Изчисляване на граници на функция с подробно решение. Граница на последователност и функция

Решаване на задачи за намиране на граници Когато решавате задачи за намиране на граници, трябва да запомните някои граници, за да не ги изчислявате отново всеки път. Комбинирайки тези известни граници, ще намерим нови граници, използвайки свойствата, посочени в § 4. За удобство представяме най-често срещаните граници: Граници 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X->o\X\ 5 lim sin*- l X -о X 6 lim f(x) = f(a), ако f (x) е непрекъсната x a Ако е известно, че функцията е непрекъсната, тогава вместо да намираме границата, изчисляваме стойността на функцията. Пример 1. Намерете lim (x*-6l:+ 8). Тъй като многочленната функция X->2 е непрекъсната, тогава lim (x*-6x4- 8) = 2*-6-2 + 8 = 4. x-+2 x*_2x 4-1 Пример 2. Намерете лим -G. . Първо, намираме границата на знаменателя: lim [xr-\-bx)= 12 + 5-1 =6; не е равно на X-Y1 нула, което означава, че можем да приложим свойство 4 § 4, тогава x™i *" + &* ~~ lim (x2 bx) - 12 + 5-1 ""6 1. Границата на знаменателят X X е равен на нула, следователно не може да се приложи свойство 4 от § 4. Тъй като числителят е постоянно число, а знаменателят [x2x) -> -0 за x - - 1, тогава цялата дроб нараства неограничено в абсолютна стойност, т.е. lim " 1 X - * - - 1 x* + x Пример 4. Намерете lim\-ll*"!"" "Ограничението на знаменателя е нула: lim (xr-6lg+ 8) = 2*- 6-2 + 8 = 0, така че свойство X 4 § 4 не е приложимо. Но границата на числителя също е равна на нула: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2-f 6 = 0. Така че границите на числителя и знаменателя са едновременно равни на нула. Въпреки това, числото 2 е корен както на числителя, така и на знаменателя, така че дробта може да бъде намалена с разликата x-2 (според теоремата на Bezout). Всъщност, x*-5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x"-6x + 8~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" следователно, xr- - f- 6 g x-3 -1 1 Пример 5. Намерете lim xn (n цяло число, положително). X с Имаме xn = X* X . . X, n пъти Тъй като всеки фактор расте без ограничение, продуктът също расте без ограничение, т.е. lim xn = oo. x oo Пример 6. Намерете lim xn(n цяло число, положително). X -> - CO Имаме xn = x x... x. Тъй като всеки фактор нараства като абсолютна стойност, като остава отрицателен, тогава в случай на четна степен продуктът ще расте неограничено, докато остава положителен, т.е. lim *n = + oo (за четно n). *-* -о При нечетна степен абсолютната стойност на произведението нараства, но остава отрицателна, т.е. lim xn = - oo (за n нечетно). p -- 00 Пример 7. Намерете lim . x x-*- co * Ако m>pu тогава можем да запишем: m = n + kt където k>0. Следователно xm b lim -=- = lim -=-= lim x. НАГОРЕ Yn x - x> A x yu Стигнахме до пример 6. Ако ti uTL xm I lim lim lim t. X - O x -* yu A X -> co Тук числителят остава постоянен, а знаменателят нараства в абсолютна стойност, така че lim -ь = 0. X - *oo X* Препоръчително е да запомните резултата от този пример в следната форма: Степенната функция расте толкова по-бързо, колкото по-голям е показателят. $хв_Зхг + 7 Пример 8. Намерете lim g L -г-=. В този пример x-*® «J* "Г bХ -ох-о и числителят и знаменателят нарастват неограничено. Нека разделим и числителя, и знаменател на най-високата степен на x, т.е. върху xb, тогава 3 7_ Пример 9. Намерете лира... Извършвайки трансформации, получаваме лира... ^ = lim X CO + 3 7 3 Тъй като lim -5 = 0, lim - , = 0 , тогава границата на знаменателя rad-*® X X-+-CD X е нула, докато границата на числителя е 1. Следователно, цялата дроб нараства без ограничение, т.е. t. 7x hm X-+ yu Пример 10. Намерете lim. Нека изчислим границата S на знаменателя, като помним, че cos*-функцията е непрекъсната: lira (2 + cos x) = 2 + cosy = 2. Тогава x->- S lim (l-fsin*) Пример 15. Намерете lim *<*-e>2 и lim e "(X"a)\ Polo X-+ ± co X ± CO press (l: - a)2 = z; тъй като (Λ;-a)2 винаги нараства неотрицателно и неограничено с x, тогава за x - ±oo новата променлива z-*oc. Следователно получаваме qt £<*-«)* = X ->± 00 s=lim ег = oo (виж забележка към §5). g -*■ co По подобен начин lim e~(X-a)2 = lim e~z=Q, тъй като x ± oo g m - (x- a)z намалява без ограничение като x ->±oo (вижте бележката към §

Ограниченията създават много проблеми на всички студенти по математика. За да разрешите ограничение, понякога трябва да използвате много трикове и да изберете от различни методи за решение точно този, който е подходящ за конкретен пример.

В тази статия няма да ви помогнем да разберете границите на вашите възможности или да разберете границите на контрола, но ще се опитаме да отговорим на въпроса: как да разберете границите във висшата математика? Разбирането идва с опит, така че в същото време ще дадем няколко подробни примера за решаване на граници с обяснения.

Понятието граница в математиката

Първият въпрос е: каква е тази граница и границата на какво? Можем да говорим за граници на числови последователности и функции. Интересуваме се от понятието граница на функция, тъй като това е, с което студентите най-често се сблъскват. Но първо, най-общата дефиниция на лимит:

Да кажем, че има някаква променлива стойност. Ако тази стойност в процеса на промяна неограничено се доближава до определено число а , Че а – границата на тази стойност.

За функция, дефинирана в определен интервал f(x)=y такова число се нарича граница А , към което функцията клони, когато х , клонящи към определена точка А . Точка А принадлежи на интервала, на който е дефинирана функцията.

Звучи тромаво, но е написано много просто:

Лим- от английски лимит- лимит.

Има и геометрично обяснение за определяне на границата, но тук няма да се задълбочаваме в теорията, тъй като се интересуваме повече от практическата, а не от теоретичната страна на въпроса. Когато казваме това х клони към някаква стойност, това означава, че променливата не приема стойността на число, а се приближава безкрайно близо до нея.

Да дадем конкретен пример. Задачата е да се намери границата.

За да решим този пример, заместваме стойността х=3 във функция. Получаваме:

Между другото, ако се интересувате, прочетете отделна статия по тази тема.

В примери х може да клони към всяка стойност. Може да бъде произволно число или безкрайност. Ето един пример кога х клони към безкрайност:

Интуитивно, колкото по-голямо е числото в знаменателя, толкова по-малка стойност ще приеме функцията. И така, с неограничен растеж х значение 1/x ще намалява и ще се доближава до нула.

Както можете да видите, за да разрешите границата, просто трябва да замените стойността, към която да се стремите, във функцията х . Това обаче е най-простият случай. Често намирането на границата не е толкова очевидно. В границите има неясноти от вида 0/0 или безкрайност/безкрайност . Какво да правим в такива случаи? Прибягвайте до трикове!

Вътрешна несигурност

Неопределеност на формата безкрайност/безкрайност

Нека има ограничение:

Ако се опитаме да заместим безкрайност във функцията, ще получим безкрайност както в числителя, така и в знаменателя. Като цяло си струва да се каже, че има известен елемент на изкуство в разрешаването на такива несигурности: трябва да забележите как можете да трансформирате функцията по такъв начин, че несигурността да изчезне. В нашия случай разделяме числителя и знаменателя на х в старшата степен. Какво ще се случи?

От вече обсъдения по-горе пример знаем, че членовете, съдържащи x в знаменателя, ще клонят към нула. Тогава решението на лимита е:

За разрешаване на несигурностите на типа безкрайност/безкрайностразделете числителя и знаменателя на хв най-висока степен.

Между другото! За нашите читатели вече има 10% отстъпка от

Друг вид несигурност: 0/0

Както винаги, заместване на стойности във функцията х=-1 дава 0 в числителя и знаменателя. Погледнете малко по-внимателно и ще забележите, че имаме квадратно уравнение в числителя. Нека намерим корените и напишем:

Нека намалим и получим:

Така че, ако сте изправени пред несигурност на типа 0/0 – множете числителя и знаменателя.

За да ви улесним при решаването на примери, представяме таблица с ограниченията на някои функции:

Правилото на L'Hopital в рамките

Друг мощен начин за премахване на двата вида несигурност. Каква е същността на метода?

Ако има несигурност в границата, вземете производната на числителя и знаменателя, докато несигурността изчезне.

Правилото на L'Hopital изглежда така:

Важен момент : границата, в която трябва да съществуват производните на числителя и знаменателя вместо числителя и знаменателя.

А сега - реален пример:

Има типична несигурност 0/0 . Нека вземем производните на числителя и знаменателя:

Ето, несигурността се решава бързо и елегантно.

Надяваме се, че ще можете да приложите полезно тази информация на практика и да намерите отговор на въпроса „как да решаваме граници във висшата математика“. Ако трябва да изчислите границата на последователност или границата на функция в точка и няма абсолютно никакво време за тази работа, свържете се с професионална студентска служба за бързо и подробно решение.

В тази тема ще разгледаме и трите групи лимити с ирационалност, изброени по-горе. Нека започнем с граници, съдържащи несигурност от формата $\frac(0)(0)$.

Разкриване на несигурност $\frac(0)(0)$.

Решението на стандартни примери от този тип обикновено се състои от две стъпки:

• Ние се отърваваме от ирационалността, която е причинила несигурност, като умножаваме по така наречения „конюгиран“ израз;
• Ако е необходимо, факторизирайте израза в числителя или знаменателя (или и двете);
• Намаляваме факторите, водещи до несигурност, и изчисляваме желаната стойност на лимита.

Терминът "конюгирана експресия", използван по-горе, ще бъде обяснен подробно в примерите. Засега няма причина да се спираме подробно на него. Като цяло можете да отидете по друг начин, без да използвате спрегнатия израз. Понякога добре подбраната замяна може да премахне ирационалността. Такива примери са рядкост в стандартните тестове, така че ще разгледаме само един пример № 6 за използване на заместване (вижте втората част на тази тема).

Ще ни трябват няколко формули, които ще запиша по-долу:

\begin(equation) a^2-b^2=(a-b)\cdot(a+b) \end(equation) \begin(equation) a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2 +ab+b^2) \end(уравнение) \begin(уравнение) a^3+b^3=(a+b)\cdot(a^2-ab+b^2) \end(уравнение) \begin (уравнение) a^4-b^4=(a-b)\cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)\end(уравнение)

Освен това предполагаме, че читателят знае формулите за решаване на квадратни уравнения. Ако $x_1$ и $x_2$ са корените на квадратния трином $ax^2+bx+c$, тогава той може да бъде факторизиран по следната формула:

\begin(equation) ax^2+bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2) \end(equation)

Формули (1)-(5) са напълно достатъчни за решаване на стандартни задачи, към които ще преминем сега.

Пример №1

Намерете $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$.

Тъй като $\lim_(x\to 3)(\sqrt(7-x)-2)=\sqrt(7-3)-2=\sqrt(4)-2=0$ и $\lim_(x\ to 3) (x-3)=3-3=0$, тогава в дадената граница имаме несигурност от вида $\frac(0)(0)$. Разликата $\sqrt(7-x)-2$ ни пречи да разкрием тази несигурност. За да се отървем от подобни ирационалности, се използва умножение по така наречения „конюгатен израз“. Сега ще разгледаме как работи такова умножение. Умножете $\sqrt(7-x)-2$ по $\sqrt(7-x)+2$:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)$$

За да отворите скобите, приложете , замествайки $a=\sqrt(7-x)$, $b=2$ в дясната страна на споменатата формула:

$$(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=(\sqrt(7-x))^2-2^2=7-x-4=3-x .$$

Както можете да видите, ако умножите числителя по $\sqrt(7-x)+2$, тогава коренът (т.е. ирационалността) в числителя ще изчезне. Този израз $\sqrt(7-x)+2$ ще бъде конюгаткъм израза $\sqrt(7-x)-2$. Не можем обаче просто да умножим числителя по $\sqrt(7-x)+2$, защото това ще промени дробта $\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)$, която е под лимита. Трябва да умножите числителя и знаменателя едновременно:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)= \left|\frac(0)(0)\right|=\lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2)) $$

Сега запомнете, че $(\sqrt(7-x)-2)(\sqrt(7-x)+2)=3-x$ и отворете скобите. И след отваряне на скобите и малка трансформация $3-x=-(x-3)$, намаляваме дроба с $x-3$:

$$ \lim_(x\to 3)\frac((\sqrt(7-x)-2)\cdot(\sqrt(7-x)+2))((x-3)\cdot(\sqrt( 7-x)+2))= \lim_(x\до 3)\frac(3-x)((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))=\\ =\lim_ (x\to 3)\frac(-(x-3))((x-3)\cdot(\sqrt(7-x)+2))= \lim_(x\to 3)\frac(-1 )(\sqrt(7-x)+2) $$

Несигурността $\frac(0)(0)$ изчезна. Сега можете лесно да получите отговора на този пример:

$$ \lim_(x\to 3)\frac(-1)(\sqrt(7-x)+2)=\frac(-1)(\sqrt(7-3)+2)=-\frac( 1)(\sqrt(4)+2)=-\frac(1)(4).$$

Отбелязвам, че спрегнатият израз може да промени структурата си в зависимост от това какъв вид ирационалност трябва да премахне. В примери № 4 и № 5 (виж втората част на тази тема) ще бъде използван различен тип спрегнат израз.

Отговор: $\lim_(x\to 3)\frac(\sqrt(7-x)-2)(x-3)=-\frac(1)(4)$.

Пример №2

Намерете $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$.

Тъй като $\lim_(x\to 2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\sqrt(2^2+5)-\sqrt(7\cdot 2 ^ 2-19)=3-3=0$ и $\lim_(x\to 2)(3x^2-5x-2)=3\cdot2^2-5\cdot 2-2=0$, тогава ние се занимават с несигурност от формата $\frac(0)(0)$. Нека се отървем от ирационалността в знаменателя на тази дроб. За да направим това, добавяме както числителя, така и знаменателя на дробта $\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))$ към израз $\sqrt(x^ 2+5)+\sqrt(7x^2-19)$, спрегнат на знаменателя:

$$ \lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=\left|\frac(0 )(0)\right|= \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) ((\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19))) $$

Отново, както в пример № 1, трябва да използвате скоби за разширяване. Замествайки $a=\sqrt(x^2+5)$, $b=\sqrt(7x^2-19)$ в дясната част на споменатата формула, получаваме следния израз за знаменателя:

$$ \left(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19)\right)\left(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)\ вдясно)=\\ =\вляво(\sqrt(x^2+5)\вдясно)^2-\вляво(\sqrt(7x^2-19)\вдясно)^2=x^2+5-(7x ^2-19)=-6x^2+24=-6\cdot(x^2-4) $$

Да се ​​върнем към нашия лимит:

$$ \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((\sqrt(x ^2+5)-\sqrt(7x^2-19))(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))= \lim_(x\до 2)\frac( (3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(-6\cdot(x^2-4))=\\ =-\ frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x^2-4) $$

В пример № 1, почти веднага след умножението с конюгирания израз, фракцията беше намалена. Тук преди редукцията ще трябва да разложите на множители изразите $3x^2-5x-2$ и $x^2-4$ и едва след това да преминете към редукцията. За да факторизирате израза $3x^2-5x-2$ трябва да използвате . Първо, нека решим квадратното уравнение $3x^2-5x-2=0$:

$$ 3x^2-5x-2=0\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49;\\ & x_1=\ frac(-(-5)-\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5-7)(6)=-\frac(2)(6)=-\frac(1)(3) ;\\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2. \end(подравнено) $$

Замествайки $x_1=-\frac(1)(3)$, $x_2=2$ в , ще имаме:

$$ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)(x-2)=3\cdot\left(x+\ frac(1)(3)\right)(x-2)=\left(3\cdot x+3\cdot\frac(1)(3)\right)(x-2) =(3x+1)( х-2). $$

Сега е време да разложим на множители израза $x^2-4$. Нека използваме , замествайки $a=x$, $b=2$ в него:

$$ x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2) $$

Нека използваме получените резултати. Тъй като $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, тогава:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2 -19)))(x^2-4) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x ^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))((x-2)(x+2)) $$

Редуцирайки със скобата $x-2$ получаваме:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(x-2)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^ 2-19)))((x-2)(x+2)) =-\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt( x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)))(x+2). $$

Всичко! Несигурността изчезна. Още една стъпка и стигаме до отговора:

$$ -\frac(1)(6)\cdot \lim_(x\to 2)\frac((3x+1)(\sqrt(x^2+5)+\sqrt(7x^2-19)) )(x+2)=\\ =-\frac(1)(6)\cdot\frac((3\cdot 2+1)(\sqrt(2^2+5)+\sqrt(7\cdot 2 ^2-19)))(2+2)= -\frac(1)(6)\cdot\frac(7(3+3))(4)=-\frac(7)(4). $$

Отговор: $\lim_(x\to 2)\frac(3x^2-5x-2)(\sqrt(x^2+5)-\sqrt(7x^2-19))=-\frac(7)( 4)$.

В следващия пример разгледайте случая, при който ирационалности ще присъстват както в числителя, така и в знаменателя на дробта.

Пример №3

Намерете $\lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))$.

Тъй като $\lim_(x\to 5)(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))=\sqrt(9)-\sqrt(9)=0$ и $\lim_( x \to 5)(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9))=\sqrt(16)-\sqrt(16)=0$, тогава имаме несигурност от формата $ \frac (0)(0)$. Тъй като в този случай корените присъстват както в знаменателя, така и в числителя, за да се отървете от несигурността, ще трябва да умножите по две скоби наведнъж. Първо, към израза $\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)$, спрегнат на числителя. И второ, към израза $\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9)$, спрегнат със знаменателя.

$$ \lim_(x\to 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=\left|\frac(0)(0)\right|=\\ =\lim_(x\to 5)\frac((\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16) )(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((\sqrt(x^2 -3x+6)-\sqrt(5x-9))(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9))(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2) -16))) $$ $$ -x^2+x+20=0;\\ \begin(aligned) & D=1^2-4\cdot(-1)\cdot 20=81;\\ & x_1=\frac(-1-\sqrt(81))(-2)=\frac(-10)(-2)=5;\\ & x_2=\frac(-1+\sqrt(81))( -2)=\frac(8)(-2)=-4. \end(aligned) \\ -x^2+x+20=-1\cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4). $$

За израза $x^2-8x+15$ получаваме:

$$ x^2-8x+15=0;\\ \begin(aligned) & D=(-8)^2-4\cdot 1\cdot 15=4;\\ & x_1=\frac(-(- 8)-\sqrt(4))(2)=\frac(6)(2)=3;\\ & x_2=\frac(-(-8)+\sqrt(4))(2)=\frac (10)(2)=5. \end(aligned)\\ x^2+8x+15=1\cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5). $$

Заместване на получените разширения $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ и $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ в границата в процес на разглеждане, ще има:

$$ \lim_(x\to 5)\frac((-x^2+x+20)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x^2 -8x+15)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \lim_(x\до 5)\frac(-(x-5)(x+4)(\ sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3)(x-5)(\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)) )=\\ =\lim_(x\до 5)\frac(-(x+4)(\sqrt(x^2-3x+6)+\sqrt(5x-9)))((x-3) (\sqrt(x+4)+\sqrt(x^2-16)))= \frac(-(5+4)(\sqrt(5^2-3\cdot 5+6)+\sqrt(5 \cdot 5-9)))((5-3)(\sqrt(5+4)+\sqrt(5^2-16)))=-6. $$

Отговор: $\lim_(x\до 5)\frac(\sqrt(x+4)-\sqrt(x^2-16))(\sqrt(x^2-3x+6)-\sqrt(5x-9 ))=-6$.

В следващата (втора) част ще разгледаме още няколко примера, в които спрегнатият израз ще има различна форма от тази в предишните задачи. Основното нещо, което трябва да запомните е, че целта на използването на спрегнат израз е да се отървете от ирационалността, която причинява несигурност.

Елементарни функции и техните графики.

Основните елементарни функции са: степенна функция, експоненциална функция, логаритмична функция, тригонометрични функции и обратни тригонометрични функции, както и полином и рационална функция, която е отношението на два полинома.

Елементарните функции включват и онези функции, които се получават от елементарни чрез прилагане на основните четири аритметични операции и образуване на сложна функция.

Графики на елементарни функции

	Права- графика на линейна функция y = ax + b. Функцията y монотонно нараства при a > 0 и намалява при a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)
	Парабола- графика на квадратната тричленна функция y = ax 2 + bx + c. Има вертикална ос на симетрия. Ако a > 0, има минимум, ако a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего квадратного уравнения ax 2 + bx + c =0
	Хипербола- графика на функцията. При a > O се намира в I и III четвърти, когато a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а >0) или y - - x(a< 0).
	Експоненциална функция. Изложител(експоненциална функция към основа e) y = e x. (Друг правопис y = exp(x)). Асимптотата е абсцисната ос.
	Логаритмична функция y = log a x(a > 0)
	y = sinx. Синусоида- периодична функция с период T = 2π

Ограничение на функцията.

Функцията y=f(x) има число A като граница, когато x клони към a, ако за всяко число ε › 0 съществува число δ › 0 такова, че | y – A | ‹ ε ако |x - a| ‹ δ,

или lim y = A

Непрекъснатост на функцията.

Функцията y=f(x) е непрекъсната в точката x = a, ако lim f(x) = f(a), т.е.

границата на функция в точка x = a е равна на стойността на функцията в дадена точка.

Намиране на границите на функциите.

Основни теореми за границите на функциите.

1. Границата на постоянна стойност е равна на тази постоянна стойност:

2. Границата на алгебрична сума е равна на алгебричната сума на границите на тези функции:

lim (f + g - h) = lim f + lim g - lim h

3. Границата на произведението на няколко функции е равна на произведението на границите на тези функции:

lim (f * g* h) = lim f * lim g * lim h

4. Границата на частното на две функции е равна на частното на границите на тези функции, ако границата на знаменателя не е равна на 0:

lim------- = ----------

Първата забележителна граница: lim --------- = 1

Втора забележителна граница: lim (1 + 1/x) x = e (e = 2, 718281..)

Примери за намиране на граници на функции.

5.1. Пример:

Всеки лимит се състои от три части:

1) Добре познатата икона за ограничение.

2) Записи под иконата за ограничение. Записът гласи „X клони към единица“. Най-често това е x, въпреки че вместо „x“ може да има всяка друга променлива. На мястото на единица може да има абсолютно всяко число, както и безкрайност 0 или .

3) Функции под знака за граница, в този случай .

Самият запис се чете така: „границата на функция, когато x клони към единица.“

Много важен въпрос - какво означава изразът "x"? се стремидо един"? Изразът "x" се стремидо едно” трябва да се разбира по следния начин: “x” последователно приема стойностите които се доближават до единството безкрайно близо и практически съвпадат с него.

Как да решим горния пример? Въз основа на горното, просто трябва да замените едно във функцията под знака за ограничение:

И така, първото правило : Когато ви бъде даден лимит, първо просто вмъкнете числото във функцията.

5.2. Пример с безкрайност:

Нека да разберем какво е това? Такъв е случаят, когато се увеличава неограничено.

Така че, ако , след това функцията клони към минус безкрайност:

Според нашето първо правило вместо „X“ заместваме във функцията безкрайност и получаваме отговора.

5.3. Друг пример с безкрайност:

Отново започваме да увеличаваме до безкрайност и разглеждаме поведението на функцията.
Заключение: функцията се увеличава неограничено

5.4. Поредица от примери:

Опитайте се сами да анализирате наум следните примери и да решите най-простите типове ограничения:

, , , , , , , , ,

Какво трябва да запомните и разберете от горното?

Когато се даде някакъв лимит, първо просто включете числото във функцията. В същото време трябва да разберете и незабавно да разрешите най-простите ограничения, като напр , , и т.н.

6. Граници с несигурност на типа и метод за тяхното решаване.

Сега ще разгледаме групата граници, когато , а функцията е дроб, чийто числител и знаменател съдържат полиноми.

6.1. Пример:

Изчислете лимита

Според нашето правило се опитваме да заменим безкрайността във функцията. Какво получаваме на върха? Безкрайност. И какво се случва отдолу? Също безкрайност. Така имаме това, което се нарича видова несигурност. Може да се мисли, че = 1 и отговорът е готов, но в общия случай това изобщо не е така и трябва да приложите някаква техника за решаване, която сега ще разгледаме.

Как да решим ограничения от този тип?

Първо разглеждаме числителя и намираме най-голямата мощност:

Водещата степен в числителя е две.

Сега разглеждаме знаменателя и го намираме на най-висока степен:

Най-високата степен на знаменателя е две.

След това избираме най-голямата степен на числителя и знаменателя: в този пример те са еднакви и равни на две.

И така, методът на решение е следният: за разкриване на несигурност трябва да разделите числителя и знаменателя на в старшата степен.

Следователно отговорът не е 1.

Пример

Намерете границата

Отново в числителя и знаменателя намираме в най-висока степен:

Максимална степен в числителя: 3

Максимална степен в знаменателя: 4

Избирам най великстойност, в този случай четири.
Според нашия алгоритъм, за да разкрием несигурността, разделяме числителя и знаменателя на .

Пример

Намерете границата

Максимална степен на “X” в числителя: 2

Максимална степен на „X“ в знаменателя: 1 (може да се запише като)
За да разкриете несигурността, е необходимо да разделите числителя и знаменателя на . Крайното решение може да изглежда така:

Разделете числителя и знаменателя на

Решение ограничения на онлайн функциите. Намерете граничната стойност на функция или функционална последователност в точка, изчислете крайнастойността на функцията в безкрайност. определяне на сходимостта на редица от числа и много повече може да се направи благодарение на нашата онлайн услуга -. Позволяваме ви да намерите функционални ограничения онлайн бързо и точно. Вие сами въвеждате функционалната променлива и границата, към която тя клони, а нашата услуга извършва всички изчисления вместо вас, като дава точен и прост отговор. И за намиране на лимита онлайнможете да въвеждате както числови серии, така и аналитични функции, съдържащи константи в буквален израз. В този случай намерената граница на функцията ще съдържа тези константи като постоянни аргументи в израза. Нашата услуга решава всякакви сложни проблеми с намирането лимити онлайн, достатъчно е да посочите функцията и точката, в която е необходимо да се изчисли гранична стойност на функцията. Изчисляване онлайн ограничения, можете да използвате различни методи и правила за решаването им, докато проверявате получения резултат с решаване на лимити онлайнна www.site, което ще доведе до успешно изпълнение на задачата - ще избегнете собствените си грешки и технически грешки. Или можете напълно да ни се доверите и да използвате нашия резултат в работата си, без да харчите допълнителни усилия и време за самостоятелно изчисляване на границата на функцията. Разрешаваме въвеждане на гранични стойности като безкрайност. Необходимо е да се въведе общ член на числова редица и www.сайтще изчисли стойността лимит онлайндо плюс или минус безкрайност.

Една от основните концепции на математическия анализ е ограничение на функциятаИ ограничение на последователносттав точка и в безкрайност е важно да можете да решавате правилно граници. С нашата услуга това няма да е трудно. Взема се решение лимити онлайнслед няколко секунди отговорът е точен и пълен. Изучаването на математическия анализ започва с преход към границата, границисе използват в почти всички области на висшата математика, така че е полезно да имате под ръка сървър за онлайн решения за лимити, който е сайтът.