ne pripada datoj pravoj prolazi jedina prava paralelna datoj. Ova tvrdnja se ne može dokazati na osnovu poznatih aksioma planimetrije.

U slučaju kada govorimo o prostoru, tačna je teorema:

Teorema 1

Kroz bilo koju tačku u prostoru koja ne pripada datoj pravoj, proći će jedna prava paralelna datoj.

Ovu teoremu je lako dokazati na osnovu gornjeg aksioma (program geometrije za 10. - 11. razred).

Kriterijum paralelizma je dovoljan uslov, čije ispunjenje garantuje paralelnost pravih. Drugim riječima, ispunjenje ovog uslova je dovoljno da potvrdi činjenicu paralelizma.

Konkretno, postoje neophodni i dovoljni uslovi za paralelnost pravih na ravni i u prostoru. Objasnimo: nužan je uslov čije je ispunjenje neophodno za paralelne prave; ako nije ispunjen, prave nisu paralelne.

Da rezimiramo, neophodan i dovoljan uslov za paralelnost pravih je uslov čije je poštovanje neophodno i dovoljno da prave budu međusobno paralelne. S jedne strane, ovo je znak paralelizma, s druge strane, to je svojstvo svojstveno paralelnim linijama.

Prije nego što damo tačnu formulaciju potrebnog i dovoljnog uvjeta, podsjetimo se na nekoliko dodatnih pojmova.

Definicija 3

Sekantna linija– prava linija koja siječe svaku od dvije date nepodudarne prave.

Presijecajući dvije prave, transverzala formira osam nerazvijenih uglova. Da bismo formulirali neophodan i dovoljan uvjet, koristit ćemo takve vrste uglova kao što su ukršteni, odgovarajući i jednostrani. Hajde da ih demonstriramo na ilustraciji:

Teorema 2

Ako se dvije prave u ravni sijeku transverzalom, onda je da bi date prave bile paralelne potrebno i dovoljno da su uglovi koji se seku jednaki, ili odgovarajući uglovi jednaki, ili zbir jednostranih uglova jednak 180 stepeni.

Ilustrujmo grafički neophodan i dovoljan uslov za paralelnost pravih na ravni:

Dokaz ovih uslova je prisutan u programu geometrije za 7-9 razred.

Generalno, ovi uslovi važe i za trodimenzionalni prostor, pod uslovom da dve prave i sekansa pripadaju istoj ravni.

Naznačimo još nekoliko teorema koje se često koriste za dokazivanje činjenice da su prave paralelne.

Teorema 3

Na ravni su dvije prave paralelne s trećom paralelne jedna s drugom. Ova karakteristika je dokazana na osnovu aksioma paralelizma koji je gore naznačen.

Teorema 4

U trodimenzionalnom prostoru, dvije linije paralelne s trećom su paralelne jedna s drugom.

Dokaz znaka se izučava u nastavnom planu i programu geometrije 10. razreda.

Dajemo ilustraciju ovih teorema:

Naznačimo još jedan par teorema koje dokazuju paralelizam pravih.

Teorema 5

Na ravni, dvije prave okomite na treću su paralelne jedna s drugom.

Formulirajmo sličnu stvar za trodimenzionalni prostor.

Teorema 6

U trodimenzionalnom prostoru, dvije prave okomite na treću su paralelne jedna s drugom.

Ilustrujmo:

Sve gore navedene teoreme, znaci i uvjeti omogućuju praktično dokazivanje paralelizma pravih metodama geometrije. To jest, da bi se dokazala paralelnost pravih, može se pokazati da su odgovarajući uglovi jednaki, ili dokazati činjenicu da su dvije date prave okomite na treću, itd. Ali imajte na umu da je često zgodnije koristiti koordinatnu metodu za dokazivanje paralelnosti linija na ravni ili u trodimenzionalnom prostoru.

Paralelizam pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu

U datom pravougaonom koordinatnom sistemu, prava je određena jednadžbom prave linije na ravni jednog od mogućih tipova. Isto tako, prava linija definisana u pravougaonom koordinatnom sistemu u trodimenzionalnom prostoru odgovara nekim jednačinama za pravu liniju u prostoru.

Zapišimo potrebne i dovoljne uslove za paralelnost pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu u zavisnosti od tipa jednačine koja opisuje date prave.

Počnimo sa uslovom paralelnosti pravih na ravni. Zasnovan je na definicijama vektora smjera prave i vektora normale prave na ravni.

Teorema 7

Da bi dvije nepodudarne prave bile paralelne na ravni, potrebno je i dovoljno da su vektori smjera datih pravih kolinearni, ili da su vektori normale datih pravih kolinearni, ili da je vektor smjera jedne prave okomit na vektor normale druge linije.

Postaje očigledno da se uslov paralelnosti pravih na ravni zasniva na uslovu kolinearnosti vektora ili uslovu okomitosti dva vektora. To jest, ako su a → = (a x, a y) i b → = (b x, b y) vektori pravca a i b;

i n b → = (n b x , n b y) su normalni vektori pravih a i b, tada zapisujemo gornji neophodan i dovoljan uslov na sljedeći način: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y ili n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y ili a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , gdje je t neki realni broj. Koordinate vodilica ili pravih vektora određene su datim jednačinama pravih linija. Pogledajmo glavne primjere.

1. Prava a u pravougaonom koordinatnom sistemu određena je opštom jednačinom prave: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; prava b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Tada će normalni vektori datih linija imati koordinate (A 1, B 1) i (A 2, B 2), respektivno. Uslov paralelizma pišemo na sljedeći način:

A 1 = t A 2 B 1 = t B 2

1. Prava a je opisana jednadžbom prave sa nagibom oblika y = k 1 x + b 1 . Prava linija b - y = k 2 x + b 2. Tada će normalni vektori datih pravih imati koordinate (k 1, - 1) i (k 2, - 1), respektivno, a uslov paralelizma ćemo napisati na sljedeći način:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Dakle, ako su paralelne prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu date jednačinama sa ugaonim koeficijentima, onda će ugaoni koeficijenti datih pravih biti jednaki. I suprotna izjava je tačna: ako su nepodudarne prave na ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu određene jednadžbama prave sa identičnim ugaonim koeficijentima, onda su ove date prave paralelne.

1. Prave a i b u pravougaonom koordinatnom sistemu određene su kanonskim jednačinama prave na ravni: x - x 1 a x = y - y 1 a y i x - x 2 b x = y - y 2 b y ili parametarskim jednačinama prava na ravni: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y i x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Tada će vektori smjera datih linija biti: a x, a y i b x, b y, respektivno, a uvjet paralelizma ćemo napisati na sljedeći način:

a x = t b x a y = t b y

Pogledajmo primjere.

Primjer 1

Date su dvije linije: 2 x - 3 y + 1 = 0 i x 1 2 + y 5 = 1. Potrebno je utvrditi da li su paralelne.

Rješenje

Zapišimo jednačinu prave u segmentima u obliku opšte jednačine:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Vidimo da je n a → = (2, - 3) vektor normale prave 2 x - 3 y + 1 = 0, a n b → = 2, 1 5 je vektor normale prave x 1 2 + y 5 = 1.

Rezultirajući vektori nisu kolinearni, jer ne postoji takva vrijednost tat da bi jednakost bila istinita:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Dakle, nužan i dovoljan uslov za paralelnost pravih na ravni nije zadovoljen, što znači da date prave nisu paralelne.

odgovor: date prave nisu paralelne.

Primjer 2

Date su linije y = 2 x + 1 i x 1 = y - 4 2. Jesu li paralelne?

Rješenje

Transformirajmo kanonsku jednačinu ravne x 1 = y - 4 2 u jednačinu prave linije sa nagibom:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Vidimo da jednačine pravih y = 2 x + 1 i y = 2 x + 4 nisu iste (da je drugačije, prave bi se poklopile) i da su ugaoni koeficijenti pravih jednaki, što znači date prave su paralelne.

Pokušajmo drugačije riješiti problem. Prvo, hajde da proverimo da li se date linije poklapaju. Koristimo bilo koju tačku na pravoj y = 2 x + 1, na primjer, (0, 1), koordinate ove tačke ne odgovaraju jednačini prave x 1 = y - 4 2, što znači da prave odgovaraju ne poklapaju.

Sledeći korak je da se utvrdi da li je uslov paralelnosti datih pravih zadovoljen.

Vektor normale prave y = 2 x + 1 je vektor n a → = (2 , - 1) , a vektor pravca druge date linije je b → = (1 , 2) . Skalarni proizvod ovih vektora jednak je nuli:

n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Dakle, vektori su okomiti: ovo nam pokazuje ispunjenje neophodnog i dovoljnog uslova za paralelnost originalnih pravih. One. date prave su paralelne.

odgovor: ove prave su paralelne.

Za dokazivanje paralelnosti pravih u pravougaonom koordinatnom sistemu trodimenzionalnog prostora koristi se sledeći neophodan i dovoljan uslov.

Teorema 8

Da bi dvije nepodudarne prave u trodimenzionalnom prostoru bile paralelne, potrebno je i dovoljno da vektori smjera ovih linija budu kolinearni.

One. s obzirom na jednačine linija u trodimenzionalnom prostoru, odgovor na pitanje: da li su paralelne ili ne, nalazi se određivanjem koordinata vektora pravca datih linija, kao i provjerom uslova njihove kolinearnosti. Drugim riječima, ako su a → = (a x, a y, a z) i b → = (b x, b y, b z) vektori pravca a i b, redom, onda da bi one bile paralelne, postojanje takvog realnog broja t je neophodno, tako da vrijedi jednakost:

a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z

Primjer 3

Date su linije x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 i x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Potrebno je dokazati paralelizam ovih pravih.

Rješenje

Uslovi zadatka dati su kanonskim jednačinama jedne prave u prostoru i parametarskim jednačinama druge prave u prostoru. Vodeći vektori a → i b → date linije imaju koordinate: (1, 0, - 3) i (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , tada je a → = 1 2 · b → .

Posljedično, nužni i dovoljni uvjet za paralelnost pravih u prostoru je zadovoljen.

odgovor: paralelnost datih pravih je dokazana.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

odgovarajućim uglovima: 1 i 5, 4 i 8, 2 i 6, 3 i 7;

unutrašnji poprečni uglovi: 3 i 5, 4 i 6;

vanjski poprečni uglovi: 1 i 7, 2 i 8;

unutrašnji jednostrani uglovi: 3 i 6, 4 i 5;

vanjski jednostrani uglovi: 1 i 8, 2 i 7.

Dakle, ∠ 2 = ∠ 4 i ∠ 8 = ∠ 6, ali prema onome što je dokazano, ∠ 4 = ∠ 6.

Dakle, ∠ 2 =∠ 8.

3. Odgovarajući uglovi 2 i 6 su isti, jer ∠ 2 = ∠ 4, i ∠ 4 = ∠ 6. Uvjerimo se i da su ostali odgovarajući uglovi jednaki.

4. Suma unutrašnji jednostrani uglovi 3 i 6 će biti 2d jer je zbir susjedni uglovi 3 i 4 je jednako 2d = 180 0, a ∠ 4 se može zamijeniti identičnim ∠ 6. Također se brinemo da zbir uglova 4 i 5 jednako je 2d.

5. Suma vanjski jednostrani ugloviće biti 2d jer su ti uglovi jednaki unutrašnji jednostrani uglovi kao uglovi vertikalno.

Iz gore navedenog dokazanog opravdanja dobijamo konverzne teoreme.

Kada, na preseku dve prave sa proizvoljnom trećom linijom, dobijemo da:

1. Unutrašnji poprečni uglovi su isti;

ili 2. Vanjski poprečni uglovi su identični;

ili 3. Odgovarajući uglovi su jednaki;

ili 4. Zbir unutrašnjih jednostranih uglova je 2d = 180 0;

ili 5. Zbir vanjskih jednostranih je 2d = 180 0 ,

tada su prve dvije linije paralelne.