Намерете най-голямата стойност на функция от няколко променливи. Функции

През юли 2020 г. НАСА стартира експедиция до Марс. Корабът ще достави на Марс електронен носител с имената на всички регистрирани участници в експедицията.

Регистрацията на участниците е отворена. Вземете своя билет до Марс, като използвате тази връзка.

Ако тази публикация е решила проблема ви или просто ви е харесала, споделете линка към нея с приятелите си в социалните мрежи.

Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте в него първата или втората версия на кода за изтегляне, представен по-горе, и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.

Поредната новогодишна нощ... мразовито време и снежинки по стъклото на прозореца... Всичко това ме накара отново да пиша за... фракталите и какво знае Wolfram Alpha за тях. Има интересна статия по този въпрос, която съдържа примери за двумерни фрактални структури. Тук ще разгледаме по-сложни примери за триизмерни фрактали.

Фракталът може да бъде визуално представен (описан) като геометрична фигура или тяло (което означава, че и двете са набор, в този случай набор от точки), чиито детайли имат същата форма като самата оригинална фигура. Тоест това е самоподобна структура, разглеждайки детайлите на която при увеличение ще видим същата форма като без увеличение. Докато в случай на обикновена геометрична фигура (не фрактал), при увеличение ще видим детайли, които имат по-проста форма от самата оригинална фигура. Например при достатъчно голямо увеличение част от елипса изглежда като сегмент от права линия. Това не се случва с фракталите: с всяко увеличение в тях, ние отново ще видим същата сложна форма, която ще се повтаря отново и отново с всяко увеличение.

Беноа Манделброт, основателят на науката за фракталите, пише в своята статия „Фрактали и изкуство в името на науката“: „Фракталите са геометрични фигури, които са толкова сложни в своите детайли, колкото и в цялостната си форма. Тоест, ако част от фрактала ще се увеличи до размера на цялото, ще изглежда като цяло, или точно, или може би с лека деформация."

Теорема 1.5 Нека в затворена област дпосочена функция z=z(x,y), имащи непрекъснати частни производни от първи ред. Граница Жрегион де гладка на парчета (т.е. състои се от части от „гладки на пипане“ криви или прави линии). След това в района дфункция z(x,y)достига своя най-голям Ми най-малкото мстойности.

Няма доказателство.

Можете да предложите следния план за намиране МИ м.
1. Изграждаме чертеж, избираме всички части от границата на областта ди намерете всички „ъглови“ точки на границата.
2. Намерете неподвижни точки вътре д.
3. Намерете стационарни точки на всяка от границите.
4. Изчисляваме във всички стационарни и ъглови точки и след това избираме най-големия Ми най-малко мзначения.

Пример 1.14 Намерете най-големия Ми най-малко мстойности на функцията z= 4x2-2xy+y2-8xв затворена зона д, ограничено: х= 0, y = 0, 4x+3y=12 .

1. Да изградим зона д(фиг. 1.5) на равнина охоо.

Ъглови точки: O (0; 0), B (0; 4), A (3; 0).

Граница Жрегион дсе състои от три части:

2. Намерете стационарни точки в региона д:

3. Стационарни точки на границите l 1, l 2, l 3:

4. Изчисляваме шест стойности:

Примери

Пример 1.

Тази функция е дефинирана за всички стойности на променливите хИ г, освен в началото, където знаменателят отива на нула.

Полином x 2 + y 2е непрекъснат навсякъде и следователно квадратният корен на непрекъсната функция е непрекъснат.

Дробта ще бъде непрекъсната навсякъде, освен в точки, където знаменателят е нула. Тоест, разглежданата функция е непрекъсната в цялата координатна равнина охоо, с изключение на произхода.

Пример 2.

Изследване на непрекъснатостта на функция z=tg(x,y). Допирателната е дефинирана и непрекъсната за всички крайни стойности на аргумента, с изключение на стойности, равни на нечетно число на количеството π /2 , т.е. с изключение на точките, където

За всяка фиксирана "к"уравнение (1.11) дефинира хипербола. Следователно разглежданата функция е непрекъсната функция хи y, с изключение на точките, лежащи върху криви (1.11).

Пример 3.

Намерете частични производни на функция u=z -xy, z > 0.

Пример 4.

Покажете тази функция

удовлетворява идентичността:

– това равенство е валидно за всички точки M(x;y;z), с изключение на точката M 0 (a;b;c).

Нека разгледаме функцията z=f(x,y) на две независими променливи и да установим геометричното значение на частичните променливи z"x =f"x(x,y)И z" y =f" y(x,y).

В този случай уравнението z=f(x,y)има уравнение на някаква повърхност (фиг. 1.3). Нека начертаем самолет г= конст. В разрез на тази повърхностна равнина z=f(x,y)получавате някаква линия l 1пресечна точка, по която се променят само количествата хИ z.

Частична производна z"x(геометричният му смисъл пряко следва от известния геометричен смисъл на производната на функция на една променлива) е числено равен на тангенса на ъгъла α наклон, спрямо оста о, допирателна L 1към кривата l 1, което води до участък от повърхността z=f(x,y)самолет г= конств точката M(x,y,f(xy)): z" x = tanα.

В участъка на повърхността z=f(x,y)самолет х= констполучавате пресечна линия l 2, по който се променят само количествата приИ z. След това частната производна z" yчислено равно на тангенса на ъгъла β наклон спрямо оста OU, допирателна L 2към посочения ред l 2пресечки в точка M(x,y,f(xy)): z" x = tanβ.

Пример 5.

Какъв ъгъл сключва с оста? одопирателна към права:

в точката M(2,4,5)?

Използваме геометричното значение на частната производна по отношение на променлива х(при постоянно при):

Пример 6.

Съгласно (1.31):

Пример 7.

Ако приемем, че уравнението

имплицитно дефинира функция

намирам z"x, z" y.

следователно, съгласно (1.37), получаваме отговора.

Пример 8.

Изследвайте до крайност:

1. Намерете стационарни точки чрез решаване на системата (1.41):

тоест намират се четири стационарни точки.
2.

по теорема 1.4 в точката има минимум.

освен това

4. Изчисляваме шест стойности:

От шестте получени стойности изберете най-голямата и най-малката.

Библиография:

ü Белко И. В., Кузмич К. К. Висша математика за икономисти. I семестър: Експресен курс. – М.: Ново знание, 2002. – 140 с.

ü Гусак А. А. Математически анализ и диференциални уравнения – Мн.: TetraSystems, 1998. – 416 с.

ü Гусак А. А. Висша математика. Учебник за студенти в 2 тома. – Мн., 1998. – 544 с. (1 том), 448 стр. (2 тома).

ü Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Висша математика за икономисти: Учебник за университети / Изд. проф. Н. Ш. Кремер – М.: ЮНИТИ, 2002. – 471 с.

ü Яблонски А. И., Кузнецов А. В., Шилкина Е. И. и др., Висша математика. Общ курс: Учебник / Под общ. изд. С. А. Самал – Мн.: Виш. училище, 2000. – 351 с.

Нека функцията $z=f(x,y)$ е дефинирана и непрекъсната в някаква ограничена затворена област $D$. Нека дадената функция в тази област има крайни частични производни от първи ред (освен, може би, за краен брой точки). За да се намерят най-големите и най-малките стойности на функция от две променливи в дадена затворена област, са необходими три стъпки от прост алгоритъм.

Какво представляват критичните точки? Покажи скрий

Под критични точкипредполагат точки, в които и двете частични производни от първи ред са равни на нула (т.е. $\frac(\partial z)(\partial x)=0$ и $\frac(\partial z)(\partial y)=0 $) или поне една частична производна не съществува.

Често се наричат ​​точките, в които частните производни от първи ред са равни на нула стационарни точки. По този начин стационарните точки са подмножество от критични точки.

Пример №1

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията $z=x^2+2xy-y^2-4x$ в затворена област, ограничена от линиите $x=3$, $y=0$ и $y=x +1$.

Ще следваме горното, но първо ще се заемем с изчертаването на дадена област, която ще обозначим с буквата $D$. Дадени са ни уравненията на три прави линии, които ограничават тази област. Правата $x=3$ минава през точката $(3;0)$ успоредно на ординатната ос (ос Oy). Правата $y=0$ е уравнението на абсцисната ос (ос Ox). Е, за да построим правата $y=x+1$, ще намерим две точки, през които ще прекараме тази права. Можете, разбира се, да замените няколко произволни стойности вместо $x$. Например, замествайки $x=10$, получаваме: $y=x+1=10+1=11$. Намерихме точката $(10;11)$, лежаща на правата $y=x+1$. По-добре е обаче да се намерят точките, в които правата $y=x+1$ пресича правите $x=3$ и $y=0$. Защо това е по-добре? Защото ще убием няколко птици с един камък: ще получим две точки, за да построим правата линия $y=x+1$ и в същото време ще разберем в кои точки тази права линия пресича други линии, ограничаващи дадената област. Правата $y=x+1$ пресича правата $x=3$ в точката $(3;4)$, а правата $y=0$ се пресича в точката $(-1;0)$. За да не затрупвам хода на решението със спомагателни обяснения, ще поставя въпроса за получаването на тези две точки в бележка.

Как са получени точките $(3;4)$ и $(-1;0)$? Покажи скрий

Да започнем от пресечната точка на правите $y=x+1$ и $x=3$. Координатите на желаната точка принадлежат както на първата, така и на втората права линия, следователно, за да намерите неизвестните координати, трябва да решите системата от уравнения:

$$ \left \( \begin(подравнено) & y=x+1;\\ & x=3. \end(подравнено) \right. $$

Решението на такава система е тривиално: замествайки $x=3$ в първото уравнение, ще имаме: $y=3+1=4$. Точката $(3;4)$ е желаната пресечна точка на правите $y=x+1$ и $x=3$.

Сега нека намерим пресечната точка на правите $y=x+1$ и $y=0$. Нека отново съставим и решим системата от уравнения:

$$ \left \( \begin(подравнено) & y=x+1;\\ & y=0. \end(подравнено) \right. $$

Като заместим $y=0$ в първото уравнение, получаваме: $0=x+1$, $x=-1$. Точката $(-1;0)$ е желаната пресечна точка на правите $y=x+1$ и $y=0$ (ос x).

Всичко е готово за изграждане на чертеж, който ще изглежда така:

Въпросът за бележката изглежда очевиден, защото всичко се вижда на снимката. Въпреки това си струва да запомните, че рисунката не може да служи като доказателство. Чертежът е само с илюстративна цел.

Нашата област беше дефинирана с помощта на уравнения на прави линии, които я ограничаваха. Очевидно тези линии определят триъгълник, нали? Или не е съвсем очевидно? Или може би ни е дадена различна област, ограничена от същите линии:

Разбира се, условието гласи, че зоната е затворена, така че показаната снимка е неправилна. Но за да се избегнат подобни неясноти, е по-добре да се дефинират регионите чрез неравенства. Интересува ли ни частта от равнината, разположена под правата $y=x+1$? Добре, значи $y ≤ x+1$. Трябва ли нашата област да се намира над линията $y=0$? Чудесно, това означава $y ≥ 0$. Между другото, последните две неравенства могат лесно да се комбинират в едно: $0 ≤ y ≤ x+1$.

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ y ≤ x+1;\\ & x ≤ 3. \end(aligned) \right. $$

Тези неравенства определят областта $D$ и я определят еднозначно, без да допускат двусмислие. Но как това ни помага с въпроса, зададен в началото на бележката? Това също ще помогне :) Трябва да проверим дали точката $M_1(1;1)$ принадлежи към областта $D$. Нека заместим $x=1$ и $y=1$ в системата от неравенства, които определят тази област. Ако и двете неравенства са изпълнени, тогава точката е вътре в областта. Ако поне едно от неравенствата не е изпълнено, тогава точката не принадлежи на областта. Така:

$$ \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 1+1;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & 0 ≤ 1 ≤ 2;\\ & 1 ≤ 3. \end(aligned) \right.$$

И двете неравенства са валидни. Точка $M_1(1;1)$ принадлежи на област $D$.

Сега е време да проучим поведението на функцията на границата на региона, т.е. Хайде да отидем до . Нека започнем с правата $y=0$.

Правата $y=0$ (абсцисната ос) ограничава областта $D$ при условие $-1 ≤ x ≤ 3$. Нека заместим $y=0$ в дадената функция $z(x,y)=x^2+2xy-y^2-4x$. Функцията на една променлива $x$, получена в резултат на заместване, означаваме като $f_1(x)$:

$$ f_1(x)=z(x,0)=x^2+2x\cdot 0-0^2-4x=x^2-4x. $$

Сега за функцията $f_1(x)$ трябва да намерим най-голямата и най-малката стойност в интервала $-1 ≤ x ≤ 3$. Нека намерим производната на тази функция и я приравним към нула:

$$ f_(1)^(")(x)=2x-4;\\ 2x-4=0; \; x=2. $$

Стойността $x=2$ принадлежи на сегмента $-1 ≤ x ≤ 3$, така че ще добавим $M_2(2;0)$ към списъка с точки. Освен това нека изчислим стойностите на функцията $z$ в краищата на сегмента $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. в точки $M_3(-1;0)$ и $M_4(3;0)$. Между другото, ако точката $M_2$ не принадлежи на разглеждания сегмент, тогава, разбира се, няма да има нужда да се изчислява стойността на функцията $z$ в нея.

И така, нека изчислим стойностите на функцията $z$ в точки $M_2$, $M_3$, $M_4$. Можете, разбира се, да замените координатите на тези точки в оригиналния израз $z=x^2+2xy-y^2-4x$. Например за точка $M_2$ получаваме:

$$z_2=z(M_2)=2^2+2\cdot 2\cdot 0-0^2-4\cdot 2=-4.$$

Изчисленията обаче могат да бъдат малко опростени. За да направите това, си струва да запомните, че на сегмента $M_3M_4$ имаме $z(x,y)=f_1(x)$. Ще напиша това подробно:

\begin(aligned) & z_2=z(M_2)=z(2,0)=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\\ & z_3=z(M_3)=z(- 1,0)=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\\ & z_4=z(M_4)=z(3,0)=f_1(3)= 3^2-4\cdot 3=-3. \край (подравнено)

Разбира се, обикновено няма нужда от толкова подробни записи и в бъдеще ще запишем всички изчисления накратко:

$$z_2=f_1(2)=2^2-4\cdot 2=-4;\; z_3=f_1(-1)=(-1)^2-4\cdot (-1)=5;\; z_4=f_1(3)=3^2-4\cdot 3=-3.$$

Сега нека се обърнем към правата $x=3$. Тази права линия ограничава областта $D$ при условие $0 ≤ y ≤ 4$. Нека заместим $x=3$ в дадената функция $z$. В резултат на това заместване получаваме функцията $f_2(y)$:

$$ f_2(y)=z(3,y)=3^2+2\cdot 3\cdot y-y^2-4\cdot 3=-y^2+6y-3. $$

За функцията $f_2(y)$ трябва да намерим най-голямата и най-малката стойност на интервала $0 ≤ y ≤ 4$. Нека намерим производната на тази функция и я приравним към нула:

$$ f_(2)^(")(y)=-2y+6;\\ -2y+6=0; \; y=3. $$

Стойността $y=3$ принадлежи на сегмента $0 ≤ y ≤ 4$, така че ще добавим $M_5(3;3)$ към предварително намерените точки. Освен това е необходимо да се изчисли стойността на функцията $z$ в точките в краищата на отсечката $0 ≤ y ≤ 4$, т.е. в точки $M_4(3;0)$ и $M_6(3;4)$. В точка $M_4(3;0)$ вече сме изчислили стойността на $z$. Нека изчислим стойността на функцията $z$ в точки $M_5$ и $M_6$. Нека ви напомня, че на отсечката $M_4M_6$ имаме $z(x,y)=f_2(y)$, следователно:

\begin(aligned) & z_5=f_2(3)=-3^2+6\cdot 3-3=6; & z_6=f_2(4)=-4^2+6\cdot 4-3=5. \край (подравнено)

И накрая, разгледайте последната граница на региона $D$, т.е. права линия $y=x+1$. Тази права линия ограничава областта $D$ при условие $-1 ≤ x ≤ 3$. Замествайки $y=x+1$ във функцията $z$, ще имаме:

$$ f_3(x)=z(x,x+1)=x^2+2x\cdot (x+1)-(x+1)^2-4x=2x^2-4x-1. $$

Отново имаме функция на една променлива $x$. И отново трябва да намерим най-голямата и най-малката стойност на тази функция в интервала $-1 ≤ x ≤ 3$. Нека намерим производната на функцията $f_(3)(x)$ и я приравним към нула:

$$ f_(3)^(")(x)=4x-4;\\ 4x-4=0; \; x=1. $$

Стойността $x=1$ принадлежи на интервала $-1 ≤ x ≤ 3$. Ако $x=1$, тогава $y=x+1=2$. Нека добавим $M_7(1;2)$ към списъка с точки и да разберем каква е стойността на функцията $z$ в тази точка. Точките в краищата на отсечката $-1 ≤ x ≤ 3$, т.е. точки $M_3(-1;0)$ и $M_6(3;4)$ бяха разгледани по-рано, вече намерихме стойността на функцията в тях.

$$z_7=f_3(1)=2\cdot 1^2-4\cdot 1-1=-3.$$

Втората стъпка от решението е завършена. Получихме седем стойности:

$$z_1=-2;\;z_2=-4;\;z_3=5;\;z_4=-3;\;z_5=6;\;z_6=5;\;z_7=-3.$$

Да се ​​обърнем към. Избирайки най-големите и най-малките стойности от числата, получени в третия параграф, ще имаме:

$$z_(мин)=-4; \; z_(макс.)=6.$$

Задачата е решена, остава само да запиша отговора.

Отговор: $z_(мин)=-4; \; z_(max)=6$.

Пример №2

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията $z=x^2+y^2-12x+16y$ в областта $x^2+y^2 ≤ 25$.

Първо, нека изградим чертеж. Уравнението $x^2+y^2=25$ (това е граничната линия на дадена област) определя окръжност с център в началото (т.е. в точката $(0;0)$) и радиус от 5. Неравенството $x^2 +y^2 ≤ $25 удовлетворява всички точки вътре и върху споменатата окръжност.

Ние ще действаме според. Нека намерим частни производни и да открием критичните точки.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=2x-12; \frac(\partial z)(\partial y)=2y+16. $$

Няма точки, в които намерените частни производни да не съществуват. Нека разберем в кои точки и двете частни производни са едновременно равни на нула, т.е. нека намерим стационарни точки.

$$ \left \( \begin(подравнено) & 2x-12=0;\\ & 2y+16=0. \end(aligned) \right. \;\; \left \( \begin(aligned) & x =6;\\ & y=-8.\end(aligned)\right.$$

Получихме стационарна точка $(6;-8)$. Намерената точка обаче не принадлежи към областта $D$. Това е лесно да се покаже, без дори да се прибягва до рисуване. Нека проверим дали е в сила неравенството $x^2+y^2 ≤ 25$, което определя нашата област $D$. Ако $x=6$, $y=-8$, тогава $x^2+y^2=36+64=100$, т.е. неравенството $x^2+y^2 ≤ 25$ не е в сила. Извод: точка $(6;-8)$ не принадлежи на област $D$.

Така че няма критични точки вътре в региона $D$. Да преминем към... Трябва да изследваме поведението на функция на границата на даден регион, т.е. върху окръжността $x^2+y^2=25$. Можем, разбира се, да изразим $y$ чрез $x$ и след това да заместим получения израз в нашата функция $z$. От уравнението на окръжност получаваме: $y=\sqrt(25-x^2)$ или $y=-\sqrt(25-x^2)$. Като заместим например $y=\sqrt(25-x^2)$ в дадената функция, ще имаме:

$$ z=x^2+y^2-12x+16y=x^2+25-x^2-12x+16\sqrt(25-x^2)=25-12x+16\sqrt(25-x ^2); \;\; -5≤ x ≤ 5. $$

По-нататъшното решение ще бъде напълно идентично с изследването на поведението на функцията на границата на областта в предишния пример № 1. Струва ми се обаче по-разумно в тази ситуация да се приложи методът на Лагранж. Ще се интересуваме само от първата част на този метод. След прилагане на първата част от метода на Лагранж ще получим точки, в които ще изследваме функцията $z$ за минимални и максимални стойности.

Съставяме функцията на Лагранж:

$$ F=z(x,y)+\lambda\cdot(x^2+y^2-25)=x^2+y^2-12x+16y+\lambda\cdot (x^2+y^2 -25). $$

Намираме частните производни на функцията на Лагранж и съставяме съответната система от уравнения:

$$ F_(x)^(")=2x-12+2\lambda x; \;\; F_(y)^(")=2y+16+2\lambda y.\\ \left \( \begin (подравнено) & 2x-12+2\lambda x=0;\\ & 2y+16+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-25=0. \край (подравнено) \ вдясно. \;\; \наляво \( \begin(подравнено) & x+\lambda x=6;\\ & y+\lambda y=-8;\\ & x^2+y^2=25. \end( подравнено)\дясно.$$

За да решим тази система, нека веднага да посочим, че $\lambda\neq -1$. Защо $\lambda\neq -1$? Нека се опитаме да заместим $\lambda=-1$ в първото уравнение:

$$ x+(-1)\cdot x=6; \; х-х=6; \; 0=6. $$

Полученото противоречие $0=6$ показва, че стойността $\lambda=-1$ е неприемлива. Изход: $\lambda\neq -1$. Нека изразим $x$ и $y$ чрез $\lambda$:

\begin(aligned) & x+\lambda x=6;\; x(1+\ламбда)=6;\; x=\frac(6)(1+\lambda). \\ & y+\lambda y=-8;\; y(1+\lambda)=-8;\; y=\frac(-8)(1+\lambda). \край (подравнено)

Вярвам, че тук става очевидно защо специално поставихме условието $\lambda\neq -1$. Това беше направено, за да се побере изразът $1+\lambda$ в знаменателите без намеса. Тоест, за да сте сигурни, че знаменателят $1+\lambda\neq 0$.

Нека заместим получените изрази за $x$ и $y$ в третото уравнение на системата, т.е. в $x^2+y^2=25$:

$$ \left(\frac(6)(1+\lambda) \right)^2+\left(\frac(-8)(1+\lambda) \right)^2=25;\\ \frac( 36)((1+\lambda)^2)+\frac(64)((1+\lambda)^2)=25;\\ \frac(100)((1+\lambda)^2)=25 ; \; (1+\ламбда)^2=4. $$

От полученото равенство следва, че $1+\lambda=2$ или $1+\lambda=-2$. Следователно имаме две стойности на параметъра $\lambda$, а именно: $\lambda_1=1$, $\lambda_2=-3$. Съответно получаваме две двойки стойности $x$ и $y$:

\begin(aligned) & x_1=\frac(6)(1+\lambda_1)=\frac(6)(2)=3; \; y_1=\frac(-8)(1+\lambda_1)=\frac(-8)(2)=-4. \\ & x_2=\frac(6)(1+\lambda_2)=\frac(6)(-2)=-3; \; y_2=\frac(-8)(1+\lambda_2)=\frac(-8)(-2)=4. \край (подравнено)

И така, получихме две точки от възможен условен екстремум, т.е. $M_1(3;-4)$ и $M_2(-3;4)$. Нека намерим стойностите на функцията $z$ в точки $M_1$ и $M_2$:

\begin(aligned) & z_1=z(M_1)=3^2+(-4)^2-12\cdot 3+16\cdot (-4)=-75; \\ & z_2=z(M_2)=(-3)^2+4^2-12\cdot(-3)+16\cdot 4=125. \край (подравнено)

Трябва да изберем най-големите и най-малките стойности от получените в първата и втората стъпка. Но в този случай изборът е малък :) Имаме:

$$ z_(мин)=-75; \; z_(max)=125. $$

Отговор: $z_(мин)=-75; \; z_(макс.)=$125.

От практическа гледна точка най-голям интерес представлява използването на производната за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция. С какво е свързано това? Максимизиране на печалбите, минимизиране на разходите, определяне на оптималното натоварване на оборудването... С други думи, в много области на живота ни се налага да решаваме проблеми с оптимизирането на някои параметри. И това са задачите за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция.

Трябва да се отбележи, че най-големите и най-малките стойности на функция обикновено се търсят на определен интервал X, който е или цялата област на функцията, или част от областта на дефиниция. Самият интервал X може да бъде сегмент, отворен интервал , безкраен интервал.

В тази статия ще говорим за намиране на най-голямата и най-малката стойност на изрично дефинирана функция на една променлива y=f(x).

Навигация в страницата.

Нека разгледаме накратко основните определения.

Най-голямата стойност на функцията че за всеки неравенството е вярно.

Най-малката стойност на функцията y=f(x) на интервала X е такава стойност че за всеки неравенството е вярно.

Тези дефиниции са интуитивни: най-голямата (най-малката) стойност на функция е най-голямата (най-малката) приета стойност на разглеждания интервал на абсцисата.

Стационарните точки са стойностите на аргумента, при които производната на функцията става нула.

Защо се нуждаем от стационарни точки, когато намираме най-големите и най-малките стойности? Отговор на този въпрос дава теоремата на Ферма. От тази теорема следва, че ако диференцируема функция има екстремум (локален минимум или локален максимум) в дадена точка, тогава тази точка е неподвижна. По този начин функцията често приема своята най-голяма (най-малка) стойност на интервала X в една от стационарните точки от този интервал.

Също така, една функция често може да приеме своите най-големи и най-малки стойности в точки, в които първата производна на тази функция не съществува и самата функция е дефинирана.

Нека веднага да отговорим на един от най-често срещаните въпроси по тази тема: „Винаги ли е възможно да се определи най-голямата (най-малката) стойност на функция“? Не винаги. Понякога границите на интервала X съвпадат с границите на областта на дефиниране на функцията или интервалът X е безкраен. И някои функции в безкрайност и на границите на областта на дефиницията могат да приемат както безкрайно големи, така и безкрайно малки стойности. В тези случаи не може да се каже нищо за най-голямата и най-малката стойност на функцията.

За яснота ще дадем графична илюстрация. Вижте снимките и много неща ще ви станат по-ясни.

На сегмента

На първата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре в сегмента [-6;6].

Разгледайте случая, изобразен на втората фигура. Нека променим сегмента на . В този пример най-малката стойност на функцията се постига в стационарна точка, а най-голямата в точката с абсцисата, съответстваща на дясната граница на интервала.

На фигура 3 граничните точки на сегмента [-3;2] са абсцисите на точките, съответстващи на най-голямата и най-малката стойност на функцията.

На отворен интервал

На четвъртата фигура функцията приема най-големите (max y) и най-малките (min y) стойности в стационарни точки, разположени вътре в отворения интервал (-6;6).

На интервала не могат да се направят изводи за най-голямата стойност.

В безкрайност

В примера, представен на седмата фигура, функцията приема най-голямата стойност (max y) в стационарна точка с абциса x=1, а най-малката стойност (min y) се постига на дясната граница на интервала. При минус безкрайност стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3.

През интервала функцията не достига нито най-малката, нито най-голямата стойност. Когато x=2 се приближава отдясно, стойностите на функцията клонят към минус безкрайност (линията x=2 е вертикална асимптота), а когато абсцисата клони към плюс безкрайност, стойностите на функцията асимптотично се доближават до y=3. Графична илюстрация на този пример е показана на фигура 8.

Нека напишем алгоритъм, който ни позволява да намерим най-голямата и най-малката стойност на функция в сегмент.

Нека анализираме алгоритъма за решаване на пример за намиране на най-големите и най-малките стойности на функция в сегмент.

Пример.

Намерете най-голямата и най-малката стойност на функция

• на сегмента;
• на отсечката [-4;-1] .

Решение.

Областта на дефиниране на функция е цялото множество от реални числа, с изключение на нулата, т.е. И двата сегмента попадат в областта на дефиницията.

Намерете производната на функцията по отношение на:

Очевидно производната на функцията съществува във всички точки на отсечките и [-4;-1].

Определяме стационарни точки от уравнението. Единственият истински корен е x=2. Тази неподвижна точка попада в първия сегмент.

За първия случай изчисляваме стойностите на функцията в краищата на сегмента и в стационарната точка, т.е. за x=1, x=2 и x=4:

Следователно най-голямата стойност на функцията се постига при x=1 и най-малката стойност – при х=2.

За втория случай изчисляваме стойностите на функцията само в краищата на сегмента [-4;-1] (тъй като не съдържа нито една неподвижна точка):

Решение.

Нека започнем с домейна на функцията. Квадратът на тричлена в знаменателя на дробта не трябва да се равнява на нула:

Лесно се проверява дали всички интервали от формулировката на задачата принадлежат към областта на дефиниране на функцията.

Нека разграничим функцията:

Очевидно производната съществува в цялата област на дефиниране на функцията.

Да намерим неподвижни точки. Производната отива на нула при . Тази неподвижна точка попада в интервалите (-3;1] и (-3;2).

Сега можете да сравните резултатите, получени във всяка точка, с графиката на функцията. Сините пунктирани линии показват асимптоти.

На този етап можем да завършим с намирането на най-голямата и най-малката стойност на функцията. Алгоритмите, разгледани в тази статия, ви позволяват да получите резултати с минимални действия. Въпреки това може да бъде полезно първо да се определят интервалите на нарастване и намаляване на функцията и едва след това да се правят заключения за най-големите и най-малките стойности на функцията на всеки интервал. Това дава по-ясна картина и строга обосновка на резултатите.

§ Екстремуми, Максимални и минимални стойности на функции на няколко променливи - стр. № 1/1

Точка
Наречен максимална точкафункции
, ако за някоя точка

неравенството е в сила

.

По същия начин точка
Наречен минимална точкафункции
, ако за някоя точка
от някаква околност на точка
неравенството е в сила

.

Бележки. 1) Според дефинициите функцията
трябва да се определи в някаква околност на точката
. Тези. максимални и минимални точки на функцията
може да има само вътрешни точки на региона
.

2) Ако има околност на точка
, в който за всяка точка
различен от
неравенството е в сила

(

), тогава точката
Наречен строга максимална точка(съответно строга минимална точка) функции
. В това отношение максималните и минималните точки, определени по-горе, понякога се наричат ​​нестроги максимални и минимални точки.

Концепциите за екстремуми са локални по природа: стойността на функция в точка
се сравнява със стойностите на функцията в доста близки точки. В дадена област една функция може изобщо да няма екстремуми или може да има няколко минимума, няколко максимума и дори безкраен брой и от двете. Освен това някои минимуми може да са по-големи от някои от неговите максимуми. Не бъркайте максималните и минималните стойности на функция с нейните максимални и минимални стойности.

Нека намерим необходимото условие за екстремум. нека например
– максимална точка на функцията
. Тогава, по дефиниция, има gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-околност на точката
такова, че
за всяка точка
от тази околност. В частност,

(1)

Където
,
, И

(2)

Където
,
. Но (1) означава, че функция на една променлива
има в точката максимум или е на интервала
постоянен. следователно

или
- не съществува,

⇒
или
- не съществува.

По същия начин от (2) получаваме това

или
- не съществува.

Следователно следната теорема е валидна.

ТЕОРЕМА 8.1. (необходими условия за екстремум). Ако функцията
в точката
има екстремум, тогава в този момент или двете му частни производни от първи ред са равни на нула, или поне една от тези частни производни не съществува.

Геометрично, теорема 8.1 означава, че ако
– екстремна точка на функцията
, тогава допирателната равнина към графиката на тази функция в точката е или успоредна на равнината
, или изобщо не съществува. За да проверите това, достатъчно е да запомните как да намерите уравнението на допирателна равнина към повърхност (виж формула (4.6)).

Наричат ​​се точки, отговарящи на условията на теорема 8.1 критични точкифункции
. Точно както за функция на една променлива, необходимите условия за екстремум не са достатъчни. Тези. не всяка критична точка на функция ще бъде нейната екстремна точка.

ПРИМЕР.Помислете за функцията
. Точка
е критичен за тази функция, тъй като в този момент и двете й частни производни от първи ред
И
са равни на нула. Това обаче няма да е крайна точка. Наистина ли,
, но във всеки квартал на точката
има точки, в които функцията приема положителни стойности и точки, в които функцията приема отрицателни стойности. Това е лесно да се провери, ако изградите графика на функцията - хиперболичен параболоид.

За функция на две променливи най-удобните достатъчни условия са дадени от следната теорема.

ТЕОРЕМА 8.2. (достатъчни условия за екстремум на функция на две променливи). Позволявам
– критична точка на функцията
и в някакъв квартал на точката
функцията има непрекъснати частни производни до и включително втори ред. Нека обозначим

,
,
.

Тогава 1) ако
, след това точка
не е екстремна точка;


Ако използваме теорема 8.2, за да изследваме критичната точка
неуспешно (т.е. ако
или функцията изобщо няма точка в околността
непрекъснати частични производни от необходимия ред), отговорът на въпроса за присъствието в точка
екстремумът ще даде знака на увеличението на функцията в тази точка.

Действително от дефиницията следва, че ако функцията
има в точката
строг максимум тогава

за всички точки
от някаква околност на точка
, или иначе

за всички достатъчно малки
И
. По същия начин, ако
е точка на строг минимум, тогава за всички достатъчно малка
И
неравенството ще бъде удовлетворено
.

И така, за да разберете дали критичната точка е
екстремна точка, е необходимо да се изследва нарастването на функцията в тази точка. Ако за всички достатъчно малък
И
ще запази знака, след това в точката
функцията има строг екстремум (минимум ако
, а максимумът ако
).

Коментирайте. Правилото остава вярно за нестрог екстремум, но с изменението, че за някои стойности
И
нарастването на функцията ще бъде нула
ПРИМЕР. Намерете екстремуми на функции:

1)
; 2)
.

За изследване на критичните точки прилагаме теорема 8.2. Ние имаме:

,
,
.

Нека проучим въпроса
:

,
,
,

;
.

Следователно, в точката
тази функция има минимум, а именно
.

Изследване на критичната точка
:

,
,
,


.

Следователно втората критична точка не е екстремалната точка на функцията.

За изследване на критичната точка прилагаме теорема 8.2. Ние имаме:

,
,
,

,
,
,

.

Определете наличието или отсъствието на екстремум в дадена точка
използването на теорема 8.2 не успя.

Нека разгледаме знака на нарастването на функцията в точката
:

Ако
, Че
;

Ако
, Че
.

Тъй като
не запазва знак в околност на точка
, тогава в тази точка функцията няма екстремум.

.

По същия начин стойността на функцията в точката
Наречен най-малкият, ако за някоя точка
от региона
неравенството е в сила

.

По-рано вече казахме, че ако една функция е непрекъсната и площта
– е затворена и ограничена, тогава функцията приема своите най-големи и най-малки стойности в тази област. В същото време точки
И
може да лежи както вътре в района
, и на границата му. Ако точката
(или
) се намира вътре в региона
, тогава това ще бъде максималната (минималната) точка на функцията
, т.е. критична точка на функция вътре в регион
. Следователно, за да намерите най-големите и най-малките стойности на функцията
в района
трябва да:
.