Решаване на геометрични задачи: решаване на четириъгълници. Площ на успоредник Площта на успоредник е равна на половината от произведението на неговите диагонали

Задача 4.

Един от диагоналите на успоредник с дължина 4√6 сключва ъгъл 60° с основата, а вторият диагонал сключва ъгъл 45° със същата основа. Намерете втория диагонал.

Решение.

1. AO = 2√6.

2. Прилагаме синусовата теорема към триъгълник AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОД = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Отговор: 12.

Задача 5.

За успоредник със страни 5√2 и 7√2 по-малкият ъгъл между диагоналите е равен на по-малкия ъгъл на успоредника. Намерете сумата от дължините на диагоналите.

Решение.

Нека d 1, d 2 са диагоналите на успоредника, а ъгълът между диагоналите и по-малкия ъгъл на успоредника е равен на φ.

1. Нека преброим две различни
начини неговата площ.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Получаваме равенството 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f или

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Използвайки връзката между страните и диагоналите на успоредника, записваме равенството

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. Нека създадем система:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

Нека умножим второто уравнение на системата по 2 и го добавим към първото.

Получаваме (d 1 + d 2) 2 = 576. Следователно Id 1 + d 2 I = 24.

Тъй като d 1, d 2 са дължините на диагоналите на успоредника, тогава d 1 + d 2 = 24.

Отговор: 24.

Задача 6.

Страните на успоредника са 4 и 6. Острият ъгъл между диагоналите е 45 градуса. Намерете площта на успоредника.

Решение.

1. От триъгълник AOB, използвайки косинусовата теорема, записваме връзката между страната на успоредника и диагоналите.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2) cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. По същия начин записваме релацията за триъгълника AOD.

Нека вземем предвид това<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Получаваме уравнението d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Имаме система
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Като извадим първото от второто уравнение, получаваме 2d 1 · d 2 √2 = 80 или

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Забележка:В тази и предишната задача не е необходимо да се решава системата напълно, като се очаква, че в тази задача се нуждаем от произведението на диагоналите, за да изчислим площта.

Отговор: 10.

Задача 7.

Площта на успоредника е 96, а страните му са 8 и 15. Намерете квадрата на по-малкия диагонал.

Решение.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. Нека направим заместване във формулата.

Получаваме 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Следователно sin ВAD = 4/5.

2. Да намерим cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4/5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9/25.

Според условията на задачата намираме дължината на по-малкия диагонал. Диагоналът ВD ще бъде по-малък, ако ъгълът ВАD е остър. Тогава cos VAD = 3/5.

3. От триъгълника ABD, използвайки косинусовата теорема, намираме квадрата на диагонала BD.

ВD 2 = АВ 2 + АД 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Отговор: 145.

Все още имате въпроси? Не знаете как да решите геометрична задача?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.

Теорема 1.Площта на трапец е равна на произведението на половината от сбора на неговите основи и неговата височина:

Теорема 2.Диагоналите на трапеца го разделят на четири триъгълника, два от които са подобни, а другите два имат еднаква площ:

Теорема 3.Площта на успоредника е равна на произведението на основата и височината, спусната от дадена основа, или произведението на двете страни и синуса на ъгъла между тях:

Теорема 4.В успоредника сборът от квадратите на диагоналите е равен на сбора от квадратите на неговите страни:

Теорема 5.Площта на произволен изпъкнал четириъгълник е равна на половината от произведението на неговите диагонали и синуса на ъгъла между тях:

Теорема 6.Площта на четириъгълник, описан около кръг, е равна на произведението от полупериметъра на този четириъгълник и радиуса на дадения кръг:

Теорема 7.Четириъгълник, чиито върхове са средните точки на страните на произволен изпъкнал четириъгълник, е успоредник, чиято площ е равна на половината от площта на оригиналния четириъгълник:

Теорема 8.Ако изпъкнал четириъгълник има диагонали, които са взаимно перпендикулярни, тогава сборът от квадратите на противоположните страни на този четириъгълник е равен:

AB2 + CD2 = BC2 + AD2.

Статията е публикувана с подкрепата на компанията "DKROST". Детски пързалки, къщички, пясъчници и много други - производство и продажба на детски площадки на едро и дребно. Най-ниски цени, отстъпки, кратки срокове за изработка, посещение и консултация на специалист, гаранция за качество. Можете да научите повече за компанията, да разгледате продуктовия каталог, цени и контакти на уебсайта, който се намира на адрес: http://dkrost.ru/.

Доказателства на някои теореми

Доказателство на теорема 2. Нека ABCD е даден трапец, AD и BC неговите основи, O пресечната точка на диагонали AC и BD на този трапец. Нека докажем, че триъгълниците AOB и COD имат една и съща площ. За да направите това, спуснете перпендикулярите BP и CQ от точки B и C до линията AD. Тогава площта на триъгълника ABD е

И площта на триъгълника ACD е

Тъй като BP = CQ, тогава S∆ABD = S∆ACD. Но площта на триъгълника AOB е разликата между площите на триъгълниците ABD и AOD, а площта на триъгълника COD е разликата между площите на триъгълниците ACD и AOD. Следователно площите на триъгълниците AOB и COD са равни, както се иска да се докаже.

Доказателство на теорема 4. Нека ABCD е успоредник, AB = CD = а, AD = BC = b,
AC = d1, BD = d2, ∠BAD = α, ∠ADC = 180° – α. Нека приложим косинусовата теорема към триъгълник ABD:

Сега прилагайки косинусовата теорема към триъгълник ACD, получаваме:

Събирайки получените равенства член по член, получаваме това Q.E.D.

Доказателство на теорема 5. Нека ABCD е произволен изпъкнал четириъгълник, E е пресечната точка на неговите диагонали, AE = а, BE = b,
CE = c, DE = d, ∠AEB = ∠CED = ϕ, ∠BEC =
= ∠AED = 180° – ϕ. Ние имаме:

Q.E.D.

Доказателство на теорема 6. Нека ABCD е произволен четириъгълник, описан около окръжност, O е центърът на тази окръжност, OK, OL, OM и ON са перпендикулярите, прекарани от точка O върху правите съответно AB, BC, CD и AD. Ние имаме:

където r е радиусът на окръжността, а p е полупериметърът на четириъгълника ABCD.

Доказателство на теорема 7. Нека ABCD е произволен изпъкнал четириъгълник, K, L, M и N са средите съответно на страните AB, BC, CD и AD. Тъй като KL е средната линия на триъгълник ABC, тогава правата KL е успоредна на правата AC и по същия начин правата MN е успоредна на правата AC и следователно KLMN е успоредник. Да разгледаме триъгълника KBL. Площта му е равна на една четвърт от площта на триъгълника ABC. Площта на триъгълника MDN също е равна на една четвърт от площта на триъгълника ACD. следователно

по същия начин,

Означава, че

откъде следва това

Доказателство на теорема 8. Нека ABCD е произволен изпъкнал четириъгълник, чиито диагонали са взаимно перпендикулярни, нека E е пресечната точка на неговите диагонали,
AE = а, BE = b, CE = c, DE = d. Нека приложим Питагоровата теорема към триъгълниците ABE и CDE:
AB2 = AE2 + BE2 = а 2 + b2,
CD2 = CE2 + DE2 = c2 + d2,
следователно,
AB2 + CD2 = а 2 + b2 + c2 + d2.
Сега прилагайки Питагоровата теорема към триъгълници ADE и BCE, получаваме:
AD2 = AE2 + DE2 = а 2 + d2,
BC2 = BE2 + CE2 = b2 + c2,
от къде следва това
AD2 + BC2 = а 2 + b2 + c2 + d2.
Това означава AB2 + CD2 = AD2 + BC2, което трябваше да се докаже.

Решения на проблеми

Проблем 1. Около окръжността е описан трапец с ъгли при основата α и β. Намерете съотношението на площта на трапеца към площта на кръга.

Решение. Нека ABCD е даден трапец, AB и CD са неговите основи, DK и CM са перпендикулярите, прекарани от точки C и D към правата AB. Необходимото съотношение не зависи от радиуса на окръжността. Следователно ще приемем, че радиусът е 1. Тогава площта на кръга е равна на π, нека намерим площта на трапеца. Тъй като триъгълникът ADK е правоъгълен, тогава

По същия начин, от правоъгълния триъгълник BCM намираме, че Тъй като окръжност може да бъде вписана в даден трапец, сумите на противоположните страни са равни:
AB + CD = AD + BC,
от къде го намираме?

Така че площта на трапеца е

и търсеното съотношение е равно на
Отговор:

Проблем 2. В изпъкнал четириъгълник ABCD ъгъл A е равен на 90°, а ъгъл C не надвишава 90°. От върховете B и D перпендикуляри BE и DF са пуснати върху диагонал AC. Известно е, че AE = CF. Докажете, че ъгъл C е прав.

Доказателство. Тъй като ъгъл А е 90°,
и ъгъл C не надвишава 90°, тогава точките E и F лежат на диагонала AC. Без загуба на общост можем да приемем, че AE< AF (в противном случае следует повторить все нижеследующие рассуждения с заменой точек B и D). Пусть ∠ABE = α,
∠EBC = β, ∠FDA = γ, ∠FDC = δ. За нас е достатъчно да докажем, че α + β + γ + δ = π. защото

откъде получаваме това, което трябваше да бъде доказано.

Проблем 3. Периметърът на равнобедрен трапец, описан около окръжност, е равен на p. Намерете радиуса на тази окръжност, ако е известно, че острият ъгъл при основата на трапеца е равен на α.
Решение. Нека ABCD е даден равнобедрен трапец с основи AD и BC, нека BH е височината на този трапец, изпусната от върха B.
Тъй като в даден трапец може да се впише окръжност, тогава

следователно

От правоъгълния триъгълник ABH намираме,

Отговор:

Проблем 4. Даден е трапец ABCD с основи AD и BC. Диагоналите AC и BD се пресичат в точка O, а правите AB и CD се пресичат в точка K. Правата KO пресича страните BC и AD съответно в точки M и N, а ъгъл BAD е 30°. Известно е, че в трапеца ABMN и NMCD може да се впише окръжност. Намерете отношението на повърхнините на триъгълника BKC и трапеца ABCD.

Решение. Както е известно, за произволен трапец, права линия, свързваща точката на пресичане на диагоналите и точката на пресичане на разширенията на страничните страни, разделя всяка от основите наполовина. Така че BM = MC и AN = ND. Освен това, тъй като окръжност може да бъде вписана в трапеца ABMN и NMCD, тогава
BM + AN = AB + MN,
MC + ND = CD + MN.
От това следва, че AB = CD, тоест трапецът ABCD е равнобедрен. Необходимото съотношение на площта не зависи от мащаба, така че можем да приемем, че KN = x, KM = 1. От правоъгълните триъгълници AKN и BKM получаваме, че Записвайки отново вече използваната по-горе връзка
BM + AN = AB + MN ⇔

Трябва да изчислим съотношението:

Тук използвахме факта, че площите на триъгълниците AKD и BKC се отнасят като квадратите на страните KN и KM, тоест като x2.

Отговор:

Задача 5.В изпъкнал четириъгълник ABCD точките E, F, H, G са среди съответно на страните AB, BC, CD, DA, а O е пресечната точка на отсечките EH и FG. Известно е, че EH = а, FG = b, Намерете дължините на диагоналите на четириъгълника.

Решение. Известно е, че ако свържете средните точки на страните на произволен четириъгълник последователно, ще получите успоредник. В нашия случай EFHG е успоредник и O е пресечната точка на неговите диагонали. Тогава

Нека приложим косинусовата теорема към триъгълника FOH:

Тъй като FH е средната линия на триъгълник BCD, тогава

По подобен начин, прилагайки косинусовата теорема към триъгълника EFO, получаваме това

Отговор:

Задача 6.Страничните страни на трапеца са 3 и 5. Известно е, че в трапец може да се впише окръжност. Средната линия на трапеца го разделя на две части, съотношението на техните площи е равно на Намерете основите на трапеца.

Решение. Нека ABCD е даден трапец, AB = 3 и CD = 5 са ​​неговите странични страни, точките K и M са средите съответно на страните AB и CD. Нека, за определеност, AD> BC, тогава площта на трапеца AKMD ще бъде по-голяма от площта на трапеца KBCM. Тъй като KM е средната линия на трапеца ABCD, трапецът AKMD и KBCM имат равни височини. Тъй като площта на трапеца е равна на произведението на половината от сбора на основите и височината, е вярно следното равенство:

Освен това, тъй като окръжност може да бъде вписана в трапеца ABCD, тогава AD + BC = AB + CD = 8. Тогава KM = 4 като средната линия на трапеца ABCD. Нека BC = x, тогава AD = 8 – x. Ние имаме:
Така че BC = 1 и AD = 7.

Отговор: 1 и 7.

Проблем 7. Основата AB на трапеца ABCD е два пъти по-дълга от основата CD и два пъти по-дълга от страната AD. Дължината на диагонала AC е а, а дължината на страната BC е равна на b. Намерете площта на трапеца.

Решение. Нека E е пресечната точка на продълженията на страничните страни на трапеца и CD = x, тогава AD = x, AB = 2x. Отсечката CD е успоредна на отсечката AB и е половината от нейната дължина, което означава, че CD е средната линия на триъгълник ABE. Следователно CE = BC = b и DE = AD = x, следователно AE = 2x. И така, триъгълникът ABE е равнобедрен (AB = AE) и AC е неговата медиана. Следователно AC е и надморската височина на този триъгълник, което означава

Тъй като триъгълник DEC е подобен на триъгълник AEB с коефициент на подобие, тогава

Отговор:

Проблем 8. Диагоналите на трапеца ABCD се пресичат в точка E. Намерете лицето на триъгълника BCE, ако дължините на основите на трапеца са AB = 30, DC = 24, страни AD = 3 и ъгъл DAB е 60°.

Решение. Нека DH е височината на трапеца. От триъгълника ADH намираме това

Тъй като височината на триъгълник ABC, паднала от върха C, е равна на височината DH на трапеца, имаме:

Отговор:

Проблем 9. В трапеца средната линия е 4, а ъглите при една от основите са 40° и 50°. Намерете основите на трапеца, ако отсечката, свързваща средите на основите, е равна на 1.

Решение. Нека ABCD е даден трапец, AB и CD неговите основи (AB< CD), M, N - середины AB и CD соответственно. Пусть также ∠ADC = 50°, ∠BCD = 40°. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, поэтому
AB + CD = 8. Продължете страните DA и CB до пресечната точка в точка E. Да разгледаме триъгълника ABE, в който ∠EAB = 50°. ∠EBA = 40°,
следователно ∠AEB = 90°. Медианата EM на този триъгълник, изтеглена от върха на правия ъгъл, е равна на половината от хипотенузата: EM = AM. Нека EM = x, тогава AM = x, DN = 4 – x. Съгласно условието на задачата MN = 1, следователно,
EN = x + 1. От подобието на триъгълници AEM и DEN имаме:

Това означава AB = 3 и CD = 5.

Отговор: 3 и 5.

Проблем 10. Изпъкналият четириъгълник ABCD е описан около окръжност с център в точка O, като AO = OC = 1, BO = OD = 2. Намерете периметъра на четириъгълника ABCD.

Решение. Нека K, L, M, N са допирателните точки на окръжността със страни съответно AB, BC, CD, DA и r е радиусът на окръжността. Тъй като допирателната към окръжност е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на допиране, триъгълниците AKO, BKO, BLO, CLO, CMO, DMO, DNO, ANO са правоъгълни. Прилагайки Питагоровата теорема към тези триъгълници, получаваме това

Следователно AB = BC = CD = DA, тоест ABCD е ромб. Диагоналите на ромба са перпендикулярни един на друг, а точката на тяхното пресичане е центърът на вписаната окръжност. От тук лесно намираме, че страната на ромба е равна и следователно периметърът на ромба е равен на

Отговор:

Проблеми за самостоятелно решаване

S-1.Равностранен трапец ABCD е описан около окръжност с радиус r. Нека E и K са точките на допиране на тази окръжност със страните на трапеца. Ъгълът между основата AB и страната AD на трапеца е 60°. Докажете, че EK е успореден на AB и намерете лицето на трапеца ABEK.
S-2.В трапец диагоналите са 3 и 5, а сегментът, свързващ средните точки на основите, е 2. Намерете площта на трапеца.
S-3. Може ли да се опише окръжност около четириъгълник ABCD, ако ∠ADC = 30°, AB = 3, BC = 4, AC = 6?
S-4.В трапеца ABCD (AB е основата) стойностите на ъглите DAB, BCD, ADC, ABD и ADB образуват аритметична прогресия (в реда, в който са записани). Намерете разстоянието от върха C до диагонала BD, ако височината на трапеца е h.
S-5.Даден е равнобедрен трапец, в който е вписана окръжност и около която е описана окръжността. Отношението на височината на трапеца към радиуса на описаната окръжност е Намерете ъглите на трапеца.
S-6.Площта на правоъгълника ABCD е 48, а дължината на диагонала е 10. В равнината, в която се намира правоъгълникът, е избрана точка O, така че OB = OD = 13. Намерете разстоянието от точка O до върха на правоъгълника, който е най-отдалечен от него.
S-7. Периметърът на успоредника ABCD е 26. Ъгълът ABC е 120°. Радиусът на окръжността, вписана в триъгълник BCD, е Намерете дължините на страните на успоредника, ако е известно, че AD > AB.
S-8.Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност с център в точка O. Радиусът OA е перпендикулярен на радиуса OB, а радиусът OC е перпендикулярен на радиуса OD. Дължината на перпендикуляра, пуснат от точка C до правата AD, е равна на 9. Дължината на отсечката BC е половината от дължината на отсечката AD. Намерете площта на триъгълника AOB.
S-9.В изпъкнал четириъгълник ABCD върховете A и C са срещуположни, а дължината на страната AB е 3. Ъгъл ABC е равен на ъгъл BCD е равен на Намерете дължината на страната AD, ако знаете, че лицето на четириъгълника е

S-10.В изпъкнал четириъгълник ABCD са начертани диагоналите AC и BD. Известно е, че
AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90°, а разстоянието между пресечната точка на ъглополовящата на триъгълник ABD и пресечната точка на ъглополовящата на триъгълник ACD е Намерете дължината на страната BC.
S-11.Нека M е пресечната точка на диагоналите на изпъкнал четириъгълник ABCD, в който страните AB, AD и BC са равни. Намерете ъгъла CMD, ако е известно, че DM = MC,
и ∠CAB ≠ ∠DBA.
S-12.В четириъгълника ABCD знаем, че ∠A = 74°, ∠D = 120°. Намерете ъгъла между ъглополовящите на ъгли B и C.
S-13.В четириъгълник ABCD може да се впише окръжност. Нека K е пресечната точка на неговите диагонали. Известно е, че AB > BC > KC, а периметърът и лицето на триъгълника BKC са съответно 14 и 7. Намерете DC.
S-14.В трапец, описан около окръжност, е известно, че BC AD, AB = CD, ∠BAD =
= 45°. Намерете AB, ако лицето на трапеца ABCD е 10.
S-15.В трапеца ABCD с основи AB и CD е известно, че ∠CAB = 2∠DBA. Намерете площта на трапеца.
S-16.В успоредник ABCD е известно, че AC = а, ∠CAB = 60°. Намерете площта на успоредника.
S-17. В четириъгълника ABCD диагоналите AC и BD се пресичат в точка K. Точките L и M са среди съответно на страните BC и AD. Отсечката LM съдържа точка K. Четириъгълникът ABCD е такъв, че в него може да се впише окръжност. Намерете радиуса на тази окръжност, ако AB = 3 и LK: KM = 1: 3.
S-18.В изпъкнал четириъгълник ABCD са начертани диагоналите AC и BD. В този случай ∠BAC =
= ∠BDC, а площта на окръжността, описана около триъгълника BDC, е равна на
а) Намерете радиуса на окръжността, описана около триъгълник ABC.
б) Като знаете, че BC = 3, AC = 4, ∠BAD = 90°, намерете лицето на четириъгълника ABCD.

Забележка. Това е част от урока със задачи по геометрия (раздел успоредник). Ако трябва да решите задача по геометрия, която не е тук, пишете за това във форума. За да се посочи действието за извличане на квадратен корен в решенията на задачата, се използва символът √ или sqrt(), като радикалният израз е посочен в скоби.

Теоретичен материал

Обяснения за формулите за намиране на площта на успоредник:

1. Площта на успоредник е равна на произведението на дължината на една от страните му и височината на тази страна
2. Площта на успоредника е равна на произведението на двете му съседни страни и синуса на ъгъла между тях
3. Площта на успоредника е равна на половината от произведението на неговите диагонали и синуса на ъгъла между тях

Задачи за намиране на лицето на успоредник

Решение.
Нека означим с BK по-малката височина на успоредника ABCD, спуснат от точка B към по-голямата основа AD.
Нека намерим стойността на катета на правоъгълен триъгълник ABK, образуван от по-малка височина, по-малка страна и част от по-голяма основа. Според теоремата на Питагор:

AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1

Нека удължим горната основа на успоредника BC и спуснем към нея височината AN от долната му основа. AN = BK като страните на правоъгълника ANBK. Нека намерим катета NC на получения правоъгълен триъгълник ANC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 - 81
NC 2 = √144
NC=12

Сега нека намерим по-голямата основа BC на успоредника ABCD.
BC = NC - NB
Тогава нека вземем предвид, че NB = AK като страни на правоъгълника
BC = 12 - 1 = 11

Площта на успоредник е равна на произведението на основата и височината на тази основа.
S = ах
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99

Отговор: 99 см 2 .

Задача

Решение.
Нека пуснем друг перпендикуляр DK върху диагонала AC.
Съответно триъгълниците AOB и DKC, COB и AKD са равни по двойки. Една от страните е противоположната страна на успоредника, един от ъглите е права линия, тъй като е перпендикулярен на диагонала, а един от останалите ъгли е вътрешен кръст, лежащ за успоредните страни на успоредника и секущата диагонал.

По този начин площта на успоредника е равна на площта на посочените триъгълници. Това е
Паралел = 2S AOB +2S BOC

Площта на правоъгълен триъгълник е равна на половината от произведението на краката. Където
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 cm 2
Отговор: 56 см 2 .

Формула за площта на успоредник

Площта на успоредник е равна на произведението на неговата страна и височината на тази страна.

Доказателство

Ако успоредникът е правоъгълник, тогава равенството е изпълнено от теоремата за площта на правоъгълник. След това приемаме, че ъглите на успоредника не са прави.

Нека $\angle BAD$ е остър ъгъл в успоредник $ABCD$ и $AD > AB$. В противен случай ще преименуваме върховете. Тогава височината $BH$ от върха $B$ до правата $AD$ се пада върху страната $AD$, тъй като катетът $AH$ е по-къс от хипотенузата $AB$ и $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Нека сравним площта на успоредника $ABCD$ и площта на правоъгълника $HBCK$. Площта на успоредник е по-голяма с площ $\триъгълник ABH$, но по-малка с площ $\триъгълник DCK$. Тъй като тези триъгълници са равни, техните площи са равни. Това означава, че площта на успоредник е равна на площта на правоъгълник с дължина на страните и височината на успоредника.

Формула за площта на успоредник с помощта на страни и синус

Площта на успоредник е равна на произведението на съседните страни и синуса на ъгъла между тях.

Доказателство

Височината на успоредника $ABCD$, пусната върху страната $AB$, е равна на произведението на отсечката $BC$ и синуса на ъгъла $\angle ABC$. Остава да приложим предишното твърдение.

Формула за площта на успоредник с помощта на диагоналите

Площта на успоредника е равна на половината от произведението на диагоналите и синуса на ъгъла между тях.

Доказателство

Нека диагоналите на успоредника $ABCD$ се пресичат в точка $O$ под ъгъл $\alpha$. Тогава $AO=OC$ и $BO=OD$ по свойството на успоредник. Синусите на ъглите, които се събират до $180^\circ$, са равни, $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Това означава, че синусите на ъглите при пресичане на диагоналите са равни на $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\триъгълник AOB) + S_(\триъгълник BOC) + S_(\триъгълник COD) + S_(\триъгълник AOD)$

според аксиомата за измерване на площ. Прилагаме формулата за площ на триъгълник $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ за тези триъгълници и ъгли, когато диагоналите се пресичат. Страните на всеки са равни на половината от диагоналите и синусите също са равни. Следователно площите на всичките четири триъгълника са равни на $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Обобщавайки всичко по-горе, получаваме

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

При решаване на задачи по тази тема, освен основни свойства успоредники съответните формули, можете да запомните и приложите следното:

1. Симетралата на вътрешен ъгъл на успоредник отсича от него равнобедрен триъгълник
2. Симетрали на вътрешни ъгли, съседни на една от страните на успоредник, са взаимно перпендикулярни
3. Симетралите, идващи от противоположните вътрешни ъгли на успоредник, са успоредни една на друга или лежат на една и съща права линия
4. Сборът от квадратите на диагоналите на успоредника е равен на сбора от квадратите на страните му
5. Площта на успоредник е равна на половината от произведението на диагоналите и синуса на ъгъла между тях

Нека разгледаме проблемите, в които се използват тези свойства.

Задача 1.

Симетралата на ъгъл C на успоредник ABCD пресича страната AD в точка M и продължението на страната AB отвъд точка A в точка E. Намерете периметъра на успоредника, ако AE = 4, DM = 3.

Решение.

1. Триъгълник CMD е равнобедрен. (Свойство 1). Следователно CD = MD = 3 cm.

2. Триъгълник EAM е равнобедрен.
Следователно AE = AM = 4 cm.

3. AD = AM + MD = 7 cm.

4. Периметър ABCD = 20 cm.

Отговор. 20 см.

Задача 2.

В изпъкнал четириъгълник ABCD са начертани диагонали. Известно е, че лицата на триъгълниците ABD, ACD, BCD са равни. Докажете, че този четириъгълник е успоредник.

Решение.

1. Нека BE е височината на триъгълник ABD, CF е височината на триъгълник ACD. Тъй като според условията на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа AD, то височините на тези триъгълници са равни. BE = CF.

2. BE, CF са перпендикулярни на AD. Точките B и C са разположени от една и съща страна спрямо правата AD. BE = CF. Следователно правата BC || от н.е. (*)

3. Нека AL е надморската височина на триъгълник ACD, BK е надморската височина на триъгълник BCD. Тъй като според условията на задачата площите на триъгълниците са равни и те имат обща основа CD, то височините на тези триъгълници са равни. AL = BK.

4. AL и BK са перпендикулярни на CD. Точките B и A са разположени от една и съща страна спрямо права CD. AL = BK. Следователно правата AB || CD (**)

5. От условия (*), (**) следва, че ABCD е успоредник.

Отговор. Доказано. ABCD е успоредник.

Задача 3.

Върху страните BC и CD на успоредника ABCD са отбелязани съответно точки M и H, така че отсечките BM и HD се пресичат в точка O;<ВМD = 95 о,