Площ на триъгълник - формули и примери за решаване на задачи. Теорема за площта на триъгълник, теореми за синуси и косинуси Площ на триъгълник по косинус и две страни

Може да се намери, като се знае основата и височината. Цялата простота на диаграмата се крие във факта, че височината разделя основата a на две части a 1 и a 2, а самият триъгълник на два правоъгълни триъгълника, чиято площ е и. Тогава площта на целия триъгълник ще бъде сумата от двете посочени области и ако извадим една секунда от височината от скобата, тогава в сумата ще върнем основата:

По-сложен метод за изчисления е формулата на Heron, за която трябва да знаете и трите страни. За тази формула първо трябва да изчислите полупериметъра на триъгълника: Самата формула на Heron предполага корен квадратен от полупериметъра, умножен на свой ред по неговата разлика от всяка страна.

Следният метод, също приложим за всеки триъгълник, ви позволява да намерите площта на триъгълника през две страни и ъгъла между тях. Доказателството за това идва от формулата с височината - начертаваме височината на някоя от познатите страни и през синуса на ъгъла α получаваме, че h=a⋅sinα. За да изчислите площта, умножете половината от височината по втората страна.

Друг начин е да намерите площта на триъгълник, като знаете 2 ъгъла и страната между тях. Доказателството на тази формула е съвсем просто и може да се види ясно от диаграмата.

Намаляваме височината от върха на третия ъгъл до известната страна и съответно наричаме получените сегменти x. От правоъгълни триъгълници се вижда, че първата отсечка x е равна на произведението

Просто казано, това са зеленчуци, приготвени във вода по специална рецепта. Ще разгледам два първоначални компонента (зеленчукова салата и вода) и крайния резултат - борш. Геометрично може да се разглежда като правоъгълник, като едната страна представлява маруля, а другата страна представлява вода. Сумата от тези две страни ще покаже борш. Диагоналът и площта на такъв правоъгълник „борш“ са чисто математически понятия и никога не се използват в рецепти за борш.

В учебниците по математика няма да намерите нищо за линейни ъглови функции. Но без тях не може да има математика. Законите на математиката, както и законите на природата, работят независимо дали знаем за тяхното съществуване или не.

Линейните ъглови функции са закони на добавяне.Вижте как алгебрата се превръща в геометрия и как геометрията се превръща в тригонометрия.

Възможно ли е без линейни ъглови функции? Възможно е, защото математиците все още се справят без тях. Номерът на математиците е, че те винаги ни казват само за онези проблеми, които самите те знаят как да решат, и никога не ни казват за онези проблеми, които не могат да решат. Виж. Ако знаем резултата от събирането и един член, използваме изваждане, за да намерим другия член. Всичко. Ние не знаем други проблеми и не знаем как да ги решим. Какво трябва да направим, ако знаем само резултата от събирането и не знаем и двата члена? В този случай резултатът от събирането трябва да се разложи на два члена с помощта на линейни ъглови функции. След това ние сами избираме какъв може да бъде един член, а линейните ъглови функции показват какъв трябва да бъде вторият член, така че резултатът от добавянето да е точно това, от което се нуждаем. Може да има безкраен брой такива двойки термини. В ежедневието се справяме добре, без да разлагаме сумата; изваждането ни е достатъчно. Но в научните изследвания на законите на природата, разлагането на сума на нейните компоненти може да бъде много полезно.

Друг закон за добавяне, за който математиците не обичат да говорят (още един техен трик) изисква членовете да имат еднакви мерни единици. За салата, вода и борш това могат да бъдат единици за тегло, обем, стойност или мерна единица.

Фигурата показва две нива на разлика за математически. Първото ниво са разликите в полето на числата, които са посочени а, b, ° С. Това правят математиците. Второто ниво са разликите в областта на мерните единици, които са показани в квадратни скоби и обозначени с буквата U. Това правят физиците. Можем да разберем третото ниво - разликите в площта на описваните обекти. Различните обекти могат да имат еднакъв брой еднакви мерни единици. Колко важно е това, можем да видим в примера на тригонометрията на борша. Ако добавим индекси към едно и също обозначение на единица за различни обекти, можем да кажем точно коя математическа величина описва конкретен обект и как се променя с времето или поради нашите действия. Писмо УВодата ще обознача с буква СЩе обознача салатата с буква б- борш. Ето как ще изглеждат линейните ъглови функции за борш.

Ако вземем част от водата и част от салатата, заедно те ще се превърнат в една порция борш. Предлагам ви да си починете малко от борша и да си спомните далечното си детство. Помните ли как ни учеха да събираме зайчета и патета заедно? Трябваше да се намери колко животни ще има. Какво ни учеха да правим тогава? Учеха ни да отделяме мерните единици от числата и да събираме числа. Да, всеки един номер може да бъде добавен към всеки друг номер. Това е пряк път към аутизма на съвременната математика - ние го правим неразбираемо какво, неразбираемо защо и много слабо разбираме как това е свързано с реалността, тъй като от трите нива на разлика математиците оперират само с едно. Би било по-правилно да се научите как да преминавате от една мерна единица към друга.

Зайчетата, патетата и зверчетата могат да се броят на части. Една обща мерна единица за различни обекти ни позволява да ги събираме заедно. Това е детска версия на проблема. Нека да разгледаме подобен проблем за възрастни. Какво получавате, когато добавите зайчета и пари? Тук има две възможни решения.

Първи вариант. Определяме пазарната стойност на зайчетата и я добавяме към наличната сума пари. Получихме общата стойност на нашето богатство в парично изражение.

Втори вариант. Можете да добавите броя на зайчетата към броя на банкнотите, които имаме. Ще получим количеството движимо имущество на части.

Както можете да видите, един и същ закон за събиране ви позволява да получите различни резултати. Всичко зависи от това какво точно искаме да знаем.

Но да се върнем на нашия борш. Сега можем да видим какво ще се случи за различни ъглови стойности на линейни ъглови функции.

Ъгълът е нула. Имаме салата, но няма вода. Не можем да сготвим борш. Количеството борш също е нула. Това изобщо не означава, че нула борш е нула вода. Може да има нула борш с нула салата (прав ъгъл).

За мен лично това е основното математическо доказателство за факта, че . Нулата не променя числото при добавяне. Това се случва, защото самото събиране е невъзможно, ако има само един член и вторият член липсва. Можете да мислите за това както искате, но помнете - всички математически операции с нула са измислени от самите математици, така че изхвърлете логиката си и глупаво натъпчете определенията, измислени от математиците: „деление на нула е невъзможно“, „всяко число, умножено по нула е нула” , „отвъд точката на пробиване нула” и други глупости. Достатъчно е да си спомните веднъж, че нулата не е число и никога повече няма да имате въпроса дали нулата е естествено число или не, защото такъв въпрос губи всякакъв смисъл: как може нещо, което не е число, да се счита за число ? Все едно да питате към какъв цвят трябва да се класифицира един невидим цвят. Добавянето на нула към число е същото като рисуване с боя, която не е там. Размахахме суха четка и казахме на всички, че „рисувахме“. Но се отклоних малко.

Ъгълът е по-голям от нула, но по-малък от четиридесет и пет градуса. Имаме много маруля, но не достатъчно вода. В резултат на това ще получим гъст борш.

Ъгълът е четиридесет и пет градуса. Имаме равни количества вода и салата. Това е идеалният борш (простете ми, готвачи, това е просто математика).

Ъгълът е по-голям от четиридесет и пет градуса, но по-малък от деветдесет градуса. Имаме много вода и малко салата. Ще получите течен борш.

Прав ъгъл. Имаме вода. От салатата остават само спомени, тъй като продължаваме да измерваме ъгъла от линията, която някога е маркирала салатата. Не можем да сготвим борш. Количеството борш е нула. В този случай изчакайте и пийте вода, докато я имате)))

Тук. Нещо като това. Тук мога да разкажа и други истории, които биха били повече от подходящи тук.

Двама приятели имаха дялове в общ бизнес. След като убиха единия, всичко отиде при другия.

Появата на математиката на нашата планета.

Всички тези истории са разказани на езика на математиката с помощта на линейни ъглови функции. Някой друг път ще ви покажа истинското място на тези функции в структурата на математиката. Междувременно нека се върнем към тригонометрията на борша и да разгледаме проекциите.

Събота, 26 октомври 2019 г

Гледах интересно видео за Грънди серия Едно минус едно плюс едно минус едно - Numberphile. Математиците лъжат. Те не са извършили проверка за равенство по време на своите разсъждения.

Това отразява моите мисли за.

Нека да разгледаме по-подробно знаците, че математиците ни заблуждават. В самото начало на спора математиците казват, че сборът на редицата ЗАВИСИ от това дали има четен брой елементи или не. Това е ОБЕКТИВНО УСТАНОВЕН ФАКТ. Какво се случва след това?

След това математиците изваждат последователността от единицата. До какво води това? Това води до промяна в броя на елементите на редицата - четно число се променя в нечетно число, нечетно число се променя в четно число. В края на краищата ние добавихме един елемент, равен на единица към последователността. Въпреки цялото външно сходство, последователността преди трансформацията не е равна на последователността след трансформацията. Дори и да говорим за безкрайна редица, трябва да помним, че безкрайна редица с нечетен брой елементи не е равна на безкрайна редица с четен брой елементи.

Поставяйки знак за равенство между две редица с различен брой елементи, математиците твърдят, че сумата на редицата НЕ ЗАВИСИ от броя на елементите в редицата, което противоречи на ОБЕКТИВНО УСТАНОВЕН ФАКТ. По-нататъшното разсъждение за сумата на безкрайна последователност е невярно, тъй като се основава на фалшиво равенство.

Ако видите, че математиците в хода на доказателствата поставят скоби, пренареждат елементи от математически израз, добавят или премахват нещо, бъдете много внимателни, най-вероятно те се опитват да ви измамят. Подобно на магьосниците на карти, математиците използват различни манипулации на изразяването, за да отвлекат вниманието ви, за да ви дадат в крайна сметка фалшив резултат. Ако не можете да повторите трик с карти, без да знаете тайната на измамата, тогава в математиката всичко е много по-просто: дори не подозирате нищо за измама, но повтарянето на всички манипулации с математически израз ви позволява да убедите другите в правилността на полученият резултат, точно както когато -те ви убедиха.

Въпрос от публиката: Безкрайността (като броя на елементите в редицата S) четна или нечетна? Как можете да промените паритета на нещо, което няма паритет?

Безкрайността е за математиците, както Небесното царство е за свещениците - никой никога не е бил там, но всеки знае как точно работи всичко там))) Съгласен съм, след смъртта ще бъдете абсолютно безразлични дали сте живели четно или нечетно число дни, но... Добавяйки само един ден в началото на живота ви, ще получим съвсем различен човек: неговото фамилно име, име и бащино име са абсолютно същите, само датата на раждане е напълно различна - той е бил роден един ден преди теб.

А сега да преминем към същността))) Да кажем, че крайна последователност, която има паритет, губи този паритет, когато отива към безкрайност. Тогава всеки краен сегмент от безкрайна последователност трябва да загуби паритет. Ние не виждаме това. Фактът, че не можем да кажем със сигурност дали една безкрайна последователност има четен или нечетен брой елементи, не означава, че паритетът е изчезнал. Паритетът, ако съществува, не може да изчезне безследно в безкрайността, като в ръкава на острие. Има много добра аналогия за този случай.

Питали ли сте някога кукувицата, която седи в часовника в каква посока се върти стрелката на часовника? За нея стрелката се върти в посока, обратна на това, което наричаме „по часовниковата стрелка“. Колкото и парадоксално да звучи, посоката на въртене зависи единствено от това от коя страна наблюдаваме въртенето. И така, имаме едно колело, което се върти. Не можем да кажем в каква посока се извършва въртенето, тъй като можем да го наблюдаваме както от едната страна на равнината на въртене, така и от другата. Можем само да свидетелстваме, че има ротация. Пълна аналогия с четността на безкрайна последователност С.

Сега нека добавим второ въртящо се колело, чиято равнина на въртене е успоредна на равнината на въртене на първото въртящо се колело. Все още не можем да кажем със сигурност в каква посока се въртят тези колела, но можем абсолютно да кажем дали и двете колела се въртят в една и съща посока или в обратна посока. Сравняване на две безкрайни последователности СИ 1-S, показах с помощта на математиката, че тези последователности имат различни паритети и поставянето на знак за равенство между тях е грешка. Лично аз вярвам на математиката, не вярвам на математиците))) Между другото, за да разберем напълно геометрията на трансформациите на безкрайни последователности, е необходимо да въведем концепцията "едновременност". Това ще трябва да се начертае.

сряда, 7 август 2019 г

Завършвайки разговора, трябва да разгледаме безкрайно множество. Работата е там, че понятието „безкрайност“ въздейства на математиците, както боа на заек. Трепетният ужас от безкрайността лишава математиците от здрав разум. Ето един пример:

Първоизточникът е локализиран. Алфа означава реално число. Знакът за равенство в горните изрази показва, че ако добавите число или безкрайност към безкрайност, нищо няма да се промени, резултатът ще бъде същата безкрайност. Ако вземем за пример безкрайния набор от естествени числа, тогава разглежданите примери могат да бъдат представени в следната форма:

За да докажат ясно, че са прави, математиците измислиха много различни методи. Лично аз гледам на всички тези методи като на шамани, танцуващи с тамбури. По същество всички те се свеждат до факта, че или някои от стаите са празни и се настаняват нови гости, или част от посетителите са изхвърлени в коридора, за да направят място за гости (много човешки). Представих моето виждане за подобни решения под формата на фантастична история за Блондинката. На какво се основават разсъжденията ми? Преместването на безкраен брой посетители отнема безкрайно много време. След като освободим първата стая за гост, един от посетителите винаги ще върви по коридора от стаята си до следващата до края на времето. Разбира се, факторът време може да бъде глупаво игнориран, но това ще бъде в категорията „никой закон не е писан за глупаци“. Всичко зависи от това какво правим: приспособяваме реалността към математическите теории или обратното.

Какво е „безкраен хотел“? Безкраен хотел е хотел, който винаги има произволен брой празни легла, независимо колко стаи са заети. Ако всички стаи в безкрайния коридор за "посетители" са заети, има още един безкраен коридор със стаи за "гости". Ще има безкрайно много такива коридори. Освен това „безкрайният хотел“ има безкраен брой етажи в безкраен брой сгради на безкраен брой планети в безкраен брой вселени, създадени от безкраен брой богове. Математиците не могат да се дистанцират от баналните битови проблеми: винаги има само един Бог-Аллах-Буда, има само един хотел, има само един коридор. И така, математиците се опитват да жонглират с поредните номера на хотелските стаи, убеждавайки ни, че е възможно да „вкараме невъзможното“.

Ще ви демонстрирам логиката на разсъжденията си на примера на безкраен набор от естествени числа. Първо трябва да отговорите на един много прост въпрос: колко набора от естествени числа има - един или много? Няма правилен отговор на този въпрос, тъй като сами сме измислили числата; числата не съществуват в природата. Да, природата е страхотна в броенето, но за това тя използва други математически инструменти, които не са ни познати. Друг път ще ви кажа какво мисли Природата. Тъй като сме измислили числата, ние сами ще решим колко набора от естествени числа има. Нека разгледаме и двата варианта, както подобава на истинските учени.

Вариант едно. „Нека ни бъде даден“ един единствен набор от естествени числа, който лежи спокойно на рафта. Взимаме този комплект от рафта. Това е, други естествени числа не останаха на рафта и няма къде да ги вземете. Не можем да добавим такъв към този набор, тъй като вече го имаме. Ами ако наистина искате? Няма проблем. Можем да вземем един от вече взетия комплект и да го върнем на рафта. След това можем да вземем един от рафта и да го добавим към това, което ни е останало. В резултат на това отново ще получим безкраен набор от естествени числа. Можете да запишете всички наши манипулации така:

Записах действията в алгебрична нотация и в нотация на теория на множествата, с подробен списък на елементите на множеството. Долният индекс показва, че имаме един и единствен набор от естествени числа. Оказва се, че множеството от естествени числа ще остане непроменено само ако от него се извади едно и се добави същата единица.

Вариант две. Имаме много различни безкрайни набори от естествени числа на нашия рафт. Подчертавам - РАЗЛИЧНИ, въпреки факта, че практически не се различават. Нека вземем един от тези комплекти. След това вземаме едно от друго множество естествени числа и го добавяме към множеството, което вече сме взели. Можем дори да съберем две групи естествени числа. Ето какво получаваме:

Долните индекси "едно" и "две" показват, че тези елементи принадлежат към различни множества. Да, ако добавите един към безкраен набор, резултатът също ще бъде безкраен набор, но няма да бъде същият като оригиналния набор. Ако добавите друго безкрайно множество към едно безкрайно множество, резултатът е ново безкрайно множество, състоящо се от елементите на първите две множества.

Наборът от естествени числа се използва за броене по същия начин, както линийката се използва за измерване. Сега си представете, че сте добавили един сантиметър към линийката. Това ще бъде различна линия, неравна на оригиналната.

Можете да приемете или да не приемете разсъжденията ми - това е ваша работа. Но ако някога се сблъскате с математически проблеми, помислете дали не следвате пътя на фалшивите разсъждения, утъпкан от поколения математици. В края на краищата, изучаването на математика, на първо място, формира у нас стабилен стереотип на мислене и едва след това добавя към нашите умствени способности (или, обратно, ни лишава от свободомислие).

pozg.ru

Неделя, 4 август 2019 г

Завършвах послепис към статия за и видях този прекрасен текст в Уикипедия:

Четем: „... богатата теоретична основа на математиката на Вавилон нямаше холистичен характер и беше сведена до набор от различни техники, лишени от обща система и доказателствена база.“

Еха! Колко сме умни и колко добре виждаме недостатъците на другите. Трудно ли ни е да разглеждаме съвременната математика в същия контекст? Перифразирайки леко горния текст, аз лично получих следното:

Богатата теоретична база на съвременната математика не е холистична по природа и се свежда до набор от различни раздели, лишени от обща система и база от доказателства.

Няма да отивам далеч, за да потвърдя думите си - има език и конвенции, които са различни от езика и конвенциите на много други клонове на математиката. Едни и същи имена в различните клонове на математиката могат да имат различно значение. Искам да посветя цяла поредица от публикации на най-очевидните грешки на съвременната математика. Ще се видим скоро.

Събота, 3 август 2019 г

Как да разделим набор на подмножества? За да направите това, трябва да въведете нова мерна единица, която присъства в някои от елементите на избрания набор. Нека разгледаме един пример.

Нека имаме много Асъстоящ се от четирима души. Това множество се формира на базата на „хора”. Нека обозначим елементите на това множество с буквата А, индексът с число ще показва поредния номер на всяко лице в този набор. Нека въведем нова мерна единица "пол" и да я обозначим с буквата b. Тъй като сексуалните характеристики са присъщи на всички хора, ние умножаваме всеки елемент от набора Авъз основа на пола b. Забележете, че нашият набор от „хора“ сега се превърна в набор от „хора с полови характеристики“. След това можем да разделим половите белези на мъжки bmи дамски bwполови белези. Сега можем да приложим математически филтър: избираме един от тези сексуални белези, без значение кой - мъжки или женски. Ако човек го има, тогава го умножаваме по едно, ако няма такъв знак, го умножаваме по нула. И тогава използваме обикновена училищна математика. Вижте какво стана.

След умножение, редукция и пренареждане получихме две подмножества: подмножеството на мъжете Bmи подгрупа от жени Bw. Математиците разсъждават приблизително по същия начин, когато прилагат теорията на множествата на практика. Но те не ни казват подробностите, а ни дават крайния резултат - „много хора се състоят от подгрупа от мъже и подгрупа от жени“. Естествено, може да имате въпрос: колко правилно е приложена математиката в трансформациите, описани по-горе? Смея да ви уверя, че по същество трансформациите са извършени правилно, достатъчно е да познавате математическите основи на аритметиката, булевата алгебра и други клонове на математиката. Какво е? Някой друг път ще ви разкажа за това.

Що се отнася до суперсетите, можете да комбинирате два комплекта в един суперсет, като изберете мерната единица, присъстваща в елементите на тези два комплекта.

Както можете да видите, мерните единици и обикновената математика правят теорията на множествата реликва от миналото. Знак, че не всичко е наред с теорията на множествата е, че математиците са измислили свой собствен език и нотация за теорията на множествата. Математиците действаха като шаманите някога. Само шаманите знаят как да прилагат „правилно“ своите „знания“. Те ни учат на това „знание“.

В заключение искам да ви покажа как математиците манипулират
Да кажем, че Ахил тича десет пъти по-бързо от костенурката и е на хиляда стъпки зад нея. През времето, необходимо на Ахил да измине това разстояние, костенурката ще пропълзи стотина стъпки в същата посока. Когато Ахил пробяга сто крачки, костенурката пълзи още десет крачки и т.н. Процесът ще продължи безкрайно, Ахил никога няма да настигне костенурката.

Това разсъждение се превърна в логичен шок за всички следващи поколения. Аристотел, Диоген, Кант, Хегел, Хилберт... Всички те разглеждат апориите на Зенон по един или друг начин. Шокът беше толкова силен, че " ... дискусиите продължават и до днес; научната общност все още не е успяла да стигне до общо мнение относно същността на парадоксите ... математическият анализ, теорията на множествата, нови физически и философски подходи бяха включени в изследването на въпроса ; нито едно от тях не стана общоприето решение на проблема...„[Уикипедия, „Апория на Зенон“. Всички разбират, че се заблуждават, но никой не разбира в какво се състои измамата.

От математическа гледна точка Зенон в своята апория ясно демонстрира прехода от количество към . Този преход предполага прилагане вместо постоянни. Доколкото разбирам, математическият апарат за използване на променливи мерни единици или все още не е разработен, или не е приложен към апориите на Зенон. Прилагането на нашата обичайна логика ни води в капан. Ние, поради инерцията на мисленето, прилагаме постоянни единици време към реципрочната стойност. От физическа гледна точка това изглежда като забавяне на времето, докато спре напълно в момента, в който Ахил настигне костенурката. Ако времето спре, Ахил вече не може да надбяга костенурката.

Ако обърнем обичайната си логика, всичко си идва на мястото. Ахил тича с постоянна скорост. Всеки следващ сегмент от пътя му е десет пъти по-кратък от предишния. Съответно времето, прекарано за преодоляването му, е десет пъти по-малко от предишното. Ако приложим концепцията за „безкрайност“ в тази ситуация, тогава би било правилно да кажем „Ахил ще настигне костенурката безкрайно бързо“.

Как да избегнем този логически капан? Останете в постоянни единици за време и не преминавайте към реципрочни единици. На езика на Зенон това изглежда така:

За времето, необходимо на Ахил да направи хиляда крачки, костенурката ще пропълзи стотина крачки в същата посока. През следващия интервал от време, равен на първия, Ахил ще направи още хиляда стъпки, а костенурката ще пропълзи сто стъпки. Сега Ахил е на осемстотин стъпки пред костенурката.

Този подход описва адекватно реалността без никакви логически парадокси. Но това не е пълно решение на проблема. Твърдението на Айнщайн за неустоимостта на скоростта на светлината е много подобно на апорията на Зенон „Ахил и костенурката“. Все още трябва да изучаваме, преосмисляме и решаваме този проблем. И решението трябва да се търси не в безкрайно големи числа, а в мерни единици.

Друга интересна апория на Зенон разказва за летяща стрела:

Летящата стрела е неподвижна, тъй като във всеки момент от времето тя е в покой, и тъй като е в покой във всеки момент от времето, тя винаги е в покой.

В тази апория логическият парадокс се преодолява много просто – достатъчно е да се изясни, че във всеки един момент една летяща стрела е в покой в ​​различни точки на пространството, което всъщност е движение. Тук трябва да се отбележи още един момент. От една снимка на автомобил на пътя е невъзможно да се определи нито фактът на неговото движение, нито разстоянието до него. За да определите дали колата се движи, ви трябват две снимки, направени от една и съща точка в различни точки във времето, но не можете да определите разстоянието от тях. За да определите разстоянието до кола, имате нужда от две снимки, направени от различни точки в пространството в един момент във времето, но от тях не можете да определите факта на движение (разбира се, все още имате нужда от допълнителни данни за изчисления, тригонометрията ще ви помогне ). Това, на което искам да обърна специално внимание е, че две точки във времето и две точки в пространството са различни неща, които не бива да се бъркат, защото дават различни възможности за изследване.
Ще ви покажа процеса с пример. Избираме „червеното твърдо вещество в пъпка“ - това е нашето „цяло“. В същото време виждаме, че тези неща са с лък, а има и без лък. След това избираме част от „цялото“ и оформяме комплект „с лък“. Ето как шаманите получават храната си, като обвързват теорията си с реалността.

Сега нека направим малък трик. Нека вземем „твърдо с пъпка с лък“ и комбинираме тези „цели“ според цвета, избирайки червените елементи. Имаме много "червени". Сега последният въпрос: получените комплекти „с лък“ и „червено“ един и същ комплект ли са или два различни комплекта? Само шаманите знаят отговора. По-точно те самите не знаят нищо, но както казват, така ще бъде.

Този прост пример показва, че теорията на множествата е напълно безполезна, когато става въпрос за реалността. каква е тайната Оформихме набор от "червено плътно с пъпка и лък." Оформянето се извършва в четири различни мерни единици: цвят (червено), здравина (твърдо), грапавост (пъпчиво), украса (с лък). Само набор от мерни единици ни позволява да опишем адекватно реални обекти на езика на математиката. Ето как изглежда.

Буквата "а" с различни индекси означава различни мерни единици. Мерните единици, чрез които се разграничава „цялото“ на предварителния етап, са отбелязани в скоби. Извън скоби е извадена мерната единица, с която се формира наборът. Последният ред показва крайния резултат - елемент от множеството. Както можете да видите, ако използваме мерни единици, за да образуваме набор, тогава резултатът не зависи от реда на нашите действия. И това е математика, а не танците на шамани с тамбури. Шаманите могат „интуитивно“ да стигнат до същия резултат, като твърдят, че той е „очевиден“, тъй като мерните единици не са част от техния „научен“ арсенал.

Използвайки мерни единици, е много лесно да разделите един комплект или да комбинирате няколко комплекта в един супермножество. Нека разгледаме по-подробно алгебрата на този процес.

Теорема за площта на триъгълника

Теорема 1

Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на двете страни и синуса на ъгъла между тези страни.

Доказателство.

Нека ни е даден произволен триъгълник $ABC$. Нека означим дължините на страните на този триъгълник като $BC=a$, $AC=b$. Нека въведем декартова координатна система, така че точка $C=(0,0)$, точка $B$ лежи на дясната полуос $Ox$, а точка $A$ лежи в първия координатен квадрант. Нека начертаем височината $h$ от точка $A$ (фиг. 1).

Фигура 1. Илюстрация на теорема 1

Следователно височината $h$ е равна на ординатата на точката $A$

Теорема за синусите

Теорема 2

Страните на триъгълника са пропорционални на синусите на противоположните ъгли.

Доказателство.

Нека ни е даден произволен триъгълник $ABC$. Нека означим дължините на страните на този триъгълник като $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (фиг. 2).

Фигура 2.

Нека докажем това

По теорема 1 имаме

Приравнявайки ги по двойки, получаваме това

Косинусова теорема

Теорема 3

Квадратът на една страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни на триъгълника без удвоеното произведение на тези страни по косинуса на ъгъла между тези страни.

Доказателство.

Нека ни е даден произволен триъгълник $ABC$. Нека означим дължините на страните му като $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Нека въведем декартова координатна система, така че точка $A=(0,0)$, точка $B$ лежи на положителната полуос $Ox$, а точка $C$ лежи в първия координатен квадрант (фиг. 3).

Фигура 3.

Нека докажем това

В тази координатна система получаваме това

Намерете дължината на страната $BC$, като използвате формулата за разстоянието между точките

Пример за задача, използваща тези теореми

Пример 1

Докажете, че диаметърът на описаната окръжност на произволен триъгълник е равен на отношението на всяка страна на триъгълника към синуса на ъгъла, противоположен на тази страна.

Решение.

Нека ни е даден произволен триъгълник $ABC$. $R$ е радиусът на описаната окръжност. Нека начертаем диаметъра $BD$ (фиг. 4).

Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на страните му и синуса на ъгъла между тях.

Доказателство:

Да разгледаме произволен триъгълник ABC. Нека страна BC = a, страна CA = b и S е площта на този триъгълник. Това е необходимо да се докаже S = (1/2)*a*b*sin(C).

Като начало, нека въведем правоъгълна координатна система и поставим началото на координатите в точка C. Нека позиционираме нашата координатна система така, че точка B да лежи в положителната посока на оста Cx, а точка A да има положителна ордината.

Ако всичко е направено правилно, трябва да получите следния чертеж.

Площта на даден триъгълник може да се изчисли по следната формула: S = (1/2)*a*h, където h е височината на триъгълника. В нашия случай височината на триъгълника h е равна на ординатата на точка A, тоест h = b*sin(C).

Като се вземат предвид получените резултати, формулата за площта на триъгълник може да бъде пренаписана, както следва: S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Разрешаване на проблем

Задача 1. Намерете лицето на триъгълник ABC, ако a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, ъгъл A = 60 градуса b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, ъгъл B = 45 градуса c ) AC = 14 cm, CB = 7 cm, ъгъл C = 48 градуса.

Съгласно доказаната по-горе теорема площта S на триъгълник ABC е равна на:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Нека направим изчисленията:

а) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

в) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

Изчисляваме стойността на синуса на ъгъл на калкулатор или използваме стойностите от таблицата със стойности на тригонометричните ъгли. Отговор:

а) 12*√6 cm^2.

в) приблизително 36,41 cm^2.

Задача 2. Площта на триъгълник ABC е 60 cm^2. Намерете страната AB, ако AC = 15 cm, ъгъл A = 30˚.

Нека S е площта на триъгълника ABC. По теоремата за площта на триъгълник имаме:

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Нека заместим стойностите, които имаме в него:

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

От тук изразяваме дължината на страната AB: AB = (60*4)/15 = 16.

Ако задачата дава дължините на две страни на триъгълник и ъгъла между тях, тогава можете да приложите формулата за площта на триъгълник през синуса.

Пример за изчисляване на площта на триъгълник с помощта на синус. Дадените страни са a = 3, b = 4 и ъгъл γ = 30°. Синусът на ъгъл от 30° е 0,5

Площта на триъгълника ще бъде 3 квадратни метра. см.

Площта ще бъде равна на половината от квадрата на страната, умножена по фракцията. Числителят му е произведението на синусите на съседните ъгли, а знаменателят е синусът на противоположния ъгъл. Сега изчисляваме площта, като използваме следните формули:

Например, даден е триъгълник със страна a=3 и ъгли γ=60°, β=60°. Изчислете третия ъгъл:
Заместване на данните във формулата
Откриваме, че площта на триъгълника е 3,87 квадратни метра. см.

II. Площ на триъгълник през косинус

За да намерите площта на триъгълник, трябва да знаете дължините на всички страни. Използвайки косинусовата теорема, можете да намерите неизвестни страни и едва след това да ги използвате.
Според косинусовата теорема квадратът на неизвестната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на останалите страни минус удвоеното произведение на тези страни и косинуса на ъгъла между тях.

От теоремата извличаме формули за намиране на дължината на неизвестната страна:

Знаейки как да намерите липсващата страна, като имате две страни и ъгъла между тях, можете лесно да изчислите площта. Формулата за площта на триъгълник през косинуса помага за бързо и лесно намиране на решения на различни проблеми.

Пример за изчисляване на формулата за площта на триъгълник с помощта на косинус
Даден е триъгълник с известни страни a = 3, b = 4 и ъгъл γ = 45°. Първо, нека намерим липсващата страна с. Косинус 45°=0,7. За да направим това, заместваме данните в уравнението, получено от косинусовата теорема.
Сега използвайки формулата, намираме