Скорост на движение при движение в кръг. Движение на тяло по окръжност с постоянна абсолютна скорост
В този урок ще разгледаме криволинейното движение, а именно равномерното движение на тяло в кръг. Ще научим какво е линейна скорост, центростремително ускорение при движение на тялото в кръг. Ще въведем и величини, които характеризират въртеливото движение (период на въртене, честота на въртене, ъглова скорост) и ще свържем тези величини една с друга.
Под равномерно кръгово движение имаме предвид, че тялото се завърта под същия ъгъл за всеки еднакъв период от време (виж фиг. 6).
Ориз. 6. Равномерно движение в кръг
Тоест, модулът на моментната скорост не се променя:
Тази скорост се нарича линеен.
Въпреки че големината на скоростта не се променя, посоката на скоростта се променя непрекъснато. Нека разгледаме векторите на скоростта в точки АИ б(виж Фиг. 7). Те са насочени в различни посоки, така че не са равни. Ако извадим от скоростта в точката бскорост в точката А, получаваме вектора.
Ориз. 7. Вектори на скоростта
Съотношението на промяната в скоростта () към времето, през което е настъпила тази промяна () е ускорението.
Следователно всяко криволинейно движение се ускорява.
Ако разгледаме триъгълника на скоростта, получен на фигура 7, тогава с много близко разположение на точките АИ бедин спрямо друг, ъгълът (α) между векторите на скоростта ще бъде близо до нула:
Известно е също, че този триъгълник е равнобедрен, следователно модулите на скоростта са равни (равномерно движение):
Следователно и двата ъгъла в основата на този триъгълник са неопределено близки до:
Това означава, че ускорението, което е насочено по вектора, всъщност е перпендикулярно на тангентата. Известно е, че права в окръжност, перпендикулярна на допирателна, е радиус, следователно ускорението е насочено по радиуса към центъра на окръжността. Това ускорение се нарича центростремително.
Фигура 8 показва обсъдения по-рано триъгълник на скоростта и равнобедрен триъгълник (двете страни са радиусите на окръжността). Тези триъгълници са подобни, защото имат равни ъгли, образувани от взаимно перпендикулярни прави (радиусът и векторът са перпендикулярни на допирателната).
Ориз. 8. Илюстрация за извеждане на формулата за центростремително ускорение
Линеен сегмент ABе move(). Разглеждаме равномерно движение в кръг, следователно:
Нека заместим получения израз за ABвъв формулата за подобие на триъгълник:
Понятията „линейна скорост“, „ускорение“, „координата“ не са достатъчни, за да опишат движението по крива траектория. Следователно е необходимо да се въведат величини, характеризиращи въртеливото движение.
1. Период на ротация (T ) се нарича време на една пълна революция. Измерено в единици SI в секунди.
Примери за периоди: Земята се завърта около оста си за 24 часа (), а около Слънцето - за 1 година ().
Формула за изчисляване на периода:
където е общото време на въртене; - брой обороти.
2. Честота на въртене (н ) - броят на оборотите, които едно тяло прави за единица време. Измерено в единици SI в реципрочни секунди.
Формула за намиране на честотата:
където е общото време на въртене; - брой обороти
Честотата и периодът са обратно пропорционални величини:
3. Ъглова скорост () наричаме съотношението на промяната в ъгъла, през който тялото се обърна към времето, през което се случи това въртене. Измерва се в единици SI в радиани, разделени на секунди.
Формула за намиране на ъглова скорост:
къде е промяната в ъгъла; - време, през което е настъпил завой през ъгъла.
Важен частен случай на движение на частица по дадена траектория е движението в окръжност. Позицията на частица върху окръжност (фиг. 46) може да бъде определена, като се посочи не разстоянието от някаква начална точка А, а ъгълът, образуван от радиуса, изтеглен от центъра О на окръжността към частицата с радиус, изтеглен до началната точка А.
Наред със скоростта на движение по траекторията, която се определя като
удобно е да се въведе ъглова скорост, която характеризира скоростта на промяна на ъгъла
Скоростта на движение по траекторията се нарича още линейна скорост. Нека установим връзка между линейните и ъгловите скорости. Дължината на дъгата I, обхващаща ъгъла, е равна на радиуса на окръжността, а ъгълът се измерва в радиани. Следователно ъгловата скорост co е свързана с линейната скорост чрез връзката
Ориз. 46. Ъгълът определя позицията на точка върху окръжност
Ускорението при движение в кръг, както и при произволно криволинейно движение, в общия случай има две компоненти: тангенциална, насочена тангенциално към окръжността и характеризираща скоростта на промяна на стойността на скоростта, и нормална, насочена към центъра на окръжността. кръг и характеризиращ скоростта на изменение на посоката на скоростта.
Стойността на нормалния компонент на ускорението, наречено в този случай (кръгово движение) центростремително ускорение, се дава от общата формула (3) § 8, в която сега линейната скорост може да бъде изразена чрез ъглова скорост с помощта на формула (3 ):
Тук радиусът на окръжността, разбира се, е еднакъв за всички точки от траекторията.
При равномерно движение в кръг, когато стойността е постоянна, ъгловата скорост co, както се вижда от (3), също е постоянна. В този случай понякога се нарича циклична честота.
Период и честота.За характеризиране на равномерното кръгово движение, заедно с c, е удобно да се използва периодът на оборот T, дефиниран като времето, през което се прави един пълен оборот, и честотата - реципрочната стойност на периода T, която е равна на броя на обороти за единица време:
От определението (2) за ъгловата скорост следва връзката между величините
Тази връзка ни позволява да запишем формула (4) за центростремително ускорение в следната форма:
Имайте предвид, че ъгловата скорост co се измерва в радиани за секунда, а честотата се измерва в обороти за секунда. Размерите на и са еднакви, тъй като тези количества се различават само с числов фактор
Задача
По околовръстното шосе. Релсите на железопътната играчка образуват радиусен пръстен (фиг. 47). Автомобилът се движи по тях, тласкан от прът, който се върти с постоянна ъглова скорост около точка, разположена вътре в пръстена почти до самите релси. Как се променя скоростта на ремаркето, докато се движи?
Ориз. 47. Да се намери ъгловата скорост при движение по околовръстен път
Решение. Ъгълът, образуван от прът с определена посока, се променя с времето по линеен закон: . Като посока, от която се измерва ъгълът, е удобно да се вземе диаметърът на окръжността, преминаваща през точката (фиг. 47). Точка O е центърът на окръжността. Очевидно е, че централният ъгъл, който определя позицията на ремаркето върху окръжността, е два пъти по-голям от вписания ъгъл върху същата дъга: Следователно ъгловата скорост от ремаркето при движение по релсите е два пъти по-голяма от ъгловата скорост, с която прътът върти се:
Така ъгловата скорост от ремаркето се оказа постоянна. Това означава, че ремаркето се движи равномерно по релсите. Линейната му скорост е постоянна и равна на
Ускорението на ремаркето с такова равномерно кръгово движение винаги е насочено към центъра O, а неговият модул се дава с израз (4):
Вижте формула (4). Как трябва да се разбира: ускорението все още пропорционално ли е или обратно пропорционално?
Обяснете защо при неравномерно движение около окръжност ъгловата скорост co запазва значението си, но губи значението си?
Ъгловата скорост като вектор.В някои случаи е удобно да се разглежда ъгловата скорост като вектор, чиято величина е равна на и неговата постоянна посока е перпендикулярна на равнината, в която лежи кръгът. Използвайки такъв вектор, можете да напишете формула, подобна на (3), която изразява вектора на скоростта на частица, движеща се в кръг.
Ориз. 48. Вектор на ъгловата скорост
Нека поставим началото в центъра O на окръжността. Тогава, когато частицата се движи, нейният радиус-вектор ще се върти само с ъглова скорост co, а нейният модул винаги ще бъде равен на радиуса на окръжността (фиг. 48). Вижда се, че векторът на скоростта, насочен тангенциално към окръжността, може да бъде представен като векторно произведение на вектора на ъгловата скорост с и радиус вектора на частицата:
Векторни произведения на изкуството.По дефиниция кръстосаното произведение на два вектора е вектор, перпендикулярен на равнината, в която лежат умножените вектори. Посоката на векторния продукт се избира съгласно следното правило. Първият фактор е мислено обърнат към втория, сякаш е дръжка на гаечен ключ. Векторният продукт е насочен в същата посока, в която би се движил винт с дясна резба.
Ако факторите във векторно произведение се разменят, тогава то ще промени посоката на противоположното: Това означава, че векторното произведение е некомутативно.
От фиг. 48 може да се види, че формула (8) ще даде правилната посока за вектора, ако векторът co е насочен точно както е показано на тази фигура. Следователно можем да формулираме следното правило: посоката на вектора на ъгловата скорост съвпада с посоката на движение на винт с дясна резба, чиято глава се върти в същата посока, в която частицата се движи около кръга.
По дефиниция модулът на векторно произведение е равен на произведението на модулите на умножените вектори и синуса на ъгъла a между тях:
Във формула (8) умножените вектори с и са перпендикулярни един на друг, следователно, както трябва да бъде в съответствие с формула (3).
Какво можете да кажете за кръстосаното произведение на два успоредни вектора?
Каква е посоката на вектора на ъгловата скорост на стрелката на часовника? Как се различават тези вектори за минутната и часовата стрелка?
Равномерно движение около кръг- това е най-простият пример. Например краят на стрелката на часовника се движи в кръг около циферблата. Скоростта на движение на тялото в кръг се нарича линейна скорост.
При равномерно движение на тяло в кръг модулът на скоростта на тялото не се променя с времето, т.е. v = const, и се променя само посоката на вектора на скоростта; в този случай няма промяна (a r = 0), а промяната на вектора на скоростта по посока се характеризира с величина, наречена центростремително ускорение() n или CS. Във всяка точка векторът на центростремителното ускорение е насочен към центъра на окръжността по радиуса.
Модулът на центростремителното ускорение е равен на
a CS = v 2 / R
Където v е линейна скорост, R е радиусът на окръжността
Ориз. 1.22. Движение на тяло в кръг.
Когато описваме движението на тяло в окръжност, използваме радиус ъгъл на завъртане– ъгълът φ, през който за време t се завърта радиусът, прекаран от центъра на окръжността до точката, в която се намира движещото се тяло в този момент. Ъгълът на завъртане се измерва в радиани. равен на ъгъла между два радиуса на окръжност, дължината на дъгата между които е равна на радиуса на окръжността (фиг. 1.23). Тоест, ако l = R, тогава
1 радиан = l / R
защото обиколкаравна на
l = 2πR
360 o = 2πR / R = 2π rad.
Следователно
1 рад. = 57.2958 o = 57 o 18'
Ъглова скоростравномерното движение на тялото в кръг е стойността ω, равна на съотношението на ъгъла на въртене на радиуса φ към периода от време, през който се извършва това въртене:
ω = φ / t
Мерната единица за ъглова скорост е радиан за секунда [rad/s]. Модулът на линейната скорост се определя от отношението на дължината на изминатия път l към интервала от време t:
v=l/t
Линейна скоростс равномерно движение около окръжност, тя е насочена по допирателна в дадена точка от окръжността. Когато една точка се движи, дължината l на дъгата на окръжност, пресечена от точката, е свързана с ъгъла на завъртане φ с израза
l = Rφ
където R е радиусът на окръжността.
Тогава при равномерно движение на точката линейната и ъгловата скорости са свързани със съотношението:
v = l / t = Rφ / t = Rω или v = Rω
Ориз. 1.23. радиан.
Период на обръщение– това е периодът от време T, през който тялото (точката) прави един оборот по окръжността. Честота– това е реципрочната стойност на периода на въртене – броят обороти за единица време (в секунда). Честотата на циркулация се обозначава с буквата n.
n=1/T
За един период ъгълът на завъртане φ на точка е равен на 2π rad, следователно 2π = ωT, откъдето
T = 2π/ω
Тоест ъгловата скорост е равна на
ω = 2π / T = 2πn
Центростремително ускорениеможе да се изрази като период T и честота на циркулация n:
a CS = (4π 2 R) / T 2 = 4π 2 Rn 2
Тъй като линейната скорост равномерно променя посоката, кръговото движение не може да се нарече равномерно, то е равномерно ускорено.
Ъглова скорост
Нека изберем точка от окръжността 1 . Нека изградим радиус. За единица време точката ще се премести в точка 2 . В този случай радиусът описва ъгъла. Ъгловата скорост е числено равна на ъгъла на завъртане на радиуса за единица време.
Период и честота
Период на въртене T- това е времето, през което тялото прави един оборот.
Честотата на въртене е броят на оборотите в секунда.
Честотата и периодът са взаимосвързани чрез връзката
Връзка с ъгловата скорост
Линейна скорост
Всяка точка от кръга се движи с определена скорост. Тази скорост се нарича линейна. Посоката на вектора на линейната скорост винаги съвпада с допирателната към окръжността.Например, искри изпод шлифовъчна машина се движат, повтаряйки посоката на моментната скорост.
Помислете за точка от окръжност, която прави едно завъртане, изразходваното време е периодът TПътят, който една точка изминава, е обиколката.
Центростремително ускорение
При движение в кръг векторът на ускорението винаги е перпендикулярен на вектора на скоростта, насочен към центъра на кръга.
Използвайки предишните формули, можем да изведем следните зависимости
Точките, лежащи на една и съща права линия, излизаща от центъра на кръга (например, това могат да бъдат точки, които лежат върху спиците на колело), ще имат еднакви ъглови скорости, период и честота. Тоест те ще се въртят по същия начин, но с различни линейни скорости. Колкото по-далеч е една точка от центъра, толкова по-бързо ще се движи.
Законът за събиране на скоростите е валиден и за въртеливото движение. Ако движението на тяло или референтна система не е равномерно, тогава законът се прилага за моментните скорости. Например, скоростта на човек, който върви по ръба на въртяща се въртележка, е равна на векторната сума на линейната скорост на въртене на ръба на въртележката и скоростта на човека.
Земята участва в две основни въртеливи движения: денонощно (около оста си) и орбитално (около Слънцето). Периодът на въртене на Земята около Слънцето е 1 година или 365 дни. Земята се върти около оста си от запад на изток, периодът на това въртене е 1 ден или 24 часа. Географската ширина е ъгълът между равнината на екватора и посоката от центъра на Земята към точка на нейната повърхност.
Според втория закон на Нютон причината за всяко ускорение е силата. Ако движещо се тяло изпитва центростремително ускорение, тогава природата на силите, които причиняват това ускорение, може да бъде различна. Например, ако едно тяло се движи в кръг по въже, вързано за него, тогава действащата сила е еластичната сила.
Ако тяло, лежащо върху диск, се върти с диска около оста си, тогава такава сила е силата на триене. Ако силата спре своето действие, тогава тялото ще продължи да се движи по права линия
Помислете за движението на точка по окръжност от A до B. Линейната скорост е равна на
Сега нека преминем към стационарна система, свързана със земята. Общото ускорение на точка А ще остане същото както по големина, така и по посока, тъй като при преминаване от една инерционна референтна система към друга ускорението не се променя. От гледна точка на неподвижен наблюдател, траекторията на точка А вече не е кръг, а по-сложна крива (циклоида), по която точката се движи неравномерно.
Кръговото движение е най-простият случай на криволинейно движение на тяло. Когато тялото се движи около определена точка, заедно с вектора на преместване е удобно да въведете ъгловото изместване ∆ φ (ъгъл на въртене спрямо центъра на окръжността), измерено в радиани.
Познавайки ъгловото изместване, можете да изчислите дължината на кръговата дъга (пътя), която тялото е изминало.
∆ l = R ∆ φ
Ако ъгълът на завъртане е малък, тогава ∆ l ≈ ∆ s.
Нека илюстрираме казаното:
Ъглова скорост
При криволинейно движение се въвежда понятието ъглова скорост ω, т.е. скоростта на промяна на ъгъла на въртене.
Определение. Ъглова скорост
Ъгловата скорост в дадена точка от траекторията е границата на съотношението на ъгловото преместване ∆ φ към интервала от време ∆ t, през който се е случило. ∆ t → 0 .
ω = ∆ φ ∆ t , ∆ t → 0 .
Мерната единица за ъглова скорост е радиан в секунда (r a d s).
Съществува връзка между ъгловата и линейната скорост на тялото при движение в кръг. Формула за намиране на ъглова скорост:
При равномерно движение в кръг скоростите v и ω остават непроменени. Променя се само посоката на вектора на линейната скорост.
В този случай равномерното движение в кръг влияе на тялото чрез центростремително или нормално ускорение, насочено по радиуса на кръга към неговия център.
a n = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0
Модулът на центростремителното ускорение може да се изчисли по формулата:
a n = v 2 R = ω 2 R
Нека докажем тези отношения.
Нека разгледаме как векторът v → се променя за кратък период от време ∆ t. ∆ v → = v B → - v A → .
В точки A и B векторът на скоростта е насочен тангенциално към окръжността, докато модулите на скоростта в двете точки са еднакви.
По дефиниция на ускорението:
a → = ∆ v → ∆ t, ∆ t → 0
Да погледнем снимката:
Триъгълниците OAB и BCD са подобни. От това следва, че O A A B = B C C D .
Ако стойността на ъгъла ∆ φ е малка, разстоянието A B = ∆ s ≈ v · ∆ t. Като вземем предвид, че O A = R и C D = ∆ v за подобни триъгълници, разгледани по-горе, получаваме:
R v ∆ t = v ∆ v или ∆ v ∆ t = v 2 R
Когато ∆ φ → 0, посоката на вектора ∆ v → = v B → - v A → се доближава до посоката към центъра на окръжността. Ако приемем, че ∆ t → 0, получаваме:
a → = a n → = ∆ v → ∆ t ; ∆ t → 0 ; a n → = v 2 R .
При равномерно движение около кръг модулът на ускорението остава постоянен и посоката на вектора се променя с времето, запазвайки ориентацията към центъра на кръга. Ето защо това ускорение се нарича центростремително: векторът във всеки момент от времето е насочен към центъра на окръжността.
Записването на центростремително ускорение във векторна форма изглежда така:
a n → = - ω 2 R → .
Тук R → е радиус векторът на точка от окръжност с начало в центъра.
Най-общо ускорението при движение в кръг се състои от две компоненти - нормална и тангенциална.
Нека разгледаме случая, когато тялото се движи неравномерно по окръжност. Нека въведем концепцията за тангенциално (тангенциално) ускорение. Посоката му съвпада с посоката на линейната скорост на тялото и във всяка точка от окръжността е насочена допирателна към нея.
a τ = ∆ v τ ∆ t ; ∆ t → 0
Тук ∆ v τ = v 2 - v 1 - промяна в модула на скоростта през интервала ∆ t
Посоката на пълното ускорение се определя от векторната сума на нормалното и тангенциалното ускорение.
Кръговото движение в равнина може да се опише с помощта на две координати: x и y. Във всеки момент скоростта на тялото може да се разложи на компоненти v x и v y.
Ако движението е равномерно, величините v x и v y, както и съответните координати ще се променят във времето по хармоничен закон с период T = 2 π R v = 2 π ω
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
