Задачи на общинския етап на Всеруската олимпиада. Задачи за общинския етап на Всеруската олимпиада за ученици по математика

Задачи на общинския етап на Всеруската олимпиада за ученици по математика

Горно-Алтайск, 2008 г

Общинският етап на олимпиадата се провежда въз основа на Правилника за Всеруската олимпиада за ученици, одобрен със заповед на Министерството на образованието и науката на Русия от 1 януари 2001 г. № 000.

Етапите на олимпиадата се провеждат по задачи, съставени въз основа на общообразователни програми, изпълнявани на нивата на основно общо и средно (пълно) общо образование.

Критерии за оценяване

Задачите на математическата олимпиада са творчески и позволяват няколко различни решения. Освен това е необходимо да се оцени частичен напредък в задачите (например анализиране на важен случай, доказване на лема, намиране на пример и т.н.). И накрая, възможни са логически и аритметични грешки в решенията. Крайната оценка за задачата трябва да отчита всичко изброено по-горе.

В съответствие с регламента за провеждане на математически олимпиади за ученици всяка задача се оценява със 7 точки.

Съответствието между верността на решението и присъдените точки е показано в таблицата.

Важно е да се отбележи, че всяко правилно решение се оценява със 7 точки. Недопустимо е да се отнемат точки, защото решението е твърде дълго или защото решението на ученика се различава от даденото в методическите разработки или от други решения, известни на журито.

В същото време всеки текст на решение, независимо колко дълъг е, който не съдържа полезни подобрения, трябва да се оценява с 0 точки.

Процедурата за провеждане на общинския етап на олимпиадата

Общинският етап на олимпиадата се провежда в един ден през ноември-декември за ученици 7-11 клас. Препоръчителната продължителност на олимпиадата е 4 часа.

Теми на задачите за училищния и общинския етап на олимпиадата

Олимпиадните задачи на училищния и общинския етап се съставят въз основа на програмите по математика за общообразователните институции. Допуска се и включване на задачи, чиито теми са включени в програмите на училищните кръжоци (факультативи).

По-долу са само онези теми, които се предлагат да се използват при съставяне на опции за задания за ТЕКУЩАТА учебна година.

Списания: “Квант”, “Математика в училище”

Книги и учебни помагала:

, Математически олимпиади на Московска област. Изд. 2-ро, рев. и допълнителни – М.: Физматкнига, 200 с.

, Математика. Всеруски олимпиади. Vol. 1. – М.: Образование, 2008. – 192 с.

, Московска математическа олимпиада. – М.: Образование, 1986. – 303 с.

, Ленинградски математически кръгове. – Киров: Аса, 1994. – 272 с.

Сборник от олимпиадни задачи по математика. – М.: МЦНМО, 2005. – 560 с.

Планиметрични задачи . Изд. 5-та ревизия и допълнителни – М.: МЦНМО, 2006. – 640 с.

, Канел-,Московски математически олимпиади / Изд. . – М.: МЦНМО, 2006. – 456 с.

1. Вместо звездички, заменете израза *+ ** + *** + **** = 3330 с десет различни числа, така че уравнението да е правилно.

2. Бизнесменът Вася започна да търгува. Всяка сутрин той
купува стоки с част от парите, които има (може би с всички пари, които има). След обяда той продава закупената стока на два пъти по-висока цена от тази, която е купил. Как трябва да търгува Вася, така че след 5 дни да има точно рубли, ако първоначално е имал 1000 рубли.

3. Разрежете квадрата 3 х 3 на две части и квадрата 4 х 4 на две части, така че получените четири части да могат да се сгънат в квадрат.

4. Записахме в таблица 2х5 всички естествени числа от 1 до 10. След това изчислихме всеки от сборовете на числата в ред и в колона (общо 7 сбора). Какъв е най-големият брой от тези суми, които могат да бъдат прости числа?

5. За естествено число низчислява сумите на всички двойки съседни цифри (например, за N= 35 207 суми са (8, 7, 2, 7)). Намерете най-малкия н, за които сред тези суми има всички числа от 1 до 9.

8 Клас

1. Вася повдигна естествено число Аповдигна на квадрат, написа резултата на дъската и изтри последните 2005 цифри. Може ли последната цифра от числото, останало на дъската, да е равна на едно?

2. При прегледа на войските на Острова на лъжците и рицарите (лъжците винаги лъжат, рицарите винаги казват истината) лидерът подреди всички воини. Всеки от воините, стоящи в редицата, каза: "Моите съседи в редицата са лъжци." (Воините, стоящи в края на редицата, казаха: „Моят съсед в редицата е лъжец.“) Какъв е най-големият брой рицари, които биха могли да бъдат в редицата, ако 2005 воини излязат за преглед?

3. Продавачът има циферблатна везна за претегляне на захар с две чаши. Везната може да показва тегло от 0 до 5 кг. В този случай захарта може да се постави само върху лявата чаша, а тежестите могат да се поставят върху всяка от двете чаши. Какъв е най-малкият брой теглилки, които продавачът трябва да има, за да претегли каквото и да е количество захар от 0 до 25 kg? Обяснете отговора си.

4. Намерете ъглите на правоъгълен триъгълник, ако е известно, че точката, симетрична на върха на правия ъгъл спрямо хипотенузата, лежи на правата, минаваща през средите на двете страни на триъгълника.

5. Клетките на таблицата 8x8 са боядисани в три цвята. Оказа се, че таблицата няма ъгъл с три клетки, всички клетки на който са с един и същи цвят (ъгъл с три клетки е фигура, получена от квадрат 2x2 чрез премахване на една клетка). Оказа се също, че таблицата няма ъгъл с три клетки, всички клетки на който са в три различни цвята. Докажете, че броят на клетките от всеки цвят е четен.

1. Множество, състоящо се от цели числа а, б, в,заменен с набор a - 1, b + 1, s2. В резултат на това полученият набор съвпадна с оригиналния. Намерете числата a, 6, c, ако знаете, че сборът им е 2005.

2. Вася взе 11 последователни естествени числа и ги умножи. Коля взе същите 11 числа и ги събра. Могат ли последните две цифри от резултата на Вася да съвпаднат с последните две цифри от резултата на Коля?

3. Въз основа на ACтриъгълник ABCвзета точка д.
Докажете, че окръжности, вписани в триъгълници ABDИ CBD, допирните точки не могат да разделят сегмент BDна три равни части.

4. Всяка от точките на равнината е оцветена с една от
три цвята, като се използват и трите цвята. Вярно ли е, че за всяко такова оцветяване е възможно да се избере кръг, върху който има точки и от трите цвята?

5. Куц топ (топ, който може да се движи само хоризонтално или само вертикално точно 1 поле) обиколи дъска с 10 x 10 полета, като посети всяко поле точно веднъж. В първата клетка, където е посетил топът, записваме числото 1, във втората - числото 2, в третата - 3 и т.н. до 100. Може ли да се окаже, че сборът от числата, записани в две съседни клетки от страната се дели на 4 ?

Комбинаторни задачи.

1. Набор, състоящ се от числа а, б, в,заменен с набор a4 - 2b2, b 4- 2с2, с4 - 2а2.В резултат на това полученият набор съвпадна с оригиналния. Намерете числата а, б, в,ако сборът им е равен на -3.

2. Всяка от точките на равнината е оцветена в една от
три цвята, като се използват и трите цвята. вер
но възможно ли е с всяка такава картина да избирате
кръг, съдържащ точки и от трите цвята?

3. Решете уравнението в естествени числа

НОК (a; б) + gcd(a; b) = а б.(НОД - най-голям общ делител, НОК - най-малко общо кратно).

4. Окръжност, вписана в триъгълник ABC, опасения
партии ABИ слънцепо точки дИ Есъответно. Точки
МИ Н-основи на перпендикуляри, спуснати от точки A и C на права линия Е.Ф.. Докажете, че ако страните на триъгълник ABCобразуват аритметична прогресия и AC е средната страна, тогава M.E. + FN = Е.Ф..

5. Клетките на таблица 8x8 съдържат цели числа.
Оказа се, че ако изберете произволни три колони и произволни три реда от таблицата, тогава сумата от деветте числа в пресечната им точка ще бъде равна на нула. Докажете, че всички числа в таблицата са равни на нула.

1. Синусът и косинусът на определен ъгъл се оказаха различни корени на квадратен тричлен ax2 + bx + c.Докажи това б2= a2 + 2ac.

2. За всяка от 8-те секции на куб с ръб а,като триъгълници с върхове в средата на ръбовете на куба, се разглежда пресечната точка на височините на сечението. Намерете обема на полиедър с върхове в тези 8 точки.

3. Нека y =к1 х + b1 , y = к2 х + b2 , y =к3 х + b3 - уравнения на три допирателни към парабола y=x2.Докажете, че ако к3 = к1 + к2 , Че b3 2 (b1 + b2 ).

4. Вася назова естествено число Н.След което Петя
намери сумата от цифрите на числото н, след това сумата от цифрите на числото
N+13н, след това сумата от цифрите на числото N+2 13н, Тогава
сбор от цифри на число N+ 3 13ни т.н. Може ли всеки
следващия път постигни по-добър резултат
предишен?

5. Възможно ли е да начертаете 2005 ненулеви стойности на равнината?
вектори, така че от всеки десет от тях е възможно
изберете три с нулева сума?

РЕШЕНИЯ НА ПРОБЛЕМИ

7 клас

1. Например 5 + 40 + 367 + 2918 = 3330.

2. Един от вариантите е следният. През първите четири дни Вася трябва да купи стоки с всичките си пари. След това след четири дни той ще има рубли (100 На петия ден той трябва да купи стоки за 9000 рубли. Ще му останат 7000 рубли. След обяд той ще продаде стоките в рубли и ще има точно рубли.

3. Отговор.Два възможни примера за рязане са показани на фигури 1 и 2.

Ориз. 1 +

Ориз. 2

4 . Отговор. 6.

Ако всичките 7 суми бяха прости числа, тогава по-специално две суми от 5 числа биха били прости. Всяка от тези суми е по-голяма от 5. Ако и двете от тези суми са прости числа, по-големи от 5, тогава всяка от тези суми ще бъде нечетна (тъй като само 2 е четно просто число). Но ако съберем тези суми, получаваме четно число. Тези два сбора обаче включват всички числа от 1 до 10, а сборът им е 55 - нечетно число. Следователно сред получените суми не повече от 6 ще бъдат прости числа. Фигура 3 показва как да подредите числата в таблицата, за да получите 6 прости суми (в нашия пример всички суми на 2 числа са 11 и.1 + 2 + 3 + 7 + 6 = 19). Коментирайте.За пример без оценка – 3 точки.

Ориз. 3

5. Отговор.N=1

Номер нпоне десетцифрено, тъй като има 9 различни суми. Следователно най-малкото число е десетцифрено и всяка от сумите

1, ..., 9 трябва да се появи точно веднъж. От две десетцифрени числа, които започват с еднакви цифри, по-малкото е това, чиято първа различна цифра е по-малка. Следователно първата цифра на N е 1, втората е 0. Сборът от 1 вече е срещнат, така че най-малката трета цифра е 2 и т.н.

8 Клас

1. Отговор. Тя можеше.

Помислете например за числото A = 1001 нула в края). Тогава

A2 = 1 в края на 2002 г. нула). Ако изтриете последните 2005 цифри, числото 1 ще остане.

2. Отговор. 1003.

Имайте предвид, че двамата воини, стоящи един до друг, не могат да бъдат рицари. Наистина, ако и двамата са били рицари, значи и двамата са лъжали. Нека изберем воина, който стои отляво, и разделим редицата от останалите 2004 воини на 1002 групи от двама воини, стоящи един до друг. Във всяка такава група има не повече от един рицар. Тоест сред разглежданите 2004 воини има не повече от 1002 рицари. Тоест общо в редицата има не повече от 1002 + 1 = 1003 рицари.

Помислете за реда: RLRLR...RLRLR. В такава линия има точно 1003 рицари.

Коментирайте.Ако е даден само отговор, дайте 0 точки, ако е даден само пример, дайте 2 точки.

3. Отговор. Две тежести.

Едно тегло няма да е достатъчно за продавача, тъй като претеглянето на 25 кг захар изисква тегло с тегло най-малко 20 кг. Имайки само такова тегло, продавачът няма да може да претегли например 10 кг захар. Нека покажем, че продавачът се нуждае само от две тежести: една с тегло 5 kg и една с тегло 15 kg. Захарта с тегло от 0 до 5 kg може да се претегля без тежести. За да претеглите от 5 до 10 кг захар, трябва да поставите тежест от 5 кг върху дясната чаша. За да претеглите 10 до 15 kg захар, трябва да поставите тежест от 5 kg върху лявата чаша и тежест от 15 kg върху дясната чаша. За да претеглите 15 до 20 кг захар, трябва да поставите тежест от 15 кг върху дясната чаша. За да претеглите 20 до 25 кг захар, трябва да поставите тежести от 5 кг и 15 кг върху дясната чаша.

4. Отговор. 60°, 30°, 90°.

Този проблем предоставя подробно решение. Права линия, минаваща през средните точки на краката, разделя височината CHнаполовина, така че желаната точка Р MN, Където МИ н- средата на крака и хипотенузата (фиг. 4), т.е. MN- средна линия ABC.

Ориз. 4

Тогава MN || слънце=>P =BCH(като вътрешни напречни ъгли с успоредни прави) => VSN =Н.П.Х. (CHB = PHN = 90°,

CH = RN -покрай страната и остър ъгъл) => VN =Н.Х. => CN= SV= А(в равнобедрен триъгълник надморската височина е ъглополовящата). Но CN- медиана на правоъгълен триъгълник ABC, Ето защо CN = BN(очевидно, ако го опишете около триъгълник ABCкръг) => BCN- равностранен, следователно, б - 60°.

5. Помислете за произволен квадрат 2x2. Не може да съдържа клетки и от трите цвята, тъй като тогава би било възможно да се намери ъгъл с три клетки, всички клетки от който са с три различни цвята. Освен това в този квадрат 2x2 всички клетки не могат да бъдат с един и същи цвят, тъй като тогава би било възможно да се намери ъгъл с три клетки, всички клетки на който са с един и същи цвят. Това означава, че в този квадрат има само две цветни клетки. Обърнете внимание, че в този квадрат не може да има 3 клетки от един и същи цвят, тъй като тогава би било възможно да се намери ъгъл с три клетки, всички клетки от който са с един и същи цвят. Тоест в този квадрат има 2 клетки от два различни цвята.

Нека сега разделим таблицата 8x8 на 16 квадрата 2 x 2. Всеки от тях или няма клетки от първия цвят, или има две клетки от първия цвят. Тоест има четен брой клетки от първия цвят. По същия начин има четен брой клетки от втория и третия цвят.

9 клас

1. Отговор. 1003, 1002, 0.

От факта, че множествата съвпадат, следва равенството a + b + c = a -1 + b + 1 + c2. Получаваме c = c2. Тоест c = 0 или c = 1. Тъй като c = c2 , тогава a - 1 = b, b + 1 = а. Това означава, че са възможни два случая: набор b + 1, b, 0 и b + 1, b, 1. Тъй като сборът на числата в набора е 2005, в първия случай получаваме 2b + 1 = 2005, b = 1002 и множеството 1003, 1002, 0, във втория случай получаваме 2 b + 2 = 2005, б = 1001.5 не е цяло число, т.е. вторият случай е невъзможен. Коментирайте. Ако е даден само отговорът, дайте 0 точки.

2. Отговор. Те биха могли.

Обърнете внимание, че сред 11 последователни естествени числа има две, които се делят на 5, и има две четни числа, така че произведението им завършва с две нули. Нека сега да отбележим това а + (а + 1) + (a + 2) + ... + (a + 10) = (a + 5) 11. Ако вземем, например, а = 95 (т.е. Вася е избрал числата 95, 96, ..., 105), тогава сборът също ще завършва с две нули.

3. Позволявам Д,Е, ДА СЕ,Л, М, Н- допирни точки (фиг. 5).
Нека се преструваме, че DE = Е.Ф. = FB= х.Тогава AK =
= АЛ = а, Б.Л. = БЪДА= 2x, VM =Б.Ф.= x,СМ. = CN = ° С,
DK = DE= x,DN = DF = 2 х=> AB + пр.н.е. = а+ Zx + s =
= A.C., което противоречи на неравенството на триъгълника.

Коментирайте.Това също доказва невъзможността за равенство Б.Ф. = DE. Като цяло, ако за вписан в триъгълник ABDкръг д- точка за контакт и Б.Ф. = DE, Че Е- точката, в която се докосва извънокръжността AABD BD.

Ориз. 5 А К д N C

4. Отговорете.вярно

Апърви цвят и точка IN л. Ако е извън линията л ABC, ГрупаСЪС). И така, извън линията л д) лежи на права линия л АИ д, лаз INИ д, л л

5. Отговорете.Не можеше.

Нека разгледаме шахматното оцветяване на дъска 10 х 10. Обърнете внимание, че от бяло поле куц топ преминава в черно, а от черно поле в бяло. Нека топът започне обикалянето си от бялото поле. Тогава 1 ще бъде в бял квадрат, 2 - в черен, 3 - в бял, ..., 100 - в черен. Тоест белите клетки ще съдържат нечетни числа, а черните ще съдържат четни числа. Но от двете съседни клетки едната е черна, а другата бяла. Тоест сборът от числата, записани в тези клетки, винаги ще бъде нечетен и няма да се дели на 4.

Коментирайте.За „решения“, които разглеждат само пример за някакъв вид заобиколно решение, дайте 0 точки.

10 клас

1. Отговор, a = b = c = - 1.

Тъй като множествата съвпадат, следва, че сумите им съвпадат. Така че a4 - 2b2+ b 4 - 2с2 + с4 - 2а2 = а + b+ c =-3, (a+ (b2- 1)2 + (c= 0. Откъде а2 - 1 = b2 - 1 = c2 - 1 = 0, т.е. a = ±1, b = ±1, с= ± 1. Условие a + b+ s= -3 отговарят само на = b = c =- 1. Остава да проверим дали намерената тройка удовлетворява условията на задачата.

2. Отговор.вярно

Да приемем, че е невъзможно да се избере кръг, който съдържа точки и от трите цвята. Да изберем точка Апърви цвят и точка INвтори цвят и начертайте права линия през тях л. Ако е извън линията лима точка C от третия цвят, след това върху окръжността, описана около триъгълника ABC, има точки и от трите цвята (напр. ГрупаСЪС). И така, извън линията лняма точки от трети цвят. Но тъй като поне една точка от равнината е боядисана в трети цвят, тогава тази точка (да я наречем д) лежи на права линия л. Ако сега разгледаме точките АИ д, тогава по подобен начин може да се покаже, че извън линията лазняма точки от втори цвят. След като разгледа точките INИ д, може да се покаже, че извън линията лняма точки от първия цвят. Тоест извън правата линия лбез цветни точки. Получихме противоречие с условието. Това означава, че можете да изберете кръг, който има точки и от трите цвята.

3. Отговор, а = b = 2.

Нека gcd (a; b) = d. Тогава А= а1 д, b =b1 д, където gcd ( а1 ; b1 ) = 1. Тогава LCM (а; б)= а1 b1 д. Оттук а1 b1 д+d= а1 дb1 д, или а1 b1 + 1 = а1 b1 д. Където а1 b1 (д - 1) = 1. Т.е ал = бл = 1 и д= 2, което означава а= b = 2.

Коментирайте. Друго решение може да се получи чрез използване на равенството LCM (a; b) GCD (a; b) = ab.

Коментирайте. Ако е даден само отговорът, дайте 0 точки.

4. Нека VR- височина на равнобедрения триъгълник FBE (фиг. 6).

Тогава от сходството на триъгълници AME ~ BPE следва, че https://pandia.ru/text/78/390/images/image028_3.gif" width="36 height=31" height="31">.

На 21 февруари в Дома на правителството на Руската федерация се състоя церемонията по връчването на правителствените награди в областта на образованието за 2018 г. Наградите бяха връчени на лауреатите от вицепремиера на Руската федерация Т.А. Голикова.

Сред наградените са и служители на Лабораторията за работа с деца с изявени дарби. Наградата получиха учителите на руския национален отбор в IPhO Виталий Шевченко и Александър Киселев, учителите на руския национален отбор в IJSO Елена Михайловна Снигирева (химия) и Игор Киселев (биология) и ръководителят на руския отбор, зам.-ректор на МФТИ Артьом Анатолиевич Воронов.

Основните постижения, за които екипът получи правителствена награда, бяха 5 златни медала за руския отбор на IPhO-2017 в Индонезия и 6 златни медала за отбора на IJSO-2017 в Холандия. Всеки ученик донесе вкъщи злато!

За първи път толкова висок резултат на Международна олимпиада по физика постига руският отбор. В цялата история на IPhO от 1967 г. нито руският, нито националният отбор на СССР никога не са успели да спечелят пет златни медала.

Сложността на олимпиадните задачи и нивото на подготовка на отбори от други страни непрекъснато нараства. През последните години обаче руският национален отбор е сред петте най-добри отбора в света. За постигане на високи резултати, преподавателите и ръководството на националния отбор усъвършенстват системата за подготовка за международни състезания у нас. Появиха се училища за обучение, където учениците изучават подробно най-трудните раздели от програмата. Активно се създава база данни от експериментални задачи, с чието изпълнение децата се подготвят за експерименталния тур. Провежда се редовна дистанционна работа, като през годината на подготовка децата получават около десет теоретични домашни задачи. Много внимание се обръща на висококачествения превод на условията на задачите на самата олимпиада. Курсовете за обучение се подобряват.

Високите резултати на международните олимпиади са резултат от дългогодишната работа на голям брой учители, служители и студенти на MIPT, лични учители на място и упоритата работа на самите ученици. Освен горепосочените носители на награди, огромен принос за подготовката на националния отбор имаха:

Федор Цибров (създаване на проблеми за квалификационни такси)

Алексей Ноян (експериментално обучение на екипа, разработване на експериментална работилница)

Алексей Алексеев (създаване на квалификационни задачи)

Арсений Пикалов (подготвя теоретични материали и провежда семинари)

Иван Ерофеев (дългогодишна работа във всички области)

Александър Артемьев (проверява домашното)

Никита Семенин (създаване на квалификационни задачи)

Андрей Песков (разработване и създаване на експериментални инсталации)

Глеб Кузнецов (експериментална подготовка на националния отбор)

8 КЛАС

УЧИЛИЩНИ ЗАДАЧИ

ВСЯ РУСКА ОЛИМПИАДА ЗА УЧИТЕЛНИЦИ ПО СОЦИАЛНИ ИЗУЧЕНИЯ

ПЪЛНО ИМЕ. студент _____________________________________________________________________

Дата на раждане __________________________ Клас ____,__ Дата “_____” ______20__

Резултат (макс. 100 точки) _________

Упражнение 1. Изберете верният отговор:

Златното правило на морала гласи:

1) „Око за око, зъб за зъб“;

2) „Не си правете идол“;

3) „Отнасяйте се с хората така, както искате да се отнасят с вас“;

4) „Почитай баща си и майка си.“

Отговор: ___

Задача 2. Изберете верният отговор:

Способността на едно лице чрез действията си да придобива и упражнява права и задължения се нарича: 1) правоспособност; 2) правоспособност; 3) еманципация; 4) социализация.

Отговор: ___

(За верен отговор - 2 точки)

Задача 3. Изберете верният отговор:

В Руската федерация има най-висока юридическа сила в системата от нормативни актове

1) Укази на президента на Руската федерация 3) Наказателен кодекс на Руската федерация

2) Конституция на Руската федерация 4) Резолюции на правителството на Руската федерация

Отговор: ___

(За верен отговор - 2 точки)

Задача 4. Един учен трябва да пише правилно понятия и термини. Попълнете правилната буква(и) на мястото на празните места.

1. Pr…v…legia – предимство, предоставено на някого.

2. Д...в...ден... – доход, изплатен на акционерите.

3. Т...л...т...ност - толерантност към чуждото мнение.

Задача 5. Попълнете празното място в реда.

1. Клан, …….., националност, нация.

2. Християнство, ………, будизъм.

3. Производство, разпространение, ………, потребление.

Задача 6. По какъв принцип са оформени редовете? Назовете общото за термините по-долу понятие, което ги обединява.

1. Върховенство на закона, разделение на властите, гарантиране на правата и свободите на човека

2.Мярка за стойност, средства за съхранение, средства за плащане.

3. Обичай, прецедент, закон.

1. ________________________________________________________

2.________________________________________________________

3.________________________________________________________

Задача 7. Отговорете с да или не:

1) Човекът по природа е биосоциално същество.

2) Комуникацията се отнася само до обмен на информация.

3) Всеки човек е индивидуален.

4) В Руската федерация гражданинът получава пълния набор от права и свободи от 14-годишна възраст.

5) Всеки човек се ражда като индивид.

6) Руският парламент (Федералното събрание) се състои от две камари.

7) Обществото е саморазвиваща се система.

8) При невъзможност за лично участие в избори се допуска издаване на пълномощно на друго лице с цел гласуване за кандидата, посочен в пълномощното.

9) Ходът на историческото развитие е противоречив: в него могат да се открият както прогресивни, така и регресивни промени.

10) Индивид, личност, индивидуалност са понятия, които не са тъждествени.

За един верен отговор – 2 точки (максимален резултат – 8).

КЛЮЧОВЕ КЪМ ЗАДАЧИТЕ

Упражнение 1 ( За верен отговор - 2 точки)

Задача 2 ( За верен отговор - 2 точки)

Задача 3 ( За верен отговор - 2 точки)

Задача 4 ( За правилно посочена буква – 1 точка. Максимум – 8 точки)

1. Привилегия. 2. Дивидент. 3. Толерантност

Задача 5 ( За всеки верен отговор – 3 точки. Максимум – 9 точки)

1. Племе. 2. Ислям. 3. Размяна.

Задача 6 ( За всеки верен отговор – 4 точки. Максимум – 12 точки)

1. Признаци на правова държава

2. Функции на парите

3. Източници на правото.

Задача 7 2 точки за всеки верен отговор. (Максимум за задачата – 20 точки)