Изчисляваме сумата от ъгли и площ на паралелограма: свойства и характеристики. Дефиниция на успоредник и неговите свойства Доказателство за свойствата на противоположните страни и ъгли на успоредник

Тема на урока

• Свойства на диагоналите на успоредник.

Цели на урока

• Запознайте се с нови дефиниции и си припомнете някои вече изучени.
• Посочете и докажете свойството на диагоналите на успоредник.
• Научете се да прилагате свойствата на формите при решаване на задачи.
• Развитие - развива вниманието, постоянството, постоянството, логическото мислене, математическата реч на учениците.
• Образователни - чрез урока култивирайте внимателно отношение един към друг, внушавайте способността да слушате другарите, взаимопомощта и независимостта.

Цели на урока

• Проверете уменията на учениците за решаване на проблеми.

План на урока

1. Въведение.
2. Повторение на предварително изучен материал.
3. Успоредник, неговите свойства и характеристики.
4. Примерни задачи.
5. Самопроверка.

Въведение

„Голямото научно откритие дава решение на голям проблем, но в решението на всеки проблем има зрънце откритие.“

Свойство на противоположните страни на успоредник

Паралелограмът има противоположни страни, които са равни.

Доказателство.

Нека ABCD е дадения успоредник. И нека неговите диагонали се пресичат в точка O.
Тъй като Δ AOB = Δ COD по първия критерий за равенство на триъгълниците (∠ AOB = ∠ COD, като вертикални, AO=OC, DO=OB, по свойството на диагоналите на успоредник), то AB=CD. По същия начин от равенството на триъгълници BOC и DOA следва, че BC = DA. Теоремата е доказана.

Свойство на противоположни ъгли на успоредник

В успоредника срещуположните ъгли са равни.

Доказателство.

Нека ABCD е дадения успоредник. И нека неговите диагонали се пресичат в точка O.
От доказаното в теоремата за свойствата на срещуположните страни на успоредник Δ ABC = Δ CDA от три страни (AB=CD, BC=DA от доказаното, AC – общо). От равенството на триъгълниците следва, че ∠ ABC = ∠ CDA.
Доказано е също, че ∠ DAB = ∠ BCD, което следва от ∠ ABD = ∠ CDB. Теоремата е доказана.

Свойство на диагоналите на успоредник

Диагоналите на успоредник се пресичат и се разделят наполовина в точката на пресичане.

Доказателство.

Нека ABCD е дадения успоредник. Нека начертаем диагонала AC. Нека отбележим върху него средата O. В продължението на отсечката DO ще оставим настрана отсечката OB 1, равна на DO.
По предходната теорема AB 1 CD е успоредник. Следователно правата AB 1 е успоредна на DC. Но през точка А може да се начертае само една права, успоредна на DC. Това означава, че права AB 1 съвпада с права AB.
Доказано е също, че BC 1 съвпада с BC. Това означава, че точка C съвпада с C 1. успоредник ABCD съвпада с успоредник AB 1 CD. Следователно диагоналите на успоредника се пресичат и се разполовяват в точката на пресичане. Теоремата е доказана.

В учебниците за редовните училища (например в Погорелово) се доказва така: диагоналите разделят успоредник на 4 триъгълника. Нека разгледаме една двойка и разберем - те са равни: техните основи са противоположни страни, съответните ъгли, съседни на нея, са равни, като вертикални ъгли с успоредни прави. Тоест сегментите на диагоналите са равни по двойки. Всичко.

Това ли е всичко?
По-горе беше доказано, че пресечната точка разполовява диагоналите - ако съществува. Горните разсъждения по никакъв начин не доказват самото му съществуване. Тоест, част от теоремата „диагоналите на успоредник се пресичат“ остава недоказана.

Смешното е, че тази част е много по-трудна за доказване. Това следва, между другото, от по-общ резултат: всеки изпъкнал четириъгълник ще има пресичащи се диагонали, но всеки неизпъкнал четириъгълник няма.

За равенството на триъгълници по една страна и два съседни ъгъла (вторият знак за равенство на триъгълници) и др.

Талес намери важно практическо приложение на теоремата за равенството на два триъгълника по една страна и два съседни ъгъла. В пристанището на Милет е построен далекомер за определяне на разстоянието до кораб в морето. Състои се от три забити колчета A, B и C (AB = BC) и отбелязана права линия SC, перпендикулярна на CA. Когато кораб се появи на правата SK, намерихме точка D така, че точките D, .B и E бяха на една и съща права линия. Както става ясно от чертежа, разстоянието CD на земята е желаното разстояние до кораба.

Въпроси

1. Разделят ли се диагоналите на квадрат наполовина от пресечната точка?
   
2. Равни ли са диагоналите на успоредник?
3. Равни ли са противоположните ъгли на успоредник?
4. Дайте дефиницията на успоредник?
5. Колко знака има успоредник?
   
6. Може ли ромбът да бъде успоредник?
   

Списък на използваните източници

1. Кузнецов А.В., учител по математика (5-9 клас), Киев
2. „Единен държавен изпит 2006 г. Математика. Образователни и обучителни материали за подготовка на студенти / Rosobrnadzor, ISOP - M .: Intellect-Center, 2006"
3. Мазур К. И. „Решаване на основните състезателни проблеми по математика на колекцията, редактирана от М. И. Сканави“
4. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, И. И. Юдина „Геометрия, 7 – 9: учебник за образователни институции“

Работихме върху урока

Кузнецов А.В.

Потурнак С.А.

Евгений Петров

Можете да повдигнете въпрос за съвременното образование, да изразите идея или да разрешите наболял проблем на Образователен форум, където образователен съвет от свежи мисли и действия се събира в международен план. След като създаде блог,Вие не само ще подобрите статуса си на компетентен учител, но и ще допринесете значително за развитието на училището на бъдещето. Гилдия на образователните лидериотваря врати за високопоставени специалисти и ги кани да си сътрудничат в създаването на най-добрите училища в света.

Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки. Това определение вече е достатъчно, тъй като останалите свойства на успоредника следват от него и се доказват под формата на теореми.

Основните свойства на успоредника са:

• успоредникът е изпъкнал четириъгълник;
• Паралелограмът има противоположни страни, които са равни по двойки;
• В успоредник противоположните ъгли са равни по двойки;
• Диагоналите на успоредника са разделени наполовина от пресечната точка.

Успоредник - изпъкнал четириъгълник

Нека първо докажем теоремата, че успоредникът е изпъкнал четириъгълник. Многоъгълникът е изпъкнал, ако която и страна от него да е удължена до права линия, всички останали страни на многоъгълника ще бъдат от същата страна на тази права линия.

Нека е даден успоредник ABCD, в който AB е противоположната страна на CD, а BC е противоположната страна на AD. Тогава от определението за успоредник следва, че AB || CD, BC || от н.е.

Успоредните отсечки нямат общи точки и не се пресичат. Това означава, че CD лежи от едната страна на AB. Тъй като отсечката BC свързва точка B от отсечката AB с точка C от отсечката CD, а отсечката AD свързва други точки AB и CD, отсечките BC и AD също лежат от същата страна на правата AB, където лежи CD. Така и трите страни - CD, BC, AD - лежат на една и съща страна на AB.

По същия начин се доказва, че по отношение на другите страни на успоредника другите три страни лежат на една и съща страна.

Противоположните страни и ъгли са равни

Едно от свойствата на успоредника е това В успоредник противоположните страни и противоположните ъгли са равни по двойки. Например, ако е даден успоредник ABCD, тогава той има AB = CD, AD = BC, ∠A = ∠C, ∠B = ∠D. Тази теорема се доказва по следния начин.

Успоредникът е четириъгълник. Това означава, че има два диагонала. Тъй като паралелограмът е изпъкнал четириъгълник, всеки от тях го разделя на два триъгълника. В успоредника ABCD разгледайте триъгълниците ABC и ADC, получени от начертаването на диагонала AC.

Тези триъгълници имат една обща страна - AC. Ъгъл BCA е равен на ъгъл CAD, както и вертикален, когато BC и AD са успоредни. Ъглите BAC и ACD също са равни на вертикалните ъгли, когато AB и CD са успоредни. Следователно ∆ABC = ∆ADC при два ъгъла и страната между тях.

В тези триъгълници страната AB съответства на страната CD, а страната BC съответства на AD. Следователно AB = CD и BC = AD.

Ъгъл B съответства на ъгъл D, т.е. ∠B = ∠D. Ъгъл A на успоредник е сборът от два ъгъла - ∠BAC и ∠CAD. Ъгъл C е равен на ∠BCA и ∠ACD. Тъй като двойки ъгли са равни един на друг, тогава ∠A = ∠C.

По този начин се доказва, че в успоредник противоположните страни и ъгли са равни.

Диагоналите са разделени наполовина

Тъй като успоредникът е изпъкнал четириъгълник, той има два диагонала и те се пресичат. Нека е даден успоредник ABCD, неговите диагонали AC и BD се пресичат в точка E. Да разгледаме образуваните от тях триъгълници ABE и CDE.

Тези триъгълници имат страни AB и CD, равни на противоположните страни на успоредник. Ъгъл ABE е равен на ъгъл CDE като лежи напречно на успоредни прави AB и CD. По същата причина ∠BAE = ∠DCE. Това означава ∆ABE = ∆CDE при два ъгъла и страната между тях.

Можете също така да забележите, че ъглите AEB и CED са вертикални и следователно също са равни един на друг.

Тъй като триъгълниците ABE и CDE са равни един на друг, тогава всичките им съответни елементи са равни. Страната AE на първия триъгълник съответства на страната CE на втория, което означава AE = CE. По същия начин BE = DE. Всяка двойка равни сегменти представлява диагонал на успоредник. Така се доказва, че Диагоналите на успоредник се делят наполовина от тяхната пресечна точка.

Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са успоредни, тоест лежат на успоредни прави (фиг. 1).

Теорема 1. За свойствата на страните и ъглите на успоредник.В успоредник противоположните страни са равни, противоположните ъгли са равни и сборът от ъглите, съседни на едната страна на успоредника, е 180°.

Доказателство. В този успоредник ABCD начертаваме диагонал AC и получаваме два триъгълника ABC и ADC (фиг. 2).

Тези триъгълници са равни, тъй като ∠ 1 = ∠ 4, ∠ 2 = ∠ 3 (напречни ъгли за успоредни прави), а страната AC е обща. От равенството Δ ABC = Δ ADC следва, че AB = CD, BC = AD, ∠ B = ∠ D. Сумата от ъглите, съседни на едната страна, например ъглите A и D, е равна на 180° като едностранни за успоредни прави. Теоремата е доказана.

Коментирайте. Равенството на противоположните страни на успоредник означава, че сегментите на паралелите, отрязани от успоредни, са равни.

Следствие 1. Ако две прави са успоредни, тогава всички точки на една права са на еднакво разстояние от другата права.

Доказателство. Наистина, нека || b (фиг. 3).

Нека начертаем перпендикуляри BA и CD на права a от някои две точки B и C на права b. Тъй като AB || CD, тогава фигурата ABCD е успоредник и следователно AB = CD.

Разстоянието между две успоредни прави е разстоянието от произволна точка на едната права до другата права.

Според доказаното тя е равна на дължината на перпендикуляра, прекаран от някаква точка на една от успоредните прави към другата права.

Пример 1.Периметърът на успоредника е 122 см. Едната му страна е с 25 см по-голяма от другата.Намерете страните на успоредника.

Решение. Според теорема 1 срещуположните страни на успоредник са равни. Нека означим едната страна на успоредника с x, а другата с y. След това, по условие $$\left\(\begin(matrix) 2x + 2y = 122 \\x - y = 25 \end(matrix)\right.$$ Решавайки тази система, получаваме x = 43, y = 18 Така страните на успоредника са 18, 43, 18 и 43 cm.

Пример 2.

Решение. Нека фигура 4 отговаря на условията на задачата.

Нека означим AB с x, а BC с y. Според условието периметърът на успоредника е 10 см, т.е. 2(x + y) = 10, или x + y = 5. Периметърът на триъгълник ABD е 8 см. И тъй като AB + AD = x + y = 5 след това BD = 8 - 5 = 3. Така че BD = 3 cm.

Пример 3.Намерете ъглите на успоредника, като знаете, че единият от тях е с 50° по-голям от другия.

Решение. Нека фигура 5 отговаря на условията на задачата.

Нека означим градусната мярка на ъгъл A с x. Тогава градусната мярка на ъгъл D е x + 50°.

Ъгли BAD и ADC са едностранни вътрешни ъгли с успоредни прави AB и DC и секуща AD. Тогава сумата от тези именувани ъгли ще бъде 180°, т.е.
x + x + 50° = 180°, или x = 65°. Така ∠ A = ∠ C = 65°, a ∠ B = ∠ D = 115°.

Пример 4.Страните на успоредника са 4,5 dm и 1,2 dm. От върха на остър ъгъл е начертана ъглополовяща. На какви части разделя по-голямата страна на успоредника?

Решение. Нека фигура 6 отговаря на условията на задачата.

AE е ъглополовяща на остър ъгъл на успоредник. Следователно ∠ 1 = ∠ 2.

Успоредникът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни по двойки. Площта на успоредника е равна на произведението на неговата основа (a) и височина (h). Можете също да намерите неговата площ през две страни и ъгъл и през диагонали.

Свойства на успоредник

1. Противоположните страни са еднакви

Първо, нека начертаем диагонала \(AC\) . Получаваме два триъгълника: \(ABC\) и \(ADC\).

Тъй като \(ABCD\) е успоредник, следното е вярно:

\(AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2\)като лежане на кръст.

\(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4\)като лежане на кръст.

Следователно (според втория критерий: и \(AC\) е общ).

А това означава \(\триъгълник ABC = \триъгълник ADC\), след това \(AB = CD\) и \(AD = BC\) .

2. Срещуположните ъгли са еднакви

Според доказателството свойства 1Ние знаем това \(\ъгъл 1 = \ъгъл 2, \ъгъл 3 = \ъгъл 4\). Така сумата от противоположните ъгли е: \(\ъгъл 1 + \ъгъл 3 = \ъгъл 2 + \ъгъл 4\). Като се има предвид това \(\триъгълник ABC = \триъгълник ADC\)получаваме \(\ъгъл A = \ъгъл C \) , \(\ъгъл B = \ъгъл D \) .

3. Диагоналите са разделени наполовина от пресечната точка

от собственост 1знаем, че противоположните страни са идентични: \(AB = CD\) . Още веднъж обърнете внимание на кръстосано разположените равни ъгли.

Така става ясно, че \(\триъгълник AOB = \триъгълник COD\)според втория знак за равенство на триъгълниците (два ъгъла и страната между тях). Тоест \(BO = OD\) (срещу ъглите \(\ъгъл 2\) и \(\ъгъл 1\) ) и \(AO = OC\) (срещу ъглите \(\ъгъл 3\) и \( \ъгъл 4\) съответно).

Признаци на успоредник

Ако във вашия проблем присъства само една характеристика, тогава фигурата е успоредник и можете да използвате всички свойства на тази фигура.

За по-добро запаметяване имайте предвид, че знакът за успоредник ще отговори на следния въпрос - "как да разбера?". Тоест как да разберете, че дадена фигура е успоредник.

1. Успоредникът е четириъгълник, чиито две страни са равни и успоредни

\(AB = CD\) ; \(AB || CD \Rightarrow ABCD\)- успоредник.

Нека да разгледаме по-отблизо. Защо \(AD || BC \)?

\(\триъгълник ABC = \триъгълник ADC\)от собственост 1: \(AB = CD \) , \(\ъгъл 1 = \ъгъл 2 \), лежащ на кръст, когато \(AB \) и \(CD \) и секущата \(AC \) са успоредни.

Но ако \(\триъгълник ABC = \триъгълник ADC\), тогава \(\ъгъл 3 = \ъгъл 4 \) (лежат срещу \(AD || BC \) (\(\ъгъл 3 \) и \(\ъгъл 4 \) - тези, които лежат напречно, също са равни).

Първият знак е правилен.

2. Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са равни

\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) е успоредник.

Нека разгледаме този знак. Нека начертаем отново диагонала \(AC\).

от собственост 1\(\триъгълник ABC = \триъгълник ACD\).

Следва, че: \(\ъгъл 1 = \ъгъл 2 \Rightarrow AD || BC \)И \(\ъгъл 3 = \ъгъл 4 \Дясна стрелка AB || CD \), тоест \(ABCD\) е успоредник.

Вторият знак е правилен.

3. Успоредник е четириъгълник, чиито срещуположни ъгли са равни

\(\ъгъл A = \ъгъл C\) , \(\ъгъл B = \ъгъл D \дясна стрелка ABCD\)- успоредник.

\(2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ) \)(тъй като \(\ъгъл A = \ъгъл C\) , \(\ъгъл B = \ъгъл D\) по условие).

Оказва се, . Но \(\alpha \) и \(\beta \) са вътрешни едностранни при секанса \(AB \) .

И какво \(\alpha + \beta = 180^(\circ) \)също казва, че \(AD || BC \) .

Доказателство

Първо, нека начертаем диагонала AC. Получаваме два триъгълника: ABC и ADC.

Тъй като ABCD е успоредник, вярно е следното:

AD || BC \Дясна стрелка \ъгъл 1 = \ъгъл 2като лежане на кръст.

AB || CD\дясна стрелка\ъгъл3 =\ъгъл 4като лежане на кръст.

Следователно \триъгълник ABC = \триъгълник ADC (според втория критерий: и AC е общ).

И следователно \триъгълник ABC = \триъгълник ADC, тогава AB = CD и AD = BC.

Доказано!

2. Срещуположните ъгли са еднакви.

Доказателство

Според доказателството свойства 1Ние знаем това \ъгъл 1 = \ъгъл 2, \ъгъл 3 = \ъгъл 4. Така сумата от противоположните ъгли е: \ъгъл 1 + \ъгъл 3 = \ъгъл 2 + \ъгъл 4. Като се има предвид, че \триъгълник ABC = \триъгълник ADC получаваме \ъгъл A = \ъгъл C , \ъгъл B = \ъгъл D .

Доказано!

3. Диагоналите са разделени наполовина от пресечната точка.

Доказателство

Нека начертаем друг диагонал.

от собственост 1знаем, че противоположните страни са еднакви: AB = CD. Още веднъж обърнете внимание на кръстосано разположените равни ъгли.

Така е ясно, че \триъгълник AOB = \триъгълник COD според втория критерий за равенство на триъгълниците (два ъгъла и страната между тях). Тоест BO = OD (срещу ъглите \ъгъл 2 и \ъгъл 1) и AO = OC (срещу ъглите \ъгъл 3 и \ъгъл 4, съответно).

Доказано!

Признаци на успоредник

Ако във вашия проблем присъства само една характеристика, тогава фигурата е успоредник и можете да използвате всички свойства на тази фигура.

За по-добро запаметяване имайте предвид, че знакът за успоредник ще отговори на следния въпрос - "как да разбера?". Тоест как да разберете, че дадена фигура е успоредник.

1. Успоредникът е четириъгълник, чиито две страни са равни и успоредни.

AB = CD; AB || CD\Rightarrow ABCD е успоредник.

Доказателство

Нека да разгледаме по-отблизо. Защо AD || пр. н. е.?

\триъгълник ABC = \триъгълник ADC по собственост 1: AB = CD, AC - общ и \ъгъл 1 = \ъгъл 2, лежащ на кръст с успоредници AB и CD и секуща AC.

Но ако \триъгълник ABC = \триъгълник ADC , тогава \ъгъл 3 = \ъгъл 4 (лежат съответно срещу AB и CD). И следователно AD || BC (\ъгъл 3 и \ъгъл 4 - тези, които лежат на кръст също са равни).

Първият знак е правилен.

2. Успоредникът е четириъгълник, чиито срещуположни страни са равни.

AB = CD, AD = BC \Rightarrow ABCD е успоредник.

Доказателство

Нека разгледаме този знак. Нека начертаем отново диагонала AC.

от собственост 1\триъгълник ABC = \триъгълник ACD .

Следва, че: \ъгъл 1 = \ъгъл 2 \дясна стрелка AD || пр.н.е.И \ъгъл 3 = \ъгъл 4 \дясна стрелка AB || CD, тоест ABCD е успоредник.

Вторият знак е правилен.

3. Успоредник е четириъгълник, чиито срещуположни ъгли са равни.

\ъгъл A = \ъгъл C , \ъгъл B = \ъгъл D \дясна стрелка ABCD- успоредник.

Доказателство

2 \alpha + 2 \beta = 360^(\circ)(тъй като ABCD е четириъгълник и \ъгъл A = \ъгъл C , \ъгъл B = \ъгъл D по условие).

Оказва се, че \alpha + \beta = 180^(\circ) . Но \alpha и \beta са вътрешни едностранни при секущата AB.

И фактът, че \alpha + \beta = 180^(\circ) също означава, че AD || пр.н.е.

Освен това \alpha и \beta са вътрешни едностранни при секущата AD . И това означава AB || CD.

Третият знак е правилен.

4. Успоредникът е четириъгълник, чиито диагонали са разделени наполовина от точката на пресичане.

AO = OC; BO = OD\успоредник със стрелка надясно.

Доказателство

BO = OD; AO = OC , \ъгъл 1 = \ъгъл 2 като вертикала \Стрелка надясно \триъгълник AOB = \триъгълник COD, \Дясна стрелка \ъгъл 3 = \ъгъл 4и \Rightarrow AB || CD.

По подобен начин BO = OD; AO = OC, \angle 5 = \angle 6 \Rightarrow \triangle AOD = \triangle BOC \Rightarrow \angle 7 = \angle 8и \Rightarrow AD || пр.н.е.

Четвъртият знак е правилен.