Условия за уравнението на равновесието на пространствена система от сили. Уравнения на равновесие за равнинни и пространствени системи от сили

Произволна пространствена система от сили, като плоска, може да бъде доведена до някакъв център ОТНОСНОи заменете с една резултатна сила и двойка с момент. Разсъждавайки по такъв начин, че за баланса на тази система от сили е необходимо и достатъчно в същото време да има Р= 0 и М o = 0. Но векторите и могат да изчезнат само когато всичките им проекции върху координатните оси са равни на нула, т.е. Р x = Р y = Р z = 0 и М x = М y = М z = 0 или, когато действащите сили удовлетворяват условията

Σ X i = 0; Σ M x(P i) = 0;

Σ Y i = 0; Σ мое(P i) = 0;

Σ Z i = 0; Σ Mz(P i) = 0.

По този начин за равновесието на пространствена система от сили е необходимо и достатъчно сумата от проекциите на всички сили на системата върху всяка от координатните оси, както и сумата от моментите на всички сили на системата спрямо всяка от тези оси е равно на нула.

В специални случаи на система от сходни или успоредни сили, тези уравнения ще бъдат линейно зависими и само три от шестте уравнения ще бъдат линейно независими.

Например уравненията на равновесието за система от сили, успоредни на оста Оз, имат формата:

Σ Z i = 0;

Σ M x(P i) = 0;

Σ мое(P i) = 0.

Проблеми на равновесието на тялото под въздействието на пространствена система от сили.

Принципът за решаване на задачите в този раздел остава същият като при равнинна система от сили. След като установят равновесието на кое тяло ще се разглежда, те заменят връзките, наложени на тялото, с техните реакции и съставят условията за равновесие на това тяло, като го считат за свободно. От получените уравнения се определят необходимите количества.

За да се получат по-прости системи от уравнения, се препоръчва да се начертаят осите така, че да пресичат повече неизвестни сили или да са перпендикулярни на тях (освен ако това ненужно усложнява изчисленията на проекциите и моментите на други сили).

Нов елемент при съставянето на уравнения е изчисляването на моментите на силите около координатните оси.

В случаите, когато е трудно да се види от общия чертеж какъв е моментът на дадена сила спрямо която и да е ос, се препоръчва да се изобрази на спомагателен чертеж проекцията на въпросното тяло (заедно със силата) върху равнина перпендикулярна на тази ос.

В случаите, когато при изчисляване на момента възникват трудности при определяне на проекцията на силата върху съответната равнина или рамото на тази проекция, се препоръчва силата да се разложи на две взаимно перпендикулярни компоненти (от които едната е успоредна на някаква координата ос), и след това използвайте теоремата на Varignon.

Пример 5.Кадър AB(фиг. 45) се поддържа в равновесие от панта Аи пръчката слънце. На ръба на рамката има тегло на товара Р. Нека определим реакциите на шарнира и силата в пръта.

Фиг.45

Разглеждаме равновесието на рамката заедно с товара.

Изграждаме изчислителна диаграма, изобразяваща рамката като свободно тяло и показваща всички сили, действащи върху нея: реакцията на връзките и теглото на товара Р. Тези сили образуват система от сили, произволно разположени на равнината.

Препоръчително е да създадете уравнения, така че всяко да съдържа една неизвестна сила.

В нашия проблем това е смисълът А, където са прикачени неизвестните и ; точка СЪС, където се пресичат линиите на действие на неизвестни сили и; точка д– пресечната точка на линиите на действие на силите и. Нека създадем уравнение за проекцията на силите върху оста при(на ос хневъзможно е да се проектира, т.к тя е перпендикулярна на правата AC).

И преди да съставим уравненията, нека направим още една полезна забележка. Ако в проектната диаграма има сила, разположена по такъв начин, че нейното рамо не е лесно да се локализира, тогава при определяне на момента се препоръчва първо да се разложи векторът на тази сила на две, по-удобно насочени. В тази задача ще разложим силата на две: и (фиг. 37), така че техните модули

Нека съставим уравненията:

От второто уравнение намираме

От третия

И от първия

И така, как стана С<0, то стержень слънцеще бъдат компресирани.

Пример 6.Правоъгълен рафт за претегляне Рдържани хоризонтално от два пръта SEИ CD, закрепени към стената в точка д. Пръчки с еднаква дължина, AB=2 а,EO= а. Нека определим силите в прътите и реакциите на бримките АИ IN.

Фиг.46

Помислете за равновесието на плочата. Изграждаме проектна диаграма (фиг. 46). Реакциите на контура обикновено се показват чрез две сили, перпендикулярни на оста на контура: .

Силите образуват произволно разположена в пространството система от сили. Можем да създадем 6 уравнения. Има и шестима неизвестни.

Трябва да помислите какви уравнения да създадете. Желателно е те да са по-прости и да съдържат по-малко неизвестни.

Нека съставим следните уравнения:

От уравнение (1) получаваме: S 1 =S 2. Тогава от (4): .

От (3): Y A =Y B и съгласно (5), . Това означава От уравнение (6), т.к S 1 =S 2, следва Z A =Z B. Тогава съгласно (2) Z A =Z B =P/4.

От триъгълника, където , следва ,

Следователно Y A =Y B =0,25P, Z A =Z B 0,25P.

За да проверите решението, можете да създадете друго уравнение и да видите дали то е удовлетворено от намерените стойности на реакцията:

Проблемът е решен правилно.

Въпроси за самопроверка

Каква структура се нарича ферма?

Назовете основните компоненти на фермата.

Коя ферма се нарича нула?

Посочете лемите, които определят нулевата лента на фермата.

Каква е същността на метода за изрязване на възли?

Въз основа на какви съображения, без изчисления, могат да се определят прътите на пространствените ферми, в които при дадено натоварване силите са равни на нула?

Каква е същността на метода на Ритър?

Каква е връзката между нормалната повърхностна реакция и нормалната сила на натиск?

Какво е сила на триене?

Запишете закона на Амонтон-Кулон.

Формулирайте основния закон на триенето. Какъв е коефициентът на триене, ъгълът на триене и от какво зависи тяхната стойност?

Гредата е в баланс, лежи върху гладка вертикална стена и грапав хоризонтален под; центърът на тежестта на лъча е в неговата среда. Възможно ли е да се определи посоката на цялостната сексуална реакция?

Назовете размера на коефициента на триене при плъзгане.

Каква е крайната сила на триене при плъзгане.

Какво характеризира конуса на триене?

Посочете причината за появата на момента на триене при търкаляне.

Какъв е размерът на коефициента на триене при търкаляне?

Дайте примери за устройства, в които възниква триене при въртене.

Каква е разликата между силата на сцепление и силата на триене?

Как се нарича конус на съединителя?

Какви са възможните посоки на реакция на грапава повърхност?

Каква е зоната на равновесие и какви са условията на равновесие за силите, приложени към блок, лежащ върху две грапави повърхности?

Какъв е моментът на сила спрямо точка? Какъв е размерът на това количество?

Как да изчислим модула на момента на сила спрямо точка?

Формулирайте теорема за момента на резултантната система от събиращи се сили.

Какъв е моментът на сила спрямо ос?

Запишете формула, свързваща момента на сила около точка с момента на същата сила около ос, минаваща през тази точка.

Как се определя моментът на сила спрямо ос?

Защо при определяне на момента на сила спрямо ос е необходимо силата да се проектира върху равнина, перпендикулярна на оста?

Как трябва да бъде разположена оста, така че моментът на дадена сила спрямо тази ос да е равен на нула?

Дайте формули за изчисляване на моментите на силата спрямо координатните оси.

Каква е посоката на вектора на момента на силата спрямо точката?

Как се определя моментът на сила спрямо точка на равнина?

Каква област може да определи числената стойност на момента на сила спрямо дадена точка?

Променя ли се моментът на силата около дадена точка, когато силата се пренесе по линията на нейното действие?

В какъв случай моментът на сила спрямо дадена точка е равен на нула?

Определете геометричното място на точките в пространството, спрямо които моментите на дадена сила са:

а) геометрично равни;

б) равни по модул.

Как се определят числената стойност и знакът на момента на силата спрямо оста?

При какви условия моментът на силата спрямо оста е равен на нула?

В каква посока на сила, приложена към дадена точка, нейният момент спрямо дадена ос е най-голям?

Каква връзка съществува между момента на сила около точка и момента на същата сила около ос, минаваща през тази точка?

При какви условия модулът на момента на сила спрямо точка е равен на момента на същата сила спрямо ос, минаваща през тази точка?

Какви са аналитичните изрази за моменти на сила спрямо координатни оси?

Кои са основните моменти на система от сили, произволно разположени в пространството спрямо точка и спрямо ос, минаваща през тази точка? Каква е връзката между тях?

Какъв е главният момент на система от сили, лежаща в една равнина спрямо която и да е точка в тази равнина?

Какъв е основният момент на силите, съставляващи двойката спрямо всяка точка в пространството?

Кой е главният момент на система от сили спрямо даден полюс?

Как се формулира лемата за паралелно предаване на сила?

Формулирайте теорема за привеждане на произволна система от сили към главния вектор и основния момент.

Запишете формули за изчисляване на проекциите на главния момент върху координатните оси.

Дайте векторно представяне на условията на равновесие за произволна система от сили.

Запишете условията на равновесие за произволна система от сили в проекции върху правоъгълни координатни оси.

Колко независими скаларни уравнения на равновесие могат да бъдат написани за пространствена система от успоредни сили?

Запишете уравненията на равновесието за произволна равнинна система от сили.

При какво условие се уравновесяват три неуспоредни сили, приложени към твърдо тяло?

Какво е условието за равновесие за три успоредни сили, приложени към твърдо тяло?

Какви са възможните случаи на привеждане на произволно разположени и успоредни сили в пространството?

До каква най-проста форма може да се сведе система от сили, ако се знае, че основният момент на тези сили спрямо различни точки в пространството:

а) има същата стойност, различна от нула;

б) равно на нула;

в) има различни стойности и е перпендикулярен на главния вектор;

г) има различни стойности и не е перпендикулярен на главния вектор.

Какви са условията и уравненията на равновесие на пространствена система от сходни, успоредни и произволно разположени сили и как се различават от условията и уравненията на равновесие на същия вид сили в равнина?

Какви уравнения и колко от тях могат да бъдат съставени за балансирана пространствена система от събиращи се сили?

Запишете системата от уравнения на равновесие за пространствена система от сили?

Какви са геометричните и аналитични условия за редуциране на пространствена система от сили до резултатна?

Формулирайте теорема за момента на резултантната пространствена система от сили спрямо точка и ос.

Запишете уравнения за линията на действие на резултата.

Коя права линия в пространството се нарича централна ос на система от сили?

Изведете уравненията за централната ос на силовата система?

Покажете, че две пресичащи се сили могат да бъдат задвижени към силов винт.

Каква формула се използва за изчисляване на най-малкия главен момент на дадена система от сили?

Запишете формулите за изчисляване на главния вектор на пространствена система от събиращи се сили?

Запишете формулите за изчисляване на главния вектор на пространствена система от произволно разположени сили?

Запишете формулата за изчисляване на главния момент на пространствена система от сили?

Каква е зависимостта на главния момент на система от сили в пространството от разстоянието на центъра на редукция до централната ос на тази система от сили?

Спрямо кои точки в пространството главните моменти на дадена система от сили имат еднаква големина и сключват същия ъгъл с главния вектор?

Спрямо кои точки в пространството основните моменти на системата от сили са геометрично равни един на друг?

Какви са инвариантите на силовата система?

На какви условия отговарят посочените сили, приложени към твърдо тяло с една или две фиксирани точки, което е в покой?

Ще съществува ли равнинна система от сили в равновесие, за която алгебричните суми на моменти около три точки, разположени на една и съща права линия, са равни на нула?

Нека за плоска система от сили сумите от моменти около две точки са равни на нула. При какви допълнителни условия системата ще бъде в равновесие?

Формулирайте необходими и достатъчни условия за равновесие на плоска система от успоредни сили.

Какво е моментна точка?

Какви уравнения (и колко) могат да бъдат съставени за уравновесена произволна равнинна система от сили?

Какви уравнения и колко от тях могат да бъдат съставени за уравновесена пространствена система от успоредни сили?

Какви уравнения и колко от тях могат да бъдат съставени за уравновесена произволна пространствена система от сили?

Как се формулира план за решаване на задачи от статиката върху баланса на силите?

Условия на векторно равновесие за произволна система от сили: за равновесието на система от сили, приложени към твърдо тяло, е необходимо и достатъчно главният вектор на системата от сили да е равен на нула и главният момент на системата от сили спрямо всеки център на редукция също да е равен на нула. В противен случай: за да има ~0, следните условия са необходими и достатъчни:

,
или
,
. (19)

Условия за равновесие на пространствена система от сили в аналитичен вид

За равновесието на пространствена система от сили, приложени към твърдо тяло, е необходимо и достатъчно трите суми на проекциите на всички сили върху декартовите координатни оси да са равни на нула, а трите суми на моментите на всички сили относителни към трите координатни оси също са равни на нула.

. (20)

Условия за равновесие на пространствена система от събиращи се сили

За равновесието на пространствена система от събиращи се сили, приложени към твърдо тяло, е необходимо и достатъчно сумите на проекциите на силите върху всяка от трите правоъгълни координатни оси да бъдат равни на нула:

;
;
, (21)

В случай на плоска система от събиращи се сили, една от координатните оси, обикновено
, се избира перпендикулярно на силите, а другите две оси се избират съответно в равнината на силите. д За равновесието на плоска система от събиращи се сили, действащи върху твърдо тяло, е необходимо и достатъчно сумите от проекциите на тези сили върху всяка от двете правоъгълни координатни оси, лежащи в равнината на силите, да са равни на нула:

;
, (22)

Условия на равновесие за пространствена система от успоредни сили

Нека насочим оста
успоредно на силите: за равновесието на пространствена система от успоредни сили, приложени към твърдо тяло, е необходимо и достатъчно алгебричната сума на тези сили да бъде равна на нула и сумата от моментите на силите спрямо две координатни оси, перпендикулярни на силите, да е също равно на нула:

Условия на равновесие за плоска система от сили

Нека позиционираме осите
И
в равнината на действие на силите.

Условия на равновесие за плоска система от сили в първата форма: за равновесието на плоска система от сили, действащи върху твърдо тяло, е необходимо и достатъчно сумите от проекциите на тези сили върху всяка от двете правоъгълни координатни оси, разположени в равнината на действие на силите, да са равни на нула и сумата от алгебричните моменти на силите спрямо всяка точка, разположена в равнината на силите на действие, също беше нула:

(24)

За равновесието на плоска система от успоредни сили, приложени към твърдо тяло, е необходимо и достатъчно алгебричната сума на силите да бъде равна на нула, а сумата от алгебричните моменти на силите спрямо всяка точка, разположена в равнината на силите също е равно на нула:

(25)

Теорема за трите момента (втора форма на условията на равновесие): за равновесието на плоска система от сили, приложени към твърдо тяло, е необходимо и достатъчно сумите от алгебричните моменти на силите на системата спрямо всеки три точки, разположени в равнината на действие на силите и не лежащи на една и съща права линия са равни на нула:

Трета форма на равновесни условия: за равновесието на плоска система от сили, приложени към твърдо тяло, е необходимо и достатъчно сумите на алгебричните моменти на силите спрямо всеки две точки, лежащи в равнината на действие на силите, да са равни на нула и алгебричните сумата от проекциите на тези сили върху всяка ос на равнината, която не е перпендикулярна на правата линия, минаваща през две моментни точки, също беше равна на нула, т.е.

20. Условие за равновесие на пространствена система от сили:

21. Теорема за 3 неуспоредни сили:Линиите на действие на три неуспоредни взаимно уравновесяващи се сили, лежащи в една и съща равнина, се пресичат в една точка.

22. Статично определими задачи- това са проблеми, които могат да бъдат решени чрез методите на статиката на твърдото тяло, т.е. задачи, в които броят на неизвестните не надвишава броя на уравненията на силовото равновесие.

Статично неопределените системи са системи, в които броят на неизвестните величини надвишава броя на независимите уравнения на равновесие за дадена система от сили

23. Уравнения на равновесие за равнинна система от успоредни сили:

AB не е успореден на F i

24. Конус и ъгъл на триене:Описва граничното положение на активните сили, под въздействието на които може да възникне равенство фрикционен конусс ъгъл (φ).

Ако активната сила преминава извън този конус, тогава равновесието е невъзможно.

Ъгълът φ се нарича ъгъл на триене.

25. Посочете размера на коефициентите на триене:коефициентите на статично триене и триене на плъзгане са безразмерни величини, коефициентите на триене при търкаляне и триене при въртене имат размерността на дължината (mm, cm, m).m.

26. Основни допускания, направени при изчисляване на плоски статично дефинирани ферми:-прътовите пръти се считат за безтегловни; - закрепване на пръти в шарнирни фермови възли; -външно натоварване се прилага само във възлите на фермата; - пръчката попада под връзката.

27. Каква е връзката между прътите и възлите на статично определена ферма?

S=2n-3 – проста статично дефинируема ферма, S-брой пръти, n-брой възли,

ако С<2n-3 –не жесткая ферма, равновесие возможно, если внешние силы будут одинаково соотноситься

S>2n-3 – статично неопределима ферма, има допълнителни връзки, + изчисление на деформация

28. Статично определената ферма трябва да отговаря на условието: S=2n-3; S е броят на прътите, n е броят на възлите.

29. Метод на рязане на възел:Този метод се състои в мислено изрязване на възлите на фермата, прилагане на съответните външни сили и реакции на прътите към тях и създаване на уравнения на равновесие за силите, приложени към всеки възел. Условно се приема, че всички пръчки са разтегнати (реакциите на пръчките са насочени встрани от възлите).

30. Метод на Ритър:Начертаваме секуща равнина, която разрязва фермата на 2 части. Секцията трябва да започва и завършва извън фермата. Можете да изберете всяка част като обект на равновесие. Участъкът минава по прътите, а не през възлите. Силите, приложени към обект в равновесие, образуват произволна система от сили, за която могат да се съставят 3 уравнения на равновесие. Затова извършваме секцията така, че в нея да са включени не повече от 3 пръта, силите в които са неизвестни.

Характеристика на метода на Ритер е изборът на формата на уравнението по такъв начин, че всяко уравнение на равновесие включва едно неизвестно количество. За да направим това, определяме позициите на точките на Ритер като точки на пресичане на линиите на действие на две неизвестни сили и записваме уравненията на моментите rel. тези точки.

Ако точката на Ритер лежи в безкрайност, тогава като уравнение на равновесие изграждаме уравнения на проекции върху оста, перпендикулярна на тези пръти.

31. Точка на Ритър-точката на пресичане на линиите на действие на две неизвестни сили. Ако точката на Ритер лежи в безкрайност, тогава като уравнение на равновесие изграждаме уравнения на проекции върху оста, перпендикулярна на тези пръти.

32. Център на тежестта на обемна фигура:

33. Център на тежестта на плоска фигура:

34. Център на тежестта на структурата на пръта:

35. Център на тежестта на дъгата:

36. Център на тежестта на кръгъл сектор:

37. Център на тежестта на конуса:

38. Център на тежестта на полукълбото:

39. Метод на отрицателните стойности:Ако едно твърдо тяло има кухини, т.е. кухини, от които се изважда тяхната маса, след това мислено запълваме тези кухини до твърдо тяло и определяме центъра на тежестта на фигурата, като вземаме теглото, обема, площта на кухините със знака „-“.

40. 1-ви инвариант:Първият инвариант на силовата система се нарича главен вектор на силовата система. Главният вектор на силовата система не зависи от центъра на редукция R=∑ F i

41. 2-ри инвариант:Скаларното произведение на главния вектор и главния момент на системата от сили за всеки център на редукция е постоянна стойност.

42. В какъв случай система от сили се задвижва към захранващ винт?В случай, че главният вектор на силовата система и неговият главен момент спрямо центъра на редукция не са равни на нула и не са перпендикулярни един на друг, дадено. системата от сили може да се сведе до силов винт.

43. Уравнение на централната спирална ос:

44. M x - yR z + zR y = pR x,
M y - zR x + xR z = pR y,
M z - xR y + yR x = pR z

45. Момент на двойка сили като вектор-този вектор е перпендикулярен на равнината на действие на двойката и е насочен в посоката, откъдето се вижда въртенето на двойката обратно на часовниковата стрелка. По модул векторният момент е равен на произведението на една от силите на двойката и рамото на двойката. Векторен момент на двойка явления. свободен вектор и може да се приложи към всяка точка на твърдо тяло.

46. ​​​​Принципът на освобождаване от връзки:Ако връзките се изхвърлят, тогава те трябва да бъдат заменени от силите на реакция от връзката.

47. Въжен многоъгълник-Това е конструкция на графостатика, която може да се използва за определяне на линията на действие на резултантната равнинна система от сили, за да се намерят реакциите на опорите.

48. Каква е връзката между въжето и силовия полигон:За графично намиране на неизвестни сили в многоъгълника на силата използваме допълнителна точка O (полюс), в многоъгълника на въжета намираме резултата, премествайки я в полигона на сила намираме неизвестните сили

49. Условие за равновесие на системи от двойки сили:За равновесие на двойки сили, действащи върху твърдо тяло, е необходимо и достатъчно моментът на еквивалентните двойки сили да бъде равен на нула. Следствие: За да се балансира двойка сили, е необходимо да се приложи балансираща двойка, т.е. една двойка сили може да бъде балансирана от друга двойка сили с еднакви модули и противоположно насочени моменти.

Кинематика

1. Всички методи за определяне на движението на точка:

естествен начин

координирам

радиус вектор.

2. Как да намерим уравнението на траекторията на движение на точка, като използваме координатния метод за определяне на нейното движение?За да се получи уравнението на траекторията на движението на материална точка, използвайки координатния метод на уточняване, е необходимо да се изключи параметърът t от законите на движението.

3. Ускорение на точка по координати. метод за определяне на движение:

2 точки над X

над y 2 точки

4. Ускоряване на точка с помощта на векторния метод за определяне на движение:

5. Ускоряване на точка, използвайки естествения метод за определяне на движение:

= = * +v* ; а= + ; * ; v* .

6. На какво е равно и как е насочено нормалното ускорение?– насочени радиално към центъра,

Че., за равновесието на произволна пространствена система от сили е необходимо и достатъчно алгебричната сума на проекциите на всички тези сили върху всяка от трите произволно избрани координатни оси да е равна на нула и алгебричната сума на техните моменти спрямо всяка от тези оси също е равна на нула.

Извикват се условия (1.33). условия на равновесие на произволна пространствена система от сили в аналитична форма.

Условия на равновесие за пространствена система от успоредни сили.Ако линиите на действие на всички сили на дадена система от сили са разположени в различни равнини и са успоредни една на друга, тогава такава система от сили се нарича пространствена система от успоредни сили.

Използвайки условията на равновесие (1.33) на произволна пространствена система от сили, могат да се намерят условията на равновесие на пространствена система от успоредни сили. (Условията за равновесие, които по-рано изведехме за равнинни и пространствени системи от сближаващи се сили, произволна равнинна система от сили и равнинна система от успоредни сили, също могат да бъдат получени с помощта на условията за равновесие (1.33) на произволна пространствена система от сили).

Нека върху твърдо тяло действа пространствена система от успоредни сили (Фигура 1.26). Тъй като изборът на координатни оси е произволен, е възможно да изберете координатни оси така, че оста zбеше успореден на силите. При този избор на координатни оси проекциите на всяка от силите върху оста хИ прии техните моменти около оста zще бъдат равни на нула и следователно равенствата , и са изпълнени независимо от това дали дадена система от сили е в равновесие или не, и следователно престават да бъдат условия на равновесие. Следователно системата (1.33) ще даде само три условия на равновесие:

следователно за равновесието на пространствена система от успоредни сили е необходимо и достатъчно алгебричната сума на проекциите на всички сили върху оста, успоредна на тези сили, да е равна на нула и алгебричната сума на техните моменти спрямо всяка от двете координати оси, перпендикулярни на тези сили, също е равно на нула.

1. Изберете тяло (или точка), чието равновесие трябва да се вземе предвид в тази задача.

2. Освободете избраното тяло от връзки и изобразете (подредете) всички активни сили и сили на реакция на изхвърлени връзки, действащи върху това тяло (и само върху това тяло). Отделно трябва да се изобрази тяло, освободено от връзки, към което е прикрепена система от активни и противодействащи сили.

3. Напишете уравнения за равновесие. За да съставите уравнения на равновесие, първо трябва да изберете координатните оси. Този избор може да бъде направен произволно, но получените уравнения на равновесието ще бъдат решени по-лесно, ако една от осите е насочена перпендикулярно на линията на действие на някаква неизвестна сила на реакция. Решаването на получените уравнения на равновесие по правило трябва да се извърши до края в обща форма (алгебрично). След това за необходимите количества ще бъдат получени формули, които позволяват да се анализират намерените резултати; числените стойности на намерените количества се заместват само в крайните формули. Уравненията на равновесието се съставят с помощта на аналитичния метод за решаване на задачи за равновесието на система от сближаващи се сили. Въпреки това, ако броят на събиращите се сили, чието равновесие се разглежда, е три, тогава е удобно да се приложи геометричният метод за решаване на тези проблеми. Решението в този случай се свежда до факта, че вместо уравненията на равновесието на всички действащи сили (активни и реакционни връзки) се построява силов триъгълник, който въз основа на геометричното условие на равновесие трябва да бъде затворен (конструкцията на този триъгълник трябва да започва с дадена сила). Чрез решаване на триъгълника на силата намираме търсените количества.

Динамика

За да разберете раздела за динамиката, трябва да знаете следната информация. От математиката - скаларното произведение на два вектора, диференциални уравнения. От физиката – законите за запазване на енергията и импулса. Теория на трептенията. Препоръчително е да прегледате тези теми.

Има три вида уравнения на равновесие за равнинна система от сили. Първият, основен тип следва пряко от условията на равновесие:

;

и се пише така:

;
;
.

Два други вида уравнения на равновесие също могат да бъдат получени от условията на равновесие:

;
;
,

къде е линията ABне е перпендикулярна на оста х;

;
;
.

Точки А, б И ° Сне лежат на една и съща права линия.

За разлика от плоската система от сили, условията на равновесие за произволна пространствена система от сили са две векторни равенства:

.

Ако тези отношения се проектират върху правоъгълна координатна система, получаваме уравненията на равновесието на пространствената система от сили:

Задача 1. Определяне на реакциите на опори от композитна конструкция (система с две тела)

Дизайнът се състои от две счупени пръти ABCИ CDE, свързани в точка ° Сфиксирана цилиндрична панта и прикрепена към фиксирана равнина xOyили с помощта на фиксирани цилиндрични панти (NSh ), или подвижен цилиндричен шарнир (PSh) и твърдо уплътнение (ZhZ). Равнината на търкаляне на подвижния цилиндричен шарнир сключва ъгъл  с ос вол.Координати на точки А,б,° С,д И д, както и методът на закрепване на конструкцията са дадени в табл. 1. Конструкцията е натоварена с равномерно разпределен интензивен товар р, перпендикулярно на областта на неговото приложение, от двойка сили с момент Ми две концентрирани сили И . Равномерно разпределеното натоварване се прилага по такъв начин, че неговият резултат се стреми да завърти конструкцията около точка Ообратно на часовниковата стрелка. Области на приложение рИ М, както и точки за приложение И , техните модули и направления са посочени в табл. 2. Единици с определени стойности: р– килонютон на метър (kN/m); М– килонютон-метър (kNm); И – килонютон (kN);иса представени в градуси, а координатите на точките са в метри. Ъглите,итрябва да бъдат отделени от положителната посока на оста волобратно на часовниковата стрелка, ако са положителни, и по посока на часовниковата стрелка, ако са отрицателни.

Определете реакциите на външните и вътрешните връзки на конструкцията.

Указания за изпълнение на задачата

На координатната равнина xOyв съответствие с условията на опцията за задача (Таблица 1), е необходимо да се конструират точки А,Б, В,д,д; начертайте счупени пръти ABC,CDE; посочете методи за закрепване на тези тела едно към друго и към неподвижна равнина xOy. След това, като вземете данните от табл. 2, натоварете конструкцията с две концентрирани сили И , равномерно разпределен интензитет на натоварване ри двойка сили с алгебричен момент М. Тъй като задачата изследва равновесието на съставно тяло, тогава трябва да построите друг чертеж, изобразяващ отделни тела върху него ABCИ CDE. Външен (точки А,д) и вътрешни (точка СЪС) връзките на двете фигури трябва да бъдат заменени със съответните реакции, а равномерно разпределеният товар трябва да бъде заменен с резултантния
(л– дължина на участъка за прилагане на натоварване), насочен към товара и приложен към средата на участъка. Тъй като разглежданата структура се състои от две тела, за да се намерят реакциите на връзките, е необходимо да се съставят шест уравнения на равновесие. Има три варианта за решаване на този проблем:

а) съставете три уравнения на равновесие за съставно тяло и три за тяло ABC;

б) съставете три уравнения на равновесие за съставно тяло и три за тяло CDE;

в) съставете три уравнения за равновесие на телата ABCИ CDE.

Пример

дадени:А (0;0,2);IN (0,3:0,2);СЪС (0,3:0,3);д (0,7:0,4);д (0,7:0);
kN/m,
kN, β = - 45˚ и
kN, γ = - 60˚,
kNm.

Дефинирайтереакции на външни и вътрешни връзки на конструкцията.

Решение.Нека разбием структурата (фиг. 7, А) в точка СЪСна съставни части ABCИ CDE(фиг. 7, b,V). Да сменим пантите АИ бсъответните реакции, чиито компоненти са посочени на фиг. 7. На точка ° Снека изобразим компонентите
- сили на взаимодействие между частите на конструкцията, и .

маса 1

Варианти на задачите 1

таблица 2

Данни за задача 1

Равномерно разпределено интензивно натоварване р заменете резултата , kN:

вектор образува с положителната посока на оста гъгъл φ, който лесно се намира от координатите на точките ° С И д (виж Фиг. 7, А):

За да решим задачата, ще използваме първия тип уравнения на равновесие, като ги напишем отделно за лявата и дясната част на конструкцията. Когато съставяме моментни уравнения, ние избираме точки като моментни точки А– за ляво и д– за дясната страна на структурата, което ще позволи решаването на тези две уравнения заедно и определянето на неизвестните
И .

Уравнения на равновесие на тяло ABC:

Нека си представим силата като сбор от компонентите:
, Където. След това уравненията на равновесието за тялото CDEможе да се запише във формата

.

Нека да решим моментните уравнения заедно, като първо заместим известните стойности в тях.

Като се има предвид, че според аксиомата за равенството на силите на действие и противодействие
, от получената система намираме, kN:

След това от останалите уравнения на равновесието на телата ABC И CDEлесно е да се определят реакциите на вътрешни и външни връзки, kN:

Представяме резултатите от изчислението в таблица: