Косинус 90 градуса. Какво е косинус на ъгъл и как да го използваме при решаване на задачи
В статията ще разберем напълно как изглежда таблица с тригонометрични стойности, синус, косинус, тангенс и котангенс. Нека разгледаме основното значение на тригонометричните функции от ъгъл 0,30,45,60,90,...,360 градуса. И нека да видим как да използваме тези таблици при изчисляване на стойностите на тригонометричните функции.
Първо нека да разгледаме таблица на косинус, синус, тангенс и котангенсот ъгъл 0, 30, 45, 60, 90,... градуса. Дефинирането на тези количества ни позволява да определим стойността на функциите на ъгли от 0 и 90 градуса:
sin 0 0 =0, cos 0 0 = 1. tg 0 0 = 0, котангенсът от 0 0 ще бъде недефиниран
sin 90 0 = 1, cos 90 0 =0, ctg90 0 = 0, допирателната от 90 0 ще бъде несигурна
Ако вземете правоъгълни триъгълници, чиито ъгли са от 30 до 90 градуса. Получаваме:
sin 30 0 = 1/2, cos 30 0 = √3/2, tan 30 0 = √3/3, cos 30 0 = √3
sin 45 0 = √2/2, cos 45 0 = √2/2, tan 45 0 = 1, cos 45 0 = 1
sin 60 0 = √3/2, cos 60 0 = 1/2, tg 60 0 =√3, cot 60 0 = √3/3
Нека представим всички получени стойности във формата тригонометрична таблица:
Таблица на синуси, косинуси, тангенси и котангенси!
Ако използваме формулата за намаляване, нашата таблица ще се увеличи, добавяйки стойности за ъгли до 360 градуса. Ще изглежда така:
Освен това, въз основа на свойствата на периодичността, таблицата може да се увеличи, ако заменим ъглите с 0 0 +360 0 *z .... 330 0 +360 0 *z, в което z е цяло число. В тази таблица е възможно да се изчисли стойността на всички ъгли, съответстващи на точки в един кръг.
Нека да разгледаме как да използваме таблицата в решение.
Всичко е много просто. Тъй като стойността, от която се нуждаем, се намира в пресечната точка на клетките, от които се нуждаем. Например, вземете cos на ъгъл от 60 градуса, в таблицата ще изглежда така:
В крайната таблица на основните стойности на тригонометричните функции процедираме по същия начин. Но в тази таблица е възможно да разберете колко е тангенса от ъгъл от 1020 градуса, тя = -√3 Нека проверим 1020 0 = 300 0 +360 0 *2. Нека го намерим с помощта на таблицата.
За повече търсене се използват стойности на тригонометричен ъгъл с точност до минути. Подробни инструкции как да ги използвате има на страницата.
Маса Брадис. За синус, косинус, тангенс и котангенс.
Таблиците на Bradis са разделени на няколко части, състоящи се от таблици на косинус и синус, тангенс и котангенс - който е разделен на две части (tg на ъгли до 90 градуса и ctg на малки ъгли).
Синус и косинус
tg на ъгъла, започващ от 0 0, завършващ на 76 0, ctg на ъгъла, започващ от 14 0, завършващ на 90 0.
tg до 90 0 и ctg на малки ъгли.
Нека да разберем как да използваме таблиците на Bradis при решаването на проблеми.
Нека намерим обозначението sin (означението в колоната в левия край) 42 минути (означението е на горния ред). Чрез пресичане търсим обозначението, то = 0.3040.
Минутните стойности са посочени с интервал от шест минути, какво да правим, ако стойността, от която се нуждаем, попада точно в този интервал. Нека вземем 44 минути, но в таблицата има само 42. Взимаме 42 като основа и използваме допълнителните колони от дясната страна, вземаме 2-то изменение и добавяме към 0,3040 + 0,0006, получаваме 0,3046.
При sin 47 минути вземаме 48 минути като база и изваждаме 1 корекция от нея, т.е. 0,3057 - 0,0003 = 0,3054
Когато изчисляваме cos, работим подобно на sin, само че вземаме долния ред на таблицата като основа. Например cos 20 0 = 0,9397
Стойностите на tg ъгъл до 90 0 и cot на малък ъгъл са правилни и в тях няма корекции. Например, намерете tg 78 0 37min = 4,967
и ctg 20 0 13min = 25.83
Е, разгледахме основните тригонометрични таблици. Надяваме се тази информация да ви е била изключително полезна. Ако имате въпроси относно таблиците, не забравяйте да ги напишете в коментарите!
Забележка: Стенни брони - броня за защита на стени (http://www.spi-polymer.ru/otboyniki/)
Таблици със стойности на синуси (sin), косинуси (cos), тангенси (tg), котангенси (ctg) са мощен и полезен инструмент, който помага за решаването на много проблеми, както теоретични, така и приложни. В тази статия ще предоставим таблица с основни тригонометрични функции (синуси, косинуси, тангенси и котангенси) за ъгли от 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градуса (0, π 6, π 3, π 2,... , 2 π радиана). Ще бъдат показани и отделни таблици на Bradis за синуси и косинуси, тангенси и котангенси, с обяснение как да ги използвате за намиране на стойностите на основните тригонометрични функции.
Таблица с основни тригонометрични функции за ъгли 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градуса
Въз основа на дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс, можете да намерите стойностите на тези функции за ъгли от 0 и 90 градуса
sin 0 = 0, cos 0 = 1, t g 0 = 0, нулевият котангенс не е дефиниран,
sin 90° = 1, cos 90° = 0, c t g 90° = 0, тангенс от деветдесет градуса не е дефиниран.
Стойностите на синусите, косинусите, тангенсите и котангенсите в курса на геометрията се определят като съотношението на страните на правоъгълен триъгълник, чиито ъгли са 30, 60 и 90 градуса, а също и 45, 45 и 90 градуса.
Определяне на тригонометрични функции за остър ъгъл в правоъгълен триъгълник
синусите- отношението на противоположната страна към хипотенузата.
Косинус- отношението на съседния катет към хипотенузата.
Допирателна- съотношението на срещуположната страна към съседната страна.
Котангенс- съотношението на съседната страна към противоположната страна.
В съответствие с дефинициите се намират стойностите на функциите:
sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1, sin 60° = 3 2, cos 45° = 1 2, tg 45° = 3, c tg 45° = 3 3.
Нека поставим тези стойности в таблица и да я наречем таблица на основните стойности на синус, косинус, тангенс и котангенс.
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 |
грях α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | неопределен |
c t g α | неопределен | 3 | 1 | 3 3 | 0 |
α, r a d i a n | 0 | № 6 | № 4 | № 3 | π 2 |
Едно от важните свойства на тригонометричните функции е периодичността. Въз основа на това свойство тази таблица може да бъде разширена с помощта на формули за намаляване. По-долу представяме разширена таблица на стойностите на основните тригонометрични функции за ъгли 0, 30, 60, ... , 120, 135, 150, 180, ... , 360 градуса (0, π 6, π 3 , π 2, ... , 2 π радиана).
α ° | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 135 | 150 | 180 | 210 | 225 | 240 | 270 | 300 | 315 | 330 | 360 |
грях α | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 |
cos α | 1 | 3 2 | 2 2 | 1 2 | 0 | - 1 2 | - 2 2 | - 3 2 | - 1 | - 3 2 | - 2 2 | - 1 2 | 0 | 1 2 | 2 2 | 3 2 | 1 |
t g α | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 1 | - 3 3 | 0 | 0 | 3 3 | 1 | 3 | - | - 3 | - 1 | 0 | |
c t g α | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - | 3 | 1 | 3 3 | 0 | - 3 3 | - 1 | - 3 | - |
α, r a d i a n | 0 | № 6 | № 4 | № 3 | π 2 | 2 π 3 | 3 π 4 | 5 π 6 | π | 7 π 6 | 5 π 4 | 4 π 3 | 3 π 2 | 5 π 3 | 7 π 4 | 11 π 6 | 2π |
Периодичността на синуса, косинуса, тангенса и котангенса ви позволява да разширите тази таблица до произволно големи ъглови стойности. Стойностите, събрани в таблицата, се използват най-често при решаване на задачи, така че се препоръчва да ги запомните.
Как да използвате таблицата с основните стойности на тригонометричните функции
Принципът на използване на таблица със стойности на синуси, косинуси, тангенси и котангенси е ясен на интуитивно ниво. Пресечната точка на ред и колона дава стойността на функцията за определен ъгъл.
Пример. Как да използваме таблицата със синуси, косинуси, тангенси и котангенси
Трябва да намерим на какво е равно sin 7 π 6
Намираме колона в таблицата, чиято последна стойност на клетка е 7 π 6 радиана – същото като 210 градуса. След това избираме термина на таблицата, в която са представени стойностите на синусите. В пресечната точка на реда и колоната намираме желаната стойност:
sin 7 π 6 = - 1 2
Маси Bradis
Таблицата на Bradis ви позволява да изчислите стойността на синус, косинус, тангенс или котангенс с точност до 4 знака след десетичната запетая без използването на компютърна технология. Това е един вид заместител на инженерен калкулатор.
справка
Владимир Модестович Брадис (1890 - 1975) - съветски математик-учител, от 1954 г. член-кореспондент на Академията на педагогическите науки на СССР. Таблици с четирицифрени логаритми и естествени тригонометрични величини, разработени от Брадис, са публикувани за първи път през 1921 г.
Първо, представяме таблицата на Брадис за синуси и косинуси. Тя ви позволява доста точно да изчислите приблизителните стойности на тези функции за ъгли, съдържащи цяло число градуси и минути. Най-лявата колона на таблицата представлява градуси, а горният ред представлява минути. Имайте предвид, че всички ъглови стойности на таблицата на Bradis са кратни на шест минути.
Таблица на Брадис за синуси и косинуси
грях | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | cos | 1" | 2" | 3" |
0.0000 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0.0000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0366 | 0384 | 0401 | 0419 | 0436 | 0454 | 0471 | 0488 | 0506 | 0523 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0523 | 0541 | 0558 | 0576 | 0593 | 0610 | 0628 | 0645 | 0663 | 0680 | 0698 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0698 | 0715 | 0732 | 0750 | 0767 | 0785 | 0802 | 0819 | 0837 | 0854 | 0.0872 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0.0872 | 0889 | 0906 | 0924 | 0941 | 0958 | 0976 | 0993 | 1011 | 1028 | 1045 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1045 | 1063 | 1080 | 1097 | 1115 | 1132 | 1149 | 1167 | 1184 | 1201 | 1219 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1219 | 1236 | 1253 | 1271 | 1288 | 1305 | 1323 | 1340 | 1357 | 1374 | 1392 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1392 | 1409 | 1426 | 1444 | 1461 | 1478 | 1495 | 1513 | 1530 | 1547 | 1564 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1564 | 1582 | 1599 | 1616 | 1633 | 1650 | 1668 | 1685 | 1702 | 1719 | 0.1736 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0.1736 | 1754 | 1771 | 1788 | 1805 | 1822 | 1840 | 1857 | 1874 | 1891 | 1908 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1908 | 1925 | 1942 | 1959 | 1977 | 1994 | 2011 | 2028 | 2045 | 2062 | 2079 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2079 | 2096 | 2113 | 2130 | 2147 | 2164 | 2181 | 2198 | 2215 | 2233 | 2250 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2250 | 2267 | 2284 | 2300 | 2317 | 2334 | 2351 | 2368 | 2385 | 2402 | 2419 | 76° | 3 | 6 | 8 |
14° | 2419 | 2436 | 2453 | 2470 | 2487 | 2504 | 2521 | 2538 | 2554 | 2571 | 0.2588 | 75° | 3 | 6 | 8 |
15° | 0.2588 | 2605 | 2622 | 2639 | 2656 | 2672 | 2689 | 2706 | 2723 | 2740 | 2756 | 74° | 3 | 6 | 8 |
16° | 2756 | 2773 | 2790 | 2807 | 2823 | 2840 | 2857 | 2874 | 2890 | 2907 | 2924 | 73° | 3 | 6 | 8 |
17° | 2924 | 2940 | 2957 | 2974 | 2990 | 3007 | 3024 | 3040 | 3057 | 3074 | 3090 | 72° | 3 | 6 | 8 |
18° | 3090 | 3107 | 3123 | 3140 | 3156 | 3173 | 3190 | 3206 | 3223 | 3239 | 3256 | 71° | 3 | 6 | 8 |
19° | 3256 | 3272 | 3289 | 3305 | 3322 | 3338 | 3355 | 3371 | 3387 | 3404 | 0.3420 | 70° | 3 | 5 | 8 |
20° | 0.3420 | 3437 | 3453 | 3469 | 3486 | 3502 | 3518 | 3535 | 3551 | 3567 | 3584 | 69° | 3 | 5 | 8 |
21° | 3584 | 3600 | 3616 | 3633 | 3649 | 3665 | 3681 | 3697 | 3714 | 3730 | 3746 | 68° | 3 | 5 | 8 |
22° | 3746 | 3762 | 3778 | 3795 | 3811 | 3827 | 3843 | 3859 | 3875 | 3891 | 3907 | 67° | 3 | 5 | 8 |
23° | 3907 | 3923 | 3939 | 3955 | 3971 | 3987 | 4003 | 4019 | 4035 | 4051 | 4067 | 66° | 3 | 5 | 8 |
24° | 4067 | 4083 | 4099 | 4115 | 4131 | 4147 | 4163 | 4179 | 4195 | 4210 | 0.4226 | 65° | 3 | 5 | 8 |
25° | 0.4226 | 4242 | 4258 | 4274 | 4289 | 4305 | 4321 | 4337 | 4352 | 4368 | 4384 | 64° | 3 | 5 | 8 |
26° | 4384 | 4399 | 4415 | 4431 | 4446 | 4462 | 4478 | 4493 | 4509 | 4524 | 4540 | 63° | 3 | 5 | 8 |
27° | 4540 | 4555 | 4571 | 4586 | 4602 | 4617 | 4633 | 4648 | 4664 | 4679 | 4695 | 62° | 3 | 5 | 8 |
28° | 4695 | 4710 | 4726 | 4741 | 4756 | 4772 | 4787 | 4802 | 4818 | 4833 | 4848 | 61° | 3 | 5 | 8 |
29° | 4848 | 4863 | 4879 | 4894 | 4909 | 4924 | 4939 | 4955 | 4970 | 4985 | 0.5000 | 60° | 3 | 5 | 8 |
30° | 0.5000 | 5015 | 5030 | 5045 | 5060 | 5075 | 5090 | 5105 | 5120 | 5135 | 5150 | 59° | 3 | 5 | 8 |
31° | 5150 | 5165 | 5180 | 5195 | 5210 | 5225 | 5240 | 5255 | 5270 | 5284 | 5299 | 58° | 2 | 5 | 7 |
32° | 5299 | 5314 | 5329 | 5344 | 5358 | 5373 | 5388 | 5402 | 5417 | 5432 | 5446 | 57° | 2 | 5 | 7 |
33° | 5446 | 5461 | 5476 | 5490 | 5505 | 5519 | 5534 | 5548 | 5563 | 5577 | 5592 | 56° | 2 | 5 | 7 |
34° | 5592 | 5606 | 5621 | 5635 | 5650 | 5664 | 5678 | 5693 | 5707 | 5721 | 0.5736 | 55° | 2 | 5 | 7 |
35° | 0.5736 | 5750 | 5764 | 5779 | 5793 | 5807 | 5821 | 5835 | 5850 | 5864 | 0.5878 | 54° | 2 | 5 | 7 |
36° | 5878 | 5892 | 5906 | 5920 | 5934 | 5948 | 5962 | 5976 | 5990 | 6004 | 6018 | 53° | 2 | 5 | 7 |
37° | 6018 | 6032 | 6046 | 6060 | 6074 | 6088 | 6101 | 6115 | 6129 | 6143 | 6157 | 52° | 2 | 5 | 7 |
38° | 6157 | 6170 | 6184 | 6198 | 6211 | 6225 | 6239 | 6252 | 6266 | 6280 | 6293 | 51° | 2 | 5 | 7 |
39° | 6293 | 6307 | 6320 | 6334 | 6347 | 6361 | 6374 | 6388 | 6401 | 6414 | 0.6428 | 50° | 2 | 4 | 7 |
40° | 0.6428 | 6441 | 6455 | 6468 | 6481 | 6494 | 6508 | 6521 | 6534 | 6547 | 6561 | 49° | 2 | 4 | 7 |
41° | 6561 | 6574 | 6587 | 6600 | 6613 | 6626 | 6639 | 6652 | 6665 | 6678 | 6691 | 48° | 2 | 4 | 7 |
42° | 6691 | 6704 | 6717 | 6730 | 6743 | 6756 | 6769 | 6782 | 6794 | 6807 | 6820 | 47° | 2 | 4 | 6 |
43° | 6820 | 6833 | 6845 | 6858 | 6871 | 6884 | 6896 | 8909 | 6921 | 6934 | 6947 | 46° | 2 | 4 | 6 |
44° | 6947 | 6959 | 6972 | 6984 | 6997 | 7009 | 7022 | 7034 | 7046 | 7059 | 0.7071 | 45° | 2 | 4 | 6 |
45° | 0.7071 | 7083 | 7096 | 7108 | 7120 | 7133 | 7145 | 7157 | 7169 | 7181 | 7193 | 44° | 2 | 4 | 6 |
46° | 7193 | 7206 | 7218 | 7230 | 7242 | 7254 | 7266 | 7278 | 7290 | 7302 | 7314 | 43° | 2 | 4 | 6 |
47° | 7314 | 7325 | 7337 | 7349 | 7361 | 7373 | 7385 | 7396 | 7408 | 7420 | 7431 | 42° | 2 | 4 | 6 |
48° | 7431 | 7443 | 7455 | 7466 | 7478 | 7490 | 7501 | 7513 | 7524 | 7536 | 7547 | 41° | 2 | 4 | 6 |
49° | 7547 | 7559 | 7570 | 7581 | 7593 | 7604 | 7615 | 7627 | 7638 | 7649 | 0.7660 | 40° | 2 | 4 | 6 |
50° | 0.7660 | 7672 | 7683 | 7694 | 7705 | 7716 | 7727 | 7738 | 7749 | 7760 | 7771 | 39° | 2 | 4 | 6 |
51° | 7771 | 7782 | 7793 | 7804 | 7815 | 7826 | 7837 | 7848 | 7859 | 7869 | 7880 | 38° | 2 | 4 | 5 |
52° | 7880 | 7891 | 7902 | 7912 | 7923 | 7934 | 7944 | 7955 | 7965 | 7976 | 7986 | 37° | 2 | 4 | 5 |
53° | 7986 | 7997 | 8007 | 8018 | 8028 | 8039 | 8049 | 8059 | 8070 | 8080 | 8090 | 36° | 2 | 3 | 5 |
54° | 8090 | 8100 | 8111 | 8121 | 8131 | 8141 | 8151 | 8161 | 8171 | 8181 | 0.8192 | 35° | 2 | 3 | 5 |
55° | 0.8192 | 8202 | 8211 | 8221 | 8231 | 8241 | 8251 | 8261 | 8271 | 8281 | 8290 | 34° | 2 | 3 | 5 |
56° | 8290 | 8300 | 8310 | 8320 | 8329 | 8339 | 8348 | 8358 | 8368 | 8377 | 8387 | 33° | 2 | 3 | 5 |
57° | 8387 | 8396 | 8406 | 8415 | 8425 | 8434 | 8443 | 8453 | 8462 | 8471 | 8480 | 32° | 2 | 3 | 5 |
58° | 8480 | 8490 | 8499 | 8508 | 8517 | 8526 | 8536 | 8545 | 8554 | 8563 | 8572 | 31° | 2 | 3 | 5 |
59° | 8572 | 8581 | 8590 | 8599 | 8607 | 8616 | 8625 | 8634 | 8643 | 8652 | 0.8660 | 30° | 1 | 3 | 4 |
60° | 0.8660 | 8669 | 8678 | 8686 | 8695 | 8704 | 8712 | 8721 | 8729 | 8738 | 8746 | 29° | 1 | 3 | 4 |
61° | 8746 | 8755 | 8763 | 8771 | 8780 | 8788 | 8796 | 8805 | 8813 | 8821 | 8829 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 8829 | 8838 | 8846 | 8854 | 8862 | 8870 | 8878 | 8886 | 8894 | 8902 | 8910 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 8910 | 8918 | 8926 | 8934 | 8942 | 8949 | 8957 | 8965 | 8973 | 8980 | 8988 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 8988 | 8996 | 9003 | 9011 | 9018 | 9026 | 9033 | 9041 | 9048 | 9056 | 0.9063 | 25° | 1 | 3 | 4 |
65° | 0.9063 | 9070 | 9078 | 9085 | 9092 | 9100 | 9107 | 9114 | 9121 | 9128 | 9135 | 24° | 1 | 2 | 4 |
66° | 9135 | 9143 | 9150 | 9157 | 9164 | 9171 | 9178 | 9184 | 9191 | 9198 | 9205 | 23° | 1 | 2 | 3 |
67° | 9205 | 9212 | 9219 | 9225 | 9232 | 9239 | 9245 | 9252 | 9259 | 9256 | 9272 | 22° | 1 | 2 | 3 |
68° | 9272 | 9278 | 9285 | 9291 | 9298 | 9304 | 9311 | 9317 | 9323 | 9330 | 9336 | 21° | 1 | 2 | 3 |
69° | 9336 | 9342 | 9348 | 9354 | 9361 | 9367 | 9373 | 9379 | 9383 | 9391 | 0.9397 | 20° | 1 | 2 | 3 |
70° | 9397 | 9403 | 9409 | 9415 | 9421 | 9426 | 9432 | 9438 | 9444 | 9449 | 0.9455 | 19° | 1 | 2 | 3 |
71° | 9455 | 9461 | 9466 | 9472 | 9478 | 9483 | 9489 | 9494 | 9500 | 9505 | 9511 | 18° | 1 | 2 | 3 |
72° | 9511 | 9516 | 9521 | 9527 | 9532 | 9537 | 9542 | 9548 | 9553 | 9558 | 9563 | 17° | 1 | 2 | 3 |
73° | 9563 | 9568 | 9573 | 9578 | 9583 | 9588 | 9593 | 9598 | 9603 | 9608 | 9613 | 16° | 1 | 2 | 2 |
74° | 9613 | 9617 | 9622 | 9627 | 9632 | 9636 | 9641 | 9646 | 9650 | 9655 | 0.9659 | 15° | 1 | 2 | 2 |
75° | 9659 | 9664 | 9668 | 9673 | 9677 | 9681 | 9686 | 9690 | 9694 | 9699 | 9703 | 14° | 1 | 1 | 2 |
76° | 9703 | 9707 | 9711 | 9715 | 9720 | 9724 | 9728 | 9732 | 9736 | 9740 | 9744 | 13° | 1 | 1 | 2 |
77° | 9744 | 9748 | 9751 | 9755 | 9759 | 9763 | 9767 | 9770 | 9774 | 9778 | 9781 | 12° | 1 | 1 | 2 |
78° | 9781 | 9785 | 9789 | 9792 | 9796 | 9799 | 9803 | 9806 | 9810 | 9813 | 9816 | 11° | 1 | 1 | 2 |
79° | 9816 | 9820 | 9823 | 9826 | 9829 | 9833 | 9836 | 9839 | 9842 | 9845 | 0.9848 | 10° | 1 | 1 | 2 |
80° | 0.9848 | 9851 | 9854 | 9857 | 9860 | 9863 | 9866 | 9869 | 9871 | 9874 | 9877 | 9° | 0 | 1 | 1 |
81° | 9877 | 9880 | 9882 | 9885 | 9888 | 9890 | 9893 | 9895 | 9898 | 9900 | 9903 | 8° | 0 | 1 | 1 |
82° | 9903 | 9905 | 9907 | 9910 | 9912 | 9914 | 9917 | 9919 | 9921 | 9923 | 9925 | 7° | 0 | 1 | 1 |
83° | 9925 | 9928 | 9930 | 9932 | 9934 | 9936 | 9938 | 9940 | 9942 | 9943 | 9945 | 6° | 0 | 1 | 1 |
84° | 9945 | 9947 | 9949 | 9951 | 9952 | 9954 | 9956 | 9957 | 9959 | 9960 | 9962 | 5° | 0 | 1 | 1 |
85° | 9962 | 9963 | 9965 | 9966 | 9968 | 9969 | 9971 | 9972 | 9973 | 9974 | 9976 | 4° | 0 | 0 | 1 |
86° | 9976 | 9977 | 9978 | 9979 | 9980 | 9981 | 9982 | 9983 | 9984 | 9985 | 9986 | 3° | 0 | 0 | 0 |
87° | 9986 | 9987 | 9988 | 9989 | 9990 | 9990 | 9991 | 9992 | 9993 | 9993 | 9994 | 2° | 0 | 0 | 0 |
88° | 9994 | 9995 | 9995 | 9996 | 9996 | 9997 | 9997 | 9997 | 9998 | 9998 | 0.9998 | 1° | 0 | 0 | 0 |
89° | 9998 | 9999 | 9999 | 9999 | 9999 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0° | 0 | 0 | 0 |
90° | 1.0000 | ||||||||||||||
грях | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | cos | 1" | 2" | 3" |
За да намерите стойностите на синусите и косинусите на ъглите, които не са представени в таблицата, е необходимо да използвате корекции.
Сега представяме таблицата на Брадис за тангенси и котангенси. Той съдържа стойности на тангенси на ъгли от 0 до 76 градуса и котангенси на ъгли от 14 до 90 градуса.
Таблица на Брадис за тангенс и котангенс
tg | 0" | 6" | 12" | 18" | 24" | 30" | 36" | 42" | 48" | 54" | 60" | ctg | 1" | 2" | 3" |
0 | 90° | ||||||||||||||
0° | 0,000 | 0017 | 0035 | 0052 | 0070 | 0087 | 0105 | 0122 | 0140 | 0157 | 0175 | 89° | 3 | 6 | 9 |
1° | 0175 | 0192 | 0209 | 0227 | 0244 | 0262 | 0279 | 0297 | 0314 | 0332 | 0349 | 88° | 3 | 6 | 9 |
2° | 0349 | 0367 | 0384 | 0402 | 0419 | 0437 | 0454 | 0472 | 0489 | 0507 | 0524 | 87° | 3 | 6 | 9 |
3° | 0524 | 0542 | 0559 | 0577 | 0594 | 0612 | 0629 | 0647 | 0664 | 0682 | 0699 | 86° | 3 | 6 | 9 |
4° | 0699 | 0717 | 0734 | 0752 | 0769 | 0787 | 0805 | 0822 | 0840 | 0857 | 0,0875 | 85° | 3 | 6 | 9 |
5° | 0,0875 | 0892 | 0910 | 0928 | 0945 | 0963 | 0981 | 0998 | 1016 | 1033 | 1051 | 84° | 3 | 6 | 9 |
6° | 1051 | 1069 | 1086 | 1104 | 1122 | 1139 | 1157 | 1175 | 1192 | 1210 | 1228 | 83° | 3 | 6 | 9 |
7° | 1228 | 1246 | 1263 | 1281 | 1299 | 1317 | 1334 | 1352 | 1370 | 1388 | 1405 | 82° | 3 | 6 | 9 |
8° | 1405 | 1423 | 1441 | 1459 | 1477 | 1495 | 1512 | 1530 | 1548 | 1566 | 1584 | 81° | 3 | 6 | 9 |
9° | 1584 | 1602 | 1620 | 1638 | 1655 | 1673 | 1691 | 1709 | 1727 | 1745 | 0,1763 | 80° | 3 | 6 | 9 |
10° | 0,1763 | 1781 | 1799 | 1817 | 1835 | 1853 | 1871 | 1890 | 1908 | 1926 | 1944 | 79° | 3 | 6 | 9 |
11° | 1944 | 1962 | 1980 | 1998 | 2016 | 2035 | 2053 | 2071 | 2089 | 2107 | 2126 | 78° | 3 | 6 | 9 |
12° | 2126 | 2144 | 2162 | 2180 | 2199 | 2217 | 2235 | 2254 | 2272 | 2290 | 2309 | 77° | 3 | 6 | 9 |
13° | 2309 | 2327 | 2345 | 2364 | 2382 | 2401 | 2419 | 2438 | 2456 | 2475 | 2493 | 76° | 3 | 6 | 9 |
14° | 2493 | 2512 | 2530 | 2549 | 2568 | 2586 | 2605 | 2623 | 2642 | 2661 | 0,2679 | 75° | 3 | 6 | 9 |
15° | 0,2679 | 2698 | 2717 | 2736 | 2754 | 2773 | 2792 | 2811 | 2830 | 2849 | 2867 | 74° | 3 | 6 | 9 |
16° | 2867 | 2886 | 2905 | 2924 | 2943 | 2962 | 2981 | 3000 | 3019 | 3038 | 3057 | 73° | 3 | 6 | 9 |
17° | 3057 | 3076 | 3096 | 3115 | 3134 | 3153 | 3172 | 3191 | 3211 | 3230 | 3249 | 72° | 3 | 6 | 10 |
18° | 3249 | 3269 | 3288 | 3307 | 3327 | 3346 | 3365 | 3385 | 3404 | 3424 | 3443 | 71° | 3 | 6 | 10 |
19° | 3443 | 3463 | 3482 | 3502 | 3522 | 3541 | 3561 | 3581 | 3600 | 3620 | 0,3640 | 70° | 3 | 7 | 10 |
20° | 0,3640 | 3659 | 3679 | 3699 | 3719 | 3739 | 3759 | 3779 | 3799 | 3819 | 3839 | 69° | 3 | 7 | 10 |
21° | 3839 | 3859 | 3879 | 3899 | 3919 | 3939 | 3959 | 3979 | 4000 | 4020 | 4040 | 68° | 3 | 7 | 10 |
22° | 4040 | 4061 | 4081 | 4101 | 4122 | 4142 | 4163 | 4183 | 4204 | 4224 | 4245 | 67° | 3 | 7 | 10 |
23° | 4245 | 4265 | 4286 | 4307 | 4327 | 4348 | 4369 | 4390 | 4411 | 4431 | 4452 | 66° | 3 | 7 | 10 |
24° | 4452 | 4473 | 4494 | 4515 | 4536 | 4557 | 4578 | 4599 | 4621 | 4642 | 0,4663 | 65° | 4 | 7 | 11 |
25° | 0,4663 | 4684 | 4706 | 4727 | 4748 | 4770 | 4791 | 4813 | 4834 | 4856 | 4877 | 64° | 4 | 7 | 11 |
26° | 4877 | 4899 | 4921 | 4942 | 4964 | 4986 | 5008 | 5029 | 5051 | 5073 | 5095 | 63° | 4 | 7 | 11 |
27° | 5095 | 5117 | 5139 | 5161 | 5184 | 5206 | 5228 | 5250 | 5272 | 5295 | 5317 | 62° | 4 | 7 | 11 |
28° | 5317 | 5340 | 5362 | 5384 | 5407 | 5430 | 5452 | 5475 | 5498 | 5520 | 5543 | 61° | 4 | 8 | 11 |
29° | 5543 | 5566 | 5589 | 5612 | 5635 | 5658 | 5681 | 5704 | 5727 | 5750 | 0,5774 | 60° | 4 | 8 | 12 |
30° | 0,5774 | 5797 | 5820 | 5844 | 5867 | 5890 | 5914 | 5938 | 5961 | 5985 | 6009 | 59° | 4 | 8 | 12 |
31° | 6009 | 6032 | 6056 | 6080 | 6104 | 6128 | 6152 | 6176 | 6200 | 6224 | 6249 | 58° | 4 | 8 | 12 |
32° | 6249 | 6273 | 6297 | 6322 | 6346 | 6371 | 6395 | 6420 | 6445 | 6469 | 6494 | 57° | 4 | 8 | 12 |
33° | 6494 | 6519 | 6544 | 6569 | 6594 | 6619 | 6644 | 6669 | 6694 | 6720 | 6745 | 56° | 4 | 8 | 13 |
34° | 6745 | 6771 | 6796 | 6822 | 6847 | 6873 | 6899 | 6924 | 6950 | 6976 | 0,7002 | 55° | 4 | 9 | 13 |
35° | 0,7002 | 7028 | 7054 | 7080 | 7107 | 7133 | 7159 | 7186 | 7212 | 7239 | 7265 | 54° | 4 | 8 | 13 |
36° | 7265 | 7292 | 7319 | 7346 | 7373 | 7400 | 7427 | 7454 | 7481 | 7508 | 7536 | 53° | 5 | 9 | 14° |
37° | 7536 | 7563 | 7590 | 7618 | 7646 | 7673 | 7701 | 7729 | 7757 | 7785 | 7813 | 52° | 5 | 9 | 14 |
38° | 7813 | 7841 | 7869 | 7898 | 7926 | 7954 | 7983 | 8012 | 8040 | 8069 | 8098 | 51° | 5 | 9 | 14 |
39° | 8098 | 8127 | 8156 | 8185 | 8214 | 8243 | 8273 | 8302 | 8332 | 8361 | 0,8391 | 50° | 5 | 10 | 15 |
40° | 0,8391 | 8421 | 8451 | 8481 | 8511 | 8541 | 8571 | 8601 | 8632 | 8662 | 0,8693 | 49° | 5 | 10 | 15 |
41° | 8693 | 8724 | 8754 | 8785 | 8816 | 8847 | 8878 | 8910 | 8941 | 8972 | 9004 | 48° | 5 | 10 | 16 |
42° | 9004 | 9036 | 9067 | 9099 | 9131 | 9163 | 9195 | 9228 | 9260 | 9293 | 9325 | 47° | 6 | 11 | 16 |
43° | 9325 | 9358 | 9391 | 9424 | 9457 | 9490 | 9523 | 9556 | 9590 | 9623 | 0,9657 | 46° | 6 | 11 | 17 |
44° | 9657 | 9691 | 9725 | 9759 | 9793 | 9827 | 9861 | 9896 | 9930 | 9965 | 1,0000 | 45° | 6 | 11 | 17 |
45° | 1,0000 | 0035 | 0070 | 0105 | 0141 | 0176 | 0212 | 0247 | 0283 | 0319 | 0355 | 44° | 6 | 12 | 18 |
46° | 0355 | 0392 | 0428 | 0464 | 0501 | 0538 | 0575 | 0612 | 0649 | 0686 | 0724 | 43° | 6 | 12 | 18 |
47° | 0724 | 0761 | 0799 | 0837 | 0875 | 0913 | 0951 | 0990 | 1028 | 1067 | 1106 | 42° | 6 | 13 | 19 |
48° | 1106 | 1145 | 1184 | 1224 | 1263 | 1303 | 1343 | 1383 | 1423 | 1463 | 1504 | 41° | 7 | 13 | 20 |
49° | 1504 | 1544 | 1585 | 1626 | 1667 | 1708 | 1750 | 1792 | 1833 | 1875 | 1,1918 | 40° | 7 | 14 | 21 |
50° | 1,1918 | 1960 | 2002 | 2045 | 2088 | 2131 | 2174 | 2218 | 2261 | 2305 | 2349 | 39° | 7 | 14 | 22 |
51° | 2349 | 2393 | 2437 | 2482 | 2527 | 2572 | 2617 | 2662 | 2708 | 2753 | 2799 | 38° | 8 | 15 | 23 |
52° | 2799 | 2846 | 2892 | 2938 | 2985 | 3032 | 3079 | 3127 | 3175 | 3222 | 3270 | 37° | 8 | 16 | 24 |
53° | 3270 | 3319 | 3367 | 3416 | 3465 | 3514 | 3564 | 3613 | 3663 | 3713 | 3764 | 36° | 8 | 16 | 25 |
54° | 3764 | 3814 | 3865 | 3916 | 3968 | 4019 | 4071 | 4124 | 4176 | 4229 | 1,4281 | 35° | 9 | 17 | 26 |
55° | 1,4281 | 4335 | 4388 | 4442 | 4496 | 4550 | 4605 | 4659 | 4715 | 4770 | 4826 | 34° | 9 | 18 | 27 |
56° | 4826 | 4882 | 4938 | 4994 | 5051 | 5108 | 5166 | 5224 | 5282 | 5340 | 5399 | 33° | 10 | 19 | 29 |
57° | 5399 | 5458 | 5517 | 5577 | 5637 | 5697 | 5757 | 5818 | 5880 | 5941 | 6003 | 32° | 10 | 20 | 30 |
58° | 6003 | 6066 | 6128 | 6191 | 6255 | 6319 | 6383 | 6447 | 6512 | 6577 | 6643 | 31° | 11 | 21 | 32 |
59° | 6643 | 6709 | 6775 | 6842 | 6909 | 6977 | 7045 | 7113 | 7182 | 7251 | 1,7321 | 30° | 11 | 23 | 34 |
60° | 1,732 | 1,739 | 1,746 | 1,753 | 1,760 | 1,767 | 1,775 | 1,782 | 1,789 | 1,797 | 1,804 | 29° | 1 | 2 | 4 |
61° | 1,804 | 1,811 | 1,819 | 1,827 | 1,834 | 1,842 | 1,849 | 1,857 | 1,865 | 1,873 | 1,881 | 28° | 1 | 3 | 4 |
62° | 1,881 | 1,889 | 1,897 | 1,905 | 1,913 | 1,921 | 1,929 | 1,937 | 1,946 | 1,954 | 1,963 | 27° | 1 | 3 | 4 |
63° | 1,963 | 1,971 | 1,980 | 1,988 | 1,997 | 2,006 | 2,014 | 2,023 | 2,032 | 2,041 | 2,05 | 26° | 1 | 3 | 4 |
64° | 2,050 | 2,059 | 2,069 | 2,078 | 2,087 | 2,097 | 2,106 | 2,116 | 2,125 | 2,135 | 2,145 | 25° | 2 | 3 | 5 |
65° | 2,145 | 2,154 | 2,164 | 2,174 | 2,184 | 2,194 | 2,204 | 2,215 | 2,225 | 2,236 | 2,246 | 24° | 2 | 3 | 5 |
66° | 2,246 | 2,257 | 2,267 | 2,278 | 2,289 | 2,3 | 2,311 | 2,322 | 2,333 | 2,344 | 2,356 | 23° | 2 | 4 | 5 |
67° | 2,356 | 2,367 | 2,379 | 2,391 | 2,402 | 2,414 | 2,426 | 2,438 | 2,450 | 2,463 | 2,475 | 22° | 2 | 4 | 6 |
68° | 2,475 | 2,488 | 2,5 | 2,513 | 2,526 | 2,539 | 2,552 | 2,565 | 2,578 | 2,592 | 2,605 | 21° | 2 | 4 | 6 |
69° | 2,605 | 2,619 | 2,633 | 2,646 | 2,66 | 2,675 | 2,689 | 2,703 | 2,718 | 2,733 | 2,747 | 20° | 2 | 5 | 7 |
70° | 2,747 | 2,762 | 2,778 | 2,793 | 2,808 | 2,824 | 2,840 | 2,856 | 2,872 | 2,888 | 2,904 | 19° | 3 | 5 | 8 |
71° | 2,904 | 2,921 | 2,937 | 2,954 | 2,971 | 2,989 | 3,006 | 3,024 | 3,042 | 3,06 | 3,078 | 18° | 3 | 6 | 9 |
72° | 3,078 | 3,096 | 3,115 | 3,133 | 3,152 | 3,172 | 3,191 | 3,211 | 3,230 | 3,251 | 3,271 | 17° | 3 | 6 | 10 |
73° | 3,271 | 3,291 | 3,312 | 3,333 | 3,354 | 3,376 | 3 | 7 | 10 | ||||||
3,398 | 3,42 | 3,442 | 3,465 | 3,487 | 16° | 4 | 7 | 11 | |||||||
74° | 3,487 | 3,511 | 3,534 | 3,558 | 3,582 | 3,606 | 4 | 8 | 12 | ||||||
3,630 | 3,655 | 3,681 | 3,706 | 3,732 | 15° | 4 | 8 | 13 | |||||||
75° | 3,732 | 3,758 | 3,785 | 3,812 | 3,839 | 3,867 | 4 | 9 | 13 | ||||||
3,895 | 3,923 | 3,952 | 3,981 | 4,011 | 14° | 5 | 10 | 14 | |||||||
tg | 60" | 54" | 48" | 42" | 36" | 30" | 24" | 18" | 12" | 6" | 0" | ctg | 1" | 2" | 3" |
Как да използвате таблиците Bradis
Помислете за таблицата на Брадис за синуси и косинуси. Всичко, свързано със синусите, е отгоре и отляво. Ако ни трябват косинуси, погледнете дясната страна в долната част на таблицата.
За да намерите стойностите на синуса на ъгъл, трябва да намерите пресечната точка на реда, съдържащ необходимия брой градуси в най-лявата клетка и колоната, съдържаща необходимия брой минути в горната клетка.
Ако точната стойност на ъгъла не е в таблицата на Bradis, прибягваме до корекции. Корекциите за една, две и три минути са дадени в най-десните колони на таблицата. За да намерим стойността на синуса на ъгъл, който не е в таблицата, намираме стойността, която е най-близка до него. След това добавяме или изваждаме корекцията, съответстваща на разликата между ъглите.
Ако търсим синус на ъгъл, който е по-голям от 90 градуса, първо трябва да използваме формулите за редукция и едва след това таблицата на Брадис.
Пример. Как да използвате масата Bradis
Да кажем, че трябва да намерим синуса на ъгъла 17 ° 44 ". Използвайки таблицата, намираме на какво е равен синусът на 17 ° 42 " и добавяме корекция от две минути към неговата стойност:
17°44" - 17°42" = 2" (необходима корекция) sin 17°44" = 0. 3040 + 0 . 0006 = 0. 3046
Принципът на работа с косинусите, тангенсите и котангенсите е подобен. Важно е обаче да запомните знака на измененията.
важно!
При изчисляване на стойностите на синусите корекцията има положителен знак, а при изчисляване на косинусите корекцията трябва да се вземе с отрицателен знак.
Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter
Косинусова таблица е удобно решение за извършване на бързи изчисления, когато трябва да получите числената стойност на косинуса на определен ъгъл. В статията ще научим какво е косинус, как таблиците на синусите и косинусите са подобни и как са свързани, как да използваме таблицата на синусите на Bradis, за да получим конкретни числени стойности на косинуса на определен ъгъл.
Какво е косинус на ъгъл и как да го използваме при решаване на задачи
Нека започнем с факта, че всеки знае какво е правоъгълен триъгълник. Нарича се триъгълник, в който един от ъглите (С) е прав (равен на 90°), а другите два ъгъла (? и?) са остри. Има стандартно обозначение за ъгли и страни. Тогава какво е косинусът на ъгъл може да се разгледа допълнително.
Правоъгълен триъгълник: страни a (BC) и b (AC) - катети, страна c (AB) - хипотенуза
Правият ъгъл винаги е равен на 90°, острият ъгъл винаги е по-малък, а тъпият винаги е по-голям от 90°.
Косинус — Това е отношението на съседната страна към хипотенузата:
- cos α = b делено на c;
- cos β = а(BC)/с(AB).
Тоест, ако трябва да знаете например каква височина да направите покрива над къщата, ако знаете ширината на къщата и ъгъла на наклона на покрива, така че снегът да не се задържа, тогава няма е трудно да се изчисли височината на билото, като се използва косинусовата теорема. Трябва да се помни, че функции като косинуси и синуси във формулите зависят от ъгъла. Синусът работи на противоположната страна, косинусът работи на съседната страна.
Това са тригонометрични формули за изчисляване на ъгли в триъгълник с помощта на тригонометрични функции, косинус, тангенс, котангенс
Косинус - отношението на съседния катет към хипотенузата
Ако триъгълникът не е правоъгълен, неговите параметри също могат да бъдат изчислени с помощта на теоремата на Евклид. Същността му се състои в това, че триъгълник, лежащ върху равнина и имащ страни a, b, c, както и ъгъл α, който е противоположна страна a, може да се изчисли по следната формула:
а²= b²+с²-2²· b· cos α или:
От тук можем да намерим cos α, cos α = (b²+2²- a²) : 2bс.
Малко уточнение: ако ъгълът α е по-малък от 90°, тогава b²+2²- a² > 0, ако α =90°, тогава b²+2²- a²=0, ако α >90°, т.е. ъгълът е тъп, тогава b²+2² - a²< 0.
Правим същите изчисления за други ъгли на триъгълника:
- c² = a² + b² - 2ab cosγ,
- b² = a² + c² - 2ac cosβ.
Как да изчислим косинуса на ъгъл без формули
Има някои ъгли, чийто косинус може да се изчисли без формули, като се използва таблица със синуси и косинуси π . В него изчислението се извършва чрез числото π, което е разделено на цяло число, в зависимост от размера на ъгъла, тоест sin 30° = π: 6 или 0,5, cos 30° = √3: 2. Тази таблица съдържа данни за косинус 30 градуса, косинус 45 градуса, косинус 60 градуса, косинус 90 градуса, косинус 120 градуса, косинус 180 градуса, косинус 270 градуса, косинус 360 градуса, косинус 0, както и подобни стойности на синусите .
По-долу има таблица с косинуси, допълнително синусите са посочени в числовото им изражение.
Стойност на ъгъла α (градуси) | Ъглова стойност α в радиани | COS (косинус) |
---|---|---|
Косинус 0 градуса | 0 | 1 |
Косинус 15 градуса | π/12 | 0.9659 |
Косинус 30 градуса | π/6 | 0.866 |
Косинус 45 градуса | π/4 | 0.7071 |
Косинус 50 градуса | 5π/18 | 0.6428 |
Косинус 60 градуса | π/3 | 0.5 |
Косинус 65 градуса | 13π/36 | 0.4226 |
Косинус 70 градуса | 7π/18 | 0.342 |
Косинус 75 градуса | 5π/12 | 0.2588 |
Косинус 90 градуса | π/2 | 0 |
Косинус 105 градуса | 5π/12 | -0.2588 |
Косинус 120 градуса | 2π/3 | -0.5 |
Косинус 135 градуса | 3π/4 | -0.7071 |
Косинус 140 градуса | 7π/9 | -0.766 |
Косинус 150 градуса | 5π/6 | -0.866 |
Косинус 180 градуса | π | -1 |
Косинус 270 градуса | 3π/2 | 0 |
Косинус 360 градуса | 2π | 1 |