Изготвяне на математически модели. Математически модел на практика Какъв тип математически модели използва алгоритми

Математическо моделиране

1. Какво е математическо моделиране?

От средата на 20 век. Математическите методи и компютрите започнаха да се използват широко в различни области на човешката дейност. Появиха се нови дисциплини като „математическа икономика“, „математическа химия“, „математическа лингвистика“ и др., изучаващи математически модели на съответни обекти и явления, както и методи за изследване на тези модели.

Математическият модел е приблизително описание на всеки клас явления или обекти от реалния свят на езика на математиката. Основната цел на моделирането е да изследва тези обекти и да предвиди резултатите от бъдещи наблюдения. Въпреки това моделирането е и метод за разбиране на света около нас, което прави възможно контролирането му.

Математическото моделиране и свързаният с него компютърен експеримент са незаменими в случаите, когато пълномащабен експеримент е невъзможен или труден по една или друга причина. Например, невъзможно е да се постави естествен експеримент в историята, за да се провери „какво би станало, ако...” Невъзможно е да се провери верността на една или друга космологична теория. Възможно е, но малко вероятно да е разумно, да се експериментира с разпространението на болест, като например чумата, или да се извърши ядрена експлозия, за да се проучат последствията от нея. Всичко това обаче може да се направи на компютър, като първо се конструират математически модели на изучаваните явления.

2. Основни етапи на математическото моделиране

1) Изграждане на модел. На този етап се посочва някакъв „нематематически“ обект - природен феномен, дизайн, икономически план, производствен процес и т.н. В този случай, като правило, ясното описание на ситуацията е трудно. Първо се идентифицират основните характеристики на явлението и връзките между тях на качествено ниво. След това намерените качествени зависимости се формулират на езика на математиката, тоест се изгражда математически модел. Това е най-трудният етап от моделирането.

2) Решаване на математическата задача, към която води моделът. На този етап се обръща голямо внимание на разработването на алгоритми и числени методи за компютърно решаване на задачата, с помощта на които резултатът може да бъде намерен с необходимата точност и в рамките на приемливо време.

3) Интерпретация на получените следствия от математическия модел.Следствията, извлечени от модела на езика на математиката, се интерпретират на езика, приет в областта.

4) Проверка на адекватността на модела.На този етап се определя дали експерименталните резултати съвпадат с теоретичните следствия на модела в рамките на определена точност.

5) Модификация на модела.На този етап или моделът се усложнява, за да е по-адекватен на реалността, или се опростява, за да се постигне практически приемливо решение.

3. Класификация на моделите

Моделите могат да бъдат класифицирани по различни критерии. Например според естеството на решаваните проблеми моделите могат да бъдат разделени на функционални и структурни. В първия случай всички величини, характеризиращи дадено явление или обект, се изразяват количествено. Освен това някои от тях се разглеждат като независими променливи, докато други се разглеждат като функции на тези величини. Математическият модел обикновено е система от уравнения от различни видове (диференциални, алгебрични и т.н.), които установяват количествени връзки между разглежданите величини. Във втория случай моделът характеризира структурата на сложен обект, състоящ се от отделни части, между които има определени връзки. Обикновено тези връзки не могат да бъдат количествено измерими. За конструирането на такива модели е удобно да се използва теорията на графите. Графът е математически обект, който представлява набор от точки (върхове) в равнина или в пространството, някои от които са свързани с линии (ръбове).

Въз основа на естеството на първоначалните данни и резултати моделите за прогнозиране могат да бъдат разделени на детерминистични и вероятностно-статистически. Моделите от първия тип правят сигурни, недвусмислени прогнози. Моделите от втория тип се основават на статистическа информация и прогнозите, получени с тяхна помощ, имат вероятностен характер.

4. Примери за математически модели

1) Задачи за движението на снаряд.

Помислете за следния механичен проблем.

Снарядът се изстрелва от Земята с начална скорост v 0 = 30 m/s под ъгъл a = 45° спрямо нейната повърхност; изисква се да се намери траекторията на неговото движение и разстоянието S между началната и крайната точка на тази траектория.

Тогава, както е известно от училищния курс по физика, движението на снаряд се описва с формулите:

където t е времето, g = 10 m/s 2 е ускорението на гравитацията. Тези формули предоставят математически модел на проблема. Като изразим t през x от първото уравнение и го заместим във второто, получаваме уравнението за траекторията на снаряда:

Тази крива (парабола) пресича оста x в две точки: x 1 = 0 (началото на траекторията) и (мястото, където е паднал снарядът). Замествайки дадените стойности на v0 и a в получените формули, получаваме

отговор: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Имайте предвид, че при конструирането на този модел са използвани редица предположения: например се приема, че Земята е плоска, а въздухът и въртенето на Земята не влияят на движението на снаряда.

2) Проблем за резервоар с най-малка повърхност.

Необходимо е да се намери височината h 0 и радиусът r 0 на калаен резервоар с обем V = 30 m 3, имащ формата на затворен кръгъл цилиндър, при който неговата повърхност S е минимална (в този случай най-малкото количество калай ще се използва за производството му).

Нека напишем следните формули за обема и повърхността на цилиндър с височина h и радиус r:

V = p r 2 h, S = 2p r(r + h).

Изразявайки h чрез r и V от първата формула и замествайки получения израз във втората, получаваме:

Така от математическа гледна точка проблемът се свежда до определяне на стойността на r, при която функцията S(r) достига своя минимум. Нека намерим тези стойности на r 0, за които производната

отива на нула: Можете да проверите дали втората производна на функцията S(r) променя знака от минус на плюс, когато аргументът r преминава през точката r 0 . Следователно в точката r0 функцията S(r) има минимум. Съответната стойност е h 0 = 2r 0 . Замествайки дадената стойност V в израза за r 0 и h 0, получаваме желания радиус и височина

3) Транспортен проблем.

В града има два склада за брашно и два хлебозавода. Всеки ден от първия склад се транспортират 50 тона брашно, а от втория - 70 тона до заводите, като в първия - 40 тона, а във втория - 80 тона.

Нека означим с а ij е цената на транспортирането на 1 тон брашно от i-тия склад до j-тия завод (i, j = 1,2). Позволявам

а 11 = 1,2 рубли, а 12 = 1,6 рубли, а 21 = 0,8 rub., а 22 = 1 rub.

Как трябва да се планира транспорта, така че разходите му да са минимални?

Нека дадем на проблема математическа формулировка. Нека с x 1 и x 2 означим количеството брашно, което трябва да се транспортира от първия склад до първия и втория завод, а с x 3 и x 4 - от втория склад съответно до първия и втория завод. Тогава:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Общата цена на целия транспорт се определя по формулата

f = 1,2x 1 + 1,6x 2 + 0,8x 3 + x 4.

От математическа гледна точка проблемът е да се намерят четири числа x 1, x 2, x 3 и x 4, които да отговарят на всички дадени условия и дават минимума на функцията f. Нека решим системата от уравнения (1) за xi (i = 1, 2, 3, 4), като елиминираме неизвестните. Разбираме това

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

и x 4 не може да се определи еднозначно. Тъй като x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), от уравнения (2) следва, че 30Ј x 4 Ј 70. Замествайки израза за x 1, x 2, x 3 във формулата за f, получаваме

f = 148 – 0,2x 4.

Лесно е да се види, че минимумът на тази функция се постига при максималната възможна стойност от x 4, т.е. при x 4 = 70. Съответните стойности на други неизвестни се определят по формули (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Проблемът с радиоактивното разпадане.

Нека N(0) е началният брой атоми на радиоактивно вещество, а N(t) е броят на неразпадналите се атоми в момент t. Експериментално е установено, че скоростта на изменение на броя на тези атоми N"(t) е пропорционална на N(t), т.е. N"(t)=–l N(t), l >0 е константа на радиоактивност на дадено вещество. В училищния курс по математически анализ се показва, че решението на това диференциално уравнение има формата N(t) = N(0)e –l t. Времето T, през което броят на първоначалните атоми е намалял наполовина, се нарича период на полуразпад и е важна характеристика на радиоактивността на веществото. За да определим T, трябва да въведем формулата Тогава Например за радон l = 2,084 · 10 –6 и следователно T = 3,15 дни.

5) Проблемът с пътуващия търговец.

Пътуващ търговец, живеещ в град A 1, трябва да посети градове A 2 , A 3 и A 4 , всеки град точно веднъж, и след това да се върне обратно в A 1 . Известно е, че всички градове са свързани по двойки с пътища, а дължините на пътищата b ij между градовете A i и A j (i, j = 1, 2, 3, 4) са както следва:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Необходимо е да се определи редът на посещение на градове, в които дължината на съответния път е минимална.

Нека да изобразим всеки град като точка от равнината и да го отбележим със съответния етикет Ai (i = 1, 2, 3, 4). Нека свържем тези точки с прави линии: те ще представляват пътища между градовете. За всеки „път” посочваме неговата дължина в километри (фиг. 2). Резултатът е графика - математически обект, състоящ се от определен набор от точки на равнината (наречени върхове) и определен набор от линии, свързващи тези точки (наречени ръбове). Освен това този граф е етикетиран, тъй като на неговите върхове и ръбове са присвоени някои етикети - числа (ръбове) или символи (върхове). Цикъл върху граф е последователност от върхове V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 така, че върховете V 1 , ..., V k са различни и всяка двойка върхове V i , V i+1 (i = 1, ..., k – 1) и двойката V 1, V k са свързани с ребро. По този начин, разглежданият проблем е да се намери цикъл на графиката, минаващ през всичките четири върха, за който сумата от всички тегла на ръбовете е минимална. Нека претърсим всички различни цикли, минаващи през четири върха и започващи от A 1:

1) A 1, A 4, A 3, A 2, A 1;
2) A 1, A 3, A 2, A 4, A 1;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Нека сега намерим дължините на тези цикли (в км): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. И така, маршрутът с най-къса дължина е първият.

Обърнете внимание, че ако има n върхове в графа и всички върхове са свързани по двойки с ръбове (такъв граф се нарича пълен), тогава броят на циклите, преминаващи през всички върхове, е Следователно в нашия случай има точно три цикъла.

6) Проблемът за намиране на връзка между структурата и свойствата на веществата.

Нека разгледаме няколко химични съединения, наречени нормални алкани. Те се състоят от n въглеродни атома и n + 2 водородни атома (n = 1, 2 ...), свързани помежду си, както е показано на фигура 3 за n = 3. Нека експерименталните стойности на точките на кипене на тези съединения са известни:

y e (3) = – 42°, y e (4) = 0°, y e (5) = 28°, y e (6) = 69°.

Необходимо е да се намери приблизителна връзка между точката на кипене и числото n за тези съединения. Да приемем, че тази зависимост има вида

y" а n+b,

Където а, b - константи за определяне. Да намеря аи b заместваме в тази формула последователно n = 3, 4, 5, 6 и съответните стойности на точките на кипене. Ние имаме:

– 42 » 3 а+ b, 0 » 4 а+ b, 28 » 5 а+ b, 69 » 6 а+ б.

За да се определи най-добрият аи b има много различни методи. Нека използваме най-простия от тях. Нека изразим b чрез аот тези уравнения:

b » – 42 – 3 а, b " – 4 а, b » 28 – 5 а, b » 69 – 6 а.

Нека вземем средната аритметична стойност на тези стойности като желаното b, тоест поставяме b » 16 – 4,5 а. Нека заместим тази стойност на b в оригиналната система от уравнения и да изчислим а, получаваме за аследните стойности: а» 37, а» 28, а» 28, а" 36. Да приемем за необходимо асредната стойност на тези числа, т.е а" 34. И така, търсеното уравнение има формата

y » 34n – 139.

Нека проверим точността на модела върху оригиналните четири съединения, за които изчисляваме точките на кипене, като използваме получената формула:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

По този начин грешката при изчисляване на това свойство за тези съединения не надвишава 5°. Използваме полученото уравнение, за да изчислим точката на кипене на съединение с n = 7, което не е включено в оригиналния набор, за което заместваме n = 7 в това уравнение: y р (7) = 99°. Резултатът беше доста точен: известно е, че експерименталната стойност на точката на кипене y e (7) = 98 °.

7) Проблемът за определяне на надеждността на електрическа верига.

Тук ще разгледаме пример за вероятностен модел. Първо, представяме малко информация от теорията на вероятностите - математическа дисциплина, която изучава моделите на случайни явления, наблюдавани по време на многократно повторение на експерименти. Нека наречем случайно събитие А възможен резултат от някакъв експеримент. Събитията A 1, ..., A k образуват пълна група, ако едно от тях непременно възниква в резултат на експеримента. Събитията се наричат ​​несъвместими, ако не могат да се появят едновременно в едно преживяване. Нека събитие А се случи m пъти по време на n-кратно повторение на експеримента. Честотата на събитие А е числото W = . Очевидно стойността на W не може да се предвиди точно, докато не се проведе серия от n експеримента. Природата на случайните събития обаче е такава, че на практика понякога се наблюдава следният ефект: с увеличаване на броя на експериментите стойността практически престава да бъде случайна и се стабилизира около някакво неслучайно число P(A), наречено вероятност за събитието A. За невъзможно събитие (което никога не се случва в експеримент) P(A)=0, а за надеждно събитие (което винаги се случва в опит) P(A)=1. Ако събитията A 1 , ..., A k образуват пълна група от несъвместими събития, тогава P(A 1)+...+P(A k)=1.

Нека, например, експериментът се състои от хвърляне на зар и наблюдение на броя на хвърлените точки X. Тогава можем да въведем следните случайни събития A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Те. образуват пълна група от несъвместими еднакво вероятни събития, следователно P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Сумата от събития A и B е събитието A + B, което се състои в това, че поне едно от тях се случва в опита. Продуктът на събития A и B е събитието AB, което се състои от едновременното възникване на тези събития. За независими събития A и B са верни следните формули:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Нека сега разгледаме следното задача. Да приемем, че три елемента са свързани последователно към електрическа верига и работят независимо един от друг. Вероятностите за повреда на 1-ви, 2-ри и 3-ти елемент са съответно равни на P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Ще считаме верига за надеждна, ако вероятността да няма ток във веригата е не повече от 0,4. Необходимо е да се определи дали дадена верига е надеждна.

Тъй като елементите са свързани последователно, няма да има ток във веригата (събитие А), ако поне един от елементите се повреди. Нека A i е събитието, при което i-тият елемент работи (i = 1, 2, 3). Тогава P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Очевидно A 1 A 2 A 3 е събитие, при което и трите елемента работят едновременно и

P(A 1 A 2 A 3) = P(A 1) P(A 2) P(A 3) = 0,612.

Тогава P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, така че P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

В заключение отбелязваме, че дадените примери за математически модели (включително функционални и структурни, детерминистични и вероятностни) имат илюстративен характер и очевидно не изчерпват разнообразието от математически модели, които възникват в природните и хуманитарните науки.

Какво е математически модел?

Концепцията за математически модел.

Математическият модел е много проста концепция. И много важно. Математическите модели са тези, които свързват математиката и реалния живот.

С прости думи, математическият модел е математическо описание на всяка ситуация.Това е всичко. Моделът може да бъде примитивен или може да бъде супер сложен. Каквато е ситуацията, такъв е моделът.)

Във всеки (повтарям - във всеки!) в случай, че трябва да преброите и изчислите нещо - ние се занимаваме с математическо моделиране. Дори и да не го подозираме.)

P = 2 CB + 3 CM

Този запис ще бъде математически модел на разходите за нашите покупки. Моделът не отчита цвят на опаковката, срок на годност, учтивост на касиерите и др. Ето защо тя модел,не е реална покупка. Но разходите, т.е. от което се нуждаем- ще разберем със сигурност. Ако моделът е правилен, разбира се.

Полезно е да си представим какво е математически модел, но не е достатъчно. Най-важното е да можете да изградите тези модели.

Съставяне (конструиране) на математически модел на задачата.

Да се ​​създаде математически модел означава да се преведат условията на проблема в математическа форма. Тези. превръщайте думите в уравнение, формула, неравенство и др. Освен това, трансформирайте го така, че тази математика да съответства стриктно на изходния текст. В противен случай ще завършим с математически модел на някакъв друг непознат за нас проблем.)

По-точно имате нужда от

В света има безкраен брой задачи. Затова предложете ясни инструкции стъпка по стъпка за изготвяне на математически модел всякаквизадачите са невъзможни.

Но има три основни момента, на които трябва да обърнете внимание.

1. Всеки проблем съдържа текст, колкото и да е странно.) Този текст, като правило, съдържа явна, отворена информация.Числа, стойности и т.н.

2. Всеки проблем има скрита информация.Това е текст, който предполага допълнителни знания в главата ви. Няма как без тях. Освен това математическата информация често е скрита зад прости думи и... се изплъзва от вниманието.

3. Всяка задача трябва да бъде дадена връзка на данните помежду си.Тази връзка може да бъде дадена в обикновен текст (нещо е равно на нещо) или може да бъде скрита зад прости думи. Но простите и ясни факти често се пренебрегват. И моделът не е компилиран по никакъв начин.

Ще кажа веднага: за да приложите тези три точки, трябва да прочетете проблема (и внимателно!) няколко пъти. Обичайното нещо.

А сега - примери.

Нека започнем с един прост проблем:

Петрович се върна от риболов и с гордост представи улова си на семейството. При по-внимателно разглеждане се оказа, че 8 риби идват от северните морета, 20% от всички риби идват от южните морета и нито една не идва от местната река, където Петрович лови риба. Колко риби е купил Петрович в магазина за морски дарове?

Всички тези думи трябва да се превърнат в някакво уравнение. За да направите това, трябва, повтарям, установете математическа връзка между всички данни в проблема.

Къде да започна? Първо, нека извлечем всички данни от задачата. Да започнем по ред:

Нека обърнем внимание на първата точка.

Кой е тук? изричноматематическа информация? 8 риби и 20%. Не много, но нямаме нужда от много.)

Нека обърнем внимание на втората точка.

Търсят скритинформация. Тук е. Това са думите: „20% от цялата риба"Тук трябва да разберете какви са процентите и как се изчисляват. В противен случай проблемът не може да бъде решен. Точно това е допълнителната информация, която трябва да има в главата ви.

Има и математическиинформация, която е напълно невидима. Това въпрос на задачата: "Колко риби купих..."Това също е число. И без него няма да се формира модел. Затова нека означим това число с буквата "Х".Все още не знаем на какво е равно x, но това обозначение ще ни бъде много полезно. Повече подробности за това какво да вземем за X и как да се справим с него са написани в урока Как да решаваме задачи по математика? Нека го запишем веднага:

x парчета - общ брой риби.

В нашата задача южните риби са дадени като проценти. Трябва да ги превърнем в парчета. За какво? Тогава какво в всякаквипроблемът на модела трябва да бъде изготвен в еднотипни количества.Парчета - значи всичко е на парчета. Ако са дадени, да речем, часове и минути, ние превеждаме всичко в едно нещо - или само часове, или само минути. Няма значение какво е. Важно е че всички стойности бяха от един и същи тип.

Да се ​​върнем на разкриването на информация. Който не знае какъв е процентът, никога няма да го разкрие, да... Но който знае веднага ще каже, че процентите тук са на базата на общия брой риби. И ние не знаем този номер. Нищо няма да работи!

Не напразно пишем общия брой риби (на парчета!) "Х"определен. Няма да е възможно да преброим броя на южните риби, но можем да ги запишем? Като този:

0,2 x парчета - броят на рибите от южните морета.

Сега изтеглихме цялата информация от задачата. И явно, и скрито.

Нека обърнем внимание на третата точка.

Търсят математическа връзкамежду данните за задачите. Тази връзка е толкова проста, че мнозина не я забелязват... Това често се случва. Тук е полезно просто да запишете събраните данни на купчина и да видите какво е какво.

какво имаме Яжте 8 броясеверна риба, 0,2 х парчета- южна риба и х риба- обща сума. Възможно ли е някак да се свържат тези данни? Да Лесно! Общ брой риби равно насумата от южните и северните! Е, кой би си помислил...) Затова го записваме:

x = 8 + 0,2x

Това е уравнението математически модел на нашия проблем.

Моля, имайте предвид, че в този проблем От нас не се иска да сгъваме нищо!Ние самите, извън главите си, осъзнахме, че сумата от южната и северната риба ще ни даде общия брой. Нещото е толкова очевидно, че остава незабелязано. Но без това доказателство не може да бъде създаден математически модел. Като този.

Сега можете да използвате цялата мощ на математиката, за да решите това уравнение). Именно затова е съставен математическият модел. Решаваме това линейно уравнение и получаваме отговора.

Отговор: х=10

Нека създадем математически модел на друг проблем:

Попитаха Петрович: „Имате ли много пари?“ Петрович започна да плаче и отговори: „Да, само малко, ако похарча половината от всичките пари, и половината от останалите, тогава ще ми остане само една торба с пари...“ Колко пари има Петрович. ?

Отново работим точка по точка.

1. Търсим изрична информация. Няма да го намерите веднага! Изричната информация е единторба с пари. Има някои други половини... Е, ще разгледаме това във втория параграф.

2. Търсим скрита информация. Това са половинки. Какво? Не е много ясно. Търсим по-нататък. Има още един въпрос: — Колко пари има Петрович?Нека обозначим сумата пари с буквата "Х":

х- всички пари

И отново четем проблема. Вече познавам този Петрович хпари. Това е мястото, където половинките ще работят! Записваме:

0,5 х- половината от всички пари.

Остатъкът също ще бъде половината, т.е. 0,5 х.И половината от половината може да се напише така:

0,5 0,5 x = 0,25x- половината от остатъка.

Сега цялата скрита информация е разкрита и записана.

3. Търсим връзка между записаните данни. Тук можете просто да прочетете страданието на Петрович и да го запишете математически):

Ако похарча половината от всички пари...

Нека запишем този процес. Всички пари - Х.половината - 0,5 х. Да харчиш означава да отнемаш. Фразата се превръща в запис:

х - 0,5 х

да половината останало...

Нека извадим друга половина от остатъка:

x - 0,5 x - 0,25x

тогава ще ми остане само една торба с пари...

И тук намерихме равенство! След всички изваждания остава една торба с пари:

х - 0,5 х - 0,25 х = 1

Ето го, математически модел! Това отново е линейно уравнение, решаваме го, получаваме:

Въпрос за разглеждане. Какво е четири? Рубла, долар, юан? И в какви единици са записани парите в нашия математически модел? В торби!Това означава четири чантапари от Петрович. Също добре.)

Задачите, разбира се, са елементарни. Това е специално за улавяне на същността на изготвянето на математически модел. Някои задачи може да съдържат много повече данни, в които може лесно да се изгубите. Това често се случва при т.нар. компетентностни задачи. Как да извлечете математическо съдържание от купчина думи и числа е показано с примери

Още една забележка. В класически училищни проблеми (тръби, пълни басейн, плаващи лодки някъде и т.н.), всички данни, като правило, се избират много внимателно. Има две правила:
- в проблема има достатъчно информация за разрешаването му,
- В проблем няма ненужна информация.

Това е намек. Ако има някаква стойност, останала неизползвана в математическия модел, помислете дали има грешка. Ако няма достатъчно данни, най-вероятно не цялата скрита информация е идентифицирана и записана.

При задачи, свързани с компетентност и други житейски задачи, тези правила не се спазват стриктно. Никаква представа. Но такива проблеми също могат да бъдат решени. Ако, разбира се, практикувате на класическите.)

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Според учебника на Советов и Яковлев: „моделът (лат. modulus - мярка) е заместващ обект на оригиналния обект, който осигурява изучаването на някои свойства на оригинала“. (стр. 6) „Замяната на един обект с друг, за да се получи информация за най-важните свойства на оригиналния обект с помощта на обект модел, се нарича моделиране.“ (стр. 6) „Под математическо моделиране ние разбираме процеса на установяване на съответствие на даден реален обект с определен математически обект, наречен математически модел, и изследването на този модел, което ни позволява да получим характеристиките на реалния разглеждан обект. Видът на математическия модел зависи както от естеството на реалния обект, така и от задачите за изучаване на обекта и необходимата надеждност и точност на решаването на този проблем.

И накрая, най-краткото определение на математически модел: „Уравнение, изразяващо идея."

Класификация на модела

Формална класификация на моделите

Формалната класификация на моделите се основава на класификацията на използваните математически инструменти. Често се изграждат под формата на дихотомии. Например, един от популярните набори от дихотомии:

и така нататък. Всеки конструиран модел е линеен или нелинеен, детерминиран или стохастичен, ... Естествено са възможни и смесени типове: концентрирани в едно отношение (по параметри), разпределени в друго и т.н.

Класификация според начина на представяне на обекта

Наред с формалната класификация, моделите се различават по начина, по който представят даден обект:

• Структурни или функционални модели

Структурните модели представят обект като система със собствена структура и механизъм на функциониране. Функционалните модели не използват такива представяния и отразяват само външно възприеманото поведение (функциониране) на даден обект. В екстремния си израз те се наричат ​​още модели „черна кутия” Възможни са и комбинирани типове модели, които понякога се наричат ​​модели „сива кутия”.

Съдържателни и формални модели

Почти всички автори, описващи процеса на математическо моделиране, посочват, че първо се изгражда специална идеална структура, модел на съдържание. Тук няма установена терминология и други автори наричат ​​това идеален обект концептуален модел , спекулативен моделили предмодел. В този случай се извиква крайната математическа конструкция формален моделили просто математически модел, получен в резултат на формализирането на даден смислен модел (предмодел). Изграждането на смислен модел може да се извърши с помощта на набор от готови идеализации, както в механиката, където идеални пружини, твърди тела, идеални махала, еластични среди и т.н. предоставят готови структурни елементи за смислено моделиране. Въпреки това, в области на знанието, където няма напълно завършени формализирани теории (най-новото във физиката, биологията, икономиката, социологията, психологията и повечето други области), създаването на смислени модели става драматично по-трудно.

Съдържателна класификация на моделите

Нито една хипотеза в науката не може да бъде доказана веднъж завинаги. Ричард Файнман формулира това много ясно:

„Винаги имаме възможност да опровергаем една теория, но имайте предвид, че никога не можем да докажем, че тя е вярна. Да предположим, че сте изложили успешна хипотеза, изчислили сте накъде води тя и сте установили, че всички нейни последствия са потвърдени експериментално. Това означава ли, че теорията ви е вярна? Не, това просто означава, че не сте успели да го опровергаете.

Ако се изгради модел от първия тип, това означава, че той временно се признава за истина и човек може да се концентрира върху други проблеми. Това обаче не може да бъде точка в изследването, а само временна пауза: статусът на модел от първия тип може да бъде само временен.

Тип 2: Феноменологичен модел (ние се държим сякаш…)

Феноменологичният модел съдържа механизъм за описание на феномен. Този механизъм обаче не е достатъчно убедителен, не може да бъде достатъчно потвърден от наличните данни или не се вписва добре в съществуващите теории и натрупаните знания за обекта. Следователно феноменологичните модели имат статут на временни решения. Смята се, че отговорът все още е неизвестен и търсенето на „истинските механизми“ трябва да продължи. Пайърлс включва например калоричния модел и кварковия модел на елементарните частици като втори тип.

Ролята на модела в изследването може да се промени с течение на времето и може да се случи нови данни и теории да потвърдят феноменологичните модели и те да бъдат издигнати до статуса на хипотеза. По същия начин новите знания могат постепенно да влязат в конфликт с модели-хипотези от първия тип и те могат да бъдат преведени във втория. Така кварковият модел постепенно преминава в категорията на хипотезите; атомизмът във физиката възниква като временно решение, но с хода на историята става първият тип. Но етерните модели са си проправили път от тип 1 към тип 2 и сега са извън науката.

Идеята за опростяване е много популярна при изграждането на модели. Но опростяването идва под различни форми. Peierls идентифицира три вида опростявания в моделирането.

Тип 3: Приближение (считаме нещо много голямо или много малко)

Ако е възможно да се съставят уравнения, които описват изследваната система, това не означава, че те могат да бъдат решени дори с помощта на компютър. Често срещана техника в този случай е използването на приближения (модели тип 3). Между тях модели на линейна реакция. Уравненията се заменят с линейни. Стандартен пример е законът на Ом.

Тук идва тип 8, който е широко разпространен в математическите модели на биологични системи.

Тип 8: Демонстрация на функции (основното е да се покаже вътрешната последователност на възможността)

Това също са мисловни експерименти с въображаеми същности, демонстриращи това предполагаемо явлениев съответствие с основните принципи и вътрешно последователно. Това е основната разлика от моделите от тип 7, които разкриват скрити противоречия.

Един от най-известните от тези експерименти е геометрията на Лобачевски (Лобачевски я нарича „въображаема геометрия“). Друг пример е масовото производство на формално кинетични модели на химически и биологични вибрации, автовълни и т.н. Парадоксът на Айнщайн-Подолски-Розен е замислен като модел от тип 7, за да демонстрира непоследователността на квантовата механика. По напълно непланиран начин в крайна сметка се превърна в модел от тип 8 - демонстрация на възможността за квантово телепортиране на информация.

Пример

Помислете за механична система, състояща се от пружина, закрепена в единия край, и маса от маса мприкрепен към свободния край на пружината. Ще приемем, че товарът може да се движи само по посока на оста на пружината (например движението се извършва по пръта). Нека изградим математически модел на тази система. Ще опишем състоянието на системата чрез разстоянието хот центъра на товара до неговото равновесно положение. Нека опишем взаимодействието на пружината и използваното натоварване Закон на Хук (Е = − кх ) и след това използвайте втория закон на Нютон, за да го изразите под формата на диференциално уравнение:

където означава втората производна на хпо време: .

Полученото уравнение описва математическия модел на разглежданата физическа система. Този модел се нарича "хармоничен осцилатор".

Според формалната класификация този модел е линеен, детерминиран, динамичен, концентриран, непрекъснат. В процеса на изграждането му направихме много предположения (за липсата на външни сили, липсата на триене, малките отклонения и т.н.), които в действителност може да не са изпълнени.

По отношение на реалността най-често това е модел тип 4 опростяване(„ще пропуснем някои подробности за яснота“), тъй като някои основни универсални характеристики (например разсейване) са пропуснати. До известно приближение (да речем, докато отклонението на товара от равновесието е малко, с ниско триене, за не много време и при определени други условия), такъв модел описва реална механична система доста добре, тъй като отхвърлените фактори имат незначителен ефект върху поведението му. Моделът обаче може да бъде прецизиран, като се вземат предвид някои от тези фактори. Това ще доведе до нов модел, с по-широк (макар и отново ограничен) обхват на приложимост.

Въпреки това, при прецизиране на модела, сложността на неговото математическо изследване може да се увеличи значително и да направи модела практически безполезен. Често по-простият модел позволява по-добро и по-задълбочено изследване на реална система от по-сложния (и формално „по-правилен“).

Ако приложим модела на хармоничния осцилатор към обекти, далеч от физиката, неговият съществен статус може да бъде различен. Например, когато се прилага този модел към биологични популации, той най-вероятно трябва да бъде класифициран като тип 6 аналогия(„нека вземем предвид само някои характеристики“).

Твърди и меки модели

Хармоничният осцилатор е пример за така наречения „твърд“ модел. Получава се в резултат на силна идеализация на реална физическа система. За да разрешим въпроса за неговата приложимост, е необходимо да разберем колко значими са факторите, които сме пренебрегнали. С други думи, необходимо е да се изследва „мекият“ модел, който се получава чрез малко смущение на „твърдия“. Тя може да бъде дадена например чрез следното уравнение:

Ето някаква функция, която може да вземе предвид силата на триене или зависимостта на коефициента на твърдост на пружината от степента на нейното разтягане - някакъв малък параметър. Явна форма на функция fВ момента не се интересуваме. Ако докажем, че поведението на мекия модел не се различава фундаментално от поведението на твърдия (независимо от изричния тип смущаващи фактори, ако те са достатъчно малки), проблемът ще бъде намален до изучаване на твърдия модел. В противен случай прилагането на резултатите, получени от изследването на твърдия модел, ще изисква допълнителни изследвания. Например, решението на уравнението на хармоничен осцилатор е функции от формата , тоест трептения с постоянна амплитуда. Следва ли от това, че реалният осцилатор ще трепти неограничено с постоянна амплитуда? Не, защото разглеждайки система с произволно малко триене (винаги присъстващо в реална система), получаваме затихнали трептения. Поведението на системата се промени качествено.

Ако една система поддържа своето качествено поведение при малки смущения, се казва, че е структурно стабилна. Хармоничният осцилатор е пример за структурно нестабилна (негруба) система. Този модел обаче може да се използва за изследване на процеси за ограничени периоди от време.

Универсалност на моделите

Най-важните математически модели обикновено имат важното свойство многофункционалност: Фундаментално различни реални явления могат да бъдат описани с един и същ математически модел. Например, хармоничният осцилатор описва не само поведението на натоварване върху пружина, но и други колебателни процеси, често от съвсем различно естество: малки колебания на махало, колебания в нивото на течност в U-образен съд или промяна в силата на тока в колебателен кръг. Така, изучавайки един математически модел, ние веднага изучаваме цял клас явления, описани от него. Именно този изоморфизъм на закони, изразени чрез математически модели в различни сегменти на научното познание, вдъхновява Лудвиг фон Берталанфи да създаде „Общата теория на системите“.

Преки и обратни задачи на математическото моделиране

Има много проблеми, свързани с математическото моделиране. Първо, трябва да излезете с основна диаграма на моделирания обект, да го възпроизведете в рамките на идеализациите на тази наука. Така вагонът се превръща в система от плочи и по-сложни тела от различни материали, като всеки материал се определя като негова стандартна механична идеализация (плътност, модули на еластичност, стандартни якостни характеристики), след което се съставят уравнения и по пътя някои детайли се отхвърлят като маловажни, правят се изчисления, сравняват се с измервания, моделът се прецизира и т.н. Въпреки това, за да се разработят технологии за математическо моделиране, е полезно този процес да се раздели на основните му компоненти.

Традиционно има два основни класа проблеми, свързани с математически модели: директни и обратни.

Директна задача: структурата на модела и всички негови параметри се считат за известни, основната задача е да се проведе изследване на модела, за да се извлекат полезни знания за обекта. Какво статично натоварване ще издържи мостът? Как ще реагира на динамично натоварване (например на марш на рота войници или на преминаване на влак с различни скорости), как самолетът ще преодолее звуковата бариера, дали ще се разпадне от трептене - това са типични примери за директен проблем. Задаването на правилния пряк проблем (задаването на правилния въпрос) изисква специално умение. Ако не се задават правилните въпроси, един мост може да се срути, дори ако е изграден добър модел за неговото поведение. И така, през 1879 г. в Англия се срути метален мост през река Тей, чиито дизайнери построиха модел на моста, изчислиха, че има 20-кратен коефициент на сигурност за действието на полезния товар, но забравиха за ветровете постоянно духа на тези места. И след година и половина рухна.

В най-простия случай (например уравнение на един осцилатор) директният проблем е много прост и се свежда до явно решение на това уравнение.

Обратна задача: известни са много възможни модели, трябва да се избере конкретен модел въз основа на допълнителни данни за обекта. Най-често структурата на модела е известна и трябва да се определят някои неизвестни параметри. Допълнителната информация може да се състои от допълнителни емпирични данни или изисквания към обекта ( проблем с дизайна). Допълнителни данни могат да пристигнат независимо от процеса на решаване на обратната задача ( пасивно наблюдение) или да бъде резултат от експеримент, специално планиран по време на решението ( активно наблюдение).

Един от първите примери за майсторско решение на обратна задача с най-пълното използване на наличните данни беше методът, конструиран от И. Нютон за възстановяване на силите на триене от наблюдаваните затихнали трептения.

Допълнителни примери

Където х с- „равновесната” численост на населението, при която раждаемостта точно се компенсира от смъртността. Размерът на популацията в такъв модел клони към равновесна стойност х си това поведение е структурно стабилно.

Тази система има равновесно състояние, когато броят на зайците и лисиците е постоянен. Отклонението от това състояние води до флуктуации в броя на зайците и лисиците, подобни на флуктуациите на хармоничен осцилатор. Както при хармоничния осцилатор, това поведение не е структурно стабилно: малка промяна в модела (например, като се вземат предвид ограничените ресурси, необходими на зайците) може да доведе до качествена промяна в поведението. Например, равновесното състояние може да стане стабилно и колебанията в числата ще изчезнат. Възможна е и обратната ситуация, когато всяко малко отклонение от равновесното положение ще доведе до катастрофални последици, до пълното изчезване на един от видовете. Моделът Volterra-Lotka не отговаря на въпроса кой от тези сценарии се реализира: тук са необходими допълнителни изследвания.

Бележки

1. „Математическо представяне на реалността“ (Encyclopaedia Britanica)
2. Новик И. Б., По философските въпроси на кибернетичното моделиране. М., Знание, 1964.
3. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: учеб. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарски А. А., Михайлов А. П.Математическо моделиране. Идеи. Методи. Примери. . - 2-ро изд., преработено - М.: Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X.
5. Мишкис А. Д., Елементи на теорията на математическите модели. - 3-то издание, рев. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
6. Уикиречник: математически модел
7. CliffsNotes
8. Подходи за намаляване на модела и грубо зърно за многомащабни явления, Springer, серия Complexity, Берлин-Хайделберг-Ню Йорк, 2006. XII+562 стр. ISBN 3-540-35885-4
9. „Една теория се счита за линейна или нелинейна в зависимост от вида на математическия апарат – линеен или нелинеен – и какъв вид линейни или нелинейни математически модели използва. ...без да отричам последното. Един съвременен физик, ако трябваше да пресъздаде дефиницията на толкова важна същност като нелинейността, най-вероятно би постъпил по различен начин и, давайки предпочитание на нелинейността като по-важната и широко разпространена от двете противоположности, би определил линейността като „не нелинейност." Данилов Ю., Лекции по нелинейна динамика. Елементарно въведение. Серия „Синергетика: от миналото към бъдещето“. издание 2. - М.: URSS, 2006. - 208 с. ISBN 5-484-00183-8
10. „Динамичните системи, моделирани чрез краен брой обикновени диференциални уравнения, се наричат ​​концентрирани или точкови системи. Те се описват с помощта на крайномерно фазово пространство и се характеризират с краен брой степени на свобода. Една и съща система при различни условия може да се счита за концентрирана или разпределена. Математически модели на разпределени системи са частични диференциални уравнения, интегрални уравнения или обикновени уравнения със закъснение. Броят на степените на свобода на една разпределена система е безкраен и са необходими безкраен брой данни, за да се определи нейното състояние. Анищенко В. С., Динамични системи, Сорос образователен журнал, 1997, № 11, стр. 77-84.
11. „В зависимост от естеството на процесите, които се изучават в системата S, всички видове моделиране могат да бъдат разделени на детерминистично и стохастично, статично и динамично, дискретно, непрекъснато и дискретно-непрекъснато. Детерминистичното моделиране отразява детерминистични процеси, т.е. процеси, при които се предполага липсата на всякакви случайни влияния; стохастичното моделиране изобразява вероятностни процеси и събития. ... Статичното моделиране служи за описване на поведението на обект във всеки момент от времето, а динамичното моделиране отразява поведението на обект във времето. Дискретното моделиране се използва за описание на процеси, които се предполага, че са дискретни, съответно непрекъснатото моделиране ни позволява да отразяваме непрекъснати процеси в системите, а дискретно-непрекъснатото моделиране се използва за случаите, когато искат да подчертаят наличието както на дискретни, така и на непрекъснати процеси. ” Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: учеб. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
12. Обикновено математическият модел отразява структурата (устройството) на моделирания обект, свойствата и връзките на компонентите на този обект, които са от съществено значение за целите на изследването; такъв модел се нарича структурен. Ако моделът отразява само как функционира обектът - например как реагира на външни въздействия - тогава той се нарича функционален или преносно черна кутия. Възможни са и комбинирани модели. Мишкис А. Д., Елементи на теорията на математическите модели. - 3-то издание, рев. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
13. „Очевидният, но най-важен начален етап от конструирането или избора на математически модел е получаването на възможно най-ясна картина за обекта, който се моделира, и усъвършенстването на неговия смислен модел въз основа на неформални дискусии. Не бива да пестите време и усилия на този етап, от това до голяма степен зависи успехът на цялото проучване. Неведнъж се е случвало значителна работа, изразходвана за решаване на математически проблем, да се окаже неефективна или дори напразно изразходвана поради недостатъчно внимание към тази страна на въпроса. Мишкис А. Д., Елементи на теорията на математическите модели. - 3-то издание, рев. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4, стр. 35.
14. « Описание на концептуалния модел на системата.На този подетап на изграждане на системен модел: а) концептуалният модел М се описва с абстрактни термини и концепции; б) дадено е описание на модела с помощта на стандартни математически схеми; в) хипотезите и предположенията се приемат окончателно; г) изборът на процедура за приближаване на реални процеси при конструиране на модел е обоснован. Советов Б. Я., Яковлев С. А., Моделиране на системи: учеб. за университети - 3-то изд., преработ. и допълнителни - М.: Висше. училище, 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2, стр. 93.
15. Блехман И. И., Мишкис А. Д., Пановко Н. Г., Приложна математика: Предмет, логика, особености на подходите. С примери от механиката: Учебник. - 3-то издание, рев. и допълнителни - М.: URSS, 2006. - 376 с. ISBN 5-484-00163-3, Глава 2.

Лекция 1.

МЕТОДИЧЕСКИ ОСНОВИ НА МОДЕЛИРАНЕТО

Актуално състояние на проблема за системно моделиране

Концепции за моделиране и симулация

Моделиранеможе да се разглежда като замяна на обекта на изследване (оригинал) с неговото конвенционално изображение, описание или друг обект, наречен модели осигуряване на поведение, близко до оригинала в рамките на определени предположения и допустими грешки. Моделирането обикновено се извършва с цел разбиране на свойствата на оригинала чрез изучаване на неговия модел, а не на самия обект. Разбира се, моделирането е оправдано, когато е по-просто от създаването на самия оригинал или когато по някаква причина е по-добре изобщо да не се създава оригиналът.

Под моделсе разбира като физически или абстрактен обект, чиито свойства са в известен смисъл подобни на свойствата на обекта, който се изследва. В този случай изискванията към модела се определят от решавания проблем и наличните средства. Има редица общи изисквания към моделите:

2) пълнота – предоставяне на получателя на цялата необходима информация

относно обекта;

3) гъвкавост - способността да се възпроизвеждат различни ситуации във всичко

диапазон на промени в условията и параметрите;

4) сложността на разработката трябва да бъде приемлива за съществуващата

време и софтуер.

Моделиранее процес на конструиране на модел на обект и изучаване на неговите свойства чрез изучаване на модела.

По този начин моделирането включва 2 основни етапа:

1) разработване на модел;

2) проучване на модела и извеждане на изводи.

В същото време на всеки етап се решават различни задачи и

принципно различни методи и средства.

В практиката се използват различни методи за моделиране. В зависимост от метода на изпълнение всички модели могат да бъдат разделени на два големи класа: физически и математически.

Математическо моделиранеОбикновено се разглежда като средство за изучаване на процеси или явления с помощта на техните математически модели.

Под физическо моделиранесе отнася до изучаването на обекти и явления върху физически модели, когато се възпроизвежда изучаваният процес, като се запазва неговата физическа природа или се използва друго физическо явление, подобно на изучаваното. При което физически моделиКато правило те предполагат реално въплъщение на онези физически свойства на оригинала, които са значими в конкретна ситуация. Например, при проектирането на нов самолет се създава макет, който има същите аеродинамични свойства; Когато планират застрояване, архитектите правят модел, който отразява пространственото разположение на неговите елементи. В тази връзка се нарича още физическо моделиране създаване на прототипи.

Моделиране на полуживотае изследване на управляеми системи върху комплекси за моделиране с включване на реално оборудване в модела. Наред с реалното оборудване затвореният модел включва симулатори на въздействия и смущения, математически модели на външната среда и процеси, за които не е известно достатъчно точно математическо описание. Включването на реално оборудване или реални системи във веригата за моделиране на сложни процеси позволява да се намали априорната несигурност и да се изследват процеси, за които няма точно математическо описание. Използвайки полуестествено моделиране, изследванията се извършват, като се вземат предвид малки времеви константи и линейности, присъщи на реалното оборудване. При изучаване на модели с помощта на реално оборудване се използва концепцията динамична симулация, при изучаване на сложни системи и явления - еволюционен, имитацияИ кибернетично моделиране.

Очевидно е, че реалната полза от моделирането може да се получи само ако са изпълнени две условия:

1) моделът осигурява правилно (адекватно) показване на свойствата

оригиналът, значим от гледна точка на изследваната операция;

2) моделът ви позволява да елиминирате проблемите, изброени по-горе, присъщи

провеждане на изследвания на реални обекти.

2. Основни понятия на математическото моделиране

Решаването на практически задачи с помощта на математически методи се извършва последователно чрез формулиране на проблема (разработване на математически модел), избор на метод за изследване на получения математически модел и анализ на получения математически резултат. Математическата формулировка на проблема обикновено се представя под формата на геометрични изображения, функции, системи от уравнения и др. Описанието на даден обект (явление) може да бъде представено с помощта на непрекъснати или дискретни, детерминирани или стохастични и други математически форми.

Теория на математическото моделиранеосигурява идентифицирането на моделите на възникване на различни явления в околния свят или работата на системи и устройства чрез тяхното математическо описание и моделиране без извършване на пълномащабни тестове. В този случай се използват разпоредбите и законите на математиката, които описват симулираните явления, системи или устройства на определено ниво на тяхната идеализация.

Математически модел (MM)е формализирано описание на система (или операция) на някакъв абстрактен език, например под формата на набор от математически отношения или диаграма на алгоритъм, т.е. т.е. такова математическо описание, което осигурява симулация на работата на системи или устройства на ниво, достатъчно близко до тяхното реално поведение, получено по време на пълномащабно тестване на системи или устройства.

Всеки ММ описва реален обект, явление или процес с известна степен на приближение до реалността. Видът на ММ зависи както от характера на реалния обект, така и от целите на изследването.

Математическо моделиранесоциални, икономически, биологични и физически явления, обекти, системи и различни устройства е едно от най-важните средства за разбиране на природата и проектиране на голямо разнообразие от системи и устройства. Известни са примери за ефективно използване на моделирането при създаването на ядрени технологии, авиационни и космически системи, при прогнозиране на атмосферни и океански явления, време и др.

Такива сериозни области на моделиране обаче често изискват суперкомпютри и години работа на големи екипи от учени за подготовка на данни за моделиране и тяхното отстраняване на грешки. В този случай обаче математическото моделиране на сложни системи и устройства не само спестява пари за изследвания и тестове, но също така може да елиминира екологични бедствия - например ви позволява да се откажете от тестването на ядрени и термоядрени оръжия в полза на тяхното математическо моделиране или тестване на аерокосмически системи преди действителните им полети. Следователно математическото моделиране на ниво решаване на по-прости проблеми, например от областта на механиката, електротехниката, електрониката, радиотехниката и много други области на науката и технологиите вече се превърнаха. налични за изпълнение на съвременни компютри. И когато се използват обобщени модели, става възможно да се симулират доста сложни системи, например телекомуникационни системи и мрежи, радарни или радионавигационни системи.

Целта на математическото моделиранее анализ на реални процеси (в природата или технологията) с помощта на математически методи. На свой ред, това изисква формализацията на модела на ММ, който трябва да бъде математически израз, съдържащ променливи, чието поведение е подобно на поведението на реална система. Моделът може да включва елементи на случайност възможни действия на двама или повече „играчи“, както например в теоретичните игри; или може да представлява реални променливи на взаимосвързани части на операционната система.

Математическото моделиране за изследване на характеристиките на системите може да се раздели на аналитично, симулационно и комбинирано. От своя страна ММ се делят на симулационни и аналитични.

Аналитично моделиране

За аналитично моделиранеХарактерно е, че процесите на функциониране на системата се записват под формата на определени функционални зависимости (алгебрични, диференциални, интегрални уравнения). Аналитичният модел може да бъде изследван с помощта на следните методи:

1) аналитични, когато се стремят да получат в обща форма изрични зависимости за характеристиките на системите;

2) числени, когато не е възможно да се намери решение на уравненията в общ вид и те се решават за конкретни начални данни;

3) качествени, когато при липса на решение се откриват някои от неговите свойства.

Аналитични модели могат да бъдат получени само за относително прости системи. За сложни системи често възникват големи математически проблеми. За да приложат аналитичния метод, те отиват до значително опростяване на оригиналния модел. Изследванията с помощта на опростен модел обаче помагат да се получат само ориентировъчни резултати. Аналитичните модели отразяват математически правилно връзката между входните и изходните променливи и параметри. Но тяхната структура не отразява вътрешната структура на обекта.

По време на аналитичното моделиране неговите резултати се представят под формата на аналитични изрази. Например чрез свързване R.C.- верига към източник на постоянно напрежение д(Р, ° СИ д- компоненти на този модел), можем да създадем аналитичен израз за времевата зависимост на напрежението u(T) на кондензатора ° С:

Това линейно диференциално уравнение (DE) е аналитичният модел на тази проста линейна верига. Неговото аналитично решение при началното условие u(0) = 0, което означава разреден кондензатор ° Св началото на моделирането ви позволява да намерите желаната зависимост - под формата на формула:

u(T) = д(1− прстр(- T/RC)). (2)

Но дори и в този най-прост пример са необходими определени усилия за решаване на DE (1) или за прилагане системи за компютърна математика(SCM) със символни изчисления – системи за компютърна алгебра. За този напълно тривиален случай, решаване на проблема с моделирането на линейна R.C.- веригата дава аналитичен израз (2) в доста обща форма - тя е подходяща за описание на работата на веригата за всякакви рейтинги на компоненти Р, ° СИ ди описва експоненциалния заряд на кондензатора ° Спрез резистор Рот източник на постоянно напрежение д.

Разбира се, намирането на аналитични решения по време на аналитичното моделиране се оказва изключително ценно за идентифициране на общи теоретични модели на прости линейни вериги, системи и устройства. Въпреки това, неговата сложност нараства рязко, тъй като влиянията върху модела стават по-сложни и редът и броят на уравненията на състоянието, описващи моделирания обект, нарастват. Можете да получите повече или по-малко видими резултати при моделиране на обекти от втори или трети ред, но с по-висок ред аналитичните изрази стават прекалено тромави, сложни и трудни за разбиране. Например, дори един прост електронен усилвател често съдържа десетки компоненти. Въпреки това, много съвременни SCMs, например, системи на символна математика Maple, Mathematicaили среда MATLAB, са в състояние до голяма степен да автоматизират решаването на сложни проблеми с аналитичното моделиране.

Един вид моделиране е числено моделиране,което се състои в получаване на необходимите количествени данни за поведението на системи или устройства чрез всеки подходящ числен метод, като методите на Ойлер или Рунге-Кута. На практика моделирането на нелинейни системи и устройства с помощта на числени методи се оказва много по-ефективно от аналитичното моделиране на отделни частни линейни вериги, системи или устройства. Например, за решаване на DE (1) или DE системи в по-сложни случаи не може да се получи решение в аналитична форма, но с помощта на данни от числена симулация можете да получите доста пълни данни за поведението на симулираните системи и устройства, както и като конструират графики на зависимости, описващи това поведение.

Симулационно моделиране

При имитация 10и моделиране, алгоритъмът, който реализира модела, възпроизвежда процеса на функциониране на системата във времето. Симулират се елементарните явления, изграждащи процеса, като се запазва тяхната логическа структура и последователност от събития във времето.

Основното предимство на симулационните модели в сравнение с аналитичните е възможността за решаване на по-сложни проблеми.

Симулационните модели улесняват отчитането на наличието на дискретни или непрекъснати елементи, нелинейни характеристики, случайни влияния и т.н. Поради това този метод се използва широко на етапа на проектиране на сложни системи. Основното средство за реализиране на симулационно моделиране е компютърът, който позволява цифрово моделиране на системи и сигнали.

В тази връзка нека дефинираме израза „ компютърно моделиране”, който все повече се използва в литературата. Да приемем, че компютърно моделиранее математическо моделиране с помощта на компютърни технологии. Съответно технологията за компютърно моделиране включва извършване на следните действия:

1) определяне целта на моделирането;

2) разработване на концептуален модел;

3) формализиране на модела;

4) софтуерна реализация на модела;

5) планиране на моделни експерименти;

6) изпълнение на експерименталния план;

7) анализ и интерпретация на резултатите от моделирането.

При симулационно моделиранеизползваният ММ възпроизвежда алгоритъма („логиката“) на функционирането на изследваната система във времето за различни комбинации от стойности на параметрите на системата и външната среда.

Пример за най-простия аналитичен модел е уравнението на праволинейното равномерно движение. Когато се изучава такъв процес с помощта на симулационен модел, трябва да се приложи наблюдение на промените в изминатия път във времето. Очевидно в някои случаи е по-предпочитано аналитичното моделиране, в други - симулация (или комбинация от двете). За да направите успешен избор, трябва да отговорите на два въпроса.

Каква е целта на моделирането?

Към какъв клас може да се класифицира моделираното явление?

Отговорите и на двата въпроса могат да бъдат получени по време на първите два етапа на моделиране.

Симулационните модели не само по свойства, но и по структура съответстват на моделирания обект. В този случай има недвусмислено и очевидно съответствие между процесите, получени върху модела, и процесите, протичащи в обекта. Недостатъкът на симулацията е, че решаването на проблема отнема много време, за да се получи добра точност.

Резултатите от симулационното моделиране на работата на стохастична система са реализации на случайни променливи или процеси. Следователно, за да се намерят характеристиките на системата, са необходими многократни повторения и последваща обработка на данните. Най-често в този случай се използва вид симулация - статистически

моделиране(или метод Монте Карло), т.е. възпроизвеждане на случайни фактори, събития, количества, процеси, полета в модели.

Въз основа на резултатите от статистическото моделиране се определят оценки на вероятностни критерии за качество, общи и специфични, характеризиращи функционирането и ефективността на управляваната система. Статистическото моделиране се използва широко за решаване на научни и приложни проблеми в различни области на науката и технологиите. Методите за статистическо моделиране се използват широко при изследване на сложни динамични системи, оценка на тяхното функциониране и ефективност.

Последният етап на статистическото моделиране се основава на математическа обработка на получените резултати. Тук се използват методи на математическата статистика (параметрична и непараметрична оценка, проверка на хипотези). Пример за параметричен оценител е извадковата средна стойност на мярка за ефективност. Сред непараметричните методи, широко разпространени хистограмен метод.

Разглежданата схема се основава на многократни статистически тестове на системата и методи за статистика на независими случайни променливи. Тази схема не винаги е естествена на практика и оптимална по отношение на разходите. Намаляването на времето за тестване на системата може да се постигне чрез използването на по-точни методи за оценка. Както е известно от математическата статистика, ефективните оценки имат най-голяма точност за даден размер на извадката. Оптималното филтриране и методът на максималното правдоподобие осигуряват общ метод за получаване на такива оценки. При проблемите със статистическото моделиране, обработката на произволни процеси е необходима не само за анализиране на изходни процеси.

Контролът на характеристиките на входните случайни влияния също е много важен. Контролът се състои в проверка на съответствието на разпределенията на генерираните процеси с дадените разпределения. Този проблем често се формулира като проблем с проверка на хипотеза.

Общата тенденция в компютърното моделиране на сложни контролирани системи е желанието да се намали времето за моделиране, както и да се провеждат изследвания в реално време. Удобно е изчислителните алгоритми да се представят в повтаряща се форма, което позволява тяхното изпълнение със скоростта на получаване на текуща информация.

ПРИНЦИПИ НА СИСТЕМНИЯ ПОДХОД В МОДЕЛИРАНЕТО

Основни принципи на теорията на системите

Основните принципи на теорията на системите възникват по време на изучаването на динамичните системи и техните функционални елементи. Системата се разбира като група от взаимосвързани елементи, които действат заедно, за да изпълнят предварително определена задача. Анализът на системите ни позволява да определим най-реалистичните начини за изпълнение на дадена задача, гарантиращи максимално задоволяване на заявените изисквания.

Елементите, които формират основата на теорията на системите, не се създават чрез хипотези, а се откриват експериментално. За да започне изграждането на система, е необходимо да има обща характеристика на технологичните процеси. Същото важи и по отношение на принципите за създаване на математически формулирани критерии, на които трябва да отговаря даден процес или неговото теоретично описание. Моделирането е един от най-важните методи за научно изследване и експериментиране.

При конструирането на модели на обекти се използва системен подход, който е методология за решаване на сложни проблеми, която се основава на разглеждането на обекта като система, работеща в определена среда. Системният подход включва разкриване на целостта на обекта, идентифициране и изучаване на неговата вътрешна структура, както и връзките с външната среда. В този случай обектът се представя като част от реалния свят, който се изолира и изучава във връзка с проблема за конструиране на модел. В допълнение, системният подход включва последователен преход от общото към конкретното, когато целта на дизайна е в основата на разглеждането, а обектът се разглежда във връзка с околната среда.

Един сложен обект може да бъде разделен на подсистеми, които са части от обекта, които отговарят на следните изисквания:

1) подсистемата е функционално независима част от обект. Свързан е с други подсистеми, обменя информация и енергия с тях;

2) за всяка подсистема могат да се дефинират функции или свойства, които не съвпадат със свойствата на цялата система;

3) всяка от подсистемите може да бъде подложена на допълнително разделяне до ниво елементи.

В този случай елементът се разбира като подсистема от по-ниско ниво, чието по-нататъшно разделяне е неподходящо от гледна точка на проблема, който се решава.

По този начин системата може да се определи като представяне на обект под формата на набор от подсистеми, елементи и връзки с цел неговото създаване, изследване или подобряване. В този случай разширеното представяне на системата, включително основните подсистеми и връзките между тях, се нарича макроструктура, а подробното разкриване на вътрешната структура на системата до нивото на елементите се нарича микроструктура.

Наред със системата обикновено съществува и суперсистема - система от по-високо ниво, която включва въпросния обект, като функцията на всяка система може да се определи само чрез суперсистемата.

Необходимо е да се подчертае концепцията за околната среда като набор от обекти на външния свят, които значително влияят върху ефективността на системата, но не са част от системата и нейната надсистема.

Във връзка със системния подход за изграждане на модели се използва концепцията за инфраструктура, която описва връзката на системата с нейната среда (среда). в рамките на конкретна задача се нарича стратификация на обекта, а всеки модел на обекта е неговото стратифицирано описание.

За системния подход е важно да се определи структурата на системата, т.е. набор от връзки между елементи на системата, отразяващи тяхното взаимодействие. За да направим това, първо разглеждаме структурните и функционалните подходи към моделирането.

При структурен подход се разкрива съставът на избраните елементи на системата и връзките между тях. Наборът от елементи и връзки ни позволява да преценим структурата на системата. Най-общото описание на една структура е топологично описание. Тя ви позволява да определите компонентите на системата и техните връзки с помощта на графики. По-малко общо е функционалното описание, когато се разглеждат отделни функции, т.е. алгоритми за поведение на системата. В този случай се прилага функционален подход, който определя функциите, които системата изпълнява.

Въз основа на системния подход може да се предложи последователност от разработване на модела, при която се разграничават два основни етапа на проектиране: макродизайн и микродизайн.

На етапа на макропроектирането се изгражда модел на външната среда, идентифицират се ресурси и ограничения, избира се системен модел и критерии за оценка на адекватността.

Етапът на микродизайн зависи до голяма степен от конкретния тип избран модел. Най-общо това включва създаването на информационни, математически, технически и софтуерни системи за моделиране. На този етап се установяват основните технически характеристики на създадения модел, оценява се необходимото време за работа с него и разходите за ресурси за получаване на определеното качество на модела.

Независимо от вида на модела, при конструирането му е необходимо да се ръководите от редица принципи на систематичен подход:

1) последователно преминаване през етапите на създаване на модел;

2) съгласуване на информация, ресурс, надеждност и други характеристики;

3) правилното съотношение между различните нива на конструиране на модела;

4) целостта на отделните етапи на проектирането на модела.

В тази статия предлагаме примери за математически модели. Освен това ще обърнем внимание на етапите на създаване на модели и ще анализираме някои проблеми, свързани с математическото моделиране.

Друг въпрос, който имаме, са математическите модели в икономиката, примери за които ще разгледаме дефиницията малко по-късно. Предлагаме да започнем нашия разговор със самото понятие „модел“, да разгледаме накратко тяхната класификация и да преминем към нашите основни въпроси.

Понятието "модел"

Често чуваме думата „модел“. Какво е? Този термин има много определения, ето само три от тях:

• специфичен обект, който е създаден, за да получава и съхранява информация, отразяваща някои свойства или характеристики и т.н., на оригинала на този обект (този специфичен обект може да бъде изразен в различни форми: умствено, описание с помощта на знаци и т.н.);
• Модел също означава представяне на конкретна ситуация, живот или управление;
• моделът може да бъде намалено копие на обект (те са създадени за по-подробно изследване и анализ, тъй като моделът отразява структурата и връзките).

Въз основа на всичко, което беше казано по-рано, можем да направим малък извод: моделът ви позволява да изучавате подробно сложна система или обект.

Всички модели могат да бъдат класифицирани според редица характеристики:

• по област на използване (образователни, експериментални, научни и технически, игри, симулация);
• по динамика (статични и динамични);
• по отрасъл на знанието (физически, химически, географски, исторически, социологически, икономически, математически);
• по метода на представяне (материален и информационен).

Информационните модели от своя страна се делят на символни и вербални. А символичните - на компютърни и некомпютърни. Сега нека да преминем към подробно разглеждане на примери за математическия модел.

Математически модел

Както може би се досещате, математическият модел отразява всякакви характеристики на обект или явление, използвайки специални математически символи. Математиката е необходима, за да се моделират моделите на заобикалящия свят на неговия специфичен език.

Методът на математическото моделиране е възникнал доста отдавна, преди хиляди години, заедно с появата на тази наука. Тласъкът за развитието на този метод на моделиране обаче е даден от появата на компютри (електронни компютри).

Сега да преминем към класификацията. Може да се извърши и според някои признаци. Те са представени в таблицата по-долу.

Предлагаме да спрем и да разгледаме по-отблизо най-новата класификация, тъй като тя отразява общите модели на моделиране и целите на създаваните модели.

Описателни модели

В тази глава предлагаме да се спрем по-подробно на описателните математически модели. За да стане всичко много ясно, ще бъде даден пример.

Нека започнем с факта, че този тип може да се нарече описателен. Това се дължи на факта, че ние просто правим изчисления и прогнози, но не можем по никакъв начин да повлияем на резултата от събитието.

Ярък пример за описателен математически модел е изчисляването на траекторията на полета, скоростта и разстоянието от Земята на комета, нахлула в просторите на нашата слънчева система. Този модел е описателен, тъй като всички получени резултати могат само да ни предупредят за всяка опасност. За съжаление не можем да повлияем на изхода от събитието. Въз основа на получените изчисления обаче е възможно да се предприемат всякакви мерки за запазване на живота на Земята.

Оптимизационни модели

Сега ще поговорим малко за икономически и математически модели, примери за които могат да служат като различни текущи ситуации. В този случай говорим за модели, които помагат да се намери правилният отговор при определени условия. Определено имат някакви параметри. За да стане напълно ясно, нека да разгледаме един пример от селскостопанския сектор.

Имаме хамбар, но зърното много бързо се разваля. В този случай трябва да изберем правилните температурни условия и да оптимизираме процеса на съхранение.

По този начин можем да дефинираме понятието „модел на оптимизация“. В математически смисъл това е система от уравнения (както линейни, така и не), чието решение помага да се намери оптималното решение в конкретна икономическа ситуация. Разгледахме пример за математически модел (оптимизация), но бих искал да добавя: този тип принадлежи към класа на екстремните проблеми, те помагат да се опише функционирането на икономическата система.

Нека отбележим още един нюанс: моделите могат да бъдат от различно естество (вижте таблицата по-долу).

Многокритериални модели

Сега ви каним да поговорим малко за математическия модел на многокритериалната оптимизация. Преди това дадохме пример за математически модел за оптимизиране на процес според всеки един критерий, но какво ще стане, ако има много от тях?

Ярък пример за многокритериална задача е организирането на правилно, здравословно и в същото време икономично хранене за големи групи хора. Такива задачи често се срещат в армията, училищните столове, летните лагери, болниците и т.н.

Какви критерии са ни дадени в тази задача?

1. Храненето трябва да е здравословно.
2. Разходите за храна трябва да са минимални.

Както можете да видите, тези цели изобщо не съвпадат. Това означава, че при решаването на даден проблем е необходимо да се търси оптимално решение, баланс между два критерия.

Игрови модели

Когато говорим за модели на игри, е необходимо да разберем понятието „теория на игрите“. Просто казано, тези модели отразяват математически модели на реални конфликти. Просто трябва да разберете, че за разлика от истинския конфликт, математическият модел на играта има свои специфични правила.

Сега ще предоставим минимум информация от теорията на игрите, която ще ви помогне да разберете какво представлява моделът на играта. И така, моделът задължително съдържа партии (две или повече), които обикновено се наричат ​​играчи.

Всички модели имат определени характеристики.

Моделът на играта може да бъде сдвоен или множество. Ако имаме два субекта, тогава конфликтът е двоен, ако са повече, той е множествен. Можете също така да различите антагонистична игра, тя се нарича още игра с нулева сума. Това е модел, при който печалбата на един от участниците е равна на загубата на другия.

Симулационни модели

В този раздел ще обърнем внимание на симулационните математически модели. Примерите за задачи включват:

• модел на динамика на популацията на микроорганизми;
• модел на молекулярно движение и т.н.

В този случай говорим за модели, които са максимално близки до реалните процеси. Като цяло те имитират някакво проявление в природата. В първия случай, например, можем да симулираме динамиката на броя на мравките в една колония. В същото време можете да наблюдавате съдбата на всеки отделен индивид. В този случай рядко се използва математическо описание, по-често присъстват писмени условия:

• след пет дни женската снася яйца;
• след двадесет дни мравката умира и т.н.

По този начин те се използват за описание на голяма система. Математически извод е обработката на получените статистически данни.

Изисквания

Много е важно да знаете, че този тип модели имат някои изисквания, включително тези, посочени в таблицата по-долу.

Етапи на моделиране

Като цяло математическото моделиране обикновено се разделя на четири етапа.

1. Формулиране на закони, свързващи части от модела.
2. Изучаване на математически проблеми.
3. Установяване на съвпадението на практически и теоретични резултати.
4. Анализ и модернизация на модела.

Икономически и математически модел

В този раздел ще подчертаем накратко проблема, като примерите за задачи включват:

• формиране на производствена програма за производство на месни продукти, която осигурява максимална производствена печалба;
• максимизиране на печалбата на организацията чрез изчисляване на оптималното количество маси и столове, произведени в мебелна фабрика и т.н.

Икономико-математическият модел показва икономическа абстракция, която се изразява с помощта на математически термини и символи.

Компютърен математически модел

Примери за компютърен математически модел са:

• хидравлични проблеми с помощта на блок-схеми, диаграми, таблици и др.;
• задачи по механика на твърдо тяло и т.н.

Компютърният модел е изображение на обект или система, представено във формата:

• маси;
• блокови схеми;
• диаграми;
• графики и така нататък.

Освен това този модел отразява структурата и взаимовръзките на системата.

Изграждане на икономико-математически модел

Вече говорихме за това какво е икономико-математически модел. Пример за решаване на проблема ще бъде разгледан точно сега. Трябва да анализираме производствената програма, за да идентифицираме резерв за увеличаване на печалбите с промяна в асортимента.

Няма да разглеждаме цялостно проблема, а само ще изградим икономико-математически модел. Критерият на нашата задача е максимизиране на печалбата. Тогава функцията има вида: А=р1*х1+р2*х2..., клоняща към максимума. В този модел p е печалбата на единица, а x е броят на произведените единици. След това, въз основа на конструирания модел, е необходимо да се направят изчисления и да се обобщят.

Пример за изграждане на прост математически модел

Задача.Рибарят се върна със следния улов:

• 8 риби - обитатели на северните морета;
• 20% от улова са жители на южните морета;
• От местната река не се намери нито една риба.

Колко риби е купил от магазина?

И така, пример за конструиране на математически модел на този проблем изглежда така. Означаваме общия брой риби с x. Следвайки условието, 0,2x е броят на рибите, живеещи в южните ширини. Сега комбинираме цялата налична информация и получаваме математически модел на проблема: x=0,2x+8. Решаваме уравнението и получаваме отговора на основния въпрос: той купи 10 риби в магазина.