Решаване на хомогенна система от примери за линейни алгебрични уравнения. Основна система за вземане на решения (конкретен пример)

Цел на услугата. Онлайн калкулаторът е предназначен да намери нетривиално и фундаментално решение на SLAE. Полученото решение се записва във файл на Word (вижте примерно решение).

Инструкции. Изберете измерение на матрицата:

Свойства на системи от линейни еднородни уравнения

Теорема. Система в случай m=n има нетривиално решение тогава и само ако детерминантата на тази система е равна на нула.

Теорема. Всяка линейна комбинация от решения на система също е решение на тази система.
Определение. Множеството от решения на система от линейни еднородни уравнения се нарича фундаментална система от решения, ако това множество се състои от линейно независими решения и всяко решение на системата е линейна комбинация от тези решения.

Теорема. Ако рангът r на системната матрица е по-малък от броя n на неизвестните, тогава съществува фундаментална система от решения, състояща се от (n-r) решения.

Алгоритъм за решаване на системи от линейни еднородни уравнения

1. Намиране на ранга на матрицата.
2. Избираме основния минор. Различаваме зависими (основни) и свободни неизвестни.
3. Зачеркваме тези уравнения на системата, чиито коефициенти не са включени в базисния минор, тъй като те са следствия от останалите (според теоремата за базисния минор).
4. Преместваме членовете на уравненията, съдържащи свободни неизвестни, в дясната страна. В резултат на това получаваме система от r уравнения с r неизвестни, еквивалентна на дадената, чиято детерминанта е различна от нула.
5. Ние решаваме получената система чрез елиминиране на неизвестни. Намираме връзки, изразяващи зависими променливи чрез свободни.
6. Ако рангът на матрицата не е равен на броя на променливите, тогава намираме фундаменталното решение на системата.
7. В случай rang = n имаме тривиално решение.

Пример. Намерете основата на системата от вектори (a 1, a 2,...,a m), степенувайте и изразете векторите въз основа на основата. Ако a 1 =(0,0,1,-1), и 2 =(1,1,2,0), и 3 =(1,1,1,1), и 4 =(3,2,1 ,4) и 5 ​​=(2,1,0,3).
Нека напишем основната матрица на системата:

Хомогенната система винаги е последователна и има тривиално решение
. За да съществува нетривиално решение, е необходимо рангът на матрицата беше по-малко от броя на неизвестните:

.

Фундаментална система от решения хомогенна система
наричаме система от решения под формата на колонни вектори
, които отговарят на каноничната основа, т.е. основа, в която произволни константи
последователно се задават равни на единица, докато останалите се задават на нула.

Тогава общото решение на хомогенната система има вида:

Където
- произволни константи. С други думи, цялостното решение е линейна комбинация от основната система от решения.

По този начин основни решения могат да бъдат получени от общото решение, ако на свободните неизвестни се даде стойност на единица на свой ред, като всички останали се определят като нула.

Пример. Нека намерим решение на системата

Нека приемем, тогава получаваме решение във формата:

Нека сега изградим фундаментална система от решения:

.

Общото решение ще бъде написано като:

Решенията на система от хомогенни линейни уравнения имат следните свойства:

С други думи, всяка линейна комбинация от решения на хомогенна система отново е решение.

Решаване на системи от линейни уравнения по метода на Гаус

Решаването на системи от линейни уравнения интересува математиците от няколко века. Първите резултати са получени през 18 век. През 1750 г. Г. Крамер (1704–1752) публикува своите трудове върху детерминантите на квадратните матрици и предлага алгоритъм за намиране на обратната матрица. През 1809 г. Гаус очертава нов метод на решение, известен като метод на елиминиране.

Методът на Гаус или методът за последователно елиминиране на неизвестни се състои в това, че с помощта на елементарни трансформации система от уравнения се свежда до еквивалентна система от стъпкова (или триъгълна) форма. Такива системи позволяват последователното намиране на всички неизвестни в определен ред.

Да приемем, че в системата (1)
(което винаги е възможно).

(1)

Умножавайки първото уравнение едно по едно по т.нар подходящи числа

и добавяйки резултата от умножението със съответните уравнения на системата, получаваме еквивалентна система, в която във всички уравнения с изключение на първото няма да има неизвестни х 1

(2)

Нека сега умножим второто уравнение на системата (2) с подходящи числа, като приемем, че

,

и добавяйки го с по-ниските, елиминираме променливата от всички уравнения, започвайки от третото.

Продължавайки този процес, след
стъпка, която получаваме:

(3)

Ако поне едно от числата
не е равно на нула, то съответното равенство е противоречиво и системата (1) е несъстоятелна. Обратно, за всяка съвместна бройна система
са равни на нула. Номер не е нищо повече от ранга на матрицата на системата (1).

Преходът от система (1) към (3) се нарича право напред Метод на Гаус и намиране на неизвестните от (3) – наобратно .

Коментирайте : По-удобно е да се извършват трансформации не със самите уравнения, а с разширената матрица на системата (1).

Пример. Нека намерим решение на системата

.

Нека напишем разширената матрица на системата:

.

Нека добавим първия към редове 2,3,4, умножени съответно по (-2), (-3), (-2):

.

Нека разменим редове 2 и 3, след това в получената матрица добавете ред 2 към ред 4, умножено по :

.

Добавете към ред 4 ред 3, умножено по
:

.

Очевидно е, че
следователно системата е последователна. От получената система от уравнения

намираме решението чрез обратно заместване:

,
,
,
.

Пример 2.Намерете решение на системата:

.

Очевидно е, че системата е непоследователна, т.к
, А
.

Предимства на метода на Гаус :

По-малко трудоемък от метода на Cramer.

Недвусмислено установява съвместимостта на системата и ви позволява да намерите решение.

Дава възможност да се определи ранга на всякакви матрици.

Линейното уравнение се нарича хомогенен, ако неговият свободен член е равен на нула, и нееднороден в противен случай. Система, състояща се от хомогенни уравнения, се нарича хомогенна и има общ вид:

Очевидно е, че всяка хомогенна система е непротиворечива и има нулево (тривиално) решение. Следователно, когато се прилага към хомогенни системи от линейни уравнения, често трябва да се търси отговор на въпроса за съществуването на ненулеви решения. Отговорът на този въпрос може да се формулира като следната теорема.

Теорема . Хомогенна система от линейни уравнения има ненулево решение тогава и само ако нейният ранг е по-малък от броя на неизвестните .

Доказателство: Нека приемем, че система с равен ранг има ненулево решение. Очевидно не надвишава. В случай, че системата има уникално решение. Тъй като система от хомогенни линейни уравнения винаги има нулево решение, тогава нулевото решение ще бъде това уникално решение. Следователно ненулеви решения са възможни само за .

Следствие 1 : Хомогенна система от уравнения, в която броят на уравненията е по-малък от броя на неизвестните, винаги има ненулево решение.

Доказателство: Ако система от уравнения има , то рангът на системата не надвишава броя на уравненията, т.е. . По този начин условието е изпълнено и следователно системата има ненулево решение.

Следствие 2 : Хомогенна система от уравнения с неизвестни има ненулево решение тогава и само ако нейният детерминант е нула.

Доказателство: Да приемем, че система от линейни еднородни уравнения, чиято матрица с детерминанта , има ненулево решение. Тогава, според доказаната теорема, и това означава, че матрицата е сингулярна, т.е. .

Хомогенна система от линейни алгебрични уравнения.

Система от m линейни уравнения с n променливи се нарича система от линейни хомогенни уравнения, ако всички свободни членове са равни на 0. Система от линейни хомогенни уравнения винаги е последователна, тъй като винаги има поне нулево решение. Система от линейни хомогенни уравнения има ненулево решение тогава и само ако рангът на нейната матрица от коефициенти за променливи е по-малък от броя на променливите, т.е. за ранг A (n. Всяка линейна комбинация

Lin системни решения. хомогенен. ur-ii също е решение на тази система.

Система от линейни независими решения e1, e2,...,еk се нарича фундаментална, ако всяко решение на системата е линейна комбинация от решения. Теорема: ако рангът r на матрицата от коефициенти за променливите на система от линейни хомогенни уравнения е по-малък от броя на променливите n, тогава всяка фундаментална система от решения на системата се състои от n-r решения. Следователно общото решение на линейната система. един ден ur-th има формата: c1e1+c2e2+...+skek, където e1, e2,..., ek е всяка фундаментална система от решения, c1, c2,...,ck са произволни числа и k=n-r. Общото решение на система от m линейни уравнения с n променливи е равно на сумата

на общото решение на съответстващата му система е хомогенна. линейни уравнения и произволно частно решение на тази система.

7. Линейни пространства. Подпространства. Основа, измерение. Линейна обвивка. Линейно пространство се нарича n-мерен, ако съдържа система от линейно независими вектори, а всяка система от по-голям брой вектори е линейно зависима. Номерът се нарича измерение (брой измерения)линейно пространство и се означава с . С други думи, размерността на едно пространство е максималния брой линейно независими вектори на това пространство. Ако такова число съществува, тогава пространството се нарича крайномерно. Ако за всяко естествено число n съществува система в пространството, състояща се от линейно независими вектори, тогава такова пространство се нарича безкрайномерно (написано: ). В това, което следва, освен ако не е посочено друго, ще се разглеждат крайномерни пространства.

Основата на n-мерното линейно пространство е подредена колекция от линейно независими вектори ( базисни вектори).

Теорема 8.1 за разлагането на вектор по базис. Ако е основата на n-мерно линейно пространство, тогава всеки вектор може да бъде представен като линейна комбинация от базисни вектори:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
и освен това по единствения начин, т.е. коефициентите се определят еднозначно.С други думи, всеки вектор на пространството може да бъде разширен в основа и освен това по уникален начин.

Всъщност измерението на пространството е . Системата от вектори е линейно независима (това е базис). След като добавим всеки вектор към основата, получаваме линейно зависима система (тъй като тази система се състои от вектори от n-мерно пространство). Използвайки свойството на 7 линейно зависими и линейно независими вектора, получаваме заключението на теоремата.

6.3. ХОМОГЕННИ СИСТЕМИ ЛИНЕЙНИ УРАВНЕНИЯ

Нека сега в системата (6.1).

Хомогенната система винаги е последователна. Решение () е наречен нула, или тривиален.

Една хомогенна система (6.1) има ненулево решение тогава и само ако нейният ранг ( ) е по-малко от броя на неизвестните. По-специално, хомогенна система, в която броят на уравненията е равен на броя на неизвестните, има ненулево решение тогава и само ако нейният детерминант е нула.

Защото този път всичко, вместо формули (6.6) получаваме следното:

(6.7)

Формулите (6.7) съдържат всяко решение на хомогенната система (6.1).

1. Множеството от всички решения на хомогенната система от линейни уравнения (6.1) образува линейно пространство.

2. Линейно пространствоРвсички решения на хомогенната система от линейни уравнения (6.1) сннеизвестни и рангът на основната матрица е равен наr, има измерениеn–r.

Всеки набор от (n–r) линейно независими решения на хомогенната система (6.1) образува базис в пространствотоРвсички решения. Нарича се фундаменталеннабор от решения на хомогенната система от уравнения (6.1). Специален акцент се поставя върху "нормален"фундаментално множество от решения на хомогенната система (6.1):

(6.8)

По дефиниция на основата всяко решение ххомогенна система (6.1) може да бъде представена във формата

(6.9)

Където – произволни константи.

Тъй като формула (6.9) съдържа всяко решение на хомогенната система (6.1), тя дава общо решениетази система.

Пример.

Решениенамерете с помощта на калкулатор. Алгоритъмът за решаване е същият като при системи от линейни нехомогенни уравнения.
Работейки само с редове, намираме ранга на матрицата, базисния минор; Декларираме зависими и свободни неизвестни и намираме общо решение.

Пример 2. Намерете общото решение и фундаменталната система от решения на системата
Решение.



,
следва, че рангът на матрицата е 3 и е равен на броя на неизвестните. Това означава, че системата няма свободни неизвестни и следователно има уникално решение - тривиално.

Упражнение . Изследвайте и решавайте система от линейни уравнения.
Пример 4

Упражнение . Намерете общите и частните решения на всяка система.
Решение.Нека напишем основната матрица на системата:

Задача . Намерете фундаментален набор от решения на хомогенна система от линейни уравнения.