Закон на Коши за разпределение на случайни променливи. Коша разпределение

Изглежда, че разпределението на Коши изглежда много привлекателно за описание и моделиране на случайни променливи. В действителност обаче това не е така. Свойствата на разпределението на Коши са рязко различни от свойствата на разпределението на Гаус, Лаплас и други експоненциални разпределения.

Факт е, че разпределението на Коши е близо до изключително плоско. Спомнете си, че едно разпределение се казва, че е изключително плоско, ако, като x -> +oo, неговата плътност на вероятността

За разпределението на Коши дори няма първи начален момент на разпределението, т.е. математическо очакване, тъй като интегралът, който го определя, се разминава. В този случай разпределението има както медиана, така и мода, които са равни на параметъра a.

Разбира се, дисперсията на това разпределение (вторият централен момент) също е равна на безкрайност. На практика това означава, че оценката на дисперсията за извадка от разпределението на Коши ще нараства неограничено с увеличаване на обема на данните.

От горното следва, че апроксимацията чрез разпределението на Коши на случайни процеси, които се характеризират с крайно математическо очакване и крайна дисперсия, е неправилно.

И така, получихме симетрично разпределение в зависимост от три параметъра, с помощта на които можем да опишем извадки от случайни променливи, включително тези с леки наклони. Това разпределение обаче има недостатъци, които бяха взети предвид при обсъждането на разпределението на Коши, а именно математическото очакване съществува само за a > 1, дисперсията е крайна само за OS > 2 и като цяло крайният момент на разпределението от k-ти ред съществува за a > k .

Фигура 14.1 използва 8000 проби от известното разпределение на Коши, което има безкрайна средна стойност и дисперсия. Разпределението на Коши е описано по-подробно по-долу. Серията, използвана тук, беше "нормализирана" чрез изваждане на средната стойност и разделяне на стандартното отклонение на извадката. Така всички единици се изразяват в стандартни отклонения. За сравнение използваме 8000 Гаусови случайни променливи, които са нормализирани по подобен начин. Важно е да разберете, че следващите две стъпки винаги ще завършват със средна стойност 0 и стандартно отклонение 1, тъй като са нормализирани към тези стойности. Конвергенцията означава, че времевият ред бързо се придвижва към стабилна стойност.

Тези две добре познати разпределения, разпределението на Коши и нормалното разпределение, имат много приложения. Те са и единствените два члена от семейството на стабилни разпределения, за които функциите на плътност на вероятността могат да бъдат изведени изрично. Във всички други дробни случаи те трябва да бъдат оценени, обикновено чрез числени средства. Ще обсъдим един от тези методи в следващ раздел на тази глава.

В глава 14 разгледахме серийното стандартно отклонение и средната стойност на американския фондов пазар и ги сравнихме с времеви редове, получени от разпределението на Коши. Направихме това, за да видим ефекта от безкрайната вариация и средната стойност върху времевите редове. Серийното стандартно отклонение е стандартното отклонение на времева серия, когато добавяме по едно време

Направете първо приближение на Z до u(o,F), като вземете среднопретеглената стойност на F квантилите на разпределенията на Коши и Гаус.

Таблица A3.2 преобразува резултатите от таблица A3.1 в квантили. За да разберете коя стойност на F обяснява 99 процента от наблюденията за a = 1,0, преместете колоната F надолу вляво до 0,99 и напречно до u = 31,82. Разпределението на Коши изисква наблюдения на 31,82 стойности от средната стойност, за да покрие 99 процента вероятност. Обратно, нормалният случай достига нивото от 99 процента при u=3,29. Това се различава от стандартния нормален случай, който е 2,326 стандартни отклонения, а не 3,29 s.

P(> (nm)1/2Г(n/2) n Когато n = 1, съответното разпределение се нарича разпределение на Коши.

Ако една серия е стационарна в широк смисъл, тогава тя не е непременно строго стационарна. В същото време една строго стационарна серия може да не е стационарна в широк смисъл просто защото може да няма математическо очакване и/или дисперсия. (Във връзка с последното, пример би бил произволна извадка от разпределението на Коши.) Освен това са възможни ситуации, когато горните три условия са изпълнени, но например E(X) зависи от t.

В същото време, в общия случай, дори ако някои случайни променливи X, . .., X са взаимно независими и имат еднакво разпределение, това не означава, че образуват процес на бял шум, т.к. случайната променлива Xt може просто да няма математическо очакване и/или дисперсия (отново можем да посочим разпределението на Коши като пример).

Когато два или повече фактора, например труд и материални активи, участват в процеса на производство на стоки и предоставяне на услуги, както и в последващото формиране на парични постъпления, логичното разпределение на последните между факторите като цяло изглежда невъзможно. Предполага се, че активите, които могат да бъдат използвани, ще бъдат съпоставени с нетни пределни приходи, но размерът на частните пределни приходи може да се окаже по-висок от общите нетни приходи от продажбата на продукти и предоставянето на услуги.

Такива разпределения с дълга опашка, особено в данните на Парето, накараха Леви (1937), френски математик, да формулира обобщената функция на плътността, за която нормалните разпределения, както и разпределенията на Коши бяха специални случаи. Леви използва обобщена версия на централната гранична теорема. Тези разпределения съответстват на голям клас природни явления, но те не са получили много внимание поради техните необичайни и привидно нерешими проблеми. Техните необичайни свойства продължават да ги правят непопулярни, но другите им свойства са толкова близки до нашите резултати от капиталовите пазари, че трябва да ги проучим. В допълнение, установено е, че стабилните разпределения на Леви са полезни при описване на статистическите свойства на турбулентния поток и l/f шума - и те също са фрактални.

Фигура 14.2(a) показва серийното стандартно отклонение за тези две серии. Серийното стандартно отклонение, подобно на серийната средна стойност, е изчисление на стандартното отклонение, тъй като наблюденията се добавят едно по едно. В този случай разликата е още по-фрапираща. Случайният ejad бързо се сближава до стандартно отклонение от 1. Разпределението на Коши, напротив, никога не се сближава. Вместо това се характеризира с няколко големи периодични скока и големи отклонения от нормализираната стойност от 1.

Това е логаритъмът на характеристичната функция за разпределението на Коши, за което е известно, че има безкрайна дисперсия и средна стойност. В този случай 8 става медиана на разпределението, а c става седем-интерквартилен диапазон.

Холт и Роу (1973) откриха функции на плътност на вероятността за a = 0,25 до 2,00 и P, равно на -1,00 до +1,00, и двете с нарастване от 0,25. Използваната от тях методология интерполира между известни разпределения, като разпределение на Коши и нормално разпределение, и интегралното представяне от работата на Золотарев (1964/1966). Подготвени маси за първите

Както обсъдихме в глава 14, изрични изрази за стабилни разпределения съществуват само за специални случаи на нормални разпределения и разпределения на Коши. Въпреки това, Bergstrom (1952) разработи разширение на серията, което Fame and Roll използва за приближаване на плътностите за много стойности на алфа. Когато a > 1.0, те могат да използват резултатите на Bergstrom, за да извлекат следващата конвергентна серия

Материали от Wikipedia - свободната енциклопедия

Разпределение на Коши

Плътност на вероятността Зелената крива съответства на стандартното разпределение на Коши
Разпределителна функция Цветовете са според таблицата по-горе
Обозначаване	$\mathrm(C)(x_0,\gamma)$
Настроики	$x_0$ - коефициент на смяна $\gamma > 0$ - мащабен фактор
Превозвач	$x \in (-\infty; +\infty)$
Плътност на вероятността	$\frac(1)(\pi\gamma\,\ляво)$
Разпределителна функция	$\frac(1)(\pi) \mathrm(arctg)\left(\frac(x-x_0)(\gamma)\right)+\frac(1)(2)$
Очаквана стойност	не съществува
Медиана	$x_0$
Мода	$x_0$
дисперсия	$+\infty$
Коефициент на асиметрия	не съществува
Коефициент на ексцесия	не съществува
Диференциална ентропия	$\ln(4\,\pi\,\гама)$
Пораждаща функция на моментите	неопределен
Характерна функция	$\exp(x_0\,i\,t-\gamma\,$

Определение

Нека разпределението на случайна променлива

х

дадени от плътност

f_X(x)

, имащ формата:

$f_X(x) = \frac(1)(\pi\gamma \left) = ( 1 \over \pi ) \left[ ( \gamma \over (x - x_0)^2 + \gamma^2 ) \right]$ ,

$x_0 \in \mathbb(R)$ - параметър на смяна;
$\gamma > 0$ - параметър на мащаба.

Тогава те казват това $х$ има разпределение на Коши и се записва $X \sim \mathrm(C)(x_0,\gamma)$ . Ако $x_0 = 0$ И $\gamma = 1$ , тогава такова разпределение се нарича стандартенРазпределение на Коши.

Разпределителна функция

F^(-1)_X(x) = x_0 + \gamma\,\mathrm(tg)\,\left[\pi\,\left(x-(1 \over 2)\right)\right].

Това позволява да се генерира извадка от разпределението на Коши, като се използва методът на обратната трансформация.

Моменти

\int\limits_(-\infty)^(\infty)\!x^(\alpha)f_X(x)\, dx

не е дефинирано за $\alpha \geqslant 1$ , нито математическото очакване (въпреки че интегралът на първия момент в смисъла на главната стойност е равен на: $\lim\limits_(c \rightarrow \infty) \int\limits_(-c)^(c) x \cdot ( 1 \over \pi ) \left[ ( \gamma \over (x - x_0)^2 + \ gamma^2 ) \right]\, dx = x_0$ ), не се определят нито дисперсията, нито моментите от по-висок ред на това разпределение. Понякога казват, че математическото очакване е недефинирано, но дисперсията е безкрайна.

Други имоти

Разпределението на Коши е безкрайно делимо.
Разпределението на Коши е стабилно. По-специално, извадковата средна стойност на извадка от стандартно разпределение на Коши сама по себе си има стандартно разпределение на Коши: ако $X_1,\ldots, X_n \sim \mathrm(C)(0,1)$ , Че

\overline(X) = \frac(1)(n) \sum\limits_(i=1)^n X_i \sim \mathrm(C)(0,1)

Връзка с други дистрибуции

Ако $U\sim U$ , Че

x_0 + \gamma\,\mathrm(tg)\,\left[\pi\left(U-(1 \over 2)\right)\right] \sim \mathrm(C)(x_0,\gamma)

Ако $X_1,X_2$ са независими нормални случайни променливи, така че $X_i \sim \mathrm(N)(0,1),\; i=1.2$ , Че

\frac(X_1)(X_2) \sim \mathrm(C)(0,1)

Стандартното разпределение на Коши е специален случай на разпределението на Стюдънт:

\mathrm(C)(0,1) \equiv \mathrm(t)(1)

Поява в практически задачи

Разпределението на Коши характеризира дължината на сегмента, отрязан по оста x на права линия, фиксирана в точка на ординатната ос, ако ъгълът между правата линия и ординатната ос има равномерно разпределение в интервала (−π ; π) (т.е. посоката на правата е изотропна на равнината).
Във физиката разпределението на Коши (наричано също форма на Лоренц) описва профилите на равномерно разширени спектрални линии.
Разпределението на Коши описва амплитудно-честотните характеристики на линейни осцилаторни системи в близост до резонансните честоти.

	ПВероятностни разпределения
	Едномерен	Многоизмерен
Отделен:	Бернули \| Бином \| Геометричен \| Хипергеометричен \| Логаритмична \| Отрицателен бином \| Поасон \| Дискретна униформа	Мултином
Абсолютно непрекъснато:	Бета \| Уейбул \| Гама \| Хиперекспоненциален \| Разпределение на Гомперц \| Колмогоров \| Коши\| Лаплас \| Логнормален \| Нормално (по Гаус) \| Логистика \| Накагами \| Парето \| Пиърсън \| \| Експоненциален \| Дисперсия-гама	Многовариантно нормално \| Копула

Напишете отзив за статията "Разпределение на Коши"

Откъс, характеризиращ разпределението на Коши

Ростов пришпори коня си, извика подофицер Федченка и още двама хусари, заповяда им да го последват и тръгна в тръс надолу по хълма срещу продължаващите писъци. За Ростов беше едновременно страшно и забавно да пътува сам с трима хусари там, в тази загадъчна и опасна мъглива далечина, където никой не е бил преди. Багратион му извика от планината, за да не стига по-далеч от потока, но Ростов се престори, че не е чул думите му, и без да спира, яздеше все по-далеч и по-нататък, постоянно се заблуждаваше, бъркайки храстите с дървета и дупки за хората и непрекъснато обяснява своите измами. Слизайки в тръс по планината, той вече не виждаше нито нашия, нито вражеския огън, но чуваше виковете на французите по-силно и по-ясно. В падината видял пред себе си нещо като река, но когато стигнал до нея, познал пътя, по който минал. Излязъл на пътя, той задържа коня си, нерешителен: да язди по него или да го пресече и да язди нагоре през черно поле. Беше по-безопасно да се кара по пътя, който ставаше по-светъл в мъглата, защото по-лесно се виждаха хора. „Следвайте ме“, каза той, пресече пътя и започна да галопира нагоре по планината, до мястото, където френският пикет беше разположен от вечерта.
- Ваша чест, ето го! - каза един от хусарите отзад.
И преди Ростов да успее да види, че нещо внезапно почерня в мъглата, светна светлина, щракна изстрел и куршумът, сякаш се оплакваше от нещо, избръмча високо в мъглата и излетя далеч от слуха. Другият пистолет не стреля, но на рафта проблесна светлина. Ростов обърна коня си и препусна обратно. Още четири изстрела проехтяха на различни интервали, а куршумите запяха с различни тонове някъде в мъглата. Ростов обузда коня си, който беше весел като него от изстрелите, и язди на крачка. „Добре тогава, добре отново!“ — проговори някакъв весел глас в душата му. Но нямаше повече изстрели.
Точно приближавайки Багратион, Ростов отново пусна коня си в галоп и, държейки ръката си за козирката, се приближи до него.
Долгоруков все още настояваше на мнението си, че французите са се оттеглили и са подложили огъня само за да ни заблудят.
– Какво доказва това? - каза той, когато Ростов се приближи до тях. „Можеха да се оттеглят и да напуснат коловете.
„Очевидно още не всички са заминали, князе“, каза Багратион. – До утре сутринта, утре ще разберем всичко.
„В планината има кол, ваше превъзходителство, все още на същото място, където беше вечерта“, докладва Ростов, навеждайки се напред, държейки ръка за козирката и неспособен да сдържи усмивката на забавление, предизвикана от пътуването му и най-важното - от звуците на куршуми.
— Добре, добре — каза Багратион, — благодаря ви, господин офицер.
— Ваше превъзходителство — каза Ростов, — позволете ми да ви попитам.
- Какво стана?
„Утре нашата ескадрила е назначена в резерв; Позволете ми да ви помоля да ме командировате в 1-ва ескадрила.
- Как е фамилията ти?
- Граф Ростов.
- О добре. Остани с мен като санитар.
– Синът на Иля Андреич? - каза Долгоруков.
Но Ростов не му отговори.
- Така че ще се надявам, Ваше превъзходителство.
– Ще поръчам.
„Утре може би ще изпратят някаква заповед на суверена“, помисли си той. - Бог да благослови".

Писъците и пожарите във вражеската армия са настъпили, защото докато се чете заповедта на Наполеон сред войските, самият император обикаля биваците си на кон. Войниците, като видяха императора, запалиха снопове слама и с викове: vive l "empereur! хукнаха след него. Заповедта на Наполеон беше следната:
„Войници! Руската армия излиза срещу вас, за да отмъсти на австрийската армия от Улм. Това са същите батальони, които победихте при Голабрун и които оттогава постоянно преследвате до това място. Позициите, които заемаме, са мощни и докато се движат да ме фланкират отдясно, те ще изложат фланга ми! Войници! Аз лично ще ръководя вашите батальони. Ще стоя далеч от огъня, ако вие с обичайната си смелост внесете безпорядък и объркване в редиците на врага; но ако победата е под съмнение дори за една минута, ще видите вашия император изложен на първите удари на врага, защото не може да има съмнение в победата, особено в ден, в който честта на френската пехота, която е толкова необходимо за честта на неговата нация, е под въпрос.

РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА КОШИ, вероятностно разпределение на случайна променлива X с плътност

където - ∞< μ < ∞ и λ>0 - параметри. Разпределението на Коши е унимодално и симетрично спрямо точката x = μ, която е модата и медианата на това разпределение [Фигури a и b показват графики на плътността p(x; λ, μ) и съответната функция на разпределение F (x ; λ, μ) за μ =1 ,5 и λ = 1]. Математическото очакване на разпределението на Коши не съществува. Характеристичната функция на разпределението на Коши е равна на e iμt - λ|t| , - ∞< t < ∞. Произвольное Коши распределение с параметрами μ и λ выражается через стандартное Коши распределение с параметрами 0 и 1 формулой

Ако независимите случайни променливи X 1,...,X n имат едно и също разпределение на Коши, тогава тяхното средно аритметично (X 1 + ... + X n)/n за всяко n = 1,2, ... има същото разпределение ; този факт е установен от S. Poisson (1830). Разпределението на Коши е стабилно разпределение. Съотношението X/Y на независими случайни променливи X и Y със стандартно нормално разпределение има разпределение на Коши с параметри 0 и 1. Разпределението на тангенса tan Z на случайна променлива Z с равномерно разпределение в интервала [-π /2, π/2], също има разпределение на Коши с параметри 0 и 1. Разпределението на Коши е разгледано от О. Коши (1853).

Физическа енциклопедия

РАЗПРОСТРАНЕНИЕ НА КОШИ

Разпределение на вероятностите с плътност

и разпределителна функция

Параметър на отместване, >0 - параметър на мащаба. Рецензиран през 1853 г. от О. Коши. Характерна функцияК.р. равно на exp ; моменти на ред Р 1 не съществуват, така че закон на големите числаза К. р. не се изпълнява [ако х 1 ..., X nса независими случайни променливи с еднакви К. р., тогава н -1 (X 1 + ... + X n) има същата К. р.]. Семейство К. б. е затворен при линейни трансформации: ако случайната величина хима разпределение (*), тогава aX+bсъщо има К. р. с параметри,. К.р.- устойчиво разпространениесъс степенна степен 1, симетрична спрямо точката x=. К.р. има, например, отношението X/Yнезависими нормално разпределени случайни променливи с нулеви средни стойности, както и функцията , където случайната променлива Зравномерно разпределени върху . Разглеждат се и многомерни аналози на K. r.

Лит.: Feller V., Въведение в теорията на вероятностите и нейните приложения, прев. от английски, том 2, М., 1984.

- повърхност, която е границата на областта на причинно-следствената предвидимост на физическото. явления в бъдещето в началото. данни, дадени върху определена пространствена триизмерна повърхност...
Физическа енциклопедия
- проблемът за намиране на решение на диференциали. ниво, което удовлетворява началото. условия. Разгледан през 1823-24 г. от О. Коши...
Физическа енциклопедия
- интеграл f-la, изразяващ стойността на аналитичната функция f в точка, разположена вътре в затворен контур, който не съдържа характеристики на f, чрез неговите стойности на този контур: ...
Физическа енциклопедия
- ...
Етнографски термини
- вижте Честота на разпространение...
Медицински термини
- Августин Луи, барон, френски математик, създател на комплексния анализ. Развивайки идеите на EULER, той формализира много концепции на математическото СЧИСЛЕНИЕ...
Научно-технически енциклопедичен речник
- известен френски математик. Първият му учител и възпитател е баща му, страстен латинец и ревностен католик. На 13-годишна възраст Августин К. е назначен в централното училище...
Енциклопедичен речник на Brockhaus и Euphron
— Августин Луи, френски математик, член на Парижката академия на науките. Завършва Политехническото училище и Училището по мостове и пътища в Париж. През 1810-13 работи като инженер в Шербур...
- един от основните проблеми на теорията на диференциалните уравнения, за първи път систематично изследван от О. Коши. Състои се от намиране на решение за...
Велика съветска енциклопедия
- неразделна част от формата...
Велика съветска енциклопедия
- неравенство за крайни суми, имащо формата: ...
Велика съветска енциклопедия
- специален тип вероятностно разпределение на случайни променливи. Въведено от О. Коши; характеризиращ се с плътност p = 0...
Велика съветска енциклопедия
— Августин Луи, френски математик. Един от основателите на теорията на функциите. Работи по теория на диференциалните уравнения, математическа физика, теория на числата, геометрия...
Съвременна енциклопедия
- УРАВНЕНИЯ НА РИМАН - диференциални уравнения с частни производни от 1-ви ред, свързващи реалната и имагинерната част на аналитичната функция на комплексна променлива...
- един от основните проблеми на теорията на диференциалните уравнения. Състои се в намиране на решение на такова уравнение, което да удовлетворява т.нар. начални условия...
Голям енциклопедичен речник
- съществително име, брой синоними: 1 обувки...
Речник на синонимите

"КЕШНО РАЗПРОСТРАНЕНИЕ" в книгите

Разпределение

От книгата Спомени и размисли за отдавнашното минало автор Болибрух Андрей Андреевич

Разпределение Много преди да завърша аспирантура, реших да избера бъдещата си професия, като реших да стана учител по математика в университет. Съвсем съзнателно не исках да отида на работа в който и да е изследователски институт, водейки се от следните две

37. Коши и чакри

От книгата Пранаяма. Пътят към тайните на йога автор Лисбет Андре ван

37. Коша и чакри За да се разбере дълбоко значението на пранаяма във всичките й измерения, което далеч надхвърля чисто физиологичните граници, е необходимо да се познават основните принципи на индийската философия. Смея обаче да уверя западните читатели, че тук те няма да се срещнат

РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА ЧЛЕНОВЕТЕ НА ДРУЖЕСТВОТО. РАЗПРОСТРАНЕНИЕ НА МАТЕРИАЛНИ БЛАГА

От книгата По пътя към свръхобществото автор Зиновиев Александър Александрович

РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА ЧЛЕНОВЕТЕ НА ДРУЖЕСТВОТО. РАЗПРЕДЕЛЕНИЕ НА МАТЕРИАЛНОТО БОГАТСТВО В съвременните големи общества много милиони хора заемат някакво социално положение. Разработи се грандиозна система за обучение на хора, които да заемат тези длъжности - за заместване на отработените

5. Разпределение на Максуел (разпределение на скоростта на газовите молекули) и Болцман

От книгата Медицинска физика автор Подколзина Вера Александровна

5. Разпределение на Максуел (разпределение на скоростта на газовите молекули) и разпределение на Болцман Разпределение на Максуел - в равновесно състояние параметрите на газа (налягане, обем и температура) остават непроменени, но микросъстоянията - относителното разположение на молекулите, техните

Коши

От книгата Енциклопедичен речник (К) автор Brockhaus F.A.

автор на TSB

Разпределение на Коши

TSB

Теорема на Коши

От книгата Велика съветска енциклопедия (КО) на автора TSB

Августин Коши

от Дюран Антонио

Огюстен Коши През първата половина на 19 век най-накрая се формира ясна основа за анализа на безкрайно малките. Решението на този проблем е започнато от Коши и завършено от Вайерщрас. Бернард Болцано също направи значителен принос с работата си върху непрекъснатите функции, която надхвърля

Ойлер, Коши и естетическата стойност на математиката

От книгата Truth in the Limit [Infinitesimal Analysis] от Дюран Антонио

Ойлер, Коши и естетическата стойност на математиката Заслужава си да говорим за естетическия принцип, тъй като, противно на мнението на мнозина, естетиката не само не е чужда на математиката, но и представлява значителна част от нея. Заглавието на тази глава - “The Tamed Infinitesimal” - показва това