Многократни интеграли (задачи и упражнения). Кратни интеграли Координати на центъра на масата на плоска фигура

Деф . Позволявам ,
,

.

Набор се нарича затворен интервал или затворен бар в .

Множеството се нарича отворен интервал

или отворена греда в .

Деф . Мярка за интервали И количеството се нарича:

(По-точно
).

Деф . Ако
такова, че
след това интервалът се нарича изродена и
.

Свойства на мярката за празнина:

А). Положителност:
, и
тогава и само когато – изродени.

б). Положителна хомогенност: .

V). Адитивност:

* За
такова, че
;

* За
И

.

Ж). Монотонност на мярката: .

Деф . Диаметърът на гредата (пролуката) е стойността:

Забележи, че
И
– това не е едно и също нещо. Например ако – дегенерира, значи
,а
(най-общо казано).

При което: * ;

* ;*
.

Деф . Тоталност
подобхвати на интервала наречен интервален дял , Ако: *;

*
; *
; *
; *
.

величина
наречен параметър на дяла П(при което
).

Деф . Разделяне наречено усъвършенстване на дяла , ако всички елементи на дяла получени чрез разделяне на преградните елементи .

Посочва се от:
. Чете: по-малък или по-голям .

За съотношението „по-голям – по-малък“ е вярно следното:

*. преходност – ; *.
;

*.


; *.

|
.

§. Дефиниция на кратен интеграл

Позволявам
– дървен материал (пролука) в ,
– преграждане на празнината аз. На всеки интервал от дяла маркирайте точката
.

Получаваме
преграда с отбелязани точки за
.

величина
се нарича интегрална сума на Риман за функцията f (х) на интервала аз чрез преграда с отбелязани точки
.

Деф :
=
=
.

Обозначаване – много функции, интегрирани на гредата аз нека напишем:

Деф : ε > 0 δ>0<.

Ако за функцията f(х) На ази прегради
- означават с
– най-голямата и най-малката стойност на функцията f(х) На аз кслед това стойностите
=
И
=
се наричат ​​долна и горна сума на Дарбу.

§. Критерий на Дарбу за съществуване на кратен интеграл.

T 0 . Да функционира
беше интегриран върху гредата (тези.
) е необходимо и достатъчно, така че

. Δ▲.

Дефинирано е интегрирането на функция върху лъч в евклидово пространство. Как може да се интегрира функция върху произволно ограничено множество от евклидовото пространство?

Нека дефинираме интеграла на функцията f от много
.

Деф : Позволявам
И
– ограничено, т.е.
. функция
наричаме характеристична функция на множеството М.

Тогава:
≡
.

Дефиницията на наборен интеграл не зависи от това кой лъч съдържа Мизбрани, т.е.

.

Това означава, че дефиницията на интеграла върху множество е правилна.

Необходимо условие за интегрируемост.Да функционира f(х) На Мда бъде интегрируем е необходимо това f(х) беше ограничен до М. Δ▲.

§. Свойства на кратните интеграли.

1  . Линейност: Много Р Мфункции, интегрируеми върху множество М –линеен

пространство, и
– линеен функционал.

2  . Условие за нормализиране:
. Друга форма на влизане
по същество определя мярката на произволно множество от евклидовото пространство.

3  . Ако съществува интеграл върху набор от мярка на Лебег нула, тогава той

равно на нула.

Забележка:Няколко Мсе нарича набор от Лебегова мярка нула,

Ако

такова, че
И
.

4  . А.;b.;

V.Ако
И – отделено от нула с М, Че

5  .
И f=жп.в. (почти навсякъде) на М, Че
.

6  . Адитивност: Ако
И
Че

,

Общо взето:
.

Δ. От равенството следва: ▲

7  . Монотонен:
И
Че
.

8  . Интегриращи неравенства: ако
ито

.

9  . Позволявам


. За да
, е необходимо и достатъчно да има вътрешна точка на комплекта М, при което f (х) > 0 и непрекъснато.

10  . Интегрируемост на интегрируемия функционален модул:
.

11  . Теорема за средната стойност:
,
На Мзапазва знака и
, Че

.

Ако наборът М– съгласувана и f(х) – непрекъснато включено
Че
такова, че
.

12  . За да бъде интегралът на неотрицателна функция равен на 0

необходимо и достатъчно за f(х) = 0 почти навсякъде по М.

13  . Теорема на Фубини.За двоен интеграл:

Нека района
- правоъгълник:. След това, при условие че съществуват вътрешни единични интеграли, за да намерите двойния интеграл, можете да продължите към повторно интегриране (вижте Фиг. a):

, или

д

Забележка:Външните граници на интегрирането трябва да бъдат константи; вътрешните граници на интегрирането могат да зависят от променливата, над която интегрирането тепърва ще се извършва.

Формула (*) може да бъде получена с помощта на функцията за зададена характеристика д.

За многократен интеграл:

Нека и някои подмножества на евклидови пространства И . Нека дефинираме декартовото произведение на тези множества, което е подмножество на евклидовото пространство
:.

Тогава теоремата на Фубини за
има формата:
.

Теоремата е валидна и за греди хИ Y, и за по-сложни конфигурации.

Примери:

1 0 . Изчисли
, ако границата на района
дадено от уравненията:

А).
;

2

–

.

Рецепта:Когато задавате граници на интегриране в двоен интеграл, се препоръчва да започнете с външните граници на интегриране.

3

Преминаването към итерирани интеграли дава:
.

В същото време в троен интеграл поставянето на граници трябва да започне с вътрешните граници на интегриране. След това проектирайте района Vдо самолета xOy

определяне на граници в района д– лежи в самолет xOy.

4 0 . Променете реда на интегриране в итерирания интеграл:
.

Кратен интеграл

интеграл на функция, определена в някаква област на равнината, в три измерения или н-измерно пространство. Сред К. и. прави разлика между двойни интеграли, тройни интеграли и др. н- многократни интеграли.

Нека функцията f(x, y) се дава в някаква област дсамолет xOy.Нека разделим района дНа нчастични площи аз,чиито площи са равни аз аз,изберете във всяка област d iточка ( ξi, η i) (см. ориз. ) и съставете интегралната сума

Ако, с неограничено намаляване на максималния диаметър на частичните площи d iсуми Симат лимит независимо от избора на точки ( ξi, η i), тогава тази граница се нарича двоен интеграл на функцията f(x, y) по регион ди обозначават

Тройният интеграл се дефинира по подобен начин и като цяло, н-кратен интеграл.

За съществуването на двоен интеграл е достатъчно например обл дбеше затворен регион на квадрат (вижте регион на квадрат) и функцията f(x, y) беше непрекъснато в Д.К. и. имат редица свойства, подобни на свойствата на простите интеграли . За изчисляване на К. и. обикновено го водят до итериран интеграл (вижте итериран интеграл). В специални случаи за информация на К. и. Формулата на Грийн и формулата на Остроградски могат да служат като интеграли с по-ниско измерение. К. и. имат широко приложение: използват се за изразяване на обемите на телата, техните маси, статични моменти, моменти на инерция и др.

Велика съветска енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. 1969-1978 .

Вижте какво е „Множествен интеграл“ в други речници:

Интеграл на функция на няколко променливи. Определя се с помощта на интегрални суми, подобни на определения интеграл на функция на една променлива (вижте Интегрално смятане). В зависимост от броя на променливите биват двойни, тройни, n... ... Голям енциклопедичен речник

Определен интеграл на функция на няколко променливи. Има различни концепции за К. и. (Интеграл на Риман, интеграл на Лебег, интеграл на Лебег Стилтьес и др.). Кратният интеграл на Риман се въвежда на базата на мярката на Йордан. Нека E е измеримо по Йордания... ... Математическа енциклопедия

В математическия анализ множествен или многократен интеграл е набор от интеграли, взети от променливи. Например: Забележка: многократният интеграл е определен интеграл; изчислението му винаги води до число. Съдържание 1... ...Уикипедия

Интеграл на функция на няколко променливи. Определя се с помощта на интегрални суми, подобни на определения интеграл на функция на една променлива (вижте Интегрално смятане). В зависимост от броя на променливите биват двойни, тройни, n... ... енциклопедичен речник

Интеграл на функция на няколко променливи. Определя се с помощта на интегрални суми, определени по подобен начин. интеграл на функция на една променлива (виж Интегрално смятане). В зависимост от броя на променливите има двойни, тройни, i... ... Естествени науки. енциклопедичен речник

Забележка: навсякъде в тази статия, където се използва знакът, се има предвид (кратният) интеграл на Риман, освен ако не е посочено друго; Навсякъде в тази статия, където говорим за измеримостта на набор, имаме предвид йорданската измеримост, ако не... ... Wikipedia

Кратен интеграл от формата където, което е средната стойност на степен 2k от модула на тригонометрична сума. Теоремата на Виноградов за стойността на този интеграл, теоремата за средната стойност, е в основата на оценките на сумите на Weyl. Литература Виноградова инте... Уикипедия

Определен интеграл като площ на фигура Този термин има други значения, вижте Интеграл (значения) . Интеграл на функция ... Wikipedia

Интеграл, при който интегрирането върху различни променливи се извършва последователно, т.е. интеграл от формата (1) Функцията f(x, y) е дефинирана върху множеството A, лежащо в прякото произведение XX Y на пространствата X и Y, в които s са дадени крайни мерки mx и my,… … Математическа енциклопедия

Интеграл, взет по произволна крива в равнина или пространство. Има К. и. 1-ви и 2-ри видове. К. и. Тип 1 възниква, например, когато се разглежда проблемът за изчисляване на масата на крива на променлива плътност; обозначен е...... Велика съветска енциклопедия

Внимание: Когато изчислявате неправилни интеграли с особени точки вътре в интервала на интегриране, не можете механично да приложите формулата на Нютон–Лайбниц, тъй като това може да доведе до грешки.

Общо правило:Формулата на Нютон–Лайбниц е правилна, ако първоизводната на f(x)в сингулярната точка на последния е непрекъснат.

Пример 2.11.

Нека разгледаме неправилен интеграл с особена точка x = 0. Формулата на Нютон–Лайбниц, приложена формално, дава

Тук обаче общото правило не важи; за f(x) = 1/x първоизводната ln |x| не е дефиниран при x = 0 и е безкрайно голям в тази точка, т.е. не е непрекъснат в този момент. Лесно е да се провери чрез директна проверка, че интегралът се разминава. Наистина ли,

Получената несигурност може да бъде разкрита по различни начини, тъй като e и d клонят към нула независимо. По-специално, задавайки e = d, получаваме главната стойност на неправилния интеграл, равна на 0. Ако e = 1/n и d =1/n 2, т.е. d клони към 0 по-бързо от e, тогава получаваме

кога и обратно,

тези. интегралът се разминава.н

Пример 2.12.

Нека разгледаме неправилен интеграл с особена точка x = 0. Първопроизводната на функцията има формата и е непрекъсната в точката x = 0. Следователно можем да приложим формулата на Нютон–Лайбниц:

Естествено обобщение на концепцията за определен интеграл на Риман за случая на функция на няколко променливи е концепцията за кратен интеграл. За случая на две променливи такива интеграли се наричат двойно.

Разгледайте в двумерно евклидово пространство R´R, т.е. на равнина с декартова координатна система, множество дкрайна зона С.

Нека означим с ( i = 1, …, к) задайте дял д, т.е. такава система от нейните подгрупи д i, i = 1,. . ., к, че Ø за i ¹ j и (фиг. 2.5). Тук обозначаваме подмножеството д i без неговата граница, т.е. вътрешни точки на подмножеството E i , които заедно с границата си Gr Eобразувам затворено подмножество даз, . Ясно е, че района С(д i) подмножества д i съвпада с площта на нейната вътрешност, тъй като площта на границата GrE i е равно на нула.

Нека d(E i) означава зададен диаметър E i, т.е. максималното разстояние между две негови точки. Ще се извика величината l(t) = d(E i). финост на дяла T. Ако функцията f(x),x = (x, y), е дефинирана върху E като функция от два аргумента, тогава всяка сума от формата

X i О E i , i = 1, . . . , k, x i = (x i , y i),

в зависимост както от функцията f и дяла t, така и от избора на точки x i О E i М t, се нарича интегрална сума на функцията f .

Ако за функция f съществува стойност, която не зависи нито от дяловете t, нито от избора на точки (i = 1, ..., k), тогава тази граница се нарича двоен риманов интегралот f(x,y) и се обозначава

В този случай се извиква самата функция f Интегрируем на Риман.

Спомнете си, че в случай на функция с един аргумент като набор двърху който се извършва интегрирането, обикновено се взема сегментът , а неговият дял t се счита за дял, състоящ се от сегменти. В други отношения, както е лесно да се види, дефиницията на двойния интеграл на Риман повтаря дефиницията на дефинирания интеграл на Риман за функция от един аргумент.

Двойният интеграл на Риман от ограничени функции на две променливи има обичайните свойства на определен интеграл за функции от един аргумент – линейност, адитивностпо отношение на наборите, върху които се извършва интегриране, запазванепри интегриране нестроги неравенства, интегрируемост на продуктаинтегрирани функции и др.

Изчисляването на множество интеграли на Риман се свежда до изчислението итерирани интеграли. Нека разгледаме случая на двойния интеграл на Риман. Нека функцията f(x,y)е определено върху множеството E, лежащо в декартовото произведение на множествата X ´ Y, E М X ´ Y.

Чрез повторен интегрална функцията f(x, y) се нарича интеграл, в който интегрирането се извършва последователно върху различни променливи, т.е. интеграл на формата

Задайте E(y) = (x: О E) М X се нарича напречно сечениемножества E, съответстващи на дадено y, y О E y ; множеството E y се нарича – проекциязадайте E на оста Y.

За итерирания интеграл се използва и следната нотация:

което, подобно на предишното, означава, че първо, за фиксирана y, y О E y ,функцията е интегрирана f(x, y)от хпо сегмента д(г), което е част от комплекта дсъответстващи на това г.В резултат на това вътрешният интеграл дефинира някаква функция на една променлива - г.След това тази функция се интегрира като функция на една променлива, както е посочено от външния интегрален символ.

При промяна на реда на интегриране получаваме повторен интеграл на формата

където се извършва вътрешна интеграция y,и външни - от х.Как този повторен интеграл е свързан с повторения интеграл, дефиниран по-горе?

Ако има двоен интеграл на функцията f, т.е.

тогава и двата повтарящи се интеграла съществуват и те са еднакви по големина и равни на двойно, т.е.

Подчертаваме, че формулираното в това твърдение условие за възможността за промяна на реда на интегриране в итерирани интеграли е само достатъчно, но не е необходимо.

Други достатъчни условиявъзможностите за промяна на реда на интегриране в итерирани интеграли са формулирани по следния начин:

ако поне един от интегралите съществува

след това функцията f(x, y)Риман интегрируем на множеството д, двата повторни интеграла от него съществуват и са равни на двойния интеграл. н

Нека уточним обозначението на проекциите и сеченията в обозначението на итерираните интеграли.

Ако множеството E е правоъгълник

Че E x = (x: a £ x £ b), E y = (y: c £ y £ d);при което E(y) = E x за всяко y, y О E y . ,А E(x) = Eyза всяко x , x О E x ..

Официално вписване: " y y О E yÞ E(y) = E xÙ" x x О E xÞ E(x) = Ey

Ако множеството E има извита границаи позволява представителства

В този случай повтарящите се интеграли се записват, както следва:

Пример 2.13.

Изчислете двойния интеграл върху правоъгълна област, намалявайки го до итеративен.

Тъй като условието sin 2 (x+ y) =| sin 2 (x + y)|, след което проверка на изпълнимостта на достатъчни условия за съществуването на двойния интеграл I под формата на съществуването на който и да е от повтарящите се интеграли

няма нужда да извършвате това специално и можете веднага да преминете към изчисляване на повтарящия се интеграл

Ако съществува, тогава двойният интеграл също съществува и I = I 1 . Тъй като

Така че аз = .n

Пример 2.14.

Изчислете двойния интеграл върху триъгълната област (вижте фиг. 2.6), като го намалите до повторен

Gr(E) = ( : x = 0, y = 0, x + y = 2).

Първо, нека проверим съществуването на двойния интеграл I. За да направим това, достатъчно е да проверим съществуването на повтарящия се интеграл

тези. интегрантите са непрекъснати на интервалите на интегриране, тъй като всички те са степенни функции. Следователно интегралът I 1 съществува. В този случай двойният интеграл също съществува и е равен на всеки повторен, т.е.

Пример 2.15.

За да разберете по-добре връзката между концепциите за двойни и итерирани интеграли, разгледайте следния пример, който може да бъде пропуснат при първо четене. Дадена е функция на две променливи f(x, y).

Забележете, че за фиксирано x тази функция е нечетна по y, а за фиксирано y е нечетна по x. Като множество E, върху което е интегрирана тази функция, вземаме квадрата E = ( : -1 £ x £ 1, -1 £ y £ 1 ).

Първо разглеждаме повторния интеграл

Вътрешен интеграл

се взема за фиксирано y, -1 £ y £ 1. Тъй като интегралната функция за фиксирано y е нечетно по x и интегрирането върху тази променлива се извършва върху сегмента [-1, 1], симетричен по отношение на точка 0, тогава вътрешният интеграл е равен на 0. Очевидно е, че външният интеграл върху променливата y на нулевата функция също е равен на 0, т.е.

Подобно разсъждение за втория повторен интеграл води до същия резултат:

И така, за разглежданата функция f(x, y) съществуват повтарящи се интеграли, които са равни един на друг. Въпреки това, няма двоен интеграл на функцията f(x, y). За да видим това, нека се обърнем към геометричния смисъл на изчисляването на повтарящи се интеграли.

За изчисляване на итерирания интеграл

използва се специален вид разделяне на квадрата E, както и специално изчисляване на интегрални суми. А именно, квадрат Е е разделен на хоризонтални ивици (виж Фиг. 2.7), а всяка лента е разделена на малки правоъгълници. Всяка лента съответства на определена стойност на променливата y; например, това може да бъде ординатата на хоризонталната ос на лентата.

Изчисляването на интегралните суми се извършва, както следва: първо, сумите се изчисляват за всяка лента поотделно, т.е. при фиксирано y за различно x и след това тези междинни суми се сумират за различни ленти, т.е. за различни y. Ако фиността на дяла клони към нула, тогава в границата получаваме гореспоменатия повторен интеграл.

Ясно е, че за втория повторен интеграл

множеството E е разделено на вертикални ивици, съответстващи на различни x. Междинните суми се изчисляват във всеки диапазон в малки правоъгълници, т.е. по y, а след това се сумират за различни ленти, т.е. от x. В границата, когато фиността на дяла клони към нула, получаваме съответния повторен интеграл.

За да се докаже, че двоен интеграл не съществува, е достатъчно да се даде един пример за дял, изчисляването на интегралните суми, за които, в границата, когато фиността на дяла клони към нула, дава резултат, различен от стойността на повтарящите се интеграли. Нека дадем пример за такова разделение, съответстващо на полярната координатна система (r, j) (виж фиг. 2.8).

В полярната координатна система позицията на всяка точка от равнината M 0 (x 0 , y 0), където x 0 , y 0 са декартовите координати на точката M 0, се определя от дължината r 0 на радиуса свързвайки го с началото и ъгъла j 0, образуван от този радиус с положителна посока на оста x (ъгълът се брои обратно на часовниковата стрелка). Връзката между декартовите и полярните координати е очевидна:

y 0 = r 0 × sinj 0 .

Преградата е изградена по следния начин. Първо, квадрат Е е разделен на сектори с радиуси, излизащи от центъра на координатите, а след това всеки сектор е разделен на малки трапеци с линии, перпендикулярни на оста на сектора. Изчисляването на интегралните суми се извършва, както следва: първо по малките трапеци във всеки сектор по неговата ос (по r), а след това по всички сектори (по j). Позицията на всеки сектор се характеризира с ъгъла на неговата ос j, а дължината на оста r(j) зависи от този ъгъл:

ако или , тогава ;

ако , тогава ;

ако , тогава

ако , тогава .

Преминавайки към границата на интегралните суми на полярно разпределение, когато фиността на разпределението клони към нула, получаваме представяне на двойния интеграл в полярни координати. Такава нотация може да се получи по чисто формален начин, като се заменят декартовите координати (x, y) с полярни (r, j).

Според правилата за преход в интегралите от декартови към полярни координати трябва да се напише по дефиниция:

В полярни координати функцията f(x, y) ще бъде записана по следния начин:

Най-накрая имаме

Вътрешен интеграл (неправилен) в последната формула

където функцията r(j) е посочена по-горе, 0 £ j £ 2p, е равна на +¥ за всяко j, защото

Следователно интегралната функция във външния интеграл, оценен върху j, не е дефинирана за нито едно j. Но тогава самият външен интеграл не е дефиниран, т.е. оригиналният двоен интеграл не е дефиниран.

Забележете, че функцията f(x, y) не удовлетворява достатъчното условие за съществуването на двоен интеграл върху множеството E. Нека покажем, че интегралът

не съществува. Наистина ли,

По същия начин, същият резултат се установява за интеграла

Изтеглете от Depositfiles

Лекции 5-6

Тема2. Множество интеграли.

Двоен интеграл.

Контролни въпроси.

1. Двоен интеграл, неговият геометричен и физически смисъл

2. Свойства на двойния интеграл.

3. Изчисляване на двойния интеграл в декартови координати.

4. Смяна на променливи в двойния интеграл. Изчисляване на двоен интеграл в полярни координати.

Нека функцията z = f (х , г), дефинирани в ограничен затворен регион дсамолет. Нека разделим района дна случаен принцип нелементарни затворени зони  1 , … , н, с площи   1 , …,   ни диаметри д 1 , …, д н съответно. Нека обозначим днай-големият от диаметрите на площта  1 , … ,  н. Във всяка област  кизберете произволна точка П к (х к ,г к) и композирайте интегрална сумафункции f(x,y)

С =
(1)

Определение. Двоен интегралфункции f(x,y) по регион днаречена граница на интегралната сума

, (2)

ако съществува.

Коментирайте. Кумулативна сума Сзависи как е разделена площта ди избиране на точки П к (к=1, …, н). Въпреки това, границата
, ако съществува, не зависи от това как е разделена зоната ди избиране на точки П к .

Достатъчно условие за съществуването на двоен интеграл. Двоен интеграл (1) съществува, ако функцията f(x,y) непрекъснато в дс изключение на краен брой късово гладки криви и е ограничен в д. По-нататък ще приемем, че всички разглеждани двойни интеграли съществуват.

Геометричен смисъл на двойния интеграл.

Ако f(x,y) ≥0 по площ д, тогава двойният интеграл (1) е равен на обема на "цилиндричното" тяло, показано на фигурата:

V =
(3)

Цилиндричното тяло е ограничено отдолу от региона д, отгоре - част от повърхността z = f (х , г), отстрани - чрез вертикални прави сегменти, свързващи границите на тази повърхност и област Д.

Физически смисъл на двойния интеграл. Маса на плоска чиния.

Нека се даде плоска чиния дс известна функция на плътност γ( Х,при), след което разчупване на плоча D на части D iи избиране на произволни точки
, получаваме за масата на плочата
, или, сравнявайки с формула (2):

(4)

4. Някои свойства на двойния интеграл.

Линейност.Ако СЪСтогава е числова константа

Адитивност.Ако областта д „разбити“ на зони д 1 И д 2, тогава

3) Площ на ограничената зона дравна на

(5)

Изчисляване на двоен интеграл в декартови координати.

Нека се даде площта

Снимка 1

D= { (х , г ): a ≤ x ≤ b , φ 1 (х ) ≤ y≤ φ 2 (х ) } (6)

Регион д оградени в лента между прави линии х = а , г = b, ограничени съответно отдолу и отгоре с криви г = φ 1 (х ) И г = φ 2 (х ) .

Двоен интеграл (1) върху област д(4) се изчислява чрез преминаване към итерирания интеграл:

(7)

Този повторен интеграл се изчислява по следния начин. Първо се изчислява вътрешният интеграл

по променлива г, при което хсчитано за постоянно. Резултатът ще бъде функция на променливата х, и след това се изчислява „външният“ интеграл на тази функция върху променливата х .

Коментирайте. Процесът на преход към повторен интеграл по формула (7) често се нарича поставяне на граници на интегриране в двойния интеграл. Когато задавате граници на интеграция, трябва да запомните две точки. Първо, долната граница на интегриране не трябва да надвишава горната, и второ, границите на външния интеграл трябва да са постоянни, а вътрешният в общия случай трябва да зависи от променливата за интегриране на външния интеграл.

Нека сега района дизглежда като

D= { (х , г ) : c ≤ y ≤ d , ψ 1 (г ) ≤ x ≤ ψ 2 (г ) } . (8)

Тогава

. (9)

Да приемем, че областта дмогат да бъдат представени като (6) и (8) едновременно. Тогава равенството е в сила

(10)

Преходът от един повторен интеграл към друг в равенството (10) се нарича промяна на реда на интегриранев двоен интеграл.

Примери.

1) Променете реда на интегриране в интеграла

Решение. Използвайки формата на итерирания интеграл, намираме региона

D= { (х , г ): 0 ≤ x ≤ 1, 2 x ≤ y≤ 2 } .

Нека изобразим района д. От фигурата виждаме, че тази област е разположена в хоризонтална ивица между правите линии г =0, г=2 и между редовете х =0 И х= D

Понякога, за да се опростят изчисленията, се прави промяна на променливите:

,
(11)

Ако функции (11) са непрекъснато диференцируеми и детерминантата (Якобиан) е различна от нула в разглежданата област:

(12)

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

Курсова работа

Дисциплина: Висша математика

(Основи на линейното програмиране)

По темата: МНОГОКРАТНИ ИНТЕГРАЛИ

Завършено от: ______________

Учител:___________

Дата ___________________

Степен _________________

Подпис ________________

ВОРОНЕЖ 2008г

1 Множество интеграли

1.1 Двоен интеграл

1.2 Троен интеграл

1.3 Многократни интеграли в криволинейни координати

1.4 Геометрични и физически приложения на множество интеграли

2 Криволинейни и повърхностни интеграли

2.1 Криволинейни интеграли

2.2 Повърхностни интеграли

2.3 Геометрични и физически приложения

Библиография

1 Множество интеграли

1.1 Двоен интеграл

Нека разгледаме затворена област D в равнината Oxy, ограничена от права L. Нека разделим тази област на n части с няколко прави

Нека функция z = f(x, y) е дадена в област D. Нека обозначим с f(P 1), f(P 2),…, f(P n) стойностите на тази функция в избрани точки и съставим сума от продуктите под формата f(P i)ΔS i:

наречена интегрална сума за функцията f(x, y) в областта D.

Ако има същата граница на интегралните суми (1) за

Изчисляване на двойния интеграл върху областта D, ограничена с линии

1.2 Троен интеграл

Понятието троен интеграл се въвежда по аналогия с двойния интеграл.

Нека в пространството е дадена определена област V, ограничена от затворена повърхност S. Нека дефинираме непрекъсната функция f(x, y, z) в тази затворена област. След това разделяме областта V на произволни части Δv i, като разглеждаме обема на всяка част, равен на Δv i, и съставяме интегрална сума от формата

Ограничение при

Тройният интеграл на функцията f(x,y,z) върху областта V е равен на тройния интеграл върху същата област:

1.3 Многократни интеграли в криволинейни координати

Нека въведем криволинейни координати на равнината, наречени полярни. Нека изберем точка O (полюс) и лъча, излизащ от нея (полярна ос).

Ориз. 2 Фиг. 3

Координатите на точка M (фиг. 2) ще бъдат дължината на отсечката MO - полярният радиус ρ и ъгълът φ между MO и полярната ос: M(ρ,φ). Обърнете внимание, че за всички точки на равнината, с изключение на полюса, ρ > 0 и полярният ъгъл φ ще се счита за положителен, когато се измерва в посока, обратна на часовниковата стрелка, и отрицателен, когато се измерва в обратна посока.

Връзката между полярните и декартовите координати на точка M може да бъде зададена чрез подравняване на началото на декартовата координатна система с полюса и положителната полуос Ox с полярната ос (фиг. 3). Тогава x=ρcosφ, y=ρsinφ. Оттук

Нека дефинираме в областта D, ограничена от кривите ρ=Φ 1 (φ) и ρ=Φ 2 (φ), където φ 1< φ < φ 2 , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

В тримерното пространство се въвеждат цилиндрични и сферични координати.

Цилиндричните координати на точката P(ρ,φ,z) са полярните координати ρ, φ на проекцията на тази точка върху равнината Oxy и апликацията на тази точка z (фиг. 5).

Фиг.5 Фиг.6

Формулите за преход от цилиндрични към декартови координати могат да бъдат определени, както следва:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (8)

В сферичните координати позицията на точка в пространството се определя от линейната координата r - разстоянието от точката до началото на декартовата координатна система (или полюса на сферичната система), φ - полярният ъгъл между положителния полуос Ox и проекцията на точката върху равнината Ox, а θ - ъгълът между положителната полуос на оста Oz и отсечката OP (фиг. 6). При което

Нека зададем формулите за преход от сферични към декартови координати:

x = rsinθcosφ, y = rsinθsinφ, z = rcosθ. (9)

Тогава формулите за преход към цилиндрични или сферични координати в тройния интеграл ще изглеждат така:

където F 1 и F 2 са функции, получени чрез заместване на техните изрази чрез цилиндрични (8) или сферични (9) координати във функцията f вместо x, y, z.

1.4 Геометрични и физически приложения на множество интеграли

1) Площ на плоската област S:

Пример 1.

Намерете площта на фигура D, ограничена от линии

Удобно е да се изчисли тази площ, като се брои y като външна променлива. Тогава границите на региона се дават от уравненията