Площ на различни фигури. Каква е площта на фигура? Защита на личната информация

Площ на геометрична фигура- числена характеристика на геометрична фигура, показваща размера на тази фигура (част от повърхността, ограничена от затворения контур на тази фигура). Размерът на площта се изразява чрез броя на квадратните единици, съдържащи се в нея.

Формули за площ на триъгълник

Формула за площта на триъгълник по страна и височина
Площ на триъгълникравно на половината от произведението на дължината на страна на триъгълник и дължината на надморската височина, начертана към тази страна
Формула за площта на триъгълник, базирана на три страни и радиуса на описаната окръжност
Формула за площта на триъгълник, базирана на трите страни и радиуса на вписаната окръжност
Площ на триъгълнике равно на произведението от полупериметъра на триъгълника и радиуса на вписаната окръжност.

Формули за квадратна площ

Формула за площта на квадрат по дължината на страната
Квадратна площравен на квадрата на дължината на неговата страна.
Формула за площта на квадрат по дължината на диагонала
Квадратна площравен на половината от квадрата на дължината на неговия диагонал.
S= 1 2
2

Формула за площ на правоъгълник

Площ на правоъгълник

Формули за площ на успоредник

Формула за площта на успоредник въз основа на дължината на страната и височината
Площ на успоредник
Формула за площта на успоредник, базирана на две страни и ъгъл между тях
Площ на успореднике равно на произведението от дължините на страните му, умножено по синуса на ъгъла между тях.
a b sin α

Формули за площта на ромба

Формула за площта на ромб въз основа на дължината и височината на страната
Площ на ромбравно на произведението на дължината на неговата страна и дължината на височината, спусната до тази страна.
Формула за площта на ромб въз основа на дължината на страната и ъгъла
Площ на ромбе равно на произведението на квадрата на дължината на неговата страна и синуса на ъгъла между страните на ромба.
Формула за площта на ромб въз основа на дължините на неговите диагонали
Площ на ромбравен на половината от произведението на дължините на неговите диагонали.

Формули за площ на трапец

Формула на Херон за трапец
Където S е площта на трапеца,
- дължини на основите на трапеца,
- дължини на страните на трапеца,

Как да намерите площта на фигура?

Да знаете и да можете да изчислявате площите на различни фигури е необходимо не само за решаване на прости геометрични задачи. Не можете да правите без тези знания, когато изготвяте или проверявате оценки за ремонт на помещения, изчислявайки количеството на необходимите консумативи. Така че нека разберем как да намерим областите с различни форми.

Частта от равнината, съдържаща се в затворен контур, се нарича площ на тази равнина. Площта се изразява чрез броя квадратни единици, съдържащи се в нея.

За да изчислите площта на основните геометрични фигури, трябва да използвате правилната формула.

Площ на триъгълник

Обозначения:

Ако h, a са известни, тогава площта на необходимия триъгълник се определя като произведението на дължините на страната и височината на триъгълника, спусната към тази страна, разделена наполовина: S=(a h)/2
Ако a, b, c са известни, тогава търсената площ се изчислява с помощта на формулата на Heron: корен квадратен, взет от произведението на половината периметър на триъгълника и три разлики на половината периметър и всяка страна на триъгълника: S = √ (p (p - a) (p - b)·(p - c)).
Ако a, b, γ са известни, тогава площта на триъгълника се определя като половината от произведението на 2 страни, умножено по стойността на синуса на ъгъла между тези страни: S=(a b sin γ)/2
Ако a, b, c, R са известни, тогава търсената площ се определя като произведението от дължините на всички страни на триъгълника се раздели на четири радиуса на описаната окръжност: S=(a b c)/4R
Ако p, r са известни, тогава необходимата площ на триъгълника се определя чрез умножаване на половината периметър по радиуса на вписаната в него окръжност: S=p·r

Квадратна площ

Обозначения:

Ако страната е известна, тогава площта на дадена фигура се определя като квадрат на дължината на нейната страна: S=a 2
Ако d е известно, тогава площта на квадрата се определя като половината от квадрата на дължината на неговия диагонал: S=d 2 /2

Площ на правоъгълник

Обозначения:

S - определена площ,
a, b - дължини на страните на правоъгълника.

Ако a, b са известни, тогава площта на даден правоъгълник се определя от произведението на дължините на двете му страни: S=a b
Ако дължините на страните са неизвестни, тогава площта на правоъгълника трябва да бъде разделена на триъгълници. В този случай площта на правоъгълника се определя като сумата от площите на съставните му триъгълници.

Площ на успоредник

Обозначения:

S е необходимата площ,
a, b - дължини на страните,
h е дължината на височината на даден успоредник,
d1, d2 - дължини на два диагонала,
α е ъгълът между страните,
γ е ъгълът между диагоналите.

Ако a, h са известни, тогава необходимата площ се определя чрез умножаване на дължините на страната и височината, спусната към тази страна: S=a h
Ако a, b, α са известни, тогава площта на успоредника се определя чрез умножаване на дължините на страните на успоредника и синуса на ъгъла между тези страни: S=a b sin α
Ако d 1 , d 2 , γ са известни, тогава площта на паралелограма се определя като половината от произведението на дължините на диагоналите и синуса на ъгъла между тези диагонали: S=(d 1 d 2 sinγ) /2

Площ на ромб

Обозначения:

S е необходимата площ,
a - дължина на страната,
h - дължина на височината,
α е по-малкият ъгъл между двете страни,
d1, d2 - дължини на два диагонала.

Ако a, h са известни, тогава площта на ромба се определя чрез умножаване на дължината на страната по дължината на височината, която се спуска към тази страна: S=a h
Ако a, α са известни, тогава площта на ромба се определя чрез умножаване на квадрата на дължината на страната по синуса на ъгъла между страните: S=a 2 sin α
Ако d 1 и d 2 са известни, тогава търсената площ се определя като половината от произведението на дължините на диагоналите на ромба: S=(d 1 d 2)/2

Площ на трапец

Обозначения:

Ако a, b, c, d са известни, тогава търсената площ се определя по формулата: S= (a+b) /2 *√.
При известни a, b, h търсената площ се определя като произведение на половината от сбора на основите и височината на трапеца: S=(a+b)/2 h

Площ на изпъкнал четириъгълник

Обозначения:

Ако d 1 , d 2 , α са известни, тогава площта на изпъкнал четириъгълник се определя като половината от произведението на диагоналите на четириъгълника, умножено по синуса на ъгъла между тези диагонали: S=(d 1 · d 2 · sin α)/2
За известни p, r, площта на изпъкнал четириъгълник се определя като произведението на полупериметъра на четириъгълника и радиуса на окръжността, вписана в този четириъгълник: S=p r
Ако a, b, c, d, θ са известни, тогава площта на изпъкнал четириъгълник се определя като корен квадратен от произведението на разликата в полупериметъра и дължината на всяка страна минус произведението на дължините на всички страни и квадрата на косинуса на половината от сбора на два противоположни ъгъла: S 2 = (p - a )(p - b)(p - c)(p - d) - abcd cos 2 ((α+ β)/2)

Площ на кръг

Обозначения:

Ако r е известно, тогава търсената площ се определя като произведението на числото π и квадрата на радиуса: S=π r 2

Ако d е известно, тогава площта на кръга се определя като произведението на числото π на квадрата на диаметъра, разделено на четири: S=(π d 2)/4

Площ на сложна фигура

Сложните могат да бъдат разбити на прости геометрични фигури. Площта на сложна фигура се определя като сбор или разлика на нейните компонентни площи. Помислете например за пръстен.

Обозначаване:

S - площ на пръстена,
R, r - радиуси на външния кръг и вътрешния кръг, съответно,
D, d са диаметрите съответно на външния и вътрешния кръг.

За да намерите площта на пръстена, трябва да извадите площта от площта на по-големия кръг по-малък кръг. S = S1-S2 = πR 2 -πr 2 = π (R 2 -r 2).

Така, ако R и r са известни, тогава площта на пръстена се определя като разликата в квадратите на радиусите на външната и вътрешната окръжност, умножена по pi: S=π(R 2 -r 2).

Ако D и d са известни, тогава площта на пръстена се определя като една четвърт от разликата в квадратите на диаметрите на външния и вътрешния кръг, умножена по pi: S= (1/4)(D 2 -d 2) π.

Зона за кръпка

Да приемем, че вътре в един квадрат (A) има друг (B) (с по-малък размер) и трябва да намерим защрихованата кухина между фигурите "A" и "B". Да речем, "рамката" на малък квадрат. За това:

Намерете площта на фигура "А" (изчислена по формулата за намиране на площта на квадрат).
По същия начин намираме площта на фигура "B".
Извадете област "B" от област "A". И така получаваме площта на защрихованата фигура.

Сега знаете как да намирате области с различни форми.

клас: 5

Според мен задачата на учителя е не само да преподава, но и да развива познавателен интерес у ученика. Затова, когато е възможно, свързвам темите на уроците с практически задачи.

По време на урока учениците, под ръководството на учителя, изготвят план за решаване на проблеми за намиране на областта на „сложна фигура“ (за изчисляване на оценките за ремонт), консолидират умения за решаване на проблеми за намиране на областта; настъпва развитие на вниманието, способност за изследователска дейност, възпитание на активност и независимост.

Работата по двойки създава ситуация на общуване между тези, които имат знания, и тези, които ги придобиват; Тази работа се основава на подобряване на качеството на обучението по предмета. Насърчава развитието на интерес към учебния процес и по-задълбочено усвояване на учебния материал.

Урокът не само систематизира знанията на учениците, но и допринася за развитието на творчески и аналитични способности. Използването на задачи с практическо съдържание в класната стая ни позволява да покажем уместността на математическите знания в ежедневието.

Цели на урока:

Образователни:

консолидиране на знанията за формули за площта на правоъгълник, правоъгълен триъгълник;
анализ на задачи за изчисляване на площта на „сложна“ фигура и методи за тяхното изпълнение;
самостоятелно изпълнение на задачи за проверка на знания, умения и способности.

Образователни:

разработване на методи за умствена и изследователска дейност;
развиване на способността да слушате и да обяснявате хода на решението.

Образователни:

развиват академичните умения на учениците;
култивира култура на устна и писмена математическа реч;
развиват приятелско отношение в класната стая и умение за работа в групи.

Тип урок:комбинирани.

Оборудване:

Математика: учебник за 5. клас. общо образование институции/ Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов и др., М.: “Мнемозина”, 2010.
Карти за групи ученици с форми за изчисляване на площта на сложна форма.
Инструменти за рисуване.

План на урока:

Организиране на времето.
Актуализиране на знанията.
а) Теоретични въпроси (тест).
б) Постановка на проблема.
Научен нов материал.
а) намиране на решение на проблема;
б) решение на проблема.
Фиксиране на материала.
а) колективно решаване на проблеми;
Физкултурна минута.
б) самостоятелна работа.
Домашна работа.
Обобщение на урока. Отражение.

По време на часовете

I. Организационен момент.

Ще започнем урока с тези прощални думи:

Математика, приятели,
Абсолютно всеки има нужда от него.
Работете усърдно в клас
И със сигурност успехът ви очаква!

II. Актуализиране на знанията.

а)Фронтална работа със сигнални карти (всеки ученик има карти с числата 1, 2, 3, 4; при отговор на тестов въпрос ученикът вдига карта с номера на верния отговор).

1. Квадратният сантиметър е:

площ на квадрат със страна 1 cm;
квадрат със страна 1 см;
квадрат с обиколка 1 см.

2. Площта на фигурата, показана на фигурата, е равна на:

8 dm;
8 dm 2;
15 dm 2.

3. Вярно ли е, че равните фигури имат равни периметри и равни повърхнини?

4. Площта на правоъгълник се определя по формулата:

S = a 2;
S = 2 (a + b);
S = a b.

5. Площта на фигурата, показана на фигурата, е равна на:

12 см;
8 см;
16 см.

б) (Формулиране на проблема). Задача. Колко боя е необходима за боядисване на под със следната форма (вижте фигурата), ако се изразходват 200 g боя на 1 m2?

III. Учене на нов материал.

Какво трябва да знаем, за да разрешим последния проблем? (Намерете площта на пода, която изглежда като „сложна фигура.“)

Учениците формулират темата и целите на урока (ако е необходимо, учителят помага).

Помислете за правоъгълник ABCD. Нека начертаем линия в него KPMN, разчупване на правоъгълника ABCDна две части: АБНМПКИ KPMNCD.

Каква е площта? ABCD? (15 см 2)

Каква е площта на фигурата? АБМНПК? (7 см 2)

Каква е площта на фигурата? KPMNCD? (8 cm 2)

Анализирайте резултатите си. (15= = 7 + 8)

Заключение? (Площта на цялата фигура е равна на сумата от площите на нейните части.)

S = S 1 + S 2

Как можем да приложим това свойство, за да решим нашия проблем? (Нека разделим сложна фигура на части, намерим площите на частите, след това площта на цялата фигура.)

S 1 = 7 2 = 14 (m 2)
S 2 = (7 – 4) (8 – 2 – 3) = 3 3 = 9 (m 2)
S 3 = 7 3 = 21 (m 2)
S = S 1 + S 2 + S 3 = 14 + 9 + 21 = 44 (m2)

Да се сдобрим план за решаване на задачи за намиране на областта на „сложна фигура“:

Разделяме фигурата на прости фигури.
Намиране на площите на прости фигури.

а) Задача 1. Колко плочки ще са необходими за оформяне на сайт със следните размери:

S = S 1 + S 2
S 1 = (60 – 30) 20 = 600 (dm 2)
S 2 = 30 50 = 1500 (dm 2)
S = 600 + 1500 = 2100 (dm 2)

Има ли друг начин за решаване? (Разглеждаме предложените варианти.)

Отговор: 2100 dm 2.

Задача 2. (колективно решение на дъската и в тетрадките.)Колко m2 линолеум са необходими за ремонт на стая със следната форма:

S = S 1 + S 2
S 1 = 3 2 = 6 (m 2)
S 2 = ((5 – 3) 2) : 2 = 2 (m 2)
S = 6 + 2 = 8 (m2)

Отговор: 8 m2.

Физкултурна минута.

А сега, момчета, ставайте.
Те бързо вдигнаха ръце.
На страни, напред, назад.
Обърна се надясно, наляво.
Седнаха тихо и се върнаха на работа.

б) Самостоятелна работа (образователен) .

Учениците се разделят на групи (№ 5–8 са по-силни). Всяка група е ремонтен екип.

Задача за отборите: определете колко боя е необходима за боядисване на под, който има формата на фигурата, показана на картата, ако са необходими 200 g боя на 1 m2.

Изграждате тази фигура в тетрадката си, записвате всички данни и започвате задачата. Можете да обсъдите решението (но само във вашата група!). Ако някоя група се справи бързо със задачата, тогава им се дава допълнителна задача (след проверка на самостоятелна работа).

Задачи за групи:

V. Домашна работа.

параграф 18, № 718, № 749.

Допълнителна задача.Планова схема на лятната градина (Санкт Петербург). Изчислете неговата площ.

VI. Обобщение на урока.

Отражение.Продължете изречението:

Днес разбрах...
Беше интересно…
Беше трудно…
Сега мога…
Даде ми урок за цял живот...

В предишния раздел, посветен на анализа на геометричния смисъл на определен интеграл, получихме редица формули за изчисляване на площта на криволинейния трапец:

S (G) = ∫ a b f (x) d x за непрекъсната и неотрицателна функция y = f (x) на интервала [ a ; б],

S (G) = - ∫ a b f (x) d x за непрекъсната и неположителна функция y = f (x) на интервала [ a ; b ] .

Тези формули са приложими за решаване на относително прости задачи. В действителност често ще трябва да работим с по-сложни фигури. В тази връзка ще посветим този раздел на анализ на алгоритми за изчисляване на площта на фигури, които са ограничени от функции в изрична форма, т.е. като y = f(x) или x = g(y).

Теорема

Нека функциите y = f 1 (x) и y = f 2 (x) са дефинирани и непрекъснати на интервала [ a ; b ] и f 1 (x) ≤ f 2 (x) за всяка стойност x от [ a ; b ] . Тогава формулата за изчисляване на площта на фигурата G, ограничена от линиите x = a, x = b, y = f 1 (x) и y = f 2 (x), ще изглежда като S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Подобна формула ще бъде приложима за площта на фигура, ограничена от линиите y = c, y = d, x = g 1 (y) и x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Доказателство

Нека разгледаме три случая, за които формулата ще бъде валидна.

В първия случай, като се вземе предвид свойството на адитивност на площта, сумата от площите на оригиналната фигура G и криволинейния трапец G 1 е равна на площта на фигурата G 2. Означава, че

Следователно S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Можем да извършим последния преход, използвайки третото свойство на определения интеграл.

Във втория случай равенството е вярно: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x

Графичната илюстрация ще изглежда така:

Ако и двете функции са неположителни, получаваме: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Графичната илюстрация ще изглежда така:

Нека да преминем към разглеждане на общия случай, когато y = f 1 (x) и y = f 2 (x) пресичат оста O x.

Означаваме пресечните точки като x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Тези точки разделят сегмента [a; b] на n части x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n, където α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

следователно

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Можем да направим последния преход, използвайки петото свойство на определения интеграл.

Нека илюстрираме общия случай на графиката.

Формулата S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x може да се счита за доказана.

Сега нека да преминем към анализиране на примери за изчисляване на площта на фигури, които са ограничени от линиите y = f (x) и x = g (y).

Ще започнем разглеждането на всеки от примерите, като построим графика. Изображението ще ни позволи да представим сложни форми като обединение на по-прости форми. Ако конструирането на графики и фигури върху тях е трудно за вас, можете да изучавате раздела за основни елементарни функции, геометрична трансформация на графики на функции, както и конструиране на графики, докато изучавате функция.

Пример 1

Необходимо е да се определи площта на фигурата, която е ограничена от параболата y = - x 2 + 6 x - 5 и правите линии y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Решение

Нека начертаем линиите на графиката в декартовата координатна система.

На отсечката [ 1 ; 4 ] графиката на параболата y = - x 2 + 6 x - 5 е разположена над правата линия y = - 1 3 x - 1 2. В тази връзка, за да получим отговора, използваме формулата, получена по-рано, както и метода за изчисляване на определения интеграл, използвайки формулата на Нютон-Лайбниц:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Отговор: S(G) = 13

Нека да разгледаме по-сложен пример.

Пример 2

Необходимо е да се изчисли площта на фигурата, която е ограничена от линиите y = x + 2, y = x, x = 7.

Решение

В този случай имаме само една права линия, разположена успоредно на оста x. Това е x = 7. Това изисква сами да намерим втората граница на интеграция.

Нека построим графика и върху нея да начертаем линиите, дадени в постановката на задачата.

Като имаме графиката пред очите си, лесно можем да определим, че долната граница на интегриране ще бъде абсцисата на пресечната точка на графиката на правата линия y = x и полупараболата y = x + 2. За намиране на абсцисата използваме равенствата:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Оказва се, че абсцисата на пресечната точка е x = 2.

Обръщаме внимание на факта, че в общия пример на чертежа линиите y = x + 2, y = x се пресичат в точката (2; 2), така че такива подробни изчисления може да изглеждат ненужни. Предоставихме толкова подробно решение тук само защото в по-сложни случаи решението може да не е толкова очевидно. Това означава, че винаги е по-добре да се изчислят координатите на пресечната точка на линиите аналитично.

На интервала [ 2 ; 7] графиката на функцията y = x се намира над графиката на функцията y = x + 2. Нека приложим формулата за изчисляване на площта:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Отговор: S (G) = 59 6

Пример 3

Необходимо е да се изчисли площта на фигурата, която е ограничена от графиките на функциите y = 1 x и y = - x 2 + 4 x - 2.

Решение

Нека начертаем линиите на графиката.

Нека дефинираме границите на интеграцията. За да направите това, ние определяме координатите на точките на пресичане на линиите, като приравняваме изразите 1 x и - x 2 + 4 x - 2. При условие, че x не е нула, равенството 1 x = - x 2 + 4 x - 2 става еквивалентно на уравнение от трета степен - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 с цели коефициенти. За да опресните паметта си за алгоритъма за решаване на такива уравнения, можем да се обърнем към раздела „Решаване на кубични уравнения“.

Коренът на това уравнение е x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Разделяйки израза - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 на бинома x - 1, получаваме: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Можем да намерим останалите корени от уравнението x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Намерихме интервала x ∈ 1; 3 + 13 2, в която фигурата G се съдържа над синята и под червената линия. Това ни помага да определим площта на фигурата:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Отговор: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Пример 4

Необходимо е да се изчисли площта на фигурата, която е ограничена от кривите y = x 3, y = - log 2 x + 1 и абсцисната ос.

Решение

Нека начертаем всички линии на графиката. Можем да получим графиката на функцията y = - log 2 x + 1 от графиката y = log 2 x, ако я позиционираме симетрично спрямо оста x и я преместим с една единица нагоре. Уравнението на оста x е y = 0.

Нека маркираме точките на пресичане на линиите.

Както се вижда от фигурата, графиките на функциите y = x 3 и y = 0 се пресичат в точката (0; 0). Това се случва, защото x = 0 е единственият реален корен на уравнението x 3 = 0.

x = 2 е единственият корен на уравнението - log 2 x + 1 = 0, така че графиките на функциите y = - log 2 x + 1 и y = 0 се пресичат в точката (2; 0).

x = 1 е единственият корен на уравнението x 3 = - log 2 x + 1 . В тази връзка графиките на функциите y = x 3 и y = - log 2 x + 1 се пресичат в точката (1; 1). Последното твърдение може да не е очевидно, но уравнението x 3 = - log 2 x + 1 не може да има повече от един корен, тъй като функцията y = x 3 е строго нарастваща, а функцията y = - log 2 x + 1 е строго намаляващ.

По-нататъшното решение включва няколко опции.

Опция 1

Можем да си представим фигурата G като сбор от два криволинейни трапеца, разположени над оста x, първият от които е разположен под средната линия на сегмента x ∈ 0; 1, а втората е под червената линия на отсечката x ∈ 1; 2. Това означава, че площта ще бъде равна на S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .

Вариант №2

Фигура G може да бъде представена като разлика от две фигури, първата от които е разположена над оста x и под синята линия на сегмента x ∈ 0; 2, а втората между червената и синята линия на отсечката x ∈ 1; 2. Това ни позволява да намерим района, както следва:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

В този случай, за да намерите площта, ще трябва да използвате формула от вида S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Всъщност линиите, които ограничават фигурата, могат да бъдат представени като функции на аргумента y.

Нека решим уравненията y = x 3 и - log 2 x + 1 по отношение на x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Получаваме необходимата площ:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Отговор: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Пример 5

Необходимо е да се изчисли площта на фигурата, която е ограничена от линиите y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Решение

С червена линия начертаваме линията, определена от функцията y = x. Начертаваме линията y = - 1 2 x + 4 в синьо, а линията y = 2 3 x - 3 в черно.

Нека маркираме пресечните точки.

Нека намерим пресечните точки на графиките на функциите y = x и y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Проверка: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 не е решението на уравнението x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 е решението на уравнението ⇒ (4; 2) пресечна точка i y = x и y = - 1 2 x + 4

Нека намерим пресечната точка на графиките на функциите y = x и y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Проверка: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 е решението на уравнението ⇒ (9 ; 3) точка a s y = x и y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Няма решение на уравнението

Нека намерим пресечната точка на правите y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) пресечна точка y = - 1 2 x + 4 и y = 2 3 x - 3

Метод №1

Нека си представим площта на желаната фигура като сбор от площите на отделните фигури.

Тогава площта на фигурата е:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Метод № 2

Площта на оригиналната фигура може да бъде представена като сбор от две други фигури.

След това решаваме уравнението на линията спрямо x и едва след това прилагаме формулата за изчисляване на площта на фигурата.

y = x ⇒ x = y 2 червена линия y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 черна линия y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Така че площта е:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Както можете да видите, стойностите са еднакви.

Отговор: S (G) = 11 3

Резултати

За да намерим площта на фигура, която е ограничена от дадени линии, трябва да построим линии в равнина, да намерим техните пресечни точки и да приложим формулата, за да намерим площта. В този раздел разгледахме най-често срещаните варианти на задачи.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Има безкраен брой плоски фигури с различни форми, правилни и неправилни. Общото свойство на всички фигури е, че всяка от тях има площ. Площите на фигурите са размерите на частта от равнината, заета от тези фигури, изразени в определени единици. Тази стойност винаги се изразява като положително число. Мерната единица е площта на квадрат, чиято страна е равна на единица дължина (например един метър или един сантиметър). Приблизителната площ на всяка фигура може да се изчисли чрез умножаване на броя на единичните квадрати, на които е разделена, по площта на един квадрат.

Други определения на това понятие са както следва:

1. Площите на простите фигури са скаларни положителни величини, които отговарят на условията:

Еднаквите фигури имат равни площи;

Ако една фигура е разделена на части (прости фигури), тогава нейната площ е сумата от площите на тези фигури;

Квадрат със страна на мерна единица служи като единица за площ.

2. Площите на фигури със сложна форма (многоъгълници) са положителни величини със следните свойства:

Еднаквите многоъгълници имат еднакви размери на площта;

Ако един полигон е съставен от няколко други полигона, неговата площ е равна на сумата от площите на последните. Това правило е валидно за полигони без припокриване.

За аксиома се приема, че площите на фигурите (многоъгълниците) са положителни величини.

Дефиницията на площта на кръг се дава отделно като стойността, към която клони площта на даден кръг, вписан в кръг - въпреки факта, че броят на неговите страни клони към безкрайност.

Площите на фигури с неправилна форма (произволни фигури) нямат определение, определят се само методите за тяхното изчисляване.

Още в древни времена изчисляването на площите е било важна практическа задача при определяне на размера на парцелите. Правилата за изчисляване на площи за няколкостотин години са формулирани от гръцки учени и изложени в Елементи на Евклид като теореми. Интересно е, че правилата за определяне на площите на простите фигури в тях са същите като сегашните. Площите с извит контур бяха изчислени с помощта на преминаването към границата.

Изчисляването на площите на обикновен правоъгълник или квадрат), познато на всички от училище, е доста просто. Дори не е необходимо да запомняте формулите за площите на фигури, съдържащи буквени символи. Достатъчно е да запомните няколко прости правила:

2. Площта на правоъгълник се изчислява чрез умножаване на дължината му по ширината му. Необходимо е дължината и ширината да бъдат изразени в едни и същи мерни единици.

3. Изчисляваме площта на сложна фигура, като я разделяме на няколко прости и добавяме получените области.

4. Диагоналът на правоъгълник го разделя на два триъгълника, чиито площи са равни и равни на половината от неговата площ.

5. Площта на триъгълник се изчислява като половината от произведението на неговата височина и основа.

6. Площта на кръга е равна на произведението на квадрата на радиуса и добре познатото число "π".

7. Изчисляваме площта на паралелограма като произведение на съседните страни и синуса на ъгъла, разположен между тях.

8. Площта на ромба е ½ резултат от умножаването на диагоналите по синуса на вътрешния ъгъл.

9. Намираме площта на трапец, като умножим височината му по дължината на средната линия, която е равна на средноаритметичната стойност на основите. Друга възможност за определяне на площта на трапец е да умножите неговите диагонали и синуса на ъгъла, лежащ между тях.

За по-голяма яснота на децата в началното училище често се дават задачи: намерете площта на фигура, начертана на хартия, като използвате палитра или лист прозрачна хартия, разделен на квадрати. Такъв лист хартия се поставя върху измерената фигура, броят на пълните клетки (площни единици), които се вписват в очертанията му, се брои, след това броят на непълните, който се разделя наполовина.